Lekcja otwarta do samodzielnego studiowania tematu logarytmów. Lekcja matematyki na temat „Właściwości logarytmów. Co jest najmądrzejszego
„Bierz tyle, ile możesz i chcesz,
ale nie mniej niż obowiązkowe.”
Cele Lekcji:
- zna i potrafi napisać definicję logarytmu, podstawową tożsamość logarytmiczną;
- potrafić zastosować definicję logarytmu i podstawową tożsamość logarytmiczną przy rozwiązywaniu ćwiczeń;
- zapoznać się z właściwościami logarytmów;
- nauczyć się rozróżniać właściwości logarytmów na podstawie ich zapisu;
- nauczyć się stosować właściwości logarytmów przy rozwiązywaniu problemów;
- wzmocnić umiejętności komputerowe;
- kontynuuj pracę nad mową matematyczną.
- rozwijać umiejętności samodzielnej pracy, pracy z podręcznikiem, umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy;
- rozwinąć umiejętność podkreślania najważniejszych rzeczy podczas pracy z tekstem;
- kształtować niezależne myślenie, operacje umysłowe: porównanie, analiza, synteza, uogólnienie, analogia;
- ukazanie uczniom roli systematycznej pracy w pogłębianiu i zwiększaniu siły wiedzy, na kulturę wykonywania zadań;
- rozwijać zdolności twórcze uczniów.
Podstawowa wiedza:
- definicja funkcji wykładniczej;
- właściwości funkcji wykładniczej;
- definicja równania wykładniczego, podstawowe metody i techniki rozwiązywania równań wykładniczych;
Typ lekcji: przekazywanie nowej wiedzy.
Metody pracy:
- problem;
- częściowo przeszukaj.
Rodzaje pracy:
- indywidualny;
- kolektyw;
- indywidualny-zbiorowy;
- czołowy.
Motywacja do aktywności poznawczej: Na zajęciach należy zapewnić uczniom możliwość wykazania się szybkim dowcipem i pomysłowością w rozwijaniu umiejętności samodzielnej pracy, pracy z podręcznikiem oraz umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy.
Spędzanie czasu: 1,5 godziny
Sprzęt:
- tabela właściwości logarytmów;
- tekst „Z historii logarytmów”;
- plakaty;
- karty zadań;
- karty edukacyjne;
- zestaw testów;
- zegar sygnałowy;
- Komputer nauczyciela, projektor multimedialny;
- Prezentacja, zawierający materiał do powtarzania i utrwalania wiedzy teoretycznej, do rozwijania umiejętności praktycznego zastosowania teorii do rozwiązywania ćwiczeń i tworzenia sytuacji problemowej , do samokontroli, zawierający informacje z historii logarytmów
Plan lekcji
- Organizowanie czasu. 1 minuta.
- Wyznaczanie celu. 1 minuta.
- Sprawdzanie wcześniej przestudiowanego materiału 5 min
- Wprowadzenie do pojęcia logarytmu.
- Definicja logarytmu. 5 minut
- Tło historyczne 10 min
- Suwak logarytmiczny 10 min
- Podstawowa tożsamość logarytmiczna. 10 minut
- Podstawowe własności logarytmów 10 min
- Generalizacja i systematyzacja wiedzy. 7 minut
- Praca domowa. 1 minuta.
- Twórcze wykorzystanie wiedzy, umiejętności i zdolności. 25 minut
- Zreasumowanie. 5 minut.
Podczas zajęć:
1. Organizowanie czasu. Pozdrowienia.
2. Wyznaczanie celów.
Chłopaki, dzisiaj na lekcji przetestujecie swoją umiejętność rozwiązywania najprostszych równań wykładniczych, abyście mogli wprowadzić dla was nową koncepcję, następnie zapoznamy się z właściwościami nowej koncepcji; musisz nauczyć się rozróżniać te właściwości poprzez ich rejestrację; naucz się stosować te właściwości przy rozwiązywaniu problemów.
Bądź skupiony, uważny i spostrzegawczy. Powodzenia!
3. Sprawdzenie wcześniej przestudiowanego materiału.(slajdy 1–2)
Uczniowie proszeni są o określenie tematu lekcji poprzez rozwiązanie równań
2 x =; 3 x =; 5 x = 1/125; 2 x = 1/4;
2x = 4; 3 x = 81; 7 x = 1/7; 3 x = 1/81
– Wymień nową koncepcję, z którą się zapoznamy:
| Z | M | L | G | mi | R | F | O | I | A |
| 5 | – 4 | 2/3 | – 3 | – 2/7 | 2 | – 1 | 1/2 | 4 | – 2 |
4. Wprowadzenie pojęcia logarytmu.(slajdy 3,4)
– Tematem naszej lekcji jest „Logarytm i jego własności”. Spróbuj znaleźć pierwiastek równania 2 x = 5. Możemy zapisać odpowiedź na to równanie, korzystając z nowej koncepcji. Przeczytaj tekst slajdu i zapisz pierwiastek równania.
4.1. Definicja logarytmu(slajdy 5–7)
Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a, gdzie a>0, a ≠ 1 jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać liczbę b.
1) log 10 100 = 2, ponieważ 10 2 = 100 (definicja logarytmu i właściwości stopnia),
2) log 5 5 3 = 3, ponieważ 5 3 = 5 3 (…),
3) log 4 = –1, ponieważ 4 –1 = (…).
4.2. Odniesienie historyczne(slajdy 8–11)
Z historii logarytmów.
4.3. Władca logarytmiczny
Władca, babcia komputera.
Z historii pojawienia się logarytmu
4.4. Podstawowa tożsamość logarytmiczna(slajdy 12-14)
W nagraniu b=a t numer A jest podstawą stopnia, T- wskaźnik, B- stopień. Numer T - Jest to wykładnik, do którego należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę b. Stąd, T jest logarytmem liczby B oparte na A: t=log a b.
Podstawianie w równości t=log a b wyrażenie B w postaci potęgi otrzymujemy kolejną tożsamość:
log a a t = t.
Można powiedzieć, że formuły a t = b I t=log a b są równoważne, wyrażają tę samą zależność między liczbami a, b I T(Na a>0, a 1, b>0). Numer T- arbitralnie, na wykładnik nie nakłada się żadnych ograniczeń.
Podstawienie do równości a t = b zapisanie numeru T w postaci logarytmu otrzymujemy równość tzw podstawowa tożsamość logarytmiczna
:
=b.
1) (3 2) log 3 7 = (3 log 3 7) 2 = 7 2 = 49 (potęga stopnia, podstawowa tożsamość logarytmiczna, definicja stopnia),
2) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3) 2 = 3 2 = 9 (...),
3) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5) 3 = 5 3 = 125 (...),
4) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10) 2 = 10 2 = 100 (...).
4.5 Podstawowe własności logarytmów(slajd 15)
Świetnie poradziłeś sobie z przykładami. Teraz oblicz następujące zadania zapisane na tablicy:
a) log 15 3 + log 15 5 = ...,
b) log 15 45 – log 15 3 = …,
c) log 4 8 =…,
d) 7 =… .
Jak myślisz, co musimy wiedzieć, aby wykonywać operacje na logarytmach?
Jeśli uczniowie mają trudności, zadaj pytanie: „Co musisz wiedzieć, aby wykonywać operacje na stopniach?” (Odpowiedź: „Właściwości stopnia”). Zadaj ponownie pierwotne pytanie. (Właściwości logarytmów)
Oto tabela z właściwościami logarytmów. Każdej nieruchomości należy nadać nazwę i poprawnie ją sformułować.”
Slajd 16
| № | Nazwa własności logarytmów | Własności logarytmów |
| 1. | Logarytm jednostki. | log a 1 = 0, a > 0, a 1. |
| 2. | Logarytm podstawy. | log a a = 1, a > 0, a 1. |
| 3. | Logarytm iloczynu. | log a (xy) = log a x + log a y, a > 0, a 1, x > 0, y>0. |
| 4. | Logarytm ilorazu. | log a = log a x - log a y, a > 0, a 1, x > 0, y > 0. |
| 5. | Logarytm stopnia. | log a x n = n log a x, x > 0, a > 0, a 1, nR. |
| 6. | Formuła przejścia do nowego fundamentu | a > 0, a 1, b > 0, b 1, x > 0. |
5. Generalizacja i systematyzacja wiedzy.
Slajdy 17-20
6. Praca domowa.(slajd 23)
7. Twórcze wykorzystanie wiedzy, umiejętności i zdolności.(slajdy 21 – 22)
Praca z kartami
8. Podsumowanie.
Udzielaj odpowiedzi na pytania
– Sformułuj definicję logarytmu i odpowiednio ją zapisz.
– Jakie rodzaje logarytmów istnieją? Nagraj je.
– Zapisz podstawową tożsamość logarytmiczną.
– Pochodzenie słowa „logarytm”. Kto wynalazł logarytmy, w którym roku, krótka informacja o nich?
– Kto wprowadził logarytm o podstawie e, który nazywa się logarytmem naturalnym?
– Skąd wzięła się praktyka posługiwania się logarytmami?
– Kto i kiedy wynalazł pierwszą suwak logarytmiczny, pierwszą tablicę logarytmów?
Slajd 2
Cele Lekcji:
Edukacyjne: Przejrzyj definicję logarytmu; zapoznać się z właściwościami logarytmów; naucz się stosować właściwości logarytmów podczas rozwiązywania ćwiczeń.
Slajd 3
Definicja logarytmu
Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a, gdzie a > 0 i a ≠ 1, jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b. Podstawowa tożsamość logarytmiczna alogab=b (gdzie a>0, a≠1, b>0)
Slajd 4
Historia logarytmów
Słowo logarytm pochodzi od dwóch greckich słów i jest tłumaczone jako stosunek liczb. W XVI wieku. Gwałtownie wzrosła ilość pracy związanej z przeprowadzaniem przybliżonych obliczeń przy rozwiązywaniu różnych problemów, a przede wszystkim zagadnień astronomicznych, które mają bezpośrednie zastosowanie praktyczne (przy określaniu położenia statków przez gwiazdy i Słońce). Największe problemy pojawiały się przy wykonywaniu operacji mnożenia i dzielenia. Próby częściowego uproszczenia tych operacji poprzez zredukowanie ich do dodawania nie przyniosły większego sukcesu.
Slajd 5
Logarytmy weszły w życie niezwykle szybko. Twórcy logarytmów nie ograniczyli się do opracowania nowej teorii. Powstało praktyczne narzędzie - tablice logarytmów - które znacznie zwiększyło wydajność kalkulatorów. Dodajmy, że już w 1623 r., tj. zaledwie 9 lat po opublikowaniu pierwszych tablic angielski matematyk D. Gunter wynalazł pierwszą suwak logarytmiczny, który stał się narzędziem pracy przez wiele pokoleń. Pierwsze tablice logarytmów zostały opracowane niezależnie od siebie przez szkockiego matematyka J. Napiera (1550 - 1617) i Szwajcara I. Burgi (1552 - 1632). Tablice Napiera zawierały wartości logarytmów sinusów, cosinusów i tangensów dla kątów od 0 do 900 w odstępach co 1 minutę. Burgi przygotował swoje tablice logarytmów liczbowych, lecz zostały one opublikowane w 1620 r., po opublikowaniu tablic Napiera, dlatego przeszły niezauważone. Napier Jan (1550-1617)
Slajd 6
Wynalezienie logarytmów, skracając pracę astronoma, przedłużyło jego życie. P. S. Laplace Dlatego odkrycie logarytmów, które sprowadza mnożenie i dzielenie liczb do dodawania i odejmowania ich logarytmów, wydłużyło, zdaniem Laplace'a, żywotność kalkulatorów.
Slajd 7
Właściwości stopnia
topór ay = topór +y = topór –y (x)y = topór y
Slajd 8
Oblicz:
Slajd 9
Sprawdzać:
Slajd 10
WŁAŚCIWOŚCI LOGARYTMÓW
Slajd 11
Zastosowanie badanego materiału
a) log 153 + log 155 = log 15(3 5) = log 1515 =1, b) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 c) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6, d ) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Strona. 93; Nr 290 291 - 294, 296* (nieparzyste przykłady)
Slajd 12
Znajdź drugą połowę wzoru
Slajd 13
Sprawdzać:
Slajd 14
Zadanie domowe: 1. Naucz się własności logarytmów 2. Podręcznik: § 16 s. 92-93; 3. Książka problemów: nr 290 291 296 (nawet przykłady)
Slajd 15
Kontynuuj zdanie: „Dzisiaj na lekcji nauczyłem się…” „Dzisiaj na lekcji nauczyłem się…” „Dzisiaj na lekcji nauczyłem się…” „Dzisiaj na lekcji powtórzyłem…” „Dzisiaj na lekcji wzmocniłem ...” Lekcja się skończyła!
Slajd 16
Wykorzystane podręczniki i pomoce dydaktyczne: Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy. Klasa 11: podręcznik na poziomie profilu / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov i in. - M.: Mnemosyna, 2007. Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy. 11. klasa: książka problemów na poziomie profilu / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov i in. - M.: Mnemosyne, 2007. Wykorzystana literatura metodologiczna: Mordkovich A.G. Algebra. 10-11: podręcznik metodyczny dla nauczycieli. – M.: Mnemosyne, 2000 (Kaliningrad: Amber Tale, GIPP). Matematyka. Dodatek tygodniowy do gazety „Pierwszy września”.
Temat:„Właściwości logarytmów”
Cele Lekcji:
Stworzenie warunków do osobistej samorealizacji każdego ucznia w procesie powtarzania tematu „Właściwości logarytmów”, promowanie rozwoju kompetencji informacyjnych, komunikacyjnych, edukacyjnych, refleksyjnych i chroniących zdrowie.
Cele Lekcji:
Poszerzanie wiedzy uczniów na temat logarytmów i ich wykorzystania do przekształcania wyrażeń zawierających logarytmy; zastosowanie własności logarytmów w sytuacjach niestandardowych;
Przyczyniać się do rozwoju operacji umysłowych poprzez obserwacje, porównania, zestawienia, uogólnienia, uszczegółowienia;
Promowanie rozwoju zainteresowań historią matematyki i jej praktycznym zastosowaniem oraz umiejętności matematycznych w mowie uczniów;
Rozwijanie aktywności poznawczej, poczucia odpowiedzialności, kultury komunikacji i dialogu.
Sprzęt i materiały do lekcji:prezentacja na lekcję, rzutnik multimedialny, komputer, ekran, karty zadań, materiały informacyjne, test „Przeliczanie wyrażeń logarytmicznych”
Typ lekcji: połączone
Forma lekcji: lekcja klasowa
Forma pracy: grupowy, frontalny, indywidualny.
Technologie lekcji: zorientowane na osobowość, ICT, technologie gier, technologia zróżnicowanego uczenia się.
Podczas zajęć:
Organizowanie czasu(powitanie, sprawdzenie gotowości uczniów do zajęć) .
Wyznaczanie celu.
Jako motto naszej lekcji chciałbym przyjąć wypowiedź starożytnego chińskiego filozofa
Do wiedzy prowadzą trzy ścieżki:
ścieżka refleksji jest najszlachetniejszą ścieżką,
ścieżka naśladowania jest najłatwiejszą ścieżką i
Ścieżka doświadczenia jest najbardziej gorzką ścieżką.
Konfucjusz
Więc na zajęciach będziemy odzwierciedlać, naśladować, tj. podążaj za przykładem i zdobywać doświadczenie.
Naszym celem jest podsumowanie i usystematyzowanie wiedzy zdobytej na temat „Właściwości logarytmów”
3. Praca ustna.
Chcę Cię zaprosić do rozegrania bitwy morskiej. Ja podaję literę wiersza i numer kolumny, a ty podajesz odpowiedź i szukasz odpowiedniej litery w tabeli.
Rozgrzewka „Pancernik”
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
mi
F
G
E 6, A 4, F 5, B 9, G 8, F 1, C 4, E 1, D 5 JOHN NAPPER
Sprawdzanie wyników.
John Napier – szkocki matematyk.(Slajd 3) John Napier jest właścicielem terminu „logarytm”, który przetłumaczył jako „sztuczna liczba”. Po 25 latach obliczeń opublikował swoje tablice dopiero w 1614 roku. Opublikowano je pod tytułem „Opis cudownych tablic logarytmicznych”. Profesor matematyki odwiedził Napiera. Napier był już chory, więc nie mógł ulepszyć swoich tablic, ale dał Briggsowi zalecenia dotyczące modyfikacji definicji logarytmu, przybliżając ją do współczesnej. Briggs opublikował swoje tabele w roku śmierci Napiera (). Obejmowały już logarytmy dziesiętne, a nie naturalne, i nie tylko sinusy, ale także same liczby (od 1 do 1000, po 14 cyfr). Logarytm jedności był teraz, zgodnie z oczekiwaniami, równy zero.
William Oughtred – angielski matematyk. ( Slajd 4) Znany jako wynalazca () i jeden z twórców współczesnej symboliki matematycznej. Na całym świecie suwaki logarytmiczne były szeroko stosowane do wykonywania obliczeń inżynierskich, aż do początków lat, kiedy zostały one zastąpione. Otred jest autorem kilku standardowych notacji we współczesnej matematyce oraz: Slajd 5
Pierre Laplace – francuski matematyk. ( Slajd 6) Minęło prawie czterysta lat od opublikowania pierwszych tablic logarytmicznych w 1614 roku. Znaczenie logarytmów jest trudne do przecenienia. Potrzebne są inżynierowi i astronomowi, nawigatorowi i strzelcowi, każdemu, kto musi przeprowadzać uciążliwe obliczenia. Wielki francuski matematyk i astronom Laplace ma całkowitą rację, gdy stwierdził: „Wynalezienie logarytmów, redukujące obliczenia kilkumiesięczne do pracy kilkudniowej, wydaje się podwajać życie astronomów, slajd 7”.
Aby to udowodnić, pokażemy, jak właściwości logarytmów upraszczają obliczenia. Rozwijamy elastyczność umysłową poprzez rozwiązywanie problemów.
4. Generalizacja i systematyzacja wiedzy.
W tym temacie spotykamy wiele pięknych formuł.
Ćwiczenia: Dokończ zdanie.
Na biurku:
Cóż za harmonia i piękno w nich! Ale jednocześnie nie są to tylko znaki, mają ogromne znaczenie!
W zadaniach o profilu i podstawowych poziomach egzaminu Unified State Exam wymagana jest obecność równań logarytmicznych, nierówności i uproszczenia wyrażeń logarytmicznych.
Zadania te wziąłem z wersji demonstracyjnej egzaminu Unified State Exam 2015.
Zadania na karcie.
№3.
№4.
№5.
=
Test.
TEST 1 składa się z 10 przykładów ze znajomości właściwości logarytmów. TEST 2 składa się z 5 przykładów ze znajomości własności logarytmów. Studenci wybierają poziom trudności testu.
Praca domowa.
Sofizmat
Sofistyka (od greckiego sophisma - sztuczka, wynalazek, zagadka), rozumowanie, które wydaje się poprawne, ale zawiera ukryty błąd logiczny i ma na celu nadanie pozoru prawdy fałszywemu stwierdzeniu. Zwykle sofistyka uzasadnia jakąś celową absurdalność, absurdalność lub paradoksalne stwierdzenie, które jest sprzeczne z ogólnie przyjętymi ideami.
Sugeruję analizę sofizmu logarytmicznego Slajd 18
Zacznijmy od nierówności, która niewątpliwie jest prawdziwa. Potem następuje transformacja, co również nie ulega wątpliwości.
Większa wartość odpowiada większemu logarytmowi, co oznacza
, tj.
.
Po redukcji o
, mamy 2>3.
Dyskusja, poszukiwanie błędów.
7. Podsumowanie.
Analiza przebiegu lekcji i jej głównych punktów.
Ocena aktywności każdego ucznia na lekcji.
Wyniki testu.
8. Praca domowa.
9. Ostatnie słowo nauczyciela.
Zapytano wielkiego geometry starożytnego Talesa:
- Co jesz najczęściej?
„Kosmos” – odpowiedział Tales.
-Co jest najmądrzejsze?
- Czas.
- Co jest najprzyjemniejsze?
- Osiągnij to, czego chcesz.
Już za kilka miesięcy życzenia wielu z Was się spełnią. Życzę powodzenia w realizacji tych pragnień, ale nie zapominaj, że twoje pragnienia nie spełnią się za pomocą magii. Trzeba jeszcze trochę popracować, włożyć całą energię w przygotowania do egzaminów.
Dziękuję za współpracę.
Znajdź literę wiersza i numer kolumny, znajdź odpowiedź i poszukaj odpowiedniej litery w tabeli.
E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2
Znajdź literę wiersza i numer kolumny, znajdź odpowiedź i poszukaj odpowiedniej litery w tabeli.
E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2
Znajdź literę wiersza i numer kolumny, znajdź odpowiedź i poszukaj odpowiedniej litery w tabeli.
E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2
Znajdź literę wiersza i numer kolumny, znajdź odpowiedź i poszukaj odpowiedniej litery w tabeli.
E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2
Dziennik 2,5 0,4
a) 4 b) 5 c) 6 d) 4.5
4. Oblicz: log 2 7 – log 2
a) 3 b) 4 c) 1 d) 16
5. Oblicz: 4 2log43
a) 9 b) 1 c) 6 d) 8
6. Oblicz: log 0,3 9 – 2log 0,3 10
a) 2 b) 1 c) – 2 d) 90
7. Oblicz: log 12 – log 12 9
a) 1 b) 2 c) – 2 d) 12
8. Oblicz: 2 log23 + log 7 2 – log 7 14
a) 2 b) 7 c) (2 + 2log 7 2) d) 3
9. Oblicz: log 125 5 – log √2 + log 2,5 0,4
a) 4 b) – 3,5 c) 0 d) 4/3
10. Oblicz: 6 log50,2 + log615
a) 2,5 b) 15log 5 0,2 c) 5/6 d) 15
Temat lekcji: Logarytmy i ich własności.
Cel lekcji:
- Edukacyjny– formułować pojęcie logarytmu, badać podstawowe właściwości logarytmów i przyczyniać się do kształtowania umiejętności stosowania właściwości logarytmów przy rozwiązywaniu problemów.
- Rozwojowy – rozwijać logiczne myślenie; technika obliczeniowa; umiejętność racjonalnej pracy.
- Edukacyjny – promować zainteresowanie matematyką, pielęgnować poczucie samokontroli i odpowiedzialności.
Typ lekcji : Lekcja studiowania i wstępnego utrwalania nowej wiedzy.
Sprzęt: komputer, projektor multimedialny, prezentacja „Logarity i ich własności”, materiały informacyjne.
Podręcznik: Algebra i początki analizy matematycznej, 10-11. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin i in., Edukacja, 2014.
Podczas zajęć:
1. Moment organizacyjny:sprawdzanie gotowości uczniów do zajęć.
2. Powtórzenie przerabianego materiału.
Pytania nauczyciela:
1) Zdefiniuj stopień. Jaka jest podstawa i wykładnik? (N-ty pierwiastek liczby A jest liczbą, której n-ta potęga jest równa A . 3 4 = 81.)
2) Sformułuj właściwości stopnia.
3. Studiowanie nowego tematu.
Tematem dzisiejszej lekcji są Logarytmy i ich własności (otwórzcie zeszyty i zapiszcie datę oraz temat).
Na tej lekcji zapoznamy się z pojęciem „logarytmu”, a także rozważymy właściwości logarytmów.
Zadajmy pytanie:
1) Do jakiej potęgi musisz podnieść liczbę 5, aby otrzymać 25? Jasne, że to drugie. Wykładnik, do którego należy podnieść liczbę 5, aby otrzymać 25, wynosi 2.
2) Do jakiej potęgi musisz podnieść 3, aby otrzymać 27? Jasne, że trzeci. Wykładnik, do którego należy podnieść liczbę 3, aby otrzymać 27, wynosi 3.
We wszystkich przypadkach szukaliśmy wykładnika, do którego trzeba coś podnieść, aby coś otrzymać. Wykładnik, do którego należy coś podnieść, nazywa się logarytmem i jest oznaczany przez log.
Liczba, którą podnosimy do potęgi, tj. Podstawa stopnia nazywana jest podstawą logarytmu i zapisywana jako indeks dolny. Następnie zapisuje się otrzymaną liczbę, tj. szukana liczba: log 5 25=2
Ten wpis brzmi: „Logarytm liczby 25 do podstawy 5.” Logarytm liczby 25 do podstawy 5 jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę 5, aby otrzymać liczbę 25. Ten wykładnik wynosi 2.
Spójrzmy na drugi przykład w podobny sposób.
Zdefiniujmy logarytm.
Definicja . Logarytm liczby b>0 do podstawy a>0, a ≠ 1 jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę A, aby uzyskać numer B.
Logarytm liczby b do podstawy a jest oznaczone log a b.
Historia logarytmu:
Logarytmy wprowadzili szkocki matematyk John Napier (1550-1617) i matematyk Joost Burgi (1552-1632).
Bürgi do logarytmów doszedł już wcześniej, ale swoje tablice opublikował późno (w 1620 r.), a pierwszą w 1614 r. Pojawiła się praca Napiera „Opis niesamowitej tabeli logarytmów”.
Z punktu widzenia praktyki obliczeniowej wynalazek logarytmów można bezpiecznie postawić obok innego, starszego wielkiego wynalazku - naszego dziesiętnego systemu liczbowego.
Dziesięć lat po pojawieniu się logarytmów Napiera angielski naukowiec Gunther wynalazł bardzo popularne wcześniej urządzenie liczące - suwak logarytmiczny. Pomagało astronomom i inżynierom w obliczeniach; pozwalało szybko uzyskać odpowiedź z wystarczającą dokładnością do trzech cyfr znaczących. Teraz zastąpiły go kalkulatory, ale bez suwaka logarytmicznego nie powstałyby ani pierwsze komputery, ani mikrokalkulatory.
Spójrzmy na przykłady:
log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2;
Log 5 1/125 =-3; log -2 (-8) - nie istnieje; dziennik 5 1=0; log 4 4=1
Rozważmy te przykłady:
10 . log a 1=0, a>0, a ≠ 1;
20 . log a a=1, a>0, a ≠ 1.
Te dwa wzory są właściwościami logarytmu. Można ich używać do rozwiązywania problemów.
Jak przejść od równości logarytmicznej do wykładniczej? log a b=с, с – jest to logarytm, wykładnik, do którego należy go podnieść a dostać b. Zatem a o potędze c jest równe b: a c = b.
Wyprowadźmy główną tożsamość logarytmiczną: a zaloguj się b = b. (Nauczyciel zapisuje dowód na tablicy).
Spójrzmy na przykład.
5 log 5 13 =13
Rozważmy kilka ważniejszych właściwości logarytmów.
Właściwości logarytmów:
3°. log a xy = log a x + log a y.
4°. log a x/y = log a x - log a y.
5°. log a x p = p log a x, dla dowolnego prawdziwego p.
Spójrzmy na przykład, aby sprawdzić 3 właściwości:
log 2 8 + log 2 16= log 2 8∙16= log 2 128=7
3 +4 = 7
Spójrzmy na przykład sprawdzania właściwości 5:
3 ∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9
3∙3 = 9
4. Mocowanie.
Ćwiczenie 1. Nazwij właściwość obowiązującą przy obliczaniu poniższych logarytmów i oblicz (ustnie):
- log 6 6
- log 0,5 1
- log 6 3+ log 6 2
- log 3 6- log 3 2
- log 4 4 8
Zadanie 2.
Oto 8 rozwiązanych przykładów, z których niektóre są poprawne, a inne z błędami. Znajdź poprawną równość (podaj jej numer), w pozostałych popraw błędy.
- log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
- log 5 5 3 = 2;
- log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
- 3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
- log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
- 2∙log 5 6 = log 5 12
- 3∙log 2 3 = log 2 27
- log 2 16 2 = 8.
Temat lekcji: „Logarity. Własności logarytmów”.
Cel lekcji: Powtórz, utrwal wiedzę z materiału teoretycznego na ten temat. Kontynuuj rozwijanie praktycznych umiejętności rozwiązywania problemów. Sprawdź wiedzę uczniów na ten temat.
Typ lekcji: Lekcja - konsolidacja.
Sprzęt: Karty zadań do pracy ustnej, karty do dwóch opcji z zadaniami testowymi, plakaty z właściwościami logarytmów, plakat „Wynalazek logarytmów, skracając pracę astronoma, przedłużył jego życie” P.S. Laplace'a.
Podczas zajęć
1. Moment organizacyjny.
2. Ankieta teoretyczna:
Jaki jest logarytm liczby dodatniej b mającej podstawę a?
Jak nazywa się czynność znajdowania logarytmu liczby?
- Zapisz podstawową tożsamość logarytmiczną.
Czym jest log a równy?
Ile wynosi log a 1?
Sformułuj właściwości: log a (b. c), .
3. Praca ustna.
1) Oblicz korzystając z definicji logarytmu:
log 2 8; log 4 16; 
;
2) Oblicz korzystając z podstawowej tożsamości logarytmicznej:
.
3) Znajdź wartość wyrażenia, korzystając z właściwości logarytmów: 
4) Rozwiąż równanie:
5) Dowiedz się, przy jakich wartościach x wyrażenie ma sens:
4. Pracuj zgodnie z podręcznikiem.
nr 284 ust. 3. Dowiedz się, przy jakich wartościach x wyrażenie ma sens:
.
Ponieważ 
wtedy logarytm istnieje przy x 3 +x 2 -6x0.
Rozwiążmy nierówność metodą przedziałową:
Odpowiedź: Ten logarytm istnieje w punkcie -3xx0.
nr 286 ust. 1. Rozwiązać równanie 
Oznaczmy 7 x =t, t0 i otrzymamy
t 2 +t-12=0, t 1 =-4 nie spełnia warunków zadania.
t 2 =3, 7 x =3 stąd 
.
Odpowiedź: .
nr 298 ust. 1. Oblicz: .
Zadanie dodatkowe: nr 300(1).
Wyraź w kategoriach a i b: 
, Jeśli
stąd 
.
Odpowiedź: 2(a+b-1).
5. Strona historyczna o logarytmach.
Wynalazek logarytmów, ich nazwa i pierwsze tablice logarytmów należą do szkockiego miłośnika matematyki Johna Napiera (1550-1617), choć wcześniej pierwsze tablice logarytmów sporządzał także miłośnik matematyki – zegarmistrz i mistrz astronomii instrumenty, Szwajcar I. Burgi (1552-1632). Jednak tablice Burgiego zostały opublikowane w 1620 r., a tablice Napiera w 1614 r. Ci utalentowani ludzie zajmowali się obliczaniem tablic logarytmicznych równolegle, ale niezależnie od siebie.
Spośród różnych systemów logarytmów dwa są godne uwagi: logarytmy o podstawie niewymiernej e≈2,7, nazywane naturalnymi, oraz logarytmy o podstawie 10, zwane dziesiętnymi. Termin „logarytmy naturalne” wprowadził P. Mengolli w 1659 r. Obecnie przyjęta definicja logarytmu podana jest w pracach L. Eulera.
W 1620 r Anglik John Speidel opublikował „Nowe logarytmy”, które zawierały logarytmy naturalne liczb od 1 do 1000. W 1624 r. Profesor Henry Briggs opublikował w 1628 roku czterocyfrowe logarytmy dziesiętne w arytmetyce logarytmicznej, które zawierały liczby całkowite od 1 do 20 000. Holenderski matematyk Andrian Vlakk uzupełnił prace Napiera i Briggsa - opublikował tablice dziesiętne liczb całkowitych od 1 do 100 000.
Na podstawie tych tablic w 1703 r. W Rosji ukazały się „Tabele logarytmów” Leonty’ego Magnickiego.
Tablice logarytmiczne i suwak logarytmiczny, skonstruowane na ich podstawie przez Oughtreda (1574-1660), przez ponad 350 lat pozostawały niezawodnym narzędziem do przybliżonych, ale szybkich obliczeń.
6. Samodzielna praca.
Test „Logarity. Właściwości logarytmów” na 2 opcje.
| Opcja 1. 1. Oblicz:
a)1 b)2 c)3 d)4 Oblicz:
a) -1 b) 1 c) 0 d) 2 3. Rozwiąż równanie:
a) 1 b) c) 4. Oblicz: a)0,5 b)-0,5 c) 1,5 d)1,5 5. Znajdź a)3a+2b b)2a+3b c)a-b d)a+b 6. Oblicz:
| Opcja 2. 1. Oblicz:
a)2 b)3 c)1 d)4 Oblicz:
a) 2 b) 16 c) 14 d) 3 3. Rozwiąż równanie:
a) b)3 c) 1d) 4. Oblicz: a)1,5 b)1 c) -1,5 d)-1 5. Znajdź a)3a+2b b)2a+3b c)a-b d)a+b 6. Oblicz:
BC) |
G) 
, Jeśli
, Jeśli
G)| Praca nie. | ||||||
| Opcja I | ||||||
| Opcja II |
7. Podsumowanie lekcji.
Zadanie domowe: s. 15-s. 16, nr 284(4), 286(4), 298(4)
Literatura.
Algebra i początki analizy 10-11. Sh.A. Alimov.
Materiały dydaktyczne dotyczące algebry i zasad analizy. B.M. Ivlev i inni 1991
Materiały dydaktyczne dotyczące algebry i zasad analizy. klasa 10-11. L.O. Denishcheva i inni. 1996
Historia matematyki w szkole. G.I. Glazer. 1983