주제 1 대수 분수와 산술 연산. 분수의 덧셈과 뺄셈과 관련된 문제입니다. 대수 분수의 값과 두 가지 기본 분수 문제 계산하기

테스트를 위한 질문

• 
  분수의 주요 성질을 말해보세요.
• 
  공식화하다
  1. 
     대수 분수에 대한 추가 인수를 찾는 알고리즘입니다.
  2. 
     분모가 같은 대수 분수의 덧셈과 뺄셈 규칙.
  3. 
     여러 분수의 공통분모를 찾는 알고리즘
  4. 
     분모가 다른 대수 분수를 덧셈(뺄셈)하는 규칙입니다.
  5. 
     대수 분수의 곱셈 규칙
  6. 
     대수 분수를 나누는 규칙.
  7. 
     대수 분수를 거듭제곱하는 규칙입니다.

이 수업에서는 대수 분수의 개념을 다룹니다. 사람들은 가장 간단한 방법으로 분수를 접합니다. 생활 상황: 예를 들어 10명이 균등하게 케이크를 자르려면 물체를 여러 부분으로 나누어야 하는 경우입니다. 분명히, 모두가 케이크 한 조각을 얻습니다. 이 경우 우리는 수치 분수의 개념에 직면하지만 객체가 예를 들어 x와 같이 알 수 없는 수의 부분으로 분할되는 상황이 가능합니다. 이 경우 분수 표현의 개념이 발생합니다. 여러분은 이미 7학년 때 전체 표현식(변수가 있는 표현식으로 구분되지 않음)과 해당 속성에 대해 알게 되었습니다. 다음으로 유리 분수의 개념과 허용되는 변수 값을 살펴보겠습니다.

주제:대수 분수. 대수 분수에 대한 산술 연산

수업:기본 개념

1. 대수분수의 정의와 예

유리식은 다음과 같이 구분됩니다. 정수와 분수 표현.

정의. 유리 분수는 다항식인 형태의 분수 표현입니다. - 분자 분모.

예 유리식:- 분수 표현; - 전체 표현. 예를 들어 첫 번째 표현식에서 분자는 이고 분모는 입니다.

의미 대수 분수누구처럼 대수적 표현는 포함된 변수의 수치에 따라 달라집니다. 특히, 첫 번째 예에서는 분수의 값이 변수 및 의 값에 따라 달라지며, 두 번째 예에서는 변수의 값에만 의존합니다.

2. 대수 분수의 값과 두 가지 기본 분수 문제 계산

첫 번째 일반적인 작업인 값 계산을 고려해 보겠습니다. 유리 분수여기에 포함된 변수의 다른 값에 대해.

예 1. a) , b) , c)에 대한 분수 값을 계산합니다.

해결책. 변수 값을 표시된 분수로 대체해 보겠습니다. a) , b) , c) - 존재하지 않습니다(0으로 나눌 수 없기 때문에).

답: 3; 1; 존재하지 않는다.

보시다시피 모든 분수에 대해 두 가지 일반적인 문제가 발생합니다. 1) 분수 계산, 2) 찾기 유효한 값과 잘못된 값문자 변수.

정의. 유효한 변수 값- 표현이 의미가 있는 변수의 값. 가능한 모든 변수 값의 집합을 호출합니다. 오즈또는 도메인.

3. 하나의 변수가 있는 분수의 변수 값(ADV) 및 허용되지 않는 값

리터럴 변수의 값은 해당 값의 분수 분모가 0인 경우 유효하지 않을 수 있습니다. 다른 모든 경우에는 분수를 계산할 수 있으므로 변수 값이 유효합니다.

예 2. 변수의 어떤 값에서 분수가 의미가 없는지 확인합니다.

해결책. 이 표현이 의미가 있으려면 분수의 분모가 0이 되지 않는 것이 필요하고 충분합니다. 따라서 분모가 0인 변수 값만 유효하지 않습니다. 분수의 분모는 이므로 선형 방정식을 풉니다.

따라서 변수의 값이 주어지면 분수는 의미가 없습니다.

예제의 해법에서 유효하지 않은 변수 값을 찾는 규칙은 다음과 같습니다. 분수의 분모는 0과 같고 해당 방정식의 근을 찾습니다.

몇 가지 유사한 예를 살펴보겠습니다.

예 3. 변수의 어떤 값에서 분수가 의미가 없는지 확인합니다.

해결책. .

예 4. 변수의 어떤 값에서 분수가 의미가 없는지 확인합니다.

해결책..

이 문제에 대한 다른 공식이 있습니다. 도메인또는 허용 가능한 표현값 범위(APV). 이는 유효한 모든 변수 값을 찾는 것을 의미합니다. 이 예에서는 를 제외한 모든 값입니다. 정의 영역을 숫자 축으로 표시하는 것이 편리합니다.

이를 위해 그림에 표시된 대로 점을 잘라냅니다.

따라서, 분수 정의 영역 3을 제외한 모든 숫자가 있습니다.

예 5. 변수의 어떤 값에서 분수가 의미가 없는지 확인합니다.

해결책..

수치 축에 결과 솔루션을 설명하겠습니다.

4. 허용 가능한(AP) 영역과 허용되지 않는 변수 값을 분수로 그래픽으로 표현

예 6. 분수가 의미가 없는 변수 값을 설정합니다.

해결책.. 우리는 두 변수의 동등성을 얻었습니다. 숫자 예를 제공합니다: 또는 등.

이 해를 데카르트 좌표계의 그래프에 묘사해 보겠습니다.

쌀. 3. 함수 그래프.

이 그래프에 있는 점의 좌표는 허용되는 분수 값 범위에 포함되지 않습니다.

5. "0으로 나누기" 유형의 경우

논의된 예에서 우리는 0으로 나누기가 발생하는 상황에 직면했습니다. 이제 유형 구분과 관련하여 보다 흥미로운 상황이 발생하는 경우를 고려하십시오.

예 7. 분수가 의미가 없는 변수 값을 설정합니다.

해결책..

분수는 에서 의미가 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 다음과 같은 이유 때문에 그렇지 않다고 주장할 수도 있습니다. .

최종 표현식이 8과 같으면 원래 표현식도 계산할 수 있으므로 에서 의미가 있는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 이를 원래 표현으로 대체하면 의미가 없습니다.

이 예를 더 자세히 이해하기 위해 다음 문제를 해결해 보겠습니다. 표시된 분수는 어떤 값에서 0과 같습니까?

(분자가 0이면 분수는 0입니다) . 그러나 원래 방정식을 분수로 풀어야 하며 이 변수 ​​값에서 분모는 0이기 때문에 의미가 없습니다. 이는 이 방정식에 근이 하나만 있다는 것을 의미합니다.

6. ODZ를 찾는 규칙

따라서 분수의 허용 값 범위를 찾기 위한 정확한 규칙을 공식화할 수 있습니다. 오즈분수분모를 0으로 동일시하고 결과 방정식의 근을 찾는 것이 필요하고 충분합니다.

우리는 두 가지 주요 작업을 고려했습니다. 분수 값 계산하기변수의 지정된 값에서 분수의 허용 가능한 값 범위 찾기.

이제 분수 작업 시 발생할 수 있는 몇 가지 문제를 더 고려해 보겠습니다.

7. 다양한 과제와 결론

예 8. 변수의 모든 값에 대해 분수 .

증거. 분자는 양수입니다. . 결과적으로 분자와 분모는 모두 양수이므로 분수는 양수입니다.

입증되었습니다.

예제 9. , find 가 있는 것으로 알려져 있습니다.

해결책. 분수 항을 항별로 나누어 봅시다. 우리는 이것이 주어진 분수에 대해 유효하지 않은 변수 값이라는 사실을 고려하여 줄일 권리가 있습니다.

이번 강의에서는 분수와 관련된 기본 개념을 다루었습니다. 다음 강의에서 우리는 분수의 주요 속성.

서지

1. Bashmakov M.I. 대수학 8학년. - M .: 교육, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. 외. 8. - 5판. - M .: 교육, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8학년. 튜토리얼 교육 기관. - M .: 교육, 2006.

1. 교육학적 아이디어의 축제.

2. 올드 스쿨.

3. 인터넷 포털 lib2.podelise. 루.

숙제

1. No. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. - M .: 교육, 2010.

2. 정의 영역이 a) 집합, b) 집합, c) 전체 수직선인 유리 분수를 적어보세요.

3. 허용되는 모든 값에 대해 이를 증명하십시오. 변수 값분수는 음수가 아닙니다.

4. 표현의 영역을 찾아보세요. 지침: 두 가지 경우, 즉 하위 분수의 분모가 0인 경우와 원래 분수의 분모가 0인 경우를 별도로 고려하십시오.

주제:

수업: 유리식 변환

1. 유리식과 이를 단순화하는 방법

먼저 유리식의 정의를 생각해 봅시다.

정의. 유리식 표현- 근을 포함하지 않고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(거듭제곱) 연산만 포함하는 대수적 표현입니다.

"합리적인 표현의 변형"이라는 개념이란 무엇보다도 단순화를 의미합니다. 그리고 이것은 우리에게 알려진 작업 순서대로 수행됩니다. 먼저 괄호 안의 작업, 그 다음 숫자의 곱(지수), 숫자 나누기, 덧셈/뺄셈 연산.

2. 분수의 합/차를 이용한 유리식의 단순화

오늘 수업의 주요 목표는 유리식을 단순화하는 더 복잡한 문제를 해결하는 경험을 얻는 것입니다.

예시 1.

해결책.처음에는 분수 분자의 표현이 해당 분모의 완전 제곱 공식과 매우 유사하기 때문에 이러한 분수를 줄일 수 있는 것처럼 보일 수 있습니다. 안에 이 경우서두르지 말고, 이것이 사실인지 별도로 확인하는 것이 중요합니다.

첫 번째 분수의 분자를 확인해 봅시다: . 이제 두 번째 분자: .

보시다시피, 우리의 기대는 충족되지 않았으며 분자의 표현은 곱이 두 배가 되지 않기 때문에 완전제곱식이 아닙니다. 7학년 과정을 기억한다면 이러한 표현을 불완전 제곱수라고 합니다. 완전한 정사각형의 공식과 불완전한 정사각형의 공식을 혼동하는 것은 매우 흔한 실수이고 이러한 예는 학생의 주의력을 테스트하기 때문에 이러한 경우에는 매우 조심해야 합니다.

축소가 불가능하므로 분수의 덧셈을 수행하겠습니다. 분모에는 공통인수가 없으므로 단순히 곱하여 가장 낮은 공통분모를 얻고, 각 분수에 대한 추가인수는 다른 분수의 분모가 됩니다.

물론, 괄호를 열고 비슷한 용어를 가져올 수 있지만, 이 경우에는 더 적은 노력으로 계산할 수 있으며 분자에서 첫 번째 용어는 세제곱합의 공식이고 두 번째 용어는 큐브의 차이. 편의상 다음 공식을 기억해 보세요. 일반적인 견해:

우리의 경우 분자의 표현식은 다음과 같이 축소됩니다.

, 두 번째 표현도 비슷해요. 우리는:

답변..

예시 2.유리수 표현을 단순화하세요 .

해결책.이 예는 이전 예와 유사하지만 여기서는 분수의 분자에 부분 제곱이 포함되어 있다는 것이 즉시 분명해집니다. 첫 단계해결책은 불가능합니다. 이전 예와 마찬가지로 분수를 추가합니다.

여기서는 위에 표시된 방법과 유사하게 세제곱의 합과 차에 대한 공식을 사용하여 표현식을 확인하고 축소했습니다.

답변..

예시 3.유리식을 단순화하세요.

해결책.두 번째 분수의 분모는 세제곱합 공식을 사용하여 인수분해되는 것을 볼 수 있습니다. 우리가 이미 알고 있듯이, 분모를 인수분해하는 것은 분수의 최소 공통 분모를 찾는 데 유용합니다.

분수의 최소 공통 분모를 지정해 보겠습니다. https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront. net/content/konspekt_image/ 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

답변.

3. 복잡한 "다층" 분수를 사용한 유리식 단순화

"다층" 분수를 사용하는 좀 더 복잡한 예를 생각해 보겠습니다.

예시 4.신원 증명 https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d130e03bf9d1738a99d.png" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

입증되었습니다.

다음 강의에서는 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 복잡한 예합리적인 표현을 변환합니다.

주제: 대수 분수. 대수 분수에 대한 산술 연산

수업: 더 복잡한 유리식 변환

1. 유리식의 변형을 이용한 동일성 증명의 예

이번 단원에서는 더 복잡한 유리식을 변환하는 방법을 살펴보겠습니다. 첫 번째 예는 신원을 증명하는 데 전념할 것입니다.

실시예 1

신원 증명: .

증거:

우선, 유리식을 변형할 때에는 행위의 순서를 정할 필요가 있다. 괄호 안의 연산이 먼저 수행되고 그 다음 곱셈과 나눗셈, 덧셈과 뺄셈이 수행된다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 따라서 이 예에서 작업 순서는 다음과 같습니다. 먼저 첫 번째 괄호에서 작업을 수행한 다음 두 번째 괄호에서 작업을 수행한 다음 얻은 결과를 나눈 다음 결과 표현식에 분수를 추가합니다. 이러한 작업과 단순화의 결과로 표현을 얻어야 합니다.

수학 섹션. 라인을 통해.

• 
  숫자와 계산
• 
  표현식과 변환

• 
  대수 분수.
• 
  분수를 줄입니다.
• 
  대수 분수를 사용한 연산.

• 
  대수 분수를 줄일 수 있습니다.
• 
  

• 
  대수 분수를 사용하여 기본적인 연산을 수행할 수 있습니다.
• 
  대수 분수를 사용하여 동작에 대한 결합 연습을 수행할 수 있습니다.

주제 2. 이차 함수. 기능 . (18시간)

 기능

필수 최소 콘텐츠 교육 분야수학

프로그램. 구현 모니터링

수학적 준비 요구 사항

학생의 의무 교육 수준

학생의 가능한 교육 수준

주제 3 기능 . 속성 제곱근(11시 정각)

수학 섹션. 라인을 통해

• 
  숫자와 계산
• 
  표현식과 변환
• 
  기능

 숫자의 제곱근. 산술 제곱근.

 무리수의 개념. 숫자의 비합리성.

 실수.

 제곱근의 속성과 계산에서의 적용.

 기능.

프로그램. 구현 모니터링

^ 수학적 준비 요구 사항

학생의 의무 교육 수준

 간단한 경우에 어근의 의미를 찾아보세요.

 함수의 정의와 속성을 알아보세요. , 일정을 짤 수 있다.

 산술 제곱근의 속성을 사용하여 값을 계산하고 제곱근이 포함된 수치 표현식을 간단하게 변환할 수 있습니다.

학생의 가능한 교육 수준

 산술 제곱근의 개념을 알아봅니다.

 수식을 변환할 때 산술 제곱근의 속성을 적용할 수 있습니다.

 실제 문제를 해결할 때 함수의 속성을 사용할 수 있습니다.

 무리수와 실수를 이해합니다.

^ 주제 4 이차방정식 (21시간)

수학 섹션. 라인을 통해

 방정식과 부등식

수학 교육 분야의 필수 최소 내용

 이차 방정식: 이차 방정식의 근을 구하는 공식입니다.

 유리 방정식 풀기.

 이차 및 분수 유리 방정식을 사용하여 단어 문제를 해결합니다.

프로그램. 구현 모니터링

^ 수학적 준비 요구 사항

학생의 의무 교육 수준

 결정할 수 있다 이차 방정식, 간단한 합리적이고 비합리적인 방정식.

 방정식을 사용하여 간단한 단어 문제를 풀 수 있습니다.

학생의 가능한 교육 수준

• 
  방정식은 수학, 관련 지식 분야, 실습의 다양한 문제를 해결하기 위한 수학적 장치임을 이해합니다.
• 
  이차방정식, 이차방정식으로 환원될 수 있는 유리방정식, 비합리방정식을 풀 수 있다.
• 
  문제를 해결하기 위해 이차 방정식과 유리 방정식을 사용할 수 있습니다.

이 단원에서 우리는 대수 분수를 사용한 가장 간단한 연산, 즉 덧셈과 뺄셈을 계속해서 고려할 것입니다. 오늘 우리는 솔루션의 가장 중요한 부분이 우리가 알고 있는 모든 방법(공통 인수, 그룹화 방법, 완전 제곱 분리, 축약된 곱셈 공식 사용)으로 분모를 인수분해하는 예를 고려하는 데 중점을 둘 것입니다. 수업 중에 우리는 상당히 복잡한 분수 문제 몇 가지를 살펴볼 것입니다.

주제:대수 분수. 대수 분수에 대한 산술 연산

수업:분수의 덧셈과 뺄셈과 관련된 문제

수업 중에 우리는 분모가 같고 분모가 다른 분수를 더하고 빼는 모든 사례를 고려하고 일반화할 것입니다. 일반적으로 다음 형식의 문제를 해결합니다.

앞에서 대수 분수를 더하거나 뺄 때 가장 중요한 작업 중 하나가 분모를 인수분해하는 것임을 보았습니다. 일반적인 분수의 경우에도 유사한 절차가 수행됩니다. 작업 방법을 다시 한 번 기억해 봅시다. 일반 분수.

예시 1.계산하다.

해결책.이전과 마찬가지로 어떤 숫자든 소인수로 인수분해할 수 있다는 산술의 기본 정리를 사용해 보겠습니다. .

분모의 최소 공배수를 결정합시다. -이것은 분수의 공통 분모가 될 것이며, 이를 기반으로 각 분수에 대한 추가 요소를 결정합니다. , 두 번째 분수의 경우 , 세 번째 분수의 경우.

답변..

위의 예에서는 산술의 기본 정리를 인수분해에 사용했습니다. 또한 다항식이 분모 역할을 하는 경우 우리에게 알려진 다음 방법을 사용하여 인수분해해야 합니다. 즉, 공통 인수 추출, 그룹화 방법, 완전한 정사각형 분리, 축약된 곱셈 공식 사용.

예시 2.분수 더하기 및 빼기 .

해결책.세 분수 모두의 분모는 인수분해해야 하는 복잡한 표현식입니다. 그런 다음 분모에 대한 가장 낮은 공통 분모를 찾고 각 분수에 대한 추가 요소를 나타냅니다. 이 모든 단계를 개별적으로 수행한 다음 결과를 원래 표현식으로 대체하겠습니다.

첫 번째 분모에서 공통 인수를 제거합니다. -공통 인수를 제거한 후 괄호 안의 표현이 합의 제곱 공식에 따라 접혀 있음을 알 수 있습니다.

두 번째 분모에서 공통 인수를 제거합니다. - 공통 인수를 제거한 후 제곱의 차이에 대한 공식을 적용합니다.

세 번째 분모에서는 공통 인수인 .

세 번째 분모를 인수분해한 후에 두 번째 분모에서 분수의 최소 공통 분모를 보다 편리하게 검색하기 위한 요소를 선택할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 두 번째 대괄호에 괄호 안에 마이너스를 배치하여 이를 수행합니다. 좀 더 편리한 표기법으로 용어를 바꿨습니다.

분수의 최소 공통 분모를 동시에 모든 분모로 나누는 표현식으로 정의해 보겠습니다. 이는 다음과 같습니다.

추가 요소를 표시해 보겠습니다. 첫 번째 부분에 대해 , 두 번째 분수의 경우 -분모의 빼기를 고려하지 않습니다. 전체 분수, 세 번째 분수에 대해 쓸 것이기 때문입니다. .

이제 두 번째 분수 앞에 기호를 변경하는 것을 잊지 말고 분수로 작업을 수행해 보겠습니다.

풀이의 마지막 단계에서는 비슷한 용어를 가져와서 변수의 거듭제곱이 내림차순으로 작성했습니다.

답변..

위의 예를 사용하여 이전 강의에서와 같이 다시 한 번 분수의 덧셈/뺄셈 알고리즘을 시연했습니다. 분수의 분모를 인수분해하고, 가장 낮은 공통 분모를 찾고, 추가 인수를 찾고, 덧셈/뺄셈 절차를 수행합니다. 가능하다면 표현을 단순화하고 축소하십시오. 우리는 앞으로도 이 알고리즘을 계속 사용할 것입니다. 이제 더 간단한 예를 살펴보겠습니다.

예시 3.분수 빼기 .

해결책.이 예에서는 첫 번째 분수를 두 번째 분수와 공통 분모로 가져오기 전에 첫 번째 분수를 줄일 수 있는 기회를 확인하는 것이 중요합니다. 이를 위해 첫 번째 분수의 분자와 분모를 인수분해합니다.

분자: - 첫 번째 단계에서 우리는 제곱의 차 공식에 따라 표현식의 일부를 확장했고 두 번째 단계에서 공통 인수를 꺼냈습니다.

분모: - 첫 번째 단계에서 차이의 제곱 공식에 따라 표현식의 일부를 확장했고 두 번째 단계에서 공통 인수를 꺼냈습니다. 결과 분자와 분모를 원래 표현식에 대입하고 첫 번째 분수를 공통 인수로 줄입니다.

답변:.

예시 4.작업 수행 .

해결책.이 예에서는 이전 예와 마찬가지로 작업을 수행하기 전에 분수의 감소를 확인하고 구현하는 것이 중요합니다. 분자와 분모를 인수분해해 봅시다.