2를 통과하는 선의 방정식. 주어진 두 점, 예, 해를 통과하는 선의 방정식. 기울기가 k인 직선의 방정식

예제를 사용하여 두 점을 통과하는 선에 대한 방정식을 만드는 방법을 살펴보겠습니다.

예시 1.

점 A(-3; 9)와 B(2;-1)을 지나는 직선의 방정식을 쓰십시오.

방법 1 - 다음을 사용하여 직선 방정식을 만듭니다. 경사.

각도 계수가 있는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 점 A와 B의 좌표를 직선 방정식(x= -3 및 y=9 - 첫 번째 경우, x=2 및 y= -1 - 두 번째 경우)에 대입하면 방정식 시스템을 얻습니다. 여기서 우리는 k와 b의 값을 찾습니다.

첫 번째와 두 번째 방정식 항을 항별로 추가하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. -10=5k, 여기서 k= -2. 두 번째 방정식에 k= -2를 대입하면 b: -1=2·(-2)+b, b=3이 됩니다.

따라서 y= -2x+3이 필수 방정식입니다.

방법 2 - 작성해 봅시다 일반 방정식직접.

직선의 일반 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 점 A와 B의 좌표를 방정식에 대입하면 다음 시스템을 얻습니다.

미지수의 수가 방정식의 수보다 크기 때문에 시스템을 풀 수 없습니다. 그러나 모든 변수는 하나로 표현될 수 있습니다. 예를 들어 b를 통해.

시스템의 첫 번째 방정식에 -1을 곱하고 두 번째 방정식에 항별로 추가하면 다음과 같습니다.

우리는 5a-10b=0을 얻습니다. 따라서 a=2b입니다.

결과 표현식을 두 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다. 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
a=2b, c= -3b를 방정식 ax+by+c=0에 대입합니다.

2bx+by-3b=0. 양변을 b로 나누는 것이 남아 있습니다.

직선의 일반 방정식은 기울기가 있는 직선의 방정식으로 쉽게 축소될 수 있습니다.

방법 3 - 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 만듭니다.

두 점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

이 방정식에 점 A(-3; 9)와 B(2;-1)의 좌표를 대입해 보겠습니다.

(즉, x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

그리고 단순화하세요:

여기서 2x+y-3=0입니다.

학교 과정에서는 각도 계수가 있는 직선 방정식이 가장 자주 사용됩니다. 그러나 가장 쉬운 방법은 두 점을 지나는 선의 방정식 공식을 도출하여 사용하는 것입니다.

논평.

주어진 점의 좌표를 대입할 때 방정식의 분모 중 하나가

0과 같으면 해당 분자를 0과 동일시하여 필요한 방정식을 얻습니다.

예시 2.

두 점 C(5; -2)와 D(7;-2)를 통과하는 직선의 방정식을 작성하세요.

두 점을 지나는 직선의 방정식에 점 C와 D의 좌표를 대입합니다.

정의.데카르트 직각 좌표계에서 구성 요소 (A, B)가 있는 벡터는 방정식 Ax + By + C = 0으로 주어진 직선에 수직입니다.

예. 벡터 (3, -1)에 수직인 점 A(1, 2)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책. A = 3 및 B = -1을 사용하여 직선 방정식 3x – y + C = 0을 작성해 보겠습니다. 계수 C를 찾으려면 주어진 점 A의 좌표를 결과 표현식에 대체합니다. 3 – 2 + C = 0이므로 C = -1입니다. 전체: 필수 방정식: 3x – y – 1 = 0.

두 점을 지나는 직선의 방정식

두 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 M 2 (x 2, y 2, z 2)가 공간에 주어지면 이 점을 통과하는 선의 방정식은 다음과 같습니다.

분모 중 하나라도 0과 같으면 해당 분자는 0과 같아야 합니다. 평면에서 위에 쓰여진 선의 방정식은 단순화됩니다.

x 1 ≠ x 2이고 x = x 1인 경우, x 1 = x 2인 경우.

분수 = k가 호출됩니다. 경사직접.

예. 점 A(1, 2)와 B(3, 4)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책.위에서 작성한 공식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

점과 기울기로부터의 직선의 방정식

직선 Ax + By + C = 0의 일반 방정식이 다음 형식으로 축소되면:

지정하고 , 결과 방정식이 호출됩니다. 기울기가 있는 직선의 방정식케이.

점과 방향 벡터의 직선 방정식

법선벡터를 통과하는 직선의 방정식을 고려한 점에 비유하여 점을 통과하는 직선의 정의와 직선의 방향벡터를 입력할 수 있습니다.

정의.조건 A α 1 + B α 2 = 0을 충족하는 구성 요소가 있는 각 0이 아닌 벡터(α 1, α 2)를 선의 방향 벡터라고 합니다.

도끼 + 우 + C = 0.

예. 방향 벡터가 (1, -1)이고 점 A(1, 2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책. Ax + By + C = 0 형식으로 원하는 선의 방정식을 찾습니다. 정의에 따라 계수는 다음 조건을 충족해야 합니다.

1 * A + (-1) * B = 0, 즉 A = B.

그러면 직선 방정식의 형식은 Ax + Ay + C = 0 또는 x + y + C / A = 0입니다. x = 1, y = 2의 경우 C/ A = -3을 얻습니다. 즉 필수 방정식:

세그먼트의 선 방정식

직선 Ах + Ву + С = 0 С≠0의 일반 방정식에서 –С로 나누면 다음을 얻습니다. 또는

계수의 기하학적 의미는 계수가 에이 는 Ox 축과 선의 교차점 좌표이고, 비 – Oy 축과 직선의 교차점 좌표.

예.직선 x – y + 1 = 0의 일반 방정식이 주어집니다. 이 직선의 방정식을 세그먼트로 구합니다.

C = 1, , a = -1, b = 1.

직선의 정규방정식

방정식 Ax + By + C = 0의 양변을 숫자로 나누면 라고 불리는 정규화 인자, 그러면 우리는 얻는다

xcosΦ + ysinΦ - p = 0 -

직선의 정규방정식. 정규화 인자의 부호 ±는 μ * C가 되도록 선택해야 합니다.< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

예. 직선 12x – 5y – 65 = 0의 일반 방정식이 주어지면 다음과 같이 써야 합니다. 다양한 유형이 선의 방정식.

이 선의 방정식은 세그먼트로 표시됩니다.

이 직선과 기울기의 방정식: (5로 나눕니다)

직선의 일반 방정식:

; 왜냐하면 Φ = 12/13; 죄 Φ= -5/13; p = 5.

C 모든 직선이 세그먼트의 방정식으로 표현될 수 있는 것은 아닙니다. 축에 평행또는 원점을 통과합니다.

예. 직선은 좌표축에서 동일한 양의 세그먼트를 잘라냅니다. 이 세그먼트로 형성된 삼각형의 면적이 8 cm 2이면 직선 방정식을 작성하십시오.

해결책.직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. , ab /2 = 8; a = 4; -4. a = -4는 문제의 조건에 따라 적합하지 않습니다. 합계: 또는 x + y – 4 = 0.

예. 점 A(-2, -3)와 원점을 지나는 직선의 방정식을 쓰세요.

해결책. 직선의 방정식은 다음과 같습니다. , 여기서 x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

선이 M 1 (x 1; y 1) 및 M 2 (x 2; y 2) 점을 통과하도록 합니다. 점 M 1을 통과하는 직선의 방정식은 y-y 1 = 형식을 갖습니다. 케이 (x - x 1), (10.6)

어디 케이 - 아직 알려지지 않은 계수.

직선이 점 M 2 (x 2 y 2)를 통과하므로 이 점의 좌표는 방정식 (10.6)을 충족해야 합니다. y 2 -y 1 = 케이 (x 2 - x 1).

여기에서 찾은 값을 대체합니다. 케이 방정식 (10.6)으로 점 M 1과 M 2를 통과하는 직선의 방정식을 얻습니다.

이 방정식에서는 x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2라고 가정합니다.

x 1 = x 2이면 점 M 1 (x 1,y I)과 M 2 (x 2,y 2)를 통과하는 직선은 세로축과 평행합니다. 그 방정식은 다음과 같습니다 x = x 1 .

y 2 = y I이면 선의 방정식은 y = y 1로 쓸 수 있으며 직선 M 1 M 2는 가로축에 평행합니다.

세그먼트의 선 방정식

직선이 M 1 (a;0) 지점에서 Ox 축과 M 2 (0;b) 지점에서 Oy 축과 교차한다고 가정합니다. 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
저것들.
. 이 방정식은 세그먼트의 직선 방정식, 왜냐하면 숫자 a와 b는 좌표축에서 선이 잘리는 세그먼트를 나타냅니다..

주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 통과하는 선의 방정식

주어진 0이 아닌 벡터 n = (A; B)에 수직인 주어진 점 Mo (x O; y o)를 통과하는 직선의 방정식을 찾아보겠습니다.

선 위의 임의의 점 M(x; y)을 취하고 벡터 M 0 M (x - x 0; y - y o)를 고려해 보겠습니다(그림 1 참조). 벡터 n과 M o M은 수직이므로 스칼라 곱은 0과 같습니다.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

식 (10.8)은 다음과 같다. 주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 지나는 직선의 방정식 .

선에 수직인 벡터 n= (A; B)를 법선이라고 합니다. 이 직선의 법선 벡터 .

식 (10.8)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. 아 + 우 + C = 0 , (10.9)

여기서 A와 B는 법선 벡터의 좌표이고, C = -Ax o - Vu o는 자유 항입니다. 식 (10.9) 직선의 일반 방정식은 다음과 같습니다(그림 2 참조).

그림 1 그림 2

선의 정식 방정식

,

어디
- 선이 통과하는 지점의 좌표, 그리고
- 방향 벡터.

2차 곡선 원

원은 중심이라고 불리는 주어진 점으로부터 등거리에 있는 평면의 모든 점의 집합입니다.

반지름 원의 정식 방정식 아르 자형 한 점을 중심으로
:

특히 말뚝의 중심이 좌표 원점과 일치하면 방정식은 다음과 같습니다.

타원

타원은 평면 위의 점 집합으로, 각 점에서 주어진 두 점까지의 거리의 합입니다. 그리고 초점이라고 불리는 는 일정한 양입니다.
, 초점 사이의 거리보다 큼
.

초점이 Ox 축에 있고 초점 사이의 중간에 좌표의 원점이 있는 타원의 정식 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
G 드에이 반장축 길이;비 - 반단축의 길이(그림 2)

타원 매개변수 간의 종속성
그리고 비율로 표현됩니다 :

(4)

타원 이심률간초점거리비라고 한다2초주요 축으로2a:

교장선생님 타원은 Oy 축과 평행한 직선으로, 이 축에서 멀리 떨어져 있습니다. Directrix 방정식:
.

타원 방정식에 있는 경우
, 타원의 초점은 Oy 축에 있습니다.

그래서,

유클리드 기하학에서 직선의 성질.

어떤 점을 지나도 무한한 수의 직선을 그릴 수 있습니다.

일치하지 않는 두 점을 통해 하나의 직선을 그릴 수 있습니다.

평면에 있는 두 개의 발산선은 한 점에서 교차하거나 다음과 같습니다.

병렬 (이전 것에서 이어짐).

3차원 공간에는 세 가지 옵션이 있습니다. 상대 위치두 개의 직선:

• 선이 교차합니다.

• 선은 평행하다;

• 직선이 교차합니다.

똑바로 선— 1차 대수 곡선: 데카르트 좌표계의 직선

는 1차 방정식(선형 방정식)으로 평면에 제공됩니다.

직선의 일반방정식.

정의. 평면 위의 모든 직선은 1차 방정식으로 지정될 수 있습니다.

도끼 + 우 + C = 0,

그리고 일정하다 에이, 비동시에 0이 아닙니다. 이 1차 방정식은 다음과 같습니다. 일반적인

직선의 방정식.상수의 값에 따라 에이, 비그리고 와 함께다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- 원점을 지나는 직선

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- 축에 평행한 직선 오

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- 축에 평행한 직선 오

. B = C = 0, A ≠0- 직선이 축과 일치합니다. 오

. A = C = 0, B ≠0- 직선이 축과 일치합니다. 오

직선의 방정식은 주어진 조건에 따라 다양한 형태로 표현될 수 있습니다.

초기 조건.

점과 법선 벡터의 직선 방정식.

정의. 데카르트 직각 좌표계에서 구성 요소(A, B)가 포함된 벡터

방정식에 의해 주어진 선에 수직

도끼 + 우 + C = 0.

예. 한 점을 지나는 선의 방정식 구하기 에이(1, 2)벡터에 수직 (3, -1).

해결책. A = 3 및 B = -1을 사용하여 직선 방정식 3x - y + C = 0을 구성해 보겠습니다. 계수 C를 찾으려면

주어진 점 A의 좌표를 결과 표현식으로 대체해 보겠습니다. 따라서 3 - 2 + C = 0이 됩니다.

C = -1. 전체: 필수 방정식: 3x - y - 1 = 0.

두 점을 지나는 선의 방정식.

공간에 두 개의 점을 부여하자 M 1 (x 1 , y 1 , z 1)그리고 M2(x2, y2, z2),그 다음에 선의 방정식,

다음 지점을 통과합니다.

분모 중 하나라도 0이면 해당 분자는 0으로 설정되어야 합니다. ~에

평면, 위에 쓰여진 직선의 방정식은 단순화됩니다:

만약에 x 1 ≠ x 2그리고 엑스 = 엑스 1, 만약에 엑스 1 = 엑스 2 .

분수 =k~라고 불리는 경사 직접.

예. 점 A(1, 2)와 B(3, 4)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책. 위에서 작성한 공식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

점과 기울기를 이용한 직선의 방정식.

직선의 일반방정식이라면 도끼 + 우 + C = 0다음으로 이어진다:

지정하고 , 결과 방정식이 호출됩니다.

기울기가 k인 직선의 방정식.

점과 방향 벡터의 직선 방정식.

법선 벡터를 통과하는 직선의 방정식을 고려한 점과 유사하게 작업을 입력할 수 있습니다.

점을 통과하는 직선과 직선의 방향 벡터.

정의. 0이 아닌 모든 벡터 (α 1 , α 2), 그 구성요소는 조건을 만족합니다.

Aα 1 + Bα 2 = 0~라고 불리는 직선의 벡터를 지시합니다.

도끼 + 우 + C = 0.

예. 방향 벡터가 (1, -1)이고 점 A(1, 2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책. 다음 형식으로 원하는 선의 방정식을 찾습니다. 도끼 + By + C = 0.정의에 따르면,

계수는 다음 조건을 충족해야 합니다.

1 * A + (-1) * B = 0, 즉 A = B.

그런 다음 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 도끼 + Ay + C = 0,또는 x + y + C / A = 0.

~에 x = 1, y = 2우리는 얻는다 C/A = -3, 즉. 필수 방정식:

x + y - 3 = 0

세그먼트의 직선 방정식.

직선 Ах + Ву + С = 0 С≠0의 일반 방정식에서 -С로 나누면 다음을 얻습니다.

아니면 어디서

계수의 기하학적 의미는 계수 a가 교차점의 좌표라는 것입니다.

축이 있는 직선 오,에이 비- 축과 선의 교차점 좌표 오.

예. 직선의 일반 방정식이 주어집니다. x - y + 1 = 0.이 선의 방정식을 세그먼트로 찾아보세요.

C = 1, , a = -1, b = 1.

직선의 정규 방정식.

방정식의 양변인 경우 도끼 + 우 + C = 0숫자로 나누기 라고 불리는

정규화 인자, 그러면 우리는 얻는다

xcosΦ + ysinΦ - p = 0 -직선의 정규방정식.

정규화 인자의 부호 ±는 다음과 같이 선택되어야 합니다. μ*C< 0.

아르 자형- 원점에서 직선까지 떨어진 수직선의 길이,

에이 φ - 축의 양의 방향과 수직선이 이루는 각도 오.

예. 직선의 일반 방정식이 주어집니다. 12x - 5y - 65 = 0. 다양한 유형의 방정식을 작성하는 데 필요

이 직선.

이 선분의 방정식:

이 직선과 기울기의 방정식: (5로 나누기)

선의 방정식:

왜냐하면 Φ = 12/13; 죄 Φ= -5/13; p = 5.

모든 직선이 세그먼트의 방정식으로 표현될 수 있는 것은 아닙니다.

축에 평행하거나 원점을 통과합니다.

평면 위의 직선 사이의 각도.

정의. 두 줄이 주어지면 y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, 이 선들 사이의 예각

다음과 같이 정의됩니다.

두 선이 평행한 경우 케이 1 = 케이 2. 둘 직선은 수직이다,

만약에 케이 1 = -1/ 케이 2 .

정리.

직접 도끼 + 우 + C = 0그리고 A1x+B1y+C1=0계수가 비례할 때 평행

A1 = λA, B1 = λB. 만약에 또한 С 1 = λС, 그러면 선이 일치합니다. 두 선의 교점 좌표

이 선의 방정식 시스템에 대한 해로 발견됩니다.

주어진 직선에 수직인 주어진 점을 지나는 직선의 방정식.

정의. 한 점을 지나는 선 M 1 (x 1, y 1)그리고 선에 수직으로 y = kx + b

방정식으로 표현됩니다.

점에서 선까지의 거리.

정리. 포인트가 주어지면 남(x0,y0),그 다음 직선까지의 거리 도끼 + 우 + C = 0다음과 같이 정의됩니다:

증거. 요점을 보자 M 1 (x 1, y 1)- 한 점에서 떨어진 수직선의 밑면 중주어진 것에 대해

직접. 그러면 점 사이의 거리는 중그리고 남 1:

(1)

좌표 x 1그리고 1시에방정식 시스템에 대한 해법으로 찾을 수 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식은 주어진 점 M 0을 수직으로 통과하는 직선의 방정식입니다.

주어진 직선. 시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.

이러한 표현식을 방정식 (1)로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

정리가 입증되었습니다.

이 기사를 받았습니다 두 개를 지나는 선의 방정식 주어진 포인트 평면 위의 직교좌표계에서, 그리고 3차원 공간의 직교좌표계에서 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 도출했습니다. 이론을 제시한 후, 직선의 방정식을 구성해야 하는 대표적인 예와 문제에 대한 해법을 제시합니다. 다양한 유형, 이 선에 있는 두 점의 좌표가 알려진 경우.

페이지 탐색.

평면 위의 주어진 두 점을 지나는 선의 방정식.

평면 위의 직각 좌표계에서 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 구하기 전에 몇 가지 사실을 상기해 보겠습니다.

기하학의 공리 중 하나는 평면 ​​위의 두 개의 발산점을 통해 하나의 직선을 그릴 수 있다는 것입니다. 즉, 평면에 두 점을 지정함으로써 이 두 점을 통과하는 직선을 고유하게 정의합니다(필요한 경우 평면에 직선을 지정하는 방법 섹션 참조).

Oxy를 비행기에 고정시키세요. 이 좌표계에서 모든 직선은 평면 위의 직선 방정식에 해당합니다. 직선의 방향 벡터는 이 동일한 직선과 불가분하게 연결되어 있습니다. 이 지식은 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 만드는 데 충분합니다.

문제의 조건을 공식화해 보겠습니다. 직사각형 직교 좌표계 Oxy에서 두 개의 분기점을 통과하는 직선 a에 대한 방정식을 만듭니다.

가장 간단하고 쉽게 보여드리겠습니다. 범용 솔루션이 작업.

우리는 평면 위의 직선의 표준 방정식이 다음과 같은 형식이라는 것을 알고 있습니다. 직각 좌표계 Oxy에서 점을 통과하고 방향 벡터를 갖는 직선을 정의합니다.

두 개의 주어진 점과 를 통과하는 직선 a의 표준 방정식을 작성해 봅시다.

분명히, 점 M1과 M2를 통과하는 직선 a의 방향 벡터는 벡터이며 좌표를 갖습니다. (필요하다면 기사를 참조하세요). 따라서 우리는 직선 a의 표준 방정식(방향 벡터의 좌표)을 작성하는 데 필요한 모든 데이터를 갖습니다. 그리고 그 위에 놓인 점의 좌표 (및 ). 그것은 다음과 같습니다 (또는 ).

두 점을 통과하는 평면 위의 선의 매개변수 방정식을 작성할 수도 있습니다. 그들은 다음과 같습니다 또는 .

예제의 해결 방법을 살펴보겠습니다.

예.

주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 쓰시오. .

해결책.

우리는 좌표가 있는 두 점을 통과하는 직선의 표준 방정식이 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 알아냈습니다. .

우리가 가지고 있는 문제 상황에서 . 이 데이터를 방정식에 대입해 보겠습니다. . 우리는 얻는다 .

답변:

.

만약 우리가 주어진 두 점을 통과하는 선의 매개변수 방정식이나 직선의 표준 방정식이 필요하지 않고, 다른 유형의 선의 방정식이 필요하다면, 우리는 항상 직선의 표준 방정식으로부터 이에 도달할 수 있습니다.

예.

평면 위의 직교 좌표계 Oxy에서 두 점을 통과하는 선에 대한 일반 방정식을 작성하십시오.

해결책.

먼저, 주어진 두 점을 통과하는 직선의 표준 방정식을 작성해 보겠습니다. 처럼 보입니다. 이제 결과 방정식을 필요한 형식으로 가져옵니다.

답변:

.

이제 평면 위의 직각 좌표계에서 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식으로 마무리할 수 있습니다. 하지만 저는 우리가 이러한 문제를 어떻게 해결했는지 상기시켜 드리고 싶습니다. 고등학교대수 수업에서.

학교에서 우리는 형식의 각도 계수를 갖는 직선 방정식만 알고 있었습니다. 가치를 찾아보자각도 계수 k 및 숫자 b, 방정식은 평면의 직교 좌표계 Oxy에서 점을 통과하는 직선을 정의하고 에 . (x 1 = x 2이면 선의 각도 계수는 무한하며 선 M 1 M 2는 선의 일반적인 불완전 방정식에 의해 결정됩니다. xx-x를 입력하세요 1 =0 ).

점 M 1 과 M 2 가 직선 위에 있으므로 이 점의 좌표는 직선의 방정식, 즉 등식을 만족하며 유효합니다. 다음 형식의 연립방정식 풀기 알려지지 않은 변수 k와 b에 관해 우리는 다음을 찾습니다. 또는 . k와 b의 값에 대해 두 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 또는 .

이러한 공식을 외울 필요는 없습니다. 예제를 풀 때 표시된 작업을 반복하는 것이 더 쉽습니다.

예.

이 직선이 점과 를 통과하는 경우 기울기가 있는 직선의 방정식을 작성하십시오.

해결책.

일반적인 경우 각도 계수가 있는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 방정식이 두 점과 를 통과하는 선에 해당하는 k와 b를 찾아보겠습니다.

점 M 1과 M 2는 직선 위에 있으므로 해당 좌표는 직선의 방정식을 충족합니다. 즉, 등식이 참입니다. 그리고 . k와 b의 값은 방정식 시스템을 풀어 구합니다. (필요하다면 기사를 참조하세요):

발견된 값을 방정식으로 대체하는 것이 남아 있습니다. 따라서 두 점을 통과하는 선의 필수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

엄청난 작업이죠?

두 점을 통과하는 선의 표준 방정식을 작성하는 것이 훨씬 쉽고 , 형식은 다음과 같습니다. , 그리고 그것으로부터 각도 계수를 갖는 직선의 방정식으로 이동합니다: .

답변:

3차원 공간에서 주어진 두 점을 지나는 선의 방정식.

직교좌표계 Oxyz를 3차원 공간에 고정시키고 두 개의 발산점을 부여한다. 그리고 , 직선 M 1 M 2가 통과합니다. 이 직선의 방정식을 구해보자.

우리는 공간에서 직선의 표준 방정식이 다음과 같은 형식이라는 것을 알고 있습니다. 그리고 다음 형태의 공간에서 직선의 매개변수 방정식 좌표가 있는 점을 통과하고 방향 벡터를 갖는 직교 좌표계 Oxyz에서 직선을 정의합니다. .

직선 M 1 M 2 의 방향 벡터가 벡터이고 이 직선은 점을 통과합니다. (그리고 ), 그 다음에 표준 방정식이 줄은 다음과 같은 형식을 갖습니다(또는 ), 파라메트릭 방정식은 다음과 같습니다. (또는 ).

.

두 교차 평면의 방정식을 사용하여 직선 M 1 M 2를 정의해야 하는 경우 먼저 두 점을 통과하는 직선의 표준 방정식을 작성해야 합니다. 그리고 , 그리고 이들 방정식으로부터 필요한 평면 방정식을 얻습니다.

참고자료.

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