집

수학적 점의 관성 모멘트, 고정 축에 대한 몸체(무엇에 의존하는가)입니다. 고정 축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다. 슈타이너의 정리 한 점에 대한 물체의 관성 모멘트

평행축에 대한 몸체의 관성 모멘트. 호이겐스의 정리.

일반적으로 다른 축에 대한 특정 몸체의 관성 모멘트는 다릅니다. 몸체에 그려진 한 축에 대한 관성 모멘트를 알고 그에 평행한 다른 축에 대한 관성 모멘트를 찾는 방법을 보여드리겠습니다.

그림 35

질량중심을 지나 그려보자 와 함께임의의 축 Cx"y"z",그리고 어떤 지점을 통해서든 에 대한축에 CX" -축 옥시즈그렇게 오½½ Сy", 오즈½½ Cz"(그림 35). 차축 거리 Cz"그리고 온스다음으로 표시하다 디.그 다음에

그러나 그림에서 볼 수 있듯이 신체의 어느 지점이나 a. 이 값을 대체 , 공통인수를 표현하고 제거하는 방법 디 2 및 2D괄호 너머에 우리는

평등의 오른쪽에서 첫 번째 합계는 다음과 같습니다. 나는 cz ",두 번째 - 체중 중. 가치를 찾아보자세 번째 금액. 질량 중심의 좌표에 대한 공식을 기반으로 합니다. 와 함께좌표의 원점은 다음과 같습니다. 엑스 C = 0이므로 . 마지막으로 우리는 다음을 얻습니다:

수식은 다음을 표현합니다. 호이겐스의 정리:

주어진 축에 대한 몸체의 관성 모멘트는 몸체의 질량 중심을 통과하는 평행한 축에 대한 관성 모멘트와 같고 몸체 전체의 질량을 다음의 제곱으로 곱한 값에 더해집니다. 축 사이의 거리.

축에 대한 몸체의 관성 모멘트를 구해 봅시다. 유, 어떤 지점을 통과 에 대한(그림 36).

그림 36

정의에 따르면 관성 모멘트입니다.

요점을 정리해보자 에 대한좌표축의 원점 x, y, z. 에서 직각삼각형 OAM 나는어디를 따라갑니다. 그리고 점의 반경 벡터이므로 이 동등성을 축에 투영합니다. 유, 우리는 (, - 축 사이의 각도를 얻습니다. 유및 축 x, y, z).

쌀. 14.3.

삼각법에서 알 수 있듯이

그리고 동일한 각도의 코사인을 포함하는 유사한 용어를 그룹화하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

그러나 - 지점으로부터의 거리 중나는 축으로 x, y, z,각기. 그렇기 때문에

어디 나는 x , 나는 y , 나는 z- 좌표축에 대한 신체의 관성 모멘트 나는 xy, J yz, J xz - 원심 관성 모멘트인덱스에 표시된 축을 기준으로 합니다.

두 개의 원심 관성 모멘트(둘 다 인덱스에 한 축의 이름을 포함함)가 0이면 이 축을 호출합니다. 관성의 주축. 예를 들어, J yz = 0그리고 Jxz= 0이면 축 지– 주축관성.

모든 관성 모멘트는 점의 위치에 따라 달라지므로 에 대한, 좌표 원점 선택에서 이러한 관성 모멘트가 결정되는 지점을 나타내는 것이 필요합니다. 질량중심을 좌표의 원점으로 하면 와 함께, 그러면 모든 주요 관성축이 호출됩니다. 관성의 주요 중심축.

주어진 지점에서 좌표축이 관성의 주축이면(이들에 대한 원심 관성 모멘트는 0과 같음) 공식 (2)가 단순화됩니다.

때로는 일부 징후를 기반으로 신체의 주요 관성축을 찾는 것이 어렵지 않습니다.

1. 균질체에 대칭축이 있으면 이 축이 관성의 주요 중심축입니다.

정말. 좌표축을 향하게 합시다 지대칭축을 따라. 그런 다음 신체의 각 지점에 대해 좌표( x i, y i, z i) 좌표가 있는 점을 찾을 수 있습니다( -x i , -y i , -z i) 따라서 원심 관성 모멘트와. 그래서 축은 지– 관성의 주축과 중심축은 다음과 같습니다. 알려진 바와 같이 질량 중심은 대칭축에 위치합니다. 또한 이 축은 대칭축에 위치한 모든 점의 주요 축이 됩니다.

2. 균질체에 대칭면이 있는 경우 대칭면에 수직인 모든 축이 이 평면의 모든 점에 대한 주요 관성축이 됩니다.

축을 지향하자 지어떤 점에서든 대칭면에 수직 에 대한, 거기에 좌표의 원점을 할당합니다. 그런 다음 신체의 각 지점에 대해 좌표( x i, y i, z i) 좌표를 사용하여 대칭점을 찾을 수 있습니다( x i , y i , - z i). 따라서 원심 관성 모멘트는 나는 xz그리고 나는 yz 0과 같습니다. 그래서 축은 지– 관성의 주축.

실시예 9.축에 대한 디스크의 관성 모멘트를 결정합시다 유, 디스크의 대칭축과 비스듬히 위치 지(그림 37).

그림 37

차축 엑스, 와이그리고 지– 관성의 주요 중심축이기 때문에 그것들은 대칭축입니다.

그렇다면 축 사이의 각도는 어디에 있습니까? 유그리고 지; angle - 축 사이의 각도 유그리고 와이, 동일한; angle - 축 사이의 각도 유그리고 엑스, 90°와 같습니다. 그렇기 때문에

미분 시스템의 운동 방정식.

다음으로 구성된 시스템을 고려해보세요. N물질적 포인트. 질량이 있는 시스템의 일부 지점을 선택해 보겠습니다. 한 점(활성 결합과 반응 결합 모두)에 가해진 모든 외부 힘의 결과를 다음과 같이 표시하겠습니다. , 그리고 모든 내부 힘의 결과 - . 점에 가속도가 있는 경우 , 그런 다음 역학의 기본 법칙에 따라

어떤 지점에서든 비슷한 결과를 얻습니다. 따라서 전체 시스템에는 다음이 포함됩니다.

시스템의 각 지점의 운동 법칙을 결정할 수 있는 이러한 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 시스템 운동의 미분 방정식벡터 형태로. 방정식은 다음과 같은 이유로 미분됩니다. 방정식의 우변에 포함된 힘은 일반적으로 시간, 시스템 점의 좌표 및 속도에 따라 달라집니다.

일부 좌표축에 투영함으로써 우리는 이러한 축에 투영된 시스템의 운동 미분 방정식을 얻을 수 있습니다.

시스템 동역학의 주요 문제에 대한 완전한 해결책은 주어진 힘을 알고, 해당 미분 방정식을 통합하고, 이러한 방식으로 시스템의 각 지점의 운동 법칙을 개별적으로 결정하는 것으로 구성됩니다.

그러나 이 솔루션은 일반적으로 두 가지 이유로 사용되지 않습니다. 첫째, 이 경로는 너무 복잡하고 거의 항상 극복할 수 없는 수학적 어려움과 연관되어 있습니다. 둘째, 대부분의 경우 역학 문제를 해결할 때 각 지점의 움직임을 개별적으로 아는 것이 아니라 시스템 전체의 움직임에 대한 요약 특성을 아는 것으로 충분합니다. 이러한 요약 특성은 다음을 사용하여 결정됩니다. 일반 정리우리가 계속해서 연구할 시스템의 역학.

방정식의 주요 역할은 방정식 또는 방정식의 결과가 해당 일반 정리를 얻기 위한 출발점이 된다는 것입니다.

기계 시스템 역학의 일반 정리: 기계 시스템의 질량 중심 이동과 운동량 변화에 관한 정리, 운동 운동량 및 운동 에너지 변화에 관한 정리는 기본 역학 방정식의 결과입니다. 이러한 정리는 기계 시스템에 포함된 개별 점과 물체의 움직임을 고려하지 않지만 기계 시스템의 질량 중심 움직임, 운동량, 운동 모멘트 및 운동 에너지와 같은 일부 통합 특성을 고려합니다. 결과적으로 알려지지 않은 사항은 고려 대상에서 제외됩니다. 내부 세력, 그리고 어떤 경우에는 연결의 반응으로 인해 문제 해결이 크게 단순화됩니다.

강체의 회전을 연구할 때 관성 모멘트의 개념을 사용합니다.

신체를 각각이 물질적 지점으로 간주될 수 있을 정도로 작은 부분으로 나누어 보겠습니다. 허락하다 나- 무게 나-일 재료 포인트, 나는– 어떤 축까지의 거리 영형.

재료 점의 질량과 주어진 축까지의 최단 거리의 제곱을 곱한 값을 축에 대한 재료 점의 관성 모멘트라고 합니다.

신체의 모든 물질적 지점의 관성 모멘트의 합을 다음과 같이 부릅니다. 신체의 관성 모멘트일부 축을 기준으로:

관성 모멘트 단단한쉽게 알 수 있듯이 우리가 관심을 갖는 축을 기준으로 한 질량 분포에 따라 달라집니다.

몸이 질량의 고리라면 중, 반경에 비해 두께가 작음 아르 자형, 중심을 통과하고 후프 평면에 수직인 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

더 복잡한 모양의 몸체의 경우 식 (5.2)의 합산은 다음 공식에 따른 적분법을 사용하여 수행됩니다.

신체의 전체 부피에 걸쳐 통합이 수행되는 곳입니다. 크기 아르 자형
이 경우 좌표를 사용하여 점 위치를 지정하는 기능이 있습니다. 엑스,와이,지.

예를 들어, 디스크 평면에 수직이고 중심을 통과하는 축에 대한 균질 디스크의 관성 모멘트를 찾아보겠습니다. 디스크를 두께 d의 링 레이어로 나누자 아르 자형.

한 레이어의 모든 점은 축에서 동일한 거리에 있습니다. 아르 자형. 이러한 레이어의 볼륨은 다음과 같습니다.

어디 비– 디스크 두께. 디스크는 균질하므로 밀도는 모든 지점에서 동일하며

어디서 d 중 -환형 층의 질량.

이제 식 (5.4)를 사용하여 관성 모멘트를 구합니다.

어디 아르 자형– 디스크 반경;

마지막으로 디스크의 질량을 입력하여 중디스크의 밀도와 부피의 곱과 같습니다.

축을 중심으로 한 일부 균질한 고체의 관성 모멘트, 몸의 질량 중심을 통과, 표에 나와 있습니다. 5.1.

표 5.1

질량 중심을 통과하는 축에 대한 물체의 관성 모멘트를 알면 다른 축에 대한 관성 모멘트를 찾을 수 있습니다. 평행축. 이렇게하려면 다음을 사용해야합니다. 호이겐스-슈타이너 정리:

신체의 관성 모멘트 나임의의 축에 대한 관성 모멘트와 같습니다. IC질량 중심을 통과하는 축과 평행한 축에 대해 기음체질량의 곱에 신체를 더한 것 중거리의 제곱당 에이축 사이:

두 개의 평행 축에 대한 몸체의 관성 모멘트 사이의 연결을 찾아 보겠습니다. 그 중 하나는 질량 중심을 통과합니다. 축에 대한 몸체의 관성 모멘트를 구해 봅시다. 지평행축 zC. 중심선 zC몸의 질량 중심을 통과합니다. 정신적으로 몸을 질량의 입자로 나누자 나, 어디 나– 일련번호. 축을 기준으로 각 입자의 위치를 결정해 보겠습니다. 지그리고 zC. 관성 모멘트의 정의에 따라 회전축까지의 최단 거리(회전축을 중심으로 이동하는 동안 점이 설명하는 원의 반경)는 어디입니까?

그림에서. 5.3 다음은 질량이 있는 점의 관성 모멘트입니다. 나축을 기준으로 지는 다음과 같습니다. , 전체 몸체에 대해 축에 대한 관성 모멘트 지합계와 동일동일한 축에 대한 신체의 모든 입자의 관성 모멘트:

(5.7)

정의에 따르면 – 축에 대한 몸체의 관성 모멘트 zC, 신체의 질량 중심을 통과합니다. , 그 다음에 . 표현 변환될 수 있다 . 다음과 같은 값 축을 기준으로 신체의 질량 중심 위치를 결정합니다. zC. 그림에서 알 수 있듯이, 왜냐하면 질량 중심은 축에 위치 zC.

그러면 우리는 얻는다

(5.8)

– 관성 모멘트 이즈임의의 축에 대한 몸체의 관성 모멘트는 그에 평행한 축에 대한 몸체의 관성 모멘트의 합과 같습니다. zC, 질량 중심을 통과하는 크기, 엄마 2 어디 중– 체중, 에이– 축 사이의 거리.

예.얇은 막대의 관성 모멘트(질량 중및 길이 )는 막대에 수직이고 끝을 통과하는 축에 대해 동일합니다.

관성 모멘트회전축에 대한 시스템 (몸체)은 질량 곱의 합과 같은 물리량입니다 N고려 중인 축까지의 거리의 제곱으로 시스템의 재료 지점을 계산합니다.

연속적인 질량 분포의 경우, 이 합은 적분으로 줄어듭니다.

재료점의 관성모멘트 :

주어진 축을 기준으로 – 점의 질량과 거리의 제곱의 곱과 같은 스칼라 수량입니다. 이 점에서 축까지(J=mr 2, m – 점의 질량, r – 점에서 축까지의 거리)

슈타이너의 정리

슈타이너의 정리 - 공식

슈타이너의 정리에 따르면 임의의 축을 기준으로 계산할 때 몸체의 관성 모멘트는 질량 중심을 통과하고 평행한 축에 대한 몸체의 관성 모멘트의 합에 해당한다는 것이 확립되었습니다. 이 축과 다음 공식 (1)에 따라 축 사이의 거리와 몸체의 질량의 제곱의 곱을 더합니다.

공식에서 각각 다음 값을 사용합니다. d – 축 ОО1║О'O1' 사이의 거리;
J0는 몸체의 관성 모멘트로, 질량 중심을 통과하는 축을 기준으로 계산되며 관계식 (2)에 의해 결정됩니다.

J0 = Jd = mR2/2 (2)

예를 들어, 그림의 후프의 경우 축에 대한 관성 모멘트 오오',같음

길이가 인 직선 막대의 관성 모멘트 축은 막대에 수직이며 끝을 통과합니다.

10) 각운동량 보존의 각운동량 법칙

고정점 O에 대한 물질점 A의 각운동량(운동량)~라고 불리는 물리량, 벡터 곱으로 정의됨:

어디 아르 자형- 점 O에서 점 A까지 그려진 반경 벡터, 피=m 다섯- 재료점의 운동량(그림 1) 엘- 의사 벡터,

그림 1

상대적인 모멘텀 고정축지이 축의 임의의 점 O에 대해 정의된 각운동량 벡터의 이 축에 대한 투영과 동일한 스칼라 수량 Lz라고 합니다. 각운동량 Lz는 z축 상의 점 O의 위치에 의존하지 않습니다.

절대 강체가 고정된 축 z를 중심으로 회전할 때 몸체의 각 점은 속도 v i로 일정한 반경 r i의 원을 따라 이동합니다. 속도 v i 와 운동량 m i v i 는 이 반경에 수직입니다. 즉, 반경은 벡터 m i v i 의 팔입니다. 이는 개별 입자의 각운동량이 다음과 같다고 쓸 수 있음을 의미합니다.

오른쪽 나사의 법칙에 의해 결정된 방향으로 축을 따라 향하게 됩니다.

각운동량 보존 법칙닫힌 몸체 시스템에 대해 선택된 축을 기준으로 모든 각운동량의 벡터 합을 통해 수학적으로 표현되며 시스템이 작용할 때까지 일정하게 유지됩니다. 외력. 이에 따라 어떤 좌표계에서도 닫힌 계의 각운동량은 시간에 따라 변하지 않습니다.

각운동량 보존 법칙은 회전에 대한 공간의 등방성을 나타냅니다.

단순화된 형태로: , 시스템이 평형 상태에 있는 경우.

기본보존법칙, 강체동역학

강체 역학

고정 축을 중심으로 회전합니다.고정된 회전축에 대한 강체의 각운동량은 다음과 같습니다.

투영 방향은 방향과 일치합니다. 김렛 규칙에 의해 결정됩니다. 크기

미분과 관련하여 강체의 관성 모멘트라고 하면 우리는 다음을 얻습니다.

이 방정식은 고정 축을 중심으로 한 강체의 회전 운동 동역학의 기본 방정식이라고 합니다. 회전하는 강체의 운동 에너지도 계산해 보겠습니다.

그리고 몸을 돌릴 때 외력의 작용:

강체의 평면 운동.평면 운동은 질량 중심의 병진 운동과 질량 중심 시스템의 회전 운동이 중첩된 것입니다(1.2절 참조). 질량 중심의 운동은 뉴턴의 제2법칙에 의해 설명되며 결과적인 외부 힘(식 (11))에 의해 결정됩니다. 질량 중심 시스템의 회전 운동은 실제 외부 힘만 있어야 하는 방정식(39)을 따릅니다. 질량 중심에 대한 관성력의 모멘트가 0이기 때문에 고려됩니다(중력 모멘트와 유사, 섹션 1.6의 예 1). 운동에너지평면 운동은 고정 축에 대한 운동량 방정식과 같습니다. 평면에 수직운동은 공식에 의해 계산됩니다 (축에 대한 질량 중심의 속도 팔은 방정식 참조). 부호는 양의 회전 방향 선택에 따라 결정됩니다.

고정점을 이용한 움직임.회전축을 따라 향하는 회전 각속도는 공간과 고체 자체와 관련하여 방향을 변경합니다. 운동 방정식

이는 고정점을 갖는 강체의 기본 운동 방정식이라고 하며, 일반적인 경우 벡터가 벡터와 평행하지 않기 때문에 각운동량이 어떻게 변하는지 알아낼 수 있습니다.

운동 방정식을 마무리하려면 이러한 양을 서로 연관시키는 방법을 배워야 합니다.

자이로스코프.자이로스코프는 대칭축을 중심으로 빠르게 회전하는 강체입니다. 자이로스코프 축의 이동 문제는 자이로스코프 근사법으로 해결할 수 있습니다. 두 벡터는 모두 대칭축을 따라 향합니다. 균형 잡힌 자이로스코프(질량 중심에 고정)는 관성이 없는 특성을 갖고 있습니다. 외부 영향이 사라지면(0으로 바뀌자마자) 축의 움직임이 멈춥니다. 이를 통해 자이로스코프를 사용하여 공간에서 방향을 유지할 수 있습니다.

질량중심이 부착점으로부터 멀리 떨어져 있는 무거운 자이로스코프(그림 12)는 자이로스코프의 축이 수직축을 중심으로 규칙적인 회전(세차운동)을 하기 때문에 수직방향으로 향하는 힘의 모멘트를 받게 된다. 자이로스코프의).

벡터의 끝은 각속도로 반경 a의 수평 원을 따라 회전합니다.

세차운동의 각속도는 a축의 경사각에 의존하지 않습니다.

보존법- 기본 물리 법칙: 특정 조건에서 닫힌 물리 시스템을 특징으로 하는 일부 측정 가능한 물리량이 시간이 지나도 변하지 않습니다.

· 에너지 보존 법칙

운동량 보존 법칙

각운동량 보존 법칙

질량 보존의 법칙

전하 보존 법칙

렙톤수 보존 법칙

중입자 보존 법칙

· 패리티 보존의 법칙

힘의 순간

회전축에 대한 힘의 순간은 팔에 의한 힘의 곱과 같은 물리량입니다.

힘의 순간은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

M - FI, 여기서 F는 힘, I는 힘 팔입니다.

힘의 팔은 힘의 작용선에서 신체의 회전축까지의 최단 거리입니다.

힘의 순간은 힘의 회전 효과를 나타냅니다. 이 동작은 힘과 영향력에 따라 달라집니다. 어떻게 더 많은 어깨, 더 적은 힘을 가해야 하며,

힘의 모멘트의 SI 단위는 1 N의 힘의 순간이며, 그 팔은 1 m - 뉴턴 미터(N·m)와 같습니다.

순간의 법칙

고정된 축을 중심으로 회전할 수 있는 강체는 시계 방향으로 회전하는 힘 M의 순간이 시계 반대 방향으로 회전하는 힘 M2의 순간과 같을 경우 평형 상태에 있습니다.

M1 = -M2 또는 F 1 ll = - F 2 l 2.

한 쌍의 힘의 모멘트는 쌍의 평면에 수직인 모든 축에 대해 동일합니다. 한 쌍의 총 모멘트 M은 항상 제품과 동일어떤 세그먼트 및 /2 축의 위치가 쌍의 어깨를 분할하는지에 관계없이 쌍의 어깨라고 불리는 힘 사이의 거리 I만큼 힘 F 중 하나:

M = FII + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

물체가 고정된 축을 중심으로 회전하는 경우 지각속도, 그다음 선형 속도 나번째 지점 , 나는– 회전축까지의 거리. 따라서,

여기 IC– 관성 중심을 통과하는 순간 회전축에 대한 관성 모멘트.

힘의 순간의 작업.

힘의 일.
직선으로 움직이는 물체에 작용하는 일정한 힘이 하는 일
, 여기서 신체의 변위는 신체에 작용하는 힘입니다.

일반적으로 곡선 경로를 따라 움직이는 물체에 작용하는 가변적인 힘에 의해 수행되는 일은 . 일은 줄(J) 단위로 측정됩니다.

고정된 축을 중심으로 회전하는 물체에 작용하는 힘의 순간의 작용, 어디에 힘의 순간이 있고 는 회전 각도입니다.
일반적으로.
신체가 한 일은 운동 에너지로 전환됩니다.

기계적 진동.

진동- 시간이 지남에 따라 어느 정도 반복되는 시스템 상태를 변경하는 프로세스입니다.

진동은 거의 항상 한 형태의 표현 에너지가 다른 형태로 교대로 변환되는 것과 관련이 있습니다.

진동과 파동의 차이.

다양한 변동 육체적 성격많은 공통 패턴을 가지고 있으며 파동으로 밀접하게 연결되어 있습니다. 따라서 이러한 패턴에 대한 연구는 일반화된 파동 진동 이론에 의해 수행됩니다. 파동과의 근본적인 차이점은 진동 중에는 에너지 전달이 없다는 것입니다. 말하자면 "국소적" 에너지 변환입니다.

진동 특성

진폭 (중)- 시스템의 일부 평균값에서 변동하는 양의 최대 편차.

시간 경과 (비서), 시스템 상태에 대한 모든 지표가 반복되는 (시스템이 하나의 완전한 진동을 생성함) 진동 기간이라고합니다.

단위 시간당 진동 횟수를 진동 주파수( 헤르츠, 초 -1).

진동 주기와 주파수는 역수입니다.

순환 또는 순환 프로세스에서는 "주파수" 특성 대신 개념이 사용됩니다. 회보또는 순환 주파수 (Hz, 초 -1, 회전/초), 시간 2π의 진동 수를 표시합니다.

진동 단계 - 언제든지 변위를 결정합니다. 즉, 진동 시스템의 상태를 결정합니다.

진자 매트 물리적 스프링

. 스프링 진자- 이것은 절대 탄성 스프링에 매달려 있고 탄성력 F = –kx의 작용으로 조화 진동을 수행하는 질량 m의 하중입니다. 여기서 k는 스프링 강성입니다. 진자의 운동 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

공식 (1)에서 용수철 진자는 x = Асos(Ω 0 t+ψ) 법칙에 따라 순환 주파수로 조화 진동을 수행합니다.

및 기간

공식 (3)은 Hooke의 법칙이 충족되는 한계 내, 즉 스프링의 질량이 몸체의 질량에 비해 작은 경우 탄성 진동에 대해 적용됩니다. (2)와 식을 이용한 용수철 진자의 위치에너지 잠재력이전 섹션은 다음과 같습니다.

2. 물리적 진자물체의 질량 중심 C와 일치하지 않는 점 O를 통과하는 고정된 수평축을 중심으로 중력의 영향을 받아 진동하는 고체 몸체입니다(그림 1).

그림 1

진자가 평형 위치에서 특정 각도 α만큼 편향되면 강체의 회전 운동 동역학 방정식을 사용하면 복원력의 모멘트 M은

여기서 J는 서스펜션 점 O를 통과하는 축에 대한 진자의 관성 모멘트이고, l은 축과 진자의 질량 중심 사이의 거리이며, F τ ≒ -mgsinα ≒ -mgα는 복원력입니다. (마이너스 기호는 F τ와 α의 방향이 항상 반대임을 나타냅니다. 진자의 진동이 작은 것으로 간주되므로 진자가 평형 위치에서 작은 각도만큼 편향되기 때문에 sinα ≒ α입니다. 우리는 방정식 (4)를 다음과 같이 씁니다.

취득

우리는 방정식을 얻습니다

(1)과 동일하며, (1)의 해는 다음과 같이 발견되고 작성됩니다.

공식 (6)에 따르면 작은 진동으로 물리적 진자는 순환 주파수 Ω 0 및 주기로 조화 진동을 수행합니다.

여기서 값 L=J/(m 엘) - .

진자 현수의 점 O로부터 주어진 길이 L의 거리에 위치한 연속 직선 OS 위의 점 O'를 호출합니다. 스윙 센터물리적 진자(그림 1). 축의 관성 모멘트에 대해 슈타이너의 정리를 적용하면 다음을 알 수 있습니다.

즉, OO"는 항상 OS보다 큽니다. 진자의 정지점 O와 스윙 중심 O"는 호환성 속성: 서스펜션 지점이 스윙 중심으로 이동하면 이전 서스펜션 지점 O가 새로운 스윙 중심이 되며 물리적 진자의 진동 주기는 변경되지 않습니다.

3. 수학 진자질량이 m인 물질점으로 구성된 이상적인 시스템으로, 신장할 수 없는 무중력 실에 매달려 있고 중력의 영향을 받아 진동합니다. 수학적 진자의 좋은 근사치는 길고 가는 실에 매달려 있는 작고 무거운 공입니다. 수학 진자의 관성 모멘트

어디 엘- 진자의 길이.

수학 진자는 물리적 진자의 특별한 경우이므로 모든 질량이 한 지점, 즉 질량 중심에 집중되어 있다고 가정하고 (8)을 (7)에 대입하면 해당 기간에 대한 표현을 찾을 수 있습니다. 수학 진자의 작은 진동

공식 (7)과 (9)를 비교하면 물리적 진자의 감소된 길이 L이 길이와 같다는 것을 알 수 있습니다. 엘수학 진자의 경우, 이 진자의 진동 주기는 동일합니다. 수단, 물리적 진자의 길이 감소- 이것은 진동 주기가 주어진 물리적 진자의 진동 주기와 일치하는 수학적 진자의 길이입니다.

가르. 변동과 성격.

진동시간이 지남에 따라 특정 반복성을 특징으로 하는 동작 또는 프로세스를 호출합니다. 진동 과정은 자연과 기술에 널리 퍼져 있습니다. 예를 들어 시계 진자의 진동, 교대 전류등

가장 간단한 유형의 진동은 다음과 같습니다. 고조파 진동- 사인(코사인)의 법칙에 따라 변동량이 시간에 따라 변하는 진동. 특정 값 s의 고조파 진동은 다음 형식의 방정식으로 설명됩니다.

여기서 Ω 0 - 원형(순환) 주파수, A - 변동량의 최대 값 진동 진폭, φ - 진동의 초기 단계시간 t=0에서, (Ω 0 t+ψ) - 진동 단계시간 t에. 진동 위상은 주어진 순간의 진동량의 값입니다. 코사인은 +1부터 -1까지의 값을 가지므로 s는 +A부터 -A까지의 값을 가질 수 있습니다.

고조파 진동을 수행하는 시스템의 특정 상태는 일정 시간 T 후에 반복됩니다. 진동 기간, 그 동안 진동 단계는 2π의 증가(변화)를 받습니다. 즉

진동주기의 역수는 다음과 같습니다.

즉, 단위 시간당 발생하는 완전한 진동 수를 호출합니다. 진동 주파수. (2)와 (3)을 비교하면,

주파수 단위 - 헤르츠(Hz): 1Hz는 하나의 프로세스 사이클이 1초에 완료되는 주기적 프로세스의 주파수입니다.

진동 진폭

고조파 진동의 진폭은 다음과 같습니다. 가장 높은 가치평형 위치에서 신체의 변위. 진폭은 다양한 값을 가질 수 있습니다. 이는 평형 위치에서 초기 순간에 신체를 얼마나 변위시키는가에 따라 달라집니다.

진폭은 초기 조건, 즉 초기 순간에 신체에 전달된 에너지에 의해 결정됩니다. 사인과 코사인은 -1에서 1 사이의 값을 가질 수 있으므로 방정식에는 진동의 진폭을 나타내는 Xm 계수가 포함되어야 합니다. 운동 방정식 고조파 진동:

x = Xm*cos(Ω0*t).

시든. 콜브와 그들의 하르

감쇠진동

진동 감쇠는 진동 시스템에 의한 에너지 손실로 인해 시간이 지남에 따라 진동 진폭이 점진적으로 감소하는 것입니다.

감쇠가 없는 자연 진동은 이상화입니다. 감쇠 이유는 다를 수 있습니다. 안에 기계 시스템마찰이 있으면 진동이 감쇠됩니다. 안에 전자기 회로시스템을 형성하는 도체의 열 손실로 인해 진동 에너지가 감소합니다. 진동 시스템에 저장된 에너지가 모두 소모되면 진동이 중지됩니다. 따라서 진폭 감쇠진동 0이 될 때까지 감소합니다.

여기서 β – 감쇠 계수

새로운 표기법 미분 방정식감쇠 진동의 형식은 다음과 같습니다.

. 여기서 β – 감쇠 계수여기서 Ω0는 진동 시스템에서 에너지 손실이 없을 때 감쇠되지 않은 자유 진동의 주파수입니다.

이것은 2차 선형미분방정식이다.

감쇠 주파수:

모든 진동 시스템에서 감쇠는 주파수를 감소시키고 그에 따라 진동 주기를 증가시킵니다.

(실제 루트만이 물리적 의미를 갖습니다. 따라서 ).

감쇠 진동 기간:

비감쇠 진동의 기간 개념에 부여된 의미는 진동 시스템이 진동 에너지 손실로 인해 원래 상태로 돌아오지 않기 때문에 감쇠 진동에는 적합하지 않습니다. 마찰이 있으면 진동이 느려집니다.

감쇠 진동 기간시스템이 한 방향으로 두 번 평형 위치를 통과하는 최소 시간입니다.

감쇠 진동의 진폭:

스프링 진자의 경우.

감쇠 진동의 진폭은 일정한 값이 아니지만 시간이 지남에 따라 변하며 계수 β가 커질수록 빨라집니다. 따라서 앞에서 비감쇠 자유 진동에 대해 제공된 진폭 정의는 감쇠 진동에 대해 변경되어야 합니다.

작은 감쇠의 경우 감쇠 진동의 진폭일정 기간 동안 평형 위치에서 가장 큰 편차라고 합니다.

감쇠 진동의 진폭 변화는 지수 법칙에 따라 발생합니다.

시간 τ 동안 진동 진폭이 "e"배만큼 감소한다고 가정합니다("e"는 기본임) 자연로그, e ≒ 2.718). 그런 다음 한편으로는 진폭 A zat를 설명했습니다. (t) 및 Azat. (t+τ), 우리는 . 이러한 관계로부터 βτ = 1을 따르므로

강제 진동.

1.10. 회전 운동의 역학에 대한 방정식

물질적 포인트 시스템으로서의 견고한 몸체. 강체의 관성 중심 이동. 회전체의 운동 에너지. 고정 축에 대한 관성 모멘트의 개념. 슈타이너의 정리. 일부의 관성 모멘트 가장 간단한 시체. 고정 축을 기준으로 한 회전 운동의 동역학 방정식.

강체의 운동은 일반적으로 두 개의 벡터 방정식에 의해 결정됩니다. 그 중 하나는 질량 중심의 운동 방정식(4.11)이고, 다른 하나는 와 함께-시스템(6.24):

(10 . 1 )

외력 작용의 법칙, 적용 지점 및 초기 조건을 알면 이러한 방정식을 사용하여 언제든지 강체의 각 지점의 속도와 위치를 찾는 것이 가능합니다. 신체 움직임의 문제. 그러나 방정식 (10.1)의 명백한 단순성에도 불구하고 일반적인 경우에 방정식을 푸는 것은 매우 어려운 작업입니다. 이는 주로 적절한 각운동량과 강체의 개별 지점 속도 사이의 관계에 기인합니다. 와 함께-몇 가지 특별한 경우를 제외하면 시스템이 복잡해집니다. 우리는 이 문제를 일반적인 형태(이론 역학 과정에서 해결됨)로 고려하지 않을 것이며 앞으로는 개별적인 특수 사례에만 국한할 것입니다.

우리가 힘의 작용 방향을 따라 힘을 움직이면 결과나 전체 순간이 변하지 않을 것이 분명합니다. 이 경우 방정식 (10.1)도 변경되지 않으므로 강체의 운동도 변경되지 않습니다. 따라서 외부 힘의 적용 지점은 힘의 작용 방향을 따라 전달될 수 있습니다. 이는 지속적으로 사용되는 문제 해결을 위한 편리한 기술입니다.

이제 합력의 개념을 고려해 보겠습니다. 모든 외부 힘의 총 모멘트가 결과 힘에 수직인 경우, 즉 모든 외부 힘은 다음과 같이 감소될 수 있습니다. 하나 특정 직선을 따라 작용하는 힘. 실제로 어떤 점과 관련하여 에 대한총 모멘트 , 그러면 주어진 벡터(그림 10.1)를 항상 찾을 수 있습니다.

이 경우 선택이 모호합니다. 벡터를 추가하면

병렬은 마지막 평등을 변경하지 않습니다. 그리고 이는 이러한 평등이 힘의 "적용" 지점이 아니라 그 행동 방향을 결정한다는 것을 의미합니다. 모듈 알기 중 그리고 에프 대응하는 벡터, 우리는 어깨를 찾을 수 있습니다 엘힘(그림 6.14): .

따라서, 만약 , 강체의 개별 지점에 작용하는 힘의 시스템은 다음과 같이 대체될 수 있습니다. 합력 -합력과 같고 모든 외부 힘의 총 모멘트와 동일한 모멘트를 생성하는 힘.

이러한 경우는 각 입자에 작용하는 힘이 다음과 같은 형태를 갖는 중력장과 같은 균일한 힘장의 작용입니다. 이 경우, 임의의 지점에 대한 총 중력 모멘트 에 대한같음

괄호 안의 합은 몸체의 질량이 점을 기준으로 한 질량 중심의 반경 벡터인 곳과 같습니다. 영형. 그렇기 때문에

이는 중력의 합력이 신체의 질량 중심을 통과한다는 것을 의미합니다. 일반적으로 중력의 합력은 신체의 질량 중심 또는 무게 중심에 적용된다고 합니다. 몸체의 질량 중심에 대한 이 힘의 순간은 0입니다.

이제 강체 운동의 특별한 경우를 고려해 보겠습니다.

고정 축을 중심으로 회전합니다.

고정된 축을 중심으로 한 강체의 회전을 고려해 보겠습니다. 축에 대한 강체의 각운동량에 대한 표현을 찾아 보겠습니다. 00" (그림 6.15). 입자의 각운동량은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 과 는 고체 입자의 회전축으로부터의 질량과 거리이며 각속도입니다. I로 괄호 안에 수량을 표시하면,

(10 .2)

재료점의 관성모멘트회전축에 대한 상대적인 점의 질량과 축으로부터의 최단 거리의 제곱의 곱이라고 합니다.

시스템의 관성 모멘트 (시체) 회전축을 기준으로 질량의 곱의 합과 같은 물리량이다 N 고려 중인 축까지의 거리의 제곱으로 시스템의 재료 지점을 계산합니다.

강체의 관성 모멘트는 관심 축을 기준으로 한 질량 분포에 따라 달라지며 추가되는 양입니다. 신체의 관성 모멘트는 공식을 사용하여 계산됩니다.

여기서 dm과 dV는 관심 있는 z축에서 멀리 떨어진 물체 요소의 질량과 부피이고, 는 주어진 지점에서의 물체의 밀도입니다.

몸체의 질량 중심을 통과하는 축에 대한 일부 균질한 고체의 관성 모멘트는 다음 표에 나와 있습니다(여기서 m은 몸체의 질량입니다).

고체의 종류	축 위치	관성 모멘트
가는 막대 길이 L	막대에 수직
반경 R의 솔리드 원통	실린더 축과 일치
반경 R의 얇은 디스크	디스크 직경과 동일
반경 R의 공	공의 중앙을 통과합니다.

하나 또는 다른 축을 기준으로 임의 모양의 솔리드 바디의 관성 모멘트를 계산하는 것은 일반적으로 다소 힘든 수학적 작업입니다. 그러나 어떤 경우에는 다음을 사용하면 관성 모멘트를 찾는 것이 크게 단순화됩니다. 슈타이너의 정리 : 관성 모멘트 나임의의 축을 기준으로 지주어진 축에 평행하고 질량 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트와 같습니다. 와 함께신체와 질량의 곱 티평방 거리당 몸체 에이축 사이:

(10 . 4 )

따라서 관성모멘트를 알면 관성모멘트를 구하면 됩니다. 나초등학교. 예를 들어, 얇은 막대의 관성 모멘트(질량 티그리고 길이 엘) 막대에 수직이고 끝을 통과하는 축에 대해

운동에너지회전 운동-회전과 관련된 신체의 에너지. 고정된 회전축을 가진 회전하는 강체의 운동 에너지에 대한 표현을 구해 보겠습니다. 회전하는 강체의 입자 속도와 각속도 사이의 연결을 고려하여 다음과 같이 씁니다.

또는 더 간략하게

질량 중심을 통과하는 회전축에 대한 신체의 관성 모멘트는 신체의 각속도, m은 질량, K-에서 신체 관성 중심의 속도입니다. 참조 프레임. 따라서, 평면 운동에서 강체의 운동 에너지는 C 시스템의 회전 에너지와 질량 중심의 이동과 관련된 에너지로 구성됩니다..

적어보자 강체 회전의 역학에 대한 기본 방정식 와 함께고정된 회전축. 이 방정식은 재료 점에 대한 모멘트 방정식의 결과로 쉽게 얻을 수 있습니다. 시간에 대해 (10.2)를 미분하면

(10 . 7 )

회전축에 대한 모든 외부 힘의 총 모멘트는 회전축에 대한 각가속도의 투영입니다. 특히 이 방정식에서 관성 모멘트가 나회전하는 동안 강체의 관성 속성을 결정합니다. 동일한 힘 모멘트 값에 대해 관성 모멘트가 큰 몸체는 더 작은 각가속도를 얻습니다. 축에 대한 힘의 모멘트는 대수적 양입니다. 그 부호는 축의 양의 방향 선택에 따라 달라집니다. 지, 회전축과 일치하고 방향에서

해당 힘의 순간의 "회전". 예를 들어 양의 축 방향을 선택하면 지, 그림과 같이. 10.3에서는 각도 기준의 양의 방향을 설정합니다. 이 두 방향은 모두 오른쪽 나사의 규칙에 따라 관련됩니다. 특정 순간이 각도의 양의 방향으로 "회전"하면 양의 것으로 간주되고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 그리고 총 모멘트의 부호는 각가속도 벡터의 z축 투영 부호를 결정합니다.

초기 조건(각속도와 각도의 값, 초기 순간의 값)을 고려한 방정식 (10.7)을 통합하면 고정 축을 중심으로 강체의 회전 문제를 완전히 해결할 수 있습니다. 즉, 각속도와 회전각의 시간 의존성을 구합니다.

방정식 (10.7)은 다음에서 유효합니다. 어느 회전축에 견고하게 연결된 기준 시스템. 그러나 기준 좌표계가 비관성이라면 힘의 모멘트에는 다른 물체와 상호 작용하는 힘의 모멘트뿐만 아니라 관성력의 모멘트도 포함된다는 점을 기억해야 합니다.

우리는 종종 "비활성이다", "관성에 의해 움직인다", "관성 모멘트"라는 표현을 듣습니다. 비유적인 의미에서 “관성”이라는 단어는 주도성과 행동력이 부족하다는 의미로 해석될 수 있습니다. 우리는 직접적인 의미에 관심이 있습니다.

관성이란 무엇입니까?

정의에 따르면 관성물리학에서는 외부 힘이 없을 때 정지 또는 운동 상태를 유지하는 신체의 능력을 말합니다.

직관적인 수준의 관성 개념으로 모든 것이 명확하다면 관성 모멘트– 별도의 질문입니다. 동의하십시오. 그것이 무엇인지 마음 속으로 상상하기는 어렵습니다. 이 기사에서는 주제에 대한 기본적인 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. "관성 모멘트".

관성 모멘트 결정

학교 과정에서 다음과 같이 알려져 있습니다. 질량 - 신체의 관성의 척도. 질량이 다른 두 수레를 밀면 더 무거운 수레를 멈추기가 더 어려워집니다. 즉, 질량이 클수록 신체의 움직임을 변화시키는 데 필요한 외부 영향이 커집니다. 고려된 내용은 예제의 카트가 직선으로 이동할 때 병진 운동에 적용됩니다.

질량과 비유하여 전진 운동관성 모멘트는 축을 중심으로 회전 운동하는 동안 몸체의 관성을 측정한 것입니다.