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방정식 tgx a의 근에 대한 일반 공식 유도. "아크탄젠트 및 아크코탄젠트. 방정식 tgx = a, ctgx = a 풀기." 일반 형식의 방정식 tgx=a의 해

프로그램 초반에 학생들은 솔루션에 대한 아이디어를 얻었습니다. 삼각 방정식, 방정식 cos t = a 및 sin t = a에 대한 해법의 예인 아크 코사인 및 아크 사인의 개념에 익숙해졌습니다. 이 비디오 튜토리얼에서는 방정식 tg x = a 및 ctg x = a를 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

이 주제에 대한 연구를 시작하려면 방정식 tg x = 3 및 tg x = - 3을 고려하십시오. 그래프를 사용하여 방정식 tg x = 3을 풀면 함수 y = tg x 및 그래프의 교차점을 볼 수 있습니다. y = 3에는 무한한 수의 해가 있습니다. 여기서 x = x 1 + πk입니다. x 1 값은 y = tan x 및 y = 3 함수 그래프의 교차점의 x 좌표입니다. 저자는 아크탄젠트 개념을 소개합니다. arctan 3은 tan이 3인 숫자이고 이 숫자는 -π/2에서 π/2까지의 구간에 속합니다. 아크탄젠트 개념을 사용하여 방정식 tan x = 3의 해는 x = arctan 3 + πk로 쓸 수 있습니다.

비유적으로, 방정식 tg x = - 3은 함수 y = tg x 및 y = - 3의 구성된 그래프에서 풀 수 있으며, 그래프의 교차점과 방정식의 해는 다음과 같습니다. x = x 2 + πk가 됩니다. 아크탄젠트를 사용하면 해는 x = arctan (- 3) + πk로 쓸 수 있습니다. 다음 그림에서 우리는 arctg (- 3) = - arctg 3을 볼 수 있습니다.

아크탄젠트의 일반적인 정의는 다음과 같습니다: 아크탄젠트 a는 탄젠트가 a와 같은 -π/2에서 π/2까지의 간격에 있는 숫자입니다. 그러면 방정식 tan x = a의 해는 x = arctan a + πk입니다.

저자는 예 1을 제공합니다. arctg 표현식에 대한 해법을 찾으십시오. 표기법을 소개하겠습니다. 숫자의 아크탄젠트가 x와 같으면 tg x는 주어진 숫자와 같을 것입니다. 여기서 x는 -π의 세그먼트에 속합니다. /2 ~ π/2. 이전 항목의 예와 마찬가지로 값 테이블을 사용합니다. 이 표에 따르면 이 숫자의 탄젠트는 x = π/3 값에 해당합니다. 방정식의 해를 적어 보겠습니다. 주어진 숫자의 아크탄젠트는 π/3과 같고 π/3은 -π/2에서 π/2까지의 간격에도 속합니다.

예 2 - 음수의 아크탄젠트를 계산합니다. 등식 arctg (- a) = - arctg a를 사용하여 x 값을 입력합니다. 예제 2와 유사하게 -π/2에서 π/2까지의 세그먼트에 속하는 x 값을 기록합니다. 값 표에서 x = π/3이므로 --tg x = - π/3입니다. 방정식의 답은 - π/3입니다.

예 3을 생각해 봅시다. 방정식 tg x = 1을 풉니다. x = arctan 1 + πk라고 쓰십시오. 표에서 tg 1 값은 x = π/4 값에 해당하므로 arctg 1 = π/4입니다. 이 값을 원래 공식 x에 대입하고 답 x = π/4 + πk를 쓰겠습니다.

예 4: tan x = - 4.1을 계산합니다. 안에 이 경우 x = 아크탄(-4.1) + πk. 왜냐하면 이 경우 arctg 값을 찾는 것은 불가능합니다. 답은 x = arctg (-4.1) + πk와 같습니다.

예제 5에서는 부등식 tg x > 1에 대한 해를 고려합니다. 이를 해결하기 위해 함수 y = tan x 및 y = 1의 그래프를 구성합니다. 그림에서 볼 수 있듯이 이 그래프는 x = 지점에서 교차합니다. π/4 + πk. 왜냐하면 이 경우 tg x > 1인 경우 그래프에서 그래프 y = 1 위에 있는 접선 영역을 강조 표시합니다. 여기서 x는 π/4에서 π/2까지의 구간에 속합니다. 답을 π/4 + πk로 씁니다.< x < π/2 + πk.

다음으로 방정식 cot x = a를 고려하십시오. 그림은 교차점이 많은 함수 y = cot x, y = a, y = - a의 그래프를 보여줍니다. 해는 x = x 1 + πk(여기서 x 1 = arcctg a 및 x = x 2 + πk, 여기서 x 2 = arcctg (- a))로 작성할 수 있습니다. x 2 = π - x 1이라는 점에 유의하세요. 이는 동등 arcctg (- a) = π - arcctg a를 의미합니다. 아크 코탄젠트의 정의는 다음과 같습니다. 아크 코탄젠트 a는 코탄젠트가 a와 같은 0에서 π까지의 간격에 있는 숫자입니다. 방정식 сtg x = a의 해는 x = arcctg a + πk로 작성됩니다.

비디오 강의가 끝나면 또 다른 중요한 결론이 내려집니다. a가 0이 아닌 경우 ctg x = a라는 표현은 tg x = 1/a로 쓸 수 있습니다.

텍스트 디코딩:

방정식 tg x = 3 및 tg x = - 3을 푸는 것을 고려해 보겠습니다. 첫 번째 방정식을 그래픽으로 풀면 y = tg x 및 y = 3 함수의 그래프에 무한히 많은 교차점이 있으며 가로좌표는 다음과 같습니다. ~의 형태의

x = x 1 + πk, 여기서 x 1은 직선 y = 3과 접선의 주요 가지 (그림 1)의 교차점의 가로 좌표이며 지정이 발명되었습니다.

arctan 3(3의 아크 탄젠트).

arctg 3을 이해하는 방법?

탄젠트가 3인 숫자이고 이 숫자는 간격(- ;)에 속합니다. 그러면 방정식 tg x = 3의 모든 근은 x = arctan 3+πk 공식으로 쓸 수 있습니다.

마찬가지로, 방정식 tg x = - 3의 해는 x = x 2 + πk 형식으로 작성할 수 있습니다. 여기서 x 2는 직선 y = - 3과 주 가지의 교차점의 가로좌표입니다. 접선형(그림 1), 지정 arctg(- 3) (아크 탄젠트 빼기 3). 그런 다음 방정식의 모든 근은 x = arctan(-3)+ πk 공식으로 쓸 수 있습니다. 그림은 arctg(- 3)= - arctg 3을 보여줍니다.

아크탄젠트의 정의를 공식화해 보겠습니다. 아크탄젠트 a는 탄젠트가 a와 같은 간격(-;)의 숫자입니다.

동등성은 종종 사용됩니다: arctg(-a) = -arctg a, 이는 모든 a에 유효합니다.

아크탄젠트의 정의를 알면 일반적인 결론방정식을 푸는 것에 대해

tg x= a: 방정식 tg x = a는 x = arctan a + πk의 해를 갖습니다.

예를 살펴보겠습니다.

예 1. 아크탄을 계산합니다.

해결책. arctg = x, tgх = 및 xϵ (- ;)로 둡니다. 값 테이블 표시 따라서 tg = 및 ϵ (- ;)이므로 x =입니다.

그래서 아크탄=.

예 2. 아크탄(-)을 계산합니다.

해결책. 등식 arctg(- a) = - arctg a를 사용하여 다음과 같이 작성합니다.

arctg(-) = - arctg . - arctg = x, - tgх = 및 xϵ (- ;)로 둡니다. 따라서 tg = 및 ϵ (- ;)이므로 x =입니다. 값 표 표시

이는 - arctg=- tgх= - 를 의미합니다.

예 3. 방정식 tgх = 1을 풉니다.

1. 해 공식을 적습니다: x = arctan 1 + πk.

2. 가치를 찾아보자아크탄젠트

이후 tg = . 값 표 표시

따라서 arctan1= .

3. 찾은 값을 해 공식에 넣습니다.

예 4. 방정식 tgх = - 4.1을 풉니다(탄젠트 x는 마이너스 4포인트 1과 같습니다).

해결책. 해 공식을 작성해 봅시다: x = arctan (-4.1) + πk.

아크탄젠트 값을 계산할 수 없으므로 방정식의 해를 얻은 형태로 남겨두겠습니다.

예 5. 불평등 tgх 1을 해결합니다.

해결책. 그래픽으로 해결해드리겠습니다.

탄젠트를 만들어보자

y = tgx 및 직선 y = 1(그림 2). 그들은 x = + πk와 같은 점에서 교차합니다.

2. 조건 tgх 1이므로 접선의 주요 가지가 직선 y = 1 위에 위치하는 x축의 간격을 선택하겠습니다. 이것이 간격(;)입니다.

3. 함수의 주기성을 사용합니다.

성질 2. y=tg x는 주주기가 π인 주기함수이다.

함수 y = tgх의 주기성을 고려하여 답을 작성합니다.

(;). 답은 이중 부등식으로 작성할 수 있습니다.

방정식 ctg x = a로 넘어 갑시다. 양수 및 음수 a에 대한 방정식의 해법을 그래픽으로 보여드리겠습니다(그림 3).

함수 y = ctg x 및 y = a의 그래프

y=ctg x 및 y=-a

무한히 많은 공통점을 가지고 있으며 그 가로좌표는 다음과 같습니다.

x = x 1 +, 여기서 x 1은 직선 y = a와 접선의 주요 가지의 교차점의 가로좌표이고

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, 여기서 x 2는 선 교차점의 가로좌표입니다.

y = - a는 접선의 주요 가지이고 x 2 = arcсtg (- a)입니다.

x 2 = π - x 1임을 참고하세요. 따라서 중요한 평등을 적어 보겠습니다.

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

정의를 공식화해 보겠습니다. 아크 코탄젠트 a는 코탄젠트가 a와 같은 구간 (0;π)의 숫자입니다.

방정식 ctg x = a의 해는 x = arcctg a + 형식으로 작성됩니다.

방정식 ctg x = a는 다음 형식으로 변환될 수 있습니다.

tg x = , a = 0인 경우는 제외.

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기호 아래에 미지의 내용이 포함된 평등 삼각 함수(`sin x, cos x, tan x` 또는 `ctg x`)는 삼각 방정식이라고 하며 우리가 더 고려할 공식입니다.

가장 간단한 방정식은 `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`입니다. 여기서 `x`는 구하려는 각도이고 `a`는 임의의 숫자입니다. 각각의 기본 공식을 적어 보겠습니다.

1. 방정식 `sin x=a`.

`|a|>1`의 경우 해결책이 없습니다.

`|a| \leq 1`에는 무한한 수결정.

근 공식: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. 방정식 `cos x=a`

`|a|>1`의 경우 - 사인의 경우와 마찬가지로 실수 사이에는 해가 없습니다.

`|a| \leq 1`에는 무한한 수의 해가 있습니다.

근 공식: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

그래프의 사인 및 코사인에 대한 특수한 경우입니다.

3. 방정식 `tg x=a`

`a` 값에 대해 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

근 공식: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. 방정식 `ctg x=a`

또한 `a` 값에 대해 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

근 공식: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

표에 있는 삼각 방정식의 근에 대한 공식

사인의 경우:
코사인의 경우:
탄젠트 및 코탄젠트의 경우:
역삼각함수를 포함하는 방정식을 풀기 위한 공식:

삼각 방정식을 푸는 방법

삼각 방정식을 푸는 것은 두 단계로 구성됩니다.

가장 단순한 것으로 변환하는 데 도움이 됩니다.
위에 쓰여진 기본 공식과 표를 사용하여 얻은 가장 간단한 방정식을 풀어보세요.

예시를 통해 주요 해결 방법을 살펴보겠습니다.

대수적 방법.

이 방법에는 변수를 대체하고 이를 등식으로 대체하는 작업이 포함됩니다.

예. 방정식을 푼다: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

교체합니다: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, 그런 다음 `2y^2-3y+1=0`,

우리는 `y_1=1, y_2=1/2`라는 뿌리를 찾았고, 그로부터 두 가지 경우가 따릅니다:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac\pi 6+2\pi n`.

답: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

채권 차압 통고.

예. 방정식을 풀어보세요: `sin x+cos x=1`.

해결책. 모든 등식 항을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다. `sin x+cos x-1=0`. 를 사용하여 좌변을 변환하고 인수분해합니다.

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

답: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

동차방정식으로의 환원

먼저 이 삼각 방정식을 다음 두 가지 형식 중 하나로 줄여야 합니다.

`a sin x+b cos x=0`(1차 동차 방정식) 또는 `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0`(2차 동차 방정식).

그런 다음 두 부분을 첫 번째 경우에는 `cos x \ne 0`으로 나누고 두 번째 경우에는 `cos^2 x \ne 0`으로 나눕니다. 우리는 `tg x`에 대한 방정식인 `a tg x+b=0` 및 `a tg^2 x + b tg x +c =0`을 얻었으며 이는 알려진 방법을 사용하여 풀어야 합니다.

예. 방정식을 풀어보세요: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

해결책. 우변을 `1=sin^2 x+cos^2 x`로 쓰자:

`2 죄^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

이것은 2차 동차 삼각 방정식입니다. 왼쪽과 오른쪽을 `cos^2 x \ne 0`으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `tg x=t`를 대체하여 `t^2 + t - 2=0`을 만들어 보겠습니다. 이 방정식의 근본은 `t_1=-2` 및 `t_2=1`입니다. 그 다음에:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

답변. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

반각으로 이동

예. 방정식을 푼다: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

해결책. 이중 각도 공식을 적용해 보겠습니다. 결과: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

위에서 설명한 대수적 방법을 적용하면 다음을 얻습니다.

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

답변. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

보조 각도 소개

삼각 방정식 `a sin x + b cos x =c`(여기서 a,b,c는 계수이고 x는 변수)에서 양변을 `sqrt (a^2+b^2)`로 나눕니다.

``\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

왼쪽의 계수는 사인과 코사인의 속성을 가지고 있습니다. 즉, 그 제곱의 합은 1이고 모듈은 1보다 크지 않습니다. 이를 다음과 같이 표시하겠습니다: ``\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, 그러면:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

다음 예를 자세히 살펴보겠습니다.

예. 방정식을 푼다: `3 sin x+4 cos x=2`.

해결책. 등식의 양쪽을 `sqrt (3^2+4^2)`로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

``\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 죄 x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`라고 표시해 보겠습니다. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`이므로 `\varphi=arcsin 4/5`를 보조 각도로 사용합니다. 그런 다음 평등을 다음 형식으로 작성합니다.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

사인 각도의 합 공식을 적용하여 다음 형식으로 평등을 작성합니다.

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

답변. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

분수 합리적 삼각 방정식

이는 분자와 분모에 삼각 함수가 포함된 분수와 동일합니다.

예. 방정식을 풀어보세요. `\frac(sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

해결책. 등식의 우변에 '(1+cos x)'를 곱하고 나눕니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

분모가 0과 같을 수 없다는 점을 고려하면 `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`를 얻습니다.

분수의 분자를 0과 동일시해 봅시다: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. 그러면 `sin x=0` 또는 `1-sin x=0`이 됩니다.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`라고 가정하면 해는 `x=2\pi n, n \in Z` 및 `x=\pi /2+2\pi n`입니다. , `n \in Z`.

답변. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

삼각법, 특히 삼각 방정식은 기하학, 물리학, 공학의 거의 모든 영역에서 사용됩니다. 공부는 10학년부터 시작됩니다. 통합 상태 시험에는 항상 과제가 있으므로 삼각 방정식의 모든 공식을 기억하도록 노력하세요. 확실히 도움이 될 것입니다!

하지만 꼭 외울 필요도 없고, 본질을 이해하고 도출할 수 있는 것이 가장 중요합니다. 보이는 것만큼 어렵지는 않습니다. 영상을 통해 직접 확인해 보세요.

성공적으로 해결하려면 삼각 방정식사용하기 편리하다 감소 방법이전에 해결된 문제에 대해 이 방법의 본질이 무엇인지 알아 봅시다.

제안된 작업에서는 이전에 해결된 문제를 확인한 다음 연속적인 방법을 사용하여 등가 변환당신에게 주어진 일을 더 간단한 일로 줄이도록 노력하십시오.

따라서 삼각 방정식을 풀 때 일반적으로 등가 방정식의 특정 유한 시퀀스를 생성하며, 그 마지막 링크는 명확한 솔루션이 있는 방정식입니다. 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 기술이 형성되지 않으면 솔루션이 더 많다는 것을 기억하는 것이 중요합니다. 복잡한 방정식어렵고 비효율적일 것입니다.

또한 삼각 방정식을 풀 때 여러 가지 가능한 해결 방법이 있다는 사실을 잊지 말아야 합니다.

예 1. 구간에서 방정식 cos x = -1/2의 근 수를 구합니다.

해결책:

방법 I.함수 y = cos x 및 y = -1/2를 플로팅하고 구간에서 공통점의 수를 찾아보겠습니다(그림 1).

함수 그래프의 구간에는 두 개의 공통점이 있으므로 방정식은 이 구간에 두 개의 근을 포함합니다.

방법 2.삼각원(그림 2)을 사용하여 cos x = -1/2인 구간에 속하는 점의 수를 알아냅니다. 그림은 방정식에 두 개의 근이 있음을 보여줍니다.

III 방법.삼각 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 방정식 cos x = -1/2을 풉니다.

x = ± 아크코사인(-1/2) + 2πk, k – 정수(k € Z);

x = ± (π – 아크코사인 1/2) + 2πk, k – 정수 (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – 정수 (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – 정수(k € Z).

구간에는 근 2π/3과 -2π/3 + 2π가 포함되며, k는 정수입니다. 따라서 방정식은 주어진 구간에서 두 개의 근을 갖습니다.

답: 2.

앞으로 삼각 방정식은 제안된 방법 중 하나를 사용하여 풀릴 것이며 많은 경우 다른 방법의 사용을 배제하지 않습니다.

예 2. 구간 [-2π; 2π].

해결책:

삼각 방정식의 근에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

x + π/4 = 아크탄젠트 1 + πk, k – 정수(k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – 정수(k € Z);

x = πk, k – 정수(k € Z);

간격 [-2π; 2π]는 -2π 숫자에 속합니다. -π; 0; π; 2π. 따라서 방정식은 주어진 구간에서 5개의 근을 가집니다.

답: 5.

예 3. 구간 [-π;에서 cos 2 x + sin x · cos x = 1 방정식의 근 수를 구합니다. π].

해결책:

1 = sin 2 x + cos 2 x (기본 삼각법 항등식)이므로 원래 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

죄 2 x – 죄 x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. 곱은 0과 같습니다. 이는 요소 중 적어도 하나가 0과 같아야 함을 의미합니다. 따라서:

사인 x = 0 또는 사인 x – cos x = 0.

cos x = 0이 되는 변수의 값은 두 번째 방정식의 근이 아니므로(동일한 숫자의 사인과 코사인이 동시에 0이 될 수는 없음), 두 번째 방정식의 양변을 나눕니다. cos x 기준:

죄 x = 0 또는 죄 x / cos x - 1 = 0.

두 번째 방정식에서는 tg x = sin x / cos x라는 사실을 사용합니다.

sin x = 0 또는 tan x = 1. 공식을 사용하면 다음과 같습니다.

x = πk 또는 x = π/4 + πk, k – 정수(k € Z).

첫 번째 근 계열부터 간격 [-π; π]는 숫자 -π에 속합니다. 0; π. 두 번째 계열: (π/4 – π) 및 π/4.

따라서 원래 방정식의 5개 근은 간격 [-π에 속합니다. π].

답: 5.

예 4. 구간 [-π; 1.1π].

해결책:

방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 으로 교체합니다.

tg x + сtgx = a로 둡니다. 방정식의 양변을 제곱해 보겠습니다.

(tg x + сtg x) 2 = a 2. 대괄호를 확장해 보겠습니다.

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

tg x · сtgx = 1이므로 tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2입니다. 이는 다음을 의미합니다.

tg 2 x + сtg 2 x = 2 – 2.

이제 원래 방정식은 다음과 같습니다.

2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta의 정리를 사용하면 a = -1 또는 a = -2임을 알 수 있습니다.

역대입을 해보면 다음과 같습니다.

tg x + сtgx = -1 또는 tg x + сtgx = -2. 결과 방정식을 풀어 봅시다.

tg x + 1/tgx = -1 또는 tg x + 1/tgx = -2.

두 개의 상호 역수 특성을 통해 우리는 첫 번째 방정식에 근이 없다는 것을 결정하고 두 번째 방정식에서 다음을 얻습니다.

tg x = -1, 즉 x = -π/4 + πk, k – 정수(k € Z).

간격 [-π; 1,1π]는 근에 속합니다: -π/4; -π/4 + π. 그 합계:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

답: π/2.

예 5. 구간 [-π; 0.5π].

해결책:

공식 sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2)를 사용해 보겠습니다.

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x 그리고 방정식은 다음과 같습니다.

2sin 2x cos x = 사인 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. 괄호에서 공통인수 sin 2x를 빼자

sin 2x(2cos x – 1) = 0. 결과 방정식을 풉니다.

죄 2x = 0 또는 2cos x – 1 = 0;

사인 2x = 0 또는 cos x = 1/2;

2x = πk 또는 x = ±π/3 + 2πk, k – 정수(k € Z).

그러므로 우리는 뿌리를 가지고 있습니다.

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – 정수(k € Z).

간격 [-π; 0.5π]는 근 -π에 속합니다. -π/2; 0; π/2(첫 번째 근 계열에서); π/3(두 번째 시리즈에서); -π/3(세 번째 계열에서). 그들의 산술 평균은 다음과 같습니다:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

답: -π/6.

예 6. 구간 [-1.25π; 2π].

해결책:

이 방정식은 동차방정식 1급. 두 부분을 모두 cosx로 나눕니다(같은 숫자의 사인과 코사인이 동시에 0이 될 수 없기 때문에 cos x = 0인 변수의 값은 이 방정식의 근이 아닙니다). 원래 방정식은 다음과 같습니다.

x = -π/4 + πk, k – 정수(k € Z).

간격 [-1.25π; 2π]는 근 -π/4에 속합니다. (-π/4 + π); 및 (-π/4 + 2π).

따라서 주어진 구간에는 방정식의 세 가지 근이 포함됩니다.

답: 3.

가장 중요한 일을 하는 방법을 배우십시오. 문제 해결을 위한 계획을 명확하게 상상하면 모든 삼각 방정식이 이해될 것입니다.

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이번 강의에서 우리는 계속해서 아크탄젠트를 연구하고 임의의 a에 대해 tg x = a 형식의 방정식을 풀 것입니다. 수업이 시작될 때 표 형식의 값으로 방정식을 풀고 그래프와 원에 솔루션을 설명합니다. 다음으로 방정식 tgx = aв를 푼다. 일반적인 견해그리고 답에 대한 일반 공식을 도출해 보세요. 그래프와 원으로 계산을 설명하고 생각해 봅시다. 다양한 모양답변. 수업이 끝나면 그래프와 원에 표시된 솔루션을 사용하여 여러 문제를 해결할 것입니다.

주제: 삼각 방정식

강의: 아크탄젠트 및 방정식 tgx=a 풀기(계속)