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독립적인 솔루션을 위한 복잡한 함수 예제의 파생입니다. 함수의 파생물입니다. 거듭제곱 지수 함수의 파생

여기 오셨으니 아마 교과서에서 이미 이 공식을 보셨을 겁니다.

그리고 다음과 같은 표정을 짓습니다.

친구여, 걱정하지 마세요! 사실 모든 것이 터무니없습니다. 당신은 확실히 모든 것을 이해할 것입니다. 요청 하나만 부탁드립니다. 기사를 읽어보세요. 시간을 내서, 모든 단계를 이해하려고 노력하십시오. 최대한 간단하고 명확하게 썼지만 여전히 아이디어를 이해해야 합니다. 그리고 기사의 작업을 반드시 해결하십시오.

복잡한 기능이란 무엇입니까?

당신이 다른 아파트로 이사해서 물건을 큰 상자에 담는다고 상상해 보세요. 예를 들어, 학교 글쓰기 자료와 같은 몇 가지 작은 품목을 수집해야 한다고 가정해 보겠습니다. 그냥 큰 상자에 넣으면 다른 것들 중에서 길을 잃을 것입니다. 이를 방지하려면 먼저 가방에 넣은 다음 큰 상자에 넣은 다음 밀봉합니다. 이 "가장 복잡한" 프로세스는 아래 다이어그램에 나와 있습니다.

수학이 그것과 무슨 관련이 있는 것 같나요? 예, 복잡한 기능이 정확히 동일한 방식으로 형성된다는 사실에도 불구하고! 우리는 노트와 펜이 아닌 \(x\)를 "포장"하지만 "패키지"와 "상자"는 다릅니다.

예를 들어, x를 가져와서 함수로 "패킹"해 보겠습니다.

결과적으로 우리는 물론 \(\cos⁡x\)를 얻습니다. 이것은 우리의 "물건 가방"입니다. 이제 이를 "상자"에 넣어 보겠습니다. 예를 들어 3차 함수로 압축합니다.

결국에는 무슨 일이 일어날까요? 예, 맞습니다. "상자 안에 물건이 담긴 가방", 즉 "X 큐브의 코사인"이 있을 것입니다.

결과적인 디자인은 복잡한 기능입니다. 단순한 것과는 다르다는 점에서 여러 개의 "영향"(패키지)이 하나의 X에 연속으로 적용됩니다.그리고 그것은 "기능의 기능"- "포장 내의 포장"인 것처럼 밝혀졌습니다.

학교 과정에는 이러한 "패키지" 유형이 거의 없으며 다음 네 가지 유형만 있습니다.

이제 X를 먼저 밑이 7인 지수 함수로 "압축"한 다음 삼각 함수로 "압축"해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

이제 x를 삼각함수로 두 번 "포장"해 보겠습니다.

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

간단하죠?

이제 함수를 직접 작성해 보세요. 여기서 x는 다음과 같습니다.
- 먼저 코사인으로 "패킹"된 다음 \(3\)을 밑으로 하는 지수 함수로 "패킹"됩니다.
- 먼저 5제곱한 다음 접선으로;
- 먼저 밑수 \(4\)에 대한 로그 , \(-2\)의 거듭제곱입니다.

기사 끝부분에서 이 작업에 대한 답을 찾아보세요.

X를 두 번이 아니라 세 번 "포장"할 수 있나요? 예, 문제 없습니다! 그리고 네 번, 다섯 번, 스물다섯 번. 예를 들어, 다음은 x가 \(4\)번 "패킹"되는 함수입니다.

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

그러나 그러한 공식은 학교 실습에서는 찾을 수 없습니다(학생들은 운이 더 좋습니다. 학생들의 공식은 더 복잡할 수 있습니다☺).

복잡한 기능을 "풀기"

이전 함수를 다시 살펴보세요. "포장" 순서를 알아낼 수 있나요? X가 처음에 무엇을 넣었는지, 그 다음에는 무엇을 넣었는지 등을 마지막까지 계속합니다. 즉, 어떤 함수가 어느 함수 내에 중첩되어 있습니까? 종이 한 장을 가지고 당신의 생각을 적어보세요. 위에서 쓴 것처럼 화살표가 있는 체인을 사용하거나 다른 방법으로 이 작업을 수행할 수 있습니다.

이제 정답은 다음과 같습니다. 먼저 x는 \(4\)제곱으로 "패킹"되었고, 그 다음 결과는 사인으로 압축되었으며, 차례로 밑수 \(2\)에 대한 로그에 배치되었습니다. , 그리고 결국 이 전체 구조는 5승에 밀려났습니다.

즉, 시퀀스를 역순으로 해제해야 합니다. 더 쉽게 하는 방법에 대한 힌트는 다음과 같습니다. 즉시 X를 보세요. X에서 춤을 춰야 합니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예를 들어 다음 함수는 다음과 같습니다: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). 우리는 X를 봅니다. 먼저 X는 어떻게 되나요? 그에게서 가져온 것입니다. 그런 다음? 결과의 탄젠트가 사용됩니다. 순서는 동일합니다.

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

또 다른 예: \(y=\cos⁡((x^3))\). 분석해 보겠습니다. 먼저 X를 세제곱한 다음 결과의 코사인을 가져왔습니다. 즉, 순서는 \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\)가 됩니다. 주의하세요. 이 기능은 첫 번째 기능(그림이 있는 경우)과 유사한 것 같습니다. 그러나 이것은 완전히 다른 함수입니다. 여기 큐브에는 x(즉, \(\cos⁡((x·x·x)))\)가 있고 큐브에는 코사인 \(x\)( 즉, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\))입니다. 이러한 차이는 다양한 "패킹" 순서로 인해 발생합니다.

마지막 예(중요한 정보 포함): \(y=\sin⁡((2x+5))\). 여기서는 먼저 x로 산술 연산을 수행한 다음 결과에서 사인을 취했다는 것이 분명합니다: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). 그리고 이것은 중요한 점입니다. 산술 연산이 그 자체로는 함수가 아니라는 사실에도 불구하고 여기서는 산술 연산이 "패킹" 방식으로 작동하기도 합니다. 이 미묘함을 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

위에서 말했듯이, 간단한 함수에서는 x가 한 번 "패킹"되고, 복잡한 함수에서는 두 개 이상이 "패킹"됩니다. 게다가 단순 함수(즉, 합, 차이, 곱셈, 나눗셈)의 조합도 단순 함수입니다. 예를 들어 \(x^7\)은 간단한 함수이고 \(ctg x\)도 마찬가지입니다. 이는 모든 조합이 간단한 기능임을 의미합니다.

\(x^7+ ctg x\) - 간단합니다.
\(x^7· cot x\) – 간단합니다.
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – 단순 등

그러나 이러한 조합에 하나 이상의 기능이 적용되면 두 개의 "패키지"가 발생하므로 복잡한 기능이 됩니다. 다이어그램 참조:

좋아요, 지금 진행하세요. "래핑" 함수의 시퀀스를 작성합니다.
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
답변은 기사 마지막 부분에 다시 나와 있습니다.

내부 및 외부 기능

함수 중첩을 이해해야 하는 이유는 무엇입니까? 이것이 우리에게 무엇을 제공합니까? 사실 그러한 분석 없이는 위에서 논의한 함수의 도함수를 안정적으로 찾을 수 없습니다.

계속 진행하려면 내부 기능과 외부 기능이라는 두 가지 개념이 더 필요합니다. 이것은 매우 간단한 일이며 실제로 위에서 이미 분석했습니다. 맨 처음의 비유를 기억한다면 내부 기능은 "패키지"이고 외부 기능은 "상자"입니다. 저것들. X가 처음에 "래핑"된 것은 내부 함수이고, 내부 함수가 "래핑"된 것은 이미 외부입니다. 글쎄, 그 이유는 분명합니다. 그녀는 외부에 있습니다. 즉 외부에 있다는 의미입니다.

이 예에서: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), 함수 \(\log_2⁡x\)는 내부이며
- 외부.

그리고 여기서: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\)은 내부이고,
- 외부.

복잡한 함수를 분석하는 마지막 연습을 완료하고 마침내 우리 모두가 시작한 목적으로 넘어 갑시다. 우리는 복잡한 함수의 파생물을 찾을 것입니다:

표의 빈칸을 채우세요:

복잡한 함수의 파생

브라보, 우리는 마침내 이 주제의 "보스"에 도달했습니다. 사실, 복잡한 함수의 파생물, 특히 기사 시작 부분의 매우 끔찍한 공식에 도달했습니다.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

이 수식은 다음과 같습니다.

복소 함수의 미분은 일정한 내부 함수에 대한 외부 함수의 미분과 내부 함수의 미분의 곱과 같습니다.

그리고 즉시 "단어별" 구문 분석 다이어그램을 보고 무엇이 무엇인지 이해하세요.

파생상품, 제품이라는 용어로 인해 어려움을 겪지 않았으면 좋겠습니다. "복잡한 기능" - 우리는 이미 그것을 정리했습니다. 문제는 "일정한 내부 기능에 대한 외부 기능의 파생"에 있습니다. 그것은 무엇입니까?

대답: 이것은 외부 기능만 변경되고 내부 기능은 동일하게 유지되는 외부 기능의 일반적인 파생물입니다. 아직도 명확하지 않습니까? 좋습니다. 예를 들어보겠습니다.

\(y=\sin⁡(x^3)\) 함수를 생각해 봅시다. 여기서 내부 함수는 \(x^3\)이고 외부 함수는 분명합니다.
. 이제 일정한 내부에 대한 외부의 미분을 찾아보겠습니다.

예비 포병 준비 후에는 3-4-5 기능 중첩이 있는 예가 덜 무섭습니다. 다음 두 가지 예는 일부 사람들에게는 복잡해 보일 수 있지만, 이를 이해하면(누군가는 어려움을 겪을 것입니다) 미분학의 다른 거의 모든 것이 어린이의 농담처럼 보일 것입니다.

실시예 2

함수의 도함수 찾기

이미 언급한 바와 같이, 복잡한 함수의 미분을 찾을 때, 우선 다음이 필요합니다. 오른쪽귀하의 투자를 이해하십시오. 의심스러운 경우 유용한 기술을 상기시켜 드립니다. 예를 들어 "x"의 실험적 값을 사용하여 (정신적으로 또는 초안에서) 이 값을 "끔찍한 표현"으로 대체해 봅니다.

1) 먼저 표현식을 계산해야 합니다. 즉, 합계가 가장 깊은 임베딩임을 의미합니다.

2) 그런 다음 로그를 계산해야 합니다.

4) 그런 다음 코사인을 큐브로 만듭니다.

5) 다섯 번째 단계에서 차이점은 다음과 같습니다.

6) 그리고 마지막으로 가장 바깥쪽 함수는 제곱근입니다.

복소 함수를 미분하는 공식 가장 바깥쪽 함수부터 가장 안쪽 함수까지 역순으로 적용됩니다. 우리는 다음을 결정합니다:

오류가 없는 것 같습니다.

1) 제곱근의 미분을 구합니다.

2) 규칙을 사용하여 차이의 미분을 구합니다.

3) 트리플의 미분은 0입니다. 두 번째 항에서는 차수(큐브)의 미분을 취합니다.

4) 코사인의 미분을 구합니다.

6) 그리고 마지막으로 가장 깊은 임베딩의 미분을 취합니다.

너무 어려워 보일 수도 있지만 이것이 가장 잔인한 예는 아닙니다. 예를 들어 Kuznetsov의 컬렉션을 살펴보면 분석된 파생 상품의 모든 아름다움과 단순함에 감사하게 될 것입니다. 나는 학생들이 복잡한 함수의 도함수를 찾는 방법을 이해하고 있는지 또는 이해하지 못하는지 확인하기 위해 시험에서 비슷한 것을 제공하는 것을 좋아한다는 것을 알았습니다.

다음 예는 여러분이 직접 해결해 볼 수 있는 예입니다.

실시예 3

함수의 도함수 찾기

힌트: 먼저 선형성 규칙과 제품 차별화 규칙을 적용합니다.

강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

이제 더 작고 멋진 것으로 옮겨갈 시간입니다.
두 가지가 아닌 세 가지 기능의 곱을 보여주는 예가 흔합니다. 세 가지 요인의 곱의 파생물을 찾는 방법은 무엇입니까?

실시예 4

함수의 도함수 찾기

먼저, 세 가지 함수의 곱을 두 가지 함수의 곱으로 바꾸는 것이 가능한지 살펴보겠습니다. 예를 들어, 곱에 두 개의 다항식이 있는 경우 대괄호를 열 수 있습니다. 그러나 고려중인 예에서는 차수, 지수 및 로그 등 모든 함수가 다릅니다.

그러한 경우에는 필요합니다. 순차적으로제품차별화 법칙을 적용하다 두 배

요령은 "y"로 두 함수의 곱을 나타내고 "ve"로 로그를 나타내는 것입니다. 왜 이것이 가능합니까? 정말인가요? - 이것은 두 요소의 곱이 아니며 규칙이 작동하지 않습니까?! 복잡한 것은 없습니다.

이제 규칙을 두 번째로 적용해야 합니다. 브래킷으로:

뒤틀려 괄호 안에 무언가를 넣을 수도 있지만, 이 경우 답을 정확히 이 형식으로 남겨 두는 것이 더 낫습니다. 확인하기가 더 쉬울 것입니다.

고려된 예는 두 번째 방법으로 해결할 수 있습니다.

두 솔루션 모두 완전히 동일합니다.

실시예 5

함수의 도함수 찾기

이는 독립적인 솔루션의 예입니다. 샘플에서는 첫 번째 방법을 사용하여 해결됩니다.

분수를 사용하여 유사한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 6

함수의 도함수 찾기

여기로 갈 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다:

또는 다음과 같습니다:

그러나 먼저 몫의 미분 규칙을 사용하면 해법이 더 간결하게 작성될 것입니다. , 전체 분자에 대해 다음을 수행합니다.

원칙적으로 예제는 해결되었으며, 그대로 놔두면 오류가 발생하지 않습니다. 하지만 시간이 있다면 항상 초안을 확인하여 답변을 단순화할 수 있는지 확인하는 것이 좋습니다.

분자의 표현을 공통분모로 줄여서 분수의 3층 구조를 없애자:

추가 단순화의 단점은 파생어를 찾을 때가 아니라 평범한 학교 변형 중에 실수를 할 위험이 있다는 것입니다. 반면에 교사는 종종 과제를 거부하고 파생어를 "마음에 가져오도록" 요청합니다.

스스로 해결할 수 있는 간단한 예:

실시예 7

함수의 도함수 찾기

우리는 도함수를 찾는 방법을 계속해서 익혔으며 이제 미분을 위해 "끔찍한" 로그가 제안되는 전형적인 사례를 고려할 것입니다.

만약에 g(엑스) 그리고 에프(유) – 각 지점에서 인수의 미분 가능한 함수 엑스그리고 유= g(엑스), 그러면 복소 함수도 이 점에서 미분 가능합니다. 엑스그리고 공식으로 구합니다

미분 문제를 풀 때 흔히 저지르는 실수는 단순한 함수를 복잡한 함수로 미분하는 규칙을 기계적으로 전달하는 것입니다. 이런 실수를 피하는 법을 배우자.

예시 2.함수의 도함수 찾기

잘못된 해결책:괄호 안의 각 항의 자연 로그를 계산하고 도함수의 합을 찾습니다.

올바른 해결책:다시 우리는 "사과"가 어디에 있고 "다진 고기"가 어디에 있는지 결정합니다. 여기서 괄호 안의 표현의 자연 로그는 "사과", 즉 중간 인수에 대한 함수입니다. 유, 그리고 괄호 안의 표현은 "다진 고기", 즉 중간 논증입니다 유독립변수별 엑스.

그런 다음 (미분표의 공식 14를 사용하여)

많은 실생활 문제에서 로그를 사용한 표현은 다소 복잡할 수 있으므로 교훈이 있습니다.

예시 3.함수의 도함수 찾기

잘못된 해결책:

올바른 결정입니다.다시 한번 우리는 "사과"가 어디에 있고 "민스미트"가 어디에 있는지 결정합니다. 여기서 괄호 안의 표현 (미분 표의 수식 7)의 코사인은 "사과"이며 모드 1에서 준비되어 그것에게만 영향을 미치고 괄호 안의 표현 (도수의 미분은 숫자 3입니다) 파생 상품 표에서)는 "다진 고기"이며 모드 2에 따라 준비되며 해당 고기에만 영향을 미칩니다. 그리고 언제나 그렇듯, 우리는 두 개의 파생 상품을 제품 기호와 연결합니다. 결과:

복소수 로그 함수의 미분은 테스트에서 자주 수행되는 작업이므로 "로그 함수의 미분" 단원에 참석하는 것이 좋습니다.

첫 번째 예는 독립 변수에 대한 중간 인수가 간단한 함수인 복잡한 함수에 관한 것입니다. 그러나 실제 작업에서는 중간 인수가 그 자체로 복소 함수이거나 그러한 함수를 포함하는 복소 함수의 도함수를 찾는 것이 필요한 경우가 많습니다. 그러한 경우에는 어떻게 해야 합니까? 테이블과 미분 규칙을 사용하여 이러한 함수의 도함수를 찾습니다. 중간 논증의 파생어를 찾으면 공식의 올바른 위치에 간단히 대체됩니다. 다음은 이를 수행하는 방법에 대한 두 가지 예입니다.

또한 다음 사항을 알아두면 유용합니다. 복잡한 함수가 세 가지 함수의 체인으로 표현될 수 있는 경우

그런 다음 그 파생물은 다음 각 함수의 파생물의 곱으로 찾아야 합니다.

많은 숙제를 하려면 가이드를 새 창에서 열어야 할 수도 있습니다. 힘과 뿌리가 있는 행동그리고 분수 연산 .

예시 4.함수의 도함수 찾기

우리는 파생 상품의 결과에 독립 변수에 대한 중간 논증이 있다는 것을 잊지 않고 복잡한 함수의 미분 규칙을 적용합니다. 엑스변경되지 않습니다:

우리는 곱의 두 번째 요소를 준비하고 합계를 차별화하는 규칙을 적용합니다.

두 번째 항은 근이므로

따라서 우리는 합인 중간 논증이 용어 중 하나로 복소 함수를 포함한다는 것을 발견했습니다. 거듭제곱하는 것은 복소 함수이고, 거듭제곱되는 것은 독립 논증에 관한 중간 논증입니다. 변하기 쉬운 엑스.

따라서 우리는 복소 함수를 미분하는 규칙을 다시 적용합니다.

첫 번째 요소의 차수를 근으로 변환하고, 두 번째 요소를 미분할 때 상수의 도함수는 0과 같다는 점을 잊지 마세요.

이제 문제 설명에 필요한 복잡한 함수의 도함수를 계산하는 데 필요한 중간 인수의 도함수를 찾을 수 있습니다. 와이:

실시예 5.함수의 도함수 찾기

먼저, 합계를 미분하는 규칙을 사용합니다.

우리는 두 개의 복소 함수의 도함수의 합을 얻었습니다. 첫 번째 것을 찾아보자:

여기서 사인을 거듭제곱하는 것은 복잡한 함수이며 사인 자체가 독립변수에 대한 중간 인수가 됩니다. 엑스. 그러므로 우리는 복소함수 미분의 법칙을 이용하게 될 것이다. 괄호에서 인수 빼기 :

이제 우리는 함수 도함수의 두 번째 항을 찾습니다. 와이:

여기서 코사인을 거듭제곱하는 것은 복잡한 함수입니다. 에프, 코사인 자체는 독립 변수의 중간 인수입니다. 엑스. 복잡한 함수를 미분하는 규칙을 다시 사용해 보겠습니다.

결과는 필요한 파생물입니다.

일부 복잡한 함수의 파생물 표

복소 함수의 경우 복소 함수의 미분 규칙에 따라 단순 함수의 미분 공식은 다른 형식을 취합니다.

1. 복잡한 거듭제곱 함수를 파생합니다. 여기서 유 엑스
2. 표현의 어근의 파생어
3. 지수 함수의 파생
4. 지수함수의 특수한 경우
5. 임의의 양의 밑을 갖는 로그 함수의 파생 에이
6. 복소 로그 함수의 파생, 여기서 유– 인수의 미분 함수 엑스
7. 사인의 미분
8. 코사인의 미분
9. 탄젠트의 미분
10. 코탄젠트의 미분
11. 아크사인의 파생물
12. 아크코사인의 파생물
13. 아크탄젠트의 미분
14. 아크코탄젠트의 미분

도함수를 구하는 작업을 미분이라고 합니다.

도함수를 인수 증분에 대한 증분 비율의 극한으로 정의하여 가장 단순한(매우 단순하지 않은) 함수의 도함수를 찾는 문제를 해결한 결과, 도함수 표와 정확하게 정의된 미분 규칙이 나타났습니다. . 파생 상품을 찾는 분야에서 처음으로 작업한 사람은 Isaac Newton(1643-1727)과 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)입니다.

따라서 우리 시대에는 함수의 도함수를 찾으려면 위에서 언급한 함수 증가 대 인수 증가 비율의 한계를 계산할 필요가 없으며 다음 표만 사용하면 됩니다. 파생 상품과 차별화의 규칙. 다음 알고리즘은 도함수를 찾는 데 적합합니다.

파생상품을 찾으려면, 프라임 기호 아래에 표현식이 필요합니다 간단한 기능을 구성 요소로 분해어떤 행동을 할지 결정하고 (곱, 합계, 몫)이러한 기능은 관련되어 있습니다. 다음으로, 미분 규칙에서 미분 표에서 기본 함수의 미분을 찾고, 곱, 합계 및 몫의 미분에 대한 공식을 찾습니다. 도함수 테이블과 미분 규칙은 처음 두 예제 다음에 제공됩니다.

예시 1.함수의 도함수 찾기

해결책. 미분의 규칙으로부터 우리는 함수 합의 도함수가 함수 도함수의 합이라는 것을 알 수 있습니다.

도함수 표에서 우리는 "X"의 도함수는 1과 같고 사인의 도함수는 코사인과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이 값을 파생 상품의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 파생 상품을 찾습니다.

예시 2.함수의 도함수 찾기

해결책. 두 번째 항이 상수 인자를 갖는 합의 도함수로 미분하면 도함수의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

무언가가 어디서 왔는지에 대한 의문이 계속 발생하는 경우 일반적으로 미분 표와 가장 간단한 미분 규칙을 숙지한 후에 문제가 해결됩니다. 우리는 지금 그들에게 나아가고 있습니다.

단순 함수의 미분 표

1. 상수(숫자)의 파생물입니다. 함수 표현식에 있는 임의의 숫자(1, 2, 5, 200...)입니다. 항상 0과 같습니다. 매우 자주 요구되기 때문에 기억하는 것이 매우 중요합니다.
2. 독립변수의 파생물. 대부분 "X"입니다. 항상 1과 같습니다. 오래 기억하는 것도 중요해요
3. 학위 파생. 문제를 풀 때는 비제곱근을 거듭제곱으로 변환해야 합니다.
4. 변수의 거듭제곱 -1 미분
5. 제곱근의 미분
6. 사인의 미분
7. 코사인의 미분
8. 탄젠트의 미분
9. 코탄젠트의 미분
10. 아크사인의 미분
11. 아크코사인의 파생물
12. 아크탄젠트의 미분
13. 아크코탄젠트의 미분
14. 자연로그의 미분
15. 로그 함수의 파생
16. 지수의 미분
17. 지수 함수의 파생

차별화 규칙

1. 합이나 차이의 파생
2. 제품의 파생물
2a. 상수 인자를 곱한 표현식의 파생
3. 몫의 미분
4. 복잡한 함수의 파생

규칙 1.기능의 경우

어떤 점에서 미분 가능하면, 같은 점에서 함수도 미분 가능합니다.

그리고

저것들. 함수의 대수적 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 대수적 합과 같습니다.

결과. 두 개의 미분 가능한 함수가 상수항만큼 다른 경우, 그 도함수는 동일합니다., 즉.

규칙 2.기능의 경우

어느 시점에서 미분 가능하면 해당 제품도 같은 시점에서 미분 가능합니다.

그리고

저것들. 두 함수의 곱의 도함수는 각 함수의 곱과 다른 함수의 도함수의 합과 같습니다.

결과 1. 상수 인자는 도함수의 부호에서 빼낼 수 있습니다.:

결과 2. 여러 미분 가능한 함수의 곱의 도함수는 각 요소와 다른 모든 요소의 도함수 곱의 합과 같습니다.

예를 들어 세 개의 승수의 경우:

규칙 3.기능의 경우

어느 시점에서는 구별 가능 그리고 , 그러면 이 시점에서 그들의 몫도 미분 가능합니다.u/v 및

저것들. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같으며, 그 분자는 분모의 곱과 분자의 도함수, 분자와 분모의 도함수의 차이이고 분모는 다음의 제곱입니다. 이전 분자.

다른 페이지의 내용을 찾을 수 있는 곳

실제 문제에서 곱의 도함수와 몫을 찾을 때 항상 여러 미분 규칙을 동시에 적용해야 하므로 이 기사에는 이러한 도함수에 대한 더 많은 예가 있습니다."제품의 파생물과 기능의 몫".

논평.상수(즉, 숫자)를 합계의 항과 상수 요소로 혼동해서는 안 됩니다! 항의 경우 미분은 0과 같고 상수 요소의 경우 미분의 부호에서 제거됩니다. 이는 도함수를 공부하는 초기 단계에서 흔히 발생하는 실수이지만, 일반 학생이 1부, 2부 예제를 여러 개 풀면서 더 이상 이런 실수를 저지르지 않습니다.

그리고 곱이나 몫을 구별할 때 용어가 있는 경우 유"다섯, 어느 유- 예를 들어 2 또는 5와 같은 숫자, 즉 상수인 경우 이 숫자의 미분은 0과 같으므로 전체 항은 0과 같습니다(이 경우는 예 10에서 논의됨).

또 다른 일반적인 실수는 복잡한 함수의 도함수를 간단한 함수의 도함수로 기계적으로 해결하는 것입니다. 그렇기 때문에 복잡한 함수의 파생물별도의 기사가 제공됩니다. 하지만 먼저 간단한 함수의 파생어를 찾는 방법을 배웁니다.

그 과정에서 표현을 바꾸지 않고는 할 수 없습니다. 이렇게 하려면 새 창에서 설명서를 열어야 할 수도 있습니다. 힘과 뿌리가 있는 행동그리고 분수 연산 .

거듭제곱과 근이 있는 분수의 도함수에 대한 해를 찾고 있다면, 즉 함수가 다음과 같을 때입니다. , 그런 다음 "제곱과 근이 있는 분수의 합 도함수" 수업을 따르세요.

다음과 같은 작업이 있는 경우 , 그런 다음 "단순 삼각 함수의 파생" 수업을 듣게 됩니다.

단계별 예 - 파생 상품을 찾는 방법

예시 3.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 함수 표현식의 일부를 정의합니다. 전체 표현식은 곱을 나타내고 그 요소는 합계이며 두 번째 용어 중 하나는 상수 요소를 포함합니다. 우리는 곱 차별화 규칙을 적용합니다. 두 함수의 곱의 도함수는 각 함수의 곱을 다른 함수의 도함수로 합한 것과 같습니다.

다음으로, 합의 미분 규칙을 적용합니다. 함수의 대수적 합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수적 합과 같습니다. 우리의 경우 각 합계에서 두 번째 항에는 빼기 기호가 있습니다. 각 합계에서 우리는 미분 값이 1인 독립 변수와 미분 값이 0인 상수(숫자)를 모두 볼 수 있습니다. 따라서 "X"는 1이 되고, -5는 0이 됩니다. 두 번째 표현식에서는 "x"에 2를 곱하므로 "x"의 도함수와 동일한 단위를 2에 곱합니다. 우리는 다음과 같은 파생 값을 얻습니다.

우리는 발견된 도함수를 곱의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 전체 함수의 도함수를 얻습니다.

그리고 미분문제의 해법은 에서 확인하실 수 있습니다.

예시 4.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 몫의 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 몫을 구별하기 위한 공식을 적용합니다. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같으며, 그 분자는 분모의 곱과 분자의 도함수, 분자의 도함수의 차이입니다. 분모는 이전 분자의 제곱이 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 이미 예제 2에서 분자에 있는 인수의 도함수를 찾았습니다. 또한 현재 예제에서 분자의 두 번째 인수인 곱이 빼기 기호와 함께 사용된다는 점을 잊지 마십시오.

예를 들어, 근과 거듭제곱이 연속적으로 쌓여 있는 함수의 도함수를 찾아야 하는 문제에 대한 해결책을 찾고 있다면 다음과 같습니다. , 그럼 수업에 오신 것을 환영합니다 "제곱과 근이 있는 분수의 합의 미분" .

사인, 코사인, 탄젠트 및 기타 삼각 함수의 미분, 즉 함수가 다음과 같은 경우에 대해 더 자세히 알아야 하는 경우 , 그럼 당신을 위한 교훈 "간단한 삼각 함수의 파생" .

실시예 5.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 요소 중 하나가 독립 변수의 제곱근인 제품을 볼 수 있으며, 그 파생 상품은 파생 상품 표에서 우리에게 익숙합니다. 곱을 구별하는 규칙과 제곱근 도함수의 표 값을 사용하여 다음을 얻습니다.

미분 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 파생상품 계산기 .

실시예 6.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 배당금이 독립 변수의 제곱근인 몫을 볼 수 있습니다. 예제 4에서 반복하고 적용한 몫의 미분 규칙과 제곱근 도함수의 표 값을 사용하여 다음을 얻습니다.

분자에서 분수를 제거하려면 분자와 분모에 를 곱하세요.

"오래된" 교과서에서는 "체인" 규칙이라고도 합니다. 그렇다면 y = f(u), u = ψ(x) 즉,

y = f(ψ(x))

복합 - 복합 함수(함수의 구성) 다음

어디 , 계산을 고려한 후 u = ψ(x).

여기서는 동일한 기능에서 "다른" 구성을 취했고, 차별화 결과는 자연스럽게 "혼합" 순서에 따라 달라지는 것으로 나타났습니다.

체인 규칙은 자연스럽게 세 개 이상의 기능으로 구성된 구성으로 확장됩니다. 이 경우 파생 상품을 구성하는 "체인"에는 3개 이상의 "링크"가 있게 됩니다. 다음은 곱셈에 대한 비유입니다. 파생상품 표가 "있습니다". "거기" - 구구단; "with us"는 연쇄 규칙이고 "There"는 "열" 곱셈 규칙입니다. 이러한 "복잡한" 파생어를 계산할 때 보조 인수(u¸v 등)는 물론 도입되지 않지만 구성에 관련된 함수의 수와 순서를 스스로 언급한 후 해당 링크가 "연결"됩니다. 표시된 순서대로.