점의 투영 수는 점을 정의하기에 충분합니다.  설명적인 기하학. 이론

투영의 프로파일 평면을 고려해 봅시다. 두 개의 수직 평면에 투영하면 일반적으로 그림의 위치가 결정되고 실제 크기와 모양을 알아낼 수 있습니다. 그러나 두 가지 예측만으로는 충분하지 않은 경우가 있습니다. 그런 다음 세 번째 투영의 구성이 사용됩니다.

세 번째 투영 평면은 두 투영 평면에 동시에 수직이 되도록 그려집니다(그림 15). 세 번째 평면은 일반적으로 호출됩니다. 프로필.

이러한 구조에서는 수평면과 정면면의 공통 직선을 호출합니다. 중심선 엑스 , 수평면과 프로파일면의 공통 직선 - 중심선 ~에 , 정면 평면과 프로필 평면의 공통 직선은 다음과 같습니다. 중심선 지 . 점 에 대한세 평면 모두에 속하는 를 원점이라고 합니다.

그림 15a는 요점을 보여줍니다. ㅏ그리고 그 예측 중 세 가지. 프로파일 평면에 투영( ㅏ) 라고 한다 프로필 투영그리고 표시하다 ㅏ.

세 개의 투영으로 구성된 점 A의 다이어그램을 얻으려면 아, 아, 아, y축을 따라 모든 평면으로 형성된 삼면체를 절단하고(그림 15b) 이 모든 평면을 정면 투영 평면과 결합해야 합니다. 수평면은 축을 기준으로 회전해야 합니다. 엑스, 프로파일 평면은 축을 기준으로 합니다. 지그림 15의 화살표 방향으로

그림 16은 투영 위치를 보여줍니다. 아, 아그리고 ㅏ포인트들 ㅏ, 세 평면을 모두 도면 평면과 결합하여 얻습니다.

잘라내기의 결과로 y축은 다이어그램의 서로 다른 두 위치에 나타납니다. 수평면(그림 16)에서는 수직 위치(축에 수직)를 취합니다. 엑스) 및 프로파일 평면에서 - 수평(축에 수직) 지).

그림 16에는 세 가지 예측이 있습니다. 아, 아그리고 ㅏ점 A는 다이어그램에서 엄격하게 정의된 위치를 가지며 다음과 같은 명확한 조건을 따릅니다.

ㅏ그리고 ㅏ항상 축에 수직인 동일한 수직선에 위치해야 합니다. 엑스;

ㅏ그리고 ㅏ항상 축에 수직인 동일한 수평 직선 위에 위치해야 합니다. 지;

3) 수평투영과 수평직선을 통해 수행할 때, 그리고 프로파일 투영을 통해 수행할 때 ㅏ– 수직 직선, 구성된 직선은 반드시 투영 축 사이 각도의 이등분선에서 교차합니다. 오아~에 ㅏ 0 ㅏ n - 정사각형.

한 점의 세 가지 투영을 구성할 때 각 점에 대해 세 가지 조건이 모두 충족되는지 확인해야 합니다.

점좌표

공간에서 한 점의 위치는 '점'이라는 세 숫자를 사용하여 결정할 수 있습니다. 좌표. 각 좌표는 일부 투영 평면에서 점까지의 거리에 해당합니다.

결정된 지점 거리 ㅏ프로파일 평면에 대한 좌표는 엑스, 여기서 엑스 = a˝A(그림 15), 정면면까지의 거리는 좌표 y이고, y = AA, 수평면까지의 거리가 좌표입니다. 지, 여기서 지 = AA.

그림 15에서 점 A는 직육면체의 너비를 차지하고 이 평행육면체의 측정값은 이 점의 좌표에 해당합니다. 즉, 각 좌표는 그림 15에 4번 표시됩니다. 즉:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = а x а = а z а˝;

z = aA = Oa z = a x á = a y a˝.

다이어그램(그림 16)에서 x 및 z 좌표는 세 번 나타납니다.

x = a z a ́= Oa x = a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

좌표에 해당하는 모든 세그먼트 엑스(또는 지)은 서로 평행하다. 동등 어구 ~에수직으로 위치한 축으로 두 번 표현됩니다.

y = Oa y = a x a

두 번 – 수평으로 위치:

y = Oa y = a z a˝.

이러한 차이는 y축이 다이어그램의 두 가지 다른 위치에 존재하기 때문에 나타납니다.

각 투영의 위치는 다이어그램에서 다음 두 좌표에 의해서만 결정된다는 점을 고려해야 합니다.

1) 수평 – 좌표 엑스그리고 ~에,

2) 정면 – 좌표 엑스그리고 지,

3) 프로필 - 좌표 ~에그리고 지.

좌표 사용 엑스, 와이그리고 지를 사용하면 다이어그램에서 점의 투영을 구성할 수 있습니다.

A 지점이 좌표로 주어지면 기록은 다음과 같이 정의됩니다. A ( 엑스; 와이; 지).

점 투영을 구성할 때 ㅏ다음 조건을 확인해야 합니다.

1) 수평 및 정면 투영 ㅏ그리고 ㅏ 엑스 엑스;

2) 정면 및 프로필 투영 ㅏ그리고 ㅏ축에 대해 동일한 수직 위치에 있어야 합니다. 지, 공통 좌표를 가지고 있기 때문에 지;

3) 수평 투영 및 축에서 제거됨 엑스, 프로필 투영과 유사 ㅏ축에서 멀리 지, 투영 á와 a˝는 공통 좌표를 갖기 때문에 ~에.

점이 투영 평면 중 하나에 있는 경우 해당 좌표 중 하나는 0과 같습니다.

점이 투영 축 위에 있으면 해당 좌표 중 두 개가 0과 같습니다.

점이 원점에 있으면 해당 좌표 세 개가 모두 0입니다.

선 투영

직선을 정의하려면 두 점이 필요합니다. 점은 수평면과 정면면의 두 투영에 의해 결정됩니다. 즉, 직선은 수평면과 정면면의 두 점의 투영을 사용하여 결정됩니다.

그림 17은 예측을 보여줍니다( ㅏ그리고 에, 비그리고 비) 두 점 ㅏ B. 도움을 받아 특정 라인의 위치가 결정됩니다. AB. 동일한 이름을 가진 이러한 점의 투영을 연결할 때(예: ㅏ그리고 비, 에이그리고 비) 예측을 얻을 수 있습니다 ab그리고 ab바로 AB.

그림 18은 두 점의 투영을 보여주고 그림 19는 두 점을 통과하는 직선의 투영을 보여줍니다.

선의 투영이 두 점의 투영에 의해 결정되는 경우 선에서 취한 점의 투영 지정에 해당하는 두 개의 나란히 라틴 문자로 지정됩니다. 수평 투영의 경우 선이 있거나 획이 없습니다.

선의 개별 지점이 아니라 전체 투영을 고려하면 이러한 투영은 숫자로 지정됩니다.

어떤 점이라면 와 함께직선 위에 놓여 있다 AB, 그 투영 с와 с́는 선의 동일한 투영 위에 있습니다. ab그리고 ab. 이 상황은 그림 19에 나와 있습니다.

직선의 흔적

길이 직선이다- 특정 평면이나 표면과의 교차점입니다(그림 20).

직선의 수평 추적어떤 지점이 호출됩니다 시간, 직선이 수평면과 만나는 곳, 그리고 정면- 점 V, 이 직선은 정면 평면과 만납니다(그림 20).

그림 21a는 직선의 수평 궤적을 보여주고, 그 정면 궤적은 그림 21b에 나와 있습니다.

때로는 직선의 윤곽 궤적도 고려되는데, 여– 직선과 프로파일 평면의 교차점.

수평 추적은 수평면, 즉 수평 투영에 있습니다. 시간이 흔적과 일치하고, 정면 시간 x축에 위치합니다. 정면 추적은 정면 평면에 있으므로 정면 투영 ν́는 그것과 일치하고 수평 투영 v는 x 축에 있습니다.

그래서, 시간 = 시간, 그리고 V= ν́. 따라서 직선의 흔적을 지정하기 위해 문자를 사용할 수 있습니다. 시간그리고 ν́.

다양한 직선 위치

다이렉트라고 합니다 일반적인 입장, 투영 평면에 평행하지도 수직도 아닌 경우. 일반 위치의 직선 투영도 평행하지 않고 투영 축에 수직이 아닙니다.

투영 평면 중 하나에 평행한 직선(축 중 하나에 수직)도 22는 수평면(z축에 수직)에 평행한 직선, - 수평 직선; 그림 23은 정면 평면에 평행한 직선(축에 수직)을 보여줍니다. ~에), - 정면 라인; 그림 24는 프로파일 평면에 평행한 직선(축에 수직)을 보여줍니다. 엑스), – 프로필 직선. 이 선들 각각이 축 중 하나와 직각을 형성한다는 사실에도 불구하고 축과 교차하지 않고 교차만 합니다.

수평 직선(그림 22)이 수평면과 평행하기 때문에 정면 및 프로필 투영은 수평면을 정의하는 축, 즉 축과 평행합니다. 엑스그리고 ~에. 그러므로 예측은 아브|| 엑스그리고 a˝b˝|| ~에 지. 수평 투영 ab는 다이어그램의 모든 위치를 차지할 수 있습니다.

정면 직선(그림 23)에서 투영 ab|| x와 a˝b˝ || 지즉, 축에 수직입니다. ~에, 따라서 이 경우 정면 투영 ab직선은 어떤 위치든 취할 수 있다.

프로필 직선에서 (그림 24) ab|| 예, 아브|| 지이고 둘 다 x축에 수직입니다. 투사 a˝b˝어떤 방식으로든 다이어그램에 배치할 수 있습니다.

정면 평면에 수평 직선을 투영하는 평면(그림 22)을 고려하면 이 직선을 프로파일 평면에 투영한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 직선을 두 투영 평면에 동시에 투영하는 평면입니다. - 정면과 프로필. 이를 바탕으로 이라고 한다. 이중 투영면. 같은 방식으로 정면 직선(그림 23)의 경우 이중 투영 평면이 이를 수평 및 프로필 투영 평면에 투영하고 프로필 선(그림 23)의 경우 수평 및 정면 평면에 투영합니다. 예측.

두 투영은 직선을 정의할 수 없습니다. 두 가지 투영 1 그리고 1이 선의 두 점 투영을 지정하지 않고 윤곽선(그림 25)을 사용하면 공간에서 이 선의 위치가 결정되지 않습니다.

주어진 두 개의 대칭면에 수직인 평면에서는 무한한 수의 직선이 존재할 수 있으며, 이에 대한 다이어그램의 데이터는 다음과 같습니다. 1 그리고 1그들의 예측입니다.

점이 선 위에 있으면 모든 경우에 그 투영은 이 선의 동일한 투영 위에 놓입니다. 프로파일 직선의 경우 반대 상황이 항상 적용되는 것은 아닙니다. 투영에서 특정 점의 투영을 임의로 표시할 수 있으며 이 점이 이 선에 있는지 확신할 수 없습니다.

세 가지 특별한 경우 모두(그림 22, 23 및 24) 투영 평면에 대한 직선의 위치는 임의의 세그먼트입니다. AB각 직선에서 취한 는 왜곡 없이 투영 평면 중 하나, 즉 평행한 평면에 투영됩니다. 선분 AB수평 직선(그림 22)은 수평면에 전체 크기 투영을 제공합니다( ab = AB); 선분 AB정면 직선 (그림 23) - 정면 평면 V ( 아브 = AB) 및 세그먼트 AB직선형 프로파일(그림 24) – 프로파일 평면의 전체 크기 여 (a˝b˝= AB), 즉 도면에서 세그먼트의 실제 크기를 측정하는 것이 가능해 보입니다.

즉, 다이어그램을 사용하면 문제의 직선이 투영 평면과 형성하는 각도의 자연스러운 치수를 결정할 수 있습니다.

직선이 수평면과 이루는 각도 N, 일반적으로 문자 α로 표시되고 정면 평면은 문자 β로, 프로필 평면은 문자 γ로 표시됩니다.

고려 중인 모든 직선은 평행한 평면에 흔적이 없습니다. 즉, 수평 직선에는 수평 흔적이 없고(그림 22), 정면 직선에는 정면 흔적이 없으며(그림 23), 프로파일 직선은 라인에는 프로파일 흔적이 없습니다(그림 24).

어떤 경우에는 문제 해결의 편의를 위해 기존 투영 평면에 수직인 추가 투영 평면을 사용할 필요가 있습니다.

점의 수평 및 정면 투영이 제공되면 프로파일 투영은 다음 알고리즘을 사용하여 결정됩니다.

축에 수직으로 투영 연결선을 그립니다. 온스.

이 투영 연결선에 세그먼트를 배치합니다. ㅏ 1 ㅏ 엑스 =A 지 ㅏ 3 .

이 규칙을 사용하면 추가 투영 평면에 점 투영을 구성할 수 있습니다(평면 대체 방법).

포인트를 주자 에이(A 2 ,ㅏ 1 ) 새로운 추가 투영 평면 피 4 피 1 . 짓다 ㅏ 4 – 점 투영 ㅏ~에 피 4 .

해결책

a) 평면의 교차선을 만듭니다. 피 1 그리고 피 4 = 엑스 1,4 ;

b) 점을 통해 ㅏ투영 통신선을 그리다 엑스 1,4 .

c) 우리는 투영을 구축합니다 ㅏ 4 , 세그먼트 평등을 사용합니다. ㅏ 2 ㅏ 엑스 =A 4 ㅏ 엑스 .

두 점 투영 ㅏ 1 그리고 ㅏ 4 축에 수직인 투영 연결의 동일한 선에 위치 엑스 1,4 .

점의 "새" 투영으로부터의 거리 ㅏ 4 "새" 축으로 엑스 1,4 점의 "오래된" 투영으로부터의 거리와 같습니다. ㅏ 2 "이전" 축으로 엑스 1,2 .

경쟁 포인트

경쟁 포인트 동일한 투영 광선 위에 있는 한 쌍의 점의 이름을 지정하십시오..

두 경쟁 지점 중에서 가시 지점은 투영 평면에서 더 멀리 있는 지점입니다.

포인트들 ㅏ그리고 안에수평적 경쟁이라고 합니다.

포인트들 와 함께그리고 디정면경쟁이라고 합니다.

추가 평면을 입력하여 점이 ㅏ그리고 안에경쟁력이 생겼습니다.

솔루션 계획:

1 축 구축 엑스 1,4 ㅏ 1 , 비 1 ;

2 프로젝션 통신라인 구축 엑스 1,4 ;

3 투영 통신 라인에서 세그먼트를 배치합니다. ㅏ 엑스 ㅏ 2 = ㅏ / 엑스 ㅏ 4 , 비 엑스 비 2 = 비 / 엑스 비 4 .

자습용 자료 나침반 그래픽 시스템에서 2D 그래픽 개체 모델링 나침반 시스템 시작 및 종료

KOMPAS-3D-V8 시스템은 다른 프로그램과 유사하게 시작됩니다. 시스템을 시작하려면 메뉴 \를 선택해야 합니다. 시작\ 모든 P프로그램들\ 아스콘\KOMPAS-3디- V8 그리고 달리다 나침반. 바탕 화면 영역에서 마우스 포인터로 프로그램 바로 가기를 선택한 후 마우스 왼쪽 버튼을 더블 클릭하면 됩니다. 문서를 열려면 버튼을 클릭해야 합니다. 열려 있는 패널에 기준 . 새 문서를 시작하려면 버튼을 클릭하세요. 만들다패널에 기준또는 명령을 실행하십시오 파일 > 만들다열리는 대화 상자에서 생성할 문서 유형을 선택하고 좋아요.

작업을 완료하려면 메뉴를 선택하세요. 파일\출구, Alt-F4 키 조합을 누르거나 닫기 버튼을 클릭하세요.

나침반 그래픽 시스템의 주요 문서 유형

KOMPAS 시스템에서 생성된 문서의 유형은 이 문서에 저장된 정보의 유형에 따라 다릅니다. 각 문서 유형에는 파일 이름 확장자와 자체 아이콘이 있습니다.

1 도면- KOMPAS의 주요 그래픽 문서 유형입니다. 도면에는 하나 이상의 유형의 제품 그래픽 이미지, 주요 문구 및 프레임이 포함됩니다. KOMPAS 도면에는 항상 사용자가 지정한 형식의 시트가 하나 포함되어 있습니다. 도면 파일의 확장자는 다음과 같습니다. .cdw.

2 조각- KOMPAS의 보조 그래픽 문서 유형입니다. 조각은 디자인 문서의 프레임, 주요 비문 및 기타 디자인 개체가 없다는 점에서 그림과 다릅니다. 조각 저장소는 나중에 다른 문서에서 사용할 수 있도록 표준 솔루션을 만들었습니다. 조각 파일의 확장자는 다음과 같습니다. .frw.

3 텍스트 문서(파일 확장자 . kdw);

4 사양(파일 확장자 . spw);

5 집회(파일 확장자 . ㅏ3 디);

6 세부 사항- 3D 모델링(파일 확장자 . 중3 디);

이 기사에서는 평면에 점 투영을 생성하는 방법과 이 투영의 좌표를 결정하는 방법에 대한 질문에 대한 답변을 찾을 수 있습니다. 이론적인 부분에서는 투영의 개념에 의존할 것입니다. 용어를 정의하고 그림과 함께 정보를 제공하겠습니다. 예제를 풀면서 습득한 지식을 통합해 봅시다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

투영, 투영 유형

공간적 그림을 보는 편의를 위해 이러한 그림을 묘사한 그림이 사용됩니다.

정의 1

평면에 인물 투영– 공간적 그림 그리기.

분명히 투영을 구성하는 데 사용되는 여러 규칙이 있습니다.

정의 2

투사– 구성 규칙을 사용하여 평면에 공간 도형의 그림을 구성하는 과정입니다.

투영면- 이미지가 구성되는 평면입니다.

특정 규칙의 사용에 따라 투영 유형이 결정됩니다. 본부또는 평행한.

평행 투영의 특별한 경우는 수직 투영 또는 직교 투영입니다. 기하학에서는 주로 사용됩니다. 이러한 이유로 "수직"이라는 형용사 자체는 종종 연설에서 생략됩니다. 기하학에서는 단순히 "그림의 투영"이라고 말하며 이는 수직 투영 방법을 사용하여 투영을 구성하는 것을 의미합니다. 물론 특별한 경우에는 다른 사항이 합의될 수도 있습니다.

평면에 그림을 투영하는 것은 본질적으로 이 그림의 모든 점을 투영한다는 사실에 주목합시다. 그러므로 도면 속의 공간적 도형을 연구하기 위해서는 점을 평면에 투영하는 기본적인 기술을 습득하는 것이 필요하다. 아래에서 이야기 할 내용.

기하학에서 평면 투영에 관해 말할 때 수직 투영을 사용하는 것을 의미하는 경우가 가장 많다는 것을 기억해 봅시다.

점을 평면에 투영하는 것에 대한 정의를 얻을 수 있는 기회를 제공하는 구성을 만들어 보겠습니다.

3차원 공간이 주어지고 그 안에 평면 α와 평면 α에 속하지 않는 점 M1이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 점 M을 지나는 직선을 그리시오. ㅏ주어진 평면 α에 수직. 우리는 직선 a와 평면 α의 교차점을 H 1로 표시하며, 이는 점 M 1에서 평면 α로 낮아지는 수직선의 기초 역할을 합니다.

주어진 평면 α에 속하는 점 M 2가 주어지면 M 2는 평면 α에 대한 투영 역할을 합니다.

정의 3

- 이것은 점 자체(주어진 평면에 속하는 경우)이거나 주어진 점에서 주어진 평면으로 떨어진 수직의 밑면입니다.

평면에 점을 투영하는 좌표 찾기, 예

3차원 공간에 다음이 주어집니다: 직각 좌표계 O x y z, 평면 α, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1). 주어진 평면에 점 M 1을 투영하는 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

해법은 점을 평면에 투영하는 위에 주어진 정의에서 분명히 따릅니다.

점 M 1 을 평면 α에 투영한 것을 H 1 로 표시하겠습니다. 정의에 따르면 H 1은 주어진 평면 α와 점 M 1을 통해 그려진 직선 a(평면에 수직)의 교차점입니다. 저것들. 우리에게 필요한 점 M 1의 투영 좌표는 직선 a와 평면 α의 교차점 좌표입니다.

따라서 평면에 대한 점 투영 좌표를 찾으려면 다음이 필요합니다.

평면 α의 방정식을 구합니다(지정되지 않은 경우). 여기서는 평면 방정식의 유형에 관한 기사가 도움이 될 것입니다.

점 M 1을 통과하고 평면 α에 수직인 선 a의 방정식을 결정합니다(주어진 평면에 수직인 주어진 점을 통과하는 선의 방정식에 대한 주제를 연구합니다).

직선 a와 평면 α의 교차점 좌표를 찾습니다(기사-평면과 선의 교차점 좌표 찾기). 얻은 데이터는 점 M 1을 평면 α에 투영하는 데 필요한 좌표가 됩니다.

실제 사례를 통해 이론을 살펴보겠습니다.

실시예 1

점 M 1 (-2, 4, 4)을 평면 2 x – 3 y + z - 2 = 0에 투영하는 좌표를 결정합니다.

해결책

보시다시피, 평면의 방정식이 우리에게 주어집니다. 컴파일할 필요가 없습니다.

점 M 1을 통과하고 주어진 평면에 수직인 직선 a의 표준 방정식을 적어 보겠습니다. 이러한 목적을 위해 직선 a의 방향 벡터 좌표를 결정합니다. 선 a는 주어진 평면에 수직이므로 선 a의 방향 벡터는 평면 2 x - 3 y + z - 2 = 0의 법선 벡터입니다. 따라서, a → = (2, - 3, 1) – 직선 a의 방향 벡터.

이제 점 M 1 (-2, 4, 4)을 통과하고 방향 벡터를 갖는 공간의 선의 표준 방정식을 작성해 보겠습니다. a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

필요한 좌표를 찾으려면 다음 단계는 직선 x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1과 평면의 교차점 좌표를 결정하는 것입니다. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . 이러한 목적을 위해 우리는 표준 방정식에서 두 교차 평면의 방정식으로 이동합니다.

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

방정식 시스템을 만들어 보겠습니다.

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

그리고 Cramer의 방법을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.

Δ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 Δ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = Δ x Δ = 0 - 28 = 0 Δ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = Δ y Δ = - 28 - 28 = 1 Δ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = Δ z Δ = - 140 - 28 = 5

따라서 주어진 평면 α에서 주어진 점 M 1의 필요한 좌표는 (0, 1, 5)입니다.

답변: (0 , 1 , 5) .

실시예 2

3차원 공간의 직각 좌표계 O x y z에서 점 A(0, 0, 2)가 주어집니다. B(2, - 1, 0); C(4, 1, 1) 및 M 1(-1, -2, 5). 평면 A B C에 대한 투영 M 1의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

해결책

우선, 주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성합니다.

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

평면 A B C에 수직인 점 M 1을 통과하는 선 a의 매개변수 방정식을 적어 보겠습니다. 평면 x – 2 y + 2 z – 4 = 0에는 좌표가 (1, -)인 법선 벡터가 있습니다. 2, 2), 즉 벡터 a → = (1, - 2, 2) – 직선 a의 방향 벡터.

이제 선 M 1의 점 좌표와 이 선의 방향 벡터 좌표를 사용하여 공간에서 선의 매개변수 방정식을 작성합니다.

그런 다음 평면 x – 2 y + 2 z – 4 = 0과 직선의 교차점 좌표를 결정합니다.

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

이를 위해 평면 방정식을 다음과 같이 대체합니다.

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

이제 매개변수 방정식 x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ를 사용하여 λ = - 1에 대한 변수 x, y 및 z의 값을 찾습니다. x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

따라서 점 M 1을 평면 A B C에 투영하면 좌표가 (-2, 0, 3)됩니다.

답변: (- 2 , 0 , 3) .

좌표 평면과 좌표 평면에 평행한 평면에 점을 투영하는 좌표를 찾는 문제에 대해 별도로 살펴보겠습니다.

점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 좌표 평면 O x y, O x z 및 O y z가 주어집니다. 이 평면에 대한 이 점의 투영 좌표는 각각 (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) 및 (0, y 1, z 1)입니다. 주어진 좌표 평면에 평행한 평면도 고려해 보겠습니다.

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

그리고 주어진 점 M 1을 이 평면에 투영하면 좌표가 x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 및 - DA, y 1, z 1인 점이 됩니다.

이 결과가 어떻게 얻어졌는지 보여드리겠습니다.

예를 들어, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 평면 A x + D = 0에 투영하는 것을 정의해 보겠습니다. 나머지 경우도 비슷하다.

주어진 평면은 좌표 평면 O y z와 평행하고 i → = (1, 0, 0)은 법선 벡터입니다. 동일한 벡터가 Oyz 평면에 수직인 선의 방향 벡터 역할을 합니다. 그런 다음 점 M 1을 통해 그려지고 주어진 평면에 수직인 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

이 선과 주어진 평면의 교차점의 좌표를 찾아봅시다. 먼저 등식을 A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 방정식에 대입하고 다음을 얻습니다. A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = -DA-x1

그런 다음 λ = - D A - x 1인 직선의 매개변수 방정식을 사용하여 필요한 좌표를 계산합니다.

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

즉, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 평면에 투영하면 좌표가 D A, y 1, z 1인 점이 됩니다.

실시예 2

점 M 1 (-6, 0, 1 2)을 좌표 평면 O x y와 평면 2 y - 3 = 0에 투영하는 좌표를 결정해야 합니다.

해결책

좌표 평면 O x y는 평면 z = 0의 불완전한 일반 방정식에 해당합니다. 평면 z = 0에 대한 점 M 1의 투영은 좌표(-6, 0, 0)를 갖습니다.

평면 방정식 2 y - 3 = 0은 y = 3 2 2로 쓸 수 있습니다. 이제 점 M 1 (-6, 0, 1 2)을 y = 3 2 2 평면에 투영한 좌표를 적어보세요.

6 , 3 2 2 , 1 2

답변:(- 6 , 0 , 0) 및 - 6 , 3 2 2 , 1 2

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프로젝션 장치

투영 장치(그림 1)에는 세 개의 투영 평면이 포함됩니다.

파이 1 –수평 투영면;

π 2 –돌출부의 정면면;

파이 3– 프로파일 투영 평면 .

투영 평면은 서로 수직입니다( 파이 1^ π 2^ 파이 3), 교차선이 축을 형성합니다.

평면의 교차점 파이 1그리고 π 2축을 형성하다 0X (파이 1∩ π 2 = 0X);

평면의 교차점 파이 1그리고 파이 3축을 형성하다 0Y (파이 1∩ 파이 3 = 0Y);

평면의 교차점 π 2그리고 파이 3축을 형성하다 0Z (π 2∩ 파이 3 = 0Z).

축의 교차점(OX∩OY∩OZ=0)이 시작점(0점)으로 간주됩니다.

평면과 축이 서로 수직이기 때문에 이러한 장치는 데카르트 좌표계와 유사합니다.

투영 평면은 전체 공간을 8개의 옥탄트로 나눕니다(그림 1에서는 로마 숫자로 표시됨). 투영면은 불투명한 것으로 간주되며 뷰어는 항상 나-번째 옥탄트.

투영 중심을 사용한 직교 투영 에스 1, 에스 2그리고 에스 3수평, 정면 및 프로필 투영 평면에 대해 각각.

ㅏ.

프로젝션 센터에서 에스 1, 에스 2그리고 에스 3투사 광선이 나옵니다 내가 1, 내가 2그리고 내가 3 ㅏ

- A 1 ㅏ;

- A 2– 점의 정면 투영 ㅏ;

- A 3– 점의 프로필 투영 ㅏ.

공간의 한 점은 좌표로 특징지어집니다. ㅏ(x,y,z). 포인트들 엑스, 응그리고 AZ축에 각각 0X, 0Y그리고 0Z좌표 표시 엑스, 와이그리고 지포인트들 ㅏ. 그림에서. 1은 필요한 모든 표기법을 제공하고 점 사이의 연결을 보여줍니다. ㅏ공간, 투영 및 좌표.

포인트 다이어그램

점의 플롯을 얻으려면 ㅏ(도 2), 투영장치(도 1)에서는 평면 파이 1 A 1 0X π 2. 그럼 비행기 파이 3점 투영으로 A 3, 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전 0Z, 평면과 정렬될 때까지 π 2. 평면 회전 방향 π 2그리고 파이 3그림에 표시됩니다. 화살 1개. 동시에, 똑바로 1Ax그리고 2Ax 0X수직 1 2, 및 직선 2Ax그리고 3Ax공통 축에 위치하게 됩니다. 0Z수직 2 3. 다음에서는 이 라인을 각각 호출합니다. 수직의 그리고 수평의 통신 회선.

투영 장치에서 다이어그램으로 이동할 때 투영된 개체는 사라지지만 모양, 기하학적 치수 및 공간에서의 위치에 대한 모든 정보는 보존됩니다.

ㅏ(x A , y A , z AxA, yA그리고 zA다음 순서로 진행됩니다(그림 2). 이 순서를 포인트 다이어그램 구성 방법이라고 합니다.

1. 축은 직각으로 그려집니다. 옥스, 오이그리고 온스.

2. 축에서 황소 xA포인트들 ㅏ그리고 포인트의 위치를 ​​알아내세요 엑스.

3. 포인트를 통해 엑스축에 수직 황소

엑스축을 따라 오오좌표의 수치가 플롯됩니다. y A포인트들 ㅏ A 1다이어그램에.

엑스축을 따라 온스좌표의 수치가 플롯됩니다. z A포인트들 ㅏ A 2다이어그램에.

6. 포인트를 통해 A 2축에 평행 황소수평적인 통신선이 그려집니다. 이 선과 축의 교차점 온스점의 위치를 ​​알려줄 것이다 AZ.

7. 한 지점에서 수평 통신선으로 AZ축을 따라 오오좌표의 수치가 플롯됩니다. y A포인트들 ㅏ점의 윤곽 투영 위치가 결정됩니다. A 3다이어그램에.

포인트의 특징

공간의 모든 지점은 특정 위치의 지점과 일반 위치의 지점으로 구분됩니다.

특정 위치의 포인트. 투영 장치에 속하는 지점을 특정 위치의 지점이라고 합니다. 여기에는 투영 평면, 축, 원점 및 투영 중심에 속하는 점이 포함됩니다. 특정 위치 포인트의 특징은 다음과 같습니다.

메타수학적 – 하나, 둘 또는 모든 숫자 좌표 값은 0 및(또는) 무한대와 같습니다.

다이어그램에서 점의 두 개 또는 모든 투영은 축에 위치하거나 무한대에 위치합니다.

일반적인 입장의 요점. 일반적인 위치의 지점에는 투영 장치에 속하지 않는 지점이 포함됩니다. 예를 들어 점 ㅏ그림에서. 1과 2.

일반적인 경우 점 좌표의 숫자 값은 투영 평면으로부터의 거리를 나타냅니다. 엑스비행기에서 파이 3; 동등 어구 와이비행기에서 π 2; 동등 어구 지비행기에서 파이 1. 좌표의 수치에 대한 부호는 점이 투영면에서 멀어지는 방향을 나타냅니다. 점 좌표의 수치에 대한 기호 조합에 따라 해당 점의 옥탄가에 따라 달라집니다.

두 이미지 방법

실제로는 풀프로젝션 방식 외에 투이미지(two-image) 방식도 사용된다. 이 방법은 객체의 세 번째 투영을 제거한다는 점이 다릅니다. 2-이미지 방식의 투영 장치를 얻기 위해, 투영 중심이 있는 프로파일 투영 평면은 전체 투영 장치에서 제외됩니다(그림 3). 게다가 축에 0X기준점이 지정됩니다(점 0 ) 그리고 그것으로부터 축에 수직 0X투영 평면에서 파이 1그리고 π 2축 그리기 0Y그리고 0Z각기.

이 장치에서는 전체 공간이 4개의 사분면으로 나뉩니다. 그림에서. 3 로마숫자로 표시됩니다.

투영면은 불투명한 것으로 간주되며 뷰어는 항상 나-사분면.

점을 투영하는 예를 사용하여 장치의 동작을 생각해 봅시다 ㅏ.

프로젝션 센터에서 에스 1그리고 에스 2투사 광선이 나옵니다 내가 1그리고 내가 2. 이 광선은 점을 통과합니다. ㅏ투영 평면과 교차하여 투영을 형성합니다.

- A 1– 점의 수평 투영 ㅏ;

- A 2– 점의 정면 투영 ㅏ.

점의 플롯을 얻으려면 ㅏ(도 4), 투영장치(도 3)에서는 평면 파이 1결과적으로 점을 투영하여 A 1축을 중심으로 시계 방향으로 회전 0X, 평면과 정렬될 때까지 π 2. 평면 회전 방향 파이 1그림에 표시됩니다. 화살 3개. 이 경우 두 개의 이미지 방법으로 얻은 점의 다이어그램에는 하나만 남습니다. 수직의통신선 1 2.

실제로는 점을 그리면서 ㅏ(x A , y A , z A)은 좌표의 수치에 따라 수행됩니다. xA, yA그리고 zA다음 순서로(그림 4).

1. 축이 그려집니다. 황소기준점이 지정됩니다(점 0 ).

2. 축에서 황소좌표의 수치가 플롯됩니다. xA포인트들 ㅏ그리고 포인트의 위치를 ​​알아내세요 엑스.

3. 포인트를 통해 엑스축에 수직 황소수직 통신선이 그려집니다.

4. 한 지점에서 수직 통신선로 엑스축을 따라 오오좌표의 수치가 플롯됩니다. y A포인트들 ㅏ점의 수평 투영 위치가 결정됩니다. A 1 오오그려지지는 않지만 양의 값이 축 아래에 위치한다고 가정합니다. 황소, 음수는 더 높습니다.

5. 한 지점에서 수직 통신선로 엑스축을 따라 온스좌표의 수치가 플롯됩니다. z A포인트들 ㅏ점의 정면 투영 위치가 결정됩니다. A 2다이어그램에. 다이어그램에서 축은 온스그려지지는 않지만 양의 값이 축 위에 위치한다고 가정합니다. 황소, 음수는 더 낮습니다.

경쟁 포인트

동일한 투영 빔의 점을 경쟁 점이라고 합니다. 투영 빔 방향으로 그들은 공통 투영을 갖습니다. 그들의 예측은 동일합니다. 다이어그램에서 경쟁 지점의 특징은 동일한 이름의 투영이 동일하게 일치한다는 것입니다. 경쟁은 관찰자에 대한 이러한 예측의 가시성에 있습니다. 즉, 관찰자에게는 공간에서 점 중 하나는 보이고 다른 하나는 보이지 않습니다. 따라서 도면에서는 경쟁 점의 투영 중 하나가 보이고 다른 점의 투영은 보이지 않습니다.

두 경쟁 지점의 공간 투영 모델(그림 5) ㅏ그리고 안에보이는 지점 ㅏ두 가지 상호 보완적인 특성에 따라. 체인으로 판단 에스 1 →A→B점 ㅏ점보다 관찰자에게 더 가깝다 안에. 따라서 투영면에서 더 멀리 떨어져 있습니다. 파이 1(저것들. z A > z A).

쌀. 5 그림 6

포인트 자체가 보이는 경우 ㅏ, 그러면 투영도 표시됩니다. A 1. 그에 따른 예측과 관련하여 비 1. 명확성을 위해 그리고 필요한 경우 다이어그램에서 점의 보이지 않는 투영은 일반적으로 괄호 안에 표시됩니다.

모델의 점을 제거해 보겠습니다. ㅏ그리고 안에. 비행기에서 그들의 일치하는 투영은 그대로 유지됩니다 파이 1그리고 별도의 투영 - 켜기 π 2. 투영의 중심에 위치한 관찰자의 정면 투영(⇩)을 조건부로 남겨두자 에스 1. 그런 다음 일련의 이미지를 따라 ⇩ → A 2 → 비 2그렇게 판단하면 될 것 같다. z A > z B그리고 그 지점 자체가 눈에 보인다는 것 ㅏ그리고 그 투영 A 1.

마찬가지로 경쟁 포인트를 고려해 보겠습니다. 와 함께그리고 디π 2 평면을 기준으로 외관상. 이 지점의 공통 투영 빔 이후 내가 2축에 평행 0Y, 경쟁 지점의 가시성을 나타내는 신호 와 함께그리고 디불평등에 의해 결정됨 와이씨 > 와이디. 그러므로 그 점 디점으로 닫혀 있다 와 함께따라서 점의 투영은 디 2점의 투영으로 덮이게 됩니다. C 2표면에 π 2.

복잡한 도면에서 경쟁 지점의 가시성이 어떻게 결정되는지 살펴보겠습니다(그림 6).

일치하는 예측으로 판단 A 1≡1에포인트 그 자체 ㅏ그리고 안에축에 평행한 하나의 투영 빔에 있습니다. 0Z. 이는 좌표를 비교할 수 있음을 의미합니다. z A그리고 z B이 점들. 이를 위해 점의 별도 이미지가 있는 정면 투영 평면을 사용합니다. 이 경우 z A > z B. 이로 인해 투영이 표시됩니다. A 1.

포인트들 씨그리고 디고려 중인 복잡한 도면(그림 6)에서도 동일한 투영 빔에 있지만 축에 평행할 뿐입니다. 0Y. 그러므로 비교를 통해 와이씨 > 와이디우리는 투영 C 2가 가시적이라고 결론을 내립니다.

일반 규칙. 경쟁 지점의 투영 일치에 대한 가시성은 공통 투영 광선 방향에서 해당 지점의 좌표를 비교하여 결정됩니다. 좌표가 더 큰 점의 투영이 표시됩니다. 이 경우 좌표는 투영 평면에서 점의 별도 이미지와 비교됩니다.

두 개의 평면에 점을 투영하는 것을 고려해 보겠습니다. 이를 위해 두 개의 수직 평면(그림 4)을 사용하고 이를 수평 정면 및 평면이라고 부릅니다. 이들 평면의 교차선을 투영 축이라고 합니다. 평면 투영을 사용하여 고려된 평면에 한 점 A를 투영합니다. 이렇게 하려면 주어진 지점에서 고려되는 평면으로 수직선 Aa와 A를 낮추는 것이 필요합니다.

수평면으로의 투영을 호출합니다. 수평 투영포인트들 ㅏ, 그리고 투영 ㅏ?정면 평면에서 호출됩니다. 정면 투영.

투영할 점은 일반적으로 대문자를 사용하여 설명적인 기하학으로 표시됩니다. 에이,비,씨. 작은 글자는 점의 수평 투영을 나타내는 데 사용됩니다. 에이, 비, 씨... 정면 투영은 상단에 획이 있는 작은 글자로 표시됩니다. a?, b?, c?…

점은 또한 로마 숫자 I, II,...로 지정되며 해당 투영의 경우 아라비아 숫자 1, 2... 및 1?, 2?...로 지정됩니다.

수평면을 90° 회전시키면 두 평면이 동일한 평면에 있는 도면을 얻을 수 있습니다(그림 5). 이 사진은 점의 다이어그램.

수직선을 통해 아아그리고 뭐?평면을 그려 봅시다(그림 4). 결과 평면은 정면 및 수평 평면에 대한 수직을 포함하므로 정면 및 수평 평면에 수직입니다. 따라서 이 평면은 평면의 교차선에 수직입니다. 결과 직선은 수평면과 직선으로 교차합니다. 아아 x 및 정면 평면 - 직선 아?아엑스. 바로 아아 그리고 아?아 x는 평면의 교차축에 수직입니다. 그건 아하하?직사각형이다.

수평 및 정면 투영면을 결합하는 경우 ㅏ그리고 ㅏ?수평면이 회전하면 세그먼트의 직각도가 달라지기 때문에 평면의 교차축에 대해 동일한 수직선에 놓이게 됩니다. 아아 x와 아?아 x는 깨지지 않습니다.

우리는 투영 다이어그램에서 그것을 얻습니다. ㅏ그리고 ㅏ?어떤 점에서 ㅏ항상 평면의 교차축에 대해 동일한 수직 위에 놓입니다.

두 개의 투영 a 및 ㅏ?특정 지점 A의 공간에서의 위치를 ​​명확하게 결정할 수 있습니다(그림 4). 이는 투영 a에서 수평면까지 수직을 구성할 때 점 A를 통과한다는 사실로 확인됩니다. 같은 방식으로 투영에서 수직 ㅏ?정면 평면이 지점을 통과하게 됩니다. ㅏ, 즉 점 ㅏ동시에 두 개의 특정 직선 위에 있습니다. 점 A는 교차점입니다. 즉, 명확합니다.

직사각형을 고려해보세요 아아아엑스 ㅏ?(그림 5), 다음 진술이 적용됩니다.

1) 포인트 거리 ㅏ정면 평면으로부터의 거리는 평면의 교차축으로부터의 수평 투영 a의 거리와 같습니다.

뭐? = 아아엑스;

2) 포인트 거리 ㅏ투영의 수평면에서 정면 투영의 거리와 같습니다 ㅏ?평면의 교차축에서, 즉

아아 = 아?아엑스.

즉, 다이어그램에 점 자체가 없더라도 두 개의 투영만 사용하면 주어진 점이 각 투영 평면에서 어느 정도 떨어져 있는지 확인할 수 있습니다.

두 투영 평면의 교차점은 공간을 네 부분으로 나눕니다. 분기별로(그림 6).

평면의 교차축은 수평면을 전면과 후면, 정면 평면의 두 부분으로 위쪽과 아래쪽으로 나눕니다. 정면면의 윗부분과 수평면의 앞쪽 부분이 1/4의 경계로 간주됩니다.

다이어그램을 수신하면 수평면이 회전하여 정면면과 정렬됩니다(그림 7). 이 경우 수평면의 앞부분은 정면면의 아래쪽 부분과 일치하고, 수평면의 뒷부분은 정면면의 위쪽 부분과 일치합니다.

그림 8-11은 공간의 서로 다른 구역에 위치한 지점 A, B, C, D를 보여줍니다. A점은 1쿼터에 위치하며, B포인트는 2쿼터, C포인트는 3쿼터, D포인트는 4쿼터에 위치합니다.

포인트가 1쿼터 또는 4쿼터에 위치한 경우 수평 투영는 수평면의 앞부분에 있고 다이어그램에서 평면의 교차축 아래에 놓이게 됩니다. 점이 두 번째 또는 세 번째 분기에 위치하면 수평 투영은 수평면의 뒤쪽에 놓이고 다이어그램에서는 평면의 교차축 위에 위치하게 됩니다.

정면 투영첫 번째 또는 두 번째 분기에 위치한 점은 정면 평면의 위쪽 부분에 놓이고 다이어그램에서는 평면의 교차 축 위에 위치합니다. 점이 3/4 또는 4/4에 위치하면 정면 투영은 평면의 교차축 아래에 있습니다.

대부분의 경우 실제 건축물에서 그림은 공간의 1/4에 배치됩니다.

일부 특수한 경우에는 점( 이자형)는 수평면에 놓일 수 있습니다(그림 12). 이 경우 수평 투영 e와 점 자체가 일치합니다. 이러한 점의 정면 투영은 평면의 교차 축에 위치합니다.

점의 경우 에게정면 평면에 위치하며(그림 13), 수평 투영 케이평면의 교차 축에 위치하며 정면 케이?이 지점의 실제 위치를 보여줍니다.

그러한 점의 경우 투영 평면 중 하나에 있다는 표시는 투영 중 하나가 평면의 교차 축에 있다는 것입니다.

점이 투영 평면의 교차 축에 있으면 해당 점과 두 투영이 일치합니다.

점이 투영 평면 위에 있지 않은 경우 이를 점이라고 합니다. 일반적인 입장의 요점. 다음에서 특별한 표시가 없으면 문제의 점은 일반적인 위치의 점이다.

투영 평면에 수직인 모델의 점 투영을 얻는 방법(그림 4)을 설명하려면 길쭉한 직사각형 모양의 두꺼운 종이 조각이 필요합니다. 돌출부 사이를 구부려야 합니다. 접힌 선은 평면의 교차 축을 나타냅니다. 그런 다음 구부러진 종이 조각을 다시 펴면 그림에 표시된 것과 유사한 다이어그램을 얻을 수 있습니다.

두 개의 투영 평면을 그리기 평면과 결합하면 접는 선을 표시하지 않을 수 있습니다. 즉, 다이어그램에 평면의 교차 축을 그리지 않을 수 있습니다.

다이어그램을 그릴 때 항상 투영을 배치해야 합니다. ㅏ그리고 ㅏ?평면의 교차축에 수직인 하나의 수직선(그림 14)에 점 A를 배치합니다. 따라서 평면의 교점의 위치는 불확실하지만 방향은 결정되어 있어도 평면의 교점은 직선에 수직인 도형 위에만 위치할 수 있다. 뭐?.

첫 번째 그림 14a와 같이 점 다이어그램에 투영 축이 없으면 공간에서 이 점의 위치를 ​​상상할 수 있습니다. 이렇게 하려면 직선에 수직인 아무 곳이나 그립니다. 뭐?두 번째 그림(그림 14)과 같이 투영 축을 선택하고 이 축을 따라 그림을 구부립니다. 점에서 수직을 복원하면 ㅏ그리고 ㅏ?교차하기 전에 포인트를 얻을 수 있습니다 ㅏ. 투영 축의 위치를 ​​변경하면 투영 평면을 기준으로 점의 다른 위치가 얻어지지만 투영 축 위치의 불확실성은 공간에 있는 여러 점이나 그림의 상대적 위치에 영향을 미치지 않습니다.

투영의 프로파일 평면을 고려해 봅시다. 두 개의 수직 평면에 투영하면 일반적으로 그림의 위치가 결정되고 실제 크기와 모양을 알아낼 수 있습니다. 그러나 두 가지 예측만으로는 충분하지 않은 경우가 있습니다. 그런 다음 세 번째 투영의 구성이 사용됩니다.

세 번째 투영 평면은 두 투영 평면에 동시에 수직이 되도록 그려집니다(그림 15). 세 번째 평면은 일반적으로 호출됩니다. 프로필.

이러한 구조에서는 수평면과 정면면의 공통 직선을 호출합니다. 중심선 엑스 , 수평면과 프로파일면의 공통 직선 - 중심선 ~에 , 정면 평면과 프로필 평면의 공통 직선은 다음과 같습니다. 중심선 지 . 점 에 대한세 평면 모두에 속하는 를 원점이라고 합니다.

그림 15a는 요점을 보여줍니다. ㅏ그리고 그 예측 중 세 가지. 프로파일 평면에 투영( ㅏ??) 라고 한다 프로필 투영그리고 표시하다 ㅏ??.

세 개의 투영으로 구성된 점 A의 다이어그램을 얻으려면 아, 아, 아, y축을 따라 모든 평면으로 형성된 삼면체를 절단하고(그림 15b) 이 모든 평면을 정면 투영 평면과 결합해야 합니다. 수평면은 축을 기준으로 회전해야 합니다. 엑스, 프로파일 평면은 축을 기준으로 합니다. 지그림 15의 화살표 방향으로

그림 16은 투영 위치를 보여줍니다. 응, 응?그리고 ㅏ??포인트들 ㅏ, 세 평면을 모두 도면 평면과 결합하여 얻습니다.

잘라내기의 결과로 y축은 다이어그램의 서로 다른 두 위치에 나타납니다. 수평면(그림 16)에서는 수직 위치(축에 수직)를 취합니다. 엑스) 및 프로파일 평면에서 - 수평(축에 수직) 지).

그림 16에는 세 가지 예측이 있습니다. 응, 응?그리고 ㅏ??점 A는 다이어그램에서 엄격하게 정의된 위치를 가지며 다음과 같은 명확한 조건을 따릅니다.

ㅏ그리고 ㅏ?항상 축에 수직인 동일한 수직선에 위치해야 합니다. 엑스;

ㅏ?그리고 ㅏ??항상 축에 수직인 동일한 수평 직선 위에 위치해야 합니다. 지;

3) 수평투영과 수평직선을 통해 수행할 때, 그리고 프로파일 투영을 통해 수행할 때 ㅏ??– 수직 직선, 구성된 직선은 반드시 투영 축 사이 각도의 이등분선에서 교차합니다. 오아~에 ㅏ 0 ㅏ n - 정사각형.

한 점의 세 가지 투영을 구성할 때 각 점에 대해 세 가지 조건이 모두 충족되는지 확인해야 합니다.

공간에서 한 점의 위치는 '점'이라는 세 숫자를 사용하여 결정할 수 있습니다. 좌표. 각 좌표는 일부 투영 평면에서 점까지의 거리에 해당합니다.

결정된 지점 거리 ㅏ프로파일 평면에 대한 좌표는 엑스, 여기서 엑스 = 응?응(그림 15), 정면면까지의 거리는 좌표 y이고, y = 응?응, 수평면까지의 거리가 좌표입니다. 지, 여기서 지 = AA.

그림 15에서 점 A는 직육면체의 너비를 차지하고 이 평행육면체의 측정값은 이 점의 좌표에 해당합니다. 즉, 각 좌표는 그림 15에 4번 표시됩니다. 즉:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = 아야?.

다이어그램(그림 16)에서 x 및 z 좌표는 세 번 나타납니다.

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

좌표에 해당하는 모든 세그먼트 엑스(또는 지)은 서로 평행하다. 동등 어구 ~에수직으로 위치한 축으로 두 번 표현됩니다.

y = Oa y = a x a

두 번 – 수평으로 위치:

y = Oa y = a z a?.

이러한 차이는 y축이 다이어그램의 두 가지 다른 위치에 존재하기 때문에 나타납니다.

각 투영의 위치는 다이어그램에서 다음 두 좌표에 의해서만 결정된다는 점을 고려해야 합니다.

1) 수평 – 좌표 엑스그리고 ~에,

2) 정면 – 좌표 엑스그리고 지,

3) 프로필 - 좌표 ~에그리고 지.

좌표 사용 엑스, 와이그리고 지를 사용하면 다이어그램에서 점의 투영을 구성할 수 있습니다.

A 지점이 좌표로 주어지면 기록은 다음과 같이 정의됩니다. A ( 엑스; 와이; 지).

점 투영을 구성할 때 ㅏ다음 조건을 확인해야 합니다.

1) 수평 및 정면 투영 ㅏ그리고 ㅏ? 엑스 엑스;

2) 정면 및 프로필 투영 ㅏ?그리고 ㅏ?축에 대해 동일한 수직 위치에 있어야 합니다. 지, 공통 좌표를 가지고 있기 때문에 지;

3) 수평 투영 및 축에서 제거됨 엑스, 프로필 투영과 유사 ㅏ축에서 멀리 지, 예상 이후 아? 그리고 응? 공통 좌표를 가지고 있다 ~에.

점이 투영 평면 중 하나에 있는 경우 해당 좌표 중 하나는 0과 같습니다.

점이 투영 축 위에 있으면 해당 좌표 중 두 개가 0과 같습니다.

점이 원점에 있으면 해당 좌표 세 개가 모두 0입니다.