이 세트에는 공통 요소가 있습니까? 집합론의 요소. 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합

세트의 개념은 주요 개념 중 하나입니다. 수학적 개념. 이는 정의할 수 없는 개념이며 예를 통해서만 설명하거나 설명할 수 있습니다. 따라서 우리는 라틴 알파벳 문자 집합, 특정 도서관의 모든 책 집합, 특정 그룹의 학생 집합, 주어진 줄의 모든 점 집합에 대해 이야기할 수 있습니다. 세트를 정의하려면 요소를 나열하거나 지정하십시오. 특성요소의 속성, 즉 주어진 세트의 모든 요소가 소유하고 있는 속성입니다.

정의 1.1.특정 세트를 구성하는 항목(객체)을 해당 세트라고 합니다. 강요.

집합을 라틴 대문자로 표시하는 것이 관례이며, 집합의 요소는 다음과 같습니다. 소문자. 무엇 엑스세트의 요소입니다 에이, 다음과 같이 작성됩니다. ×A(엑스속한다 에이). 녹음 유형 ×A(×A)는 다음을 의미합니다. 엑스속하지 않는다 에이, 즉. 세트의 요소가 아닙니다. 에이.

집합의 요소는 일반적으로 중괄호로 작성됩니다. 예를 들어, 에이 -라틴 알파벳의 처음 세 글자로 구성된 집합은 다음과 같이 작성됩니다. A={알파벳} .

집합에는 무한히 많은 요소가 포함될 수 있습니다(선 위의 점 집합, 집합 자연수), 유한한 수의 요소(학급에 있는 학생 세트) 또는 요소가 전혀 포함되지 않은 경우(빈 교실에 있는 학생 세트)입니다.

정의 1.2.단일 원소를 포함하지 않는 집합을 집합이라고 합니다. 빈 세트, Ø로 표시됩니다.

정의 1.3.많은 에이~라고 불리는 하위 집합세트 비, 세트의 각 요소가 에이다수에 속한다 비. 이것은 표시됩니다 A B(에이 -하위 집합 비).

빈 집합은 모든 집합의 부분 집합으로 간주됩니다. 세트인 경우 에이집합의 부분집합이 아니다 비, 그런 다음 그들은 쓴다 A B.

정의 1.4. 2개 세트 에이그리고 비~라고 불리는 동일한, 서로의 하위 집합인 경우. 가리키다 A = B.이는 다음을 의미합니다. ×A, 저것 xB그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 만약 그리고 , 그러면 .

정의 1.5.교차로세트 에이그리고 비세트를 부르다 중, 그 요소는 동시에 두 세트의 요소입니다. 에이그리고 비.가리키다 M=A 비.저것들. ×A 비, 저것 ×A그리고 xB.

적어보세요 에이 비={엑스 | ×A그리고 xB). (노조 대신 그리고 -기호 , &).

정의 1.6.만약에 에이 비=Ø, 그러면 그들은 세트가 에이그리고 B 교차하지 마십시오.

마찬가지로 3, 4 및 유한 개수의 세트의 교집합을 정의할 수 있습니다.

정의 1.7.협회세트 에이그리고 비세트를 부르다 중, 그 요소는 이러한 세트 중 하나 이상에 속합니다. M=A 비.저것. 에이 비={엑스 | ×A또는 xB). (노조 대신 또는 -기호가 배치되어 있습니다).

세트는 비슷하게 정의됩니다 A 1 A 2 … 앤 .이는 요소로 구성되며 각 요소는 집합 중 적어도 하나에 속합니다. A 1,A 2,…,앤(한 번에 여러 개일 수도 있음) .

예제 1.8. 1) 만일 A=(1;2;3;4;5) 및 비=(1;3;5;7;9), 그런 다음 에이 비=(1;3;5) 그리고 에이 비={1;2;3;4;5;7;9}.

2) 만일 A=(2;4) 그리고 비=(3;7), 그런 다음 에이 비=Ø 및 에이 비={2;3;4;7}.

3) 만일 A=(여름철) 및 비=(30일이 있는 달) 에이 비=(6월) 그리고 에이 비=(4월, 6월, 7월, 8월, 9월, 11월).

정의 1.9.자연스러운숫자 1,2,3,4,...가 호출되며 개체 수를 세는 데 사용됩니다.

자연수의 집합은 N, N=(1;2;3;4;…;n;…)으로 표시됩니다. 무한하며 가장 작은 요소 1이 있고 가장 큰 요소는 없습니다.

예제 1.10. 에이– 숫자 40의 자연제수 집합. 이 집합의 요소를 나열하세요. 5번이 사실인가요? A, 10A, -8A, 4A, 0A, 0A.

에이= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)

예제 1.11.특성 속성으로 정의된 집합의 요소를 나열합니다.

집합은 수학의 기본 개념이므로 다른 개념을 통해 정의되지 않습니다.

일반적으로 집합은 공통된 특성으로 결합된 개체의 모음으로 이해됩니다. 그래서 우리는 그룹의 많은 학생들, 러시아 알파벳의 많은 글자 등에 대해 이야기할 수 있습니다. 일상생활에서는 '세트'라는 단어 대신 '세트', '컬렉션', '그룹' 등의 단어가 사용된다. 세트는 일반적으로 라틴 알파벳의 대문자로 표시됩니다. 에이, 안에, 와 함께, ..., 지.

수학의 숫자 집합에는 특별한 표기법이 채택됩니다.

N– 자연수의 집합;

N 0 – 음수가 아닌 정수의 집합;

지– 정수 세트;

큐– 유리수 세트;

아르 자형– 실수 집합.

집합을 구성하는 객체를 해당 요소라고 합니다. 예를 들어, 9월은 해당 연도의 월 집합 요소이고, 숫자 5는 자연수 집합의 요소입니다. 집합의 요소는 일반적으로 라틴 알파벳의 소문자로 표시됩니다. 집합의 요소는 집합일 수 있습니다. 이것은 연구소의 많은 그룹에 대해 말할 수 있습니다. 이 집합의 요소는 그룹이며, 이는 다시 학생 집합입니다.

집합과 그 요소 사이의 연결은 "속하다"라는 단어를 사용하여 표현됩니다. "요소 에이세트에 속해요 에이"는 다음과 같이 쓰여 있습니다. 에이  에이, 이 항목은 다르게 읽을 수 있습니다: “ 에이– 세트의 요소 에이", "많은 에이요소를 포함합니다 에이" 에이"요소 에이"는 다음과 같이 쓰여 있습니다. 에이  에이세트에 속하지 않습니다 에이(그렇지 않으면: " 에이", "많은 에이세트의 요소가 아닙니다. 에이»).

일상 대화에서 "많은"이라는 단어가 연관되어 있다면 많은 수과목이라면 수학에서는 이것이 필요하지 않습니다. 세트는 하나의 요소를 포함할 수도 있고 어떤 요소도 포함하지 않을 수도 있습니다.

단일 원소를 포함하지 않는 집합을 빈 집합이라고 하며 기호 로 표시합니다. 빈 세트가 하나만 있습니다. 공집합의 예로는 방정식의 자연근 집합인 태양 위의 사람들의 집합이 있습니다. 엑스+ 8 = 0.

집합은 유한할 수도 있고 무한할 수도 있습니다.

자연수가 있으면 집합을 유한이라고 합니다. N, 세트의 모든 요소에 1부터 번호를 매길 수 있습니다. N. 그렇지 않으면 집합을 무한이라고 합니다. 유한 집합의 예로는 숫자 집합이 있고, 무한 집합의 예로는 자연수 집합이 있습니다.

§ 2. 집합을 정의하는 방법

어떤 객체에 대해 그것이 이 집합에 속하는지 또는 속하지 않는지 말할 수 있는 경우 집합은 주어진 것으로 간주됩니다.

세트는 모든 요소를 ​​나열하여 정의할 수 있습니다. 기록 와 함께= (a, b, c, d)는 다음 집합을 의미합니다. 와 함께요소 a, b, c, d를 포함합니다.

각 요소는 세트에 한 번만 나타납니다. 예를 들어, "mathematics"라는 단어의 다양한 문자는 (m, a, t, e, i, k)와 같이 작성됩니다.

이 방법은 적은 수의 요소를 포함하는 유한 집합에 적용할 수 있습니다.

경우에 따라 이 방법을 사용하여 무한 집합을 지정할 수 있습니다. 예를 들어, 자연수 집합은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. N= (1, 2, 3, 4, ...). 이 녹음 방법은 줄임표 아래 숨겨진 세트의 녹음 부분이 분명한 경우에만 가능합니다.

집합을 정의하는 또 다른 방법은 다음과 같습니다. 해당 요소의 특징적인 속성을 나타냅니다. 특징적 속성은 집합에 속한 모든 요소가 갖고 있는 속성이며, 집합에 속하지 않은 요소는 갖지 않는 속성입니다.

요소의 서로 다른 특징적인 속성을 나타냄으로써 동일한 집합을 정의할 수 있습니다. 예를 들어, 많은 두 자리 숫자, 11로 나누어지는 , 그리고 두 개의 동일한 숫자로 쓰여진 처음 100개의 자연수 집합은 동일한 요소를 포함합니다.

이 지정 방법을 사용하면 집합을 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 먼저 중괄호 안에 요소의 지정을 쓴 다음 수직선을 그린 다음 이 집합의 요소가 갖는 속성을 기록합니다. 예를 들어, 많은 에이 5보다 작은 자연수는 다음과 같이 쓰여집니다. 에이 = {엑스 엑스N, 엑스 < 5}.

수업: 2

수업 프레젠테이션

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목표:

1. "세트"의 개념을 소개합니다.
2. "집합의 요소"라는 개념을 소개합니다.
3. 요소가 집합에 속하는지 확인하는 방법을 알아보세요.

예비 준비:

1. 공을 가져오세요.
2. 일반적인 이름을 가진 물건을 묘사하는 사진을 가져오세요(어린이 로또 카드를 사용할 수 있습니다).

수업 진행

여러분, 오늘 수업에서 우리는 "집합"이 무엇인지, "집합의 요소"가 무엇인지 배울 것입니다!

칠판에 가방이 그려져 있어요. 지금은 비어 있습니다. 당신이 알고 있는 동물들을 그 안에 모아보자.

게임:

교사는 공을 들고 학급 안을 돌아다니며 학생에게 공을 던지고, 학생은 재빨리 동물의 이름을 지정해야 합니다.

이제 이름이 지정된 동물을 모두 가방에 모아 보겠습니다.

아이들은 기억하고, 교사는 게임에 나오는 모든 동물의 이름을 칠판에 적습니다(또는 자석이 있는 카드를 사용합니다).

가방 안에 동물이 많이 들어있나요?

수학에서는 공통의 이름을 갖고 함께 모아진 이러한 물체(또는 생명체)의 그룹을 호출합니다. "많은" "다중"은 MUCH라는 단어에서 유래되었습니다. (슬라이드 3.4)

세트에 이름을 지정해 보세요.

“무리의 이름을 말하라”:

교사는 동질적인 물체가 포함된 그림을 보여줍니다. 아이들은 이 세트에 물고기, 새, 식물, 책 등의 이름을 지정해야 합니다.

이것 많은 물고기. (슬라이드 5)

이것 많은 새들. (슬라이드 6)

노트북에서 작업 1번을 완료해 보겠습니다.

작업 번호 1. (슬라이드 7)

학생들은 제안된 세트의 이름을 지정하고 서명해야 합니다.

많은: 접시, 동물, 신발, 장난감, 목욕용품, 그림용품.

이제 놀자.

게임 "세트 이름 지정" (슬라이드 8,9,10)

교사는 여러 가지 물건을 나열하고 학생들은 이 세트의 이름을 정합니다.

드레스, 바지, 모피 코트, 스커트, 재킷, 재킷... - 옷감.

(- 옷장, 의자, 테이블, 소파, 침대 옆 탁자... - 가구.)

자작나무, 소나무, 가문비나무, 포플러, 참나무, 버드나무... - 나무.

(- 모스크바, 오데사, 런던, 파리, 상트페테르부르크... - 도시.)

잠자리, 메뚜기, 나비, 파리, 벌... - 곤충.

게임이 끝나면 보드에 또 다른 가방이 나타납니다. 여기에는 아이템 이름이 나열되어 있지만 공통 이름은 없습니다. 아이들이 스스로 생각해 내야합니다. 예를 들어 부츠, 펠트 부츠, 운동화, 부츠, 슬리퍼.

이것 많은 신발.

이 세트의 모든 개체가 호출됩니다. 이 세트의 요소. (슬라이드 11,12)

2번 작업을 완료해 보겠습니다.

작업 번호 2 .(슬라이드 13)

각 그림에 대한 작업을 완료할 때 각 추천 단어를 확인해야 합니다.

소 떼가 초원에서 풀을 뜯고 있다고 말할 수 있나요?

소 떼는 어떻습니까?

그리고 소 꽃다발?

이는 초원에서 방목하는 소의 경우 "무리"라는 단어만 적합하다는 것을 의미합니다.

마찬가지로 나머지 사진에 대해서도 가능한 옵션을 정리하고 적절한 단어를 선택합니다.

따라서 일부 개체 그룹에는 이러한 그룹의 이름을 지정하는 특정 단어가 있습니다(예: "소 떼"). 하지만 더 이상 '소 떼'라고 말할 수는 없습니다. 그러나 함께 모인 개체 그룹은 "세트"라고 부를 수 있습니다. 많은 소, 많은 물고기, 많은 꽃입니다.

이제 다시 플레이하겠습니다. 플레이하려면 손바닥이 필요합니다.

게임 "이상한 것을 찾아보세요" (슬라이드 14,15,16)

교사는 세트의 이름을 지정하고 해당 요소를 나열하기 시작합니다. 명명된 개체가 해당 세트의 요소가 아닌 경우 학생들은 손뼉을 쳐야 합니다.

우리는 공원을 산책하며 본다. 나무 : 자작나무, 참나무, 장미 (면),포플러, 소나무, 카모마일 (면),가문비, 라일락 (면)…

우리는 가게에 가서 구매합니다 채소 : 토마토, 감자, 오렌지 (면),당근, 소시지 (면),오이, 사탕무, 사과(면)…

체육관에서 우리는 본다 스포츠 용품 : 공, 스키, 덤벨, 의자(면),테니스 라켓, 빗 (면),홍어, 의자(면)…

우리는 노트북에서 작업을 완료합니다.

작업 번호 3 . (슬라이드 17)

학생들은 다른 많은 물건의 이름을 지정하는 것을 방해하는 물건을 식별해야 합니다.

새장 안에는 많은 새들이 있는데, 그중에서도 토끼가 특이해요.

작업 번호 4 . (슬라이드 18)

이전과 비슷합니다.

Dunno는 왜 원을 지웠습니까?

다른 모든 물체에는 모서리가 있기 때문입니다.

그리고 원을 초기 세트에 남겨두면 불필요한 다른 그림은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

회색 그림과 같은 직사각형은 불필요할 수 있습니다.

작업 번호 5 . (슬라이드 19)

주어진 세트에서 아이들은 이름이 지정된 세트의 요소인 야채와 과일을 식별해야 합니다. 각 항목을 검사합니다. 야채인 경우 한 줄로 밑줄을 긋고, 과일인 경우 두 줄로 밑줄을 긋습니다. 위의 세트에 포함되지 않은 항목은 강조할 필요가 없습니다.

그런 다음 결과 세트를 모두 큰 소리로 나열해야 합니다.

많은 야채: 감자, 사탕무, 당근, 오이, 토마토, 호박.

많은 과일: 배, 사과, 오렌지, 레몬, 파인애플.

강조하지 않음: 버터, 빵, 소시지, 치즈, 공.

작업 번호 6 . (슬라이드 20)

이 과제에서 가장 중요한 것은 학생이 자신이 식별한 세트의 이름을 지정하고 해당 요소를 나열할 수 있다는 것입니다.

많은 악기: 트럼펫, 바이올린, 기타, 아코디언, 드럼.

다양한 스포츠 장비: 덤벨, 공, 스케이트, 라켓.

다양한 건설 도구: 톱, 펜치, 드라이버.

그리고 우리는 다시 플레이합니다. 여기에는 귀하의 지식이 필요합니다.

게임 "행 계속":

교사는 여러 가지 물건을 나열하고 학생들은 나열된 물건에서 세트의 이름을 추측하여 자신의 요소로 계속 이어갑니다.

각 단계가 끝나면 나열된 내용을 요약하는 것이 중요합니다. 세트에 이름을 지어주세요.

• russula, 파리 agaric, 꿀 곰팡이...(boletus, boletus, chanterelle) - 이것은... 많은 버섯입니다.
• 여우, 곰, 코끼리, 하마...(늑대, 토끼, 호랑이, 코뿔소) - 이것은...많은 동물들입니다
• 잠자리, 나비, 메뚜기...(딱정벌레, 모기, 벌, 파리) - 이것은... 다양한 곤충입니다.
• 베레모, 모자, 파나마 모자...(스카프, 모자, 모자) - 이것은... 많은 모자입니다
• 강꼬치, 농어, 메기, 바퀴벌레...(상어, 붕어, 도미) - 이건... 물고기가 많아요

작업 번호 7 . (슬라이드 21)

아이들은 스스로 그것을합니다. 1~2명의 학생에게 답변을 말하도록 요청할 수 있습니다.

튤립을 다 그렸거든요... 색깔이 많아요.

여러분, 여러분이 알고 있는 도시의 이름을 말해보세요. (아이들은 도시의 이름을 나열합니다.)

볼가를 도시라고 부를 수 있습니까?

아니요, 강이에요.

러시아를 도시라고 부를 수 있습니까?

아니요, 이것은 국가입니다.

작업 번호 8 . (슬라이드 22)

독립적으로 수행됩니다.

작업 번호 9 . (슬라이드 23)

학생들은 세 가지 항목(옷, 물고기, 나무)의 각 열에 이름을 지정해야 합니다. 그 후 참나무"trees"라는 열에 입력해야 합니다. 그는 나무입니다.

다른 과목도 같은 방식으로 검사됩니다. 농어, 도미- "물고기", 치마- "옷감".

강의 요약:

그래서 오늘 수업에서 우리는 "세트"와 "세트의 요소"와 같은 개념에 대해 알게되었습니다. 우리는 집합을 결정하는 방법과 주어진 집합에 있는 요소의 구성원을 결정하는 방법을 배웠습니다.

작업 카드 (슬라이드 24-30)

학생들에게는 두 가지 옵션에 대한 테스트 형태의 과제가 포함된 카드가 제공됩니다. 새로운 물질의 동화 정도를 확인합니다.

옵션 1:

옵션 2:

숙제:(슬라이드 31)

아이들은 공통 이름이 있는 물건 세트를 그리고 그림 아래에 이름을 적어야 합니다.

문학:

1. 2학년 교사를 위한 방법론적 권장사항, A.V. Goryachev, K.I. Suvorova.
2. 게임 및 작업의 컴퓨터 과학, 2학년, 2부. A.V. Goryachev, K.I. Gorina, N.I.
3. 컴퓨터 과학 시험, 2학년, O.N.

수학적 분석은 무한함수라는 개념을 바탕으로 함수 연구를 다루는 수학의 한 분야입니다.

기본 개념 수학적 분석~이다 크기, 집합, 함수, 무한 작은 기능, 한계, 미분, 적분.

크기숫자로 측정하고 표현할 수 있는 모든 것을 숫자라고 합니다.

많은몇 가지 공통된 기능으로 통합된 일부 요소의 모음입니다. 집합의 요소는 숫자, 그림, 사물, 개념 등이 될 수 있습니다.

집합은 대문자로 표시되고, 집합의 요소는 소문자로 표시됩니다. 집합의 요소는 중괄호로 묶입니다.

요소라면 엑스세트에 속해요 엑스, 그런 다음 쓰세요 엑스∈엑스 (∈ - 속함).
세트 A가 세트 B의 일부인 경우 다음을 작성하십시오. A ⊂ B (⊂ - 포함).

집합은 열거형과 정의 속성을 사용하는 두 가지 방법 중 하나로 정의할 수 있습니다.

• A=(1,2,3,5,7) - 숫자 집합
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - 일부 요소 x 1 ,x 2 ,...,x n 의 집합
• N=(1,2,...,n) — 자연수 집합
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — 정수 세트

집합 (-무한대;+무한대)이 호출됩니다. 수직선, 모든 숫자는 이 선의 한 점입니다. a를 수직선 상의 임의의 점으로 하고 δ를 양수로 놓습니다. 간격(a-δ; a+δ)은 다음과 같습니다. 점 a의 δ-이웃.

임의의 x ∈ X에 대해 부등식 x≤с (x≥c)가 유지되는 숫자 c가 있는 경우 집합 X는 위에서(아래에서) 제한됩니다. 이 경우 숫자 c를 호출합니다. 상단(하단) 가장자리집합 X. 위와 아래 모두에 경계가 있는 집합을 호출합니다. 제한된. 세트의 위쪽(아래쪽) 면 중 가장 작은(가장 큰) 면을 호출합니다. 정확한 상단(하단) 가장자리이 무리 중.

기본 숫자 세트

집합에 단일 요소가 포함되어 있지 않으면 집합이라고 합니다. 빈 세트그리고 기록된다 Ø .

논리적 상징의 요소

표기법 ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

수량자는 수학 표현식을 작성할 때 자주 사용됩니다.

수량자그 뒤에 오는 요소를 정량적으로 특성화하는 논리적 기호라고 합니다.

• ∀- 일반 수량자, "모든 사람을 위해", "누구나"라는 단어 대신 사용됩니다.
• ∃- 존재 수량자, "존재하다", "사용 가능하다"라는 단어 대신 사용됩니다. 기호 조합 ∃!도 사용되며 이는 하나만 있는 것처럼 읽습니다.

연산 집합

둘 세트 A와 B는 동일합니다.(A=B) 동일한 요소로 구성된 경우.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2)이면 A=B입니다.

유니온별(합계)집합 A와 B는 요소가 이 집합 중 적어도 하나에 속하는 집합 A ∪ B입니다.
예를 들어 A=(1,2,4), B=(3,4,5,6)이면 A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)입니다.

교차점별(제품)집합 A와 B를 집합 A ∩ B라고 하며, 그 원소들은 집합 A와 집합 B에 모두 속합니다.
예를 들어, A=(1,2,4), B=(3,4,5,2)이면 A ∩ B = (2,4)입니다.

차이로집합 A와 B를 집합 AB라고 하며, 그 원소들은 집합 A에 속하지만 집합 B에는 속하지 않습니다.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,4,5)이면 AB = (1,2)입니다.

대칭적 차이집합 A와 B를 집합 A Δ B라고 하며, 이는 집합 AB와 BA의 차이의 합집합, 즉 A Δ B = (AB) ∪ (BA)입니다.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6)이면 A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

집합 연산의 속성

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합

두 집합 A와 B를 비교하기 위해 해당 요소 간에 대응 관계가 설정됩니다.

이 대응이 일대일이면 집합을 등가 또는 동일 강력, A B 또는 B A라고 합니다.

변 BC의 점 집합과 삼각형 ABC의 빗변 AC는 동일한 거듭제곱을 갖습니다.

여기서 전면에 떠오르는 것은 바로 우리가 지금까지 거의 제쳐두었던 것, 즉 동일한 카디널리티 세트에 존재하는 순서 관계가 이러한 세트를 어떻게 구별하는지에 대한 질문입니다. 결국, 우리가 지금까지 가정했던 가장 일반적인 형태의 일대일 매핑은 이러한 모든 관계를 위반했습니다. 사각형을 세그먼트에 매핑하는 것을 기억하세요! 나는 특히 집합론의 두 번째 부분의 중요성을 강조하고 싶습니다. 결국, 이 가르침은 새롭고 보다 일반적인 개념의 도입을 통해 수학에서 오랫동안 사용되어 온 차이점을 제거하는 것을 목표로 할 수 없습니다. 오히려 이 가르침은 일반적인 개념의 도움을 받아 이러한 차이점을 가장 깊은 본질에서 인식하는 데 도움이 될 수 있고 또 그래야 합니다.

셀 수 있는 집합의 서수 유형입니다.

이제 우리의 목적은 잘 알려진 예를 통해 집합의 요소가 특정 순서로 배열될 수 있는 다양한 개념을 설명하는 것입니다. 셀 수 있는 집합으로 시작한다면, 우리는 그러한 집합의 요소 배열에 대한 완전히 다른 세 가지 예를 이미 알고 있습니다. 서로 너무 다르기 때문에 우리가 본 것처럼 카디널리티의 평등이 특별하고 어떤 경우에도 자명하지 않은 것으로 구성됩니다. 정리; 이는 다음 세트입니다:

1) 자연수의 집합;

2) 모든 (음수 및 양수) 정수의 집합;

3) 모든 유리수 집합과 모든 대수 집합.

이 세 집합의 요소 배열은 하나의 공통 속성을 가지며, 이로 인해 집합의 선형 순서라고 합니다. 이 속성은 다음과 같습니다. 두 요소 중 하나가 항상 다른 요소보다 앞에 옵니다. 즉, 대수적으로 표현하면 어떤 요소가 더 작고 더 큰지 항상 알 수 있으며, 더 나아가 세 요소 a, b, c 중 요소 a가 요소 b보다 앞에 있고 요소 b가 요소 c보다 앞에 있으면 a가 항상 요소 c보다 앞에 옵니다(만약 이면

그러나 반면에 고려된 예에는 다음과 같은 특징적인 차이가 있습니다. 첫 번째 세트에는 다른 모든 요소보다 앞에 있는 첫 번째 요소(0)가 있지만 다른 모든 요소 뒤에 오는 마지막 요소는 없습니다. 두 번째 세트에는 첫 번째 요소도 마지막 요소도 없습니다. 하지만 이 두 세트 모두 공통점이 있습니다. 즉, 모든 요소 바로 뒤에는 가장 가까운 특정 요소가 오고, 모든 요소 바로 앞에는 특정 다른 요소가 옵니다.

대조적으로, 세 번째 집합은 위에서 본 것처럼 항상 두 요소 사이에 무한히 많은 다른 요소를 가지고 있습니다. 우리는 집합의 이러한 속성을 "모든 곳의 밀집 집합"이라는 용어로 표시했습니다. 따라서 특히 a와 b 사이에 있는 모든 유리수 또는 대수 중에서 이러한 숫자 자체를 제외하면 가장 작은 것도 가장 큰 것도 없습니다. 숫자. 따라서 이 세 집합의 요소를 배열하는 방식, 즉 순서형은 집합 자체는 동일한 카디널리티를 가지더라도 서로 다릅니다. 우리는 이것과 연결할 수 있습니다 - 그리고 이것은 실제로 집합 이론의 대표자들에 의해 수행됩니다 - 일반적으로 가능한 모든 순서 유형의 셀 수 있는 집합에 대한 질문입니다.

연속체의 연속성. 이제 연속체 전력 세트를 고려해 보겠습니다. 여기서 우리는 선형 순서를 갖는 하나의 집합, 즉 모든 실수의 연속체를 알고 있습니다. 그러나 이와 함께 2차원 및 다차원의 경우 "선형"이라고 부르는 것과는 다른 요소 배열을 가진 집합의 예가 있습니다. 따라서 집합의 경우 두 점의 상대적 위치를 결정하려면 하나가 아닌 부등식 유형의 두 관계가 필요합니다.

여기서는 1차원 연속체의 연속성 개념을 분석하는 것이 가장 중요합니다. 이 개념이 실제로 집합에 내재된 순서의 단순한 속성에만 기초하고 있다는 발견은 기본 수학적 개념을 설명하는 데 있어서 집합론의 첫 번째 놀라운 장점입니다. 즉, 연속체 줄기의 모든 속성이 후자가 다음 두 가지 속성을 갖는 선형 집합이라는 사실에서 비롯됩니다.

1. 집합을 A, B의 두 부분으로 나누지만 모든 요소가 이 부분 중 하나에 속하고 A 부분에 포함된 모든 요소가 B 부분의 모든 요소보다 우선하는 방식으로 나누면 다음 중 하나입니다. A에는 마지막 요소가 있고 B에는 첫 번째 요소가 있습니다.

무리수에 대한 데데킨트의 정의를 떠올려 보면 이 속성을 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 집합의 모든 "섹션"은 해당 요소 중 하나에 의해 생성됩니다.

2. 집합의 두 요소 사이에는 무한히 많은 다른 요소가 있습니다.

이 두 번째 속성은 연속체뿐만 아니라 모든 유리수의 셀 수 있는 집합도 소유합니다. 첫 번째 속성은 이러한 순서 집합 간의 중요한 차이를 나타냅니다. 이 두 가지 속성을 모두 갖는 선형 순서 집합은 연속성으로 인해 연속체를 유지하는 모든 정리를 증명하는 것이 실제로 가능하기 때문에 집합 이론에서는 연속 집합이라고 합니다.

나는 또한 이러한 연속성의 속성이 소위 "기본" 칸토어 급수를 기반으로 다소 다르게 공식화될 수도 있다는 점을 지적하고 싶습니다. 주 계열은 세트 자체에서 또는 세트의 일부 요소 a가 주 계열의 첫 번째 경우에 다음과 같은 경우 주 계열의 극한 요소라고 불리는 주어진 세트의 요소의 셀 수 있는 시퀀스입니다. 항상 주어진 세트에 있는 임의의 요소보다 큰 요소가 a까지 있지만 요소가 전혀 없습니다. bblpih 두 번째 경우에서 제한 요소 뒤에 위치한 적어도 하나의 요소는 유사하게 결정됩니다. 집합이 그 구성에 포함된 모든 기본 계열이 극한 요소에 해당하는 속성을 갖는 경우, 반대로 집합의 모든 요소가 집합으로부터 격리된 일부 기본 계열의 극한 요소인 경우 해당 집합을 닫힌 집합이라고 합니다. 그런 다음 세트를 밀도라고 합니다. 연속체의 힘을 갖는 집합의 연속성은 본질적으로 이 두 가지 속성의 조합으로 구성됩니다.

그 과정에서 미적분과 적분에 대해 이야기할 때 우리는 또 다른 연속체, 즉 연속체에 대해서도 이야기했다는 점을 여기서 상기시키고 싶습니다.

베로네세는 실제로 무한히 작은 양을 추가하여 일반적인 연속체에서 발생합니다. 이런 방식으로 선형 순서 집합을 얻을 수도 있지만, 그럼에도 불구하고 이 연속체는 물론 일반적인 연속체와는 완전히 다른 유형의 배열을 갖습니다. 모든 기본 계열이 제한 요소를 갖는다는 정리는 여기에 적용되지 않습니다.