사다리꼴의 중앙선은 항상 입니다. 사다리꼴의 중앙선: 무엇과 같은지, 속성, 정리 증명. 이등변 도형의 사다리꼴 중심선을 찾는 방법

사다리꼴은 한 쌍의 변이 평행한 사각형의 특수한 경우입니다. "사다리꼴"이라는 용어는 "테이블", "테이블"을 의미하는 그리스어 τράπεζα에서 유래했습니다. 이 기사에서는 사다리꼴의 유형과 그 특성을 고려할 것입니다. 또한 이 예의 개별 요소, 이등변 사다리꼴의 대각선, 정중선, 면적 등을 계산하는 방법을 알아낼 것입니다. 자료는 기본 인기 기하학 스타일, 즉 쉽게 접근할 수 있는 형식으로 제공됩니다. 형태.

일반 정보

먼저 사변형이 무엇인지 이해합시다. 이 그림은 4개의 변과 4개의 정점을 포함하는 다각형의 특수한 경우입니다. 인접하지 않은 사변형의 두 꼭지점을 반대라고합니다. 인접하지 않은 두 면에 대해서도 마찬가지입니다. 사변형의 주요 유형은 평행사변형, 직사각형, 마름모꼴, 정사각형, 사다리꼴 및 삼각근입니다.

그래서 공중 그네로 돌아갑니다. 이미 말했듯이 이 도형에는 평행한 두 변이 있습니다. 그들은 기지라고합니다. 다른 두 개(비평행)는 측면입니다. 시험자료와 각종 제어 작업매우 자주 사다리꼴과 관련된 작업을 만날 수 있으며, 그 솔루션은 종종 프로그램에서 제공하지 않는 지식을 학생에게 요구합니다. 학교 기하학 과정은 학생들에게 이등변 사다리꼴의 중심선뿐만 아니라 각도와 대각선의 속성을 소개합니다. 그러나 이것 외에도 언급 된 기하학적 도형에는 다른 기능이 있습니다. 하지만 나중에 더 자세히...

사다리꼴의 종류

이 그림에는 많은 유형이 있습니다. 그러나 대부분 이등변과 직사각형의 두 가지를 고려하는 것이 일반적입니다.

1. 직사각형 사다리꼴은 변 중 하나가 밑면에 수직인 도형입니다. 항상 90도인 두 개의 각도가 있습니다.

2. 이등변 사다리꼴은 변이 서로 같은 기하학적 도형입니다. 이것은 밑면의 각도도 쌍으로 동일하다는 것을 의미합니다.

사다리꼴의 특성을 연구하는 방법론의 주요 원칙

주요 원칙은 소위 작업 접근 방식을 사용하는 것입니다. 사실 기하학의 이론적 과정에 이 도형의 새로운 속성을 도입할 필요가 없습니다. 그들은 다양한 문제를 해결하는 과정에서 발견되고 공식화 될 수 있습니다 (체계적인 문제보다 낫습니다). 동시에 교사가 학생들을 위해 한 번에 어떤 작업을 설정해야 하는지 아는 것이 매우 중요합니다. 교육 과정. 또한 사다리꼴의 각 속성은 작업 시스템에서 핵심 작업으로 나타낼 수 있습니다.

두 번째 원칙은 사다리꼴의 "놀라운" 특성 연구의 소위 나선형 조직입니다. 이는 학습 과정에서 주어진 개체의 개별 기능으로 돌아가는 것을 의미합니다. 기하학적 도형. 따라서 학생들이 암기하기가 더 쉽습니다. 예를 들어, 네 점의 속성입니다. 유사성 연구와 이후 벡터의 도움으로 증명할 수 있습니다. 그리고 그림의 변에 인접한 삼각형의 면적이 같다는 것은 같은 선상에 있는 변에 그려진 높이가 같은 삼각형의 성질을 적용할 뿐만 아니라 S= 1/2 공식을 이용하여 증명할 수 있습니다. (압*신α). 또한 내접사다리꼴, 외접사다리꼴에 직각삼각형 등으로 운동할 수 있습니다.

학교 과정의 콘텐츠에서 기하학적 도형의 "프로그램 외" 기능을 사용하는 것은 이를 가르치는 작업 기술입니다. 다른 주제를 통과할 때 학습된 속성에 대한 지속적인 호소를 통해 학생들은 사다리꼴에 대한 더 깊은 지식을 얻고 작업을 성공적으로 해결할 수 있습니다. 자, 이 멋진 인물을 공부해 봅시다.

이등변 사다리꼴의 요소 및 속성

이미 언급했듯이 이 기하학적 도형의 변은 동일합니다. 오른쪽 사다리꼴이라고도합니다. 왜 그렇게 놀랍고 왜 그런 이름을 얻었습니까? 이 그림의 특징은 밑면의 측면과 모서리뿐만 아니라 대각선도 동일하다는 사실을 포함합니다. 또한 이등변 사다리꼴의 내각의 합은 360도입니다. 하지만 그게 전부가 아닙니다! 알려진 모든 사다리꼴 중에서 이등변 주위에서만 원을 설명할 수 있습니다. 이는 이 도형의 대각의 합이 180도이고 이 조건에서만 사변형을 중심으로 원을 그릴 수 있기 때문이다. 고려중인 기하학적 도형의 다음 속성은 기본 꼭지점에서이 기본을 포함하는 직선에 반대 꼭지점의 투영까지의 거리가 정중선과 같다는 것입니다.

이제 이등변 사다리꼴의 각도를 찾는 방법을 알아 봅시다. 그림 측면의 치수를 알고 있는 경우 이 문제에 대한 해결책을 고려하십시오.

해결책

일반적으로 사변형은 일반적으로 문자 A, B, C, D로 표시되며 여기서 BS 및 AD는 기본입니다. 이등변 사다리꼴에서는 변이 같습니다. 크기가 X이고 밑면의 크기가 Y와 Z라고 가정합니다(각각 더 작고 큼). 계산을 수행하려면 각도 B에서 높이 H를 그려야 합니다. 결과는 직각 삼각형 ABN입니다. 여기서 AB는 빗변이고 BN과 AN은 다리입니다. 다리 AN의 크기를 계산합니다. 더 큰 밑면에서 더 작은 것을 빼고 결과를 2로 나눕니다. (Z-Y) / 2 \u003d F의 공식 형식으로 작성합니다. 이제 계산하려면 삼각형의 예각은 cos 함수를 사용합니다. 다음 레코드를 얻습니다: cos(β) = Х/F. 이제 각도를 계산합니다: β=arcos(Х/F). 또한 하나의 각도를 알면 두 번째 각도를 결정할 수 있습니다. 이를 위해 기본 산술 연산인 180 - β를 수행합니다. 모든 각도가 정의됩니다.

이 문제에 대한 두 번째 해결책도 있습니다. 처음에는 모서리 B에서 높이 H를 낮춥니다. BN 다리의 값을 계산합니다. 우리는 빗변의 제곱이 정삼각형 합계와 같습니다다리의 사각형. BN \u003d √ (X2-F2)를 얻습니다. 다음으로 삼각 함수 tg를 사용합니다. 결과적으로 β = arctg(BN / F)가 됩니다. 날카로운 모서리가 발견되었습니다. 다음으로 첫 번째 방법과 같은 방법으로 결정합니다.

이등변 사다리꼴의 대각선 속성

먼저 네 가지 규칙을 적어 봅시다. 이등변 사다리꼴의 대각선이 수직인 경우:

그림의 높이는 밑면의 합을 2로 나눈 값과 같습니다.

높이와 중앙선은 동일합니다.

원의 중심은 ;

측면이 접촉점에 의해 세그먼트 H와 M으로 나뉘면 다음과 같습니다. 제곱근이 세그먼트의 제품;

접선점, 사다리꼴의 꼭지점 및 내접원의 중심에 의해 형성된 사변형은 한 변이 반지름과 같은 정사각형입니다.

도형의 면적은 밑면의 곱과 밑면과 높이의 합의 절반을 곱한 것과 같습니다.

유사한 사다리꼴

이 항목은 이것의 속성을 연구하는 데 매우 편리합니다.. 예를 들어, 대각선은 사다리꼴을 4개의 삼각형으로 나누고, 밑면에 인접한 삼각형은 유사하고 측면은 동일합니다. 이 진술은 사다리꼴이 대각선으로 나뉘는 삼각형의 속성이라고 할 수 있습니다. 이 주장의 첫 번째 부분은 두 각도에서 유사성의 기준을 통해 증명됩니다. 두 번째 부분을 증명하려면 아래 주어진 방법을 사용하는 것이 좋습니다.

정리 증명

그림 ABSD(AD 및 BS - 사다리꼴 밑면)를 대각선 VD 및 AC로 나눈 값을 받아들입니다. 교차점은 O입니다. AOS - 하단베이스, BOS - 상단베이스, ABO 및 SOD의 측면에 4 개의 삼각형이 있습니다. 삼각형 SOD와 BOS는 세그먼트 BO와 OD가 밑면인 경우 공통 높이를 가집니다. 면적(P)의 차이는 PBOS / PSOD = BO / OD = K의 차이와 같습니다. 따라서 PSOD = PBOS / K가 됩니다. 마찬가지로 BOS 및 AOB 삼각형의 높이는 공통입니다. CO 및 OA 세그먼트를 기반으로 합니다. PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K 및 PAOB \u003d PBOS / K를 얻습니다. 따라서 PSOD = PAOB가 됩니다.

자료를 통합하기 위해 학생들은 다음 문제를 해결하여 사다리꼴이 대각선으로 나뉘는 결과 삼각형 영역 사이의 연결을 찾는 것이 좋습니다. 삼각형 BOS와 AOD의 면적이 같다는 것이 알려져 있으므로 사다리꼴 면적을 찾아야합니다. PSOD \u003d PAOB이므로 PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD를 의미합니다. 삼각형 BOS와 AOD의 유사성으로부터 BO / OD = √(PBOS / PAOD)가 됩니다. 따라서 PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD)가 됩니다. 우리는 PSOD = √(PBOS * PAOD)를 얻습니다. PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

유사성 속성

이 주제를 계속 발전시키면서 우리는 다른 것을 증명할 수 있습니다. 흥미로운 기능부등변 사각형. 따라서 유사성을 사용하여 밑변에 평행한 이 기하학적 도형의 대각선의 교차점에 의해 형성된 점을 통과하는 세그먼트의 속성을 증명할 수 있습니다. 이를 위해 다음 문제를 해결합니다. 점 O를 통과하는 세그먼트 RK의 길이를 찾아야 합니다. 삼각형 AOD와 BOS의 유사성에서 AO/OS=AD/BS가 됩니다. 삼각형 AOP와 ASB의 유사성에서 AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD)를 따릅니다. 여기에서 RO \u003d BS * AD / (BS + AD)를 얻습니다. 마찬가지로 삼각형 DOK와 DBS의 유사성에서 OK \u003d BS * AD / (BS + AD)를 따릅니다. 여기에서 RO=OK 및 RK=2*BS*AD/(BS+AD)를 얻습니다. 대각선의 교차점을 통과하고 밑면에 평행하고 두면을 연결하는 세그먼트는 교차점으로 반으로 나뉩니다. 길이는 그림 밑면의 조화 평균입니다.

네 점의 속성이라고 하는 사다리꼴의 다음 속성을 고려하십시오. 대각선의 교차점(O), 측면의 연속 교차점(E), 베이스의 중간점(T 및 W)은 항상 같은 선상에 있습니다. 이것은 유사성 방법으로 쉽게 증명됩니다. 결과 삼각형 BES와 AED는 유사하며 각각의 중앙값 ET와 EZH는 정점 E의 각도를 동일한 부분으로 나눕니다. 따라서 점 E, T, W는 같은 직선 위에 있습니다. 같은 방식으로 점 T, O 및 G는 동일한 직선에 있으며 삼각형 BOS 및 AOD의 유사성에서 비롯됩니다. 이것으로부터 우리는 E, T, O 및 W의 네 점 모두가 하나의 직선 위에 놓일 것이라는 결론을 내립니다.

유사한 사다리꼴을 사용하여 학생들에게 그림을 두 개의 유사한 것으로 나누는 세그먼트(LF)의 길이를 찾도록 요청할 수 있습니다. 이 세그먼트는 베이스와 평행해야 합니다. 결과 사다리꼴 ALFD 및 LBSF가 유사하므로 BS/LF=LF/AD입니다. LF=√(BS*BP)가 됩니다. 사다리꼴을 두 개의 유사한 것으로 나누는 세그먼트의 길이는 그림 밑면 길이의 기하 평균과 같습니다.

다음 유사성 속성을 고려하십시오. 사다리꼴을 동일한 크기의 두 도형으로 나누는 세그먼트를 기반으로 합니다. 우리는 사다리꼴 ABSD가 세그먼트 EN에 의해 ​​두 개의 유사한 것으로 나누어진다는 것을 인정합니다. 정점 B에서 높이는 생략되며 세그먼트 EH에 의해 B1과 B2의 두 부분으로 나뉩니다. PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 및 PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2를 얻습니다. 다음으로 첫 번째 방정식이 (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2이고 두 번째 방정식이 (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 인 시스템을 구성합니다. 2. B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) 및 BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1)이 됩니다. 사다리꼴을 두 개의 동일한 것으로 나누는 세그먼트의 길이는 기본 길이의 평균 제곱과 같습니다: √ ((BS2 + AD2) / 2).

유사성 추론

따라서 우리는 다음을 입증했습니다.

1. 사다리꼴 변의 중간점을 연결하는 선분은 AD 및 BS와 평행하며 BS 및 AD의 산술 평균(사다리꼴 밑면의 길이)과 같습니다.

2. AD와 BS에 평행한 대각선의 교차점 O를 통과하는 선은 숫자 AD와 BS의 조화 평균과 같습니다(2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. 사다리꼴을 유사한 것으로 나누는 선분은 밑변 BS와 AD의 기하 평균의 길이를 가집니다.

4. 도형을 2등분하는 요소는 평균 제곱수 AD와 BS의 길이를 가집니다.

자료를 통합하고 고려한 세그먼트 간의 연결을 이해하려면 학생이 특정 사다리꼴에 맞게 구성해야 합니다. 그는 중심선과 O점(도형의 대각선의 교차점)을 통과하는 세그먼트를 기준선과 평행하게 쉽게 표시할 수 있습니다. 그러나 세 번째와 네 번째는 어디에 있습니까? 이 대답은 학생들이 평균 사이에서 원하는 관계를 발견하도록 이끌 것입니다.

사다리꼴의 대각선 중간점을 연결하는 선분

이 그림의 다음 속성을 고려하십시오. 우리는 세그먼트 MH가 밑변에 평행하고 대각선을 이등분한다는 것을 받아들입니다. 교차점을 W와 W라고합시다. 이 세그먼트는 밑면의 절반 차이와 같습니다. 이것을 더 자세히 분석해 봅시다. MSH -삼각형 ABS의 중간 선, BS / 2와 같습니다. MS - 삼각형 ABD의 중간 선, AD / 2와 같습니다. 그런 다음 ShShch = MShch-MSh를 얻습니다. 따라서 Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2입니다.

무게 중심

주어진 기하학적 도형에 대해 이 요소가 어떻게 결정되는지 살펴보겠습니다. 이렇게하려면베이스를 반대 방향으로 확장해야합니다. 무슨 뜻이에요? 예를 들어 오른쪽과 같이 측면에 하단베이스를 상단베이스에 추가해야합니다. 그리고 하단은 상단의 길이만큼 왼쪽으로 확장됩니다. 다음으로 대각선으로 연결합니다. 이 세그먼트와 그림의 중간 선이 교차하는 지점은 사다리꼴의 무게 중심입니다.

내접 및 외접 사다리꼴

그러한 수치의 특징을 나열해 보겠습니다.

1. 사다리꼴은 이등변인 경우에만 원에 내접할 수 있습니다.

2. 밑변의 길이의 합이 변의 길이의 합과 같다면 사다리꼴은 원 주위에 기술될 수 있습니다.

내접원의 결과:

1. 설명된 사다리꼴의 높이는 항상 두 반지름과 같습니다.

2. 기술된 사다리꼴의 측면은 원의 중심에서 직각으로 관찰된다.

첫 번째 결과는 명백하며 두 번째 결과를 증명하려면 SOD 각도가 옳다는 것을 입증해야 합니다. 사실 이것도 어렵지 않을 것입니다. 그러나이 속성에 대한 지식은 문제를 해결하는 데 직각 삼각형을 사용할 수 있습니다.

이제 우리는 원 안에 새겨진 이등변 사다리꼴에 대해 이러한 결과를 지정합니다. 높이가 그림 밑변의 기하 평균임을 알 수 있습니다: H=2R=√(BS*AD). 사다리꼴 문제를 해결하는 주요 기술(두 개의 높이를 그리는 원리)을 연습하면서 학생은 다음 작업을 해결해야 합니다. 우리는 BT가 이등변 도형 ABSD의 높이라는 것을 받아들입니다. 세그먼트 AT와 TD를 찾는 것이 필요합니다. 위에서 설명한 공식을 사용하면 어렵지 않습니다.

이제 외접 사다리꼴의 면적을 사용하여 원의 반지름을 결정하는 방법을 알아 보겠습니다. 상단 B에서 하단 AD까지 높이를 낮춥니다. 원은 사다리꼴로 새겨져 있으므로 BS + AD \u003d 2AB 또는 AB \u003d (BS + AD) / 2입니다. 삼각형 ABN에서 우리는 sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD)를 찾습니다. PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. PABSD \u003d (BS + HELL) * R을 얻습니다. R \u003d PABSD / (BS + HELL)을 따릅니다.

사다리꼴 정중선의 모든 공식

이제 이 기하학적 도형의 마지막 요소로 이동할 시간입니다. 사다리꼴 (M)의 중간 선이 무엇인지 알아 봅시다.

1. 기지를 통해 : M \u003d (A + B) / 2.

2. 높이, 밑면 및 각도를 통해:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. 높이, 대각선 및 그 사이의 각도를 통해. 예를 들어, D1과 D2는 사다리꼴의 대각선입니다. α, β - 그들 사이의 각도:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. 면적과 높이를 통해: M = P / N.

중간 선면적계의 그림 - 주어진 그림의 두 변의 중간점을 연결하는 세그먼트. 이 개념은 삼각형, 사변형, 사다리꼴 그림에 사용됩니다.

삼각형의 가운데 선

속성

• 삼각형의 중심선은 밑면과 평행하고 절반과 같습니다.
• 가운데 선은 1/2의 계수로 원래 삼각형과 유사하고 동조적인 삼각형을 잘라냅니다. 그 면적은 원래 삼각형 면적의 1/4과 같습니다.
• 세 개의 중간 선은 원래 삼각형을 네 개로 나눕니다. 등삼각형. 이러한 삼각형의 중심을 보완 또는 내측 삼각형이라고 합니다.

표지판

• 삼각형의 세그먼트가 변 중 하나의 중간점을 통과하고 두 번째 변과 교차하고 세 번째 변과 평행하면 이 세그먼트가 중심선입니다.
• 면적과 그에 따라 중간 선으로 잘린 삼각형의 부피는 면적의 1/4과 같으므로 주어진 삼각형 전체의 부피입니다.

사변형의 가운데 선

사변형의 가운데 선사변형의 대변의 중간점을 연결하는 선분.

속성

첫 번째 선은 2개의 반대편을 연결합니다. 두 번째는 2개의 다른 반대편을 연결합니다. 세 번째 것은 두 대각선의 중심을 연결합니다(모든 사변형에서 대각선이 교차점으로 이등분되는 것은 아닙니다).

• 볼록 사변형에서 정중선이 형성되는 경우 등각사변형의 대각선을 사용하면 대각선이 같습니다.
• 사변형의 정중선의 길이는 다른 두 변이 평행한 경우, 그리고 이 경우에만 그 합의 절반보다 작거나 같습니다.
• 임의의 사변형의 변의 중간점은 평행사변형의 꼭지점입니다. 그 면적은 사변형 면적의 절반과 같으며 그 중심은 중앙선의 교차점에 있습니다. 이 평행사변형을 바리뇽 평행사변형이라고 합니다.
• 마지막 점은 다음을 의미합니다. 볼록한 사변형에서 네 두 번째 종류의 중간 선. 두 번째 종류의 중간 선- 대각선에 평행한 인접한 변의 중간점을 통과하는 사각형 내부의 4개 세그먼트. 4 두 번째 종류의 중간 선볼록한 사변형은 그것을 네 개의 삼각형과 하나의 중앙 사변형으로 자릅니다. 이 중앙 사변형은 Varignon 평행사변형입니다.
• 사변형의 중심선의 교차점은 공통 중심점이며 대각선의 중심점을 연결하는 세그먼트를 이등분합니다. 또한 사변형 꼭지점의 중심입니다.
• 임의의 사변형에서 정중선 벡터는 기본 벡터 합의 절반과 같습니다.

사다리꼴의 중앙선

사다리꼴의 중앙선

사다리꼴의 중앙선- 이 사다리꼴 측면의 중간점을 연결하는 세그먼트. 사다리꼴 밑면의 중간점을 연결하는 부분을 사다리꼴의 두 번째 중간선이라고 합니다.

다음 공식으로 계산됩니다. E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), 어디 기원 후그리고 기원전- 사다리꼴의 밑면.

이 기사에서는 사다리꼴의 속성을 최대한 반영하려고 노력할 것입니다. 특히 사다리꼴의 일반적인 기호와 성질, 내접사다리꼴의 성질, 사다리꼴에 내접하는 원에 대해 이야기한다. 또한 이등변 및 직사각형 사다리꼴의 속성을 다룰 것입니다.

고려된 속성을 사용하여 문제를 해결하는 예는 머리에서 항목을 분류하고 자료를 더 잘 기억하는 데 도움이 됩니다.

그네와 모든 것

먼저 사다리꼴이 무엇인지 그리고 이와 관련된 다른 개념을 간단히 생각해 봅시다.

따라서 사다리꼴은 두 변이 서로 평행한 사변형 도형입니다(이것이 밑변입니다). 그리고 두 개는 평행하지 않습니다. 이들은 측면입니다.

사다리꼴에서는 밑면에 수직인 높이를 생략할 수 있습니다. 가운데 선과 대각선이 그려집니다. 또한 사다리꼴의 어떤 각도에서도 이등분선을 그릴 수 있습니다.

이러한 모든 요소 및 그 조합과 관련된 다양한 속성에 대해 이제 이야기하겠습니다.

사다리꼴의 대각선 속성

더 명확하게 하려면 읽는 동안 종이에 ACME 사다리꼴을 스케치하고 그 안에 대각선을 그립니다.

1. 각 대각선의 중간점(이 점을 X와 T라고 부름)을 찾아 연결하면 세그먼트가 생성됩니다. 사다리꼴 대각선의 특성 중 하나는 세그먼트 XT가 정중선에 있다는 것입니다. 그리고 그 길이는 밑변의 차이를 2로 나눔으로써 얻을 수 있습니다. XT \u003d (a-b) / 2.
2. 우리 앞에는 동일한 ACME 사다리꼴이 있습니다. 대각선은 점 O에서 교차합니다. 사다리꼴의 밑면과 함께 대각선의 세그먼트로 형성된 삼각형 AOE 및 IOC를 고려해 봅시다. 이 삼각형은 비슷합니다. k 삼각형의 유사성 계수는 ​​사다리꼴 밑면의 비율로 표현됩니다. k = AE/KM.
   삼각형 AOE 및 IOC의 면적 비율은 계수 k 2 로 설명됩니다.
3. 모두 동일한 사다리꼴, 동일한 대각선이 점 O에서 교차합니다. 이번에는 대각선 세그먼트가 사다리꼴의 측면과 함께 형성된 삼각형을 고려할 것입니다. 삼각형 AKO와 EMO의 면적은 동일합니다. 즉 면적이 같습니다.
4. 사다리꼴의 또 다른 속성은 대각선 구성을 포함합니다. 따라서 AK와 ME의 측면을 더 작은 베이스 방향으로 계속하면 조만간 어떤 지점에서 교차하게 됩니다. 다음으로 사다리꼴 밑면의 중간점을 통과하는 직선을 그립니다. 점 X와 T에서 밑면과 교차합니다.
   이제 선 XT를 확장하면 사다리꼴 O의 대각선의 교차점, X와 T의 밑면의 중간점과 측면의 확장이 교차하는 지점을 함께 연결합니다.
5. 대각선의 교차점을 통해 사다리꼴의 밑면을 연결하는 세그먼트를 그립니다 (T는 KM의 작은 밑면에 있고 X는 더 큰 AE에 있음). 대각선의 교차점은 이 세그먼트를 다음 비율로 나눕니다. TO/오 = KM/AE.
6. 이제 대각선의 교차점을 통해 사다리꼴 밑면(a 및 b)에 평행한 세그먼트를 그립니다. 교차점은 그것을 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다. 공식을 사용하여 세그먼트의 길이를 찾을 수 있습니다. 2ab/(a + b).

사다리꼴 정중선의 속성

밑면과 평행한 사다리꼴의 가운데 선을 그립니다.

1. 사다리꼴 정중선의 길이는 밑면의 길이를 더하고 반으로 나누어 계산할 수 있습니다. m = (a + b)/2.
2. 사다리꼴의 양쪽 밑면을 통해 세그먼트(예: 높이)를 그리면 가운데 선이 세그먼트를 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다.

사다리꼴 이등분선의 성질

사다리꼴의 각도를 선택하고 이등분선을 그립니다. 사다리꼴 ACME의 각도 KAE를 예로 들어 보겠습니다. 스스로 구성을 완료하면 이등분선이 밑면 (또는 그림 자체 외부의 직선에서 연속)에서 측면과 같은 길이의 세그먼트를 자르는 것을 쉽게 볼 수 있습니다.

사다리꼴 각도 속성

1. 변에 인접한 두 쌍의 각도 중 어느 쪽을 선택하든 한 쌍의 각도의 합은 항상 180 0입니다: α + β = 180 0 및 γ + δ = 180 0 .
2. 사다리꼴 밑면의 중간점을 세그먼트 TX와 연결합니다. 이제 사다리꼴 밑면의 각도를 살펴보겠습니다. 그들 중 하나에 대한 각도의 합이 90 0이면 TX 세그먼트의 길이는 밑면 길이의 차이를 반으로 나눈 값을 기반으로 쉽게 계산할 수 있습니다. TX \u003d (AE-KM) / 2.
3. 사다리꼴 각의 측면을 통해 평행선을 그리면 각의 측면을 비례 세그먼트로 나눕니다.

이등변(이등변) 사다리꼴의 성질

1. 이등변 사다리꼴에서 모든 밑면의 각도는 같습니다.
2. 이제 그것이 무엇인지 쉽게 상상할 수 있도록 사다리꼴을 다시 만드십시오. AE의 밑면을 주의 깊게 살펴보십시오. M의 반대쪽 밑면의 정점은 AE를 포함하는 선의 특정 지점에 투영됩니다. 정점 A에서 정점 M의 투영점까지의 거리와 이등변 사다리꼴의 중심선은 같습니다.
3. 이등변 사다리꼴의 대각선 속성에 대한 몇 마디 - 길이가 같습니다. 또한 사다리꼴 밑면에 대한 이러한 대각선의 경사각도 동일합니다.
4. 이등변 사다리꼴 근처에서만 원을 설명할 수 있습니다. 사변형 180°의 대각의 합이 이에 대한 전제 조건이기 때문입니다.
5. 이등변 사다리꼴의 속성은 이전 단락에서 따릅니다. 사다리꼴 근처에서 원을 설명할 수 있으면 이등변입니다.
6. 이등변 사다리꼴의 특징에서 사다리꼴 높이의 속성은 다음과 같습니다. 대각선이 직각으로 교차하면 높이 길이는 밑변의 합의 절반과 같습니다. h = (a + b)/2.
7. 사다리꼴 밑면의 중간 점을 통해 선 TX를 다시 그립니다. 이등변 사다리꼴에서는 밑면에 수직입니다. 동시에 TX는 이등변 사다리꼴의 대칭축입니다.
8. 이번에는 사다리꼴의 반대쪽 꼭지점에서 높이를 더 큰 밑면(a라고 부름)으로 낮춥니다. 당신은 두 컷을 얻을 것이다. 밑면의 길이를 더하고 반으로 나누면 1의 길이를 찾을 수 있습니다. (a+b)/2. 큰 밑에서 작은 것을 빼고 그 차이를 2로 나누면 두 번째가 됩니다. (a – b)/2.

원에 새겨진 사다리꼴의 성질

이미 원에 새겨진 사다리꼴에 대해 이야기하고 있으므로이 문제에 대해 자세히 살펴 보겠습니다. 특히 사다리꼴과 관련하여 원의 중심은 어디에 있습니까? 여기에서도 연필을 들고 아래에서 논의할 내용을 그리는 데 너무 게으르지 않는 것이 좋습니다. 그래서 당신은 더 빨리 이해하고 더 잘 기억할 것입니다.

1. 원의 중심 위치는 사다리꼴 대각선의 측면 경사각에 의해 결정됩니다. 예를 들어, 대각선은 측면에 직각으로 사다리꼴 상단에서 나타날 수 있습니다. 이 경우 더 큰 밑면은 정확히 중앙에서 외접원의 중심과 교차합니다(R = ½AE).
2. 대각선과 측면도 예각으로 만날 수 있습니다. 그러면 원의 중심이 사다리꼴 내부에 있습니다.
3. 사다리꼴의 대각선과 옆면 사이에 둔각이 있는 경우 외접원의 중심은 큰 밑면을 넘어 사다리꼴 외부에 있을 수 있습니다.
4. 대각선과 ACME 사다리꼴의 큰 밑면이 이루는 각도(내접각)는 그에 해당하는 중심각의 절반입니다. MAE = ½MY.
5. 외접원의 반지름을 구하는 두 가지 방법에 대해 간략하게 설명합니다. 방법 1: 그림을 주의 깊게 살펴보십시오. 무엇이 보이나요? 대각선이 사다리꼴을 두 개의 삼각형으로 나누는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 반지름은 삼각형의 변과 반대 각도의 사인의 비율에 2를 곱하여 구할 수 있습니다. 예를 들어, R \u003d AE / 2 * sinAME. 마찬가지로 두 삼각형의 변 중 어느 변에 대해서도 공식을 쓸 수 있습니다.
6. 방법 2: 사다리꼴의 대각선, 측면 및 밑면으로 형성된 삼각형의 영역을 통해 외접원의 반지름을 찾습니다. R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

원에 외접하는 사다리꼴의 성질

하나의 조건이 충족되면 사다리꼴에 원을 새길 수 있습니다. 아래에서 자세히 알아보세요. 그리고 이러한 숫자의 조합에는 여러 가지 흥미로운 속성이 있습니다.

1. 원이 사다리꼴에 내접하는 경우 정중선의 길이는 변의 길이를 더하고 결과 값을 반으로 나누면 쉽게 찾을 수 있습니다. m = (c + d)/2.
2. 원에 외접하는 사다리꼴 ACME의 경우 밑변의 길이의 합은 변의 길이의 합과 같습니다. AK + ME = KM + AE.
3. 사다리꼴 밑변의 이 속성에서 역문은 다음과 같습니다. 밑변의 합이 변의 합과 같은 사다리꼴에 원을 새길 수 있습니다.
4. 사다리꼴에 내접하는 반지름이 r인 원의 접선점은 측면을 두 부분으로 나눈다. 이를 a와 b라고 하자. 원의 반지름은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. r = √ab.
5. 그리고 또 하나의 속성. 혼동하지 않으려면 이 예를 직접 그려보세요. 우리는 원 주위에 둘러싸인 좋은 오래된 ACME 사다리꼴을 가지고 있습니다. 점 O에서 교차하는 대각선이 그려집니다. 대각선의 세그먼트와 측면으로 형성된 삼각형 AOK 및 EOM은 직사각형입니다.
   빗변(즉, 사다리꼴의 측면)까지 낮아진 이 삼각형의 높이는 내접원의 반지름과 일치합니다. 그리고 사다리꼴의 높이는 내접원의 지름과 같습니다.

직사각형 사다리꼴의 속성

사다리꼴은 직사각형이라고하며 모서리 중 하나가 오른쪽입니다. 그리고 그 속성은 이러한 상황에서 비롯됩니다.

1. 직사각형 사다리꼴은 한 변이 밑면에 수직입니다.
2. 인접한 사다리꼴의 높이와 측면 직각, 같다. 이를 통해 직사각형 사다리꼴의 면적을 계산할 수 있습니다 ( 일반 공식 S = (a + b) * h/2) 높이뿐만 아니라 직각에 인접한 측면을 통해서도.
3. 직사각형 사다리꼴의 경우 위에서 이미 설명한 사다리꼴 대각선의 일반 속성이 관련됩니다.

사다리꼴의 일부 속성 증명

이등변 사다리꼴의 밑면에서 각의 평등:

• 여기에서 ACME 사다리꼴이 다시 필요하다는 것을 이미 짐작했을 것입니다. 이등변 사다리꼴을 그립니다. 정점 M에서 AK의 측면에 평행한 선 MT를 그립니다(MT || AK).

결과 사변형 AKMT는 평행사변형입니다(AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT이므로 ∆ MTE는 이등변이고 MET = MTE입니다.

AK || MT, 따라서 MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

여기서 AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME입니다.

Q.E.D.

이제 이등변 사다리꼴(대각선의 동일성)의 속성을 기반으로 다음을 증명합니다. 사다리꼴 ACME는 이등변:

• 먼저 직선 МХ – МХ || KE. 우리는 평행 사변형 KMHE를 얻습니다 (기본 - MX || KE 및 KM || EX).

AM = KE = MX, MAX = MEA이므로 ΔAMH는 이등변입니다.

MX || KE, KEA = MXE, 따라서 MAE = MXE.

AM \u003d KE와 AE가 두 삼각형의 공통 변이기 때문에 삼각형 AKE와 EMA는 서로 같다는 것이 밝혀졌습니다. 그리고 MAE \u003d MXE도 있습니다. AK = ME라는 결론을 내릴 수 있으므로 사다리꼴 AKME는 이등변입니다.

반복할 작업

사다리꼴 ACME의 밑면은 9cm와 21cm이고 KA의 측면은 8cm이며 더 작은 밑면으로 150 °의 각도를 형성합니다. 사다리꼴 영역을 찾아야합니다.

솔루션: 정점 K에서 사다리꼴의 더 큰 밑면까지 높이를 낮춥니다. 사다리꼴의 각도부터 살펴보겠습니다.

각도 AEM 및 KAN은 단면입니다. 즉, 1800을 더하면 됩니다. 따라서 KAN = 30 0(사다리꼴 각도의 특성에 따라)입니다.

이제 직사각형 ΔANK를 고려하십시오(이 점은 더 이상 증명하지 않아도 독자에게 명백하다고 생각합니다). 그것에서 우리는 사다리꼴 KH의 높이를 찾습니다-삼각형에서 다리는 30 0의 각도 반대편에 있습니다. 따라서 KN \u003d ½AB \u003d 4cm입니다.

사다리꼴의 면적은 S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60cm 2 공식으로 구합니다.

후기

이 기사를 신중하고 신중하게 연구하고 손에 연필로 위의 모든 속성에 대해 사다리꼴을 그리고 실제로 분석하기에는 너무 게으르지 않았다면 재료를 잘 마스터했을 것입니다.

물론 여기에는 다양하고 때로는 혼란스러운 많은 정보가 있습니다. 설명 된 사다리꼴의 속성과 새겨진 속성을 혼동하는 것은 그리 어렵지 않습니다. 그러나 당신은 그 차이가 크다는 것을 직접 보았습니다.

이제 모든 항목에 대한 자세한 요약이 있습니다. 공통 속성사다리꼴. 이등변 및 직사각형 사다리꼴의 특정 속성 및 기능뿐만 아니라. 시험 및 시험 준비에 사용하는 것이 매우 편리합니다. 직접 시도해보고 친구들과 링크를 공유하세요!

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사다리꼴의 중앙선, 특히 그 특성은 문제를 풀고 특정 정리를 증명하기 위해 기하학에서 매우 자주 사용됩니다.

서로 평행한 두 변만 있는 사각형입니다. 평행한 면을 베이스라고 합니다(그림 1 - 기원 후그리고 기원전), 다른 두 개는 측면입니다(그림에서 AB그리고 CD).

사다리꼴의 중앙선- 측면의 중간점을 연결하는 세그먼트입니다(그림 1에서 - KL).

사다리꼴 정중선의 속성

사다리꼴 정중선 정리 증명

입증하다사다리꼴의 중심선은 밑변의 합의 절반과 같고 이 밑변과 평행합니다.

다나 사다리꼴 ABCD정중선으로 KL. 고려 중인 속성을 증명하려면 점을 통해 직선을 그려야 합니다. 비그리고 엘. 그림 2에서 이것은 직선입니다. 비큐. 또한 기지를 계속 기원 후선과의 교차점까지 비큐.

결과 삼각형을 고려하십시오. LBC그리고 LQD:

1. 정중선의 정의에 따라 KL점 엘세그먼트의 중간점입니다. CD. 이것으로부터 세그먼트는 씨엘그리고 LD같다.
2. ∠비엘씨 = ∠QLD이 각도는 수직이기 때문입니다.
3. ∠BCL = ∠LDQ, 이 각도는 평행선에 십자형으로 놓여 있기 때문에 기원 후그리고 기원전그리고 시컨트 CD.

이 3개의 등식으로부터 이전에 고려한 삼각형은 다음과 같습니다. LBC그리고 LQD 1면과 인접한 두 각도가 동일합니다(그림 3 참조). 따라서, ∠ LBC = ∠LQD, 기원전=DQ그리고 가장 중요한 것 - BL=LQ => KL, 이것은 사다리꼴의 중심선입니다. ABCD, 또한 삼각형의 중심선입니다. ABQ. 삼각형의 중심선의 성질에 따라 ABQ우리는 얻는다.

중간 선면적계의 그림 - 주어진 그림의 두 변의 중간점을 연결하는 세그먼트. 이 개념은 삼각형, 사변형, 사다리꼴 그림에 사용됩니다.

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자막

삼각형의 가운데 선

속성

• 삼각형의 중심선은 밑면과 평행하고 절반과 같습니다.
• 세 개의 중간 선이 모두 교차하는 지점에서 계수가 1/2인 원래 삼각형과 유사한(동종적) 4개의 동일한 삼각형이 형성됩니다.
• 가운데 선은 주어진 삼각형과 비슷한 삼각형을 잘라 내고 그 면적은 원래 삼각형 면적의 1/4과 같습니다.
• 삼각형의 3개 중심선은 삼각형을 원래 삼각형과 유사한 4개의 동일한(동일한) 삼각형으로 나눕니다. 4개의 동일한 삼각형은 모두 다음과 같습니다. 중간 삼각형. 이 4개의 동일한 삼각형 중 중앙에 있는 삼각형을 보완 삼각형이라고 합니다.

표지판

• 세그먼트가 삼각형의 변 중 하나와 평행하고 삼각형의 한 변의 중심점과 삼각형의 다른 변에 있는 점을 연결하면 이것이 중심선입니다.

사변형의 가운데 선

사변형의 가운데 선사변형의 대변의 중간점을 연결하는 선분.

속성

첫 번째 선은 2개의 반대편을 연결합니다. 두 번째는 2개의 다른 반대편을 연결합니다. 세 번째 것은 두 대각선의 중심을 연결합니다(모든 사변형에서 대각선이 교차점으로 이등분되는 것은 아닙니다).

• 볼록한 사변형에서 중심선이 사변형의 대각선과 같은 각도를 형성하면 대각선이 같습니다.
• 사변형의 정중선의 길이는 다른 두 변이 평행한 경우, 그리고 이 경우에만 그 합의 절반보다 작거나 같습니다.
• 임의의 사변형의 변의 중간점은 평행사변형의 꼭지점입니다. 그 면적은 사변형 면적의 절반과 같으며 그 중심은 중앙선의 교차점에 있습니다. 이 평행사변형을 바리뇽 평행사변형이라고 합니다.
• 마지막 점은 다음을 의미합니다. 볼록한 사변형에서 네 두 번째 종류의 중간 선. 두 번째 종류의 중간 선- 대각선에 평행한 인접한 변의 중간점을 통과하는 사각형 내부의 4개 세그먼트. 4 두 번째 종류의 중간 선볼록한 사변형은 그것을 네 개의 삼각형과 하나의 중앙 사변형으로 자릅니다. 이 중심 사변형은 바리뇽의 평행사변형입니다.
• 사변형의 중심선의 교차점은 공통 중심점이며 대각선의 중심점을 연결하는 세그먼트를 이등분합니다. 게다가 그녀는