서로 다른 거듭제곱으로 두 숫자를 곱하는 방법. 거듭제곱과 근의 공식. 일반적인 문제를 지속적으로 해결

분명히 거듭제곱이 있는 숫자는 다른 수량처럼 더할 수 있습니다. , 기호와 함께 하나씩 추가하여.

따라서 a 3 과 b 2 의 합은 a 3 + b 2 입니다.
a 3 - b n 과 h 5 -d 4 의 합은 a 3 - b n + h 5 - d 4 입니다.

승산 동일한 변수의 동일한 거듭제곱더하거나 뺄 수 있습니다.

따라서 2a 2 와 3a 2 의 합은 5a 2 입니다.

우리가 두 개의 정사각형 a, 또는 세 개의 정사각형을 a, 또는 다섯 개의 정사각형을 취하는 경우에도 명백합니다.

그러나 정도 다양한 변수그리고 다양한 학위 동일한 변수, 기호에 추가하여 추가해야 합니다.

따라서 a 2와 a 3의 합은 a 2 + a 3의 합입니다.

a의 제곱과 a의 세제곱은 a의 제곱의 두 배가 아니라 a의 세제곱의 두 배임이 분명합니다.

a 3bn 과 3a 5b 6 의 합은 a 3bn + 3a 5b 6 입니다.

빼기거듭제곱은 덧셈과 같은 방식으로 수행되지만, 그에 따라 서브트라헨드의 부호가 변경되어야 합니다.

또는:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

전력 곱셈

거듭제곱이 있는 숫자는 숫자 사이에 곱셈 부호가 있거나 없이 하나씩 차례로 써서 다른 양처럼 곱할 수 있습니다.

따라서 a 3에 b 2를 곱한 결과는 a 3 b 2 또는 aaabb입니다.

또는:
x -3 ⋅ am = am x -3
3a 6y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

마지막 예제의 결과는 동일한 변수를 추가하여 정렬할 수 있습니다.
표현식은 a 5 b 5 y 3 형식을 취합니다.

몇 개의 숫자(변수)를 거듭제곱과 비교하면 그 중 두 개를 곱하면 결과는 다음과 같은 거듭제곱의 숫자(변수)가 된다는 것을 알 수 있습니다. 합집합용어의 정도.

따라서 a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

여기서 5는 곱셈 결과의 거듭제곱이며 항의 거듭제곱의 합인 2 + 3과 같습니다.

따라서 a n .a m = a m+n 입니다.

n의 경우 a는 n의 거듭제곱만큼 인수로 간주됩니다.

그리고 a m 은 차수 m 의 배수만큼 인수로 취해집니다.

그래서, 밑이 같은 거듭제곱은 지수를 추가하여 곱할 수 있습니다.

따라서 a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 입니다. 그리고 x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

또는:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b2y3 · b4y = b6y4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)를 곱합니다.
답: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)을 곱합니다.

이 규칙은 지수가 -인 숫자에도 적용됩니다. 부정적인.

1. 따라서 a -2 .a -3 = a -5 . 이것은 (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa로 쓸 수 있습니다.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .am = a m-n .

a + b에 a - b를 곱하면 결과는 a 2 - b 2가 됩니다.

두 수의 합 또는 차를 곱한 결과 합계와 같습니다또는 그들의 제곱의 차이.

두 수의 합과 차를 제곱하면 정사각형, 결과는 다음 숫자의 합 또는 차와 같습니다. 네번째도.

그래서, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a4 - y4)⋅(a4 + y4) = a8 - y8 .

학위의 구분

거듭제곱이 있는 숫자는 다른 숫자와 마찬가지로 약수에서 빼거나 ​​분수 형태로 배치하여 나눌 수 있습니다.

따라서 a 3b 2 를 b 2 로 나눈 값은 a 3 입니다.

또는:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5를 3으로 나눈 값은 $\frac(a^5)(a^3)$와 같습니다. 그러나 이것은 2와 같습니다. 일련의 숫자에서
+4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.
모든 숫자는 다른 숫자로 나눌 수 있으며 지수는 다음과 같습니다. 차이점나눌 수 있는 숫자의 지표.

밑이 같은 거듭제곱을 나눌 때는 지수를 뺍니다..

따라서 y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 입니다. 즉, $\frac(yyy)(yy) = y$입니다.

그리고 n+1:a = n+1-1 = an n . 즉, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

또는:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

이 규칙은 다음이 있는 숫자에도 유효합니다. 부정적인학위 값.
-5를 -3으로 나눈 결과는 -2입니다.
또한 $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 또는 $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

이러한 연산은 대수학에서 매우 널리 사용되기 때문에 거듭제곱과 나눗셈을 아주 잘 마스터해야 합니다.

거듭제곱이 있는 숫자를 포함하는 분수로 예를 푸는 예

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$의 지수를 줄입니다. 정답: $\frac(5a^2)(3)$.

2. $\frac(6x^6)(3x^5)$의 지수를 줄입니다. 답: $\frac(2x)(1)$ 또는 2x.

3. 지수 a 2 / a 3 및 a -3 / a -4를 줄이고 공통 분모를 가져옵니다.
a 2 .a -4는 -2 첫 번째 분자입니다.
a 3 .a -3은 a 0 = 1, 두 번째 분자입니다.
a 3 .a -4 는 공통 분자인 -1 입니다.
단순화 후: a -2 /a -1 및 1/a -1 .

4. 지수 2a 4 /5a 3 및 2 /a 4를 줄이고 공통 분모가 되게 합니다.
답: 2a 3 / 5a 7 및 5a 5 / 5a 7 또는 2a 3 / 5a 2 및 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4에 (a - b)/3을 곱합니다.

6. (a 5 + 1)/x 2에 (b 2 - 1)/(x + a)를 곱합니다.

7. b 4 /a -2 에 h -3 /x 및 n /y -3 을 곱합니다.

8. 4 /y 3 을 3 /y 2 로 나눕니다. 답변: 그렇습니다.

9. (h 3 - 1)/d 4를 (d n + 1)/h로 나눕니다.

특정 숫자를 거듭제곱해야 하는 경우 를 사용할 수 있습니다. 이제 자세히 살펴보겠습니다. 권한의 속성.

지수 숫자큰 가능성을 열어주고 곱셈을 덧셈으로 변환할 수 있게 해주며 덧셈은 곱셈보다 훨씬 쉽습니다.

예를 들어, 16에 64를 곱해야 합니다. 이 두 숫자를 곱한 결과는 1024입니다. 그러나 16은 4x4이고 64는 4x4x4입니다. 따라서 16 곱하기 64=4x4x4x4x4 역시 1024입니다.

숫자 16은 2x2x2x2로, 64는 2x2x2x2x2x2로 나타낼 수 있으며 곱하면 다시 1024가 됩니다.

이제 규칙을 사용합시다. 16=4 2 또는 2 4 , 64=4 3 또는 2 6 이고 1024=6 4 =4 5 또는 2 10 입니다.

따라서 문제를 다른 방식으로 작성할 수 있습니다. 4 2 x4 3 =4 5 또는 2 4 x2 6 =2 10, 매번 1024를 얻습니다.

우리는 많은 유사한 예를 풀 수 있고 거듭제곱이 있는 숫자의 곱셈이 다음으로 감소하는 것을 볼 수 있습니다. 지수의 덧셈, 또는 물론 인수의 밑이 같다면 지수입니다.

따라서 곱하지 않고 즉시 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20이라고 말할 수 있습니다.

이 규칙은 숫자를 거듭제곱으로 나눌 때도 적용되지만 이 경우 e 피제수의 지수에서 제수의 지수를 뺍니다.. 따라서 2 5:2 3 =2 2 , 일반 수에서는 32:8=4, 즉 2 2 와 같습니다. 요약하자면:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, 여기서 m과 n은 정수입니다.

언뜻 보면 그럴 수도 있지만 거듭제곱으로 숫자의 곱셈과 나눗셈그다지 편리하지 않습니다. 먼저 숫자를 지수 형식으로 표현해야 하기 때문입니다. 숫자 8과 16을 이런 형태, 즉 2 3과 2 4로 표현하는 것은 어렵지 않은데, 숫자 7과 17은 어떻게 표현할까요? 또는 숫자를 지수 형식으로 표현할 수 있지만 숫자의 지수 표현의 밑이 매우 다른 경우에 수행할 작업입니다. 예를 들어, 8×9는 2 3 x 3 2 이며 이 경우 지수를 더할 수 없습니다. 2 5도 3 5도 답이 아니며 둘 사이의 답도 아닙니다.

그렇다면 이 방법으로 귀찮게 할 가치가 있습니까? 그만한 가치가 있습니다. 특히 복잡하고 시간이 많이 걸리는 계산에 큰 이점을 제공합니다.

이전 기사에서 우리는 단항이 무엇인지 이야기했습니다. 이 자료에서는 이들이 사용되는 예제와 문제를 해결하는 방법을 분석합니다. 여기서 우리는 빼기, 더하기, 곱하기, 단항식의 나누기와 자연 지수로 거듭제곱하는 것과 같은 동작을 고려할 것입니다. 이러한 작업이 어떻게 정의되는지 보여주고 구현에 대한 기본 규칙과 그 결과를 나타냅니다. 평소와 같이 모든 이론적 조항은 솔루션 설명과 함께 문제의 예를 통해 설명됩니다.

단항의 표준 표기법으로 작업하는 것이 가장 편리하므로 기사에서 사용할 모든 표현을 표준 형식으로 제시합니다. 처음에 다르게 설정된 경우 먼저 일반적으로 허용되는 형식으로 가져오는 것이 좋습니다.

단항식 덧셈과 뺄셈 규칙

단항식으로 수행할 수 있는 가장 간단한 연산은 뺄셈과 덧셈입니다. 일반적인 경우 이러한 작업의 결과는 다항식입니다(일부 특수한 경우에는 단항식 가능).

단항식을 더하거나 뺄 때 먼저 해당 합과 차이를 일반적으로 허용되는 형식으로 기록한 다음 결과 표현을 단순화합니다. 유사한 용어가 있는 경우 제공해야 하며 괄호를 열어야 합니다. 예를 들어 설명해 보겠습니다.

예 1

상태:단항식 − 3 · x 및 2 , 72 · x 3 · y 5 · z 를 더합니다.

해결책

원래 표현의 합을 적어 봅시다. 괄호를 추가하고 그 사이에 더하기 기호를 넣으십시오. 우리는 다음을 얻을 것입니다:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3y 5z)

괄호를 펼치면 - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z 가 됩니다. 이것은 이러한 단항식을 더한 결과가 될 표준 형식으로 작성된 다항식입니다.

답변:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

3개, 4개 또는 그 이상의 조건이 주어진 경우 동일한 방식으로 이 작업을 수행합니다.

예 2

상태:스 와이프 올바른 순서다항식으로 지정된 연산

3a 2 - (-4a c) + a 2 - 7a 2 + 4 9 - 2 2 3a c

해결책

괄호를 여는 것으로 시작합시다.

3a 2 + 4a c + a 2 - 7a 2 + 4 9 - 2 2 3a c

우리는 다음과 같이 용어를 줄임으로써 결과 표현식을 단순화할 수 있음을 확인합니다.

3a 2 + 4a c + a 2 - 7a 2 + 4 9 - 2 2 3a c = = (3a 2 + a 2 - 7a 2) + 4a c - 2 2 3a c + 4 9 = = - 3a 2 + 1 1 3a c + 4 9

이 작업의 결과가 될 다항식이 있습니다.

답변: 3a 2 - (-4a c) + a 2 - 7a 2 + 49 - 22 3a c = - 3a 2 + 11 3a c + 4 9

원칙적으로 우리는 두 개의 단항식의 덧셈과 뺄셈을 약간의 제한과 함께 수행할 수 있으므로 결국 단항식이 됩니다. 이를 위해서는 항과 뺄셈 단항식에 관한 몇 가지 조건을 준수할 필요가 있습니다. 이것이 어떻게 수행되는지 별도의 기사에서 설명합니다.

단항식 곱셈 규칙

곱하기 동작은 승수에 제한을 두지 않습니다. 곱할 단항식은 결과가 단항식이 되기 위해 추가 조건을 충족하지 않아야 합니다.

단항식의 곱셈을 수행하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1. 조각을 올바르게 녹음하십시오.
2. 결과 식에서 괄호를 확장합니다.
3. 가능한 경우 동일한 변수와 수치적 요인이 있는 요인을 별도로 그룹화합니다.
4. 숫자로 필요한 조치를 수행하고 나머지 요소에 동일한 밑수를 가진 곱셈의 속성을 적용하십시오.

이것이 실제로 어떻게 수행되는지 봅시다.

예 3

상태:단항식 2 · x 4 · y · z 와 - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 을 곱합니다.

해결책

작품 구성부터 시작하겠습니다.

괄호를 열면 다음을 얻습니다.

2 x 4y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

우리가 해야 할 일은 첫 번째 괄호 안의 숫자를 곱하고 두 번째 괄호에 거듭제곱 속성을 적용하는 것입니다. 결과적으로 다음을 얻습니다.

2 - 7 16t 2 x 4 x 2yz 3z 11 = - 7 8t 2 x 4 + 2yz 3 + 11 = = - 7 8t 2 x 6yz 14

답변: 2 x 4yz - 7 16t 2 x 2z 11 = - 78 t 2 x 6yz 14 .

조건에 3개 이상의 다항식이 있는 경우 정확히 동일한 알고리즘을 사용하여 곱합니다. 별도의 자료에서 단항식의 곱셈 문제를 더 자세히 고려할 것입니다.

단항식을 거듭제곱하기 위한 규칙

우리는 일정한 수의 동일한 인수의 곱을 자연 지수가 있는 차수라고 합니다. 번호는 색인의 번호로 표시됩니다. 이 정의에 따르면, 단항식을 거듭제곱하는 것은 표시된 수의 동일한 단항식을 곱하는 것과 같습니다. 어떻게 되는지 봅시다.

예 4

상태:단항식 − 2 · a · b 4 를 3 의 거듭제곱으로 올립니다.

해결책

지수화를 3단항식 − 2 · a · b 4의 곱셈으로 대체할 수 있습니다. 적어두고 원하는 답변을 얻으십시오.

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 ㄴ4) = − 8 ㅏ 3 ㄴ 12

답변:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

그러나 학위의 지수가 큰 경우는 어떻습니까? 많은 수의 승수를 기록하는 것은 불편합니다. 그런 다음 이러한 문제를 해결하기 위해서는 정도의 속성, 즉 제품의 정도 속성과 정도의 속성을 적용해야 합니다.

위에서 언급 한 문제를 표시된 방식으로 해결해 봅시다.

실시예 5

상태:− 2 · a · b 4를 세제곱합니다.

해결책

학위에서 학위의 속성을 알면 다음 형식의 표현으로 진행할 수 있습니다.

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

그런 다음 - 2의 거듭제곱으로 올리고 지수 속성을 적용합니다.

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8a 3b 4 3 = − 8a 3b 12 .

답변:− 2·a·b4 = −8·a3·b12 .

우리는 또한 단항식을 거듭제곱하는 것에 대해 별도의 글을 썼습니다.

단항식 나누기 규칙

이 자료에서 분석할 단항식의 마지막 동작은 단항식을 단항식으로 나누는 것입니다. 결과적으로 유리수(대수) 분수를 얻어야 합니다(경우에 따라 단항식을 얻을 수 있음). 0으로 나누기가 정의되지 않았기 때문에 0으로 나누기가 정의되지 않았다는 것을 즉시 명확히 합시다.

나누기를 수행하려면 표시된 단항식을 분수 형식으로 작성하고 가능하면 줄여야 합니다.

실시예 6

상태:단항식 − 9 x 4 y 3z 7 을 − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 로 나눕니다.

해결책

분수의 형태로 단항식을 쓰는 것으로 시작합시다.

9 x 4y 3z 7 - 6p 3t 5 x 2y 2

이 부분은 줄일 수 있습니다. 이렇게 하면 다음을 얻을 수 있습니다.

3 x 2yz 7 2p 3t 5

답변:- 9 x 4y 3z 7 - 6p 3t 5 x 2y 2 = 3 x 2yz 7 2p 3t 5 .

단항식을 나눈 결과 단항식을 얻는 조건은 별도의 기사에 나와 있습니다.

텍스트에 오류가 있는 경우 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

앞서 우리는 숫자의 거듭제곱이 무엇인지에 대해 이미 이야기했습니다. 그녀는 특정 속성, 문제 해결에 유용합니다. 이 기사에서 문제와 가능한 모든 지수를 분석합니다. 또한 실제로 어떻게 증명하고 올바르게 적용할 수 있는지 예를 들어 설명합니다.

우리가 이미 공식화한 자연 지수가 있는 정도의 개념을 상기해 봅시다. 이것은 각각 a와 같은 인수의 n번째 수의 ​​곱입니다. 또한 실수를 올바르게 곱하는 방법을 기억해야 합니다. 이 모든 것이 자연 지표를 사용하여 학위에 대한 다음 속성을 공식화하는 데 도움이 됩니다.

정의 1

1. 학위의 주요 속성: a m a n = a m + n

다음과 같이 일반화할 수 있습니다. an 1 · an 2 · … · an k = an 1 + n 2 + … + n k .

2. 밑이 같은 거듭제곱에 대한 몫 속성: a m: a n = a m − n

3. 제품 등급 속성: (a b) n = a n b n

등식은 다음과 같이 확장될 수 있습니다. (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. 자연도의 속성: (a: b) n = a n: b n

5. 우리는 거듭제곱을 올립니다: (am) n = a m n ,

다음과 같이 일반화할 수 있습니다. (((an 1) n 2) …) n k = an 1 n 2 … n k

6. 정도를 0과 비교합니다.

• a > 0이면 임의의 자연 n에 대해 n은 0보다 큽니다.
• a가 0이면 n도 0이 됩니다.
• ~을 위해< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• ~을 위해< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. 평등과 n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. 부등식 a m > an은 m과 n이 자연수이고 m이 n보다 크고 a가 0보다 크고 1보다 작지 않다면 참일 것입니다.

결과적으로 우리는 몇 가지 평등을 얻었습니다. 위에 표시된 모든 조건을 충족하면 동일합니다. 예를 들어 기본 속성의 경우 등식 각각에 대해 오른쪽과 왼쪽 부분을 바꿀 수 있습니다. a m · a n = a m + n - a m + n = a m · an과 동일 이 형식에서는 식을 단순화할 때 자주 사용됩니다.

1. 정도의 주요 속성부터 시작하겠습니다. 평등 a m · an = a m + n은 모든 자연 m과 n 및 실제 a에 대해 참입니다. 이 진술을 어떻게 증명합니까?

자연 지수가 있는 거듭제곱의 기본 정의를 통해 평등을 요인의 곱으로 변환할 수 있습니다. 다음과 같은 항목이 표시됩니다.

이것은 다음과 같이 단축될 수 있습니다. (곱셈의 기본 속성을 기억하십시오). 결과적으로 우리는 자연 지수 m + n으로 숫자 a의 차수를 얻었습니다. 따라서 a m + n , 즉 차수의 주요 속성이 증명되었음을 의미합니다.

분석하자 구체적인 예이것을 확인합니다.

예 1

그래서 우리는 밑이 2인 두 개의 거듭제곱을 가집니다. 그들의 자연 지표는 각각 2와 3입니다. 우리는 평등을 얻었습니다 : 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 이 평등의 정확성을 확인하기 위해 값을 계산해 봅시다.

우리는 필요한 수학 연산: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 및 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

그 결과 2 2 2 3 = 2 5 를 얻었습니다. 속성이 입증되었습니다.

곱셈의 속성으로 인해 속성을 3으로 공식화하여 일반화할 수 있습니다. 더지수가 자연수이고 밑이 같은 거듭제곱. 자연수 n 1, n 2 등의 수를 문자 k로 표시하면 올바른 평등을 얻습니다.

n 1 an 2 … an k = an 1 + n 2 + … + n k .

예 2

2. 다음으로, 몫 속성이라고 하는 다음 속성을 증명해야 합니다. 이 속성은 동일한 밑을 가진 거듭제곱에 내재되어 있습니다. 이것은 평등 a m입니다. n)) 및 0이 아닌 실수 a 보다 큽니다.

우선 공식에 언급된 조건의 의미가 정확히 무엇인지 설명하겠습니다. 우리가 0과 같다면 결국 우리는 0으로 나눌 것입니다. 이것은 할 수 없습니다 (결국 0 n = 0). 숫자 m이 n보다 커야 한다는 조건은 자연 지수 내에 머물 수 있도록 필요합니다. m에서 n을 빼면 자연수가 됩니다. 조건이 충족되지 않으면 음수 또는 0이 표시되고 다시 자연 지표로 학위 연구를 넘어갑니다.

이제 증명으로 넘어갈 수 있습니다. 이전 연구에서 우리는 분수의 기본 속성을 기억하고 다음과 같이 평등을 공식화합니다.

m - n n = a (m - n) + n = a m

그것으로부터 우리는 다음을 추론할 수 있습니다: a m − n a n = a m

나눗셈과 곱셈 사이의 연결을 상기하십시오. 그것으로부터 a m − n은 거듭제곱 a m과 an의 몫입니다. 이것은 2급 재산의 증거입니다.

예 3

지표의 명확성을 위해 특정 숫자를 대체하고 π의 기본을 나타냅니다. π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. 다음으로, 우리는 곱의 차수 속성을 분석할 것입니다: (a · b) n = a n · b n 모든 실수 a 및 b 및 자연 n .

자연 지수가 있는 정도의 기본 정의에 따라 평등을 다음과 같이 재구성할 수 있습니다.

곱셈의 속성을 기억하면서 다음과 같이 씁니다. . n · b n 과 같은 의미입니다.

예 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

세 개 이상의 요소가 있는 경우 이 속성도 이 경우에 적용됩니다. 요인 수에 대한 표기법 k를 도입하고 다음과 같이 작성합니다.

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

실시예 5

특정 숫자를 사용하면 다음과 같은 올바른 평등을 얻습니다. (2 (- 2 , 3) ​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. 그 후, 우리는 몫 속성을 증명하려고 노력할 것입니다: (a: b) n = a n: b가 0이 아니고 n이 자연수인 경우 임의의 실수 a 및 b에 대해 n입니다.

증명을 위해 이전 학위 속성을 사용할 수 있습니다. (a: b) n b n = ((a: b) b) n = an 이고 (a: b) n b n = an 인 경우 (a: b) n 은 n 을 b n 으로 나눈 몫입니다.

실시예 6

예를 세어 봅시다: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

실시예 7

바로 예를 들어 보겠습니다. (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

그리고 이제 우리는 평등의 정확성을 증명할 평등 사슬을 공식화합니다.

예제에 학위가 있는 경우 이 속성은 그들에게도 적용됩니다. 자연수 p, q, r, s가 있으면 참이 됩니다.

pqys = pqys

실시예 8

세부 사항을 추가해 보겠습니다. (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. 우리가 증명해야 하는 자연 지수가 있는 정도의 또 다른 속성은 비교 속성입니다.

먼저 지수를 0과 비교해 봅시다. a가 0보다 큰데 왜 n > 0입니까?

하나의 양수에 다른 양수를 곱하면 양수도 얻을 수 있습니다. 이 사실을 알면 이것이 요인의 수에 의존하지 않는다고 말할 수 있습니다. 양수를 곱한 결과는 양수입니다. 숫자를 곱한 결과가 아니라면 정도는 무엇입니까? 그러면 양의 밑과 자연 지수를 갖는 모든 거듭제곱 n에 대해 이것이 참이 될 것입니다.

실시예 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 및 34 9 13 51 > 0

밑이 0인 거듭제곱은 그 자체가 0이라는 것도 명백합니다. 우리가 0을 올리는 모든 거듭제곱은 그대로 유지됩니다.

실시예 10

0 3 = 0 및 0 762 = 0

차수의 밑이 음수이면 짝수/홀수 지수의 개념이 중요해지기 때문에 증명이 조금 더 복잡해집니다. 지수가 짝수인 경우부터 시작하여 2·m으로 나타내자. 여기서 m은 자연수이다.

음수를 올바르게 곱하는 방법을 기억합시다. 제품 a · a는 모듈의 제품과 같으므로 양수가됩니다. 그 다음에 정도 a 2 · m도 양수입니다.

실시예 11

예를 들어, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 및 - 2 9 6 > 0

밑이 음수인 지수가 홀수이면 어떻게 될까요? 그것을 2 · m − 1 로 나타내자.

그 다음에

모든 제품 a · a 는 곱셈의 속성에 따라 양수이며 곱도 양수입니다. 그러나 남은 숫자 a 를 곱하면 최종 결과는 음수가 됩니다.

그러면 다음을 얻습니다. (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

그것을 증명하는 방법?

엔< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

실시예 12

예를 들어 부등식은 참입니다. 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. 마지막 속성을 증명하는 것이 우리에게 남아 있습니다. 기본이 동일하고 양수이고 지수가 자연수 인 두 개의 정도가 있으면 그 중 하나가 더 크고 지수가 더 작습니다. 그리고 자연 지표와 1보다 큰 동일한 기준을 가진 2도의 지표가 더 큰 정도가 더 큽니다.

이러한 주장을 증명해 봅시다.

먼저 우리는 m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

우리는 대괄호에서 n을 꺼내고 그 후에 우리의 차이는 n · (am − n − 1) 형식을 취합니다. 결과는 음수입니다(양수에 음수를 곱한 결과가 음수이므로). 실제로 초기 조건에 따르면 m − n > 0이면 a m − n − 1은 음수이고 첫 번째 요소는 양수입니다. 자연 정도긍정적인 근거로.

a m − a n이라는 것이 밝혀졌습니다.< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

위에서 공식화된 진술의 두 번째 부분을 증명해야 합니다. a m > a는 m > n 및 a > 1에 대해 참입니다. 차이를 표시하고 대괄호에서 n을 꺼냅니다: (a m - n - 1) 1보다 큰 n의 거듭제곱은 긍정적인 결과를 제공합니다. 차이 자체도 초기 조건으로 인해 양수로 판명되고 a > 1의 경우 a m − n의 정도는 1보다 큽니다. a m − an > 0 및 a m > an 이라는 것이 밝혀졌습니다. 이것이 우리가 증명해야 했던 것입니다.

실시예 13

특정 숫자의 예: 3 7 > 3 2

정수 지수가 있는 각도의 기본 속성

양의 정수 지수가 있는 정도의 경우 양의 정수는 자연수이므로 위에서 증명된 모든 등식도 유효하기 때문에 속성이 비슷합니다. 지수가 음수이거나 0인 경우에도 적합합니다(도 자체의 밑이 0이 아닌 경우).

따라서 거듭제곱의 속성은 모든 밑수 a와 b(이 숫자가 실수이고 0이 아닌 경우)와 모든 지수 m과 n(정수인 경우)에 대해 동일합니다. 수식 형식으로 간단히 작성합니다.

정의 2

1. a m a n = a m + n

2. 오전: n = 오전 - n

3. (a b) n = n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (오전) n = 오전 n

6. 엔< b n и a − n >b − n 양의 정수 n , 양의 a 및 b , a< b

오전 7시< a n , при условии целых m и n , m >n과 0< a < 1 , при a >오전 1시 > n .

정도의 밑이 0이면 항목 a m과 n은 자연스럽고 양의 m과 n인 경우에만 의미가 있습니다. 결과적으로 다른 모든 조건이 충족되면 위의 공식이 0 염기가 있는 정도의 경우에도 적합하다는 것을 알 수 있습니다.

이 경우 이러한 속성의 증명은 간단합니다. 자연 지수와 정수 지수가 있는 정도와 실수가 있는 동작의 속성을 기억해야 합니다.

차수에서 차수의 속성을 분석하고 그것이 양의 정수와 양수가 아닌 정수 모두에 대해 참임을 증명합시다. 등식 (ap) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (ap) − q = a p (− q) 및 (a − p) − q = a (− p) (−q)

조건: p = 0 또는 자연수; 큐 - 마찬가지로.

p와 q의 값이 0보다 크면 (ap) q = a p · q를 얻습니다. 우리는 이미 이전에 유사한 평등을 증명했습니다. p = 0이면:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

따라서 (a 0) q = a 0 q

q = 0의 경우 모든 것이 정확히 동일합니다.

(ap) 0 = 1 ap 0 = 0 = 1

결과: (ap) 0 = a p 0 .

두 지표가 모두 0이면 (a 0) 0 = 1 0 = 1이고 a 0 0 = a 0 = 1이면 (a 0) 0 = a 0 0 입니다.

위에서 증명된 거듭제곱의 몫의 속성을 상기하고 다음과 같이 쓰십시오.

1pq = 1qpq

1 p = 11 … 1 = 1이고 a p q = a p q 이면 1 q a p q = 1 a p q

기본 곱셈 규칙 덕분에 이 표기법을 a (− p) · q로 변환할 수 있습니다.

또한: a p - q = 1 (ap) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

정도의 나머지 속성은 기존 부등식을 변환하여 유사한 방식으로 증명할 수 있습니다. 이에 대해 자세히 설명하지 않고 어려운 점만 표시하겠습니다.

두 번째 속성의 증명: a - n > b - n은 n의 음의 정수 값과 양의 a 및 b에 대해 참임을 기억하십시오. 단, a는 b보다 작습니다.

그러면 부등식은 다음과 같이 변환될 수 있습니다.

1안 > 10억

오른쪽과 왼쪽 부분을 차이로 작성하고 필요한 변환을 수행합니다.

1 AN - 1 BN = BN - AN BN BN

a가 b보다 작은 조건에서 자연 지수가 있는 정도의 정의에 따라 다음을 기억하십시오. - n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n은 약수가 양수이기 때문에 결국 양수가 됩니다. 결과적으로 우리는 분수 b n - an a n · b n , 결국 긍정적인 결과를 제공합니다. 따라서 1 a n > 1 b n wherece a − n > b − n 이며 우리는 이를 증명해야 했습니다.

정수 지수를 갖는 도의 마지막 속성은 자연 지수를 갖는 도의 속성과 유사하게 입증됩니다.

유리수 지수가 있는 정도의 기본 속성

이전 기사에서 우리는 유리수(분수) 지수가 있는 정도가 무엇인지 논의했습니다. 그들의 속성은 정수 지수가 있는 각도의 속성과 동일합니다. 글을 쓰자:

정의 3

1. a m 1 n 1 am 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0, m 1 n 1 > 0 및 m 2 n 2 > 0인 경우 a ≥ 0(제품 특성 검정력) 같은 베이스로).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 if a > 0 (몫 속성).

3. a b m n = a m n b m n a > 0 및 b > 0, m 1 n 1 > 0 및 m 2 n 2 > 0인 경우 a ≥ 0 및(또는) b ≥ 0(분수 단위의 제품 속성).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n a > 0 및 b > 0, m n > 0인 경우 a ≥ 0 및 b > 0(분수 정도에 대한 몫의 속성).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 a > 0, m 1 n 1 > 0 및 m 2 n 2 > 0이면 a ≥ 0(정도 속성 도).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; 만약 피< 0 - a p >b p (동일 유리수 지수와 정도를 비교하는 속성).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >0에서 q< a < 1 ; если a >0 – ap > a q

이러한 조항을 증명하기 위해 우리는 분수 지수가 있는 정도가 무엇인지, n차 산술 근의 속성이 무엇인지, 정수 지수가 있는 정도의 속성이 무엇인지 기억해야 합니다. 각 속성을 살펴보겠습니다.

분수 지수가 있는 정도에 따라 다음을 얻습니다.

a m 1n 1 \u003d am 1n 1 및 a m 2n 2 \u003d am 2n 2이므로 a m 1n 1 a m 2n 2 \u003d am 1n 1 a m 2n 2

루트의 속성을 통해 평등을 도출할 수 있습니다.

암 1m 2n 1n 2암 2m 1n 2n 1 = 암 1n 2암 2n 1n 1n 2

이것으로부터 우리는 다음을 얻습니다: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

변환하자:

암 1n 2암 2n 1n 1n 2 = 암 1n 2 + m 2n 1n 1n 2

지수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

m1n2 + m2n1n1n2 = m1n2n1n2 + m2n1n1n2 = m1n1 + m2n2

이것이 증거입니다. 두 번째 속성은 정확히 같은 방식으로 증명됩니다. 평등 사슬을 적어 봅시다.

암 1n 1: 암 2n 2 = 암 1n 1: 암 2n 2 = 암 1n 2: 암 2n 1n 1n 2 = = 암 1n 2 - m 2n 1n 1n 2 = 암 1n 2 - m 2n 1n 1n 2 = 암 1n 2n 1n 2 - m 2n 1n 1n 2 = 암 1n 1 - m 2n 2

나머지 등식의 증명:

abmn = (ab)mn = ambmn = amnbmn = amnbmn ; (a: b) mn = (a: b) mn = a m: b mn = = a m n: b m n = a m n: b m n ; 암 1n 1m 2n 2 = 암 1n 1m 2n 2 = 암 1n 1m 2n 2 = = 암 1m 2n 1n 2 = 암 1m 2n 1n 2 = = 암 1m 2엔 2엔 1 = 오전 1m 2엔 2엔 1 = 오전 1엔 1m 2엔 2

다음 속성: 0보다 큰 a 및 b 값에 ​​대해 a가 b보다 작으면 a p가 실행됨을 증명해 보겠습니다.< b p , а для p больше 0 - a p >bp

유리수 p를 m n으로 표현해 봅시다. 여기서 m은 정수, n은 자연수이다. 그러면 조건 p< 0 и p >0은 m으로 확장됩니다.< 0 и m >0 . m > 0 및 a의 경우< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

우리는 뿌리의 속성을 사용하고 다음을 도출합니다.< b m n

값의 양수를 고려하여 a 및 b 부등식을 다음과 같이 다시 씁니다. m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

같은 방법으로 m에 대해< 0 имеем a a m >b m , 우리는 a m n > b m n 그래서 a m n > b m n 및 a p > b p 를 얻습니다.

마지막 속성을 증명하는 것은 우리에게 남아 있습니다. 유리수 p와 q에 대해 0에서 p > q임을 증명해 보겠습니다.< a < 1 a p < a q , а при a >0은 참일 것입니다. a p > a q .

유리수 p와 q는 공통 분모로 줄어들 수 있으며 분수 m 1 n과 m 2 n을 얻을 수 있습니다.

여기서 m1과 m2는 정수이고 n은 자연수이다. p > q이면 m 1 > m 2입니다(분수 비교 규칙 고려). 그런 다음 0에서< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – 불평등 a 1m > a 2m .

다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

오전 1시< a m 2 n a m 1 n >오전 2엔

그런 다음 변환을 수행하고 결과를 얻을 수 있습니다.

오전 1시< a m 2 n a m 1 n >오전 2엔

요약하자면: p > q 및 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – ap > a q .

무리수 지수가 있는 정도의 기본 속성

유리수 지수를 갖는 정도가 갖는 위에서 설명한 모든 속성은 그러한 정도로 확장될 수 있습니다. 이것은 이전 기사 중 하나에서 제공한 바로 그 정의에서 따릅니다. 이러한 속성을 간략하게 공식화해 보겠습니다(조건: a > 0 , b > 0 , 표시기 p 및 q는 무리수임).

정의 4

1. ap a q = ap + q

2. ap: aq = ap − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (ap)q = apq

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 이면 a p > a q 입니다.

따라서 지수 p와 q가 실수인 모든 거듭제곱은 a > 0인 경우 동일한 속성을 가집니다.

텍스트에 오류가 있는 경우 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

힘을 곱하는 방법? 어떤 힘이 배가될 수 있고 어떤 힘이 배가될 수 없습니까? 어떻게 숫자에 거듭제곱을 곱합니까?

대수학에서는 두 가지 경우에서 거듭제곱의 곱을 찾을 수 있습니다.

1) 학위의 근거가 동일한 경우

2) 도의 지표가 동일한 경우.

밑이 같은 거듭제곱을 곱할 때 밑은 그대로 유지되어야 하며 지수를 더해야 합니다.

동일한 표시기로 각도를 곱하면 총 표시기를 괄호에서 꺼낼 수 있습니다.

구체적인 예와 함께 힘을 곱하는 방법을 고려하십시오.

지수의 단위는 기록되지 않지만 정도를 곱할 때 다음을 고려합니다.

곱할 때 각도는 얼마든지 가능합니다. 문자 앞에 곱하기 기호를 쓸 수 없다는 점을 기억해야 합니다.

식에서는 지수가 먼저 수행됩니다.

숫자에 거듭제곱을 곱해야 하는 경우 먼저 거듭제곱을 수행한 다음 곱셈을 수행해야 합니다.

www.algebraclass.ru

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 거듭제곱의 나눗셈

거듭제곱의 덧셈과 뺄셈

분명히 거듭제곱이 있는 숫자는 다른 수량처럼 더할 수 있습니다. , 기호와 함께 하나씩 추가하여.

따라서 a 3 과 b 2 의 합은 a 3 + b 2 입니다.
a 3 - b n과 h 5 -d 4의 합은 a 3 - b n + h 5 - d 4입니다.

승산 동일한 변수의 동일한 거듭제곱더하거나 뺄 수 있습니다.

따라서 2a 2 와 3a 2 의 합은 5a 2 입니다.

우리가 두 개의 정사각형 a, 또는 세 개의 정사각형을 a, 또는 다섯 개의 정사각형을 취하는 경우에도 명백합니다.

그러나 정도 다양한 변수그리고 다양한 학위 동일한 변수, 기호에 추가하여 추가해야 합니다.

따라서 a 2와 a 3의 합은 a 2 + a 3의 합입니다.

a의 제곱과 a의 세제곱은 a의 제곱의 두 배가 아니라 a의 세제곱의 두 배임이 분명합니다.

a 3bn 과 3a 5b 6 의 합은 a 3bn + 3a 5b 6 입니다.

빼기거듭제곱은 덧셈과 같은 방식으로 수행되지만, 그에 따라 서브트라헨드의 부호가 변경되어야 합니다.

또는:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6-4h 2b 6 \u003d -h 2b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

전력 곱셈

거듭제곱이 있는 숫자는 숫자 사이에 곱셈 부호가 있거나 없이 하나씩 차례로 써서 다른 양처럼 곱할 수 있습니다.

따라서 a 3에 b 2를 곱한 결과는 a 3 b 2 또는 aaabb입니다.

또는:
x -3 ⋅ am = am x -3
3a 6y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

마지막 예제의 결과는 동일한 변수를 추가하여 정렬할 수 있습니다.
표현식은 a 5 b 5 y 3 형식을 취합니다.

몇 개의 숫자(변수)를 거듭제곱과 비교하면 그 중 두 개를 곱하면 결과는 다음과 같은 거듭제곱의 숫자(변수)가 된다는 것을 알 수 있습니다. 합집합용어의 정도.

따라서 a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

여기서 5는 곱셈 결과의 거듭제곱이며 항의 거듭제곱의 합인 2 + 3과 같습니다.

따라서 a n .a m = a m+n 입니다.

n의 경우 a는 n의 거듭제곱만큼 인수로 간주됩니다.

그리고 a m 은 차수 m 의 배수만큼 인수로 취해집니다.

그래서, 밑이 같은 거듭제곱은 지수를 추가하여 곱할 수 있습니다.

따라서 a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 입니다. 그리고 x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

또는:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b2y3 · b4y = b6y4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)를 곱합니다.
답: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)을 곱합니다.

이 규칙은 지수가 −인 숫자에도 적용됩니다. 부정적인.

1. 따라서 a -2 .a -3 = a -5 . 이것은 (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa로 쓸 수 있습니다.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .am = a m-n .

a + b에 a - b를 곱하면 결과는 a 2 - b 2가 됩니다.

두 숫자의 합 또는 차이를 곱한 결과는 제곱의 합 또는 차이와 같습니다.

두 수의 합과 차를 제곱하면 정사각형, 결과는 다음 숫자의 합 또는 차와 같습니다. 네번째도.

그래서, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a4 - y4)⋅(a4 + y4) = a8 - y8 .

학위의 구분

거듭제곱이 있는 숫자는 다른 숫자와 마찬가지로 약수에서 빼거나 ​​분수 형태로 배치하여 나눌 수 있습니다.

따라서 a 3b 2 를 b 2 로 나눈 값은 a 3 입니다.

5를 3으로 나눈 값은 $\frac과 같습니다. $. 그러나 이것은 2와 같습니다. 일련의 숫자에서
+4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.
모든 숫자는 다른 숫자로 나눌 수 있으며 지수는 다음과 같습니다. 차이점나눌 수 있는 숫자의 지표.

밑이 같은 거듭제곱을 나눌 때는 지수를 뺍니다..

따라서 y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 입니다. 즉, $\frac = y$입니다.

그리고 n+1:a = n+1-1 = an n . 즉, $\frac = a^n$입니다.

또는:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

이 규칙은 다음이 있는 숫자에도 유효합니다. 부정적인학위 값.
-5를 -3으로 나눈 결과는 -2입니다.
또한 $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 또는 $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

이러한 연산은 대수학에서 매우 널리 사용되기 때문에 거듭제곱과 나눗셈을 아주 잘 마스터해야 합니다.

거듭제곱이 있는 숫자를 포함하는 분수로 예를 푸는 예

1. $\frac $의 지수를 줄입니다. 정답: $\frac $.

2. $\frac$의 지수를 줄입니다. 답: $\frac $ 또는 2x.

3. 지수 a 2 / a 3 및 a -3 / a -4를 줄이고 공통 분모를 가져옵니다.
a 2 .a -4는 -2 첫 번째 분자입니다.
a 3 .a -3은 a 0 = 1, 두 번째 분자입니다.
a 3 .a -4 는 공통 분자인 -1 입니다.
단순화 후: a -2 /a -1 및 1/a -1 .

4. 지수 2a 4 /5a 3 및 2 /a 4를 줄이고 공통 분모가 되게 합니다.
답: 2a 3 / 5a 7 및 5a 5 / 5a 7 또는 2a 3 / 5a 2 및 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4에 (a - b)/3을 곱합니다.

6. (a 5 + 1)/x 2에 (b 2 - 1)/(x + a)를 곱합니다.

7. b 4 /a -2 에 h -3 /x 및 n /y -3 을 곱합니다.

8. 4 /y 3 을 3 /y 2 로 나눕니다. 답변: 그렇습니다.

학위 속성

이 수업에서 우리는 이해합니다. 학위 속성자연 지표와 0으로. 합리적인 지표와 그 속성을 가진 학위는 8학년 수업에서 논의될 것입니다.

자연 지수가 있는 지수에는 지수 예제에서 계산을 단순화할 수 있는 몇 가지 중요한 속성이 있습니다.

속성 #1
힘의 산물

밑이 같은 거듭제곱을 곱하면 밑은 변하지 않고 지수가 더해집니다.

a m a n \u003d a m + n, 여기서 "a"는 임의의 숫자이고 "m", "n"은 임의의 자연수입니다.

이 거듭제곱의 속성은 세 개 이상의 거듭제곱의 곱에도 영향을 미칩니다.

표시된 속성에서 동일한 염기로 곱셈에 관한 것일 뿐이라는 점에 유의하십시오.. 추가에는 적용되지 않습니다.

합계 (3 3 + 3 2)를 3 5 로 바꿀 수 없습니다. 이것은 다음과 같은 경우에 이해할 수 있습니다.
계산 (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 및 3 5 = 243

속성 #2
사립 학위

밑이 같은 거듭제곱을 나눌 때 밑은 변하지 않고 나눗셈의 지수는 피제수의 지수에서 뺍니다.

계산하다.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
예. 방정식을 푸십시오. 우리는 부분도의 속성을 사용합니다.
38: t = 34

답: t = 3 4 = 81

속성 1번과 2번을 사용하면 쉽게 식을 단순화하고 계산을 수행할 수 있습니다.

예. 표현을 단순화하십시오.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

예. 정도 속성을 사용하여 식의 값을 찾습니다.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

재산 2는 동일한 기반을 가진 권력 분할만을 다루었다는 점에 유의하십시오.

차이 (4 3 −4 2)를 4 1 로 바꿀 수 없습니다. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, 4 1 = 4를 계산하면 이해할 수 있습니다.

속성 #3
지수화

거듭제곱을 거듭제곱할 때 거듭제곱의 밑수는 그대로 유지되고 지수는 곱해집니다.

(an) m \u003d a n m, 여기서 "a"는 임의의 숫자이고 "m", "n"은 임의의 자연수입니다.

도의 다른 속성과 마찬가지로 속성 4번도 역순으로 적용됩니다.

(a n b n)= (a b) n

즉, 동일한 지수로 도를 곱하려면 밑을 곱하고 지수를 변경하지 않고 그대로 둘 수 있습니다.

더 복잡한 예에서는 밑과 지수가 다른 거듭제곱에 대해 곱셈과 나눗셈을 수행해야 하는 경우가 있을 수 있습니다. 이 경우 다음을 수행하는 것이 좋습니다.

예를 들어, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

소수점 이하 지수의 예.

4 21(−0.25) 20 = 4 4 20(−0.25) 20 = 4(4(−0.25)) 20 = 4(−1) 20 = 4 1 = 4

속성 5
몫의 거듭제곱(분수)

몫을 거듭제곱하려면 피제수와 제수를 별도로 이 거듭제곱으로 올리고 첫 번째 결과를 두 번째로 나눌 수 있습니다.

(a: b) n \u003d a n: b n, 여기서 "a", "b"는 임의의 유리수, b ≠ 0, n은 임의의 자연수입니다.

몫은 분수로 나타낼 수 있음을 알려드립니다. 따라서 다음 페이지에서 분수를 거듭제곱하는 주제에 대해 더 자세히 다룰 것입니다.

정도와 뿌리

힘과 뿌리가 있는 연산. 음수 정도 ,

0과 분수 지시자. 말이 안되는 표현에 대해.

학위가 있는 작업.

1. 동일한 기본으로 힘을 곱하면 지표가 합산됩니다.

오전 · n = m + n .

2. 같은 기준으로 학위를 나눌 때, 그 지표 뺀 .

3. 둘 이상의 요인의 곱의 정도는 이러한 요인의 정도의 곱과 같습니다.

4. 비율(분수)의 차수는 피제수(분자)와 제수(분모)의 차수 비율과 같습니다.

(a/b) n = n / b n .

5. 정도를 거듭제곱하면 해당 지표가 곱해집니다.

위의 모든 수식은 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 그 반대로 양방향으로 읽고 실행됩니다.

예 (2 3 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

루트 작업. 아래의 모든 공식에서 기호는 다음을 의미합니다. 산술 루트(과격한 표현은 긍정적입니다).

1. 여러 요인의 곱의 근원 제품과 동일합니다이러한 요인의 근원:

2. 비율의 근은 피제수와 제수의 근의 비율과 같습니다.

3. 근을 거듭제곱할 때, 이 거듭제곱으로 올리는 것으로 충분합니다. 루트 번호:

4. 근의 차수를 m 배 늘리고 동시에 근의 수를 m 차까지 올리면 근의 값은 변경되지 않습니다.

5. 근의 차수를 m만큼 줄이고 동시에 근호에서 m 차의 근을 추출하면 근의 값은 변경되지 않습니다.

학위 개념의 확장. 지금까지 우리는 자연 지표로만 학위를 고려했습니다. 그러나 권한과 루트가 있는 작업은 다음을 유발할 수도 있습니다. 부정적인, 영그리고 분수지표. 이러한 모든 지수에는 추가 정의가 필요합니다.

음의 지수가 있는 정도. 음수(정수) 지수를 갖는 일부 숫자의 거듭제곱은 지수를 음수 지수의 절대값과 같은 동일한 숫자의 거듭제곱으로 나눈 값으로 정의됩니다.

이제 공식 오전 : 엔 = m-n뿐만 아니라 사용할 수 있습니다 중, 이상 N, 뿐만 아니라 중, 미만 N .

예 ㅏ 4: ㅏ 7 = 4 — 7 = — 3 .

공식을 원한다면 오전 : 엔 = 오전 — N공정했다 엠 = 엔, 우리는 영도의 정의가 필요합니다.

지수가 0인 정도. 지수가 0인 0이 아닌 숫자의 차수는 1입니다.

예. 20 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

분수 지수가 있는 정도. 실수 a를 m / n으로 올리려면 이 숫자 a의 m승에서 n차 근을 추출해야 합니다.

말이 안되는 표현에 대해. 이런 표현이 여러 개 있습니다.

어디 ㅏ ≠ 0 , 존재하지 않는다.

사실 그렇게 가정하면 엑스가 특정 숫자이면 나눗셈 연산의 정의에 따라 다음을 얻습니다. ㅏ = 0· 엑스, 즉. ㅏ= 0, 이는 다음 조건과 모순됩니다. ㅏ ≠ 0

— 아무 숫자.

실제로 이 표현이 어떤 숫자와 같다고 가정하면 엑스그러면 나누기 연산의 정의에 따라 다음과 같이 됩니다. 0 = 0 엑스. 그러나 이 평등은 어떤 숫자 x, 증명해야 할 것입니다.

0 0 — 아무 숫자.

솔루션 세 가지 주요 사례를 고려하십시오.

1) 엑스 = 0 – 이 값은 이 방정식을 만족하지 않습니다

2) 언제 엑스> 0 우리는 다음을 얻습니다. 엑스 / 엑스= 1, 즉 1 = 1, 다음과 같이,

무엇 엑스- 임의의 숫자 그러나 그것을 고려하면

우리의 경우 엑스> 0 , 답은 엑스 > 0 ;

베이스가 다른 거듭제곱 규칙

합리적인 지표로 학위,

전원 기능 IV

§ 69. 동일한 기반을 가진 권력의 곱셈과 나눗셈

정리 1.밑이 같은 거듭제곱을 곱하려면 지수를 더하고 밑을 그대로 두는 것으로 충분합니다. 즉,

증거.학위의 정의에 따라

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

우리는 두 가지 힘의 곱을 고려했습니다. 사실, 입증된 속성은 동일한 기반을 가진 여러 권한에 대해 사실입니다.

정리 2.밑이 같은 거듭제곱을 나누기 위해서는 배당의 지표가 제수의 지표보다 클 때 배당의 지표에서 제수의 지표를 빼고 밑은 그대로 두는 것으로 충분합니다. 즉, ~에 t > n

(ㅏ =/= 0)

증거.한 수를 다른 수로 나누는 몫은 약수를 곱했을 때 피제수를 제공하는 수라는 것을 기억하십시오. 그러므로 공식을 증명하십시오 , 여기서 ㅏ =/= 0, 공식을 증명하는 것과 같습니다.

만약에 t > n , 다음 번호 티 - 피 자연 스러울 것입니다. 따라서 정리 1에 의해

정리 2가 증명되었습니다.

참고 공식

다음과 같은 가정 하에서만 우리에 의해 증명되었습니다. t > n . 따라서 입증된 것으로부터 예를 들어 다음과 같은 결론을 도출하는 것은 아직 불가능합니다.

또한 우리는 음의 지수가 있는 정도를 아직 고려하지 않았으며 식 3에 어떤 의미를 부여할 수 있는지 아직 알지 못합니다. - 2 .

정리 3. 거듭제곱을 거듭제곱하려면 지수의 밑을 그대로 두고 지수를 곱하면 됩니다., 그건

증거.이 섹션의 학위 및 정리 1의 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.

Q.E.D.

예를 들어, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (구두) 결정하다 엑스 방정식에서:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 엑스 ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 엑스 ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 엑스 ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 엑스 .

519. (조정됨) 단순화:

520. (조정됨) 단순화:

521. 이 표현은 같은 밑수를 가진 각도로 나타내십시오.

1) 32 및 64; 3) 85 및 163; 5) 4100 및 3250;

2) -1000 및 100; 4) -27 및 -243; 6) 81 75 8 200 및 3 600 4 150.