ln은 무슨 뜻인가요? 자연 로그의 속성: 그래프, 밑, 함수, 극한, 공식 및 정의 영역. 임의의 성장을 위해 자연 로그 사용

1.1. 정수 지수의 지수 결정

1.2. 영도.

1.3. 부정적인 학위.

1.4. 분수 거듭제곱, 루트.

예: X 1/2 = √X.

1.5. 능력을 추가하는 공식.

1.6.제곱 빼기 공식.

1.7. 힘을 곱하는 공식.

1.8. 분수를 거듭제곱하는 공식입니다.

2. 번호 e.

E = lim(1+1/N), N → 과 같습니다.

17자리의 정확도로 숫자 e는 2.71828182845904512입니다.

3. 오일러의 평등.

E (i*pi) + 1 = 0

4. 지수 함수 exp(x)

5. 지수 함수의 미분

(특급(x))" = 특급(x)

6. 로그.

6.1. 로그 함수의 정의

Y = 로그 b(x).

로그는 숫자를 어느 정도 거듭제곱해야 하는지 보여줍니다. 즉, 주어진 숫자(X)를 얻기 위해 로그의 밑수(b)를 나타냅니다. 로그 함수는 0보다 큰 X에 대해 정의됩니다.

예: 로그 10(100) = 2.

6.2. 십진 로그

Y = 로그 10(x).

Log(x)로 표시: Log(x) = Log 10(x).

십진 로그 사용의 예는 데시벨입니다.

6.3. 데시벨

6.4. 이진 로그

Y = 로그 2(x).

Lg(x)로 표시: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. 자연로그

Y = 로그 e(x) .

Ln(x)로 표시: Ln(x) = Log e(X)
자연로그 - 역함수지수 함수 exp(X)에 적용됩니다.

6.6. 특징적인 점

6.7. 제품 로그 공식

6.8. 몫의 로그 공식

6.9. 거듭제곱 공식의 로그

6.10. 밑이 다른 로그로 변환하는 공식

예:

로그 2(8) = 로그 10(8)/로그 10(2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. 생활에 유용한 공식

종종 부피를 면적이나 길이로 변환하는 문제와 반대의 문제, 즉 면적을 부피로 변환하는 문제가 있습니다. 예를 들어, 보드는 큐브(입방미터)로 판매되며 특정 볼륨에 포함된 보드로 덮을 수 있는 벽 면적을 계산해야 합니다. 보드 계산, 큐브에 보드 수를 참조하세요. 또는 벽의 치수를 알고 있는 경우 벽돌 수를 계산해야 합니다. 벽돌 계산을 참조하세요.

소스에 대한 활성 링크가 설치된 경우 사이트 자료를 사용할 수 있습니다.

그래서 우리는 2의 거듭제곱을 가지고 있습니다. 맨 밑줄에서 숫자를 취하면 이 숫자를 얻기 위해 두 개를 올려야 하는 힘을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어 16을 얻으려면 2의 4승을 올려야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6승을 올려야 합니다. 이는 표를 보면 알 수 있습니다.

이제 실제로 로그의 정의는 다음과 같습니다.

x의 로그 밑은 x를 얻기 위해 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법: log a x = b, 여기서 a는 밑, x는 인수, b는 로그가 실제로 동일한 값입니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(2 3 = 8이므로 8의 밑이 2인 로그는 3입니다). 동일한 성공으로 2 6 = 64이므로 로그 2 64 = 6입니다.

주어진 밑수에 대한 숫자의 로그를 찾는 작업을 로그화라고 합니다. 이제 테이블에 새 줄을 추가해 보겠습니다.

불행하게도 모든 로그가 그렇게 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 로그 2 5를 찾으십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리에 따르면 로그는 구간 어딘가에 있을 것입니다. 왜냐면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하의 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 결코 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 log 2 5, log 3 8, log 5 100과 같이 그대로 두는 것이 좋습니다.

로그는 두 개의 변수(밑수와 인수)가 있는 표현식이라는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 많은 사람들은 처음에는 근거가 어디에 있고 주장이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하려면 그림을 살펴보십시오.

[사진 캡션]

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 거듭제곱이다, 인수를 얻으려면 기반을 구축해야 합니다. 거듭제곱된 베이스입니다. 그림에서 빨간색으로 강조 표시되어 있습니다. 베이스는 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 수업에서 학생들에게 이 놀라운 규칙을 말하는데, 아무런 혼란도 일어나지 않습니다.

우리는 정의를 알아냈습니다. 남은 것은 로그를 계산하는 방법을 배우는 것입니다. "로그" 표시를 제거하세요. 우선, 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 주목합니다.

1. 인수와 밑은 항상 0보다 커야 합니다. 이는 로그의 정의가 축소되는 유리수 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
2. 기초는 하나와 달라야 합니다. 왜냐하면 하나는 어느 정도까지 여전히 하나로 남아 있기 때문입니다. 그렇기 때문에 “두 개를 얻으려면 어떤 권세까지 올라가야 하는가”라는 질문은 의미가 없습니다. 그런 정도는 없습니다!

이러한 제한을 호출합니다. 허용 가능한 값의 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

숫자 b(로그 값)에는 제한이 없습니다. 예를 들어, 로그는 음수가 될 수도 있습니다: log 2 0.5 = −1, 왜냐하면 0.5 = 2 −1.

그러나 이제 우리는 로그의 VA를 알 필요가 없는 수치 표현만을 고려하고 있습니다. 문제 작성자는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 로그 방정식과 부등식이 적용되면 DL 요구 사항이 필수가 됩니다. 결국, 근거와 주장에는 위의 제한 사항과 반드시 ​​일치하지 않는 매우 강력한 구성이 포함될 수 있습니다.

이제 로그 계산을 위한 일반적인 방식을 살펴보겠습니다. 이는 세 단계로 구성됩니다.

1. 밑수 a와 인수 x를 가능한 최소 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현합니다. 그 과정에서 소수를 없애는 것이 더 좋습니다.
2. 변수 b에 대한 방정식을 풉니다. x = a b ;
3. 결과 숫자 b가 답이 될 것입니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이는 첫 번째 단계에서 이미 표시됩니다. 밑이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 중요합니다. 이렇게 하면 오류 가능성이 줄어들고 계산이 크게 단순화됩니다. 같은 소수: 즉시 일반으로 변환하면 오류가 훨씬 줄어 듭니다.

구체적인 예를 사용하여 이 체계가 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

일. 로그를 계산합니다: log 5 25

1. 밑수와 인수를 5의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. 방정식을 만들고 풀어 봅시다:
   로그 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. 우리는 다음과 같은 답변을 받았습니다: 2.

일. 로그를 계산합니다.

[사진 캡션]

일. 로그를 계산합니다: log 4 64

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. 방정식을 만들고 풀어 봅시다:
   로그 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. 우리는 다음과 같은 답변을 받았습니다: 3.

일. 로그를 계산합니다: log 16 1

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. 방정식을 만들고 풀어 봅시다:
   로그 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. 우리는 0이라는 답변을 받았습니다.

일. 로그를 계산합니다: log 7 14

1. 밑수와 인수를 7의 거듭제곱으로 상상해 봅시다. 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 표현될 수 없습니다. 왜냐하면 7 1이기 때문입니다.< 14 < 7 2 ;
2. 이전 단락에서 로그는 계산되지 않습니다.
3. 대답은 변화가 없다는 것입니다: 로그 7 14.

마지막 예에 대한 작은 참고 사항입니다. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아니라는 것을 어떻게 확신할 수 있습니까? 매우 간단합니다. 소인수로 인수분해하면 됩니다. 그리고 그러한 요소가 동일한 지수를 가진 거듭제곱으로 수집될 수 없다면 원래 숫자는 정확한 거듭제곱이 아닙니다.

일. 숫자가 정확한 거듭제곱인지 알아보세요: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - 정확한 차수, 왜냐하면 승수는 단 하나뿐입니다.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - 3과 2의 두 가지 요인이 있으므로 정확한 거듭제곱은 아닙니다.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - 정확한 정도;
35 = 7 · 5 - 역시 정확한 거듭제곱은 아닙니다.
14 = 7 · 2 - 역시 정확한 정도는 아닙니다.

또한 소수 자체는 항상 자신의 정확한 거듭제곱이라는 점에 유의하세요.

십진 로그

일부 로그는 너무 흔해서 특별한 이름과 기호를 갖습니다.

x의 십진 로그는 밑이 10인 로그입니다. 즉, 숫자 x를 얻기 위해 숫자 10을 거듭제곱해야 합니다. 명칭 : LG X.

예를 들어, 로그 10 = 1; LG 100 = 2; LG 1000 = 3 - 등.

이제부터 교과서에 "Find lg 0.01"과 같은 문구가 나오면 알아두세요. 이것은 오타가 아닙니다. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이 표기법에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 십진 로그에도 참입니다.

자연로그

자체 지정이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 면에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 그것은 약자연로그에 대해서.

x의 자연 로그는 e를 밑으로 하는 로그입니다. 즉, 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 거듭제곱해야 합니다. 명칭: ln x .

많은 사람들이 묻습니다. 숫자 e는 무엇입니까? 이는 비합리적인 숫자입니다. 정확한 값을 찾아 기록할 수 없습니다. 나는 첫 번째 수치만을 제시할 것이다:
전자 = 2.718281828459...

이 숫자가 무엇인지, 왜 필요한지에 대해서는 자세히 설명하지 않겠습니다. e가 자연 로그의 밑이라는 점을 기억하세요.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - 등. 반면에 ln2는 무리수이다. 일반적으로 유리수의 자연 로그는 무리수입니다. 물론, 단결의 경우는 제외됩니다: ln 1 = 0.

자연로그의 경우 일반 로그에 적용되는 모든 규칙이 유효합니다.

밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 숫자 b를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 지수입니다.

그렇다면.

로그 - 극단 중요한 수학적 양, 대수 미적분학은 다음을 풀 수 있을 뿐만 아니라 지수 방정식, 또한 지표를 사용하여 작동하고, 지수 및 로그 함수를 차별화하고, 이를 통합하여 보다 수용 가능한 계산 형식으로 만듭니다.

로그의 모든 속성은 속성과 직접 관련됩니다. 지수함수. 예를 들어, 다음을 의미합니다:

특정 문제를 해결할 때 로그의 속성이 거듭제곱 작업 규칙보다 더 중요하고 유용할 수 있다는 점에 유의해야 합니다.

몇 가지 정체성을 제시해 보겠습니다.

기본적인 대수식은 다음과 같습니다.

;

.

주목! x>0, x≠1, y>0인 경우에만 존재할 수 있습니다.

자연 로그가 무엇인지에 대한 질문을 이해하려고 노력합시다. 수학에 대한 특별한 관심 두 가지 유형을 표현- 첫 번째 것은 숫자 "10"을 밑으로 하며 "십진 로그"라고 합니다. 두 번째는 자연이라고합니다. 자연로그의 밑은 숫자 "e"입니다. 이에 대해 이 기사에서 자세히 설명하겠습니다.

명칭:

• lg x - 십진수;
• ln x - 자연적입니다.

항등식을 사용하면 ln e = 1이라는 사실과 lg 10=1이라는 사실도 알 수 있습니다.

자연로그 그래프

표준 고전 방법을 사용하여 점별로 자연 로그의 그래프를 구성해 보겠습니다. 원한다면 함수를 검사하여 함수를 올바르게 구성하고 있는지 확인할 수 있습니다. 그러나 로그를 올바르게 계산하는 방법을 알기 위해서는 "수동"으로 작성하는 방법을 배우는 것이 좋습니다.

함수: y = ln x. 그래프가 통과할 점의 표를 작성해 보겠습니다.

인수 x의 이러한 특정 값을 선택한 이유를 설명하겠습니다. 그것은 정체성에 관한 것입니다: . 자연 로그의 경우 이 항등식은 다음과 같습니다.

편의상 다음과 같은 5가지 기준점을 취할 수 있습니다.

;

;

.

;

.

따라서 자연 로그를 계산하는 것은 매우 간단한 작업입니다. 또한 거듭제곱을 사용한 연산 계산을 단순화하여 다음과 같이 변환합니다. 평범한 곱셈.

그래프를 점별로 그리면 대략적인 그래프를 얻을 수 있습니다.

자연 로그의 정의 영역(즉, 인수 X의 모든 유효한 값)은 모두 0보다 큰 숫자입니다.

주목!자연로그 정의 영역에는 양수만 포함됩니다! 정의 범위에는 x=0이 포함되지 않습니다. 이는 로그의 존재 조건에 따르면 불가능합니다.

값의 범위(즉, 함수 y = ln x의 모든 유효한 값)는 간격의 모든 숫자입니다.

자연 로그 한도

그래프를 연구하면 다음과 같은 질문이 생깁니다. 함수가 y에서 어떻게 작동합니까?<0.

분명히 함수의 그래프는 y축을 가로지르는 경향이 있지만 x에서 자연 로그가 발생하므로 그렇게 할 수 없습니다.<0 не существует.

자연의 한계 통나무다음과 같이 작성할 수 있습니다.

로그의 밑을 바꾸는 공식

자연로그를 다루는 것은 임의의 밑을 갖는 로그를 다루는 것보다 훨씬 쉽습니다. 그래서 우리는 어떤 로그를 자연로그로 줄이는 방법이나 자연로그를 통해 임의의 밑수로 표현하는 방법을 배우려고 노력할 것입니다.

로그 항등식부터 시작해 보겠습니다.

그런 다음 임의의 숫자 또는 변수 y는 다음과 같이 표시될 수 있습니다.

여기서 x는 임의의 숫자입니다(로그의 속성에 따라 양수).

이 표현은 양변에 대수적으로 취해질 수 있습니다. 임의의 베이스 z를 사용하여 이 작업을 수행해 보겠습니다.

속성을 사용해 보겠습니다(“c” 대신 표현식이 있습니다).

여기에서 우리는 보편적인 공식을 얻습니다:

.

특히, z=e인 경우:

.

두 자연로그의 비율을 통해 임의의 밑수에 대한 로그를 표현할 수 있었습니다.

우리는 문제를 해결합니다

자연로그를 더 잘 이해하기 위해 몇 가지 문제의 예를 살펴보겠습니다.

문제 1. 방정식 ln x = 3을 풀어야 합니다.

해결책:로그 정의를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

문제 2. 방정식 (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3을 풉니다.

해결책: 로그 정의를 사용하여 if , then 을 얻으면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

.

로그의 정의를 다시 사용해 보겠습니다.

.

따라서:

.

답변을 대략적으로 계산하거나 이 형식으로 남겨둘 수 있습니다.

작업 3.방정식을 풀어보세요.

해결책:치환을 해보자: t = ln x. 그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다.

.

우리는 이차 방정식을 가지고 있습니다. 판별식을 찾아봅시다:

통계 및 확률 이론에서는 로그 양이 매우 자주 발견됩니다. 숫자 e는 종종 지수량의 증가율을 반영하기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

컴퓨터 과학, 프로그래밍 및 컴퓨터 이론에서는 예를 들어 N 비트를 메모리에 저장하기 위해 로그가 자주 발견됩니다.

프랙탈 및 차원 이론에서는 로그가 지속적으로 사용됩니다. 프랙탈의 차원은 로그의 도움을 통해서만 결정되기 때문입니다.

역학과 물리학에서로그를 사용하지 않은 구간은 없습니다. 기압분포, 통계적 열역학의 모든 원리, 치올코프스키 방정식 등은 로그만을 사용하여 수학적으로 설명할 수 있는 과정입니다.

화학에서 로그는 Nernst 방정식과 산화환원 과정 설명에 사용됩니다.

놀랍게도 음악에서도 옥타브의 부분 수를 알아내기 위해 로그를 사용합니다.

자연 로그 함수 y=ln x 해당 속성

자연로그의 주요 성질 증명

전혀 나쁘지 않죠? 수학자들이 길고 혼란스러운 정의를 제공하기 위해 단어를 검색하는 동안 이 간단하고 명확한 정의를 자세히 살펴보겠습니다.

숫자 e는 성장을 의미합니다.

숫자 e는 지속적인 성장을 의미합니다. 이전 예에서 보았듯이, e x를 사용하면 이자와 시간을 연결할 수 있습니다. "복리"를 가정하면 100% 성장의 3년은 300% 성장의 1년과 같습니다.

임의의 백분율 및 시간 값(4년 동안 50%)을 대체할 수 있지만 편의상 백분율을 100%로 설정하는 것이 좋습니다(2년 동안 100%임). 100%로 이동하면 시간 구성 요소에만 집중할 수 있습니다.

e x = e 퍼센트 * 시간 = e 1.0 * 시간 = e 시간

분명히 e x는 다음을 의미합니다.

• x 단위의 시간 후에 내 기여도가 얼마나 증가합니까(100% 지속적인 성장을 가정).
• 예를 들어, 3번의 시간 간격 후에 e 3 = 20.08배 더 많은 "사물"을 받게 됩니다.

e x는 x 시간 내에 어느 수준까지 성장할 것인지를 보여주는 배율 인수입니다.

자연 로그는 시간을 의미합니다.

자연로그는 반대(opposite)를 뜻하는 고급 용어인 e의 역수입니다. 특이한 점에 대해 말하면; 라틴어에서는 logarithmus naturali라고 불리므로 약어 ln입니다.

그리고 이 반전이나 반대는 무엇을 의미하는가?

• e x를 사용하면 시간을 대체하고 성장할 수 있습니다.
• ln(x)를 사용하면 성장이나 소득을 얻고 이를 창출하는 데 걸리는 시간을 알아낼 수 있습니다.

예를 들어:

• e 3은 20.08과 같습니다. 세 번의 기간이 지나면 우리는 처음보다 20.08배 더 많은 것을 갖게 될 것입니다.
• ln(08/20)은 약 3이 됩니다. 20.08배의 성장에 관심이 있다면 3개의 기간이 필요합니다(다시 100% 지속적인 성장을 가정).

아직도 읽고 있나요? 자연 로그는 원하는 수준에 도달하는 데 필요한 시간을 나타냅니다.

이 비표준 로그 카운트

로그를 살펴 보셨나요? 그들은 이상한 생물입니다. 그들은 어떻게 곱셈을 덧셈으로 바꾸었을까요? 나눗셈을 뺄셈으로 하면 어떨까요? 어디 보자.

ln(1)은 무엇과 같나요? 직관적으로 문제는 내가 가지고 있는 것보다 1배 더 많은 것을 얻으려면 얼마나 기다려야 하는가입니다.

영. 영. 별말씀을요. 당신은 이미 그것을 한 번 가지고 있습니다. 1단계에서 1단계로 올라가는 데는 오랜 시간이 걸리지 않습니다.

• 로그(1) = 0

좋습니다. 분수값은 어떻습니까? 사용 가능한 수량의 1/2이 남을 때까지 얼마나 걸릴까요? 우리는 100% 지속적인 성장에서 ln(2)가 두 배가 되는 데 걸리는 시간을 의미한다는 것을 알고 있습니다. 만약 우리가 시간을 되돌리자(즉, 음의 시간을 기다리면) 우리는 우리가 가지고 있는 것의 절반을 얻게 됩니다.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

논리적이죠? 0.693초로 되돌아가면(시간을 되돌려) 사용 가능한 양의 절반을 찾을 수 있습니다. 일반적으로 분수를 뒤집어서 음수 값을 취할 수 있습니다: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. 즉, 1.09배로 시간을 되돌려보면 현재 숫자의 3분의 1밖에 찾을 수 없다는 뜻이다.

좋습니다. 음수의 로그는 어떻습니까? 박테리아 군집을 1에서 -3까지 "성장"시키는 데 얼마나 걸리나요?

이건 불가능해요! 박테리아 수치가 음성으로 나올 수는 없잖아요, 그렇죠? 최대(어...최소) 0을 얻을 수 있지만 이 작은 동물로부터 음수를 얻을 수 있는 방법은 없습니다. 부정적인 박테리아 수치는 단순히 의미가 없습니다.

• ln(음수) = 정의되지 않음

"정의되지 않음"은 음수 값을 얻기 위해 기다려야 하는 시간이 없음을 의미합니다.

로그 곱셈은 정말 재미있습니다.

4배로 성장하는 데 얼마나 걸릴까요? 물론 ln(4)만 사용할 수도 있습니다. 그러나 이것은 너무 간단하므로 다른 방향으로 가겠습니다.

4배 성장을 두 배로 늘리고(ln(2) 시간 단위 필요) 다시 두 배로 늘리는 것(추가 ln(2) 시간 단위 필요)으로 생각할 수 있습니다.

• 4배 성장하는 데 걸리는 시간 = ln(4) = 2배가 되고 다시 2배가 되는 데 걸리는 시간 = ln(2) + ln(2)

흥미로운. 20과 같은 성장률은 10배 증가 직후에 두 배로 증가한 것으로 간주될 수 있습니다. 또는 4배 성장한 다음 5배 성장합니다. 또는 3배로 늘린 다음 6.666배로 증가합니다. 패턴이 보이나요?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A 곱하기 B의 로그는 log(A) + log(B)입니다. 이 관계는 성장 측면에서 볼 때 즉시 의미가 있습니다.

30배 성장에 관심이 있다면 한 번에 ln(30)을 기다리거나 3배가 될 때까지 ln(3)을 기다린 다음 10배 동안 또 다른 ln(10)을 기다릴 수 있습니다. 최종 결과는 동일하므로 시간은 일정하게 유지되어야 합니다.

분할은 어떻습니까? 구체적으로 ln(5/3)은 5배 성장하고 그 중 1/3을 얻는 데 얼마나 시간이 걸릴 것인가를 의미합니다.

좋아요, 5배 성장은 ln(5)입니다. 1/3배 증가하려면 -ln(3) 단위의 시간이 걸립니다. 그래서,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

즉, 5배 성장한 다음 해당 양의 3분의 1만 남을 때까지 "시간을 거슬러 올라가" 5/3 성장을 얻습니다. 일반적으로 그것은 밝혀졌습니다

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

로그의 이상한 산술이 여러분에게 이해되기 시작하기를 바랍니다. 성장률을 곱하면 성장 시간 단위를 더하는 것이 되고, 나누기는 시간 단위를 빼는 것이 됩니다. 규칙을 외울 필요는 없습니다. 이해하려고 노력하세요.

임의의 성장을 위해 자연 로그 사용

물론, 성장이 100%라면 모두 좋지만, 내가 얻는 5%는 어떻습니까?”라고 당신은 말합니다.

괜찮아요. ln()으로 계산하는 "시간"은 실제로 이자율과 시간의 조합으로, e x 방정식의 X와 같습니다. 단순화를 위해 백분율을 100%로 설정하기로 결정했지만 어떤 숫자든 자유롭게 사용할 수 있습니다.

30배 성장을 달성하고 싶다고 가정해 보겠습니다. ln(30)을 사용하여 3.4를 얻습니다. 이는 다음을 의미합니다.

• e x = 높이
• 전자 3.4 = 30

분명히 이 방정식은 "3.4년 동안 100% 수익이 30배의 성장을 가져온다"는 의미입니다. 이 방정식을 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

• e x = e 속도*시간
• e 100% * 3.4년 = 30

베팅 * 시간이 3.4로 유지되는 한 "베팅"과 "시간"의 값을 변경할 수 있습니다. 예를 들어 30배 성장에 관심이 있다면 이자율 5%로 언제까지 기다려야 할까요?

• ln(30) = 3.4
• 속도 * 시간 = 3.4
• 0.05 * 시간 = 3.4
• 시간 = 3.4 / 0.05 = 68년

나는 다음과 같이 추론합니다. "ln(30) = 3.4이므로 100% 성장에서는 3.4년이 걸립니다. 성장률을 두 배로 늘리면 필요한 시간은 절반으로 줄어듭니다."

• 3.4년 동안 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7년 후 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8년 동안 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68세 이상 5% = .05 * 68 = 3.4.

좋아요, 그렇죠? 자연로그는 곱이 일정하게 유지되므로 어떤 이자율이나 시간에도 사용할 수 있습니다. 원하는 만큼 변수 값을 이동할 수 있습니다.

멋진 예: 72의 법칙

72의 법칙은 돈이 두 배가 되는 데 걸리는 시간을 추정할 수 있는 수학적 기법입니다. 이제 우리는 그것을 추론하고 (그렇습니다!) 또한 그 본질을 이해하려고 노력할 것입니다.

매년 복리 이자를 100% 적용하면 돈이 두 배로 늘어나는 데 얼마나 걸리나요?

이런. 지속적인 성장의 경우에는 자연로그를 사용했는데, 지금은 연간 복리를 말씀하시는 건가요? 그런 경우에는 이 공식이 부적합하지 않을까요? 그렇습니다. 하지만 5%, 6%, 심지어 15%와 같은 실질 이자율의 경우 연간 복리와 지속적인 성장 사이의 차이는 작을 것입니다. 따라서 대략적인 추정치는 대략적으로 작동합니다. 따라서 우리는 완전히 연속적인 발생액이 있다고 가정하겠습니다.

이제 질문은 간단합니다. 100% 성장으로 얼마나 빨리 두 배로 성장할 수 있습니까? ln(2) = 0.693. 지속적으로 100% 증가하여 금액을 두 배로 늘리려면 0.693 단위의 시간(우리의 경우 년)이 필요합니다.

그렇다면 금리가 100%가 아니고 5%, 10%라면 어떨까요?

쉽게! 베팅 * 시간 = 0.693이므로 금액을 두 배로 늘립니다.

• 속도 * 시간 = 0.693
• 시간 = 0.693 / 베팅

성장률이 10%라면 두 배로 늘어나는 데 0.693 / 0.10 = 6.93년이 걸리는 것으로 나타났습니다.

계산을 단순화하기 위해 양쪽에 100을 곱한 다음 "0.10" 대신 "10"이라고 말할 수 있습니다.

• 배팅 시간 = 69.3/베팅, 여기서 베팅은 백분율로 표시됩니다.

이제 5% 비율로 두 배로 늘어나는 69.3 / 5 = 13.86년이 되었습니다. 그러나 69.3은 가장 편리한 배당이 아닙니다. 2, 3, 4, 6, 8 등의 숫자로 나누기 편리한 가까운 숫자인 72를 선택해보자.

• 더블 타임 = 72 / 베팅

이것이 칠십이의 법칙이다. 모든 것이 보장됩니다.

3배가 되는 시간을 찾아야 한다면 ln(3) ~ 109.8을 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다.

• 트리플까지의 시간 = 110 / 베팅

또 다른 유용한 규칙입니다. "72의 법칙"은 이자율 증가, 인구 증가, 박테리아 배양 및 기하급수적으로 증가하는 모든 것에 적용됩니다.

다음은 무엇입니까?

이제 자연 로그가 이해가 되셨기를 바랍니다. 이는 숫자가 기하급수적으로 증가하는 데 걸리는 시간을 보여줍니다. e는 성장에 대한 보편적인 척도이므로 자연적이라고 부르는 것 같습니다. 따라서 ln은 성장하는 데 걸리는 시간을 결정하는 보편적인 방법으로 간주될 수 있습니다.

ln(x)를 볼 때마다 "X배 성장하는 데 걸리는 시간"을 기억하세요. 다음 글에서는 수학의 신선한 향기가 공기를 가득 채울 수 있도록 e와 ln을 함께 설명하겠습니다.

부록: e의 자연로그

간단한 퀴즈: ln(e)가 무엇인가요?

• 수학 로봇은 다음과 같이 말할 것입니다: 그들은 서로의 역으로 ​​정의되므로 ln(e) = 1임이 분명합니다.
• 이해하는 사람: ln(e)는 "e"배 성장하는 데 걸리는 횟수입니다(약 2.718). 그러나 숫자 e 자체는 1배의 성장을 나타내는 척도이므로 ln(e) = 1입니다.

명확하게 생각하십시오.

자연로그의 개념을 소개하기 전에 상수 $e$의 개념을 살펴보겠습니다.

번호 $e$

정의 1

번호 $e$는 초월수이며 $e\about 2.718281828459045\ldots$와 같은 수학 상수입니다.

정의 2

탁월한는 정수 계수를 갖는 다항식의 근이 아닌 숫자입니다.

참고 1

마지막 공식은 다음과 같습니다. 두 번째 놀라운 한계.

숫자 e라고도 불립니다. 오일러 수, 그리고 때로는 네이피어 수.

참고 2

숫자 $е$의 첫 번째 숫자를 기억하기 위해 다음 표현식이 자주 사용됩니다. "$2$, $7$, 두 배 레오 톨스토이". 물론 이를 활용하기 위해서는 레오 톨스토이가 $1828$에 태어났다는 점을 기억할 필요가 있다. 소수 부분 $7$.

우리는 자연로그를 연구할 때 숫자 $e$의 개념을 고려하기 시작했는데, 그 이유는 이것이 일반적으로 로그 $\log_(e)⁡a$라고 불리는 로그의 밑바닥에 있기 때문입니다. 자연스러운$\ln ⁡a$ 형식으로 작성하세요.

자연로그

종종 계산에는 로그가 사용되며 그 밑은 숫자 $е$입니다.

정의 4

$e$를 밑으로 하는 로그를 호출합니다. 자연스러운.

저것들. 자연 로그는 $\log_(e)⁡a$로 표시할 수 있지만 수학에서는 $\ln ⁡a$ 표기법을 사용하는 것이 일반적입니다.

자연로그의 성질

왜냐하면 1의 밑수에 대한 로그는 $0$와 같고, 1의 자연 로그는 $0$와 같습니다.

숫자 $е$의 자연 로그는 1과 같습니다.

두 숫자의 곱의 자연 로그는 다음 숫자의 자연 로그의 합과 같습니다.

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

두 숫자의 몫의 자연 로그는 다음 숫자의 자연 로그의 차이와 같습니다.

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

숫자의 거듭제곱에 대한 자연 로그는 지수와 서브로그 숫자의 자연 로그의 곱으로 표현될 수 있습니다.

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

실시예 1

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$ 표현식을 단순화합니다.

해결책.

곱 로그의 속성을 분자와 분모의 첫 번째 로그에 적용하고 거듭제곱 로그의 속성을 분자와 분모의 두 번째 로그에 적용해 보겠습니다.

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

괄호를 열고 유사한 용어를 제시하고 $\ln ⁡e=1$ 속성도 적용해 보겠습니다.

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

답변: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

실시예 2

$\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ 표현식의 값을 구합니다.

해결책.

로그 합계에 대한 공식을 적용해 보겠습니다.

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

답변: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

실시예 3

대수식 $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$의 값을 계산합니다.

해결책.

거듭제곱의 로그 속성을 적용해 보겠습니다.

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= $13.

답변: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

실시예 4

대수식 $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$을 단순화합니다.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

우리는 몫의 로그 속성을 첫 번째 로그에 적용합니다.

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

괄호를 열고 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

답변: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.