x0 지점에서 도함수 값을 찾는 방법. x0 지점에서 함수의 도함수 값을 구합니다. 최대 및 최소 포인트 계산

기하학적 의미에 관해 많은 이론이 작성되었습니다. 함수 증분의 파생에 대해서는 다루지 않지만 작업 완료를 위한 기본 사항을 상기시켜 드리겠습니다.

점 x의 도함수는 다음과 같습니다. 경사이 지점에서 함수 y = f(x)의 그래프에 대한 접선, 즉 X축에 대한 경사각의 접선입니다.

통합 상태 시험(Unified State Exam)의 작업을 즉시 수행하고 이해해 봅시다.

작업 번호 1. 그림은 보여줍니다함수 그래프 y = f(x)이고 가로좌표가 x0인 점에서의 접선입니다. x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.
바쁘고 설명을 이해하고 싶지 않은 사람:그러한 삼각형(아래 그림 참조)을 만들고 서있는 쪽(세로)을 누워 있는 쪽(수평)으로 나눕니다. 기호를 잊지 않으면 운이 좋을 것입니다(선이 감소하는 경우(→↓)). , 그러면 대답은 마이너스여야 하고, 선이 증가(→)하면 대답은 긍정적이어야 합니다!)

접선과 X축 사이의 각도를 찾아야 합니다. 이를 α라고 부르겠습니다. 축에 평행 X 직선은 그래프의 접선을 따라 어디에서나 동일한 각도를 얻습니다.

x0점을 사용하지 않는 것이 더 좋습니다. 왜냐하면 정확한 좌표를 결정하려면 큰 돋보기가 필요합니다.

무엇이든 복용 직각삼각형(그림에는 3가지 옵션이 제안되어 있습니다.) tgα를 찾습니다(각도는 해당하는 것과 같습니다). 즉 x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수를 얻습니다. 왜 그럴까요?

다른 점 x2, x1 등에 접선을 그리면 접선이 달라집니다.

7학년으로 돌아가서 선을 쌓자!

직선의 방정식은 방정식 y = kx + b로 제공됩니다. 여기서

k - X축에 대한 기울기입니다.

b는 Y축과의 교차점과 원점 사이의 거리입니다.

직선의 도함수는 항상 동일합니다: y" = k.

우리가 도함수를 취하는 선의 어느 지점에서든 그것은 변하지 않을 것입니다.

따라서 남은 것은 tgα를 구하는 것뿐입니다(위에서 언급했듯이: 서있는 쪽을 누워 있는 쪽으로 나눕니다). 반대편을 인접한 변으로 나누면 k = 0.5가 됩니다. 그러나 그래프가 감소하는 경우 계수는 음수입니다(k = −0.5).

직접 확인해 보시길 권합니다 두 번째 방법:
두 점을 사용하여 직선을 정의할 수 있습니다. 임의의 두 점의 좌표를 구해 봅시다. 예를 들어, (-2;-2) 및 (2;-4):

점의 좌표를 y 및 x 대신 방정식 y = kx + b로 대체해 보겠습니다.

−2 = −2k + b

이 시스템을 풀면 b = −3, k = −0.5를 얻습니다.

결론: 두 번째 방법은 시간이 더 오래 걸리지만 표시를 잊지 않을 것입니다.

답: − 0.5

작업 번호 2. 그림은 보여줍니다 미분 그래프함수 f(x). 가로축에는 x1, x2, x3, ..., x8 등 8개의 점이 표시됩니다. 이 점 중 몇 개가 증가 함수 f(x)의 구간에 있습니까?

함수의 그래프가 감소하는 경우 - 도함수는 음수입니다(그 반대도 마찬가지입니다).

함수의 그래프가 증가하면 도함수는 양수입니다(그 반대도 마찬가지입니다).

이 두 문구는 당신이 결정하는 데 도움이 될 것입니다 대부분의작업.

잘 봐 도함수나 함수의 그림이 주어지면 두 문구 중 하나를 선택하세요.

함수의 개략적인 그래프를 구성해 보겠습니다. 왜냐하면 우리는 도함수의 그래프를 얻었고, 그것이 음수이면 함수의 그래프는 감소하고, 양수이면 증가합니다!

증가하는 영역에 3개의 포인트가 있는 것으로 나타났습니다: x4; x5; x6.

답: 3

작업 번호 3. 함수 f(x)는 구간 (-6; 4)에서 정의됩니다. 그림은 보여줍니다 파생 그래프. 함수가 가장 큰 값을 갖는 지점의 가로좌표를 찾습니다.

나는 항상 다음과 같은 화살표를 사용하거나 (4번과 5번과 같이) 기호가 있는 도식을 사용하여 함수 그래프가 어떻게 진행되는지 플롯하는 것을 권장합니다.

분명히 그래프가 -2로 증가하면 최대점은 -2입니다.

답: −2

작업 번호 4. 그림은 함수 f(x)의 그래프와 가로축의 12개 점(x1, x2, ..., x12)을 보여줍니다. 이 점들 중 음수 함수의 도함수는 몇 개입니까?

문제는 그 반대입니다. 함수 그래프가 주어지면 함수 도함수 그래프가 어떤 모양일지 개략적으로 플롯하고 음수 범위에 놓이는 점 수를 계산해야 합니다.

양수: x1, x6, x7, x12.

음수: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

답: 7

끔찍한 "극단"에 대해 물었을 때 또 다른 유형의 작업은 무엇입니까? 그것이 무엇인지 찾는 것은 어렵지 않을 것입니다. 그러나 그래프를 통해 설명하겠습니다.

작업 번호 5. 그림은 구간 (-16; 6)에서 정의된 함수 f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다. 구간 [-11; 5].

-11부터 5까지의 간격을 표시해 봅시다!

우리의 밝은 눈을 부호로 돌려 봅시다: 함수의 미분 그래프가 주어지면 => 극한값은 X 축과의 교차점입니다.

답: 3

작업 번호 6. 그림은 구간 (-13; 9)에서 정의된 함수 f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다. 구간 [-12; 5].

-12부터 5까지의 간격을 표시해 봅시다!

한 눈으로 표를 볼 수 있습니다. 최대 지점은 극값입니다. 즉, 그 이전의 도함수는 양수(함수 증가)이고 그 이후의 도함수는 음수(함수 감소)입니다. 그러한 점은 원으로 표시되어 있습니다.

화살표는 함수 그래프의 작동 방식을 보여줍니다.

답: 3

작업 번호 7. 그림은 구간 (-7; 5)에 정의된 함수 f(x)의 그래프를 보여줍니다. 함수 f(x)의 도함수가 0이 되는 점의 수를 구합니다.

위의 표를 볼 수 있습니다(미분은 0이므로 극한점임을 의미합니다). 그리고 이 문제에는 함수의 그래프가 제공됩니다. 이는 다음을 찾아야 함을 의미합니다. 변곡점의 수!

또는 평소와 같이 도함수 그래프를 작성할 수도 있습니다.

함수 그래프의 방향이 바뀔 때(증가에서 감소로 또는 그 반대로) 도함수는 0입니다.

답: 8

작업 번호 8. 그림은 보여줍니다 미분 그래프함수 f(x)는 구간 (-2; 10)에 정의됩니다. 증가하는 함수의 구간 찾기에프엑스(f(x)). 답에 이 구간에 포함된 정수점의 합을 표시하십시오.

함수의 도식적 그래프를 구성해 보겠습니다.

증가하는 경우 4개의 정수 포인트(4 + 5 + 6 + 7 = 22)를 얻습니다.

답: 22

작업 번호 9. 그림은 보여줍니다 미분 그래프함수 f(x)는 구간(-6; 6)에 정의됩니다. 함수 그래프의 접선이 y = 2x + 13 선과 평행하거나 일치하는 점 f(x)의 개수를 찾습니다.

미분 그래프가 제공됩니다! 이는 탄젠트를 파생 상품으로 "변환"해야 함을 의미합니다.

접선의 미분: y" = 2.

이제 두 파생 상품을 모두 구성해 보겠습니다.

접선은 세 점에서 교차하므로 답은 3입니다.

답: 3

작업 번호 10. 그림은 함수 f(x)의 그래프를 보여주며, -2, 1, 2, 3 지점이 표시되어 있습니다. 이 지점 중 어느 지점에서 도함수 값이 가장 작습니까? 답변에 이 점을 표시해 주십시오.

작업은 첫 번째 작업과 다소 유사합니다. 도함수 값을 찾으려면 한 점에서 이 그래프의 접선을 구성하고 계수 k를 찾아야 합니다.

선이 감소하는 경우 k< 0.

선이 증가하는 경우 k > 0입니다.

계수 값이 선의 기울기에 어떤 영향을 미치는지 생각해 봅시다.

k = 1 또는 k = − 1인 경우 그래프는 X축과 Y축 사이의 중간에 위치합니다.

직선이 X축에 가까울수록 k 계수는 0에 가까워집니다.

직선이 Y축에 가까울수록 계수 k는 무한대에 가까워집니다.

-2 및 1k 지점에서<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>거기가 있을 거야 가장 작은 값유도체

답: 1

작업 번호 11.

선은 y = x³ + x² + 2x + 8 함수 그래프에 y = 3x + 9 접선입니다. 접선점의 가로좌표를 찾습니다.

그래프에 공통점이 있을 때 선은 그래프에 접하며 파생물도 마찬가지입니다. 그래프 방정식과 그 파생물을 동일시합시다.

나는 삼차 방정식을 풀고 싶지 않지만 이차 방정식을 풀고 싶습니다.

하지만 두 개의 "정상적인" 답변을 받은 경우 이에 대한 응답으로 무엇을 적어야 합니까?

원래 그래프 y = 3x + 9 및 y = x³ + x² + 2x + 8에 x(x)를 대입하면 동일한 Y를 얻어야 합니다.

y= 1³+1²+2×1+8=12

오른쪽! 따라서 x=1이 답이 될 것입니다

작업 번호 12.

직선 y = − 5x − 6은 함수 ax² + 5x − 5의 그래프에 접합니다. 을 찾으세요.

유사하게 함수와 그 파생물을 동일시해 보겠습니다.

변수 a와 x에 대해 이 시스템을 풀어보겠습니다.

답: 25

파생 상품 관련 작업은 통합 상태 시험의 첫 번째 부분에서 가장 어려운 작업 중 하나로 간주되지만, 문제에 대해 약간의 주의와 이해를 기울이면 성공할 수 있으며 이 작업의 완료율이 높아집니다! 계산기는 모든 파생 상품을 계산합니다.기본 기능 , 선두상세한 솔루션

. 미분변수는 자동으로 결정됩니다.함수의 파생

- 수학적 분석에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 미분의 출현은 예를 들어 한 순간의 점의 순간 속도를 계산하는 문제, 시간에 따른 경로를 알면 한 점에서 함수에 대한 접선을 구하는 문제 등의 문제로 이어졌습니다.

대부분의 경우 함수의 미분은 인수 증가에 대한 함수 증가 비율의 한계로 정의됩니다(존재하는 경우).정의.

함수가 해당 지점 근처에서 정의되도록 하세요. 그런 다음 한 점에서 함수의 도함수가 존재하는 경우 극한이라고 합니다.

함수의 미분을 계산하는 방법은 무엇입니까? 기능을 구별하는 방법을 배우려면 배우고 이해해야 합니다.차별화 규칙 그리고 사용법을 배우세요.

파생 상품 표

차별화 규칙

와 를 실수 변수의 임의 미분 가능한 함수로 두고 실수 상수로 놔두십시오. 그 다음에

— 함수의 곱을 미분하는 규칙

— 몫 함수의 미분 규칙 0" 높이="33" 너비="370" 스타일="수직 정렬: -12px;">

— 가변 지수를 갖는 함수의 미분 - 차별화 규칙

복잡한 기능

— 거듭제곱 함수를 구별하는 규칙

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문제 B9는 다음 수량 중 하나를 결정하는 데 필요한 함수 또는 도함수의 그래프를 제공합니다.

1. 어떤 지점 x 0에서의 도함수 값,
2. 최대 또는 최소 포인트(극점),
3. 함수의 증가 및 감소 간격(단조성 간격).

이 문제에 제시된 함수와 도함수는 항상 연속적이므로 풀이가 훨씬 쉬워집니다. 작업이 섹션에 속한다는 사실에도 불구하고 수학적 분석, 여기에는 깊은 이론적 지식이 필요하지 않기 때문에 가장 약한 학생도 능력 내에 있습니다.

도함수, 극점 및 단조성 간격의 값을 찾으려면 간단하고 보편적인 알고리즘이 있습니다. 이에 대해서는 모두 아래에서 설명합니다.

어리석은 실수를 피하기 위해 문제 B9의 조건을 주의 깊게 읽으십시오. 때로는 꽤 긴 텍스트를 접하게 되지만 해결 과정에 영향을 미치는 중요한 조건은 거의 없습니다.

미분 값 계산. 2점 방법

문제에 x 0 지점에서 이 그래프에 접하는 함수 f(x)의 그래프가 주어지고 이 지점에서 도함수 값을 찾아야 하는 경우 다음 알고리즘이 적용됩니다.

1. 접선 그래프에서 두 개의 "적절한" 점을 찾습니다. 해당 점의 좌표는 정수여야 합니다. 이 점을 A(x 1 ; y 1) 및 B(x 2 ; y 2)로 표시하겠습니다. 좌표를 올바르게 기록하십시오. 이것이 솔루션의 핵심 포인트이며 여기에 실수가 있으면 잘못된 답변으로 이어질 것입니다.
2. 좌표를 알면 인수 Δx = x 2 − x 1 의 증분과 함수 Δy = y 2 − y 1 의 증분을 쉽게 계산할 수 있습니다.
3. 마지막으로, 도함수 D = Δy/Δx의 값을 찾습니다. 즉, 함수의 증가분을 인수의 증가분으로 나누어야 하며 이것이 답이 될 것입니다.

다시 한 번 주목하자: 점 A와 B는 자주 발생하는 것처럼 함수 f(x)의 그래프가 아니라 접선에서 정확하게 찾아야 합니다. 접선에는 반드시 최소한 두 개의 점이 포함되어야 합니다. 그렇지 않으면 문제가 올바르게 공식화되지 않습니다.

점 A(−3; 2)와 B(−1; 6)를 고려하고 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

도함수 값을 찾아봅시다: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

일. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x 0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다. x 0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 구합니다.

점 A(0; 3)와 B(3; 0)를 고려하여 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

이제 도함수 값을 구합니다: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

일. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x 0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다. x 0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 구합니다.

점 A(0; 2)와 B(5; 2)를 고려하여 증분값을 찾습니다.
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

도함수 값 D = Δy/Δx = 0/5 = 0을 찾는 것이 남아 있습니다.

마지막 예에서 규칙을 공식화할 수 있습니다. 접선이 OX 축에 평행하면 접선 지점에서 함수의 미분은 0입니다. 이 경우 아무것도 계산할 필요가 없습니다. 그래프만 보세요.

최대 및 최소 포인트 계산

때때로 문제 B9에서는 함수 그래프 대신 도함수 그래프를 제시하고 함수의 최대점 또는 최소점을 찾아야 합니다. 이 상황에서는 2점 방법은 쓸모가 없지만 더 간단한 또 ​​다른 알고리즘이 있습니다. 먼저 용어를 정의해 보겠습니다.

1. x 0 지점을 함수 f(x)의 최대 지점이라고 합니다. 이 지점 근처에서 f(x 0) ≥ f(x) 부등식이 성립하는 경우입니다.
2. x 0 지점을 함수 f(x)의 최소 지점이라고 합니다. 이 지점 근처에서 다음 부등식이 성립하면 f(x 0) ≤ f(x)입니다.

미분 그래프에서 최대점과 최소점을 찾으려면 다음 단계를 따르세요.

1. 불필요한 정보를 모두 제거하여 미분 그래프를 다시 그립니다. 실습에서 알 수 있듯이 불필요한 데이터는 결정에만 방해가 됩니다. 따라서 우리는 좌표축에 미분의 0을 표시합니다. 그게 전부입니다.
2. 0 사이의 간격에서 미분의 부호를 알아보세요. 어떤 점 x 0에 대해 f'(x 0) ≠ 0이라고 알려진 경우 f'(x 0) ≥ 0 또는 f'(x 0) ≤ 0이라는 두 가지 옵션만 가능합니다. 미분의 부호는 다음과 같습니다. 원래 그림에서 쉽게 결정할 수 있습니다. 도함수 그래프가 OX 축 위에 있으면 f'(x) ≥ 0입니다. 반대로, 도함수 그래프가 OX 축 아래에 있으면 f'(x) ≤ 0입니다.
3. 미분의 0과 부호를 다시 확인합니다. 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌는 지점이 최소점입니다. 반대로 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면 이것이 최대점이다. 계산은 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 이루어집니다.

이 방식은 연속 함수에만 적용됩니다. 문제 B9에는 다른 방식이 없습니다.

일. 그림은 구간 [−5; 5]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최소점을 찾습니다.

없애자 불필요한 정보— 경계만 남겨두자 [-5; 5] 및 도함수 x = −3 및 x = 2.5의 0입니다. 우리는 또한 다음과 같은 징후에 주목합니다.

분명히, x = −3 지점에서 도함수의 부호는 마이너스에서 플러스로 변경됩니다. 이것이 최소점입니다.

일. 그림은 구간 [−3; 7]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최대점을 찾습니다.

경계만 남기고 그래프를 다시 그리겠습니다 [−3; 7] 및 도함수 x = −1.7 및 x = 5의 0입니다. 결과 그래프에서 도함수의 부호를 살펴보겠습니다. 우리는:

분명히 x = 5 지점에서 도함수의 부호는 플러스에서 마이너스로 변경됩니다. 이것이 최대 포인트입니다.

일. 그림은 구간 [−6; 4]. 세그먼트 [−4; 3].

문제의 조건에 따르면 세그먼트 [-4; 3]. 그게 우리가 건물을 짓는 이유야 새로운 일정, 경계만 표시합니다 [-4; 3] 그리고 그 안에 있는 도함수의 0입니다. 즉, 점 x = −3.5이고 x = 2입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이 그래프에는 단 하나의 최대점 x = 2가 있습니다. 이 지점에서 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경됩니다.

정수가 아닌 좌표를 가진 점에 대한 간단한 참고 사항입니다. 예를 들어, 마지막 문제에서는 점 x = −3.5가 고려되었지만 동일한 성공으로 x = −3.4를 사용할 수 있습니다. 문제가 올바르게 작성되었다면 "고정된 거주지 없음" 포인트가 문제 해결에 직접적으로 참여하지 않기 때문에 이러한 변경 사항은 답변에 영향을 주어서는 안됩니다. 물론 이 트릭은 정수 포인트에서는 작동하지 않습니다.

함수의 증가 및 감소 간격 찾기

이러한 문제에서는 최대점과 최소점과 마찬가지로 미분 그래프를 사용하여 함수 자체가 증가하거나 감소하는 영역을 찾는 것이 제안됩니다. 먼저 증가와 감소가 무엇인지 정의해 보겠습니다.

1. 이 세그먼트의 임의의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 함수 f(x)는 세그먼트에서 증가한다고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . 즉, 인수 값이 클수록 함수 값도 커집니다.
2. 함수 f(x)는 이 세그먼트의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 세그먼트에서 감소한다고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). 저것들. 더 큰 인수 값은 더 작은 함수 값에 해당합니다.

공식화하자 충분한 조건오름차순 및 내림차순:

1. 하기 위해 연속 기능 f(x)는 세그먼트에서 증가합니다. 세그먼트 내부의 도함수는 양수이면 충분합니다. 즉 f'(x) ≥ 0.
2. 연속 함수 f(x)가 세그먼트 에서 감소하려면 세그먼트 내부의 도함수가 음수이면 충분합니다. 즉 f'(x) ≤ 0.

증거 없이 이러한 진술을 받아들입시다. 따라서 우리는 극점 계산 알고리즘과 여러 면에서 유사한 증가 및 감소 간격을 찾는 체계를 얻습니다.

1. 불필요한 정보를 모두 제거하세요. 도함수의 원래 그래프에서 우리는 주로 함수의 0에 관심이 있으므로 0만 남겨 두겠습니다.
2. 0 사이의 간격에 미분의 부호를 표시하십시오. f'(x) ≥ 0이면 함수가 증가하고, f'(x) ≤ 0이면 함수가 감소합니다. 문제가 변수 x에 대한 제한을 설정하는 경우 이를 새 그래프에 추가로 표시합니다.
3. 이제 우리는 함수의 동작과 제약 조건을 알았으므로 문제에 필요한 수량을 계산해야 합니다.

일. 그림은 구간 [−3; 7.5]. 함수 f(x)의 감소 간격을 구합니다. 답에 이 간격에 포함된 정수의 합을 표시하십시오.

평소처럼 그래프를 다시 그리고 경계를 표시해 보겠습니다. [−3; 7.5], 도함수의 영점 x = −1.5 및 x = 5.3. 그런 다음 파생 상품의 표시를 확인합니다. 우리는:

(− 1.5) 구간에서 도함수가 음수이므로 이것이 감소함수의 구간입니다. 이 간격 안에 있는 모든 정수를 합산해야 합니다.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

일. 그림은 구간 [−10; 4]. 함수 f(x)의 증가 간격을 구합니다. 답에 가장 큰 것의 길이를 표시하십시오.

불필요한 정보는 없애자. 경계만 남겨두자 [-10; 4] 및 도함수의 0(이번에는 x = −8, x = −6, x = −3 및 x = 2)이 4개가 있었습니다. 도함수의 부호를 표시하고 다음 그림을 얻습니다.

우리는 함수가 증가하는 간격에 관심이 있습니다. 여기서 f'(x) ≥ 0입니다. 그래프에는 (−8; −6) 및 (−3; 2)라는 두 가지 간격이 있습니다. 길이를 계산해 봅시다:
내가 1 = - 6 - (-8) = 2;
내가 2 = 2 − (−3) = 5.

가장 큰 간격의 길이를 찾아야 하므로 값 l 2 = 5를 답으로 적습니다.

실시예 1

참조: 다음 방법함수 표기법은 동일합니다. 일부 작업에서는 기능을 "game"으로 지정하고 다른 작업에서는 "ef from x"로 지정하는 것이 편리합니다.

먼저 우리는 파생물을 찾습니다:

실시예 2

한 점에서 함수의 도함수를 계산합니다.

, , 완전한 연구기능등.

실시예 3

해당 지점에서 함수의 도함수를 계산합니다. 먼저 파생 상품을 찾아 보겠습니다.

글쎄, 그것은 완전히 다른 문제입니다. 해당 지점에서 도함수 값을 계산해 보겠습니다.

도함수를 어떻게 찾았는지 이해하지 못하는 경우 해당 주제의 처음 두 강의로 돌아가세요. 아크탄젠트와 그 의미에 대해 어려움(오해)이 있으신 분은 반드시 공부하다 방법론적 자료 기본 함수의 그래프 및 속성– 가장 마지막 단락. 학생 연령에 비해 아크탄젠트가 아직 충분하기 때문입니다.

실시예 4

해당 지점에서 함수의 도함수를 계산합니다.

함수 그래프에 대한 접선 방정식

이전 단락을 강화하기 위해 접선을 찾는 문제를 고려하십시오. 함수 그래프이 시점에서. 우리는 학교에서 이 과제에 직면했고 고등 수학 과정에서도 나타납니다.

가장 간단한 "시연" 예를 살펴보겠습니다.

가로좌표 점에서 함수 그래프의 접선에 대한 방정식을 작성하십시오. 즉시 문제에 대한 기성 그래픽 솔루션을 제공하겠습니다(실제로는 대부분의 경우 이것이 필요하지 않습니다).

탄젠트의 엄격한 정의는 다음을 사용하여 제공됩니다. 함수의 도함수의 정의, 그러나 지금은 문제의 기술적 부분을 마스터하겠습니다. 확실히 거의 모든 사람들이 접선이 무엇인지 직관적으로 이해합니다. "손가락으로" 설명하면 함수 그래프의 접선은 다음과 같습니다. 똑바로, 이는 다음의 함수 그래프에 관한 것입니다. 유일한 사람가리키다. 이 경우 선의 모든 인근 점은 함수 그래프에 최대한 가깝게 위치합니다.

우리의 경우에 적용하면 접선(표준 표기법)에서 단일 지점에서 함수 그래프에 닿습니다.

그리고 우리의 임무는 선의 방정식을 찾는 것입니다.

한 지점에서 함수의 파생

한 지점에서 함수의 미분을 찾는 방법은 무엇입니까? 이 작업의 두 가지 분명한 점은 다음과 같습니다.

1) 파생상품을 찾는 것이 필요하다.

2) 특정 지점에서 미분값을 계산하는 것이 필요합니다.

실시예 1

한 점에서 함수의 도함수를 계산합니다.

도움말: 함수를 표기하는 다음 방법은 동일합니다.


일부 작업에서는 기능을 "game"으로 지정하고 다른 작업에서는 "ef from x"로 지정하는 것이 편리합니다.

먼저 우리는 파생물을 찾습니다:

많은 사람들이 이미 그러한 파생 상품을 구두로 찾는 데 익숙해졌기를 바랍니다.

두 번째 단계에서는 해당 지점의 도함수 값을 계산합니다.

스스로 해결하기 위한 간단한 준비 예:

실시예 2

한 점에서 함수의 도함수를 계산합니다.

강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

한 점에서 도함수를 찾아야 하는 필요성은 다음 작업에서 발생합니다: 함수 그래프에 대한 접선 구성(다음 단락), 극값에 대한 함수 연구 , 그래프의 변곡점에 대한 함수 연구 , 전체 기능 연구 등.

그러나 문제의 작업은 다음에서 발생합니다. 테스트그리고 그 자체로. 그리고 일반적으로 이러한 경우 주어진 기능은 매우 복잡합니다. 이와 관련하여 두 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 3

함수의 미분 계산 시점에서 .
먼저 파생 상품을 찾아 보겠습니다.

원칙적으로 미분값이 발견되었으며 필요한 값을 대체할 수 있습니다. 하지만 저는 별로 아무것도 하고 싶지 않아요. 표현이 굉장히 길고, "x"의 의미는 분수입니다. 따라서 우리는 파생 상품을 최대한 단순화하려고 노력합니다. 안에 이 경우마지막 세 용어를 공통 분모로 가져와 보겠습니다. 시점에서 .

이것은 스스로 해결하는 예입니다.

Xo 지점에서 함수 F(x)의 도함수 값을 찾는 방법은 무엇입니까? 이 문제를 어떻게 해결합니까?

공식이 주어지면 도함수를 찾아 X 대신 X-zero로 대체하십시오. 믿다
만약에 우리 얘기 중이야 o b-8 통합 상태 시험, 그래프를 사용한 다음 X축에 대한 접선이 형성하는 각도(예각 또는 둔각)의 접선을 찾아야 합니다(직각 삼각형의 정신적 구성을 사용하고 각도의 접선 결정).

티무르 아딜호자예프

먼저 표지판을 결정해야합니다. x0 지점이 좌표 평면의 아래쪽 부분에 있으면 답의 부호는 마이너스가 되고, 높으면 +가 됩니다.
둘째, 직사각형 안에 접선이 무엇인지 알아야 합니다. 그리고 이것은 반대쪽(다리)과 인접한 쪽(다리)의 비율입니다. 일반적으로 그림에는 몇 개의 검은색 표시가 있습니다. 이 표시에서 직각 삼각형을 형성하고 접선을 찾습니다.

x0 지점에서 함수 f x의 미분 값을 찾는 방법은 무엇입니까?

일반적인 경우, 어떤 시점에서 어떤 변수에 대한 함수의 도함수 값을 찾으려면 이 변수에 대해 주어진 함수를 미분해야 합니다. 귀하의 경우 변수 X를 기준으로 합니다. 결과 표현식에서 X 대신 도함수 값을 찾아야 하는 지점에 X 값을 입력합니다. 귀하의 경우에는 0 X를 대체하고 결과 표현식을 계산하십시오.

글쎄요, 제 생각에는 이 문제를 이해하려는 귀하의 열망은 의심할 여지 없이 +를 받을 자격이 있으며, 저는 이에 대해 명확한 양심을 갖고 있습니다.

도함수를 찾는 문제에 대한 이러한 공식화는 도함수의 기하학적 의미에 대한 자료를 강화하기 위해 설정되는 경우가 많습니다. 특정 함수의 그래프가 제안되고 완전히 임의적이며 방정식으로 지정되지 않으며 지정된 지점 X0에서 도함수(도함수 자체가 아니라 주의하세요!)의 값을 찾아야 합니다. 이를 위해 주어진 함수에 대한 접선이 구성되고 좌표축과의 교차점을 찾습니다. 그런 다음 이 접선의 방정식은 y=кx+b 형식으로 작성됩니다.

이 방정식에서 계수 k와 도함수 값이 됩니다. 남은 것은 계수 b의 값을 찾는 것입니다. 이를 위해 x = o에서 y 값을 찾아 3과 같게 만듭니다. 이것이 계수 b의 값입니다. X0과 Y0의 값을 원래 방정식에 대입하고 이 시점의 도함수 값인 k를 찾습니다.