자연수와 0의 개념. 자연수 집합에서 "같음", "보다 작음", "큼" 관계. 최대 및 최소 자연수에 대한 추가 전문 정리를 갖춘 수학
"가장 큰" 정수와 "가장 작은" 정수에 관한 정리
정리 4("가장 작은" 정수에 관한) 아래로부터 경계가 지정된 비어 있지 않은 모든 정수 집합에는 가장 작은 숫자가 포함됩니다. (여기서는 자연수와 마찬가지로 "부분집합"이라는 단어 대신 "집합"이라는 단어를 사용함)
증거. O A C Z 및 A를 아래의 경계로 설정합니다. 즉, 36? ZVa? 에이(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
이제 b A를 보자.
그렇다면 Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >에 대한).
a - b 형식의 모든 숫자로 구성된 집합 M을 구성해 보겠습니다. 여기서 a는 집합 A를 통과합니다. M = (c [ c = a - b, a E A)
분명히 집합 M은 비어 있지 않습니다. 왜냐하면 A 74 0이기 때문입니다.
위에서 언급한 바와 같이, M C N . 결과적으로, 집합 M의 자연수 정리(54, Ch.III)에 따르면 가장 작은 자연수 m이 있습니다. 그러면 어떤 숫자 a1에 대해 m = a1 - b가 됩니다. A, 그리고 m이 M에서 가장 작으므로 Ua는 무엇입니까? 에< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
정리 5("가장 큰" 정수에 관한) 비어 있지 않고 제한된 모든 정수 집합에는 가장 큰 숫자가 포함됩니다.
증거. O 74 A C Z 및 A가 위에서 숫자 b에 의해 제한된다고 가정합니다. ? ZVa 전자 A(a< Ь). Тогда -а >b 모든 숫자에 대해 a? ㅏ.
결과적으로 집합 M(r = -a, a?A)은 비어 있지 않으며 아래 숫자(-6)로 제한됩니다. 따라서 이전 정리에 따르면 집합 M에는 가장 작은 숫자가 나타납니다. 에이스? MU? 남(초< с).
이게 와라는 뜻인가요? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >ㅏ)
H. 정수에 대한 수학적 귀납법의 다양한 형태. 나머지가 있는 나눗셈 정리
정리 1(수학적 귀납법의 첫 번째 형태) P(c)를 정수 집합 Z 4에 정의된 한 자리 술어로 설정합니다. 그러면 어떤 NUMBER a Z에 대해 명제 P(o)가 있고 임의의 정수에 대해 P(K)의 K > a가 P(K -4- 1) 뒤에 오면 명제 P(r)는 >를 갖는 모든 정수에 대해 유효합니다. a(즉, 다음 술어 계산 공식은 집합 Z에 대해 참입니다.
Р(а) 활 > + 1)) Ус > аР(с)
고정된 정수 a에 대해
증거. 정리의 조건에서 말한 모든 내용이 문장 P(c)에 대해 참이라고 가정합니다.
1) P(a) - 참;
2) 영국 Shch k +도 마찬가지입니다.
반대쪽에서. 그런 숫자가 있다고 가정 해 봅시다
b > a, 해당 RF)는 거짓입니다. 분명히 b a, 왜냐하면 P(a)가 참이기 때문입니다. 집합 M = (z ? > a, P(z)는 거짓)을 구성해 보겠습니다.
그러면 집합 M 0, b 이후? M과 M-는 아래에서 숫자 a로 제한됩니다. 결과적으로, 최소 정수에 관한 정리(정리 4, 2)에 의해 집합 M에는 최소 정수 c가 있습니다. 따라서 c > a는 c - 1 > a를 의미합니다.
P(c-1)이 참임을 증명해 보겠습니다. c-1 = a이면 조건에 따라 P(c-1)이 참입니다.
c-1 > a라고 하자. 그러면 P(c- 1)이 거짓이라는 가정은 1에 속한다는 것을 의미합니까? M은 집합 M에서 숫자 c가 가장 작기 때문에 일어날 수 없는 일입니다.
따라서 c - 1 > a이고 P(c - 1)은 참입니다.
따라서 이 정리의 조건에 따라 문장 P((c- 1) + 1)은 참입니다. R(s) - 사실입니다. 이것은 c? 이후 숫자 c의 선택과 모순됩니다. 남 정리가 증명됐어요.
이 정리는 Peano 공리의 결과 1을 일반화합니다.
정리 2(정수에 대한 수학적 귀납법의 두 번째 형태). P(c)를 정수 집합 Z에 대해 정의된 한 자리 술어라고 가정합니다. 그러면 명제 P(c)가 어떤 정수 K와 임의의 정수 s K에 대해 유효하다면, 명제 P(c)의 타당성으로부터 부등식 K를 만족하는 모든 정수에 대해< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >에게.
이 정리의 증명은 자연수에 대한 유사한 정리의 증명(정리 1, 55, 3장)을 대부분 반복합니다.
정리 3(수학적 귀납법의 세 번째 형태). P(c)를 정수 NUMBERS의 집합 Z에 정의된 한 자리 술어로 설정합니다. 그러면 P(c)가 자연수 집합의 어떤 무한한 부분 집합 M의 모든 수와 임의의 정수 a에 대해 참이라면, P(a)의 참은 P(a - 1)의 참을 암시하며, 다음 명제는 다음과 같습니다. P(c)는 모든 정수에 유효합니다.
증명은 자연수에 대한 대응정리의 증명과 유사합니다.
우리는 그것을 흥미로운 연습으로 제공합니다.
실제로 세 번째 형태의 수학적 귀납법은 다른 형태보다 덜 일반적입니다. 이를 적용하려면 정리에서 논의되는 자연수 집합의 무한 부분 집합 M을 알아야 한다는 사실로 설명됩니다. 그러한 세트를 찾는 것은 쉬운 일이 아닐 수 있습니다.
그러나 다른 형식에 비해 세 번째 형식의 장점은 이 형식의 도움으로 명제 P(c)가 모든 정수에 대해 증명될 수 있다는 것입니다.
아래에서 우리는 제공합니다 흥미로운 예세 번째 형식을 적용합니다." 하지만 먼저 매우 중요한 개념 하나를 제시해 보겠습니다.
정의. 정수 a의 절대값은 규칙에 의해 결정되는 숫자입니다.
0, a O이면 a, a > O이면
그리고 만약에< 0.
따라서 0이면 ? N.
우리는 연습삼아 독자들에게 절대 가치의 다음 속성을 증명해 보도록 권유합니다.
정리(나머지가 있는 나눗셈에 관한). b가 0인 정수 a와 b에 대해 a r: bq + T L D와 같은 숫자 q U m 쌍만 존재합니다.
증거.
1. 쌍(q,m)의 존재.
A, B 하자? Z와 0. 조건을 만족하는 한 쌍의 숫자 q가 있음을 보여드리겠습니다.
고정된 숫자 b에 대해 숫자 a에 대한 세 번째 형식의 귀납법을 통해 증명을 수행합니다.
M = (mlm= n lbl,n? N).
M C는 임의의 n에 대해 f(n) = nlbl 규칙에 의해 정의된 매핑 f: N M이라는 것이 분명합니다. N은 전단사입니다. 이는 M N, 즉 M-무한히.
임의의 숫자 a에 대해 이를 증명해 보겠습니다. 한 쌍의 숫자 q와 m의 존재에 관한 정리의 M(및 b-고정) 진술은 참입니다.
실제로, a (- M. 그런 다음 pf! 일부 n에 대해? N.
b > 0이면 a = n + O입니다. 이제 q = n 및 m O를 설정하면 b인 경우 필요한 숫자 쌍 q와 m을 얻습니다.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
이제 귀납적 가정을 해보자. 임의의 정수 c(및 임의의 고정 b 0)에 대해 정리의 설명이 참이라고 가정해 보겠습니다. 다음과 같은 숫자 쌍(q, m)이 있습니다.
(1이 있는) 숫자에 대해서도 이것이 참임을 증명해 보겠습니다. 평등 c = bq -4-로부터 bq + (m - 1)이 나옵니다. (1)
경우가 있을 수 있습니다.
1) m > 0. 그러면 7" - 1 > 0. 이 경우 - m - 1을 넣으면 c - 1 - bq + Tl을 얻습니다. 여기서 쌍 (q, 7"1,)은 분명히 조건을 충족합니다.
0. 그러면 c - 1 bq1 + 711 , 여기서 q1
0임을 쉽게 증명할 수 있다.< < Д.
따라서 이 명제는 숫자 쌍에도 적용됩니다.
정리의 첫 번째 부분이 입증되었습니다.
P. 쌍 q의 고유성 등
숫자 a와 b 0에 대해 두 쌍의 숫자 (q, m)과 (q1이 있고 조건 (*)을 충족한다고 가정합니다.
일치함을 증명해 봅시다. 그러니 보자
그리고 bq1 L O< Д.
이는 b(q1 -q) m- 7 1 1임을 의미합니다. 이 동등성으로부터 다음이 도출됩니다.
이제 q ql이라고 가정하면 q - q1 0, 여기서 lq - q1l 1입니다. 이러한 불평등을 항별로 숫자 lbl을 곱하면 ψ를 얻습니다! - q11 D. (3)
동시에 불평등 0에서< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
수업 과정:
1. 5 1에서 정리 2와 3의 증명을 완성하세요.
2. 정리 3, 1의 결과 2를 증명하십시오.
3. 다음 형식의 모든 숫자로 구성된 부분 집합 H C Z를 증명하십시오.< п + 1, 1 >(n? N), 덧셈과 곱셈에 따라 닫힙니다.
4. H는 연습 3과 동일한 집합을 의미한다고 합니다. 매핑 ј : M이 다음 조건을 충족하는지 증명합니다.
1) ј - 전단사;
2) 임의의 숫자 n, m에 대해 ј(n + m) = ј(n) + j(m) 및 j(nm) = ј(n) j(m)(즉, ј는 대수학(N)의 동형을 수행합니다. , 4 및 (H, +,).
5. 정리 1/2의 증명을 완성하세요.
6. 임의의 정수 a, b, c에 대해 다음과 같은 의미가 있음을 증명하십시오.
7. Z의 두 번째 및 세 번째 정리를 증명하십시오.
8. 정수의 링 Z에는 0의 약수가 포함되어 있지 않음을 증명하십시오.
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블라디미르 콘스탄티노비치 카르타쇼프
수학 입문 과정
편집 준비: O. I. Molokanova 원본 레이아웃 준비: A. P. Boschenko
“96년 12월 20일자 PR 020048
1999년 8월 28일 출판을 위해 서명되었습니다. 형식 60x84/16. 사무실 인쇄 팔. 유형. 남 2. 우엘. 오븐 엘. 8.2. 학술 에디션. 엘. 8.3. 발행부수 500부. 주문 2
출판사 "Peremena"
아시다시피, 자연수 집합은 "보다 작음" 관계를 사용하여 주문할 수 있습니다. 그러나 공리 이론을 구성하기 위한 규칙은 이 관계가 정의될 뿐만 아니라 이 이론에 이미 정의된 개념에 기초하여 수행되어야 함을 요구합니다. 이는 덧셈을 통해 "보다 작음" 관계를 정의함으로써 수행될 수 있습니다.
정의. 숫자 a는 숫자 b보다 작습니다(a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = 비.
이러한 조건 하에서 숫자는 다음과 같습니다. 비더 ㅏ쓰기 비 > 에이.
정리 12.임의의 자연수에 대해 ㅏ그리고 비세 가지 관계 중 하나만 성립합니다. a = b, a > b, ㅏ < 비.
우리는 이 정리의 증명을 생략합니다.. 이 정리로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다.
a 1 b,어느 하나 ㅏ< b, 또는 a > b,저것들. "적음"이라는 관계는 연결성의 속성을 갖습니다.
정리 13.만약에 ㅏ< b 그리고 비< с. 저것 ㅏ< с.
증거. 이 정리는 "보다 작음" 관계의 이행 특성을 표현합니다.
왜냐하면 ㅏ< b 그리고 비< с. 그러면 "보다 작음" 관계의 정의에 따라 자연수가 존재합니다. 에게그래서 뭐 b = a + k 및 c = b + I.하지만 c = (a + k)+ / 그리고 추가의 연관성 속성을 기반으로 우리는 다음을 얻습니다. c = a + (k +/). 왜냐하면 k + 나 -그러면 "보다 작다"의 정의에 따라 자연수는 ㅏ< с.
정리 14. 만약에 ㅏ< b, 그것은 사실이 아니다 비< а. 증거. 이 정리는 속성을 표현합니다 비대칭"적은" 관계.
먼저 하나의 자연수가 아니라는 것을 증명해 보겠습니다. ㅏ너 말고-!>! ■ )그녀의 태도 ㅏ< ㅏ.반대로 가정해보자. 무엇 ㅏ< а 발생합니다. 그러면 "보다 작음" 관계의 정의에 따라 자연수가 존재합니다. 와 함께,무엇 ㅏ+ 와 함께= ㅏ,이는 정리 6과 모순됩니다.
이제 증명해보자. ㅏ< 비, 그렇다면 그것은 사실이 아닙니다 비 < ㅏ.반대로 가정해보자. 만약 ㅏ< b , 저것 비< а 수행. 그러나 이러한 등식으로부터 정리 12에 의해 우리는 다음을 얻습니다. ㅏ< а, 그것은 불가능합니다.
우리가 정의한 "보다 작음" 관계는 반대칭적이고 추이적이며 연결성의 특성을 가지므로 선형 순서의 관계이며 자연수 집합입니다. 선형적으로 정렬된 세트.
"덜"의 정의와 그 속성으로부터 우리는 추론할 수 있습니다. 알려진 속성자연수의 집합입니다.
정리 15.모든 자연수 중에서 가장 작은 수는 하나입니다. 나< а для любого натурального числа a11.
증거. 허락하다 ㅏ -임의의 자연수. 그렇다면 두 가지 경우가 가능합니다: a = 1과 a ¹ 1. 만일 a = 1이면 자연수가 존재한다 비,이어서 a: a = b " = b +나는 = 1 + 비,즉, "보다 작음" 관계의 정의에 따르면 1< ㅏ.따라서 모든 자연수는 1과 같거나 1보다 큽니다. 또는 1은 가장 작은 자연수입니다.
"미만"이라는 관계는 단조성의 속성에 의한 숫자의 덧셈 및 곱셈과 관련이 있습니다.
정리 16.
a = b => a + c = b + c 및 a c = b c;
ㅏ< b =>에이 + 씨< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c 및 ac > bc.
증거. 1) 이 진술의 타당성은 덧셈과 곱셈의 고유성에서 비롯됩니다.
2) 경우 ㅏ< b,
그럼 그런 자연수도 있지 케이,무엇 ㅏ
+ k = ㄴ.
그 다음에 비+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ 에게)= (a + c) + k.평등 비+ c = (a + c) + k의미하는 것은 에이 + 씨< b
+ 와 함께.
같은 방법으로 다음과 같이 증명된다. ㅏ< b =>교류< bс.
3) 증명은 비슷합니다.
정리 17(정리 16의 반대)
1) ㅏ+ c = b + c또는 AC~BC-Þ a = b
2) 에이 + 씨< Ь + с 또는 교류< 기원전Þ ㅏ< Ь:
3) a + c > b+ 또는 교류 > 기원전Þ 에 > 비.
증거. 예를 들어 다음과 같이 증명해 보자. 교류< bс ~해야 한다 ㅏ< b 반대로 가정해보자. 정리의 결론이 성립하지 않는다는 것입니다. 그럼 그럴 리가 없지 a = b.그 이후로 평등은 만족될 것입니다 AC = BC(정리 16); 그럴 리가 없어 ㅏ> 비,왜냐면 그러면 그럴 테니까 AC > Bс(정리!6). 그러므로 정리 12에 따르면, ㅏ< b.
정리 16과 17로부터 우리는 용어별 덧셈과 부등식의 곱셈에 대한 잘 알려진 규칙을 도출할 수 있습니다. 우리는 그들을 제외합니다.
정리 18. 임의의 자연수에 대해 ㅏ그리고 비; 다음과 같은 자연수 n이 있습니다. 피비> 아.
증거. 누구에게나 ㅏ그런 숫자가 있어요 피, 무엇 엔 > 에이.이렇게하려면 충분합니다. 엔 = 에이 + 1. 불평등을 항별로 곱하기 피> ㅏ그리고 비> 1, 우리는 얻습니다 pb > ㅏ.
"보다 작음" 관계의 고려된 속성에서 자연수 집합의 중요한 특징이 따르며, 이를 증명 없이 제시합니다.
1. 자연수가 아님 ㅏ그런 자연수는 없어 피,무엇 ㅏ< п < а +
1. 이 속성은 다음과 같습니다. 재산
이산성자연수와 숫자의 집합 ㅏ그리고 + 1이라고 불린다 이웃.
2.
비어 있지 않은 자연수의 하위 집합에는 다음이 포함됩니다.
가장 작은 수.
3. 만일 중- 자연수 집합의 비어 있지 않은 부분 집합
그리고 그런 숫자가 있어요 비,모든 숫자 x에 대해 중실행되지 않음
평등 x< 비,그럼 풍성하게 중가장 큰 숫자입니다.
예를 들어 속성 2와 3을 설명해 보겠습니다. 허락하다 중- 두 자리 숫자의 집합입니다. 왜냐하면 중는 자연수의 부분집합이고 이 집합의 모든 숫자에 대해 부등식 x< 100, то в множестве 중가장 큰 숫자는 99입니다. 주어진 세트에 포함된 가장 작은 숫자입니다. 중, -번호 10.
따라서 "보다 작음" 관계는 자연수 집합의 상당수의 속성을 고려(어떤 경우에는 증명)하는 것을 가능하게 했습니다. 특히 선형적으로 정렬되고 이산적이며 가장 작은 수인 1을 갖습니다.
초등학생들은 교육 초기부터 자연수에 대한 "보다 작음"( "보다 큼") 관계에 익숙해집니다. 그리고 종종 집합론적 해석과 함께 공리 이론의 틀 내에서 우리가 제공한 정의가 암묵적으로 사용됩니다. 예를 들어, 학생들은 9가 7+2이기 때문에 9 > 7이라고 설명할 수 있습니다. 덧셈과 곱셈의 단조성 속성을 암시적으로 사용하는 것도 일반적입니다. 예를 들어, 아이들은 “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
수업 과정
1. "즉시 따르기" 관계를 사용하여 자연수 집합을 정렬할 수 없는 이유는 무엇입니까?
태도 정의 a > b그리고 그것이 추이적이고 반대칭적임을 증명합니다.
3. 다음과 같은 경우 증명하세요. 에이, 비, 씨자연수이면 다음과 같습니다.
ㅏ) ㅏ< b Þ ас < bс;
비) ㅏ+ 와 함께< b + сÞ> ㅏ< Ь.
4. 덧셈과 곱셈의 단조성에 관한 정리는 무엇입니까?
사용 중학생, "계산을 수행하지 않고 비교" 작업 수행:
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27 -18.
5. 다음 작업을 수행할 때 초등학생이 암시적으로 사용하는 자연수 집합의 속성은 무엇입니까?
가) 65보다 크고 75보다 작은 숫자를 적어보세요.
B) 숫자 300(800,609,999)과 관련하여 이전 및 이후 숫자의 이름을 지정합니다.
다) 가장 작은 세 자리 숫자와 가장 큰 세 자리 숫자를 말해 보세요.
빼기
자연수 이론의 공리적 구성에서 뺄셈은 일반적으로 덧셈의 역연산으로 정의됩니다.
정의. 자연수 a와 b의 뺄셈은 b + c = a인 경우에만 a - b = c라는 조건을 충족하는 연산입니다.
숫자 a - b숫자 a와 숫자의 차이라고 합니다. 비,숫자 ㅏ– 피감수, 숫자 비-공제 가능.
정리 19.자연수의 차이 ㅏ- 비존재하는 경우와 경우에만 존재합니다. 비< а.
증거. 차이를 두자 ㅏ- 비존재합니다. 그러면 차이의 정의에 따라 자연수가 존재합니다. 와 함께,무엇 b + c = ,의미하는 것은 비< а.
만약에 비< а, 그러면 "보다 작음" 관계의 정의에 따라 다음과 같은 자연수 c가 있습니다. b + c = 입니다.그러면 차이점의 정의에 따르면, c = a - b,저것들. 차이점 a - b존재합니다.
정리 20. 자연수의 차이가 ㅏ그리고 비존재하면 고유합니다.
증거. 숫자 사이의 차이에 대해 두 가지 다른 값이 있다고 가정합니다. ㅏ그리고 비;: a – b= s₁그리고 a - b= s², 그리고 с₁ ¹ с₂ .그런 다음 차이점을 정의하면 다음과 같습니다. a = b + c₁,그리고 a = b + c² : .그것은 다음과 같습니다 비+ c ₁ = b + c² :정리 17에 기초하여 우리는 결론을 내립니다. с₁ = с²..우리는 가정과 모순에 이르렀습니다. 이는 그것이 거짓임을 의미하지만 이 정리는 정확합니다.
자연수의 차이에 대한 정의와 그 존재 조건을 바탕으로 합계에서 숫자를 빼고 숫자에서 합계를 빼는 잘 알려진 규칙을 정당화하는 것이 가능합니다.
정리 21. 허락하다 ㅏ. 비그리고 와 함께- 정수.
그리고 만약에 a > c이면 (a + b) - c = (a - c) + b입니다.
b) 만일 비 > ㄷ. 그런 다음 (a + b) - c - a + (b - c)입니다.
다) 만일 a > c 및 b > c.그러면 다음 수식 중 하나를 사용할 수 있습니다.
증거. a) 숫자의 차이가 있는 경우 ㅏ그리고 씨존재하는 이유는 a > s.로 표시해보자 x: a - c = x.어디 a = c + x. 만약에 (ㅏ+ b) - c = y.그런 다음 차이점의 정의에 따라 ㅏ+ 비 = 와 함께+ ~에. 대신에 이 평등으로 대체하자 ㅏ표현 C + 엑스:(c + x) + b = c + y.덧셈의 연관성 속성을 사용해 보겠습니다. c + (x + b) = c+ ~에. 덧셈의 단조성 속성을 기반으로 이 등식을 변환하고 다음을 얻습니다.
x + b = 유..이 평등에서 x를 표현식으로 대체 a - c,가질 것이다 (ㅏ - G) + b = y.따라서 우리는 다음을 증명했습니다. a > c이면 (a + b) - c = (a - c) + b
증명은 b)의 경우에도 유사하게 수행됩니다.
입증된 정리는 기억하기 편리한 규칙의 형태로 공식화될 수 있습니다. 합계에서 숫자를 빼려면 합계의 한 항에서 이 숫자를 빼고 결과 결과에 다른 항을 추가하면 충분합니다.
정리 22.허락하다 a, b, c -정수. 만약에 a > b+ s, 그러면 ㅏ- (b + c) = (a - b) - c또는 a - (b + c) = (a - c) - b.
이 이론의 증명은 정리 21의 증명과 유사합니다.
정리 22는 규칙으로 공식화될 수 있습니다. 숫자에서 숫자의 합을 빼려면 이 숫자에서 각 항을 하나씩 빼는 것으로 충분합니다.
안에 초등교육수학에서 뺄셈을 덧셈의 역수로 정의 일반적인 견해는 원칙적으로 제공되지 않지만 한 자리 숫자에 대한 작업을 수행하는 것부터 시작하여 지속적으로 사용됩니다. 학생들은 뺄셈이 덧셈과 관련이 있다는 것을 분명히 이해하고 이 관계를 계산에 활용해야 합니다. 예를 들어, 숫자 40에서 숫자 16을 빼면 학생들은 다음과 같이 추론합니다. “40에서 숫자 16을 빼는 것은 숫자 16에 더하면 결과가 40이 되는 숫자를 찾는 것을 의미합니다. 24 + 16 = 40이므로 이 숫자는 24가 됩니다. 40 - 16 = 24."
기본 수학 과정에서 합계에서 숫자를 빼고 숫자에서 합계를 빼는 규칙은 다음과 같습니다. 이론적 기초다양한 계산 방법. 예를 들어, (40 + 16) - 10이라는 표현식의 값은 괄호 안의 합계를 계산한 후 그 값에서 숫자 10을 빼는 것뿐만 아니라 이런 방식으로도 찾을 수 있습니다.
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
수업 과정
1. 각 자연수는 바로 다음 자연수에서 1을 빼서 얻는다는 것이 맞습니까?
2. 정리 19의 논리적 구조에서 특별한 점은 무엇입니까? “필요하다”와 “충분하다”라는 단어를 사용하여 공식화할 수 있습니까?
3. 다음을 증명하십시오:
그리고 만약에 비 > c,저것 (a + b) - c = a + (b - c);
b) 만일 a > b + c, 저것 a-(b+ 다) = (a - b) - c.
4. 계산을 수행하지 않고도 어떤 표현식이 동일한 값을 갖는지 알 수 있습니까?
가) (50 + 16) - 14; 디) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; 마) 50 - (16 - 14);
다) (50 - 14) - 16, 바) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); 라) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; 마) (50 - 14) - 16;
다) (50 - 16) - 14; 마) 50 - 16-14.
5. 뺄셈의 어떤 속성이 초기 수학 과정에서 연구된 다음 계산 기술의 이론적 기초가 됩니까?
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6 - P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. 형식 표현의 가치를 평가하는 가능한 방법을 설명하십시오. a - b- 와 함께그리고 구체적인 예를 들어 설명해보세요.
7. 언제 증명하세요? 비< а 그리고 모든 자연 C는 평등이 사실입니다 (a – b) c = ac – bc.
메모. 증명은 공리 4를 기반으로 합니다.
8. 서면 계산을 수행하지 않고 표현식의 값을 결정합니다. 답변을 정당화하십시오.
a) 7865 × 6 – 7865 ×5: b) 957 × 11 – 957; c) 12×36 – 7×36.
분할
자연수 이론의 공리적 구성에서 나눗셈은 일반적으로 곱셈의 역연산으로 정의됩니다.
정의. 자연수 a와 b의 나눗셈은 다음 조건을 만족하는 연산입니다: a: b = c if and only if에게 언제 b× c = 에이.
숫자 a:b~라고 불리는 사적인숫자 ㅏ그리고 비,숫자 ㅏ나눌 수 있는, 숫자 비- 제수.
알려진 바와 같이, 자연수 집합에 대한 나눗셈은 항상 존재하는 것은 아니며, 차이에 대해 존재하는 것처럼 몫의 존재에 대한 편리한 부호도 없습니다. 오직 필요한 조건개인의 존재.
정리 23.두 자연수의 몫이 존재하려면 ㅏ그리고 비, 그것은 필요하다 비< а.
증거. 자연수의 몫을 보자 ㅏ그리고 비존재한다, 즉 다음과 같은 자연수 c가 있습니다. 기원전 = 에이.임의의 자연수 1에 대해 부등식은 1 £입니다. 와 함께,그런 다음 두 부분 모두에 자연수를 곱합니다. 비, 우리는 얻는다 비£ 기원전.하지만 기원전 = 에,따라서, 비£ ㅏ.
정리 24.자연수의 몫인 경우 ㅏ그리고 비존재하면 고유합니다.
이 정리의 증명은 자연수 차이의 고유성에 관한 정리의 증명과 유사합니다.
자연수 몫의 정의와 그 존재 조건을 바탕으로 합(차, 곱)을 숫자로 나누는 잘 알려진 규칙을 정당화하는 것이 가능합니다.
정리 25.숫자라면 ㅏ그리고 비숫자로 나눌 수 있는 와 함께,그럼 그들의 합계 a + b c로 나누고, 그 합을 나누어 얻은 몫 ㅏ+ 비번호당 와 함께,나누어서 얻은 몫의 합과 같습니다. ㅏ~에 와 함께그리고 비~에 와 함께, 즉. (a + b):c = a:c + b:와 함께.
증거. 번호부터 ㅏ로 나눈 와 함께,그러면 자연수 x =가 있습니다. ㅏ;그거요 a = cx.마찬가지로 이런 자연수가 있다. 와이 = b:와 함께,무엇
비= 수.하지만 a + b = CX+ cy = - c(x + y).그것은 다음을 의미합니다 a + b를 c로 나누고, 그 합을 나누어 얻은 몫 ㅏ+ 비 x +와 같은 숫자 c로 와이,저것들. 도끼 + b: c.
입증된 정리는 합계를 숫자로 나누는 규칙으로 공식화될 수 있습니다. 합계를 숫자로 나누려면 각 항을 이 숫자로 나누고 결과 결과를 더하면 충분합니다.
정리 26.자연수인 경우 ㅏ그리고 비숫자로 나눌 수 있다 와 함께그리고 a > b,그렇다면 차이점은 a - b는 c로 나누어지고, 그 차이를 숫자 c로 나누어 얻은 몫은 나누어서 얻은 몫의 차이와 같습니다. ㅏ~에 와 함께그리고 비 c에서, 즉 (a - b):c = a:c - b:c.
이 정리의 증명은 이전 정리의 증명과 유사합니다.
이 정리는 차이를 숫자로 나누는 규칙으로 공식화될 수 있습니다. 을 위한차이를 숫자로 나누려면 피감수와 빼기를 이 숫자로 나누고 첫 번째 몫에서 두 번째를 빼면 충분합니다.
정리 27.자연수인 경우 ㅏ는 자연수 c로 나눌 수 있고, 그러면 임의의 자연수에 대해 비일하다 ab s로 나눈다. 이 경우 곱을 나누어 얻은 몫은 ab숫자 s로 , 나누어서 얻은 몫의 곱과 같습니다. ㅏ~에 와 함께,숫자 b: (a × b):c - (a:c) × b.
증거. 왜냐하면 ㅏ로 나눈 와 함께,그러면 다음과 같은 자연수 x가 있습니다. a:c= x, 여기서 a = cx.평등의 양변에 다음을 곱합니다. 비,우리는 얻는다 ab = (cx)b.곱셈은 결합이므로 (cx)b = c(xb).여기에서 (ab):c = xb= (a:c)b.정리는 곱을 숫자로 나누는 규칙으로 공식화될 수 있습니다. 곱을 숫자로 나누려면 요소 중 하나를 이 숫자로 나누고 결과 결과에 두 번째 요소를 곱하면 충분합니다.
초등학교 수학교육에서 나눗셈을 곱셈의 역연산으로 정의하는 것은 원칙적으로 일반적인 형태로 주어지지 않고, 나눗셈에 익숙해지는 첫 수업부터 지속적으로 사용된다. 학생들은 나눗셈이 곱셈과 관련이 있다는 것을 분명히 이해하고 계산을 할 때 이 관계를 활용해야 합니다. 예를 들어, 48을 16으로 나눌 때 학생들은 다음과 같이 추론합니다. “48을 16으로 나누는 것은 16을 곱하면 48이 되는 숫자를 찾는 것을 의미합니다. 16×3 = 48이므로 그러한 숫자는 3이 됩니다. 따라서 48:16 = 3입니다.
수업 과정
1. 다음을 증명하십시오.
a) 자연수의 몫인 경우 a와 b존재하면 고유합니다.
b) 숫자라면 a와 b로 나누어진다 와 함께그리고 a > b,저것 (a - b): c = a: c - b: c.
2. 이 모든 평등이 사실이라고 말할 수 있습니까?
가) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 =850:10:17.
이러한 경우를 일반화하는 규칙은 무엇입니까? 그것을 공식화하고 증명하십시오.
3. 분할의 어떤 속성이 이론적 기초가 됩니까?
실행 다음 작업학생들에게 제공 기본 수업:
나누기를 수행하지 않고도 어떤 표현식이 동일한 값을 갖는지 알 수 있습니까?
가) (40+ 8):2; 다) 48:3; 마) (20+ 28):2;
b) (30 + 16):3; g)(21+27):3; 바) 48:2;
평등이 사실입니까?
가) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. 표현식의 값을 계산하는 가능한 방법 설명
유형:
ㅏ) (ㅏ+ 기원전;비) ㅏ:비: 와 함께; V) ( a × b): 와 함께 .
구체적인 예를 들어 제안된 방법을 설명합니다.
5. 표현의 의미를 합리적으로 찾아보세요. 그들의
당신의 행동을 정당화하십시오:
가) (7 × 63):7; 다) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; 라) (12 × 21): 14.
6. 두 자리 숫자로 나누는 다음 방법을 정당화하십시오.
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. 모서리로 나누지 않고 가장 합리적인 것을 찾아라
몫으로; 선택한 방법을 정당화합니다.
가) 495:15; c) 455:7; 마) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
강의 34. 음이 아닌 정수 집합의 속성
1. 음수가 아닌 정수의 집합. 음수가 아닌 정수 집합의 속성입니다.
2. 자연 계열의 숫자 세그먼트와 유한 집합의 요소 계산 개념. 서수와 기수 자연수.
자연수는 물체의 개수를 세는 데 사용되는 숫자입니다. 그것은 인간의 실제적인 필요에서 비롯되었습니다. 자연수 개념의 발전은 여러 단계로 나눌 수 있습니다. 1. 고대 사람들은 집합을 비교하기 위해 대응 관계를 확립했습니다. 예를 들어 손의 손가락만큼. 단점 - 비교되는 세트가 동시에 표시되어야 합니다. 2. 많은 - 중개자(예: 돌, 조개껍데기, 막대기). 수의 개념은 아직 완성되지 않았습니다. 그리고 그 숫자는 특정 항목과 연결되어 있습니다. 3. 숫자의 출현(숫자를 숫자의 형태로 지정). 산술의 기원. 과학으로서의 산술은 고대 동양 국가인 중국, 인도, 이집트, 추가 개발그리스에서. 자연수라는 용어는 로마의 과학자 보에티우스가 처음 사용했습니다. 세트의 수량을 결정하려면 계산이 필요합니다. 모든 양적 집합을 등가 클래스, 예를 들어 하나의 등가 클래스로 나누겠습니다. 삼각형의 많은 꼭지점, 정사각형의 변, 단어 세계의 많은 문자가 포함됩니다. 이 과정을 계속하면 동등성과 관련하여 모든 것이 동등하게 강력한 관계라는 사실로 인해 발생합니다. 유한 집합은 클래스로 구분됩니다. 저것. 이론적으로 - 기본 자연수의 복수 의미는 - 일반 재산유한 등집합의 종류. 각 클래스에는 고유한 수량 번호가 있습니다. 빈 세트에 따라 0이 배치됩니다.
숫자 A와 B가 동일한 카디널리티 세트로 정의되면 동일하다고 합니다.
이 방법은 초등학교에서 사용됩니다.
드러나는 작업을 수행하기 위한 방법론 구체적인 의미산술 연산.
산술 문제는 수학 과정에서 중요한 위치를 차지합니다. 수학 수업 시간의 거의 절반이 문제 해결에 사용됩니다. 이는 아이들을 가르치는 데 있어서 그들이 수행하는 훌륭한 교육적, 교육적 역할로 설명됩니다. 해결책 산술 문제산술 연산의 기본 의미를 밝히고 구체화하며 특정 생활 상황과 연결하는 데 도움이 됩니다. 과제는 학습을 촉진합니다 수학적 개념, 관계, 패턴. 문제를 해결할 때 아이들은 자발적인 주의력, 관찰력, 논리적 사고, 연설, 지능. 문제 해결은 분석, 종합, 비교, 일반화와 같은 인지 과정의 발달에 기여합니다.
산수 문제를 해결하는 과정에서 학생들은 자신의 활동을 계획하고 통제하는 방법, 기술 습득, 자제력(문제 확인, 문제 추정 등)을 배우고 인내심과 의지를 키우며 문제에 대한 해결책을 찾는 데 관심을 갖게 됩니다. 문제. 문제 해결의 역할은 아이들의 삶과 미래 직업을 준비하는 데 매우 중요합니다. 이야기 문제를 풀 때 학생들은 사물과 양 사이의 관계를 '수학 언어'로 번역하는 방법을 배웁니다. 산술 문제는 국가 경제, 문화, 과학 등 다양한 분야에서 국가의 성공을 반영하는 수치 자료를 사용합니다. 이는 학생들의 시야를 넓히고 주변 현실에 대한 새로운 지식을 풍부하게 하는 데 도움이 됩니다. 학생들은 산술 문제를 해결하는 능력을 습득합니다. 큰 어려움을 겪고.
문제에 대한 아이들의 잘못된 해결책의 이유는 주로 그들의 사고의 특성에 있습니다. 문제 해결 방법을 배우는 과정에서 특정 유형의 문제 해결 훈련을 피해야 하며, 문제 해결에 대한 의식적인 접근 방식을 가르쳐야 하며, 문제에 설명된 특정 생활 상황을 탐색하는 방법을 가르치고, 작업을 의식적으로 격리하는 방법을 가르쳐야 합니다. 데이터, 의식적인 선택행위. 산술 문제를 해결하는 과정에서 다음 단계를 구분할 수 있습니다.
1. 작업 내용을 작업하십시오.
2. 문제에 대한 해결책을 찾는다.
3. 문제 해결.
4. 답변의 공식화.
5. 문제 해결 방법을 확인합니다.
6. 해결된 문제에 대한 후속 작업.
작업 내용을 작업하는 데 많은 주의를 기울여야 합니다. 문제에 제시된 상황을 이해하고, 데이터와 찾고자 하는 것 사이의 관계를 설정합니다. 작업 내용을 마스터하는 작업 순서
a) 이해할 수 없는 단어나 표현의 분석
b) 교사와 학생이 문제의 텍스트를 읽는다.
c) 문제의 상황을 기록한다.
d) 질문을 통해 과제를 반복합니다.
학생들은 문제의 텍스트를 표현적으로 읽는 방법을 가르쳐야 합니다. 우리는 아이들을 구체적으로 가르쳐야 한다는 것을 기억해야 합니다. 표현적인 독서, 그들은 스스로 문제를 정확하게 읽을 수 없고, 논리적인 강조점을 둘 수도 없습니다.
사물, 스텐실 및 그림을 사용하여 과제 내용을 지정하는 것과 함께 학교 교사의 관행이 널리 보급되었습니다. 다음 양식작업 내용 기록:
1. 문제의 텍스트에서 숫자 데이터와 문제의 논리적 의미를 이해하는 데 필요한 단어 및 표현만 기록하는 축약형 기록입니다.
2. 문제의 각 논리적 부분이 새 줄에 기록되는 축약된 구조적 기록 형식입니다.
3. 녹음의 도식적 형태.
4. 그래픽 형태의 녹음.
어린이의 통제 기능이 약해지기 때문에 문제 해결 방법을 확인하는 것은 교육적 의미뿐만 아니라 교육적 의미도 있습니다. 저학년에서는 다음이 필요합니다.
1. 대상에 대한 작업을 수행하여 구두로 공식화된 작업을 확인합니다.
2. 답변의 실제 여부를 확인하세요.
3. 답변이 과제의 조건과 질문에 부합하는지 확인하세요. 문제를 해결하는 다른 방법을 사용하여 문제에 대한 해결책을 확인하는 것은 4학년부터 가능합니다.
문제 해결의 정확성을 제어하기 위해 프로그래밍된 교육의 일부 요소도 사용됩니다. 이 요소는 학생이 행동의 정확성 또는 반대로 오류에 대해 즉시 강화를 받는다는 점에서 매우 유용합니다. 결정이 잘못되면 그는 새로운 해결책을 찾습니다.
학교 교사는 모든 학생이 문제에 대한 해결책을 이해하고 있는지 확신할 수 없는 경우가 많습니다. 따라서 이 문제에 대한 솔루션을 통합하는 작업은 매우 유용합니다. 문제에 대한 해결책을 통합하는 작업은 다양한 방법으로 수행될 수 있습니다.
1. 문제의 내용에 관한 핵심 질문이 제기됩니다.
2. 행동 선택에 대한 정당성과 함께 문제 해결의 전체 과정을 알려주는 것이 제안됩니다.
3. 개인의 행동이나 문제에 대해 질문이 제기됩니다. 학생들에게 중요한 것은 비슷한 문제를 얼마나 많이 풀느냐가 아니라, 데이터와 관련하여 교과목 상황을 이해하는 것입니다. 이 목표는 해결된 문제에 대한 후속 작업을 통해 달성되며, 이는 이러한 유형의 문제를 해결하는 기술을 개발하는 중요한 기술로 간주될 수 있습니다. 문제의 주제 내용, 데이터와 필수 데이터 간의 관계에 대한 더 나은 이해는 숫자가 아닌 단어로 작성된 추가 또는 누락된 숫자 데이터로 문제를 해결함으로써 촉진됩니다. 관찰에 따르면 최고의 교사는 문제 해결을 가르치는 방법 중 하나로 학생 스스로 문제를 작성하는 방법을 널리 사용합니다.
작업 편집은 어린이가 작업의 중요하고 실질적인 중요성을 더 잘 이해하고, 구조를 더 잘 이해하며, 작업을 구별하는 데 도움이 됩니다. 다양한 방식, 문제 해결 방법을 이해합니다. 문제 준비는 기성 문제 해결과 병행하여 수행됩니다. 경험과 관찰에 따르면 문제를 부분적으로 구성하는 것이 학생들에게 가장 쉽습니다. 학생들은 다양한 구성으로 문제를 구성하도록 권장되어야 합니다. 이는 아이들의 상상력, 독창성, 주도력의 발달에 기여합니다. 문제를 작성하기 위해 학생들이 여행 중에 참고 도서, 신문, 잡지 등에서 "얻은" 자료를 사용할 때 매우 유용합니다. 고등학생들은 특정 계산과 관련된 비즈니스 문서를 작성하고 작성하도록 가르쳐야 합니다. 예를 들어 위임장 작성, 송금 양식 작성 등이 가능합니다. 위의 모든 기술은 모든 유형의 문제를 해결하는 데 널리 사용될 수 있습니다.
단순 산술 문제는 한 번의 산술 연산으로 풀 수 있는 문제입니다. 간단한 문제는 학생들에게 수학을 가르치는 데 매우 중요한 역할을 합니다. 특정 수학적 개념을 형성하기 위해 주요 의미를 밝히고 산술 연산을 지정하는 것을 가능하게 하는 것은 간단한 문제입니다. 간단한 작업은 중요한 부분복잡한 문제를 해결하는 능력을 개발함으로써 교사는 학생들이 복잡한 문제를 해결할 수 있도록 준비시킵니다.
매 학년학습을 통해 학생들은 새로운 종에 대해 알게 됩니다. 간단한 작업. 그들의 점진적인 도입은 수학적 개념의 다양한 난이도, 산술 연산의 연구 장소, 그것이 드러내는 구체적인 의미로 설명됩니다. 이러한 유형의 과제를 선택할 때 교사의 사양과 내용에 세심한 주의를 기울여야 합니다. 마지막으로 교사는 문제의 내용을 지정하는 방법을 가르치고 다음을 사용하여 데이터와 필요한 데이터 간의 관계를 밝힙니다. 다양한 형태짧은 메모.
경험 최고의 선생님산술 문제 해결을 위한 준비는 학생들의 실제 경험을 풍부하게 하고 개발하여 주변 현실에 적응시키는 것부터 시작되어야 함을 보여줍니다. 학생들을 그렇게 이끌어야 한다 생활 상황, 계산하고, 산술 문제를 해결하고, 변경해야 합니다. 더욱이, 이러한 상황은 처음에는 인위적으로 만들어져서는 안 되며, 학생들의 관심이 그 상황에 집중되어야 합니다. 교사는 용기 등의 내용물에 대한 개체 세트의 요소 수 변화에 대한 관찰을 조직합니다. 이는 학생들이 양에 대한 아이디어를 발전시키는 데 기여하여 나중에 언어 공식에서 접하게 될 특정 용어에 익숙해지도록 합니다. 문제: 그것은 모든 것이 남아 있었고, 취하고, 증가하고, 감소했습니다. 게임을 조직하고 정리하는 데 필요합니다. 실제 활동학생들은 이 활동에 직접 참여하고 관찰하면서 각 개별 사례에 대해 스스로 결론을 내릴 수 있습니다. 세트의 요소 수가 증가하거나 감소했으며 이러한 증가 또는 감소에 해당하는 작업 및 언어 표현이 무엇인지. 이 준비 작업 단계는 처음 10개 숫자에 대한 작업 시작과 산술 연산에 대한 익숙해짐, 목표 세트를 사용한 연산 예제를 해결하고 컴파일하는 것과 일치합니다.
산술 문제 해결을 가르치기 전에 교사는 학생들에게 어떤 지식, 기술 및 능력을 제공해야 하는지 명확하게 상상해야 합니다. 문제를 해결하려면 학생들이 해결해야 합니다. 산술 예, 문제를 듣고 읽고, 짧은 메모에서, 기억에서 문제 질문을 질문별로 반복하고, 문제의 구성 요소를 강조 표시하고, 문제를 해결하고 정확성을 확인하십시오. 1학년에서 학생들은 합과 나머지를 구하는 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 이러한 과제는 처음 10개의 숫자를 가르칠 때 처음으로 소개됩니다. 동일한 항의 합을 구하는 문제, 같은 부분으로 나누기 또는 내용으로 나누는 문제를 해결하는 방법을 배울 때 곱셈과 나눗셈의 산술 연산의 본질에 대한 학생들의 이해에 의존해야 합니다. 서로 다른 비교 문제를 해결하기 전에 학생들은 한 세트, 두 주제 세트, 수량, 숫자의 개체를 비교하고 이들 간의 평등 및 불평등 관계를 설정하는 개념을 제시해야 합니다. 복합 또는 복잡한 산술 문제는 두 가지 또는 큰 수산술 연산. 심리학 연구복합 산술 문제 해결의 특징을 연구함으로써 아이들은 새로운 복합 문제의 맥락에서 친숙한 간단한 문제를 인식하지 못한다는 것을 보여줍니다. 준비 작업복합 문제를 해결하기 위해서는 학생들이 복합 문제의 해결책을 숙달하도록 의도적으로 유도하는 연습 및 기술 시스템이 있어야 합니다. 교사는 학생들이 복합 문제에 포함될 간단한 문제를 해결하는 기술을 숙달했고 스스로 특정 유형의 간단한 문제를 만들 수 있다고 확신할 때 복합 문제 해결로 나아갈 수 있습니다. 복합 문제를 풀 때 학생들은 데이터에 질문을 던지거나 질문에 대답할 데이터를 선택해야 합니다. 따라서 준비 기간 동안, 즉 1년 내내 그리고 2년차 초에 학생들에게 다음과 같은 과제가 제공되어야 합니다.
1. 기성조건에 맞는 문제를 선택하세요.
2. 누락된 수치 데이터를 선택하여 문제를 기반으로 문제를 구성합니다.
단순 문제와 복합 문제를 구성함으로써 학생들은 복합 문제에서 단순한 문제를 인식하는 방법을 점차적으로 배우게 되며, 이미 문제를 해결하면서 경험한 복잡한 문제 구성 연습은 매우 유용합니다. 이는 단순한 문제의 유형을 더 잘 이해하고 복합 문제에서 이를 식별하는 능력에 도움이 되며 학생들이 문제를 보다 의식적으로 분석하는 데 도움이 될 것입니다. 복합 문제를 해결할 때 학생들은 문제 해결을 위한 일반적인 기술을 배워야 합니다. 작업 내용을 분석하고, 알려진 데이터를 강조하고, 무엇을 찾고 있는지(예: 작업에서 배워야 할 내용 설정), 작업의 주요 질문에 답하기 위해 누락된 데이터가 무엇인지 확인하는 능력입니다. 학교 실습에서 작업에 대한 작업 순서가 설정되는 작업인 카드 작업 방법이 그 자체로 정당화되었습니다. 문제를 해결할 때 해결책의 공식화를 질문과 함께 기록하거나 각 조치를 기록하고 설명합니다. 이러한 유형의 문제를 해결하기 위한 일반화된 방법의 개발은 다양한 유형, 플롯을 사용하여 문제를 반복적으로 해결하고, 학생들이 직접 작성한 기성 문제를 해결하고, 이러한 유형의 문제를 이전에 해결된 유형의 문제와 비교하는 등을 통해 보장됩니다.
1. 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3의 경우에 대한 계산 방법을 설명하십시오. 모든 계산 방법은 100 농도에서 나옵니다.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d=2d=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4d=54
4) 34+2 = 3d+4ed+2d=3d 6d=36
5) 48-30 = 4d+8ed-3d=1d 8d= 18
6) 48-3= 4d+8ed-3d=4d 5d=45
모든 계산 방법은 구두이며 숫자의 덧셈과 뺄셈을 기반으로 수행됩니다.
에게 국가 시험전문 분야별
1. 필드 위의 선형(벡터) 공간. 예. 부분 공간, 가장 간단한 속성. 선형 의존성그리고 벡터 독립성.
2. 기준 및 치수 벡터 공간. 벡터 시스템의 좌표 행렬. 한 기반에서 다른 기반으로 전환합니다. 벡터 공간의 동형성.
3. 장의 대수적 폐쇄성 복소수.
4. 정수의 고리. 정수의 순서. "가장 큰" 정수와 "가장 작은" 정수에 관한 정리.
5. 그룹, 그룹의 예. 그룹의 가장 간단한 속성입니다. 하위 그룹. 그룹의 동형 및 동형.
6. 정수의 나눗셈의 기본 속성. 소수. 소수 집합의 무한대입니다. 합성수와 그 고유성의 정식 분해.
7. Kronecker-Capelli 정리(시스템 호환성 기준) 선형 방정식).
8. 비교의 기본 속성. 완전하고 축소된 모듈로 공제 시스템. 모듈로 잔여물 클래스 링. 오일러와 페르마의 정리.
9. 분할성 기준 도출에 비교 이론 적용. 항소 공통 분수십진수로 계산하고 기간의 길이를 결정합니다.
10. 실수 계수와 다항식의 허수근의 공액. 실수 분야에 대한 기약 다항식.
11. 하나의 변수를 사용한 선형 비교(해결 가능성 기준, 해결 방법).
12. 동등한 시스템선형 방정식. 미지수를 순차적으로 제거하는 방법.
13. 반지. 반지의 예. 반지의 가장 간단한 속성. 서브링. 고리의 동형 및 동형. 필드. 필드의 예. 가장 간단한 속성. 유리수 분야의 최소성.
14. 자연수 (자연수의 공리 이론의 기초). "가장 큰" 자연수와 "가장 작은" 자연수에 관한 정리.
15. 필드 위의 다항식. 나머지가 있는 나눗셈에 관한 정리. 두 다항식의 최대 공약수, 그 속성 및 찾는 방법.
16. 이진 관계. 동등 관계. 동등 클래스, 요인 세트.
17. 자연수와 정수에 대한 수학적 귀납법.
18. 상대적 소수의 속성. 정수의 최소 공배수, 그 속성 및 찾는 방법.
19. 복소수 필드, 숫자 필드. 복소수의 기하학적 표현과 삼각법 형태.
20. 정수의 나머지가 있는 나눗셈에 관한 정리. 정수의 최대 공약수, 그 속성 및 찾기 방법.
21. 벡터 공간의 선형 연산자. 선형 연산자의 커널 및 이미지. 벡터 공간의 선형 연산자 대수학입니다. 고유값과 고유벡터선형 연산자.
22. 평면의 아핀 변환, 속성 및 지정 방법. 평면과 그 하위 그룹의 아핀 변환 그룹입니다.
23. 다각형. 다각형의 면적. 존재와 유일성 정리.
24. 동일한 크기와 동일한 다각형 구성.
25. Lobachevsky의 기하학. Lobachevsky 기하학의 공리 시스템의 일관성.
26. Lobachevsky 기하학의 평행성 개념. 상호 배치 Lobachevsky 평면의 직선.
27. 운동 공식. 비행기 움직임의 분류. 문제 해결에 적용.
28. 두 평면, 직선과 평면, 공간 내 두 직선의 상대적 위치(분석적 표현에서).
29. 투영 변환. 존재와 유일성 정리. 사영 변환 공식.
30. 스칼라, 벡터 및 벡터의 혼합 제품, 문제 해결에 적용.
31. 3차원 유클리드 공간의 Weyl 공리 체계와 그 내용 일관성.
32. 비행기의 움직임과 그 속성. 비행기 이동 그룹. 존재의 정리와 운동의 고유성.
33. 투영면과 그 모델. 투영 변환, 해당 속성. 투영 변환 그룹.
34. 평면 유사성 변환, 해당 속성. 평면 유사성 변환 그룹 및 해당 하위 그룹입니다.
35. 매끄러운 표면. 표면의 첫 번째 이차 형태와 그 응용.
36. 병렬 설계 및 그 특성. 평행 투영의 평면 및 공간 형상 이미지.
37. 부드러운 선. 공간 곡선의 곡률 및 계산.
38. 타원, 쌍곡선, 포물선 원뿔 단면. 정식 방정식.
39. 타원, 쌍곡선 및 포물선의 감독 속성. 극 방정식.
40. 선 위의 네 점의 이중 비율, 속성 및 계산. 점 쌍의 고조파 분리. 완전한 사변형과 그 속성. 건설 문제 해결에 적용됩니다.
41. 파스칼과 브라이언숑의 정리. 극과 극.
수학적 분석에 관한 샘플 질문
자연수의 세그먼트 N은 자연수 a를 초과하지 않는 자연수의 집합입니다. 즉, N = (x|x N 및 x a)입니다.
예를 들어, N은 7을 초과하지 않는 자연수의 집합입니다. N =(1,2,3,4,5,6,7).
자연 계열 세그먼트의 가장 중요한 두 가지 속성에 주목해 보겠습니다.
1) 모든 세그먼트 N에는 하나가 포함됩니다. 이 속성은 자연 계열의 세그먼트 정의를 따릅니다.
2) 숫자 x가 구간 N과 x a에 포함되면 바로 다음 숫자 x+1도 N에 포함됩니다.
집합 A가 자연 계열의 일부 세그먼트 N과 동일하면 유한이라고 합니다. 예를 들어, 삼각형의 꼭지점 집합 A, "world"라는 단어의 문자 집합 B는 유한 집합입니다. 이는 세그먼트 N = (1,2,3)과 같습니다. 즉 A~B~N .
비어 있지 않은 유한 집합 A가 세그먼트 N과 같으면 자연수 a를 집합 A의 요소 수라고 하며 n(A) = a로 씁니다. 예를 들어, A가 삼각형의 꼭지점 집합이면 n(A) = 3입니다.
비어 있지 않은 모든 유한 집합은 자연 계열의 단 하나의 세그먼트와 동일합니다. 즉, 각 유한 집합 A는 고유하게 정의된 숫자 a와 연관될 수 있으므로 집합 A는 세그먼트에 일대일 매핑됩니다. N.
비어 있지 않은 유한 집합 A의 요소와 자연 계열의 세그먼트 사이에 일대일 대응을 설정하는 것은 집합 A의 요소를 세는 것입니다. 하나의 자연수만이 비어 있지 않은 유한 집합에 해당하므로, 유한 집합의 전체 집합은 동일한 거듭제곱 집합의 클래스로 나뉩니다. 한 클래스에는 모든 단일 요소 세트가 포함되고, 다른 클래스에는 두 요소 세트가 포함됩니다. 그리고 이 숫자는 등제곱의 유한 집합 클래스의 일반적인 속성으로 간주될 수 있습니다. 따라서 집합 이론의 관점에서 자연수는 동일한 카디널리티의 유한 집합 클래스의 일반적인 속성입니다.
숫자 0은 또한 집합론적 해석을 가집니다. 이는 빈 집합에 대응됩니다: n() = 0.
따라서 수량의 특성인 자연수 a는 두 가지 위치에서 고려될 수 있습니다.
1) 계산을 통해 얻은 세트 A의 요소 수;
2) 동일한 전력의 유한 집합 클래스의 일반적인 속성입니다.
사이에 연결이 설정되었습니다. 유한 집합자연수를 사용하면 "보다 작음" 관계에 대한 집합론적 해석을 제공할 수 있습니다.
a = n(A), b = n(B)이면 집합 A가 집합 B의 자신의 하위 집합과 동일한 경우에만 숫자 a는 숫자 b보다 작습니다. A~B, 여기서 B B, B B, B(그림 1). 또는 자연 계열 N의 세그먼트가 세그먼트 N의 고유 부분 집합인 경우, 즉 N N .
숫자 a와 b는 동일한 집합으로 정의되면 동일합니다: a = k A~B, 여기서 n(A) = a, n(B) = k. 예를 들어 2 = 2입니다. 왜냐하면 n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
자연수에 대한 "보다 작음" 관계의 속성은 또한 집합론적 해석을 받습니다. 이 관계의 이행성과 반대칭은 "부분 집합이 됨" 관계가 추이적이고 반대칭이라는 사실과 관련됩니다.
자연수에 대한 "보다 작음" 관계의 집합론적 해석을 사용하여 다음을 보여드리겠습니다.
2개의 요소를 포함하는 세트 A와 5개의 요소를 포함하는 세트 B를 생각해 보겠습니다. n(A) = 2, n(B) = 5. 예를 들어 A = (a, b), B = (c, d, e, f, r)입니다. 집합 B에서 집합 A와 동일한 부분 집합 B를 선택할 수 있습니다. 예를 들어 B = (c, d) 및 A~B입니다. "미만" 비율의 정의에 따르면, 2
이 불평등의 타당성은 N
이 부등식은 그림 2에서 고려될 수 있습니다. 2를 원의 수, 5를 사각형의 수로 둡니다. 원을 사각형 위에 놓으면 사각형 중 일부가 가려지지 않은 상태로 남아 있는 것을 볼 수 있습니다.
이는 원의 수가 정사각형의 수보다 적다는 것을 의미합니다. 2
불평등 0의 집합론적 의미
초기 수학 과정의 숫자 비교가 수행됩니다. 다른 방법들– 이는 "적은" 관계의 해석에 대해 우리가 고려한 모든 접근 방식을 기반으로 합니다.