점의 프로필 투영은 좌표에 의해 결정됩니다. 공간에서 점의 위치를 ​​결정합니다. 평면에 점을 투영하는 좌표 찾기, 예

프로젝션 장치

투영 장치(그림 1)에는 세 개의 투영 평면이 포함됩니다.

파이 1 –수평 투영면;

π 2 -돌출부의 정면면;

파이 3– 프로파일 투영 평면 .

투영 평면은 서로 수직입니다( π 1^ π 2^ 파이 3), 교차선이 축을 형성합니다.

평면의 교차점 π 1그리고 π 2축을 형성하다 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

평면의 교차점 π 1그리고 파이 3축을 형성하다 0Y (π 1∩ 파이 3 = 0Y);

평면의 교차점 π 2그리고 파이 3축을 형성하다 0Z (π 2∩ 파이 3 = 0Z).

축의 교차점(OX∩OY∩OZ=0)이 시작점(0점)으로 간주됩니다.

평면과 축이 서로 수직이기 때문에 이러한 장치는 데카르트 좌표계와 유사합니다.

투영 평면은 전체 공간을 8개의 옥탄트로 나눕니다(그림 1에서는 로마 숫자로 표시됨). 투영면은 불투명한 것으로 간주되며 뷰어는 항상 나-번째 옥탄트.

투영 중심을 사용한 직교 투영 에스 1, 에스 2그리고 에스 3수평, 정면 및 프로필 투영 평면에 대해 각각.

에이.

프로젝션 센터에서 에스 1, 에스 2그리고 에스 3투사 광선이 나온다 내가 1, 내가 2그리고 내가 3 에이

- A 1 에이;

- A 2– 점의 정면 투영 에이;

- A 3– 점의 프로필 투영 에이.

공간의 한 점은 좌표로 특징지어집니다. 에이(x,y,z). 전철기 엑스, 응그리고 AZ축에 각각 0X, 0Y그리고 0Z좌표 표시 엑스, 와이그리고 지전철기 에이. 그림에서. 1은 필요한 모든 표기법을 제공하고 점 사이의 연결을 보여줍니다. 에이공간, 투영 및 좌표.

포인트 다이어그램

점의 플롯을 얻으려면 에이(도 2), 투영장치(도 1)에서는 평면 π 1 A 1 0X π 2. 그럼 비행기 파이 3점 투영으로 A 3, 축을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전 0Z, 평면과 정렬될 때까지 π 2. 평면 회전 방향 π 2그리고 파이 3그림에 표시됩니다. 화살 1개. 동시에, 똑바로 1Ax그리고 2Ax 0X수직 1 2, 그리고 직선 2Ax그리고 3Ax공통 축에 위치하게 됩니다. 0Z수직 2 3. 다음에서는 이 라인을 각각 호출합니다. 수직의 그리고 수평의 통신 회선.

투영 장치에서 다이어그램으로 이동할 때 투영된 개체는 사라지지만 모양, 기하학적 치수 및 공간에서의 위치에 대한 모든 정보는 보존됩니다.

에이(x A , y A , z AxA, yA그리고 z A다음 순서로 진행됩니다(그림 2). 이 순서를 포인트 다이어그램 구성 방법이라고 합니다.

1. 축은 직각으로 그려집니다. 옥스, 오이그리고 온스.

2. 축에서 황소 ×A전철기 에이그리고 포인트의 위치를 ​​알아내세요 엑스.

3. 포인트를 통해 엑스축에 수직 황소

엑스축을 따라 오오좌표의 수치가 플롯됩니다. y A전철기 에이 A 1다이어그램에.

엑스축을 따라 온스좌표의 수치가 플롯됩니다. z A전철기 에이 A 2다이어그램에.

6. 포인트를 통해 A 2축에 평행 황소수평적인 통신선이 그려집니다. 이 선과 축의 교차점 온스점의 위치를 ​​알려줄 것이다 AZ.

7. 한 지점에서 수평 통신선으로 AZ축을 따라 오오좌표의 수치가 플롯됩니다. y A전철기 에이그리고 포지션이 정해져있어요 프로필 투영전철기 A 3다이어그램에.

포인트의 특징

공간의 모든 지점은 특정 위치의 지점과 일반 위치의 지점으로 구분됩니다.

특정 위치의 포인트. 투영 장치에 속하는 지점을 특정 위치의 지점이라고 합니다. 여기에는 투영 평면, 축, 원점 및 투영 중심에 속하는 점이 포함됩니다. 특정 위치 포인트의 특징은 다음과 같습니다.

메타수학적 – 하나, 둘 또는 모든 숫자 좌표 값은 0 및(또는) 무한대와 같습니다.

다이어그램에서 점의 두 개 또는 모든 투영은 축에 위치하거나 무한대에 위치합니다.

일반적인 입장의 요점. 일반적인 위치의 지점에는 투영 장치에 속하지 않는 지점이 포함됩니다. 예를 들어 점 에이그림에서. 1과 2.

일반적인 경우 점 좌표의 숫자 값은 투영 평면으로부터의 거리를 나타냅니다. 엑스비행기에서 파이 3; 동등 어구 와이비행기에서 π 2; 동등 어구 지비행기에서 π 1. 좌표의 수치에 대한 부호는 점이 투영면에서 멀어지는 방향을 나타냅니다. 점 좌표의 수치와 기호의 조합에 따라 해당 점의 옥탄가에 따라 달라집니다.

두 이미지 방법

실제로는 풀프로젝션 방식 외에 투이미지(two-image) 방식도 사용된다. 이 방법은 객체의 세 번째 투영을 제거한다는 점이 다릅니다. 2-이미지 방식의 투영 장치를 얻기 위해, 투영 중심이 있는 프로파일 투영 평면은 전체 투영 장치에서 제외됩니다(그림 3). 게다가 축에 0X기준점이 지정됩니다(점 0 ) 그리고 그것으로부터 축에 수직 0X투영 평면에서 π 1그리고 π 2축 그리기 0Y그리고 0Z각기.

이 장치에서는 전체 공간이 4개의 사분면으로 나뉩니다. 그림에서. 3 로마숫자로 표시됩니다.

투영면은 불투명한 것으로 간주되며 뷰어는 항상 나-사분면.

점을 투영하는 예를 사용하여 장치의 동작을 생각해 봅시다 에이.

프로젝션 센터에서 에스 1그리고 에스 2투사 광선이 나온다 내가 1그리고 내가 2. 이 광선은 점을 통과합니다. 에이투영 평면과 교차하여 투영을 형성합니다.

- A 1– 점의 수평 투영 에이;

- A 2– 점의 정면 투영 에이.

점의 플롯을 얻으려면 에이(도 4), 투영장치(도 3)에서는 평면 π 1결과적으로 점을 투영하여 A 1축을 중심으로 시계 방향으로 회전 0X, 평면과 정렬될 때까지 π 2. 평면 회전 방향 π 1그림에 표시됩니다. 화살 3개. 이 경우 두 개의 이미지 방법으로 얻은 점의 다이어그램에는 하나만 남습니다. 수직의링크 1 2.

실제로는 점을 그리면서 에이(x A , y A , z A)은 좌표의 수치에 따라 수행됩니다. xA, yA그리고 z A다음 순서로(그림 4).

1. 축이 그려집니다. 황소기준점이 지정됩니다(점 0 ).

2. 축에서 황소좌표의 수치가 플롯됩니다. ×A전철기 에이그리고 포인트의 위치를 ​​알아내세요 엑스.

3. 포인트를 통해 엑스축에 수직 황소수직 통신선이 그려집니다.

4. 한 지점에서 수직 통신선로 엑스축을 따라 오오좌표의 수치가 플롯됩니다. y A전철기 에이점의 수평 투영 위치가 결정됩니다. A 1 오오도출되지는 않았지만 추정된다. 양수 값축 아래에 위치 황소, 음수는 더 높습니다.

5. 한 지점에서 수직 통신선로 엑스축을 따라 온스좌표의 수치가 플롯됩니다. z A전철기 에이점의 정면 투영 위치가 결정됩니다. A 2다이어그램에. 다이어그램에서 축은 온스그려지지는 않았지만 양의 값이 축 위에 위치한다고 가정합니다. 황소, 음수는 더 낮습니다.

경쟁 포인트

동일한 투영 빔의 점을 경쟁 점이라고 합니다. 투영 빔 방향으로 그들은 공통 투영을 갖습니다. 그들의 예측은 동일합니다. 특징다이어그램의 경쟁 지점은 동일한 이름을 가진 투영의 동일한 우연입니다. 경쟁은 관찰자에 대한 이러한 예측의 가시성에 있습니다. 즉, 관찰자에게는 공간에서 점 중 하나는 보이고 다른 하나는 보이지 않습니다. 따라서 도면에서는 경쟁 점의 투영 중 하나가 보이고 다른 점의 투영은 보이지 않습니다.

두 경쟁 지점의 공간 투영 모델(그림 5) 에이그리고 안에보이는 지점 에이두 가지 상호 보완적인 특성에 따라. 체인으로 판단 에스 1 →A→B점 에이점보다 관찰자에게 더 가깝다 안에. 따라서 투영면에서 더 멀리 떨어져 있습니다. π 1(저것들. z A > z A).

쌀. 5 그림 6

포인트 자체가 보이는 경우 에이, 그러면 투영도 표시됩니다. A 1. 그에 따른 예측과 관련하여 비 1. 명확성을 위해 그리고 필요한 경우 다이어그램에서 점의 보이지 않는 투영은 일반적으로 괄호 안에 표시됩니다.

모델의 점을 제거해 보겠습니다. 에이그리고 안에. 비행기에서 그들의 일치하는 투영은 그대로 유지됩니다 π 1그리고 별도의 투영 - 켜기 π 2. 투영의 중심에 위치한 관찰자의 정면 투영(⇩)을 조건부로 남겨두자 에스 1. 그런 다음 일련의 이미지를 따라 ⇩ → A 2 → 비 2그렇게 판단하면 될 것 같다. z A > z B그리고 그 지점 자체가 눈에 보인다는 것 에이그리고 그 투영 A 1.

마찬가지로 경쟁 포인트를 고려해 보겠습니다. 와 함께그리고 디π 2 평면을 기준으로 외관상. 이 지점의 공통 투영 빔 이후 내가 2축에 평행 0Y, 경쟁 지점의 가시성을 나타내는 신호 와 함께그리고 디불평등에 의해 결정됨 와이씨 > 와이디. 그러므로 그 점 디점으로 닫혀 있다 와 함께따라서 점의 투영은 디 2점의 투영으로 덮이게 됩니다. C 2비행기에서 π 2.

복잡한 도면에서 경쟁 지점의 가시성이 어떻게 결정되는지 살펴보겠습니다(그림 6).

일치하는 예측으로 판단 A 1≡비 1포인트 그 자체 에이그리고 안에동일한 투영 빔에 있고, 축에 평행 0Z. 이는 좌표를 비교할 수 있음을 의미합니다. z A그리고 z B이 점들. 이를 위해 점의 별도 이미지가 있는 정면 투영 평면을 사용합니다. 안에 이 경우 z A > z B. 이로 인해 투영이 표시됩니다. A 1.

전철기 기음그리고 디고려 중인 복잡한 도면(그림 6)에서도 동일한 투영 빔에 있지만 축에 평행할 뿐입니다. 0Y. 그러므로 비교를 통해 와이씨 > 와이디우리는 투영 C 2가 가시적이라고 결론을 내립니다.

일반 규칙 . 경쟁 지점의 투영 일치에 대한 가시성은 공통 투영 광선 방향에서 해당 지점의 좌표를 비교하여 결정됩니다. 좌표가 더 큰 점의 투영이 표시됩니다. 이 경우 좌표는 투영 평면에서 점의 별도 이미지와 비교됩니다.

좌표 각도 투영의 세 평면에 점을 투영하는 것은 수평 투영 평면인 H 평면에서 이미지를 얻는 것으로 시작됩니다. 이를 위해 투영 빔은 평면 H에 수직인 점 A(그림 4.12, a)를 통과합니다.

그림에서 H 평면에 수직인 부분은 Oz 축과 평행합니다. H 평면(점 a)과 빔의 교차점은 임의로 선택됩니다. 세그먼트 Aa는 점 A가 평면 H로부터 어느 정도 거리에 있는지 결정하여 투영 평면을 기준으로 그림에서 점 A의 위치를 ​​명확하게 나타냅니다. 점 a는 평면 H에 대한 점 A의 직사각형 투영이며 점 A의 수평 투영이라고합니다 (그림 4.12, a).

평면 V(그림 4.12,b)에서 점 A의 이미지를 얻기 위해 투영 빔은 투영 V의 정면 평면에 수직인 점 A를 통과합니다. 그림에서 평면 V에 수직인 점은 Oy 축과 평행합니다. . 평면 H에서 점 A에서 평면 V까지의 거리는 Oy 축에 평행하고 Ox 축에 수직인 선분 aa x로 표시됩니다. 투영된 광선과 그 이미지가 평면 V 방향으로 동시에 수행된다고 상상하면 광선의 이미지가 점 a x에서 Ox 축과 교차할 때 광선은 점 a에서 V 평면과 교차할 것입니다." 평면 V 위의 투영 광선 Aa의 이미지인 Ox 축 에 수직인 V 평면 a의 점 a x에서 투영 광선과의 교차점에서 점 a를 얻습니다." 점 a"는 점 A의 정면 투영, 즉 평면 V의 이미지입니다.

프로파일 투영 평면(그림 4.12, c)의 점 A 이미지는 W 평면에 수직인 투영 빔을 사용하여 구성됩니다. 그림에서 W 평면에 수직인 부분은 Ox 축과 평행합니다. 평면 H의 점 A에서 평면 W로 투영되는 광선은 Ox 축에 평행하고 Oy 축에 수직인 세그먼트 aa y로 표시됩니다. Oz 축에 평행하고 Oy 축에 수직인 점 Oy에서 투영 광선 aA의 이미지가 구성되고 투영 광선과의 교차점에서 점 a가 얻어집니다. "점 a"는 점 A의 프로필 투영입니다. 즉, 평면 W 위의 점 A의 이미지입니다.

점 a"는 Ox 축에 평행한 점 a"(평면 V의 투영 광선 Aa"의 이미지)에서 선분 a"a z를 그리고 점 a z에서 Oy에 평행한 선분 a"a z를 그려 구성할 수 있습니다. 투영 광선과 교차할 때까지 축을 회전시킵니다.

투영 평면에 점 A의 세 투영을 수신하면 좌표 각도는 그림 1과 같이 하나의 평면으로 확장됩니다. 4.11,b에서는 점 A의 투영과 투영 광선, 점 A와 투영 광선 Aa, Aa" 및 Aa"가 제거됩니다. 결합된 투영면의 모서리는 그려지지 않고 투영축 Oz, Oy 및 Ox, Oy 1만 그려집니다(그림 4.13).

점의 직교 도면을 분석하면 공간에서 점 A의 위치를 ​​특징으로 하는 세 가지 거리인 Aa", Aa 및 Aa"(그림 4.12, c)가 투영 객체 자체인 점 A를 폐기하여 결정될 수 있음을 알 수 있습니다. 좌표각이 하나의 평면으로 바뀌었습니다(그림 4.13). 세그먼트 a"a z, aa y 및 Oa x는 해당 직사각형의 반대편인 Aa"와 같습니다(그림 4.12c 및 4.13). 이는 프로파일 투영 평면에서 점 A가 위치하는 거리를 결정합니다. 세그먼트 a"a x, a"a y1 및 Oa y는 세그먼트 Aa와 동일하며 점 A에서 수평 투영 평면까지의 거리를 정의하고 세그먼트 aa x, a"a z 및 Oa y 1은 세그먼트 Aa와 같습니다. ", 지점 A에서 투영의 정면 평면까지의 거리를 정의합니다.

투영 축에 위치한 세그먼트 Oa x, Oa y 및 Oa z는 점 A의 X, Y 및 Z 좌표 치수를 그래픽으로 표현한 것입니다. 점의 좌표는 해당 문자의 색인으로 표시됩니다. . 이러한 세그먼트의 크기를 측정하면 공간에서 점의 위치를 ​​확인할 수 있습니다. 즉, 점의 좌표를 설정할 수 있습니다.

다이어그램에서 세그먼트 a"a x 및 aa x는 Ox 축에 수직인 하나의 선으로 위치하며 세그먼트 a"a z 및 a"a z - Oz 축에 위치합니다. 이 선을 투영 연결선이라고 합니다. 점 ax와 a z의 투영 축. 점 A의 수평 투영과 점 a y에서 "절단"된 프로파일을 연결하는 투영 연결선.

동일한 점의 두 투영은 항상 투영 축에 수직인 동일한 투영 연결선에 위치합니다.

공간에서 한 점의 위치를 ​​나타내려면 두 개의 투영과 주어진 원점(점 O)이면 충분합니다. 4.14, b 점의 두 투영은 공간에서의 위치를 ​​완전히 결정합니다. 이 두 투영을 사용하여 점 A의 프로필 투영을 구성하는 것이 가능합니다. 따라서 앞으로 프로필 투영이 필요하지 않은 경우 다이어그램은 V와 H라는 두 개의 투영 평면에 구성됩니다.

쌀. 4.14. 쌀. 4.15.

점의 그림을 구성하고 읽는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 1.두 개의 투영법으로 다이어그램에 지정된 점 J의 좌표를 결정합니다 (그림 4.14). 세그먼트 OB X(X 좌표), 세그먼트 b X b(Y 좌표) 및 세그먼트 b X b"(Z 좌표)의 세 세그먼트가 측정됩니다. 좌표는 문자 뒤에 X, Y 및 Z 순서로 기록됩니다. 포인트 지정(예: B20)

실시예 2. 주어진 좌표에 점을 구성합니다. 점 C는 좌표 C30으로 지정됩니다. 10; 40. Ox 축(그림 4.15)에서 투영 연결선이 투영 축과 교차하는 점 c x를 찾습니다. 이를 위해 X 좌표(크기 30)는 원점(점 O)에서 Ox 축을 따라 플롯되고 x가 있는 점을 얻습니다. 이 점을 통해 Ox 축에 수직인 투영 연결선이 그려지고 Y 좌표(크기 10)가 점에서 배치되고 점 c가 얻어집니다. 즉 점 C의 수평 투영입니다. Z 좌표(크기 40)는 다음과 같습니다. 투영 연결선(크기 40)을 따라 점 c x에서 위쪽으로 플롯하면 점 c"가 얻어집니다. - 점 C의 정면 투영입니다.

실시예 3. 다음을 사용하여 점의 프로파일 투영 구성 주어진 예측. 점 D의 투영은 d와 d"로 제공됩니다. 점 O를 통해 투영 축 Oz, Oy 및 Оу 1이 그려집니다(그림 4.16, a). 점 D의 프로필 투영을 구성하려면 점 d", 투영 연결선은 Oz 축에 수직으로 그려지고 Oz 축 뒤 오른쪽으로 계속됩니다. 점 D의 윤곽 투영은 이 선에 위치하게 됩니다. 이는 점 d의 수평 투영이 위치한 것과 동일한 Oz 축으로부터의 거리, 즉 Ox 축으로부터의 거리, 즉 거리 dd x에 위치하게 됩니다. 세그먼트 d z d"와 dd x는 동일한 거리, 즉 점 D에서 투영 정면면까지의 거리를 정의하므로 동일합니다. 이 거리는 점 D의 Y 좌표입니다.

그래픽적으로 세그먼트 d z d"는 투영의 수평 평면에서 세그먼트 dd x를 프로파일 1로 전송하여 구성됩니다. 이렇게 하려면 Ox 축과 평행한 투영 연결 선을 그리고 Oy 축에서 점 d y를 얻습니다. 그림 4.16, b) 그런 다음 세그먼트 Ody y와 동일한 반경을 가진 점 O에서 Oy 1 축과의 교차점까지 호를 그려 세그먼트 Ody y의 크기를 Oy 축 1로 전송합니다. , b) 점 dy 1을 얻습니다. 이 점은 그림 4.16, c에 표시된 것처럼 점 d y에서 Oy 축으로 45° 각도로 직선을 그려서 구성할 수도 있습니다. y1, 투영 연결선이 Oz 축에 평행하게 그려지고 세그먼트 d"d x와 동일한 세그먼트가 그 위에 놓이고 점 d"가 얻어집니다.

세그먼트 d x d의 값을 투영의 프로파일 평면으로 전송하는 것은 도면의 일정한 직선을 사용하여 수행할 수 있습니다(그림 4.16, d). 이 경우, 투영 연결선 dd y는 Oy 1 축에 평행한 점의 수평 투영을 통해 일정한 직선과 교차할 때까지 그려지고, 그런 다음 투영의 연속과 교차할 때까지 Oy 축에 평행합니다. 연결선 d"d z.

투영면을 기준으로 한 점 위치의 특수한 경우

투영 평면을 기준으로 한 점의 위치는 해당 좌표, 즉 Ox 축에서 해당 투영까지의 투영 연결선 세그먼트의 크기에 의해 결정됩니다. 그림에서. 4.17 점 A의 Y 좌표는 선분 aa에 의해 결정됩니다. x - 점 A에서 평면 V까지의 거리입니다. 점 A의 Z 좌표는 선분 a "a x - 점 A에서 평면 H까지의 거리입니다. 좌표의 가 0이면 점이 투영 평면에 위치합니다. 그림 4.17은 투영 평면을 기준으로 점의 다양한 위치에 대한 예를 보여줍니다. 점 B의 Z 좌표는 0이고 점은 H 평면에 있습니다. 정면 투영은 Ox 축에 있고 점 b x와 일치합니다. 점 C의 Y 좌표는 0과 같고 점은 평면 V에 위치하며 수평 투영 c는 Ox 축에 있고 점 c와 일치합니다. 엑스.

따라서 점이 투영 평면에 있으면 이 점의 투영 중 하나가 투영 축에 놓이게 됩니다.

그림에서. 4.17에서 점 D의 Z 및 Y 좌표는 0과 같습니다. 따라서 점 D는 Ox 투영 축에 있고 두 투영이 일치합니다.

점의 투영.

투영의 두 평면의 직교 시스템.

직교 투영 방법의 핵심은 객체가 이러한 평면에 직교하는(수직) 광선에 의해 서로 수직인 두 평면에 투영된다는 것입니다.

투영면 H 중 하나는 수평으로 배치되고 두 번째 V는 수직으로 배치됩니다. 평면 H를 투영의 수평 평면이라고 하고, V를 정면 평면이라고 합니다. H 평면과 V 평면은 무한하고 불투명합니다. 투영 평면의 교차선을 좌표축이라고 하며 지정됩니다. 황소. 투영 평면은 공간을 4개의 2면체 각도(4분의 1)로 나눕니다.

직교 투영을 고려할 때 관찰자는 투영 평면으로부터 무한히 먼 거리에 있는 1/4 지점에 있다고 가정합니다. 이 평면은 불투명하기 때문에 동일한 1/4 내에 위치한 점, 선 및 그림만 관찰자에게 표시됩니다.

투영을 구성할 때 다음 사항을 기억해야 합니다. 점의 직교 투영주어진 점에서 그린 수선의 밑면을 평면이라고 합니다.이 비행기로.

그림은 한 점을 보여줍니다. 에이그리고 그것의 직교 투영 1그리고 2.

마침표 1~라고 불리는 수평 투영전철기 에이,가리키다 2- 그녀의 정면 투영. 각각은 한 점에서 그린 수직선의 밑면입니다. 에이각각 비행기에서 시간그리고 다섯.

다음이 증명될 수 있다 점 투영항상 직선, 수직에 위치눈축오 그리고 이 축과 교차하는같은 시점에.실제로 광선을 투사하는 것은 에이1그리고 에이2투영 평면에 수직인 평면과 교차선(축)을 정의합니다. 오.이 평면은 교차합니다 시간그리고 다섯직선으로 1a엑스그리고 1a엑스, 축으로 형성되는 것 황소그리고 그 점의 꼭지점과 서로 직각을 이룬다. 에이엑스.

그 반대도 마찬가지입니다. 투영면에 점이 주어지면에이 1 그리고 에이 2 , 교차하는 직선에 위치중심선 황소주어진 지점에서 직각으로,그렇다면 그것은 일부의 예측일 뿐입니다A 지점.이 점은 점들로 구성된 수직선의 교차점에 의해 결정됩니다. 에이 1 그리고 에이 2 비행기로 시간그리고 다섯.

공간에서 투영 평면의 위치는 다를 수 있습니다. 예를 들어, 서로 수직인 두 평면은 수직일 수 있습니다. 그러나 이 경우에도 축을 기준으로 점의 반대 투영 방향에 대한 위에서 입증된 가정은 유효합니다.

위의 투영으로 구성된 평면 도면을 얻으려면 평면 시간축을 중심으로 한 회전으로 결합 황소비행기와 함께 다섯, 그림의 화살표와 같이. 그 결과, 전면 반면 시간아래쪽 절반 평면과 정렬됩니다. 다섯, 그리고 뒤쪽 반평면 시간- 상부 절반 평면 포함 다섯.

모든 것이 묘사된 투영면을 특정한 방식으로 결합한 투영도를 투영도라고 합니다. 도표(프랑스어 epure에서 - 그림). 그림은 포인트의 다이어그램을 보여줍니다 에이.

이 평면 결합 방법을 사용하면 시간그리고 다섯투영 에이 1 그리고 에이 2 축에 대해 동일한 수직 위치에 위치하게 됩니다. 황소. 이 경우, 거리는 에이 1 엑스 — 점의 수평 투영에서 축까지 황소 에이비행기로 다섯, 및 거리 에이 2 엑스 — 점의 정면 투영에서 축까지 황소지점 자체로부터의 거리와 동일 에이비행기로 시간.

다이어그램의 점 투영과 달리 연결하는 직선을 호출하는 데 동의합시다. 프로젝션 통신 라인.

다이어그램에서 점의 투영 위치는 해당 점이 위치한 분기에 따라 다릅니다. 그렇다면 요점은 안에두 번째 분기에 위치하면 평면을 결합한 후 두 투영이 축 위에 있는 것처럼 보입니다. 황소.

요점이라면 와 함께 3/4에 있는 경우 평면을 결합한 후 수평 투영은 축 위에 있고 정면 투영은 축 아래에 있습니다. 황소. 마지막으로 요점을 말하자면 디가 4분기에 위치하면 두 투영 모두 축 아래에 있게 됩니다. 황소. 그림은 포인트를 보여줍니다 중그리고 N, 투영면에 누워 있습니다. 이 위치에서 점은 투영 중 하나와 일치하고 다른 투영은 축에 놓이는 것으로 나타납니다. 황소. 이 기능은 지정에도 반영됩니다. 점 자체가 일치하는 투영 근처에는 색인 없이 대문자가 기록됩니다.

또한 한 점의 두 투영이 일치한다는 점에 유의해야 합니다. 이는 점이 투영 평면으로부터 동일한 거리에 있는 2/4 또는 4/4에 있는 경우 발생합니다. 후자가 축에 위치하는 경우 두 투영 모두 점 자체와 결합됩니다. 황소.

세 가지 투영 평면의 직교 시스템.

위에서는 점의 두 투영이 공간에서의 위치를 ​​결정한다는 것을 보여주었습니다. 각 그림이나 몸체는 점의 모음이므로 물체의 두 직교 투영(문자 지정이 있는 경우)이 물체의 모양을 완전히 결정한다고 주장할 수 있습니다.

그러나 실제로는 건물 구조, 기계 및 다양한 이미지가 엔지니어링 구조추가 투영을 생성할 필요가 있습니다. 이는 투영 도면을 보다 명확하고 읽기 쉽게 만들기 위한 목적으로만 수행됩니다.

세 개의 투영 평면의 모델이 그림에 표시됩니다. 세 번째 평면, 수직 및 시간그리고 다섯, 문자로 표시 여그리고 호출된다 윤곽.

이 평면에 점을 투영하는 것을 프로파일이라고도 하며 인덱스 3이 포함된 대문자 또는 숫자로 지정됩니다. (에이시간,비시간,기음지, ...1z, 2z, 3 3...).

쌍으로 교차하는 투영 평면은 세 개의 축을 정의합니다. 에 대한엑스, 에 대한와이그리고 에 대한지, 직사각형 시스템으로 간주될 수 있습니다. 데카르트 좌표 O 지점에서 시작하는 공간. 그림에 표시된 기호 시스템은 "오른손잡이" 좌표계에 해당합니다.

3개의 투영 평면은 공간을 8개의 3면체 각도로 나눕니다. 옥탄트. 옥탄트의 번호는 그림에 나와 있습니다.

비행기의 다이어그램을 얻으려면 시간그리고 여평면과 정렬될 때까지 그림에 표시된 대로 회전 다섯. 회전의 결과로 전면 절반 평면 시간하부 절반 평면과 결합되는 것으로 밝혀졌습니다. 다섯, 그리고 뒤쪽 반평면 시간- 상부 절반 평면 포함 다섯. 축을 중심으로 90° 회전할 때 에 대한지전방 반면 여오른쪽 절반 평면과 정렬됩니다. 다섯, 그리고 뒤쪽 반평면 여- 왼쪽 반평면 포함 다섯.

모든 결합된 투영 평면의 최종 보기가 그림에 나와 있습니다. 이 그림에서는 축 에 대한엑스그리고 에 대한지, 고정된 평면에 누워 다섯, 한 번만 표시되며 축 에 대한와이두 번 표시됩니다. 이것은 평면과 함께 회전한다는 사실로 설명됩니다. 시간, 축 에 대한와이다이어그램에서는 축과 결합됩니다. 에 대한지, 그리고 비행기와 함께 회전 여, 동일한 축이 축과 정렬됩니다. 에 대한엑스.

앞으로는 다이어그램에서 축을 지정할 때 음의 반축(— 에 대한엑스, — 에 대한와이, — 에 대한지) 표시되지 않습니다.

점의 3개 좌표와 3개 투영 및 해당 반경 벡터.

좌표는 다음과 같은 숫자입니다.결정하는 점을 일치시키다공간이나 위치를 변경표면.

3차원 공간에서 점의 위치는 직사각형 직교 좌표를 사용하여 결정됩니다. 엑스, 와이그리고 지.

동등 어구 엑스~라고 불리는 횡좌표, ~에— 세로좌표그리고 지 — 신청하십시오.횡좌표 엑스주어진 점에서 평면까지의 거리를 결정합니다. 여, 세로좌표 y -비행기로 다섯신청하고 지 - 비행기로 시간. 점의 좌표를 측정하기 위해 그림에 표시된 시스템을 채택한 후 8분원 모두에 대한 좌표 기호 테이블을 구성합니다. 공간의 모든 지점 에이,좌표로 주어진 것은 다음과 같이 표시됩니다: 에이(x, y,지).

x = 5, y = 4, z = 6이면 항목은 다음 형식을 취합니다. 에이(5, 4, 6). 이 지점 에이,모든 좌표가 양수이고 첫 번째 옥탄트에 있습니다.

점좌표 에이동시에 반경 벡터의 좌표입니다

OA유래에 관해서. 만약에 나, j, 케이— 좌표축을 따라 각각 지정된 단위 벡터 엑스, 와이,지(사진) 그럼

OA =에 대한A x 나는+OA와이j + OA지케이 , 어디 OA X, OA U, OA g -벡터 좌표 OA

좌표를 사용하여 점 자체의 이미지와 공간 모델(그림)에 대한 투영을 구성하는 것이 좋습니다. 직육면체. 우선, 점으로부터의 좌표축에 에 대한상응하는 세그먼트를 배치 5, 4, 6길이 단위. 이 세그먼트에서 (에 대한엑스 , 에 대한아야 , 에 대한az ), 가장자리와 마찬가지로 직사각형 평행 육면체가 만들어집니다. 원점과 반대되는 정점이 주어진 점을 결정합니다. 에이.점을 결정하는 것이 보기 쉽습니다. 에이예를 들어 평행육면체의 모서리 세 개만 구성하는 것으로 충분합니다. 에 대한엑스 , a x a 1 그리고 에이 1 에이또는 에 대한아야 , 아 예 아 1 그리고 에이 1 에이등. 이러한 가장자리는 좌표 폴리라인을 형성하며, 각 링크의 길이는 해당 점의 좌표에 의해 결정됩니다.

그러나 평행 육면체를 구성하면 점뿐만 아니라 에이,뿐만 아니라 세 가지 직교 투영도 모두 포함됩니다.

평면에 점을 투영하는 광선 시간, 다섯, 여점에서 교차하는 평행육면체의 세 모서리 에이.

각각의 직교 투영전철기 에이,평면에 위치하므로 두 개의 좌표만으로 결정됩니다.

그래서 수평 투영 에이 1 좌표로 결정 엑스그리고 와이,정면 투영 에이 2 — 좌표 x와지, 프로필 투영 에이 3 — 좌표 ~에그리고 지. 그러나 두 투영은 세 좌표에 의해 결정됩니다. 그렇기 때문에 두 개의 투영으로 점을 지정하는 것은 세 개의 좌표로 점을 지정하는 것과 동일합니다.

모든 투영면이 결합된 다이어그램(도면)에서 투영은 에이 1 그리고 에이 2 축에 대해 동일한 수직 위에 있을 것입니다. 에 대한엑스, 및 예측 에이 2 그리고 에이 3 — 축에 수직인 한쪽에 온스.

예상에 관하여 에이 1 그리고 에이 3 , 그런 다음 그들은 직선으로 연결됩니다 에이 1 아야그리고 에이 3 아야 , 축에 수직 에 대한와이. 그러나 이 축은 다이어그램에서 두 위치를 차지하므로 세그먼트는 에이 1 아야세그먼트의 연속일 수 없습니다. 에이 3 아야 .

점 투영 구성 A (5, 4, 6)주어진 좌표에 따라 다이어그램에서 다음 순서로 수행하십시오. 먼저 좌표 원점에서 가로축에 세그먼트가 그려집니다. 에 대한엑스 = x(저희 경우에는 x =5), 그럼 그 지점을 통해서 엑스축에 수직으로 그리다 에 대한엑스, 표지판을 고려하여 세그먼트를 표시합니다. a x a 1 =y(우리는 얻는다 에이 1 ) 그리고 a x a 2 = 지(우리는 얻는다 에이 2 ). 포인트의 프로필 투영을 구성하는 것이 남아 있습니다. 에이 3 . 점의 프로필과 정면 투영은 축에 대해 동일한 수직에 위치해야 하기 때문에 온스 , 그럼 통해 에이 3 직접 수행하다 에이 2 az ^ 온스.

마지막으로 마지막 질문이 생깁니다. 축으로부터 어느 정도의 거리에 있습니까? 에 대한지 3이어야합니까?

평행 육면체 좌표를 고려하면 (그림 참조), 그 가장자리는 a z a 3 = 오 아야 = a x a 1 = 와이우리는 필요한 거리가 a z a 3 같음 유.분절 a z a 3 y>0이면 OZ 축 오른쪽에 배치되고, y이면 왼쪽에 배치됩니다.

점이 공간에서 위치를 변경하기 시작할 때 다이어그램에서 어떤 변화가 발생하는지 살펴보겠습니다.

예를 들어 한 가지 점을 들자면 A (5, 4, 6)평면에 수직인 직선으로 움직일 것이다 다섯. 이러한 움직임으로 인해 하나의 좌표만 변경됩니다. 와이,점에서 평면까지의 거리를 나타내는 것 다섯. 좌표는 일정하게 유지됩니다. x와지 , 그리고 이 좌표에 의해 결정된 점의 투영, 즉 에이 2 그 위치를 바꾸지 않을 것입니다.

예상에 관하여 에이 1 그리고 에이 3 , 그러면 첫 번째 것이 축에 접근하기 시작합니다. 에 대한엑스, 두 번째 - 축으로 에 대한지. 그림에서 점의 새로운 위치는 지정에 해당합니다. 에이 1 (에이 1 1 에이 2 1 에이 3 1 ). 점이 평면 위에 있는 순간 다섯(y = 0), 세 가지 투영 중 두 개( 에이 1 2 그리고 에이 3 2 )는 축 위에 놓이게 됩니다.

이사한 후 나 8분원 II, 점이 평면에서 멀어지기 시작합니다. 다섯, 좌표 ~에음수가 되면 절대값이 증가합니다. 이 점의 수평 투영은 후면 반평면에 위치합니다. 시간, 다이어그램에서 축 위에 위치합니다. 에 대한엑스, 그리고 프로파일 투영은 후면 반평면에 있습니다. 여, 다이어그램에서 축의 왼쪽에 있습니다. 에 대한지. 언제나 그렇듯이 세그먼트 az에이 3 3 =y.

후속 다이어그램에서는 좌표축과 투영 통신선의 교차점을 문자로 표시하지 않습니다. 이렇게 하면 그림이 어느 정도 단순화됩니다.

미래에는 좌표축이 없는 다이어그램이 나올 것입니다. 이것은 물체를 묘사할 때 실제로 수행되는 작업입니다. 이미지 자체만이 중요하다물체의 상대적인 위치가 아닌 물체의 위치특히 투영면.

이 경우 투영 평면은 최대 정확도로 결정됩니다. 병렬 전송(그림). 일반적으로 물체의 모든 점이 평면 위에 있도록 평행하게 이동합니다. 시간그리고 비행기 앞에서 다섯. X 12 축의 위치가 불확실한 것으로 판명되었으므로 이 경우 다이어그램의 형성은 좌표축을 중심으로 한 평면의 회전과 연관될 필요가 없습니다. 평면도로 이동할 때 시간그리고 다섯점의 반대 투영이 수직선에 위치하도록 결합됩니다.

점 A와 B의 축 없는 다이어그램(그림) 아니다공간에서의 위치를 ​​결정하고,그러나 상대적인 방향을 판단할 수는 있습니다.따라서 세그먼트 △x는 점의 변위를 나타냅니다. 에이점에 상대적 안에즉, △x는 지점이 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 나타냅니다. 에이포인트 왼쪽에 위치 안에.평면 V에 수직인 방향으로 점의 상대 변위는 세그먼트 △y에 의해 결정됩니다. 즉, 점 그리고우리의 예에서는 점보다 관찰자에게 더 가깝습니다. 안에,△y와 같은 거리로.

마지막으로 세그먼트 △z는 점의 초과를 나타냅니다. 에이요점 위에 안에.

기술 기하학 과정의 축 없는 연구 지지자들은 많은 문제를 해결할 때 좌표축 없이도 할 수 있다는 점을 올바르게 지적합니다. 그러나 이를 완전히 포기하는 것은 바람직하지 않습니다. 설명 기하학은 도면의 유능한 실행뿐만 아니라 공간 정적 및 역학 문제가 가장 적은 위치를 차지하는 다양한 기술적 문제를 해결하기 위해 미래 엔지니어를 준비하도록 설계되었습니다. 이를 위해서는 데카르트 좌표축을 기준으로 특정 개체의 방향을 지정하는 기능을 개발하는 것이 필요합니다. 이러한 기술은 원근법 및 축측법과 같은 기술 기하학 섹션을 연구할 때도 필요합니다. 따라서 이 책의 여러 다이어그램에 좌표축의 이미지를 저장합니다. 이러한 그림은 물체의 모양뿐만 아니라 투영 평면을 기준으로 한 위치도 결정합니다.

두 개의 평면에 점을 투영하는 것을 고려해 보겠습니다. 이를 위해 두 개의 수직 평면(그림 4)을 사용하고 이를 수평 정면 및 평면이라고 부릅니다. 이들 평면의 교차선을 투영 축이라고 합니다. 평면 투영을 사용하여 고려된 평면에 한 점 A를 투영합니다. 이렇게 하려면 주어진 지점에서 고려되는 평면으로 수직선 Aa와 A를 낮추는 것이 필요합니다.

수평면으로의 투영을 호출합니다. 수평 투영전철기 에이, 그리고 투영 에이?정면 평면에서 호출됩니다. 정면 투영.

투영할 점은 일반적으로 대문자를 사용하여 설명적인 기하학으로 표시됩니다. 에이,비,씨. 작은 글자는 점의 수평 투영을 나타내는 데 사용됩니다. 에이, 비, 씨... 정면 투영은 상단에 획이 있는 작은 글자로 표시됩니다. a?, b?, c?…

점은 또한 로마 숫자 I, II,...로 지정되고 해당 투영의 경우 아라비아 숫자 1, 2... 및 1?, 2?...로 지정됩니다.

수평면을 90° 회전시키면 두 평면이 동일한 평면에 있는 도면을 얻을 수 있습니다(그림 5). 이 사진은 점의 다이어그램.

수직선을 통해 아아그리고 뭐?평면을 그려 봅시다(그림 4). 결과 평면은 정면 및 수평 평면에 대한 수직을 포함하므로 정면 및 수평 평면에 수직입니다. 따라서 이 평면은 평면의 교차선에 수직입니다. 결과 직선은 수평면과 직선으로 교차합니다. 아아 x 및 정면 평면 - 직선 아?아엑스. 바로 아아 그리고 아?아 x는 평면의 교차축에 수직입니다. 즉 아하하?직사각형이다.

수평 및 정면 투영면을 결합하는 경우 에이그리고 에이?수평면이 회전하면 세그먼트의 직각도가 달라지기 때문에 평면의 교차축에 대해 동일한 수직선에 놓이게 됩니다. 아아 x와 아?아 x는 깨지지 않습니다.

우리는 투영 다이어그램에서 그것을 얻습니다. 에이그리고 에이?어느 시점 에이항상 평면의 교차축에 대해 동일한 수직 위에 놓입니다.

두 개의 투영 a 및 에이?특정 지점 A의 공간에서의 위치를 ​​명확하게 결정할 수 있습니다(그림 4). 이는 투영 a에서 수평면까지 수직을 구성할 때 점 A를 통과한다는 사실로 확인됩니다. 같은 방식으로 투영에서 수직 에이?정면 평면이 지점을 통과하게 됩니다. 에이, 즉 점 에이동시에 두 개의 특정 직선 위에 있습니다. 점 A는 교차점, 즉 명확합니다.

직사각형을 고려해보세요 아아아엑스 에이?(그림 5), 다음 진술이 적용됩니다.

1) 포인트 거리 에이정면 평면으로부터의 거리는 평면의 교차축으로부터의 수평 투영 a의 거리와 같습니다.

뭐? = 아아엑스;

2) 포인트 거리 에이투영의 수평면에서 정면 투영의 거리와 같습니다 에이?평면의 교차축에서, 즉

아아 = 아?아엑스.

즉, 다이어그램에 점 자체가 없더라도 두 개의 투영만 사용하여 주어진 점이 각 투영 평면에서 어느 정도 떨어져 있는지 알아낼 수 있습니다.

두 투영 평면의 교차점은 공간을 네 부분으로 나눕니다. 분기별로(그림 6).

평면의 교차축은 수평면을 전면과 후면, 정면 평면의 두 부분으로 위쪽과 아래쪽으로 나눕니다. 정면면의 윗부분과 수평면의 앞쪽 부분이 1/4의 경계로 간주됩니다.

다이어그램을 수신하면 수평면이 회전하여 정면면과 정렬됩니다(그림 7). 이 경우 수평면의 앞부분은 정면면의 아래쪽 부분과 일치하고, 수평면의 뒷부분은 정면면의 위쪽 부분과 일치합니다.

그림 8-11은 공간의 서로 다른 구역에 위치한 지점 A, B, C, D를 보여줍니다. A점은 1쿼터에 위치하며, B포인트는 2쿼터, C포인트는 3쿼터, D포인트는 4쿼터에 위치합니다.

포인트가 1쿼터 또는 4쿼터에 위치한 경우 수평 투영는 수평면의 앞부분에 있고 다이어그램에서 평면의 교차축 아래에 놓이게 됩니다. 점이 두 번째 또는 세 번째 분기에 위치하면 수평 투영은 수평면의 뒤쪽에 놓이고 다이어그램에서는 평면의 교차축 위에 위치하게 됩니다.

정면 투영첫 번째 또는 두 번째 분기에 위치한 점은 정면 평면의 위쪽 부분에 놓이고 다이어그램에서는 평면의 교차 축 위에 위치합니다. 점이 3/4 또는 4/4에 위치하면 정면 투영은 평면의 교차축 아래에 있습니다.

대부분의 경우 실제 건축물에서 그림은 공간의 1/4에 배치됩니다.

일부 특별한 경우에는 점( 이자형)는 수평면에 놓일 수 있습니다(그림 12). 이 경우 수평 투영 e와 점 자체가 일치합니다. 이러한 점의 정면 투영은 평면의 교차 축에 위치합니다.

점의 경우 에게정면 평면에 위치하며(그림 13), 수평 투영 케이평면의 교차축에 위치하며 정면 케이?이 지점의 실제 위치를 보여줍니다.

그러한 점의 경우 투영 평면 중 하나에 있다는 표시는 투영 중 하나가 평면의 교차 축에 있다는 것입니다.

점이 투영 평면의 교차 축에 있으면 해당 점과 두 투영이 일치합니다.

점이 투영 평면 위에 있지 않은 경우 이를 점이라고 합니다. 일반적인 입장의 요점. 다음에서 특별한 표시가 없으면 문제의 점은 일반적인 위치의 점이다.

투영 평면에 수직인 모델의 점 투영을 얻는 방법을 설명하려면(그림 4) 조각을 가져와야 합니다. 두꺼운 종이길쭉한 직사각형 모양으로. 돌출부 사이를 구부려야 합니다. 접힌 선은 평면의 교차 축을 나타냅니다. 그런 다음 구부러진 종이 조각을 다시 펴면 그림에 표시된 것과 유사한 다이어그램을 얻을 수 있습니다.

두 개의 투영 평면을 그리기 평면과 결합하면 접는 선을 표시하지 않을 수 있습니다. 즉, 다이어그램에 평면의 교차 축을 그리지 않을 수 있습니다.

다이어그램을 그릴 때 항상 투영을 배치해야 합니다. 에이그리고 에이?평면의 교차축에 수직인 하나의 수직선(그림 14)에 점 A를 배치합니다. 따라서 평면의 교점의 위치는 불확실하지만 방향은 결정되어 있어도 평면의 교점은 직선에 수직인 도형 위에만 위치할 수 있다. 뭐?.

첫 번째 그림 14a와 같이 점 다이어그램에 투영 축이 없으면 공간에서 이 점의 위치를 ​​상상할 수 있습니다. 이렇게 하려면 직선에 수직인 아무 곳이나 그립니다. 뭐?두 번째 그림(그림 14)과 같이 투영 축을 선택하고 이 축을 따라 그림을 구부립니다. 점에서 수직을 복원하면 에이그리고 에이?교차하기 전에 포인트를 얻을 수 있습니다 에이. 투영 축의 위치를 ​​변경하면 투영 평면을 기준으로 점의 다른 위치가 얻어지지만 투영 축 위치의 불확실성은 영향을 미치지 않습니다. 상대 위치공간의 여러 점이나 도형.

투영의 프로파일 평면을 고려해 봅시다. 두 개의 수직 평면에 투영하면 일반적으로 그림의 위치가 결정되고 실제 크기와 모양을 알아낼 수 있습니다. 그러나 두 가지 예측만으로는 충분하지 않은 경우가 있습니다. 그런 다음 세 번째 투영의 구성이 사용됩니다.

세 번째 투영 평면은 두 투영 평면에 동시에 수직이 되도록 그려집니다(그림 15). 세 번째 평면은 일반적으로 호출됩니다. 윤곽.

이러한 구조에서는 수평면과 정면면의 공통 직선을 호출합니다. 중심선 엑스 , 수평면과 프로파일면의 공통 직선 – 중심선 ~에 , 정면 평면과 프로필 평면의 공통 직선은 다음과 같습니다. 중심선 지 . 점 에 대한세 평면 모두에 속하는 을 원점이라고 합니다.

그림 15a는 요점을 보여줍니다. 에이그리고 그 예측 중 세 가지. 프로파일 평면에 투영( 에이??) 라고 한다 프로필 투영그리고 표시하다 에이??.

세 개의 투영으로 구성된 점 A의 다이어그램을 얻으려면 아, 아, 아, y축을 따라 모든 평면으로 형성된 삼면체를 절단하고(그림 15b) 이 모든 평면을 정면 투영 평면과 결합해야 합니다. 수평면은 축을 기준으로 회전해야 합니다. 엑스, 프로파일 평면은 축을 기준으로 합니다. 지그림 15의 화살표 방향으로

그림 16은 투영 위치를 보여줍니다. 응, 응?그리고 에이??전철기 에이, 세 평면을 모두 도면 평면과 결합하여 얻습니다.

잘라내기의 결과로 y축은 다이어그램의 서로 다른 두 위치에 나타납니다. 수평면(그림 16)에서는 수직 위치(축에 수직)를 취합니다. 엑스) 및 프로파일 평면에서 - 수평(축에 수직) 지).

그림 16에는 세 가지 예측이 있습니다. 응, 응?그리고 에이??점 A는 다이어그램에서 엄격하게 정의된 위치를 가지며 다음과 같은 명확한 조건을 따릅니다.

에이그리고 에이?항상 축에 수직인 동일한 수직선에 위치해야 합니다. 엑스;

에이?그리고 에이??항상 축에 수직인 동일한 수평 직선 위에 위치해야 합니다. 지;

3) 수평투영과 수평직선을 통해 수행할 때, 그리고 프로파일 투영을 통해 수행할 때 에이??– 수직 직선, 구성된 직선은 반드시 투영 축 사이 각도의 이등분선에서 교차합니다. 오아~에 에이 0 에이 n - 정사각형.

한 점의 세 가지 투영을 구성할 때 각 점에 대해 세 가지 조건이 모두 충족되는지 확인해야 합니다.

공간에서 한 점의 위치는 '점'이라는 세 숫자를 사용하여 결정할 수 있습니다. 좌표. 각 좌표는 일부 투영 평면에서 점까지의 거리에 해당합니다.

결정된 지점 거리 에이프로파일 평면에 대한 좌표는 엑스, 하는 동안 엑스 = 응?응(그림 15), 정면면까지의 거리는 좌표 y이고, y = 응?응, 수평면까지의 거리가 좌표입니다. 지, 하는 동안 지 = AA.

그림 15에서 점 A는 직육면체의 너비를 차지하고 이 평행육면체의 측정값은 이 점의 좌표에 해당합니다. 즉, 각 좌표는 그림 15에 4번 표시됩니다. 즉:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = 아야?.

다이어그램(그림 16)에서 x 및 z 좌표는 세 번 나타납니다.

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

좌표에 해당하는 모든 세그먼트 엑스(또는 지)은 서로 평행하다. 동등 어구 ~에수직으로 위치한 축으로 두 번 표현됩니다.

y = Oa y = a x a

두 번 – 수평으로 위치:

y = Oa y = a z a?.

이러한 차이는 다이어그램에서 y축이 두 개의 서로 다른 위치에 존재하기 때문에 나타납니다.

각 투영의 위치는 다이어그램에서 다음 두 좌표에 의해서만 결정된다는 점을 고려해야 합니다.

1) 수평 – 좌표 엑스그리고 ~에,

2) 정면 – 좌표 엑스그리고 지,

3) 프로필 - 좌표 ~에그리고 지.

좌표 사용 엑스, 와이그리고 지를 사용하면 다이어그램에서 점의 투영을 구성할 수 있습니다.

A 지점이 좌표로 주어지면 기록은 다음과 같이 정의됩니다. A ( 엑스; 와이; 지).

점 투영을 구성할 때 에이다음 조건을 확인해야 합니다.

1) 수평 및 정면 투영 에이그리고 에이? 엑스 엑스;

2) 정면 및 프로필 투영 에이?그리고 에이?축에 대해 동일한 수직 위치에 있어야 합니다. 지, 공통 좌표를 가지고 있기 때문에 지;

3) 수평 투영 및 축에서 제거됨 엑스, 프로필 투영과 유사 에이축에서 멀리 지, 예상 이후 아? 그리고 응? 공통 좌표를 가지고 있다 ~에.

점이 투영 평면 중 하나에 있는 경우 해당 좌표 중 하나는 0과 같습니다.

점이 투영 축 위에 있으면 해당 좌표 중 두 개가 0과 같습니다.

점이 원점에 있으면 해당 좌표 세 개가 모두 0입니다.

공간의 한 점은 투영 중 두 개로 정의됩니다. 주어진 두 개의 투영을 기반으로 세 번째 투영을 구성해야 하는 경우 한 점에서 투영 평면까지의 거리를 결정할 때 얻은 투영 통신선 세그먼트의 대응 관계를 사용해야 합니다(그림 2.27 및 그림 2.28 참조). .

첫 번째 옥탄트 문제 해결의 예

주어진 A 1; A 2	빌드 A 3
주어진 A 2; A 3	빌드 A 1
주어진 A 1; A 3	빌드 A 2

점 A를 구성하는 알고리즘을 고려해 보겠습니다(표 2.5).

표 2.5

점 A를 구성하는 알고리즘
주어진 좌표 A에서 ( 엑스 = 5, 와이 = 20, 지 = -9)

다음 장에서는 1분기에만 직선과 평면과 같은 이미지를 고려할 것입니다. 고려된 모든 방법은 어느 분기에나 적용될 수 있습니다.

결론

따라서 G. Monge의 이론을 바탕으로 이미지(점)의 공간적 이미지를 평면적 이미지로 변환하는 것이 가능하다.

이 이론은 다음 조항을 기반으로 합니다.

1. 전체 공간은 두 개의 상호를 사용하여 4개 구역으로 나누어집니다. 수직면 p 1 및 p 2, 또는 서로 수직인 세 번째 평면 p 3을 추가하는 경우 8옥턴트로 표시됩니다.

2. 이러한 평면의 공간 이미지 이미지는 직사각형(직교) 투영을 사용하여 얻습니다.

3. 공간 이미지를 평면 이미지로 변환하기 위해 평면 p 2는 고정되어 있고 평면 p 1은 축을 중심으로 회전한다고 가정합니다. 엑스양의 절반 평면 p 1은 음의 절반 평면 p 2와 결합되고 음의 부분 p 1은 양의 부분 p 2와 결합됩니다.

4. 평면 p 3이 축을 중심으로 회전합니다. 지(평면의 교차선) 평면 p 2와 정렬될 때까지(그림 2.31 참조).

이미지의 직사각형 투영을 통해 p 1, p 2 및 p 3 평면에서 얻은 이미지를 투영이라고 합니다.

평면 p 1, p 2 및 p 3은 그 위에 묘사된 투영과 함께 평면을 형성합니다. 복잡한 그림또는 다이어그램.

이미지의 투영을 축에 연결하는 선 엑스, 와이, 지, 프로젝션 통신 라인이라고합니다.

공간의 이미지를 보다 정확하게 결정하기 위해 서로 수직인 세 개의 평면 p 1, p 2, p 3 시스템을 사용할 수 있습니다.

문제의 조건에 따라 이미지에 대해 p 1, p 2 또는 p 1, p 2, p 3 시스템을 선택할 수 있습니다.

평면 p 1 , p 2 , p 3 시스템은 직교 좌표계에 연결될 수 있으며 이를 통해 객체를 그래픽으로 또는 (언어적으로) 정의할 뿐만 아니라 분석적으로(숫자를 사용하여) 정의할 수도 있습니다.

이미지, 특정 지점을 묘사하는 이 방법을 사용하면 다음과 같은 위치 문제를 해결할 수 있습니다.

• 투영 평면을 기준으로 한 점의 위치( 일반적인 입장, 평면, 축에 속함);
• 분기 내 지점의 위치(포인트가 위치한 분기)
• 서로에 대한 점의 위치(투영 평면과 관찰자에 대해 더 높음, 더 낮음, 더 가까움, 더 멀음)
• 투영 평면을 기준으로 한 점 투영의 위치(등거리, 더 가까움, 더 멀음).

측정 작업:

• 투영 평면으로부터 투영의 등거리;
• 투사면으로부터의 투사 거리 비율(2~3배, 많음, 적음)
• 투영 평면에서 점까지의 거리를 결정합니다(좌표계를 도입할 때).

자기 성찰 질문

1. 평면을 축으로 하는 교선 지?

2. 평면을 축으로 하는 교선 와이?

3. 점의 정면 투영과 프로필 투영 사이의 투영 연결선은 어떻게 위치합니까? 보여주세요.

4. 수평, 정면, 프로필 등 점 투영 위치를 결정하는 좌표는 무엇입니까?

5. 점 F(10; –40; –20)는 어느 분기에 위치합니까? 어느 투영면에서 점 F가 가장 멀리 떨어져 있습니까?

6. 어떤 축으로의 투영 거리가 평면 p 1에서 점까지의 거리를 결정합니까? 이 거리는 점의 어떤 좌표입니까?