방정식의 풀이를 자세히 설명합니다. 온라인 방정식. 이차 방정식의 근

최종 시험 준비 단계에서 고등학생은 "지수 방정식"이라는 주제에 대한 지식을 향상시켜야 합니다. 지난 몇 년간의 경험에 따르면 그러한 작업이 학생들에게 특정 어려움을 초래한다는 것을 나타냅니다. 그러므로 고등학생은 준비 정도에 관계없이 이론을 철저히 숙지하고 공식을 기억하며 방정식을 푸는 원리를 이해해야 합니다. 이러한 유형의 문제에 대처하는 방법을 배운 졸업생은 수학 통합 상태 시험에 합격할 때 높은 점수를 기대할 수 있습니다.

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지침

메모:π는 pi로 쓰여집니다. 제곱근은 sqrt()와 같습니다.

1단계.분수로 구성된 주어진 예를 입력하세요.

2단계.“해결” 버튼을 클릭하세요.

3단계.자세한 결과를 얻으세요.

계산기가 분수를 올바르게 계산하는지 확인하려면 "/" 기호로 구분된 분수를 입력하세요. 예를 들어: . 계산기는 방정식을 계산하고 이 결과가 나온 이유를 그래프에 표시합니다.

분수가 포함된 방정식은 무엇인가요?

분수 방정식은 계수가 분수인 방정식입니다. 분수가 포함된 선형 방정식은 표준 방식에 따라 해결됩니다. 미지수는 한쪽으로, 알려진 방정식은 다른 쪽으로 전달됩니다.

예를 살펴보겠습니다:

미지수가 있는 분수는 왼쪽으로 이동되고, 다른 분수는 오른쪽으로 이동됩니다. 숫자가 등호 너머로 전송되면 숫자의 부호가 반대 방향으로 변경됩니다.

이제 평등의 양쪽 작업만 수행하면 됩니다.

결과는 일반적인 선형 방정식입니다. 이제 변수의 계수로 왼쪽과 오른쪽을 나누어야 합니다.

온라인으로 분수로 방정식 풀기업데이트 날짜: 2018년 10월 7일 작성자: 과학 기사.Ru

8학년 때 이차 방정식을 공부하므로 여기에는 복잡한 것이 없습니다. 이를 해결하는 능력이 반드시 필요합니다.

2차 방정식은 ax 2 + bx + c = 0 형식의 방정식입니다. 여기서 계수 a, b 및 c는 임의의 숫자이고 a ≠ 0입니다.

특정 해법을 연구하기 전에 모든 이차 방정식은 세 가지 클래스로 나눌 수 있다는 점에 유의하세요.

1. 뿌리가 없네;
2. 정확히 하나의 루트를 가집니다.
3. 그들은 두 가지 다른 뿌리를 가지고 있습니다.

이는 근이 항상 존재하고 고유한 이차 방정식과 선형 방정식 간의 중요한 차이점입니다. 방정식에 몇 개의 근이 있는지 확인하는 방법은 무엇입니까? 여기에는 놀라운 일이 있습니다. 판별력이 있는.

판별식

이차 방정식 ax 2 + bx + c = 0이 주어지면 판별식은 단순히 숫자 D = b 2 − 4ac입니다.

이 공식을 외워야 합니다. 그것이 어디서 왔는지는 이제 중요하지 않습니다. 또 다른 중요한 점은 판별식의 부호를 통해 이차 방정식의 근 수를 결정할 수 있다는 것입니다. 즉:

1. 만약 D< 0, корней нет;
2. D = 0이면 정확히 하나의 근이 있습니다.
3. D > 0이면 두 개의 근이 있습니다.

참고 사항: 판별식은 많은 사람들이 믿는 것처럼 루트의 수를 나타내는 것이지 모든 기호를 나타내는 것은 아닙니다. 예제를 살펴보면 모든 것을 스스로 이해할 수 있습니다.

일. 이차 방정식에는 몇 개의 근이 있습니까?

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

첫 번째 방정식의 계수를 작성하고 판별식을 찾아보겠습니다.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

따라서 판별식은 양수이므로 방정식에는 두 개의 다른 근이 있습니다. 비슷한 방식으로 두 번째 방정식을 분석합니다.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

판별식이 음수이고 뿌리가 없습니다. 남은 마지막 방정식은 다음과 같습니다.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

판별식은 0입니다. 근은 1이 됩니다.

각 방정식에 대한 계수가 기록되어 있습니다. 예, 길고, 지루합니다. 하지만 확률을 혼동하거나 어리석은 실수를 저지르지는 않을 것입니다. 속도나 품질 중에서 직접 선택하세요.

그건 그렇고, 익숙해지면 잠시 후에 모든 계수를 적을 필요가 없습니다. 당신은 당신의 머리 속에서 그러한 작업을 수행하게 될 것입니다. 대부분의 사람들은 50~70개의 방정식을 풀고 나서 이 작업을 시작합니다. 일반적으로 그렇게 많지는 않습니다.

이차 방정식의 근

이제 솔루션 자체로 넘어 갑시다. 판별식 D > 0이면 다음 공식을 사용하여 근을 찾을 수 있습니다.

이차 방정식의 근에 대한 기본 공식

D = 0이면 다음 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 답이 되는 동일한 숫자를 얻게 됩니다. 마지막으로 만약 D라면< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

첫 번째 방정식:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자:

두 번째 방정식:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ 방정식에는 다시 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(정렬)\]

마지막으로 세 번째 방정식은 다음과 같습니다.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ 방정식의 근은 1개입니다. 어떤 수식이라도 사용할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 다음과 같습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 모든 것이 매우 간단합니다. 공식을 알고 셀 수 있다면 문제가 없습니다. 대부분의 경우 음수 계수를 공식에 대체할 때 오류가 발생합니다. 여기서도 위에서 설명한 기술이 도움이 될 것입니다. 공식을 문자 그대로 살펴보고 각 단계를 기록하면 곧 실수를 없앨 수 있습니다.

불완전한 이차 방정식

이차 방정식은 정의에 제공된 것과 약간 다릅니다. 예를 들어:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

이 방정식에는 항 중 하나가 누락되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 이차 방정식은 표준 방정식보다 풀기 훨씬 쉽습니다. 판별식을 계산할 필요도 없습니다. 이제 새로운 개념을 소개하겠습니다.

방정식 ax 2 + bx + c = 0은 b = 0 또는 c = 0인 경우 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 즉, 변수 x의 계수 또는 자유 요소는 0과 같습니다.

물론, 이 두 계수가 모두 0일 때 매우 어려운 경우가 가능합니다: b = c = 0. 이 경우 방정식은 ax 2 = 0 형식을 취합니다. 분명히 이러한 방정식에는 단일 근이 있습니다. x = 0.

나머지 경우를 고려해 봅시다. b = 0이라고 하면 ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 2차 방정식을 얻습니다. 이를 조금 변형해 보겠습니다.

산술 제곱근은 음수가 아닌 숫자로만 존재하므로 마지막 동일성은 (−c /a) ≥ 0인 경우에만 의미가 있습니다. 결론:

1. ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 이차 방정식에서 부등식 (−c /a) ≥ 0이 충족되면 두 개의 근이 있게 됩니다. 공식은 위에 나와 있습니다.
2. 만약 (−c /a)< 0, корней нет.

보시다시피 판별식은 필요하지 않습니다. 불완전한 이차 방정식에는 복잡한 계산이 전혀 없습니다. 실제로 부등식 (−c /a) ≥ 0을 기억할 필요조차 없습니다. x 2 값을 표현하고 등호 반대편에 무엇이 있는지 확인하는 것만으로도 충분합니다. 양수가 있으면 두 개의 근이 있습니다. 음수이면 뿌리가 전혀 없습니다.

이제 자유 요소가 0인 ax 2 + bx = 0 형식의 방정식을 살펴보겠습니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 항상 두 개의 뿌리가 있습니다. 다항식을 인수분해하면 충분합니다.

요인 중 하나 이상이 0이면 제품은 0입니다. 이것이 뿌리가 나오는 곳입니다. 결론적으로 다음 방정식 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. 2차 방정식을 푼다:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. 뿌리가 없으니까 정사각형은 음수와 같을 수 없습니다.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

하나의 미지수가 있는 방정식은 괄호를 열고 유사한 용어를 가져온 후 다음 형식을 취합니다.

도끼 + b = 0, 여기서 a와 b는 임의의 숫자라고 합니다. 선형 방정식 알 수 없는 사람과 함께. 오늘 우리는 이러한 선형 방정식을 푸는 방법을 알아 보겠습니다.

예를 들어 모든 방정식은 다음과 같습니다.

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - 선형.

방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 미지수의 값을 다음과 같이 부릅니다. 결정 또는 방정식의 근본 .

예를 들어 방정식 3x + 7 = 13에서 알 수 없는 x 대신 숫자 2를 대체하면 올바른 평등 3 2 +7 = 13을 얻습니다. 이는 x = 2 값이 해 또는 근임을 의미합니다. 방정식의.

그리고 x = 3 값은 3x + 7 = 13 방정식을 진정한 동등성으로 바꾸지 않습니다. 왜냐하면 3 2 +7 ≠ 13이기 때문입니다. 이는 x = 3 값이 방정식의 해나 근이 아니라는 것을 의미합니다.

선형 방정식을 푸는 것은 다음 형식의 방정식을 푸는 것으로 줄어듭니다.

도끼 + b = 0.

방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 자유 항을 이동하고 b 앞의 기호를 반대쪽으로 변경해 보겠습니다.

a ≠ 0이면 x = − b/a .

예시 1. 방정식 3x + 2 =11을 푼다.

2를 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하고 2 앞의 기호를 반대쪽으로 바꾸면 다음을 얻습니다.
3x = 11 – 2.

그럼 뺄셈을 해보자
3x = 9.

x를 찾으려면 제품을 알려진 요소로 나누어야 합니다.
x = 9:3.

이는 x = 3 값이 방정식의 해 또는 근이라는 것을 의미합니다.

답: x = 3.

a = 0이고 b = 0인 경우, 그러면 방정식 0x = 0을 얻습니다. 이 방정식에는 무한히 많은 해가 있습니다. 숫자에 0을 곱하면 0이 되지만 b도 0과 같기 때문입니다. 이 방정식의 해는 임의의 숫자입니다.

예시 2.방정식 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x − 1을 풉니다.

대괄호를 확장해 보겠습니다.
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x – 1.

5x – 3x – 2x = – 12 – 1 + 15 – 2.

다음은 유사한 용어입니다.
0x = 0.

답: x - 임의의 숫자.

a = 0이고 b ≠ 0인 경우, 그러면 방정식 0x = - b를 얻습니다. 이 방정식에는 해가 없습니다. 숫자에 0을 곱하면 0이 되지만 b ≠ 0이 되기 때문입니다.

예시 3.방정식 x + 8 = x + 5를 풉니다.

왼쪽에는 알려지지 않은 용어가 포함된 용어를, 오른쪽에는 자유 용어가 포함된 용어를 그룹화해 보겠습니다.
x – x = 5 – 8.

다음은 유사한 용어입니다.
0х = ‐ 3.

답변: 해결책이 없습니다.

~에 그림 1 선형 방정식을 풀기 위한 다이어그램을 보여줍니다.

하나의 변수를 사용하여 방정식을 풀기 위한 일반적인 계획을 작성해 보겠습니다. 예제 4의 솔루션을 고려해 보겠습니다.

예시 4. 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

1) 방정식의 모든 항에 분모의 최소공배수(12)를 곱합니다.

2) 감소 후에 우리는 얻는다
4(x – 4) + 3 2(x + 1) − 12 = 6 5(x – 3) + 24x – 2(11x + 43)

3) 알려지지 않은 용어와 자유 용어가 포함된 용어를 구분하려면 괄호를 엽니다.
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) 한 부분에는 알려지지 않은 용어를 포함하고 다른 부분에는 자유 용어를 그룹화합니다.
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‐ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.
- 22x = - 154.

6) – 22로 나누면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
x = 7.

보시다시피 방정식의 근은 7입니다.

일반적으로 그런 방정식은 다음 구성표를 사용하여 풀 수 있습니다:

a) 방정식을 정수 형태로 만듭니다.

b) 괄호를 엽니다.

c) 방정식의 한 부분에는 미지수를 포함하는 항을 그룹화하고 다른 부분에는 자유 항을 그룹화합니다.

d) 유사한 회원을 데려옵니다.

e) 유사한 항을 가져온 후 얻은 aх = b 형식의 방정식을 푼다.

그러나 이 방식이 모든 방정식에 필요한 것은 아닙니다. 많은 간단한 방정식을 풀 때는 첫 번째 방정식부터 시작하지 않고 두 번째 방정식부터 시작해야 합니다( 예. 2), 세 번째 ( 예. 1, 3) 그리고 예 5에서와 같이 다섯 번째 단계에서도 가능합니다.

실시예 5.방정식 2x = 1/4을 푼다.

미지의 x = 1/4: 2를 구하고,
엑스 = 1/8 .

주 상태 시험에서 발견된 몇 가지 선형 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

실시예 6.방정식 2 (x + 3) = 5 – 6x를 푼다.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

답: - 0.125

실시예 7.방정식 – 6(5 – 3x) = 8x – 7을 풉니다.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

답: 2.3

실시예 8. 방정식을 풀어보세요

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

실시예 9. f(x + 2) = 3 7이면 f(6)을 구하세요.

해결책

f(6)을 찾아야 하고 f(x + 2)를 알고 있으므로,
그러면 x + 2 = 6입니다.

우리는 선형 방정식 x + 2 = 6을 풀었습니다.
우리는 x = 6 – 2, x = 4를 얻습니다.

x = 4이면
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

답: 27.

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