리우빌 초월수. §5. 초월수 초월표현

초월수— 복소수, 이는 대수가 아닙니다. 즉 유리수 계수를 갖는 0이 아닌 다항식의 근이 아닙니다.

초월수의 존재는 1844년 J. Liouville에 의해 처음으로 확립되었습니다. 그는 또한 그러한 숫자의 첫 번째 예를 구성했습니다. Liouville은 알레브라 숫자가 유리수에 의해 "너무 잘" 근사될 수 없다고 지적했습니다. 즉, 리우빌의 정리(Liouville's theorem)에 따르면 대수적 숫자가 유리수 계수를 갖는 차수 다항식의 근이면 임의의 유리수에 대해 다음과 같은 불평등이 유지됩니다.

상수는 오직에만 의존합니다. 이 진술로부터 초월성의 충분한 부호가 나옵니다: 어떤 상수에 대해 숫자가 그러한 경우, 부등식을 만족하는 유리수의 무한한 집합이 있습니다

그것은 초월적이다. 그 후, 그러한 숫자를 리우빌 수(Liouville number)라고 불렀습니다. 그러한 숫자의 예는 다음과 같습니다.

초월수의 존재에 대한 또 다른 증거는 G. Cantor가 1874년에 그가 창안한 집합론에 기초하여 얻어졌습니다. 칸토어는 대수 집합은 셀 수 있고 실수 집합은 셀 수 없음을 증명했는데, 이는 초월수 집합이 셀 수 없음을 의미합니다. 그러나 Liouville의 증명과는 달리 이러한 주장은 그러한 숫자 중 적어도 하나의 예를 제공하는 것을 허용하지 않습니다.

Liouville의 작업은 초월수 이론의 전체 섹션, 즉 유리수 또는 더 일반적으로 대수적 수에 의한 대수적 근사 이론을 탄생시켰습니다. Liouville의 정리는 많은 수학자들의 연구를 통해 강화되고 일반화되었습니다. 이를 통해 초월수의 새로운 예를 구성하는 것이 가능해졌습니다. 따라서 K. Mahler는 모든 자연수에 대해 음수가 아닌 정수 값을 취하는 상수가 아닌 다항식인 경우 기수 체계로 작성된 숫자가 있는 모든 자연수에 대해 초월적이지만 다음과 같다는 것을 보여주었습니다. 리우빌 번호가 아닙니다. 예를 들어, with 및 다음과 같은 우아한 결과를 얻습니다.

초월적이지만 리우빌 수는 아닙니다.

1873년에 C. Hermite는 다른 아이디어를 사용하여 네페르 수(기본)의 초월성을 증명했습니다. 자연로그):

Hermite의 아이디어를 발전시킨 F. Lindemann은 1882년에 수의 초월성을 입증하여 원을 제곱하는 고대 문제를 종식시켰습니다. 즉, 나침반과 자를 사용하면 동일한 크기의 정사각형을 만드는 것이 불가능합니다(즉, 같은 면적)을 주어진 원에 연결합니다. 보다 일반적으로 Lindemann은 모든 대수적 숫자에 대해 숫자가 초월적이라는 것을 보여주었습니다. 동등한 공식화: 및 이외의 대수적 숫자에 대해 자연 로그는 초월수입니다.

1900년 파리 수학자 회의에서 D. Hilbert는 수학의 23가지 미해결 문제 중 L. Euler가 특정 형식으로 공식화한 다음 사항을 지적했습니다.

허락하다 그리고 대수적 숫자이고, 탁월한? 특히 숫자는 초월적인가? 그리고?

이 문제는 다음과 같이 다시 공식화될 수 있습니다. 다음 양식, 오일러의 원래 공식에 가깝습니다.

허락하다 그리고 - 이외의 대수적 숫자 또한 자연 로그의 비율 비합리적이다. 숫자가 있을까요 탁월한?

이 문제에 대한 첫 번째 부분적 해결책은 1929년에 A. O. Gelfond에 의해 얻어졌으며, 그는 특히 수의 초월성을 증명했습니다. 1930년에 R. O. Kuzmin은 Gelfond의 방법을 개선했으며, 특히 그는 숫자의 초월성을 증명했습니다. 오일러-힐베르트 문제(긍정적인 의미에서)의 완전한 해는 1934년 A. O. 겔폰드(A. O. Gelfond)와 T. 슈나이더(T. Schneider)에 의해 독립적으로 얻어졌습니다.

A. Baker는 1966년에 Lindemann과 Gelfond-Schneider의 정리를 일반화하여 특히 자연 제한 하에서 임의의 유한 수의 형식과 대수적 수의 곱의 초월성을 증명했습니다.

1996년 Yu.V. 네스테렌코는 아이젠슈타인 급수 값, 특히 숫자와 의 대수적 독립성을 증명했습니다. 이는 대수적 계수를 갖는 0이 아닌 유리 함수인 형태의 임의 수의 초월을 의미합니다. 예를 들어, 계열의 합은 초월적입니다.

1929-1930년 K. Mahler는 일련의 작업에서 특정 유형의 함수 방정식을 만족하는 분석 함수 값의 초월성을 증명하는 새로운 방법을 제안했습니다(나중에 이러한 함수를 말러 함수라고 함).

초월수 이론의 방법은 수학의 다른 분야, 특히 디오판토스 방정식 이론에 적용되었습니다.

초월수

정수 계수를 갖는 대수 방정식(대수 방정식 참조)을 만족하지 않는 숫자(실수 또는 허수)입니다. 따라서 숫자 숫자는 대수적 숫자와 대조됩니다(대수적 숫자 참조). T. ch.의 존재는 J. Liouville(1844)에 의해 처음 확립되었습니다. Liouville의 출발점은 주어진 비합리 대수적 수에 대한 주어진 분모를 갖는 유리 분수의 근사 차수가 임의로 높을 수 없다는 그의 정리였습니다. 즉, 대수적 숫자라면 에이환원 불가능한 대수 방정식을 만족합니다. N정수 계수를 사용하면 임의의 유리수에 대해 c는 다음에만 의존합니다. α ). 그러므로 주어진 무리수 α에 대해 주어진 부등식을 만족하지 않는 유리수 근사의 무한한 집합을 지정할 수 있습니다. 와 함께그리고 N(모든 근사치에 대해 동일) α T. h입니다. 그러한 숫자의 예는 다음과 같습니다.

숫자의 존재에 대한 또 다른 증거는 G. Cantor(1874)에 의해 제시되었으며, 모든 대수 집합은 셀 수 있다는 점을 지적했습니다(즉, 모든 대수 숫자는 다시 번호를 매길 수 있습니다. 집합 이론 참조). 셀 수 없습니다.

따라서 수의 집합은 셀 수 없으며 더 나아가 수는 모든 수의 집합의 대부분을 구성합니다. t.h. 이론의 가장 중요한 임무는 특정 산술 및 분석 속성을 갖는 t.h.대수적 값

논쟁. 이런 종류의 문제는 현대 수학의 가장 어려운 문제 중 하나입니다. 1873년 C. Hermite는 네페로 수(Nepero number)를 증명했습니다. 1882년에 독일 수학자 F. 린데만(F. Lindemann)은 보다 일반적인 결과를 얻었습니다. 즉, α가 대수라면이자형 α - T. h. Lipdemann의 결과는 독일 수학자 K. Siegel(1930)에 의해 상당히 일반화되었으며, 그는 예를 들어 논증의 대수적 값에 대한 광범위한 원통형 함수 값의 초월성을 입증했습니다. 1900년 파리에서 열린 수학 학회에서 D. Hilbert는 23인 중 한 명이었습니다.해결되지 않은 문제 α β 수학자들은 다음과 같이 지적했습니다. 는 초월적인 숫자입니다. α 그리고 β , 어디 β - - 대수적 숫자, 그리고무리수 α β L. 오일러(L. Euler, 1744)에 의해 처음으로 비공개 형식으로 상연되었습니다. 이 문제에 대한 완전한 해결책(긍정적인 의미)은 A. O. Gelfond u에 의해 1934년에야 얻어졌습니다. 특히 Gelfond의 발견에 따르면 모든 십진 로그는 다음과 같습니다. 자연수(즉, "표 형식 로그")는 미적분학의 본질입니다. 미적분학 이론의 방법은 정수로 방정식을 푸는 여러 문제에 적용됩니다.

문학.: Gelfond A. O., 초월 및 대수적 숫자, M., 1952.

위대한 소련 백과사전. - M.: 소련 백과사전. 1969-1978 .

다른 사전에 "초월수"가 무엇인지 확인하십시오.

정수 계수를 갖는 대수 방정식을 만족하지 않는 숫자입니다. 초월수는 다음과 같습니다: number??3.14159...; 1 뒤에 0이 따르지 않는 임의의 정수의 십진 로그; 숫자 e=2.71828... 및 기타... 큰 백과사전

- (라틴어 transcendere에서 pass, extra까지)는 대수가 아닌 실수 또는 복소수, 즉 정수 계수를 갖는 다항식의 근이 될 수 없는 숫자입니다. 목차 1 속성 2 ... ... 위키피디아

정수 계수를 갖는 대수 방정식을 만족하지 않는 숫자입니다. 초월수는 다음과 같습니다: 숫자 π = 3.14159...; 1 뒤에 0이 따르지 않는 임의의 정수의 십진 로그; 숫자 e = 2.71828... 등... 백과사전

어떤 대수학도 만족하지 않는 수. 정수 계수가 있는 방정식. 포함: 숫자 PI = 3.14159...; 1과 0으로 표시되지 않는 임의의 정수의 십진 로그; 숫자 e = 2.71828... 등... 자연 과학. 백과사전

정수 계수를 갖는 다항식의 근이 아닌 숫자입니다. 그러한 숫자의 정의 영역은 실수, 복소수 및 기수의 0입니다. 실제 부품의 존재와 명시적인 구성은 J. Liouville에 의해 입증되었습니다... ... 수학백과사전

대수가 아닌 방정식. 일반적으로 이는 지수, 대수, 삼각, 역을 포함하는 방정식입니다. 삼각함수예를 들면 다음과 같습니다. 더 엄격한 정의는 다음과 같습니다. 초월 방정식은 방정식입니다 ... Wikipedia

수학과 과학에서 흔히 볼 수 있는 2.718에 해당하는 숫자입니다. 예를 들어, 방사성 물질이 시간 t 후에 붕괴하면 물질의 초기 양에서 e kt와 같은 분수가 남습니다. 여기서 k는 숫자입니다... ... 콜리어의 백과사전

이자형 수학 상수, 자연 로그의 밑수, 무리수 및 초월수. 때때로 숫자 e는 오일러 수(소위 제1종 오일러 수와 혼동하지 말 것) 또는 네이피어 수라고 불립니다. 라틴 소문자 "e"로 표시됩니다.... ... Wikipedia

E는 수학 상수, 자연 로그의 밑수, 비합리적이고 초월적인 숫자입니다. 때때로 숫자 e는 오일러 수(소위 제1종 오일러 수와 혼동하지 말 것) 또는 네이피어 수라고 불립니다. 라틴 소문자 "e"로 표시됩니다.... ... Wikipedia

이 섹션에서 우리는 비교 이론을 공부하면서 걸었던(거의 방황했다고 말할 뻔했습니다) 아름답고 아늑한 정수의 왕국을 다시 떠날 것입니다. 숫자에 대한 인간 지식의 출현과 발전의 역사를 추적하면 다소 역설적 인 사실이 드러날 것입니다. 거의 수세기 전의 역사를 통해 인류는 전체 숫자 집합 중 예외적으로 작은 부분을 실제로 사용하고 면밀히 연구했습니다. 자연 속에 사는 것. 오랫동안 사람들은 놀랍고 신비한 속성을 부여 받고 이제는 초월이라고 불리는 압도적 다수의 실수의 존재를 전혀 인식하지 못했습니다. 스스로 판단하십시오 (실수 개념의 대략적인 개발 단계를 나열합니다).

1) 수천년의 깊이에서 나온 자연수의 독창적인 수학적 추상화

이 추상화의 천재성은 놀랍습니다. 인류 발전에 있어서 그 의미는 아마도 바퀴의 발명을 능가할 것입니다. 우리는 그것에 너무 익숙해져서 인간 정신이 이룬 가장 뛰어난 성취에 감탄하지 않게 되었습니다. 그러나 더 큰 진정성을 위해 자신을 수학 학생이 아닌 상상해보십시오. 원시인, 또는 예를 들어 문헌학 학생이 오두막 3개, 황소 3개, 바나나 3개, 초음파 스캐너 3개의 공통점을 정확히 공식화합니다(여기서는 음주 동반자 3명의 공통점을 고려하지 않습니다). 수학이 아닌 다른 사람에게 자연수 "3"이 무엇인지 설명하는 것은 거의 절망적인 일이지만, 이미 다섯 살짜리 인간 아이는 이 추상화를 내부적으로 감지하고 지능적으로 작동할 수 있으며 대신 어머니에게 사탕 세 개를 요구합니다. 둘 중.

2) 분수, 즉 양의 유리수

재산 분할, 토지 측정, 시간 계산 등에 관한 문제를 해결할 때 분수가 자연스럽게 발생했습니다. 안에 고대 그리스일반적으로 유리수는 주변 세계의 조화와 신성한 원리의 표현의 상징이었으며, 어느 시점까지 모든 세그먼트는 상응하는 것으로 간주되었습니다. 길이의 비율은 유리수로 표현되어야 했습니다. 그렇지 않으면 파이프가 될 것입니다(그리고 신들은 이것을 허용할 수 없습니다).

3) 음수와 0(일부 과학 자료에 따르면)

음수는 처음에는 금융 및 물물 교환 계산에서 부채로 해석되었지만 인간 활동의 다른 영역에서 음수 없이는 어디에도 얻을 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. (믿지 않는 사람은 외부 온도계를 보도록하십시오. 겨울에는 창). 제 생각에 숫자 0은 처음에는 빈 공간과 수량의 부재를 상징하는 것이 아니라 결제 과정의 평등과 완전성을 상징하는 역할을 했습니다. 그, 이제는 0입니다. 즉, 안타깝습니다).

4) 불합리한 대수

피타고라스 학파에서는 정사각형의 대각선을 변으로 측정하려고 할 때 무리수를 발견했지만, 이 발견이 얼마나 많은 문제를 야기하더라도 그들은 이 발견을 끔찍한 비밀로 유지했습니다! 가장 정신적으로 안정되고 검증된 학생들만이 이 발견에 입문했으며, 이는 세계의 조화를 침해하는 역겨운 현상으로 해석되었습니다. 그러나 필요와 전쟁으로 인해 인류는 정수 계수를 사용하여 1차 대수 방정식을 푸는 방법을 배우게 되었습니다. 갈릴레오 이후에는 발사체가 포물선으로 날기 시작했고, 케플러 이후에는 행성이 타원으로 날아갔고, 역학과 탄도학은 정밀 과학이 되었고, 어디에서나 무리수에 뿌리를 둔 방정식을 풀고 풀어야 했습니다. 그러므로 우리는 그것이 아무리 역겹게 보일지라도 대수 방정식의 비합리적인 뿌리의 존재를 받아들여야 했습니다. 또한 16세기 이탈리아 수학자 시피오네 델 페로(Scipione del Ferro), 니콜로 타르탈리아(Tartaglia는 말더듬이를 의미하는 별명, 본명은 모른다), 루도빅 페라리(Ludovic Ferrari), 라파엘(Raphael)이 발견한 삼차 방정식과 4차 방정식을 푸는 방법도 있다. Bombelli는 완전히 "초자연적"인 복소수를 발명했으며, 이는 19세기에야 완전히 인정받을 수 있었습니다. 대수적 비합리성은 16세기 이후 인간의 실천에 확고히 자리 잡았습니다.

수 개념 발전의 역사에서 초월수를 위한 자리는 없었습니다. 유리수 또는 등가인(공통 분모로 감소한 후) 정수 계수를 갖는 대수 방정식의 근이 아닌 숫자. 사실, 고대 그리스인조차도 놀라운 숫자 p를 알고 있었는데, 나중에 밝혀진 바와 같이 초월적이지만 그들은 그것을 원주와 지름의 비율로만 알고 있었습니다. 이 숫자의 진정한 본질에 대한 질문은 사람들이 원을 제곱하는 고대 그리스 문제를 만족시키고 성공적으로 풀지 못하고 숫자 p 자체가 수학과 자연 과학의 다양한 부분에서 신비롭게 나타날 때까지 누구에게도 거의 관심이 없었습니다.

1844년에야 리우빌은 초월수에 대한 역사적 최초의 예를 만들었고, 수학계는 그러한 숫자가 존재한다는 사실에 놀랐습니다. 19세기에야 뛰어난 게오르그 칸토어(Georg Cantor)는 집합의 거듭제곱 개념을 사용하여 수직선에 초월수가 압도적으로 많다는 사실을 이해했습니다. 이 작은 책의 다섯 번째 문단에서만 우리는 마침내 초월수에 관심을 돌릴 것입니다.

Point 24. 선으로 측정하고 분류한다.

이 단락에서는 추가 프레젠테이션을 이해하는 데 필요한 수학적 분석의 몇 가지 예비 정보를 제공할 것입니다. 수학에서는 집합의 "소형" 개념에 대한 꽤 다양한 공식화가 고안되었습니다. 측정값 0 세트와 첫 번째 Baire 카테고리 세트라는 두 가지가 필요합니다. 이 두 개념은 모두 집합의 가산성 개념에 의존합니다. 유리수 집합은 셀 수 있는 것으로 알려져 있습니다(| 큐|= A 0), 모든 무한 집합에는 셀 수 있는 부분 집합이 포함되어 있습니다. 즉, 셀 수 있는 세트무한 중에서 가장 작은 것. 셀 수 있는 집합과 자연수 집합 사이 N전단사 매핑이 있습니다. 즉 모든 셀 수 있는 집합의 요소는 다시 번호가 매겨질 수 있습니다. 즉, 모든 셀 수 있는 집합을 순서대로 배열할 수 있습니다. 줄의 간격은 셀 수 있는 집합이 아닙니다. 이는 분명히 다음 정리를 따릅니다.

정리 1(캔터).임의의 시퀀스( 앤) 실수 및 모든 간격에 대해 나점이 있다 아르 자형에 대한 나그렇게 피 № 앤누구에게나 N에 대한 N .

증거.프로세스. 우리는 세그먼트(즉, 끝과 함께 세그먼트)를 취합니다. 나 1M 나그렇게 에이 1P 나 1. 세그먼트에서 나 1 세그먼트를 가져 가라. 나 2M 나 1 그렇게 에이 2P 나 2 등 세그먼트에서 프로세스를 계속 진행 나는 n -1세그먼트를 가져 가라 나엔엠 나 N-1 그런 식으로 에이엔피 나 N. 이 프로세스의 결과로 우리는 일련의 중첩된 세그먼트를 얻습니다. 나 1위 나 2J...J 나엔... 교차로
첫 번째 코스에서 알 수 있듯이 비어 있지 않습니다. 어떤 점을 포함하고 있습니다
. 그것은 분명하다 피 No모두들 앞에서 아니요 N .

나는 독자들이 이전에 이 우아한 증명을 접한 적이 없다고 생각합니다(비록 내 실습에서는 매우 모호한 학생들을 만났지만). 단지 이 증명의 아이디어가 나중에 Baire의 정리 증명에 사용될 뿐이며 그러므로 미리 기억해 두는 것이 유용합니다.

정의.많은 에이그 간격을 촘촘하게 나, 각 하위 구간과 비어 있지 않은 교차점이 있는 경우 나. 많은 에이꽉 끼면 꽉 아르 자형. 많은 에이실제 직선의 어떤 간격에서도 조밀하지 않으면 어디에도 조밀하지 않습니다. 선의 각 간격에는 전적으로 다음의 보수에 있는 하위 간격이 포함되어 있습니다. 에이 .

많다는 것을 이해하기 쉽습니다. 에이그 보완물이 있는 경우에만 밀도가 높은 곳은 없습니다. A ў조밀한 오픈 세트를 포함합니다. 많다는 것을 이해하기 쉽습니다. 에이닫히는 경우에만 꽉 조이는 곳이 없습니다.
내부 포인트가 없습니다.

선 위의 조밀한 집합은 구멍으로 가득 차 있고 그러한 집합의 점이 선 위에 위치하는 경우가 거의 없다는 점에서 직관적으로 작게 느껴지지 않습니다. 밀도가 전혀 없는 집합의 일부 속성을 정리의 형태로 한꺼번에 공식화해 보겠습니다.

정리 2. 1) 밀도가 전혀 없는 집합의 하위 집합은 밀도가 전혀 없습니다.

2) 밀도가 높지 않은 두 집합(또는 임의의 유한 수)의 합집합은 밀도가 없습니다.

3) 아무데도 조밀하지 않은 집합의 폐쇄는 아무데도 조밀하지 않습니다.

증거. 1) 분명히.

2) 경우 에이 1과 에이 2는 밀도가 전혀 없으며 각 간격마다 나간격이 있을 거예요 나 1M ( 나 \ 에이 1) 그리고 나 2M( 나 1 \ 에이 2). 수단, 나 2M 나 \(에이 1 나는 에이 2) 즉, 에이 1 나는 에이 2 어디든 빡빡하지 않습니다.

3) 분명히, 다음에 포함된 모든 열린 간격은 A ў, 에도 포함되어 있습니다.
.

따라서 밀도가 없는 집합의 클래스는 부분 집합을 취하는 연산, 폐쇄 연산 및 유한 합집합에 따라 닫혀집니다. 일반적으로 말해서, 아무데도 조밀하지 않은 집합의 셀 수 있는 합집합은 아무데도 조밀하지 않은 집합일 필요는 없습니다. 이에 대한 예는 유리수 집합으로, 이는 어디에서나 조밀하지만 개별 점의 셀 수 있는 합집합이며, 각 점은 어디에도 조밀하지 않은 단일 요소를 형성합니다. 아르 자형 .

정의.밀도가 없는 집합의 유한 또는 셀 수 있는 합집합으로 표현될 수 있는 집합을 Baire에 따르면 첫 번째 범주의 집합이라고 합니다. 이런 형태로 표현될 수 없는 집합을 두 번째 범주의 집합이라고 합니다.

정리 3. 1) 라인의 첫 번째 범주 집합의 보수는 조밀합니다.

2) 간격 없음 아르 자형첫 번째 범주의 집합이 아닙니다.

3) 조밀한 열린 집합의 수열의 교집합은 조밀한 집합입니다.

증거.정리에 공식화된 세 가지 속성은 본질적으로 동일합니다. 첫 번째 것을 증명해 봅시다. 허락하다

– 집합의 표현 에이아무데도 밀집되지 않은 집합의 셀 수 있는 합집합 형태의 첫 번째 범주, 나– 임의의 간격. 다음은 칸토어의 정리 증명과 같은 과정이다. 세그먼트(즉, 끝과 함께 세그먼트)를 선택해 봅시다. 나 1M ( 나 \ 에이 1). 이것은 아무데도 밀집되지 않은 세트에 추가하여 수행될 수 있습니다. 에이간격 내부에 1개 나항상 전체 하위 간격이 있으며, 그 내부에는 전체 세그먼트가 포함됩니다. 세그먼트를 선택하자 나 2M( 나는 1 \ 에이 2). 세그먼트를 선택하자 나 3M( 나 2 \ 에이 3) 등 중첩된 세그먼트의 교차점
비어 있지 않으므로 보완 나 \ 에이비어 있지 않습니다. 이는 보완을 의미합니다. A ў단단한.

정리의 두 번째 진술은 첫 번째 진술에서 직접 따르고, 세 번째 진술도 첫 번째 진술에서 나옵니다. 단, 노력을 기울이고 일련의 조밀한 열린 집합의 보수로 이동하면 됩니다.

정의.구성원과 구성원의 모든 하위 집합의 가능한 모든 유한 또는 셀 수 있는 합집합을 포함하는 집합 클래스를 s - 이상이라고 합니다.

분명히, 가장 셀 수 있는 모든 집합의 클래스는 s-이상입니다. 조금 생각해보면, 라인의 첫 번째 카테고리의 모든 세트의 클래스도 s-ideal이라는 것을 쉽게 이해할 수 있습니다. s-이상에 대한 또 다른 흥미로운 예는 소위 null 집합(또는 측정값 0 집합) 클래스에서 제공됩니다.

정의.많은 에이중 아르 자형다음과 같은 경우 측정값 0의 집합(null-set)이라고 합니다. 에이총 길이는 사전에 결정된 숫자 e >0보다 작은, 셀 수 있는 간격 집합으로만 처리될 수 있습니다. 모든 e >0에 대해 이러한 일련의 간격이 있습니다. 안에, 무엇
그리고 e Ѕ I n Ѕ< e .

널 세트의 개념은 세트의 "작음"에 대한 직관적 개념의 또 다른 형식화입니다. 널 세트는 길이가 작은 세트입니다. 개별 포인트는 널 세트이고 널 세트의 모든 하위 집합 자체는 널 세트라는 것이 분명합니다. 따라서 null 집합이 s 이상을 형성한다는 사실은 다음 정리에 따릅니다.

정리 4(르베그).널 세트의 셀 수 있는 결합은 널 세트입니다.

증거.허락하다 나는– 널 세트, 나= 1, 2, ... . 그럼 모두를 위해 나일련의 간격이 있습니다 나 ij ( j=1, 2, ...) 그런 식으로
그리고
. 모든 간격의 집합 나 ij 커버 에이길이의 합은 e보다 작습니다. 왜냐하면
. 수단, 에이– 널 세트.

어떤 간격이나 세그먼트도 널 세트가 아닙니다. 왜냐하면 공정한

정리 5(하이네-보렐).간격의 유한 또는 무한 수열인 경우 안에간격을 커버 나, 저것

봄 여름 시즌 안에 Ѕ і Ѕ 나 Ѕ .

나는 여기서 직관적으로 명백한 이 정리에 대한 증거를 제시하지 않을 것입니다. 왜냐하면 그것은 수학적 분석의 어느 정도 진지한 과정에서 발견될 수 있기 때문입니다.

Heine-Borel 정리에 따르면 Null 집합의 s -이상은 셀 수 있는 집합과 첫 번째 범주의 집합에 대한 s -이상과 마찬가지로 간격과 세그먼트를 포함하지 않습니다. 이 세 가지 s-이상이 갖는 공통점은 모든 유한 집합과 가산 집합을 포함한다는 것입니다. 또한 측정값 0의 첫 번째 범주에 대한 셀 수 없는 집합이 있습니다. 이러한 집합의 가장 친숙한 예는 Cantor 완전(*) 집합입니다. 기음 M은 삼항 표기법에 1이 포함되지 않은 숫자로 구성됩니다. 칸토어 완전집합을 구성하는 과정을 기억하세요. 세그먼트를 세 개의 동일한 부분으로 나누고 가운데 열린 구간을 버립니다. 세그먼트의 나머지 2/3는 각각 다시 3개의 동일한 부분으로 나뉘며 중간의 열린 간격은 버려집니다. 이 과정 후에 남은 집합은 밀도가 전혀 없다는 것이 명백합니다. 첫 번째 카테고리. 버려진 중간 부분의 전체 길이가 1과 같다고 계산하는 것은 쉽습니다. 와 함께측정값이 0입니다. 다음과 같이 알려져 있습니다. 와 함께셀 수 없을 만큼, 왜냐하면 0과 2로 구성된 셀 수 없이 많은 무한 시퀀스(각 요소 와 함께소수점 뒤에 정확히 0과 2의 시퀀스가 ​​있는 삼항 분수로 표시됩니다.

널세트가 아닌 첫 번째 범주의 집합이 있는지, 첫 번째 범주의 집합이 아닌 널집합이 있는지 독자들이 직접 확인해 보시길 권합니다. 절망하지 말고 이 요점을 정리 6)으로 읽으십시오.

따라서 고려중인 세 가지 s-이상 사이의 관계에 대한 그림은 다음과 같습니다.

그래서 우리는 작은 집합의 두 가지 개념을 소개했습니다. 어떤 의미에서는 작은 집합이 다른 의미에서는 클 수 있다는 역설적인 것은 없습니다. 다음 정리이 아이디어를 잘 설명하고 어떤 경우에는 우리가 도입한 작음의 개념이 정반대되는 것으로 판명될 수 있음을 보여줍니다.

정리 6.수직선은 두 개의 보완적인 집합으로 나눌 수 있습니다 에이그리고 안에그래서 에이첫 번째 카테고리 세트가 있고, 안에측정값이 0입니다.

증거.허락하다 에이 1 , 에이 2 ,…, 에이 n ,... – 번호가 매겨진 유리수 집합(또는 밀집된 하위 집합 어디에서나 셀 수 있는 다른 모든 집합) 아르 자형). 허락하다 나는 ij– 점을 중심으로 하는 길이 1/2 i+j의 열린 구간 나는. 세트를 고려해 봅시다:

, j =1,2,...;

; 에이 = 아르 자형 \ 비 = 비 ў .

분명히 e >0인 경우 다음을 선택할 수 있습니다. j그래서 1/2 j< e . Тогда

,

따라서, 안에– 널 세트.

다음,
– 조밀한 개방형 부분집합 아르 자형왜냐하면 이는 일련의 열린 구간의 합집합이며 모든 유리점을 포함합니다. 이는 그 보완물을 의미한다. GJў 어느 곳에서도 밀도가 높지 않으므로
– 첫 번째 범주의 집합입니다.

정말 놀라운 결과이지 않습니까! 입증된 정리에 따르면 선의 각 하위 집합은 null 집합과 첫 번째 범주 집합의 합집합으로 표현될 수 있습니다. 다음 단락에서는 특정 파티션을 살펴보겠습니다. 아르 자형두 개의 하위 집합으로 나뉘며 그 중 하나는 초월적인 Liouville 수입니다. 측정값은 0이지만 Baire에 따르면 두 번째 범주에 속합니다. 서둘러 다음 지점으로 가세요!

예

이야기

초월수 개념은 1844년 J. Liouville이 대수적 수는 유리수로 너무 잘 근사할 수 없다는 정리를 증명하면서 처음 소개되었습니다.

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$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ 정수 $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ 유리수 $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ 실수
$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	복소수

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ 쿼터니언 $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; 도트$ 초월수넘버빔 바이쿼터니언

초월수를 특성화하는 발췌

– 도덕적으로 고통받을 때 어떻게 건강할 수 있습니까? 사람이 감정을 느끼는 시대에 침착함을 유지하는 것이 가능합니까? -Anna Pavlovna가 말했습니다. – 저녁 내내 나와 함께 있길 바라요?
– 영국 특사의 휴일은 어떻습니까? 수요일이에요. “거기서 내 모습을 보여줘야 해.” 왕자가 말했다. “내 딸이 나를 데리러 갈 것입니다.”
– 현재 공휴일은 취소된 줄 알았어요. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "artifice startent a devenir insipides. [고백합니다. 이 모든 휴일과 불꽃놀이는 참을 수 없게 되었습니다.]
“당신이 이것을 원한다는 것을 그들이 안다면, 휴일은 취소될 것입니다.” 왕자는 마치 태엽이 감긴 시계처럼 습관적으로 믿고 싶지 않은 말을 말했습니다.
- Ne me Tourmentez pas. Eh bien, qu"a t on done par rapport a la depeche de Novosiizoff? Vous savez tout. [나를 괴롭히지 마세요. 음, Novosiltsov가 파견될 때 무엇을 결정했습니까? 당신은 모든 것을 알고 있습니다.]
- 어떻게 말해야 하나요? -왕자는 차갑고 지루한 어조로 말했습니다. - 결정하시겠습니까? 결정 que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres. [그들은 무엇을 결정했습니까? 그들은 보나파르트가 배를 불태우기로 결정했습니다. 우리도 마찬가지인 것 같습니다. , 우리를 태울 준비가되어 있습니다.] - 바실리 왕자는 마치 오래된 연극의 역할을 연기하는 배우처럼 항상 게으른 말을했습니다. 반대로 Anna Pavlovna Sherer는 40 년에도 불구하고 활력과 충동으로 가득 차있었습니다.
매니아라는 것이 그녀의 사회적 지위가 되었고, 때로는 자신이 원하지 않을 때도 자신을 아는 사람들의 기대를 속이지 않기 위해 매니아가 되었다. Anna Pavlovna의 얼굴에 끊임없이 재생되는 절제된 미소는 그녀의 오래된 특징과 일치하지 않지만 버릇없는 아이들처럼 그녀가 원하지 않는 그녀의 소중한 결점에 대한 끊임없는 인식을 표현했으며 수정할 수 없으며 수정할 필요가 없다고 생각합니다. 그녀 자신.
정치적 행동에 대한 대화 중에 Anna Pavlovna는 뜨거워졌습니다.
– 아, 오스트리아에 대해서는 말하지 마세요! 나는 아무것도 이해하지 못할 수도 있지만 오스트리아는 전쟁을 원한 적이 없으며 전쟁을 원하지 않습니다. 그녀는 우리를 배신하고 있어요. 러시아만이 유럽의 구세주가 되어야 합니다. 우리의 후원자는 자신의 높은 소명을 알고 있으며 그에 충실할 것입니다. 그것이 내가 믿는 한 가지입니다. 우리의 선하고 놀라운 주권자는 세상에서 가장 큰 역할을 맡고 있으며, 그는 너무 고결하고 선해서 하나님이 그를 떠나지 않으실 것이며, 이제 그 사람에게 더욱 끔찍한 혁명의 히드라를 분쇄하라는 부르심을 성취할 것입니다. 이 살인자와 악당의. 우리만이 의인의 피를 속죄해야 합니다... 우리는 누구에게 의지해야 합니까?... 상업 정신을 지닌 영국은 알렉산더 황제의 영혼의 높이를 이해하지도 못하고 이해하지도 못합니다. 그녀는 몰타 청소를 거부했습니다. 그녀는 우리 행동에 대한 근본적인 생각을 찾고 싶어합니다. 그들이 Novosiltsov에게 뭐라고 말했습니까?... 아무것도 아닙니다. 그들은 자신을 위해서는 아무것도 원하지 않고 세상의 이익을 위해 모든 것을 원하는 우리 황제의 사심 없음을 이해하지 못했고 이해할 수 없습니다. 그리고 그들은 무엇을 약속했습니까? 아무것도 아님. 그리고 그들이 약속한 일은 일어나지 않을 것입니다! 프로이센은 이미 보나파르트가 무적이며 유럽 전체가 그를 상대로 아무것도 할 수 없다고 선언했습니다. 그리고 저는 하르덴베르크나 가우비츠의 말을 단 한 마디도 믿지 않습니다. Cette Fameuse neutralite prussienne, ce n"est qu"un peege. [이 악명 높은 프로이센의 중립은 단지 함정일 뿐입니다.] 나는 유일하신 하나님과 사랑하는 황제의 높은 운명을 믿습니다. 그는 유럽을 구할 것이다!... - 그녀는 그녀의 열정에 조롱의 미소를 지으며 갑자기 말을 멈췄다.

실제 라인에는 대수적 숫자 외에도 하나 이상의 세트가 있으며 그 파워는 전체 라인의 파워와 일치합니다. 이것은 초월 숫자 세트입니다.

정의 6 : 대수가 아닌 숫자를 호출합니다. 탁월한, 즉, 초월수(lat. transcendere - 넘어가다, 초과하다)는 유리수 계수를 갖는 다항식(0과 동일하지 않음)의 근이 될 수 없는 실수 또는 복소수입니다.

초월수의 속성:

· 초월수의 집합은 연속이다.

· 모든 초월적 실수는 비합리적이지만 그 반대는 참이 아닙니다. 예를 들어, 숫자는 무리수이지만 초월적이지는 않습니다. 이는 다항식(따라서 대수적)의 근입니다.

· 실수 초월수 집합의 순서는 무리수 집합의 순서와 동형입니다.

· 거의 모든 초월수의 비합리성 척도는 2입니다.

초월수의 존재는 Liouville에 의해 처음으로 증명되었습니다. 초월수의 존재에 대한 로빌의 증명은 효과적입니다. 정리 5의 직접적인 결과인 다음 정리에 기초하여 초월수의 구체적인 예를 구성합니다.

정리 6 [3, 54쪽].: 허락하다 - 실수. 어떤 자연적인 경우 N 1 그리고 진짜 기음>0 (11)과 같은 유리 분수가 하나 이상 있습니다. - 초월적인 숫자.

증거:만약에 대수적이라면 (정리 5) 양의 정수가 있을 것입니다. N그리고 진짜 기음>0이므로 모든 분수에 대해 이는 사실과 모순됩니다(11). 가정은 대수적 숫자, 즉 초월적인 숫자. 정리가 입증되었습니다.

어떤 경우에도 해당하는 숫자 N 1과 기음>0 부등식(11)은 정수로 해를 얻습니다. 에이그리고 비초월적인 리우빌 수(Transcendental Liouville Number)라고 합니다.

이제 우리는 대수가 아닌 실수를 구성하는 수단을 갖게 되었습니다. 임의의 고차 근사치를 허용하는 숫자를 구성하는 것이 필요합니다.

예:

에이- 초월적인 숫자.

임의의 실수를 취해보자 N 1과 기음>0. 어디 보자 케이너무 커서 선택했다 kn, 그 다음에

임의의 이후 N 1과 기음>0이면 초월수인 분수를 찾을 수 있습니다.

무한 소수점 이하 자릿수의 형태로 숫자를 설정해 보겠습니다.

그런 다음 어디에서나 . 따라서 이는 임의로 높은 차수의 근사를 허용하므로 대수적일 수 없음을 의미합니다.

1873년 C. Hermite는 수의 초월성을 증명했습니다. 이자형, 자연 로그의 밑.

수의 초월성을 증명하기 위해 이자형두 개의 기본형이 필요합니다.

Lemma 1.만약에 g(엑스)는 정수 계수를 갖는 다항식입니다. 케이N 모든 계수 케이-아 파생어 g (케이) (엑스)로 나누어진다. 케이!.

증거.운영자님 이후로 d/dx선형인 경우 다음 형식의 다항식에 대해서만 보조정리의 설명을 확인하는 것으로 충분합니다. g(엑스)=엑스에스, 에스 0.

만약에 케이>에스, 저것 g (케이) (엑스)= 0 및 케이!|0.

만약에 케이< s , 저것

이항 계수는 정수이고 g(케이) ( 엑스)는 다시 다음과 같이 나누어진다. 케이! 완전히.

정리 2(Hermit 항등식).허락하다 에프(엑스) - 임의의 차수 다항식 케이실제 계수를 사용하면

에프( 엑스)=에프(엑스)+에프" (엑스)+에프"(엑스)+ … +에프 (케이) (엑스)는 모든 파생 상품의 합계입니다. 그런 다음 실제(심지어 복잡하지만 지금은 필요하지 않음) 엑스완료:

증거.부분별로 통합해 보겠습니다.

우리는 적분을 부분별로 다시 통합합니다. 이 절차를 반복 케이+1하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

정리 7(Hermit, 1873). 숫자 1882년에 독일 수학자 F. 린데만(F. Lindemann)은 보다 일반적인 결과를 얻었습니다. 즉, α가 대수라면 탁월한.

증거.이 진술을 모순으로 증명해보자. 가정해보자 1882년에 독일 수학자 F. 린데만(F. Lindemann)은 보다 일반적인 결과를 얻었습니다. 즉, α가 대수라면 - 대수, 거듭제곱 중. 그 다음에

에이 중 이자형 중 + … +에이 1 이자형+에이 0 =0

약간의 자연스러움을 위해 중그리고 일부는 전체 에이 중 ,… 에이 1 , 에이 0 . 대신 Hermite 항등식(12)으로 대체해 보겠습니다. 엑스정수 케이 0에서 값을 취합니다. 중; 각각의 평등을 곱하다

그에 따라 에이 케이를 선택한 다음 모두 더하세요. 우리는 다음을 얻습니다:

(이것은 우리의 반대 가정이므로) 모든 다항식에 대해 다음이 밝혀졌습니다. 에프(엑스) 동등성이 충족되어야 합니다.

다항식의 적절한 선택으로 에프(엑스) (13)의 왼쪽을 0이 아닌 정수로 만들 수 있으며 오른쪽은 0과 1 사이가 됩니다.

다항식을 고려하십시오. N추후 결정됩니다( NN, 그리고 N큰).

숫자 0은 다중성의 근이다 N-1 다항식 에프(엑스), 숫자 1, 2,… 중- 다양성의 뿌리 N, 따라서:

에프 (엘) (0)=0, 엘=1,2,…, N-2

에프(n-1) (0)=(-1) 백만 (중!) N

에프 (엘) (케이)=0, 엘=0,1, …, N-1; 케이=1,2,…, 중

g( 엑스)=엑스 N-1 (엑스-1) N (엑스-2) N … (x-m) N - 다음과 유사한 다항식 에프(엑스), 그러나 정수 계수를 사용합니다. Lemma 1에 따르면 계수 g( 엘) (엑스) - 다음으로 나눌 수 있는 정수 엘! 그러므로 언제 엘< n , 도함수 g( 엘) (엑스) 모든 계수는 다음으로 나눌 수 있는 정수입니다. N, 왜냐하면 g ( 엘) (엑스)는 g(l)( 엑스)만을 (로 나누어서) N-1)!. 그렇기 때문에

어디 에이- 적합한 정수, 합계 기호 위에 숫자( 중+1) N-1 - 다항식의 정도 에프(엑스) 그리고 무한대로 합산하는 것이 가능하지만 0이 아닌 도함수는 다음과 같습니다. 에프(엑스) 정확히 그 정도죠.

비슷하게

어디 비 케이- 적합한 정수, 케이 = 1, 2,…, 중.

지금 하자 NN - 다음 조건을 만족하는 정수:

평등(13)을 다시 고려해보세요:

왼쪽의 합에서 모든 항은 정수이고, 에이 케이 에프(케이) 에 케이 = 1, 2,…, 중다음으로 나눈다 N, 에이 에이 0 에프(0) 에 N공유하지 않습니다. 이는 전체 금액이 정수라는 것을 의미합니다. N나눌 수 없음, 즉 0이 아닙니다. 따라서,

이제 평등의 우변을 추정해 보겠습니다(13). 세그먼트에서 따라서 이 세그먼트에서도 분명합니다.

상수는 어디에 있나요? 기음 0과 기음 1 의존하지 않는다 N. 다음과 같이 알려져 있습니다.

그러므로 충분히 큰 경우 N, (13)의 우변은 1보다 작고 동등 (13)은 불가능합니다.

1882년 린데만은 수의 거듭제곱의 초월에 관한 정리를 증명했습니다. 이자형 0이 아닌 대수 지수를 사용하여 수의 초월성을 증명합니다.

정리 8(린데만) [3, 58페이지]. 가 대수적 숫자이고, 그러면 그 숫자는 초월적입니다.

린데만의 정리를 통해 우리는 초월수를 구성할 수 있습니다.

예:

예를 들어 Lindemann의 정리에서 다음과 같은 숫자가 나옵니다. 에 2 - 초월적이기 때문에 2=e 2에, 숫자 2는 대수적이며 숫자인 경우 에 2는 대수적이었고, 보조 정리에 따르면 숫자 2는 초월수였습니다.

일반적으로 모든 대수학의 경우, 에린데만 정리에 따르면 초월적이다. 초월적이라면, 에예를 들어 반드시 초월적인 숫자일 필요는 없습니다. 전자 =1

알고 보니 고등학교 시절 우리는 초월적인 숫자를 많이 보았습니다. 에 2,ln 3,ln(), 등.

또한 초월수는 0이 아닌 대수적 수(린데만 정리를 일반화한 린데만-바이어슈트라스 정리에 따름)에 대한 형식의 수라는 점에 유의하세요. 예를 들어, 숫자는 초월적입니다.

초월적이라면 반드시 초월적 숫자일 필요는 없습니다. 예를 들어,

린데만 정리의 증명은 초월이 증명된 방식과 유사하게 에르미트 항등식을 사용하여 수행될 수 있지만 변환이 약간 복잡합니다. 이것이 바로 Lindemann 자신이 증명한 방법입니다. 그러나이 정리는 소련 수학자 A.O. 겔폰트는 20세기 중반에 힐베르트의 일곱 번째 문제를 해결하는 아이디어를 제시했습니다.

1900년 제2차 수학자 국제 회의에서 힐베르트는 자신이 공식화한 문제 중 일곱 번째 문제를 공식화했습니다. "대수적이든 무리수적이든, 형식의 수가 초월수라는 것이 사실이라면?" . 이 문제는 1934년 Gelfond에 의해 해결되었는데, 그는 그러한 모든 숫자가 실제로 초월적이라는 것을 증명했습니다.

Gelfond가 제안한 지수 함수 값의 초월성에 대한 증명은 보간 방법의 사용을 기반으로 합니다.

예:

1) Gelfond의 정리에 기초하여, 예를 들어 숫자가 초월적임을 증명하는 것이 가능합니다. 왜냐하면 그것이 대수적 무리수라면 Gelfond의 정리 뒤에 있는 숫자 19는 초월적일 것이기 때문에 이는 사실이 아닙니다.

2)하자 에이그리고 비- 무리수. 숫자가 가능합니까? 에이 비합리적이냐?

물론 힐베르트의 일곱 번째 문제를 이용하면 이 문제는 풀기 어렵지 않다. 사실, 이 숫자는 초월적입니다(대수적 무리수이기 때문에). 그러나 모든 유리수는 대수적이므로 무리수입니다. 반대편에는

그래서 우리는 간단히 다음과 같은 숫자를 제시했습니다. 하지만 이 문제는 Gelfond의 결과를 참조하지 않고도 해결할 수 있습니다. 우리는 다음과 같이 추론할 수 있습니다. 숫자를 생각해 보십시오. 이 숫자가 합리적이라면 문제는 해결됩니다. 에이그리고 비설립하다. 비합리적이라면 우리는 and를 취합니다.

그래서 우리는 두 쌍의 숫자를 제시했습니다. 에이그리고 비, 이 쌍 중 하나가 명시된 조건을 충족하지만 그는 어느 것을 알지 못합니다. 하지만 그런 쌍을 선물할 필요는 없었습니다! 따라서 이 해법은 어떤 의미에서는 존재 정리입니다.