분포 및 포아송 공식. 불연속 확률 변수의 포아송 분포 포아송의 법칙 예

23. Gay-Lussac의 법칙 Gay-Lussac의 법칙은 다음과 같이 말합니다: 가스의 부피와 온도의 비율은 일정한 가스 압력과 질량이 일정합니다. V / T = m / MO R / P = const at P = const, m = const 등압선 방정식의 이름 등압선은 PV 다이어그램에서 직선으로 표시되며,

24. 샤를의 법칙 샤를의 법칙은 가스의 부피와 질량이 변하지 않으면 가스 압력과 온도의 비율이 일정하다고 말합니다. P / T = m / MО R / V = ​​V = const에서 상수, m = const.. isochore는 P 축에 평행한 직선의 PV 다이어그램에 표시되며,

30. 에너지 보존 및 변환의 법칙 열역학 제1법칙은 에너지가 생성되거나 사라지지 않는다는 보편적인 에너지 보존 및 변환 법칙에 기반을 두고 있습니다.

개구리 공주와 안정성의 법칙 앞서 강조한 것처럼(추상화의 법칙) 원시적 사고는 구체적인 현상을 분석하고 새로운 추상 체계를 합성할 수 있었습니다. 의식에 의해 구성된 모든 대상은 살아 있는 것으로 인식되고 살아 있는 것으로 인식되기 때문에

1.1. 진화의 기본 법칙 우리가 아는 한 생명의 진화 과정에서 생명체의 총 질량과 조직의 복잡성이 항상 증가했고 지금도 그러합니다. 생물학적 형성의 조직을 복잡하게 만드는 자연은 시련의 방법에 따라 행동하고

4.2. 무어의 법칙 가장 단순한 형태의 무어의 법칙은 트랜지스터 회로 밀도가 18개월마다 두 배가 된다는 진술입니다. 이 법의 저자는 잘 알려진 Intel 회사의 창립자 중 한 명인 Gordon Moore에 기인합니다. 엄밀히 말하면,

$X$는 이 양이 음이 아닌 정수 값을 취하는 경우 모수 $\lambda$($\lambda$$>$0)가 있는 푸아송 분포를 갖습니다. $k=0, 1, 2,\dots$ 확률 $pk$ =$\frac (\lambda ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} 시므온 드니 푸아송 1837년)

푸아송 분포희귀 사건의 법칙이라고도 불리는데, 확률 pk는 많은 수의 독립적인 시행에 걸쳐 일부 희귀 사건의 발생 횟수에 대한 대략적인 분포를 제공하기 때문입니다. 이 경우 $\lambda =n \cdot р$로 가정합니다. 여기서 $n$은 베르누이 시행 횟수이고 $р$는 한 번의 시행에서 사건이 발생할 확률입니다.

많은 수의 시행에 대해 이항 분포 대신 푸아송의 법칙을 사용하는 정당성은 다음 정리에 의해 주어집니다.

정리 1

푸아송의 정리.

베르누이 체계 n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0에서 $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$(유한수)이면

$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

증거 없이.

참고 1

푸아송 공식은 작은 $p$와 큰 숫자 $n$ 및 $n \cdot p $에 대해 더 정확해집니다.

기대값모수 $\lambda$가 있는 푸아송 분포의 확률 변수:

$M(X)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

분산모수 $\lambda$가 있는 푸아송 분포의 확률 변수:

$D(X)$=$\람다$ .

문제 해결에 포아송 공식 적용

예 1

대량 생산 시 불량품이 나올 확률은 $0.002$입니다. $1500 품목의 배치에서 불량품이 3개 이하일 확률을 구하십시오. 불량품의 평균 개수를 구합니다.

• $A$는 $1500$ 품목의 배치에서 결함이 있는 품목의 수입니다. 그러면 원하는 확률은 $A$ $\leq$ $3$일 확률입니다. 이 문제에는 $n=1500$ 및 $p=0.002$인 베르누이 체계가 있습니다. 푸아송 정리를 적용하기 위해 $\lambda=1500 \cdot 0.002=3$로 설정합니다. 그러면 원하는 확률

• 평균 결함 품목 수 $M(A)$=$\lambda$=3.

예 2

이 기관의 교환기는 $100$의 가입자에게 서비스를 제공합니다. 가입자가 $1$분 이내에 전화를 걸 확률은 $0.01$입니다. $1$ 분 이내에 아무도 전화를 걸지 않을 확률을 구하십시오.

$A$는 $1$ 분 동안 스위치에 대한 호출 수라고 합니다. 그러면 원하는 확률은 $A=0$일 확률입니다. 이 문제에서는 $n=100$, $p=0.01$인 Bernoulli 방식이 적용됩니다. 푸아송 정리를 사용하려면 다음을 설정합니다.

$\lambda=100 \cdot 0.01=1$.

그러면 원하는 확률

$P = e^-1$ $\약0.37$.

예 3

공장은 $500$의 제품을 기지로 보냈습니다. 배송 중 제품 손상 가능성은 $0.002$입니다. 경로가 손상될 확률 찾기

1. 정확히 세 가지 제품;
2. 세 항목 미만.

Poisson 공식에 대한 설명을 보면 제품 손상 확률 $p=0.002$가 작고, 제품의 개수 $n=500$이 많기 때문에 $a=n\cdot p=1

두 번째 문제를 해결하기 위해 $k1=0$ 및 $k2=2$인 공식을 적용할 수 있습니다. 우리는:

예 4

교과서는 $100,000 부로 출판되었습니다. 한 교과서가 잘못 제본될 확률은 $0.0001$입니다. 발행부수에 $5$의 불량 도서가 포함될 확률은 얼마입니까?

문제의 조건에 의해 $n = 100000$, $p = 0.0001$.

"$n$ 책 중 정확히 $m$ 책이 잘못 제본되었습니다" 이벤트($m = 0,1,2, \dots ,100000$)는 독립적입니다. 숫자 $n$은 크고 확률 $p$는 작기 때문에 확률 $P_n (m)$은 푸아송 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. $P_n$(m)$\approx \frac((\lambda )^ m\cdot e^ (-\lambda ))(m$ , где $\lambda = np$.!}

고려중인 문제에서

$\lambda = 100000 \cdot 0.0001 = 10$.

따라서 원하는 확률 $P_(100000)$(5)는 다음과 같은 식으로 결정됩니다.

$P_(100000)$ (5)$\approx \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

답변: $0.0375.

실시예 5

공장은 5,000달러 상당의 양질의 제품을 기지로 보냈습니다. 제품이 도중에 파손될 확률은 $0.0002$입니다. 사용할 수 없는 세 개의 아이템이 기지에 도착할 확률을 구하십시오.

조건으로 $n=5000$; $p = $0.0002; $케이 = 3$. $\lambda$ 찾기:

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0.0002 = 1$.

푸아송 공식에 따른 원하는 확률은 다음과 같습니다.

실시예 6

한 명의 가입자가 1시간 이내에 교환국에 전화할 확률은 0.01입니다. 한 시간 안에 200명의 가입자가 전화를 걸었습니다. 3명의 가입자가 1시간 이내에 전화할 확률을 구하십시오.

문제의 상태를 고려하면 다음과 같습니다.

Poisson 공식에 대한 $\lambda $를 찾아봅시다.

\[\lambda=np=200\cdot 0.01=2.\]

Poisson 공식의 값을 대체하고 값을 얻습니다.

실시예 7

교수진에는 500 명의 학생이 있습니다. 9월 1일이 동시에 두 학생의 생일일 확률은 얼마입니까?

$n=500$가 있습니다. $p=1/365 \약 0.0027$, $q=0.9973$. 시행 횟수가 많고 실행 확률이 매우 낮기 때문에 $npq=1.35 \

이항분포는 고정된 크기의 표본을 추출한 경우에 적용됩니다. 푸아송 분포는 다음과 같은 경우를 나타냅니다. 무작위 사건의 수는 특정 길이, 면적, 부피 또는 시간에서 발생하는 반면 분포의 결정 매개변수는 평균 사건 수입니다. , 샘플 크기가 아님 피성공률 아르 자형.예를 들어, 샘플의 부적합 수 또는 제품 단위당 부적합 수입니다.

성공 횟수에 대한 확률 분포 엑스다음과 같은 형식이 있습니다.

또는 불연속 확률 변수라고 말할 수 있습니다. 엑스가능한 값이 0.1, 2 인 경우 Poisson의 법칙에 따라 분포, ...t, ...p,그러한 값의 발생 확률은 다음 관계에 의해 결정됩니다.

어디 미디엄 또는 λ는 포아송 분포 매개변수라고 하는 양수 값입니다.

푸아송의 법칙은 "드물게" 발생하는 사건에 적용되는 반면, 또 다른 성공(예: 실패)의 가능성은 지속적이고 일정하며 이전 성공 또는 실패의 수에 의존하지 않습니다(시간이 지남에 따라 발전하는 프로세스의 경우, 이 "과거로부터의 독립"이라고 함). 포아송의 법칙이 적용되는 고전적인 예는 주어진 시간 간격 동안 전화 교환기의 전화 통화 수입니다. 다른 예로는 엉성한 원고 페이지의 잉크 얼룩 수 또는 그림을 그리는 동안 차체의 얼룩 수를 들 수 있습니다. 푸아송 분포 법칙은 결함 제품의 수가 아니라 결함 수를 측정합니다.

포아송 분포는 고정된 시간 간격으로 또는 고정된 공간 영역에서 나타나는 무작위 사건의 수를 따릅니다.<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>성장에 따른 P(m)의 1 값 티 최대 근처를 통과 /

푸아송 분포의 특징은 분산이 수학적 기대치와 동일하다는 것입니다. 포아송 분포 모수

M(x) = σ 2 = λ (15)

푸아송 분포의 이 기능을 사용하면 수학적 기대값과 분산의 샘플 값이 거의 동일한 경우 실험적으로 얻은 무작위 변수 분포가 푸아송 분포의 영향을 받는다는 사실을 실제로 알 수 있습니다.

희귀 사건의 법칙은 완제품의 선택적 제어를 위해 기계 공학에서 사용되며, 기술 조건에 따라 허용되는 제품 배치 q에서 일정 비율의 거부(일반적으로 작은)가 허용됩니다.<<0.1.

사건 A의 확률 q가 매우 작고(q≤0.1) 시행 횟수가 많으면 사건 A가 n번 시행할 때 m번 발생할 확률은 다음과 같습니다.

여기서 λ = M(x) = nq

포아송 분포를 계산하려면 다음 반복 관계를 사용할 수 있습니다.

포아송 분포는 초기하 및 이항 분포를 근사화하는 데 사용할 수 있기 때문에 통계적 품질 보증 방법에서 중요한 역할을 합니다.

이러한 근사는 qn이 유한한 한계를 갖고 q가 다음과 같은 경우에 허용됩니다.<0.1. Когда n →∞, ㅏ 피 → 0, 평균 np = t = const.

희귀 사건의 법칙을 사용하여 n개의 표본이 0,1,2,3 등을 포함할 확률을 계산할 수 있습니다. 결함 부품, 즉 m번 주어진다. 이러한 m개의 결함 부품 등의 샘플에서 발생 확률을 계산할 수도 있습니다. 확률 추가 규칙에 따라 이 확률은 다음과 같습니다.

예 1. 배치에는 결함 부품이 포함되어 있으며 그 비율은 0.1입니다. 10개의 부품을 순차적으로 가져와 검사한 후 배치로 반환합니다. 테스트는 독립적입니다. 부품 10개를 검사할 때 결함 부품 1개를 발견할 확률은 얼마입니까?

결정문제의 조건으로부터 q=0.1; n=10; m=1.분명히 p=1-q=0.9입니다.

얻은 결과는 배치로 다시 반환하지 않고 10개의 부품을 연속으로 제거한 경우에 기인할 수도 있습니다. 예를 들어 1000개와 같이 충분히 큰 배치의 경우 부품을 추출할 확률이 무시할 정도로 변경됩니다. 따라서 이러한 조건에서 결함 부품의 제거는 이전 테스트 결과와 무관한 이벤트로 간주될 수 있습니다.

예 2배치에는 결함 부품의 1%가 포함되어 있습니다. 배치에서 50개 단위의 샘플을 추출한 경우 0, 1, 2, 3,4개의 결함 부품이 포함될 확률은 얼마입니까?

결정.여기서 q=0.01, nq=50*0.01=0.5

따라서 푸아송분포를 이항분포의 근사치로 효과적으로 적용하기 위해서는 성공확률이 아르 자형현저히 적었다 q.ㅏ np = 티하나 (또는 ​​여러 단위) 정도였습니다.

따라서 통계적 품질 보증 방법에서

초기하법모든 크기의 샘플에 적용 가능 피 모든 수준의 불일치 큐 ,

이항법칙과 푸아송의 법칙 n/N인 경우 각각 특수한 경우입니다.<0,1 и

소개

확률 이론은 무작위 현상의 패턴을 연구하는 수학 과학입니다. 오늘날 그것은 실질적으로 중요한 본격적인 과학입니다.

확률론의 역사는 17세기로 거슬러 올라간다. 그때는 대량 무작위 현상과 관련된 문제를 체계적으로 연구하려는 첫 번째 시도가 있었고 그에 상응하는 수학적 장치가 등장했다. 그 이후로 많은 기초가 개발되고 현재 개념으로 심화되었으며 다른 중요한 법칙과 규칙이 발견되었습니다. 많은 과학자들이 확률 이론의 문제에 대해 연구하고 연구하고 있습니다.

그 중에서도 야콥 베르누이보다 대수법칙의 보다 일반적인 형태를 증명한 시므온 드니 푸아송((1781–1840) - 프랑스 수학자)의 업적에 주목하지 않을 수 없다. 사격 문제에 확률 이론을 적용했습니다. 푸아송의 이름은 확률 이론과 그 적용에서 중요한 역할을 하는 분포 법칙 중 하나와 관련이 있습니다.

주어진 실험에서이 사건이 발생했다는 사실이 과거에 발생한 횟수와 시점에 의존하지 않고 영향을 미치지 않는 경우 단위 시간당 특정 무작위 사건의 발생 횟수 미래. 그리고 테스트는 정지된 조건에서 수행되며, 그런 다음 포아송의 법칙은 일반적으로 이러한 랜덤 변수의 분포를 설명하는 데 사용됩니다(이 분포는 1837년에 이 과학자가 처음 제안하고 발표했습니다).

이 법칙은 단일 실험에서 우리가 관심 있는 이벤트가 발생할 확률 p가 매우 작지만 단위 시간당 수행되는 실험 수 m이 충분히 큰 경우 이항 분포의 제한 사례로도 설명될 수 있습니다. 즉, 프로세스 p에서

따라서 푸아송의 법칙은 종종 희귀 사건의 법칙이라고도 합니다.

확률 이론의 포아송 분포

기능 및 분포 시리즈

포아송 분포는 이항 분포의 특수한 경우입니다( N>> 0과 피–> 0(희귀한 사건)).

수학에서 이항 분포의 모든 구성원 값을 대략적으로 계산할 수 있는 공식이 알려져 있습니다.

어디 ㅏ = N · 피는 푸아송 매개변수(수학적 기대치)이고 분산은 수학적 기대치와 같습니다. 이 전환을 설명하는 수학적 계산을 제시하겠습니다. 이항 분포 법칙

오후 = 시엔엠 · 오후· (하나 - 피)N – 미디엄

넣으면 쓸 수 있다 피 = ㅏ/N, 같이

왜냐하면 피매우 작음, 숫자만 고려해야 함 미디엄, 에 비해 작음 N. 일하다

통일에 아주 가깝다. 사이즈도 마찬가지

매우 가까운 이자형 –ㅏ. 여기에서 공식을 얻습니다.

생성 기능의 경우

누적 분포 확률 함수는 다음과 같습니다.

푸아송 분포 랜덤 변수의 전형적인 예는 주어진 기간 동안 도로의 모든 구간을 통과하는 자동차의 수입니다. 주어진 크기의 하늘 섹션에 있는 별의 수, 주어진 길이의 텍스트에 있는 오류 수, 콜 센터의 전화 수 또는 히트 수와 같은 예를 기록할 수도 있습니다. 주어진 시간 동안 웹 서버.

푸아송 법칙에 따라 분포된 확률 변수 X의 분포 계열은 다음과 같습니다.

무화과. 1은 랜덤 변수 분포의 다각형을 보여줍니다. 엑스 Poisson의 법칙에 따라 매개 변수의 다른 값에 해당 ㅏ.

먼저, 확률의 시퀀스가 ​​분포 시리즈, 즉 모든 확률의 합은 아르 자형미디엄 1과 같습니다.

우리는 기능의 확장을 사용합니다 전 Maclaurin 시리즈:

이 시리즈는 모든 값에 대해 수렴하는 것으로 알려져 있습니다. 엑스, 따라서 복용 x=a, 우리는 얻는다

따라서

푸아송 분포에 대한 규정의 수치적 특성

이산 확률 변수의 수학적 기대치는 가능한 모든 값과 확률의 곱의 합입니다.

정의에 따르면 불연속 확률 변수가 셀 수 있는 값 집합을 취하는 경우:

합계의 첫 번째 항(해당하는 미디엄=0 )는 0과 같으므로 합산은 다음에서 시작할 수 있습니다. 미디엄=1 :

따라서 매개변수 ㅏ확률 변수에 대한 수학적 기대치에 지나지 않습니다. 엑스.

수학적 기대치 외에도 랜덤 변수의 위치는 최빈값과 중앙값으로 특징지어집니다.

확률 변수의 최빈값은 가장 확률이 높은 값입니다.

연속 수량의 경우 모드는 확률 밀도 함수의 로컬 최대 지점입니다. 다각형 또는 분포 곡선에 최대값이 하나 있으면(그림 2a) 분포를 단봉형(unimodal)이라고 하고, 최대값이 두 개 이상인 경우 다중봉(특히 두 가지 최빈값을 갖는 분포를 바이모달(bimodal)이라고 함)이라고 합니다. 최소값을 갖는 분포를 반모달(antimodal)이라고 합니다(그림 2b).

x 모드 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

임의 변수의 가장 가능성 있는 값은 불연속 임의 변수에 대한 전체 확률 최대값 또는 연속 임의 변수에 대한 분포 밀도를 제공하는 모드입니다.

중앙값은 확률 밀도 그래프 아래의 영역을 반으로 나누는 값 x l입니다. 중앙값은 방정식의 근입니다. 수학적 기대치는 존재하지 않을 수 있지만 중앙값은 항상 존재하며 모호할 수 있습니다.

랜덤 변수의 중앙값

스프레드의 수치적 특성

임의 변수 X의 분산은 임의 변수의 수학적 기대값에서 편차의 제곱에 대한 수학적 기대값이라고 합니다.