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적분의 경로로부터 곡선 적분의 독립성 곡선 적분의 전위 장 계산 데카르트 좌표의 전위 장 계산. 적분 경로에서 곡선 적분의 독립성을 위한 조건

곡선 적분을 고려하십시오.

점 M과 N을 연결하는 일부 평면 곡선 L을 따라 취합니다. 고려중인 영역 D에서 함수가 연속 부분 도함수를 갖는다고 가정합니다. 작성된 곡선 적분이 곡선 L의 모양에 의존하지 않는 조건을 알아 보겠습니다. , 그러나 시작점과 끝점 M과 N의 위치에만 의존합니다.

고려된 영역 D에 있고 점 M과 N을 연결하는 두 개의 임의 곡선 MPN과 MQN을 고려해 보겠습니다(그림 351). 허락하다

그런 다음 곡선 적분(§ 1)의 속성 1과 2를 기반으로 다음을 얻습니다.

즉. 닫힌 루프에 대한 곡선 적분

마지막 공식에서 선 적분은 곡선으로 구성된 닫힌 윤곽 L에 적용됩니다. 이 윤곽선 L은 분명히 임의적인 것으로 간주될 수 있습니다.

따라서 임의의 두 점 M과 N에 대해 선 적분은 두 점을 연결하는 곡선의 모양에 의존하지 않고 이 점의 위치에만 의존한다는 조건에서 모든 닫힌 윤곽선을 따른 선 적분은 같습니다. 0으로.

반대의 결론도 참입니다. 닫힌 윤곽선에 대한 곡선 적분이 0이면 이 곡선 적분은 두 점을 연결하는 곡선의 모양에 의존하지 않고 이 점의 위치에만 의존합니다. 실제로 평등(2)은 평등(1)을 의미합니다.

§ 2의 예 4에서 곡선 적분은 적분 경로에 의존하지 않습니다. 예 3에서 곡선 적분은 적분 경로에 의존합니다. 왜냐하면 이 예에서 닫힌 윤곽선에 대한 적분은 0이 아니지만 다음을 제공하기 때문입니다. 해당 윤곽에 의해 제한되는 영역; 예제 1과 2에서 선적분은 적분 경로에 따라 달라집니다.

자연스럽게 질문이 생깁니다. 닫힌 윤곽선을 따라 곡선 적분이 0이 되려면 함수가 어떤 조건을 충족해야 합니까? 이 질문에 대한 답은 다음 정리에 의해 제공됩니다.

정리. 부분 도함수와 함께 함수가 일부 도메인 D의 모든 점에서 연속이라고 가정합니다. 그런 다음 영역 D에 있는 임의의 닫힌 윤곽선 L에 대한 곡선 적분이 0이 되도록, 즉 다음과 같이 됩니다.

평등이 실현되기 위해서는 필요하고 충분하다.

이 지역의 모든 열기 속에서

증거. 영역 D에서 임의의 닫힌 윤곽선 L을 고려하고 이에 대한 Green의 공식을 작성해 보겠습니다.

조건 (3)이 충족되면 왼쪽의 이중 적분은 0과 동일하므로 다음이 됩니다.

이로써 조건 (3)이 충족됨이 증명되었다.

이제 이 조건의 필요성을 증명해 보겠습니다. 즉, 영역 D의 임의의 닫힌 곡선 L에 대해 등식(2)이 충족되면 이 영역의 각 지점에서 조건(3)도 충족된다는 것을 증명하겠습니다.

반대로 평등 (2)가 충족된다고 가정합시다.

조건 (3)은 만족되지 않습니다. 즉,

적어도 한 지점에서는. 예를 들어, 어느 시점에서 불평등이 발생한다고 가정해 보겠습니다.

부등식의 왼쪽에 다음이 있기 때문에 연속 함수, 그러면 점 을 포함하는 충분히 작은 영역 D의 모든 점에서 양수가 되고 특정 숫자보다 커집니다. 이 차이 영역에 대해 이중 적분을 해보자. 그는 가질 것이다 양수 값. 정말,

그러나 그린의 공식에 따르면 마지막 부등식의 왼쪽은 영역 경계를 따른 곡선 적분과 동일하며 이는 0과 같습니다. 결과적으로 마지막 부등식은 조건 (2)와 모순되므로 적어도 한 지점에서 0과 다르다는 가정은 올바르지 않습니다. 여기에서

그것은 다음과 같다

이 지역의 모든 지점에서

따라서 정리는 완전히 입증되었습니다.

§ 9 채널에서. XIII 조건의 충족은 표현이 일부 기능의 전체 미분이라는 사실과 동일하다는 것이 입증되었습니다.

하지만 이 경우 벡터는

기울기가 벡터와 같은 함수의 기울기를 이 벡터의 전위라고 합니다. 이 경우 곡선 적분이 다음임을 증명해 보겠습니다.

점 M과 N을 연결하는 곡선 L의 경우, (M)은 함수 값과 다음 점에서의 차이와 같습니다.

증거. 가 함수의 완전 미분인 경우 곡선 적분은 다음 형식을 취합니다.

이 적분을 계산하기 위해 점 M과 점 M을 연결하는 곡선 L의 매개변수 방정식을 작성합니다.

적분은 다음과 같은 정적분으로 감소됩니다.

괄호 안의 표현은 함수의 완전한 파생어인 함수입니다. 따라서

보시다시피, 총 미분의 선 적분은 적분이 수행되는 곡선의 모양에 의존하지 않습니다.

비슷한 진술이 적용됩니다. 곡선적분공간 곡선을 따라(아래 § 7 참조)

논평. 때로는 일부 함수의 호 길이 L을 따라 곡선 적분을 고려해야 하는 경우도 있습니다.

Ostrogradsky-Green 공식

이 공식은 닫힌 윤곽선 C에 대한 곡선 적분과 이중 적분이 윤곽에 의해 제한된 영역에 걸쳐.

정의 1. 영역 D가 첫 번째 유형의 유한 개수의 영역으로 분할될 수 있고, 이와 독립적으로 두 번째 유형의 유한 개수의 영역으로 분할될 수 있는 경우 영역 D를 단순 영역이라고 합니다.

정리 1. 함수 P(x,y)와 Q(x,y)를 단순 영역에서 정의하고 부분 도함수와 함께 연속이라고 가정합니다.

그러면 공식이 성립합니다

여기서 C는 영역 D의 닫힌 윤곽선입니다.

이것이 Ostrogradsky-Green 공식입니다.

적분 경로에서 곡선 적분의 독립성을 위한 조건

정의 1. 임의의 닫힌 곡선 l D가 이 곡선의 모든 점이 영역 D(“구멍”이 없는 영역 - D 1)에 속하도록 연속적으로 점으로 변형될 수 있는 경우 닫힌 사각형 가능 영역 D는 단순 연결이라고 합니다. , 그러한 변형이 불가능한 경우 해당 영역을 다중 연결("구멍" - D 2 포함)이라고 합니다.

정의 2. 곡선 AB를 따른 곡선 적분의 값이 점 A와 B를 연결하는 곡선의 유형에 의존하지 않는 경우, 이 곡선 적분은 적분 경로에 독립적이라고 합니다.

정리 1. 연속 함수 P(x,y)와 Q(x,y)를 부분 도함수와 함께 닫힌 단순 연결 도메인 D에서 정의합니다. 그러면 다음 4가지 조건은 동일합니다.

1) 폐루프에 대한 곡선 적분

여기서 C는 D의 닫힌 루프입니다.

2) 닫힌 루프에 대한 곡선 적분은 영역 D의 통합 경로에 의존하지 않습니다. 즉

3) 미분 형식 P(x,y)dx + Q(x,y)dy는 정의역 D에 있는 일부 함수 F의 총 미분입니다. 즉, (x,y) D가 동등함을 만족하는 함수 F가 있습니다. 보유

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (삼)

4) 모든 점 (x,y) D에 대해 다음 조건이 충족됩니다.

다이어그램을 사용하여 증명해 보겠습니다.

그것을 증명해 보겠습니다.

1을 주어보자), 즉 = 0(속성 2 §1 기준), 이는 = 0(속성 1 §1 기준)입니다.

그것을 증명해 보겠습니다.

cr.int가 주어집니다. 통합의 경로에 의존하지 않고 경로의 시작과 끝 선택에만 의존합니다.

기능을 고려하십시오

미분 형태 P(x,y)dx + Q(x,y)dy가 함수 F(x,y)의 총 미분임을 보여드리겠습니다. 즉, , 무엇

민간 성장을 설정하자

x F (x,y)= F(x + x, y) -F (x,y)= = == =

(§ 1의 속성 3에 따라, BB* Oy) = = P (c,y)x (평균값 정리에 따라, c -const), 여기서 x

(함수 P의 연속성으로 인해) 우리는 식 (5)를 얻었습니다. 식(6)도 유사하게 구해진다.

그것을 증명해 보겠습니다.

공식이 주어진다

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

분명히 = P(x,y)입니다. 그 다음에

정리의 조건에 따르면 등식 (7)과 (8)의 우변은 연속 함수이고, 혼합 파생 상품의 등식에 대한 정리에 따르면 좌변도 동일합니다. 즉, 저것

41개 중에서 이를 증명해 보겠습니다.

영역 D 1 의 경계를 이루는 영역 D에서 닫힌 윤곽선을 선택해 보겠습니다.

함수 P와 Q는 Ostrogradsky-Green 조건을 충족합니다.

평등 (4) 덕분에 (9)의 좌변에서 적분은 0과 같습니다. 이는 평등의 우변도 다음과 같음을 의미합니다.

비고 1. 정리 1은 세 가지 독립적인 정리의 형태로 공식화될 수 있습니다.

정리 1*. 단순히 연결된 정사각형 도메인 D가 곡선형 int를 갖기 위해서는 조건 (.1)이 충족되도록 통합 경로에 의존하지 않았습니다. 즉,

정리 2*. 단순히 연결된 정사각형 도메인 D가 곡선형 int를 갖기 위해서는 조건 (3)이 충족되도록 통합 경로에 의존하지 않았습니다.

미분 형식 P(x,y)dx + Q(x,y)dy는 정의역 D에 있는 일부 함수 F의 전체 미분입니다.

정리 3*. 단순히 연결된 정사각형 도메인 D가 곡선형 int를 갖기 위해서는 조건 (4)가 충족되도록 통합 경로에 의존하지 않았습니다.

비고 2. 정리 2*에서는 도메인 D도 다중연결이 가능합니다.

4강

주제: 그린의 공식. 적분 경로로부터 곡선 적분의 독립성을 위한 조건.

그린의 공식.

그린의 공식은 평면의 닫힌 윤곽 Г에 대한 곡선 적분과 주어진 윤곽에 의해 제한되는 영역에 대한 이중 적분 사이의 연결을 설정합니다.

닫힌 윤곽선 Г 위의 선 적분은 기호로 표시됩니다. 닫힌 윤곽선 Г는 이 윤곽선의 어떤 점 B에서 시작하고 점 B에서 끝납니다. 닫힌 윤곽선 적분은 점 B의 선택에 의존하지 않습니다.

정의 1. 윤곽선 Г를 우회할 때 영역 D가 왼쪽에 남아 있으면 윤곽선 Г를 우회하는 것이 양수로 간주됩니다. G + - 회로 G는 양의 방향으로 우회됩니다. G - - 회로는 음의 방향으로 우회됩니다. 즉, 반대 방향으로

지 +

엑스

와이

씨

디

X= x 1 (와이)

X=x2(y)

ㅏ

비

씨

Y=y2(x)

Y= y 1 (x)

중

이중 적분을 고려하십시오.

마찬가지로 다음이 증명됩니다.

등식 (1)과 (2)로부터 다음을 얻습니다.

따라서,

가정하에 Green의 공식이 입증되었습니다.

참고 1. 영역 D의 경계 Г가 0X 또는 0Y 축에 평행한 일부 직선을 사용하여 두 개 이상의 점에서 교차하는 경우 그린의 공식은 유효합니다. 또한 Green의 공식은 n-연결 영역에도 유효합니다.

평면 적분 경로로부터 곡선 적분의 독립성을 위한 조건.

이번 장에서는 곡선적분이 적분의 경로에 의존하지 않고, 적분의 시작점과 끝점에 의존하는 조건에 대해 알아보겠습니다.

정리 1. 곡선적분을 위해서는 단순히 연결된 영역의 적분 경로에 의존하지 않으므로 이 영역에서 닫힌 조각별 매끄러운 윤곽선에 대한 이 적분은 0과 같아야 하고 충분합니다.

증거: 필요성.주어진: 통합 경로에 의존하지 않습니다. 닫힌 조각별 매끄러운 윤곽선에 대한 곡선 적분이 0과 같음을 증명해야 합니다.

고려 중인 영역 D에서 임의의 조각별로 매끄러운 닫힌 윤곽 Г를 취한다고 가정합니다. 윤곽 Г에서 임의의 점 B와 C를 취하겠습니다.

디

중

비

씨

통합 경로에 의존하지 않기 때문에

, 즉.

적절. 주어진 것: 곡선적분 닫힌 조각별 부드러운 윤곽선을 따라 0과 같습니다.

적분은 적분의 경로에 의존하지 않는다는 것을 증명해야 합니다.

점 B와 C를 연결하는 두 개의 부드러운 윤곽선에 대한 곡선 적분을 고려합니다. 조건에 따라:

저것들. 곡선의

적분은 적분 경로에 의존하지 않습니다.

정리 2.단순히 연결된 도메인 D에서 부분 도함수와 함께 연속이라고 가정합니다. 곡선 적분을 위해서는 통합 경로에 의존하지 않으며 도메인 D에서 ID를 유지하는 데 필요하고 충분합니다.

증거: 충분함.주어진 값: . 이를 증명하는 것이 필요합니다. 통합 경로에 의존하지 않습니다. 이를 위해서는 다음을 증명하는 것만으로도 충분합니다. 닫힌 조각별 부드러운 윤곽선을 따라 0과 같습니다. Green의 공식에 따르면 다음과 같습니다.

필요성.주어진: 정리 1에 따르면, 곡선 적분은 통합 경로에 의존하지 않습니다. 이를 증명하는 것이 필요합니다.

경계가 연결된 집합인 경우 영역을 단순 연결이라고 합니다. 영역의 경계가 n-연결 집합으로 분할되면 해당 영역을 n-연결 집합이라고 합니다.

논평. 그린의 공식은 다중 연결 영역에도 적용됩니다.

적분(A, B – D의 모든 점)이 적분 경로(단, 초기 및 최종 점 A, B에만 해당)에 의존하지 않으려면 폐곡선을 따라(모든 점을 따라) 필요하고 충분합니다. 윤곽) D에 누워 적분은 0 = 0과 같았습니다.

증명(필수성). (4)는 통합 경로와 독립적이라고 가정합니다. 영역 D에 있는 임의의 윤곽선 C를 고려하고 이 윤곽선에서 임의의 두 점 A, B를 선택합니다. 그러면 곡선 C는 두 곡선 AB=G2, AB=G1, C=Г - 1 + G2의 합집합으로 표현될 수 있습니다.

정리 1. 곡선 적분이 D의 적분 경로와 독립되기 위해서는 다음이 필요하고 충분합니다.

지역 D. 충분함. 만족한다면 임의의 윤곽선 C에 대한 Green의 공식은 다음과 같습니다. 여기서 필요한 진술은 보조정리 뒤에 옵니다. 필요성. 임의의 등고선에 대한 보조정리 = 0. 그런 다음 이 등고선으로 둘러싸인 면적 D에 대한 Green의 공식 = 0입니다. 평균값 정리에 따르면 = mD 또는 = = 0입니다. 한계점을 지나 윤곽선을 한 점으로 축소하면 이 시점에서 얻을 수 있습니다.

정리 2. 곡선 적분(4)이 D의 적분 경로에 독립적이려면 피적분 표현 Pdx+Qdy가 도메인 D에서 일부 함수 u의 총 미분이어야 하고 충분합니다. du = Pdx+Qdy. 적절. 그것이 성취되도록 놔두고 그 다음에는 필요성이 필요합니다. 적분을 적분의 경로와 독립적으로 두십시오. 도메인 D의 어떤 점 A0을 고정하고 u(A) = u(x,y)= 함수를 정의합니다.

이 경우

XО (xО). 따라서 도함수 =P가 존재합니다. 마찬가지로 =Q인지 확인합니다. 가정 하에서 u 함수는 연속적으로 미분 가능하고 du = Pdx+Qdy로 나타납니다.

32-33. 1종 및 2종 곡선 적분의 정의

호 길이에 대한 곡선 적분(1종)

함수 f(x,y)가 부드러운 곡선 K의 호 AB 점에서 정의되고 연속적이라고 가정합니다. 점 t0..tn을 기준으로 호를 n개의 기본 호로 임의로 나눕니다. lk를 특정 곡선의 길이 k로 둡니다. 호. 각 기본 호에서 임의의 점 N(k,k)을 취하고 이 점에 해당 점을 곱해 보겠습니다. 호의 길이는 세 가지 적분 합으로 구성됩니다.

1 =f(k,k)lk 2 = Р(k,k)хk 3 = Q(k,k)yk, 여기서 хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1

호 길이에 따른 제1종 곡선 적분은 max(lk)  0인 경우 적분 합 1의 극한이라고 합니다.

적분합의 극한이 2 또는 3이고  0에서 이 극한이 호출됩니다. 제2종 곡선 적분, 곡선 l = AB를 따른 함수 P(x,y) 또는 Q(x,y)이며 다음과 같이 표시됩니다.
또는

양:
+
이를 제2종 일반 곡선 적분이라고 부르고 기호로 표시하는 것이 관례입니다.
이 경우 함수 f(x,y), P(x,y), Q(x,y)는 곡선 l = AB를 따라 적분 가능하다고 합니다. 곡선 l 자체를 윤곽선이라고 부르거나 적분에 의해 A는 초기점, B는 최종 적분점, dl은 호 길이의 미분이므로 제1종 곡선 적분이라고 합니다. 곡선의 호에 대한 곡선 적분, 두 번째 종류 – 함수에 대한 적분..

곡선 적분의 정의에 따르면 제1종 적분은 곡선 l이 A와 B 또는 B와 A에서 실행되는 방향에 의존하지 않습니다. AB에 따른 제1종 곡선적분:

, 2종 곡선 적분의 경우 곡선 방향이 변경되면 부호가 변경됩니다.

l이 폐곡선인 경우, 즉 점 B가 점 A와 일치하는 경우 폐곡선을 통과하는 두 가지 가능한 방향 중에서 l을 양수라고 합니다. 윤곽 내부에 있는 영역이 왼쪽으로 유지되는 방향 존경해??? 라운드 만들기, 즉 이동 방향은 시계 반대 방향입니다. 순회 반대 방향을 음수라고 합니다. 양의 방향으로 이동한 폐곡선 l을 따른 곡선 적분 AB는 다음 기호로 표시됩니다.

공간 곡선의 경우 첫 번째 종류의 적분 하나가 유사하게 도입됩니다.

그리고 2종 적분 세 개:

마지막 세 적분의 합이 호출됩니다. 제2종 일반 곡선 적분.

제1종 곡선적분의 일부 응용.

1. 일체형
- 호 길이 AB

2. 제1종 적분의 기계적 의미.

f(x,y) = (x,y)가 재료 호의 선형 밀도이면 질량은 다음과 같습니다.

3. 재료 호의 질량 중심 좌표:

4. 원점과 회전축을 기준으로 옥시 평면에 있는 호의 관성 모멘트 ox, oy:

5. 제1종 적분의 기하학적 의미

함수 z = f(x,y) – 산소 평면에 있는 재료 호의 모든 지점에서 길이 f(x,y)>=0의 치수를 가지도록 하세요.

, 여기서 S는 원통형 표면의 면적이고 고양이는 동쪽의 오카 평면에 수직으로 구성됩니다. AB 곡선의 점 M(x,y)에서.

제2종 곡선적분의 일부 응용.

경계 L이 있는 평평한 영역 D의 면적 계산

2. 무력의 작용. 힘의 영향을 받는 물질 지점이 B에서 C로 향하는 연속적인 평면 곡선 BC를 따라 이동한다고 가정하면 이 힘의 작용은 다음과 같습니다.

통합의 길에서 두 번째 종류

L이 점 M과 N을 연결하는 곡선인 제2종 곡선 적분을 생각해 보세요. 함수 P(x, y)와 Q(x, y)가 곡선 L이 다음과 같은 일부 도메인 D에서 연속 편도함수를 갖는다고 가정합니다. 고려 중인 곡선 적분이 곡선 L의 모양에 의존하지 않고 점 M과 N의 위치에만 의존하는 조건을 결정해 보겠습니다.

영역 D에 있고 점 M과 N을 연결하는 두 개의 임의 곡선 MSN과 MTN을 그려 보겠습니다(그림 14).

즉,

여기서 L은 MSN 및 NTM 곡선으로 구성된 폐루프입니다(따라서 임의적인 것으로 간주될 수 있음). 따라서 적분 경로에서 2종 곡선 적분의 독립성에 대한 조건은 모든 닫힌 윤곽선에 대한 적분이 0이라는 조건과 동일합니다.

정리 5(그린의 정리). 함수 P(x, y)와 Q(x, y)와 그 부분 도함수를 일부 도메인 D의 모든 점에서 연속이라고 둡니다. 그런 다음 도메인 D에 있는 임의의 닫힌 윤곽선 L이 조건을 충족하기 위해

= 지역 D의 모든 지점에서 필요하고 충분합니다.

증거.

1) 충분성: 조건을 만족시키자. 영역 S의 경계를 이루는 영역 D의 임의의 닫힌 윤곽선 L을 고려하고 이에 대한 그린의 공식을 작성해 보겠습니다.

따라서 충분성이 입증되었습니다.

2) 필요성: D 영역의 모든 지점에서 조건을 만족하지만, 이 영역에서 -? 0. 예를 들어 점 P(x0, y0)에서 다음이 있다고 가정합니다. - > 0. 부등식의 왼쪽에 연속 함수가 포함되어 있으므로 양수이고 일부보다 클까요? > 0 점 P를 포함하는 일부 작은 영역 D`에서. 결과적으로,