Y 아크신 sinx 그래프. 삼각법. 역삼각함수. 아크사인. 로그, 복소수를 통한 표현

역삼각함수(원형 함수, 호 함수) - 삼각 함수와 반대인 수학 함수입니다.

아크사인(로 표시 아크신 x; 아크신 x- 이 각도야 죄그와 동등하다 엑스).

아크사인 (y = 아크사인 x) - 역삼각 함수 죄 (x = 죄 y), 정의 영역과 값 세트가 있음 . 즉, 해당 값으로 각도를 반환합니다. 죄.

기능 y=죄 x연속적이고 전체 수직선을 따라 경계가 있습니다. 기능 y=아크신 x-엄격히 증가합니다.

아크신 함수의 속성.

아크사인 플롯.

arcsin 함수를 얻습니다.

기능이 있습니다 y = 사인x. 정의의 전체 영역에 걸쳐 그것은 부분적으로 단조롭습니다. 따라서 역대응 y = 아크사인 x기능이 아닙니다. 따라서 우리는 값 범위의 각 값을 증가시키고 취하는 세그먼트를 고려합니다. 왜냐하면 기능을 위해 y = 사인x간격에서 함수의 모든 값은 인수의 하나의 값만으로 얻어집니다. 즉, 이 간격에는 역함수가 있음을 의미합니다. y = 아크사인 x, 그 그래프는 함수 그래프와 대칭입니다. y = 사인x비교적 직선 구간에서 와이 = 엑스.

역삼각함수와 관련된 문제는 학교에서 자주 출제됩니다. 기말고사일부 대학의 입학 시험에서도 마찬가지입니다. 이 주제에 대한 자세한 연구는 선택 수업이나 선택 과목. 제안된 과정은 각 학생의 능력을 최대한 개발하고 수학적 준비를 향상시키도록 고안되었습니다.

이 과정은 10시간 동안 진행됩니다:

1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x 기능을 수행합니다(4시간).

2.역삼각함수 연산(4시간)

3. 삼각함수에 대한 역삼각연산 (2시간)

1과(2시간) 주제: 함수 y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

목표: 이 문제를 완전히 다루었습니다.

1.함수 y = arcsin x.

a) 세그먼트의 함수 y = sin x에 대해 역(단일 값) 함수가 있는데, 이를 아크사인이라고 부르고 다음과 같이 표시하기로 동의했습니다. y = arcsin x. 역함수의 그래프는 I - III 좌표 각도의 이등분선을 기준으로 주 함수의 그래프와 대칭입니다.

함수 y = arcsin x의 속성.

1) 정의 영역: 세그먼트 [-1; 1];

2)변경영역 : 세그먼트

3)함수 y = arcsin x 홀수: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) 함수 y = arcsin x는 단조 증가합니다.

5) 그래프는 원점에서 Ox, Oy 축과 교차합니다.

예 1. a = arcsin을 구합니다. 이 예는 다음과 같이 자세히 공식화될 수 있습니다. from 범위에 있고 사인이 다음과 같은 인수 a를 찾습니다.

해결책. 사인이 와 같은 수많은 인수가 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 등. 그러나 우리는 세그먼트에 있는 주장에만 관심이 있습니다. 이것이 주장일 것입니다. 그래서, .

예 2. 찾기 .해결책.예제 1과 같은 방식으로 논쟁하면, .

b) 구강 운동. 찾기: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. 답 예: , 왜냐하면 . 표현이 이해가 됩니까? ; 아크신 1.5; ?

c) 오름차순으로 정렬합니다: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. 함수 y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (유사).

2과 (2시간) 주제: 역삼각함수와 그래프.

목적: 이 수업에서는 가치를 결정하는 기술을 개발하는 것이 필요합니다. 삼각함수, D(y), E(y) 및 필요한 변환을 사용하여 역삼각함수 그래프를 구성합니다.

이 단원에서는 정의 영역, y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos 유형의 함수 값 영역 찾기를 포함하는 연습을 완료합니다.

다음 함수의 그래프를 구성해야 합니다. a) y = arcsin 2x; b) y = 2 아크사인 2x; c) y = 아크사인;

d) y = 아크사인; e) y = 아크사인; e) y = 아크사인; g) y = | 아크신 | .

예. y = arccos를 그려봅시다.

숙제에 다음 연습을 포함할 수 있습니다. 함수 그래프 작성: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | 엑스 | .

역함수 그래프

목표: 역삼각함수에 대한 기본 관계를 도입하여 수학적 지식을 확장합니다(수학 교육에 대한 요구 사항이 증가하는 전문 분야에 입학하는 사람들에게 중요함).

수업 자료.

역삼각 함수에 대한 몇 가지 간단한 삼각 연산: 죄(아크신 x) = x, i xi ? 1; cos(arсcos x) = x, i xi? 1; tg(arctg x)= x , xIR; CTG (arcctg x) = x , x I R.

수업 과정.

a) tg(1.5 + arctg 5) = - ctg(arctg 5) = .

ctg(arctg x) = ; tg(arcctg x) = .

b) cos( + 아크사인 0.6) = - cos( 아크사인 0.6). arcsin 0.6 = a, sin a = 0.6이라고 가정합니다.

cos(아크신 x) = ; 죄(아르코스 x) = .

참고: a = arcsin x 가 만족하기 때문에 루트 앞에 "+" 기호를 사용합니다.

c) 죄(1.5 + 아크신) 답: ;

d) ctg( + arctg 3) 답: ;

e) tg( – arcctg 4) 답: .

e) cos(0.5 + arccos). 답변: .

계산하다:

a) 죄 (2 아크탄 5) .

arctan 5 = a라고 하고 sin 2 a = 또는 죄 (2 아크탄 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0.8) 답: 0.28.

c) arctg + arctg.

a = 아크탄, b = 아크탄,

그러면 tg(a + b) = .

d) 죄(아르크신 + 아크신).

e) 모든 x I [-1; 1] 참 아크사인 x + 아크코사인 x = .

증거:

아크신 x = – 아크코스 x

죄(arcsin x) = 죄( – arccos x)

x = cos(아르코스 x)

스스로 해결하려면: sin(arccos), cos(arcsin), cos(arcsin()), sin(arctg(-3)), tg(arccos), ctg(arccos).

가정용 솔루션의 경우: 1) sin(arcsin 0.6 + arctan 0); 2) 아크신 + 아크신; 3) ctg( – arccos 0.6); 4) cos(2 arcctg 5); 5) 죄(1.5 – 아크신 0.8); 6) arctg 0.5 – arctg 3.

목표: 이 수업에서는 더 복잡한 표현을 변환하는 데 비율을 사용하는 방법을 보여줍니다.

수업 자료.

구두로:

a) 죄(arccos 0.6), cos(arcsin 0.8);

b) tg(arcсtg 5), ctg(arcсtg 5);

c) sin(arctg -3), cos(arcсtg());

d) tg(arccos), ctg(arccos()).

서면:

1) cos(아르크신 + 아크신 + 아크신).

2) cos(arccos 5–arccos 0.8) = cos(arccos 5) cos(arccos 0.8) + sin(arccos 5) sin(arccos 0.8) =

3) tg(-아크신 0.6) = - tg(아크신 0.6) =

4)

독립적인 작업은 자료의 숙달 수준을 식별하는 데 도움이 됩니다.

을 위한 숙제우리는 다음을 제안할 수 있습니다:

1) ctg(arctg + arctg + arctg); 2) sin 2(arctg 2 – arcctg()); 3) sin(2 arctg + tan( arcsin )); 4) 죄(2 아크탄); 5) tg((아르크신))

목표: 삼각 함수에 대한 역삼각 연산에 ​​대한 학생들의 이해를 형성하고 연구 중인 이론의 이해력을 높이는 데 중점을 둡니다.

이 주제를 공부할 때 기억해야 할 이론적 자료의 양은 제한되어 있다고 가정합니다.

수업 자료:

y = arcsin (sin x) 함수를 연구하고 해당 그래프를 그려서 새로운 내용을 학습할 수 있습니다.

3. 각각의 xIR은 yI와 연관되어 있습니다. 즉,<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. 함수는 홀수입니다. sin(-x) = - sin x; 아크사인(사인(-x)) = - 아크사인(사인 x).

6. y = arcsin(sin x)을 그래프로 나타내십시오.

가) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

비)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

죄 y = 죄 ( – x) = 죄 x , 0<= - x <= .

그래서,

에 y = arcsin (sin x)를 구축한 후 [- ; 0], 이 함수의 이상한 점을 고려하면 다음과 같습니다. 주기성을 사용하여 전체 수직선을 따라 계속합니다.

그런 다음 몇 가지 관계를 적어보세요. 아크신(sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos ㅏ ) = 0인 경우<= a <= ; arctg (tg a) = 만약< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

그리고 다음 연습을 수행하십시오.a) arccos(sin 2).답변: 2 - ; b) 아크사인(cos 0.6) 답: - 0.1; c) arctg(tg 2) 답: 2 - ;

d) arcctg(tg 0.6). 답: 0.9; e) arccos (cos (-2)) 답: 2 - ; e) 아크신(sin(-0.6)). 답: - 0.6; g) arctg(tg2) = arctg(tg(2 - )). 답: 2 - ; h) аrcctg(tg 0.6). 답: - 0.6; - 아크탄 x; e) 아르코스 + 아르코스

(원형 함수, 호 함수) - 삼각 함수와 반대인 수학 함수입니다.

아크코사인, cos에 대한 역함수(x = cos y), 와이 =아르코스 엑스에 정의되어 있으며 많은 값을 가집니다. 즉, 해당 값으로 각도를 반환합니다. 코사인.

아크코사인(지정: 아르코스엑스; 아르코스엑스코사인이 다음과 같은 각도입니다. 엑스등등).

기능 y = cos x연속적이고 전체 수직선을 따라 경계가 있습니다. 기능 y = 아크코스 x엄격하게 감소하고 있습니다.

아크신 함수의 속성.

arccos 함수를 가져옵니다.

주어진 함수 y = cos x. 정의의 전체 영역에 걸쳐, 그것은 부분적으로 단조롭습니다. 따라서 역대응은 다음과 같습니다. y = 아크코스 x기능이 아닙니다. 따라서 우리는 엄격하게 감소하고 모든 값을 취하는 세그먼트를 고려할 것입니다. 이 세그먼트에서 y = cos x엄격하게 단조롭게 감소하고 모든 값을 한 번만 취합니다. 이는 세그먼트에 역함수가 있음을 의미합니다. y = 아크코스 x, 그의 그래프는 그래프와 대칭입니다 y = cos x비교적 직선 구간에서 와이 = 엑스.

삼각 함수는 주기적이므로 역함수는 고유하지 않습니다. 따라서 방정식 y = 죄 x, 주어진 , 무한히 많은 뿌리를 가지고 있습니다. 실제로 사인의 주기성으로 인해 x가 그러한 근이라면, x + 2πn(여기서 n은 정수)도 방정식의 근이 됩니다. 따라서, 역삼각함수는 다중값을 갖습니다.. 더 쉽게 작업할 수 있도록 주요 의미의 개념이 도입되었습니다. 예를 들어 사인을 생각해 보세요: y = 죄 x. 인수 x를 간격으로 제한하면 함수 y = 죄 x단조롭게 증가합니다. 따라서 이는 아크사인이라고 불리는 고유한 역함수를 갖습니다. x = 아크사인 y.

달리 명시하지 않는 한, 역삼각함수는 다음 정의에 따라 결정되는 주요 값을 의미합니다.

아크사인( 와이 = 아크신 x)는 사인의 역함수( x = 죄악
아크코사인( 와이 = 아르코스엑스)는 코사인의 역함수( x = 아늑한), 정의 영역과 값 집합이 있습니다.
아크탄젠트( 와이 = 아크탄엑스)는 탄젠트의 역함수( x = tg y), 정의 영역과 값 집합이 있습니다.
역코탄젠트( 와이 = arcctg x)는 코탄젠트의 역함수( x = CTG Y), 정의 영역과 값 집합이 있습니다.

역삼각함수 그래프

역삼각함수 그래프는 직선 y=x에 대한 거울 반사에 의한 삼각함수 그래프로부터 구해진다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 섹션을 참조하세요.

와이 = 아크신 x

와이 = 아르코스엑스

와이 = 아크탄엑스

와이 = arcctg x

기본 공식

여기서는 공식이 유효한 간격에 특별한 주의를 기울여야 합니다.

아크사인(사인 x) = x~에
죄(아크신 x) = x
아크코스(cos x) = x~에
cos(아르코스 x) = x

아크탄탄(tg x) = x~에
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x~에
ctg(arcctg x) = x

역삼각함수 관련 공식

합과 차이 공식

또는

에 그리고

에 그리고

또는

에 그리고

에 그리고

~에

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~에

~에

~에

~에

~에

~에

~에

~에

참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.

sin, cos, tg 및 ctg 함수에는 항상 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트가 수반됩니다. 하나는 다른 것의 결과이며, 함수 쌍은 삼각법 표현식 작업에 똑같이 중요합니다.

삼각함수 값을 그래픽으로 표시하는 단위원 그림을 생각해 보세요.

호 OA, arcos OC, arctg DE 및 arcctg MK를 계산하면 모두 각도 α 값과 같습니다. 아래 공식은 기본 삼각 함수와 해당 호 사이의 관계를 반영합니다.

아크사인의 특성을 더 자세히 이해하려면 그 기능을 고려해야 합니다. 일정 좌표중심을 지나는 비대칭 곡선의 형태를 갖는다.

아크사인의 속성:

그래프를 비교해 보면 죄그리고 아크신, 두 삼각 함수는 공통 원리를 가질 수 있습니다.

아크코사인

숫자의 Arccos는 각도 α의 값이며 코사인은 a와 같습니다.

곡선 y = 아르코스 x arcsin x 그래프를 반영하며 유일한 차이점은 OY 축의 π/2 지점을 통과한다는 것입니다.

아크 코사인 함수를 더 자세히 살펴보겠습니다.

1. 함수는 간격 [-1; 1].
2. arccos용 ODZ - .
3. 그래프는 전체적으로 1쿼터와 2쿼터에 위치하며, 함수 자체는 짝수도 홀수도 아닙니다.
4. x = 1에서 Y = 0입니다.
5. 곡선은 전체 길이를 따라 감소합니다. 아크 코사인의 일부 속성은 코사인 함수와 일치합니다.

아크 코사인의 일부 속성은 코사인 함수와 일치합니다.

아마도 학생들은 "아치"에 대한 "자세한" 연구가 불필요하다고 생각할 것입니다. 그러나 그렇지 않으면 일부 초등학교 표준 시험 과제가 학생들을 막 다른 골목으로 이끌 수 있습니다.

연습 1.그림에 표시된 기능을 나타냅니다.

답변:쌀. 1 – 4, 그림 2 – 1.

이 예에서는 작은 것에 중점을 둡니다. 일반적으로 학생들은 그래프 구성과 함수 모양에 매우 부주의합니다. 실제로 계산된 점을 사용하여 항상 그릴 수 있다면 곡선 유형을 기억할 이유가 무엇입니까? 테스트 조건에서는 더 복잡한 작업을 해결하려면 간단한 작업을 그리는 데 소요되는 시간이 필요하다는 점을 잊지 마십시오.

아크탄젠트

Arctg숫자 a는 접선이 a와 같은 각도 α의 값입니다.

아크탄젠트 그래프를 고려하면 다음 속성을 강조할 수 있습니다.

1. 그래프는 무한하며 구간(- ; + )으로 정의됩니다.
2. Arctangent는 홀수 함수이므로 arctan (- x) = - arctan x입니다.
3. x = 0에서 Y = 0입니다.
4. 곡선은 전체 정의 범위에 걸쳐 증가합니다.

tg x 와 arctg x 에 대한 간략한 비교 분석을 표 형식으로 제시하겠습니다.

역탄젠트

숫자의 Arcctg - 코탄젠트가 a와 같도록 간격(0; π)에서 α 값을 취합니다.

아크코탄젠트 함수의 속성:

1. 함수 정의 간격은 무한대입니다.
2. 허용되는 값의 범위는 간격(0; π)입니다.
3. F(x)는 짝수도 홀수도 아닙니다.
4. 전체 길이에 걸쳐 함수 그래프가 감소합니다.

ctg x와 arctg x를 비교하는 것은 매우 간단합니다. 두 개의 그림을 만들고 곡선의 동작을 설명하기만 하면 됩니다.

작업 2.그래프와 함수의 표기 형식을 연결하세요.

논리적으로 생각해 보면 두 기능이 모두 증가하고 있다는 것이 그래프를 통해 분명해집니다. 따라서 두 그림 모두 특정 arctan 함수를 표시합니다. 아크탄젠트의 특성으로부터 x = 0에서 y=0이라는 것이 알려져 있습니다.

답변:쌀. 1 – 1, 그림. 2 – 4.

삼각 항등식 arcsin, arcos, arctg 및 arcctg

이전에 우리는 이미 아치와 삼각법의 기본 기능 간의 관계를 확인했습니다. 이러한 의존성은 예를 들어 아크사인, 아크코사인을 통해 인수의 사인을 표현하거나 그 반대로 표현할 수 있는 여러 공식으로 표현될 수 있습니다. 이러한 정체성에 대한 지식은 특정 사례를 해결할 때 유용할 수 있습니다.

arctg와 arcctg에 대한 관계도 있습니다.

또 다른 유용한 공식 쌍은 동일한 각도의 arcsin과 arcos뿐만 아니라 arcctg와 arcctg의 합에 대한 값을 설정합니다.

문제 해결의 예

삼각법 작업은 네 가지 그룹으로 나눌 수 있습니다. 특정 표현식의 수치 계산, 주어진 함수의 그래프 구성, 정의 영역(ODZ) 찾기 및 분석 변환을 수행하여 예제를 해결합니다.

첫 번째 유형의 문제를 해결할 때는 다음 실행 계획을 준수해야 합니다.

함수 그래프로 작업할 때 가장 중요한 것은 해당 속성과 곡선의 모양에 대한 지식입니다. 삼각 방정식과 부등식을 풀려면 항등표가 필요합니다. 학생이 더 많은 공식을 기억할수록 과제에 대한 답을 찾는 것이 더 쉬워집니다.

통합 상태 시험에서 다음과 같은 방정식에 대한 답을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다.

표현식을 올바르게 변환하여 원하는 형태로 가져오면 해결이 매우 간단하고 빠릅니다. 먼저 arcsin x를 등식의 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.

공식을 기억한다면 아크신(sin α) = α, 그러면 두 방정식 시스템을 푸는 데 대한 답변 검색을 줄일 수 있습니다.

모델 x에 대한 제한은 다시 arcsin의 속성에서 발생했습니다. x에 대한 ODZ [-1; 1]. a ≠0일 때 시스템의 일부는 근 x1 = 1 및 x2 = - 1/a인 2차 방정식입니다. a = 0이면 x는 1과 같습니다.