불합리한 숫자. 무리수, 정의, 예 불합리수란 무엇입니까?

대수학에서 고려되는 모든 연산이 유리수 분야에서 실행 가능한 것은 아닙니다. 예를 들어 제곱근 연산이 있습니다. 따라서 의 값에 대해 동등성이 유지되면 어떤 합리적인 값에서도 동등성이 유지되지 않음을 증명해 보겠습니다. 먼저, 정수는 2와 같은 제곱을 가질 수 없다는 점에 주목합니다. 왜냐하면 우리는 가지고 있고 for는 확실히 2보다 크기 때문입니다. 이제 분수가 다음과 같다고 가정합시다: (분수는 기약으로 간주됩니다)

그러므로 우리는 짝수여야 합니다(그렇지 않으면 정사각형은 짝수가 아닐 것입니다). 넣어 보자.

이제 그것은 분수가 기약적이라는 가정과 모순되는 것으로 밝혀졌습니다.

이는 유리수 영역에서 숫자 2는 제곱근이 될 수 없으며 기호는 유리수 영역에서 의미가 없음을 보여줍니다. 한편, "정사각형의 넓이가 S와 같다는 것을 알고 정사각형의 변을 구하는 것"은 with와 마찬가지로 자연스럽습니다. 이 어려움과 다른 유사한 어려움을 해결하는 방법은 숫자의 개념을 더욱 확장하는 것입니다. 새로운 유형의 숫자 ​​- 무리수.

숫자 2의 제곱근을 추출하는 문제의 예를 사용하여 무리수를 도입하는 방법을 보여 드리겠습니다. 단순화를 위해 루트의 양수 값으로 제한하겠습니다.

모든 양의 유리수에 대해 부등식 중 하나 또는 분명히 . 그런 다음 숫자를 고려하고 첫 번째 숫자는 2보다 작은 정사각형을 갖고 두 번째 숫자는 2보다 큰 정사각형을 갖는 속성을 가진 두 개의 이웃 숫자를 찾습니다. 즉, 유사하게 이 프로세스를 계속하면 일련의 부등식을 얻습니다(여기에 작성된 소수 부분을 얻으려면 대략적인 제곱근 추출을 위해 잘 알려진 알고리즘, 13단계를 사용할 수도 있습니다).

먼저 전체 부분을 비교한 다음 유리수의 소수점 뒤의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 등의 숫자를 비교하면 2가 있는 제곱 사이에 다음 소수 자릿수를 순차적으로 작성할 수 있습니다.

m을 증가시켜 서로 다른 유리수 쌍(유한소수 분수로 표시)을 찾는 과정은 무한정 계속될 수 있습니다. 그러므로 분수(6.1)를 무한 소수 분수로 간주할 수 있습니다(주기적이라면 유리수를 나타내기 때문에 비주기적입니다).

이 무한한 비주기적인 분수, 소수점 이하 자릿수는 모두 적을 수 있지만 동시에 모든 부호를 적을 수는 없으며 다음과 같은 숫자로 간주됩니다. 2)와 같습니다.

우리는 2의 제곱근의 음수 값을 다음과 같이 표현합니다.

또는 인위적인 숫자 쓰기 형식을 사용하여 다음과 같은 형식으로 표시합니다.

이제 다음 정의를 소개하겠습니다. 무리수는 무한한 비주기적인 소수입니다.

여기서 a는 숫자를 구성하는 부분(양수, 0 또는 음수일 수 있음)이고 분수 부분의 소수 자릿수입니다.

무한 비주기 분수로 정의된 무리수는 부족과 초과에 의한 소수 근사치라고 불리는 두 개의 유한 소수 분수 시퀀스를 정의합니다.

예를 들어, 우리는 다음과 같이 씁니다.

예를 들어, 여기서 1.41은 부족에 대한 정확도가 0.01이고 초과에 대한 정확도가 1.42인 소수 근사치입니다.

무리수와 그 소수 근사치 사이의 불평등을 기록하는 것은 무리수 개념의 정의에 포함되며 무리수에 대한 "이상"과 "이하" 관계를 결정하는 기초로 사용될 수 있습니다.

점점 더 정확해지는 소수 근사치로 무리수를 표현할 수 있는 가능성은 또한 부족이나 초과에 의한 무리수 근사치에 대해 실제로 수행되는 무리수에 대한 산술 연산의 정의의 기초가 됩니다.

유리수에서 거듭제곱의 근을 취하는 행위(다른 유리수의 거듭제곱을 나타내지 않는 경우), 로그 등과 같은 많은 행위가 무리수로 이어집니다. 무리수는 다음의 비율과 같습니다. 원의 둘레를 지름으로 합니다(항목 229).

모든 유리수와 무리수는 함께 실수(또는 실수)의 집합을 형성합니다. 따라서 유한 또는 무한(주기적 또는 비주기적)의 모든 소수는 항상 실수를 결정합니다.

0이 아닌 모든 실수는 양수이거나 음수입니다.

이와 관련하여 다음 정의를 떠올려 보자. 실수 a의 절대값 또는 모듈러스는 다음과 같은 등식에 의해 결정되는 숫자입니다.

따라서 음수가 아닌 숫자의 모듈러스는 해당 숫자 자체와 같습니다(등식의 맨 위 줄). 음수의 모듈러스는 반대 기호(맨 아래 줄)를 사용하여 취한 이 숫자와 같습니다. 예를 들어,

모듈러스의 정의에 따르면 모든 숫자의 모듈러스는 음수가 아닌 숫자입니다. 숫자의 모듈러스가 0이면 숫자 자체는 0이고, 다른 경우에는 모듈러스가 양수입니다.

실수는 숫자 필드(실수 필드)를 형성합니다. 실수에 대한 유리수 연산의 결과는 다시 실수로 표현됩니다. 개별적으로 취해진 무리수는 필드나 링을 형성하지 않습니다. 예를 들어, 두 무리수의 합은 유리수 3과 같습니다.

계획에 따라 구축된 숫자 개념 개발에 대한 간략한 개요

우리는 실수 집합의 가장 중요한 속성을 지적하면서 결론을 내릴 것입니다.

1. 실수는 필드를 형성합니다.

2. 실수에 대한 연산에는 일반 법칙이 적용됩니다(예: 덧셈 및 곱셈 - 교환성, 결합성, 분배성의 법칙, 단락 1).

3. 임의의 두 실수 a와 b에 대해 세 관계 중 하나만 성립합니다. a는 b보다 크고(a > b) 는 보다 작으며 는 와 같습니다. 따라서 그들은 실수 집합이 순서가 있다고 말합니다.

4. 마지막으로, 실수 집합은 연속성의 속성을 가지고 있다고 말하는 것이 관례입니다. 이 표현에 부여된 의미는 단락 8에 설명되어 있습니다. 실수 필드와 유리수 필드를 크게 구별하는 것은 바로 이 속성입니다.

고대 수학자들은 이미 단위 길이의 세그먼트에 대해 알고 있었습니다. 예를 들어 그들은 숫자의 비합리성과 동일한 대각선과 정사각형의 변의 비공약성을 알고 있었습니다.

비합리적인 것은:

비합리성 증명의 예

2의 루트

그 반대를 가정해 봅시다: 그것은 합리적입니다. 즉, 와 정수인 환원 불가능한 분수의 형태로 표현됩니다. 가정된 평등을 제곱해 봅시다:

even 은 짝수이고 입니다. 전체가 있는 곳에 있게 하라. 그 다음에

그러므로 even은 even과 을 뜻한다. 우리는 와 짝수라는 것을 발견했는데, 이는 분수의 환원 불가능성과 모순됩니다. 이는 원래의 가정이 틀렸고, 무리수라는 뜻이다.

숫자 3의 이진 로그

그 반대를 가정해 봅시다: 그것은 합리적입니다. 즉, 분수로 표현되며, 여기서 과 는 정수입니다. 이후 , 및 는 양수로 선택될 수 있습니다. 그 다음에

하지만 짝수이고 홀수입니다. 우리는 모순을 얻습니다.

이자형

이야기

무리수의 개념은 기원전 7세기 인도 수학자들이 암묵적으로 채택했는데, 이때 마나바(기원전 750년경 - 기원전 690년경)는 2와 61과 같은 일부 자연수의 제곱근이 명시적으로 표현될 수 없다는 사실을 알아냈습니다. .

무리수의 존재에 대한 첫 번째 증거는 일반적으로 오각형의 변의 길이를 연구하여 이 증거를 발견한 피타고라스 학파인 메타폰투스의 히파수스(기원전 500년경)에 기인합니다. 피타고라스 시대에는 충분히 작고 분할할 수 없는 단일 길이 단위가 있다고 믿어졌으며, 이는 모든 세그먼트에 정수 횟수로 입력되었습니다. 그러나 히파수스는 길이의 단일 단위가 존재하지 않는다는 가정이 모순으로 이어지기 때문에 단일 단위가 없다고 주장했습니다. 그는 이등변 직각 삼각형의 빗변에 정수 개의 단위 세그먼트가 포함되어 있으면 이 숫자는 짝수이자 홀수여야 함을 보여주었습니다. 증명은 다음과 같았습니다.

• 이등변삼각형의 빗변 길이와 빗변 길이의 비는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 에이:비, 어디 에이그리고 비가장 작은 것으로 선택했습니다.
• 피타고라스의 정리에 따르면: 에이² = 2 비².
• 왜냐하면 에이- 심지어, 에이짝수여야 합니다(홀수의 제곱은 홀수이므로).
• 왜냐하면 에이:비줄일 수 없는 비이상해야합니다.
• 왜냐하면 에이심지어 우리는 에이 = 2와이.
• 그 다음에 에이² = 4 와이² = 2 비².
• 비² = 2 와이² 그러므로 비-그럼에도 비심지어.
• 그러나 다음이 입증되었습니다. 비이상한. 모순.

그리스 수학자들은 이것을 통약할 수 없는 양의 비율이라고 불렀습니다. 알로고스(말할 수 없음) 그러나 전설에 따르면 그들은 히파소스에게 합당한 존경심을 표하지 않았습니다. 히파소스가 바다 항해 중에 발견했고 다른 피타고라스학파에 의해 "우주의 모든 개체가 정수와 그 비율로 축소될 수 있다는 교리를 부정하는 우주의 요소를 창조했다는 이유로" 배 밖으로 던져졌다는 전설이 있습니다. 히파소스의 발견은 피타고라스 수학에 심각한 문제를 제기했고, 숫자와 기하학적 대상이 하나이며 분리될 수 없다는 근본적인 가정을 무너뜨렸습니다.

또한보십시오

메모

숫자, 특히 자연수를 이해하는 것은 가장 오래된 수학 "기술" 중 하나입니다. 많은 문명, 심지어 현대 문명에서도 자연을 설명하는 데 있어 숫자의 중요성이 매우 크기 때문에 특정 신비로운 속성을 숫자에 돌렸습니다. 현대 과학과 수학이 이러한 "마법의" 속성을 확인하지는 않지만 정수론의 중요성은 부인할 수 없습니다.

역사적으로 다양한 자연수가 먼저 나타난 다음 상당히 빠르게 분수와 양의 무리수가 추가되었습니다. 실수 집합의 하위 집합 뒤에 0과 음수가 도입되었습니다. 마지막 집합인 복소수 집합은 현대 과학의 발전과 함께 등장했습니다.

현대 수학에서는 숫자가 역사적 순서에 매우 가깝지만 순서대로 소개되지 않습니다.

자연수 $\mathbb(N)$

자연수 집합은 종종 $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $로 표시되며 $\mathbb(N)_0$을 표시하기 위해 종종 0으로 채워집니다.

$\mathbb(N)$는 모든 $a,b,c\in \mathbb(N)$에 대해 다음 속성을 사용하여 덧셈(+) 및 곱셈($\cdot$) 연산을 정의합니다.

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ $\mathbb(N)$ 집합은 덧셈과 곱셈 연산에서 닫혀 있습니다.
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ 교환성
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ 연관성
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ 분배성
5. $a\cdot 1=a$는 곱셈의 중립 요소입니다.

$\mathbb(N)$ 집합에는 덧셈이 아닌 곱셈을 위한 중립 요소가 포함되어 있으므로 이 집합에 0을 추가하면 덧셈을 위한 중립 요소가 포함됩니다.

이 두 가지 연산 외에도 "보다 작음" 관계($

1. $a b$ 삼분법
2. $a\leq b$ 및 $b\leq a$이면 $a=b$ 비대칭
3. $a\leq b$ 및 $b\leq c$이면 $a\leq c$는 전이적입니다.
4. $a\leq b$이면 $a+c\leq b+c$
5. $a\leq b$이면 $a\cdot c\leq b\cdot c$

정수 $\mathbb(Z)$

정수의 예:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

$a$ 및 $b$가 알려진 자연수이고 $x$가 알려지지 않은 자연수인 방정식 $a+x=b$를 풀려면 새로운 연산인 뺄셈(-)을 도입해야 합니다. 이 방정식을 만족하는 자연수 $x$가 있으면 $x=b-a$입니다. 그러나 이 특정 방정식은 $\mathbb(N)$ 집합에 대한 해를 반드시 가질 필요는 없으므로 실용적인 고려 사항은 그러한 방정식에 대한 해를 포함하도록 자연수 집합을 확장해야 합니다. 이로 인해 정수 세트 $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$가 도입됩니다.

$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$이므로 이전에 소개된 연산 $+$ 및 $\cdot$와 관계 $1을 가정하는 것이 논리적입니다. $0+a=a+0=a$ 추가할 중립 요소가 있습니다.
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$에 대해 반대 숫자 $-a$가 있습니다.

속성 5.:
5. $0\leq a$ 및 $0\leq b$이면 $0\leq a\cdot b$

$\mathbb(Z)$ 집합은 뺄셈 연산, 즉 $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$에서도 닫혀 있습니다.

유리수 $\mathbb(Q)$

유리수의 예:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

이제 $a\cdot x=b$ 형식의 방정식을 생각해 보세요. 여기서 $a$와 $b$는 알려진 정수이고 $x$는 알려지지 않은 정수입니다. 해가 가능하려면 나눗셈 연산($:$)을 도입해야 하며 해는 $x=b:a$, 즉 $x=\frac(b)(a)$ 형식을 취합니다. . $x$가 항상 $\mathbb(Z)$에 속하지 않는다는 문제가 다시 발생하므로 정수 집합을 확장해야 합니다. 이는 $\frac(p)(q)$ 요소가 있는 유리수 $\mathbb(Q)$ 세트를 소개합니다. 여기서 $p\in \mathbb(Z)$ 및 $q\in \mathbb(N)$입니다. 집합 $\mathbb(Z)$는 각 요소 $q=1$인 부분 집합이므로 $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$와 덧셈과 곱셈의 연산은 다음 식에 따라 이 집합으로 확장됩니다. $\mathbb(Q)$ 집합에서 위의 모든 속성을 유지하는 다음 규칙:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

구분은 다음과 같이 소개됩니다.
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

$\mathbb(Q)$ 집합에서 $a\cdot x=b$ 방정식은 각 $a\neq 0$에 대해 고유한 해를 갖습니다(0으로 나누는 것은 정의되지 않음). 이는 역요소 $\frac(1)(a)$ 또는 $a^(-1)$가 있음을 의미합니다.
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

$\mathbb(Q)$ 집합의 순서는 다음과 같이 확장될 수 있습니다.
$\frac(p_1)(q_1)

$\mathbb(Q)$ 집합에는 한 가지 중요한 속성이 있습니다. 두 유리수 사이에는 무한히 많은 다른 유리수가 있으므로 자연수와 정수의 집합과 달리 인접한 두 유리수는 없습니다.

무리수 $\mathbb(I)$

무리수의 예:
$\sqrt(2) \대략 1.41422135...$
$\pi\약 3.1415926535...$

임의의 두 유리수 사이에는 무한히 많은 다른 유리수들이 있기 때문에 유리수 집합이 너무 조밀해서 더 이상 확장할 필요가 없다고 잘못된 결론을 내리기 쉽습니다. 피타고라스도 당시에는 그런 실수를 저질렀습니다. 그러나 그의 동시대인들은 유리수 집합에 대한 방정식 $x\cdot x=2$ ($x^2=2$)의 해를 연구할 때 이미 이 결론을 반박했습니다. 이러한 방정식을 풀려면 제곱근 개념을 도입해야 하며, 이 방정식의 해는 $x=\sqrt(2)$ 형식을 갖습니다. $a$는 알려진 유리수이고 $x$는 알 수 없는 유리수인 $x^2=a$와 같은 방정식은 항상 유리수 집합에 대한 해법을 갖고 있는 것은 아니며 다시 확장할 필요성이 발생합니다. 세트. 무리수 집합이 발생하고 $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$...와 같은 숫자가 이 집합에 속합니다.

실수 $\mathbb(R)$

유리수 집합과 무리수 집합의 합집합이 실수 집합입니다. $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$이므로, 도입된 산술 연산과 관계가 새 집합에서 해당 속성을 유지한다고 가정하는 것이 다시 논리적입니다. 이에 대한 공식적인 증명은 매우 어렵기 때문에 위에서 언급한 산술 연산의 속성과 실수 집합에 대한 관계를 공리로 소개합니다. 대수학에서는 이러한 객체를 필드(field)라고 부르므로 실수 집합을 순서 필드(ordered field)라고 합니다.

실수 집합의 정의가 완전하려면 $\mathbb(Q)$와 $\mathbb(R)$ 집합을 구별하는 추가 공리를 도입할 필요가 있습니다. $S$가 실수 집합의 비어 있지 않은 부분 집합이라고 가정합니다. $\forall x\in S$에 $x\leq b$가 있는 경우 $b\in \mathbb(R)$ 요소를 집합 $S$의 상한이라고 합니다. 그런 다음 집합 $S$가 위에 제한되어 있다고 말합니다. 집합 $S$의 최소 상한을 상한(supremum)이라고 하며 $\sup S$로 표시합니다. 하한, 아래로 제한된 집합 및 무한 $\inf S$의 개념도 유사하게 소개됩니다. 이제 누락된 공리는 다음과 같이 공식화됩니다.

비어 있지 않고 실수 집합의 상한 부분 집합에는 상한이 있습니다.
위와 같은 방식으로 정의된 실수의 필드가 고유하다는 것도 증명할 수 있습니다.

복소수$\mathbb(C)$

복소수의 예:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ 여기서 $i = \sqrt(-1)$ 또는 $i^2 = -1$

복소수 집합은 실수의 모든 순서쌍, 즉 $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$을 나타냅니다. 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다.
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

복소수를 작성하는 데는 여러 형태가 있는데, 그 중 가장 일반적인 것은 $z=a+ib$입니다. 여기서 $(a,b)$는 실수 쌍이고 숫자 $i=(0,1)$입니다. 허수단위라고 합니다.

$i^2=-1$임을 보여주는 것은 쉽습니다. $\mathbb(R)$ 집합을 $\mathbb(C)$ 집합으로 확장하면 음수의 제곱근을 결정할 수 있으며, 이것이 복소수 집합을 도입한 이유입니다. $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$에 의해 주어진 집합 $\mathbb(C)$의 부분 집합을 보여주는 것도 쉽습니다. 실수에 대한 모든 공리를 충족하므로 $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ 또는 $R\subset\mathbb(C)$입니다.

덧셈과 곱셈 연산에 관한 집합 $\mathbb(C)$의 대수적 구조는 다음과 같은 특성을 갖습니다.
1. 덧셈과 곱셈의 교환성
2. 덧셈과 곱셈의 연관성
3. $0+i0$ - 추가를 위한 중립 요소
4. $1+i0$ - 곱셈을 위한 중립 요소
5. 곱셈은 덧셈에 대해 분배적입니다.
6. 덧셈과 곱셈 모두에 대한 단일 역원이 있습니다.

어떤 숫자가 비합리적인가요? 무리수은 합리적인 실수가 아닙니다. 분수(두 정수의 비율)로 표시할 수 없습니다. 중- 정수, N- 자연수. 무리수무한한 비주기적인 소수로 표현될 수 있습니다.

무리수정확한 의미가 없을 수도 있습니다. 3.333333 형식에서만… 예를 들어, 2의 제곱근은 무리수입니다.

어떤 숫자가 비합리적인가요? 무리수(유리수와 반대로) 무한 소수 비주기 분수라고 합니다.

무리수 세트종종 음영 없이 굵은 글씨의 라틴 대문자로 표시됩니다. 저것.:

저것들. 무리수 집합은 실수 집합과 유리수 집합의 차이입니다.

무리수의 속성.

• 음이 아닌 무리수 2개의 ​​합은 유리수가 될 수 있습니다.
• 무리수는 유리수 집합에서 데데킨트 컷을 정의하며, 하위 클래스에는 가장 큰 숫자가 없고 상위 클래스에는 더 작은 숫자가 없습니다.
• 모든 실수 초월수는 무리수입니다.
• 모든 무리수는 대수적이거나 초월적입니다.
• 무리수 집합은 수직선의 모든 곳에 밀집되어 있습니다. 모든 숫자 쌍 사이에는 무리수가 있습니다.
• 무리수 집합의 순서는 실수 초월수 집합의 순서와 동형입니다.
• 무리수의 집합은 무한하며 두 번째 범주의 집합입니다.
• 유리수를 사용한 모든 산술 연산(0으로 나누기 제외)의 결과는 유리수입니다. 무리수에 대한 산술 연산의 결과는 유리수일 수도 있고 무리수일 수도 있습니다.
• 유리수와 무리수의 합은 항상 무리수가 됩니다.
• 무리수의 합은 유리수가 될 수 있습니다. 예를 들어,허락하다 엑스그럼 비합리적이야 y=x*(-1)역시 비합리적이다; x+y=0,그리고 숫자 0 유리수(예를 들어, 7차의 근을 더하고 같은 7차의 근을 빼면 유리수 0이 됩니다).

불합리한 숫자, 예.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — 이자형 — π — δ