공간에서 직육면체입니다. 평행 육면체의 정의. 기본 속성 및 수식. 정의: 부피의 개념

입방체

직육면체는 모든 면이 직사각형인 직육면체입니다.

우리 주변을 둘러보는 것만으로도 충분하며 우리 주변의 물체가 평행 육면체와 비슷한 모양을 가지고 있음을 알 수 있습니다. 색상이 다를 수 있고 추가 세부 사항이 많을 수 있지만 이러한 미묘함을 버리면 예를 들어 캐비닛, 상자 등의 모양이 거의 같다고 말할 수 있습니다.

우리는 거의 매일 직육면체의 개념을 접하게 됩니다! 주위를 둘러보고 직사각형 상자가 어디에서 보이는지 말해주세요. 책을 보세요. 그냥 그런 모양이니까요! 벽돌, 성냥갑, 나무 블록은 모양이 같고 지금도 직사각형 직육면체 안에 있습니다. 교실이 이 기하학적 도형을 가장 밝게 해석하기 때문입니다.

운동:평행 육면체의 예는 무엇입니까?

직육면체를 자세히 살펴보겠습니다. 그리고 우리는 무엇을 봅니까?

먼저, 우리는 이 도형이 직육면체의 면인 6개의 직사각형으로 형성되어 있음을 알 수 있습니다.

둘째, 직육면체에는 8개의 정점과 12개의 모서리가 있습니다. 직육면체의 모서리는 면의 측면이고 직육면체의 꼭지점은 면의 꼭지점입니다.

운동:

1. 직육면체의 각 면의 이름은 무엇입니까? 2. 어떤 매개변수 덕분에 평행사변형을 측정할 수 있습니까? 3. 반대 면을 정의합니다.

평행 육면체의 종류

그러나 평행육면체는 직사각형일 뿐만 아니라 곧고 기울어질 수도 있으며, 직선은 직사각형, 비직사각형, 정육면체로 나뉩니다.

과제: 그림을 보고 어떤 평행 육면체가 보이는지 말해보세요. 직육면체는 정육면체와 어떻게 다른가요?

직육면체의 속성

직육면체에는 다음과 같은 여러 가지 중요한 속성이 있습니다.

첫째, 이 기하학적 도형의 대각선의 제곱은 높이, 너비 및 길이의 세 가지 주요 매개 변수의 제곱의 합과 같습니다.

둘째, 네 개의 대각선이 모두 완전히 동일합니다.

셋째, 평행 육면체의 세 매개 변수가 모두 같으면, 즉 길이, 너비 및 높이가 같으면 이러한 평행 육면체를 입방체라고 하며 모든 면은 동일한 정사각형과 같습니다.

운동

1. 직육면체의 면은 같습니까? 있는 경우 그림에 표시하십시오. 2. 직육면체의 면은 어떤 기하학적 모양으로 구성되어 있습니까? 3. 서로에 대해 동등한 면의 배열은 무엇입니까? 4. 이 그림의 동일한 면의 쌍 수를 말하십시오. 5. 직육면체에서 길이, 너비, 높이를 나타내는 모서리를 찾습니다. 몇개나 세셨나요?

일

어머니의 생일 선물을 아름답게 준비하기 위해 Tanya는 직육면체 모양의 상자를 가져갔습니다. 이 상자의 크기는 25cm*35cm*45cm입니다. 이 패키지를 아름답게 만들기 위해 Tanya는 그 위에 붙여 넣기로 결정했습니다. 아름다운 종이, 비용은 1 dm2 당 3 hryvnia입니다. 포장지에 돈을 얼마나 써야 할까요?

유명한 마술사 데이비드 블레인이 실험의 일환으로 템스 강 위에 매달린 유리 상자에서 44일을 보냈다는 사실을 알고 계셨나요? 이 44일 동안 그는 아무것도 먹지 않고 물만 마셨다. 자발적인 교도소에서 David는 필기구, 베개와 매트리스, 손수건만을 가져갔습니다.

기하학에서 핵심 개념은 평면, 점, 선 및 각도입니다. 이 용어를 사용하여 모든 기하학적 도형을 설명할 수 있습니다. 다면체는 일반적으로 원, 삼각형, 정사각형, 직사각형 등과 같이 동일한 평면에 있는 더 간단한 모양으로 설명됩니다. 이 기사에서는 평행 육면체가 무엇인지 고려하고 평행 육면체의 유형, 속성, 구성 요소를 설명하고 각 평행 육면체 유형의 면적과 부피를 계산하는 기본 공식을 제공합니다.

정의

3차원 공간에서 평행육면체는 모든 면이 평행사변형인 프리즘입니다. 따라서 세 쌍의 평행한 평행사변형 또는 여섯 개의 면만 가질 수 있습니다.

상자를 시각화하려면 일반 표준 벽돌을 상상해 보십시오. 벽돌 - 좋은 예어린아이도 상상할 수 있는 직육면체. 다른 예로는 다층 조립식 주택, 캐비닛, 적절한 모양의 식품 저장 용기 등이 있습니다.

그림의 종류

평행 육면체에는 두 가지 유형만 있습니다.

1. 모든 측면이 바닥에 대해 90o 각도를 이루는 직사각형이며 직사각형입니다.
2. 경사, 측면이 바닥에 대해 일정한 각도로 위치합니다.

이 그림은 어떤 요소로 나눌 수 있습니까?

• 여느때와 마찬가지로 기하학적 도형, 평행 육면체에서 공통 모서리를 가진 두 면은 인접(addicted)하고 그렇지 않은 두 면은 평행(parallelogram)이라고 합니다.
• 평행 육면체의 한 면에 있지 않은 꼭짓점을 마주보는 꼭지점이라고 합니다.
• 이러한 정점을 연결하는 세그먼트는 대각선입니다.
• 하나의 꼭지점에서 결합하는 입방체의 세 모서리의 길이는 치수(즉, 길이, 너비 및 높이)입니다.

모양 속성

1. 그것은 항상 대각선의 중간에 대해 대칭적으로 만들어집니다.
2. 모든 대각선의 교차점은 각 대각선을 두 개의 동일한 세그먼트로 나눕니다.
3. 반대면은 길이가 같고 평행선 위에 있습니다.
4. 상자의 모든 치수의 제곱을 더하면 결과 값은 대각선 길이의 제곱과 같습니다.

계산 공식

평행 육면체의 각 특정 경우에 대한 공식은 다를 것입니다.

임의의 평행 육면체의 경우 부피가 삼중의 절대 값과 같다는 진술은 사실입니다. 내적동일한 정점에서 나오는 세 변의 벡터. 그러나 임의의 평행 육면체의 부피를 계산하는 공식은 없습니다.

직육면체의 경우 다음 공식이 적용됩니다.

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V는 그림의 부피입니다.
• Sb - 측면 표면적;
• Sp - 면적 전체 표면;
• a - 길이;
• b - 폭;
• c - 높이.

모든 변이 정사각형인 평행 육면체의 또 다른 특별한 경우는 정육면체입니다. 정사각형의 변 중 하나가 문자 a로 표시되면 이 그림의 표면적과 부피에 대해 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• 에스- 그림 영역,
• V는 그림의 부피,
• a - 그림의 얼굴 길이.

우리가 고려하고 있는 마지막 종류의 평행 육면체는 직선 평행 육면체입니다. 직육면체와 직육면체의 차이점은 무엇입니까? 사실 직육면체의 밑변은 평행사변형일 수 있고 직선의 밑변은 직사각형만 될 수 있습니다. 모든 변의 길이의 합과 같은 밑면의 둘레를 Po로 지정하고 높이를 h로 지정하면 다음 공식을 사용하여 전체 및 측면의 부피와 면적을 계산할 수 있습니다. 표면.

수업 목표:

1. 교육적:

평행 육면체의 개념과 유형을 소개합니다.
- 평행사변형과 직사각형의 비유를 사용하여 공식화하고 평행육면체와 직각 평행육면체의 특성을 증명합니다.
- 공간에서의 평행도 및 직각도와 관련된 질문을 반복합니다.

2. 개발 중:

이러한 학생들의 발전을 계속 인지 과정지각, 이해, 사고, 주의, 기억;
- 사고의 특성(직관, 공간적 사고)으로서 학생들의 창의적 활동 요소 개발을 촉진합니다.
-기하학의 주제 내 연결을 이해하는 데 도움이되는 유추를 포함하여 결론을 도출하는 능력을 학생들에게 형성합니다.

3. 교육적:

조직 교육, 체계적인 작업 습관에 기여하십시오.
-기록 준비, 그림 실행에서 미적 기술 형성을 촉진합니다.

수업 유형: 수업 학습 새로운 자료(2시간).

수업 구조:

1. 조직적인 순간.
2. 지식의 실현.
3. 새로운 자료 학습.
4. 숙제 요약 및 설정.

장비: 증거가 있는 포스터(슬라이드), 모든 유형의 평행 육면체를 포함한 다양한 기하학적 몸체의 모델, 그래프 프로젝터.

수업 중.

1. 조직적인 순간.

2. 지식의 실현.

수업의 주제를보고하고, 학생들과 함께 목표와 목적을 공식화하고, 주제 연구의 실질적인 중요성을 보여주고,이 주제와 관련하여 이전에 연구 한 문제를 반복합니다.

3. 새로운 자료 학습.

3.1. 평행 육면체 및 그 유형.

평행 육면체의 모형은 프리즘의 개념을 사용하여 평행 육면체의 정의를 공식화하는 데 도움이 되는 특징의 식별과 함께 시연됩니다.

정의:

평행 육면체밑면이 평행사변형인 프리즘이라고 합니다.

평행육면체가 그려지고(그림 1), 평행육면체의 요소는 프리즘의 특별한 경우로 나열됩니다. 슬라이드 1이 표시됩니다.

정의의 개략적 표기법:

결론은 다음 정의에서 도출됩니다.

1) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 프리즘이고 ABCD가 평행사변형이면 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 평행 육면체.

2) 만약 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – 평행 육면체이면 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 프리즘이고 ABCD는 평행사변형입니다.

3) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 프리즘이 아니거나 ABCD가 평행사변형이 아니면,
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - 아님 평행 육면체.

4) . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 아닌 경우 평행 육면체이면 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 프리즘이 아니거나 ABCD는 평행사변형이 아닙니다.

또한, 평행 육면체의 특별한 경우는 분류 체계의 구성과 함께 고려되며(그림 3 참조), 모델이 시연되고 직선 및 직육면체의 특성이 구별되며 정의가 공식화됩니다.

정의:

평행 육면체는 측면 모서리가 밑변에 수직이면 직선형이라고 합니다.

정의:

평행 육면체라고합니다 직사각형, 측면 모서리가 밑면에 수직이고 밑면이 직사각형인 경우(그림 2 참조).

도식적인 형태로 정의를 작성한 후 그 정의를 공식화합니다.

3.2. 평행 육면체의 속성.

공간 아날로그가 평행육면체 및 직육면체(평행사변형 및 직사각형)인 면적 측정 도형을 검색합니다. 이 경우 그림의 시각적 유사성을 다루고 있습니다. 유추에 의한 추론 규칙을 사용하여 테이블이 채워집니다.

유추에 의한 추론 규칙:

1. 이전에 공부한 것 중에서 선택 피규어 피규어이것과 비슷합니다.
2. 선택한 도형의 속성을 공식화합니다.
3. 원본 그림과 유사한 속성을 공식화합니다.
4. 공식화 된 진술을 증명하거나 반박하십시오.

속성 공식화 후 각 속성의 증명은 다음 계획에 따라 수행됩니다.

• 증명 계획에 대한 논의;
• 증명 슬라이드 데모(슬라이드 2-6);
• 학생이 노트북에 증거를 등록합니다.

3.3 큐브 및 해당 속성.

정의: 정육면체는 세 차원이 모두 같은 직육면체입니다.

평행 육면체와 유추하여 학생들은 독립적으로 정의의 도식적 기록을 만들고 그로부터 결과를 도출하고 입방체의 속성을 공식화합니다.

4. 숙제 요약 및 설정.

숙제:

1. 10-11 학년 기하학 교과서에 따라 수업 개요를 사용하여 L.S. Atanasyan 및 기타, 연구 ch.1, §4, p.13, ch.2, §3, p.24.
2. 평행 육면체의 속성을 증명하거나 반증하십시오. 표의 항목 2.
3. 보안 질문에 답하십시오.

제어 질문.

1. 평행 육면체의 두 측면만이 밑면에 수직인 것으로 알려져 있습니다. 어떤 유형의 평행 육면체?

2. 직육면체는 직육면체의 측면을 몇 개나 가질 수 있습니까?

3. 한쪽 면만 있는 평행 육면체를 가질 수 있습니까?

1) 베이스에 수직;
2) 직사각형 모양을 갖는다.

4. 직육면체에서는 모든 대각선이 같습니다. 직사각형인가요?

5. 직육면체에서 대각선 부분이 밑면 평면에 수직이라는 것은 사실입니까?

6. 직육면체의 대각선의 제곱에 대한 정리와 반대되는 정리를 공식화하십시오.

7. 큐브와 직육면체를 구별하는 추가 기능은 무엇입니까?

8. 정육면체는 꼭지점 중 하나에서 모든 모서리가 같은 평행 육면체입니까?

9. 정육면체의 경우 직육면체의 대각선의 제곱에 대한 정리를 공식화하십시오.

정리. 모든 평행 육면체에서 마주보는 면은 동일하고 평행합니다.

따라서 면(그림) BB 1 C 1 C와 AA 1 D 1 D는 ​​평행합니다. 왜냐하면 한 면의 두 교차선 BB 1과 B 1 C 1은 다른 하나. B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (평행사변형의 반대변) 및 ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 이므로 이 면은 동일합니다.

정리. 모든 평행 육면체에서 네 개의 대각선은 모두 한 지점에서 교차하고 반으로 나뉩니다.

예를 들어 AC 1과 DB 1과 같이 평행 육면체에서 두 개의 대각선을 취하고 직선 AB 1과 DC 1을 그립니다.

에지 AD 및 B1C1은 각각 에지 BC와 동일하고 평행하므로 서로 동일하고 평행하다.

결과적으로 그림 ADC 1 B 1은 C 1 A와 DB 1이 대각선이고 평행사변형에서 대각선이 반으로 교차하는 평행사변형입니다.

이 증명은 대각선 2개마다 반복할 수 있습니다.

따라서 대각선 AC 1은 BD 1과 반으로 교차하고 대각선 BD 1은 A 1 C와 반으로 교차합니다.

따라서 모든 대각선은 반으로 교차하므로 한 지점에서 교차합니다.

정리. 직육면체에서 대각선의 정사각형 합계와 같습니다 3차원의 제곱.

(그림) AC 1을 직육면체의 대각선이라고 하자.

AC를 그린 후 AC 1 C와 ACB라는 두 개의 삼각형을 얻습니다. 둘 다 직사각형입니다.

첫 번째는 상자가 직선이므로 가장자리 CC 1이 밑면에 수직이기 때문입니다.

두 번째는 평행 육면체가 직사각형이기 때문에 밑면에 직사각형이 있다는 의미입니다.

이 삼각형에서 우리는 다음을 찾습니다.

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 및 AC 2 = AB 2 + BC 2

따라서 AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

결과. 직육면체에서 모든 대각선은 동일합니다..

정의

다면체다각형으로 구성되고 공간의 일부를 경계로 하는 닫힌 표면을 호출합니다.

이러한 다각형의 측면인 세그먼트를 호출합니다. 갈비 살다면체와 다각형 자체 - 얼굴. 다각형의 정점을 다면체의 정점이라고 합니다.

볼록 다면체(면을 포함하는 각 평면의 한쪽 면에 있는 다면체)만 고려할 것입니다.

다면체를 구성하는 다각형은 표면을 형성합니다. 주어진 다면체로 둘러싸인 공간의 일부를 내부라고 합니다.

정의: 프리즘

평행 평면에 위치한 두 개의 동일한 다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\)을 고려하여 세그먼트가 \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)병렬입니다. 다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\) 및 평행사변형으로 형성된 다면체 \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), (\(n\)-석탄) 프리즘.

다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\)은 프리즘의 밑면이라고 합니다. 평행사변형 \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– 측면, 세그먼트 \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- 옆 갈비뼈.
따라서 프리즘의 측면 가장자리는 서로 평행하고 동일합니다.

예를 고려하십시오 - 프리즘 \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), 밑면이 볼록한 오각형입니다.

키프리즘은 한 밑면의 임의의 점에서 다른 밑면의 평면에 수직인 것입니다.

측면 가장자리가 밑면에 수직이 아닌 경우 이러한 프리즘을 호출합니다. 비스듬한(그림 1), 그렇지 않으면 - 똑바로. 직선 프리즘의 경우 측면 가장자리는 높이이고 측면은 동일한 직사각형입니다.

정다각형이 직각기둥의 밑면에 있으면 프리즘이라고 합니다. 옳은.

정의: 부피의 개념

부피 단위는 단위 입방체(크기가 \(1\times1\times1\) units\(^3\) 인 입방체, 여기서 단위는 측정 단위임)입니다.

다면체의 부피는 이 다면체가 제한하는 공간의 양이라고 말할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우: 단위 입방체와 그 부분이 주어진 다면체에 몇 번 맞는지를 수치로 나타내는 값입니다.

볼륨은 면적과 동일한 속성을 가집니다.

1. 같은 도형의 부피는 같다.

2. 다면체가 여러 개의 교차하지 않는 다면체로 구성되어 있으면 그 부피는 이러한 다면체의 부피의 합과 같습니다.

3. 볼륨은 음수가 아닌 값입니다.

4. 부피는 cm\(^3\)(입방 센티미터), m\(^3\)(입방 미터) 등으로 측정됩니다.

정리

1. 프리즘의 측면 면적은 밑면 둘레와 프리즘 높이의 곱과 같습니다.
측면 표면적은 프리즘의 측면 면적의 합입니다.

2. 프리즘의 부피 제품과 동일합니다기본 영역에서 프리즘 높이까지: \

정의: 상자

평행 육면체밑면이 평행사변형인 프리즘입니다.

평행육면체의 모든 면(\(6\):\(4\) 옆면과 \(2\) 밑면)은 평행사변형이고, 마주보는 면(서로 평행)은 동일한 평행사변형입니다(그림 2).

상자의 대각선같은 면에 있지 않은 평행 육면체의 두 꼭짓점을 연결하는 선분입니다(각 \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)등.).

입방체밑면이 직사각형인 직육면체입니다.
왜냐하면 가 직육면체이면 옆면은 직사각형입니다. 따라서 일반적으로 직육면체의 모든 면은 직사각형입니다.

직육면체의 모든 대각선은 동일합니다(이것은 삼각형의 평등에서 따릅니다. \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)등.).

논평

따라서 평행 육면체는 프리즘의 모든 속성을 가지고 있습니다.

정리

직육면체의 측면 면적은 다음과 같습니다. \

직육면체의 전체 표면적은 \

정리

직육면체의 부피는 한 정점에서 나오는 세 변의 곱과 같습니다(직육면체의 3차원). \

증거

왜냐하면 직육면체의 경우 측면 모서리는 밑면에 수직이며 높이이기도 합니다. 즉, \(h=AA_1=c\) 밑면은 직사각형 \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). 여기서 공식이 나옵니다.

정리

직육면체의 대각선 \(d\)는 다음 공식으로 검색됩니다(여기서 \(a,b,c\)는 직육면체의 치수임)\

증거

그림을 고려하십시오. 3. 왜냐하면 밑면은 직사각형이고 \(\triangle ABD\)는 직사각형이므로 피타고라스의 정리 \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) 에 의해 됩니다.

왜냐하면 모든 측면 가장자리는 밑면에 수직입니다. \(BB_1\perp (ABC) \오른쪽 화살표 BB_1\)이 평면의 모든 선에 수직, 즉 \(BB_1\perp BD\) . 따라서 \(\triangle BB_1D\)는 직사각형입니다. 그러면 피타고라스의 정리에 의해 \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), 일.

정의: 입방체

입방체모든 변이 같은 정사각형인 직육면체입니다.

따라서 세 차원은 서로 같습니다: \(a=b=c\) . 따라서 다음은 사실입니다.

정리

1. 가장자리가 \(a\)인 정육면체의 부피는 \(V_(\text(cube))=a^3\) 입니다.

2. 정육면체 대각선은 \(d=a\sqrt3\) 공식으로 검색됩니다.

3. 입방체의 전체 표면적 \(S_(\text(전체 큐브 반복))=6a^2\).