선형 대수 방정식 시스템. 선형 방정식 시스템에 대한 일반 및 특정 솔루션을 찾는 방법 대수 방정식 시스템 풀기

방정식 시스템은 다양한 프로세스의 수학적 모델링을 위해 경제 부문에서 널리 사용됩니다. 예를 들어 생산 관리 및 계획, 물류 경로(운송 문제) 또는 장비 배치 문제를 해결할 때.

방정식 시스템은 수학뿐만 아니라 물리학, 화학, 생물학에서도 인구 규모를 찾는 문제를 해결할 때 사용됩니다.

선형 방정식 시스템은 공통 솔루션을 찾는 데 필요한 여러 변수가 있는 두 개 이상의 방정식입니다. 모든 방정식이 진정한 평등이 되거나 수열이 존재하지 않음을 증명하는 일련의 숫자입니다.

선형 방정식

ax+by=c 형식의 방정식을 선형이라고 합니다. x, y 지정은 값을 찾아야 하는 미지수이고, b, a는 변수의 계수이고, c는 방정식의 자유항입니다.
방정식을 플로팅하여 풀면 직선처럼 보이고 모든 점은 다항식의 해가 됩니다.

선형 방정식 시스템의 유형

가장 간단한 예는 두 개의 변수 X와 Y를 갖는 선형 방정식 시스템으로 간주됩니다.

F1(x, y) = 0 및 F2(x, y) = 0. 여기서 F1,2는 함수이고 (x, y)는 함수 변수입니다.

연립방정식 풀기 - 이는 시스템이 진정한 평등으로 변하는 값(x, y)을 찾거나 x와 y의 적절한 값이 존재하지 않는다는 것을 설정하는 것을 의미합니다.

한 점의 좌표로 작성된 한 쌍의 값(x, y)을 선형 방정식 시스템의 해라고 합니다.

시스템에 하나의 공통 솔루션이 있거나 솔루션이 존재하지 않는 경우 해당 시스템을 동등하다고 합니다.

선형 방정식의 동차 시스템은 우변이 0인 시스템입니다. 등호 뒤의 오른쪽 부분이 값을 가지거나 함수로 표현된다면, 그러한 체계는 이질적이다.

변수의 수는 2개보다 훨씬 많을 수 있습니다. 그러면 3개 이상의 변수가 있는 선형 방정식 시스템의 예에 대해 이야기해야 합니다.

시스템을 접할 때 학생들은 방정식의 수가 반드시 미지수의 수와 일치해야 한다고 가정하지만 그렇지 않습니다. 시스템의 방정식 수는 변수에 좌우되지 않습니다. 원하는 만큼 방정식이 있을 수 있습니다.

방정식 시스템을 풀기 위한 간단하고 복잡한 방법

이러한 시스템을 해결하기 위한 일반적인 분석 방법은 없습니다. 모든 방법은 수치해를 기반으로 합니다. 학교 수학 과정에서는 순열, 대수적 추가, 대체, 그래픽 및 행렬 방법, 가우스 방법에 의한 솔루션과 같은 방법을 자세히 설명합니다.

솔루션 방법을 가르칠 때 주요 임무는 시스템을 올바르게 분석하고 각 예에 대한 최적의 솔루션 알고리즘을 찾는 방법을 가르치는 것입니다. 중요한 것은 각 방법에 대한 규칙과 동작의 체계를 암기하는 것이 아니라 특정 방법을 사용하는 원리를 이해하는 것입니다.

7학년 일반 교육 커리큘럼에서 선형 방정식 시스템의 예를 푸는 것은 매우 간단하고 매우 자세하게 설명되어 있습니다. 어느 수학 교과서에서든 이 부분은 충분히 주의를 기울인다. Gauss and Cramer 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템의 예를 푸는 것은 고등 교육 첫해에 더 자세히 연구됩니다.

대체 방법을 사용하여 시스템 해결

대체 방법의 동작은 한 변수의 값을 두 번째 변수로 표현하는 것을 목표로 합니다. 표현식은 나머지 방정식에 대입된 후 변수가 하나인 형태로 축소됩니다. 시스템의 알 수 없는 항목 수에 따라 작업이 반복됩니다.

대체 방법을 사용하여 클래스 7의 선형 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션을 제공하겠습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 변수 x는 F(X) = 7 + Y로 표현되었습니다. 결과 표현식은 X 대신 시스템의 두 번째 방정식에 대입되어 두 번째 방정식에서 하나의 변수 Y를 얻는 데 도움이 되었습니다. . 이 예제를 푸는 것은 쉬우며 Y 값을 얻을 수 있습니다. 마지막 단계는 얻은 값을 확인하는 것입니다.

선형 방정식 시스템의 예를 치환으로 푸는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 방정식은 복잡할 수 있으며 두 번째 미지수로 변수를 표현하는 것은 추가 계산에 너무 번거로울 수 있습니다. 시스템에 3개 이상의 미지수가 있는 경우 치환을 통해 해결하는 것도 부적절합니다.

선형 불균일 방정식 시스템의 예에 대한 해법:

대수적 덧셈을 이용한 해법

덧셈법을 사용하여 연립방정식의 해를 찾을 때 방정식은 항별로 더해지고 다양한 숫자가 곱해집니다. 수학적 연산의 궁극적인 목표는 하나의 변수로 방정식을 만드는 것입니다.

이 방법을 적용하려면 연습과 관찰이 필요합니다. 변수가 3개 이상인 경우 덧셈법을 사용하여 연립방정식을 푸는 것은 쉽지 않습니다. 대수적 덧셈은 방정식에 분수와 소수가 포함되어 있을 때 사용하면 편리합니다.

솔루션 알고리즘:

1. 방정식의 양변에 특정 숫자를 곱합니다. 산술 연산의 결과로 변수의 계수 중 하나가 1이 되어야 합니다.
2. 결과 표현식 용어를 용어별로 추가하고 미지수 중 하나를 찾습니다.
3. 결과 값을 시스템의 두 번째 방정식에 대입하여 나머지 변수를 찾습니다.

새로운 변수를 도입하여 해결하는 방법

시스템이 2개 이하의 방정식에 대한 해를 구해야 하는 경우 새 변수를 도입할 수 있습니다. 미지수의 수도 2개를 넘지 않아야 합니다.

이 방법은 새 변수를 도입하여 방정식 중 하나를 단순화하는 데 사용됩니다. 도입된 미지수에 대해 새 방정식을 풀고 결과 값을 사용하여 원래 변수를 결정합니다.

이 예는 새로운 변수 t를 도입함으로써 시스템의 첫 번째 방정식을 표준 2차 삼항식으로 줄이는 것이 가능하다는 것을 보여줍니다. 판별식을 구하면 다항식을 풀 수 있습니다.

잘 알려진 공식 D = b2 - 4*a*c를 사용하여 판별식의 값을 찾아야 합니다. 여기서 D는 원하는 판별식이고, b, a, c는 다항식의 인수입니다. 주어진 예에서는 a=1, b=16, c=39이므로 D=100입니다. 판별식이 0보다 크면 두 가지 해가 있습니다: t = -b±√D / 2*a, 판별식이 0보다 작으면 하나의 해가 있습니다: x = -b / 2*a.

결과 시스템에 대한 해는 추가 방법으로 찾습니다.

시스템 해결을 위한 시각적 방법

3개의 방정식 시스템에 적합합니다. 이 방법은 좌표축에 시스템에 포함된 각 방정식의 그래프를 구성하는 것으로 구성됩니다. 곡선의 교차점 좌표는 시스템의 일반적인 솔루션이 됩니다.

그래픽 방법에는 여러 가지 뉘앙스가 있습니다. 시각적인 방법으로 선형 방정식 시스템을 푸는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 각 라인에 대해 두 개의 점이 구성되었으며 변수 x의 값은 0과 3으로 임의로 선택되었습니다. x 값을 기반으로 y 값이 발견되었습니다. 3과 0. 좌표가 (0, 3)과 (3, 0)인 점을 그래프에 표시하고 선으로 연결했습니다.

두 번째 방정식에 대해 단계를 반복해야 합니다. 선의 교차점은 시스템의 해입니다.

다음 예에서는 선형 방정식 시스템(0.5x-y+2=0 및 0.5x-y-1=0)에 대한 그래픽 솔루션을 찾아야 합니다.

예제에서 볼 수 있듯이 그래프가 평행하고 전체 길이를 따라 교차하지 않기 때문에 시스템에는 솔루션이 없습니다.

예제 2와 3의 시스템은 유사하지만 구성해 보면 솔루션이 다르다는 것이 분명해집니다. 시스템에 솔루션이 있는지 여부를 말하는 것이 항상 가능한 것은 아니라는 점을 기억해야 합니다. 그래프를 구성하는 것은 항상 필요합니다.

매트릭스와 그 종류

행렬은 선형 방정식 시스템을 간결하게 작성하는 데 사용됩니다. 행렬은 숫자로 채워진 특별한 유형의 테이블입니다. n*m에는 n - 행과 m - 열이 있습니다.

행렬은 열과 행의 개수가 같을 때 정사각형입니다. 행렬-벡터는 행 수가 무한히 많은 하나의 열로 구성된 행렬입니다. 대각선 중 하나와 다른 0 요소를 따라 1이 있는 행렬을 항등이라고 합니다.

역행렬은 원래 행렬이 단위 행렬로 변하는 행렬입니다. 이러한 행렬은 원래 정사각형 행렬에만 존재합니다.

연립방정식을 행렬로 변환하는 규칙

방정식 시스템과 관련하여 방정식의 계수와 자유 항은 행렬 번호로 작성됩니다. 하나의 방정식은 행렬의 한 행입니다.

행의 요소 중 하나 이상이 0이 아닌 경우 행렬 행은 0이 아닌 것으로 간주됩니다. 따라서 방정식 중 하나에서 변수 수가 다른 경우 누락된 미지수 대신 0을 입력해야 합니다.

행렬 열은 변수와 엄격하게 일치해야 합니다. 이는 변수 x의 계수가 하나의 열에만 기록될 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 첫 번째 열에는 알 수 없는 y의 계수가 두 번째 열에만 기록될 수 있습니다.

행렬을 곱할 때 행렬의 모든 요소에 숫자가 순차적으로 곱해집니다.

역행렬을 찾는 옵션

역행렬을 찾는 공식은 매우 간단합니다. K -1 = 1 / |K|, 여기서 K -1은 역행렬이고 |K| 는 행렬의 행렬식입니다. |K| 가 0이 아니어야 합니다. 그러면 시스템에 솔루션이 있습니다.

행렬식은 2x2 행렬에 대해 쉽게 계산됩니다. 대각선 요소를 서로 곱하기만 하면 됩니다. "3x3" 옵션의 경우 공식 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + 3b 2c 1 . 수식을 사용할 수도 있고, 요소의 열 수와 행 수가 작업에서 반복되지 않도록 각 행과 각 열에서 하나의 요소를 가져와야한다는 것을 기억할 수 있습니다.

행렬 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템의 예 풀기

해를 찾는 매트릭스 방법을 사용하면 변수와 방정식이 많은 시스템을 풀 때 번거로운 항목을 줄일 수 있습니다.

예에서 nm은 방정식의 계수이고, 행렬은 벡터입니다. x n은 변수이고, bn은 자유항입니다.

가우스 방법을 사용한 시스템 해결

고등 수학에서는 가우스 방법(Gaussian method)을 크레이머(Cramer) 방법과 함께 연구하며, 시스템에 대한 해를 구하는 과정을 가우스-크래머(Gauss-Cramer) 해법이라고 합니다. 이러한 방법은 선형 방정식이 많은 시스템의 변수를 찾는 데 사용됩니다.

가우스 방법은 치환 및 대수적 덧셈에 의한 해법과 매우 유사하지만 더 체계적입니다. 학교 과정에서는 3차 및 4차 방정식 시스템에 가우스 방법에 의한 솔루션이 사용됩니다. 이 방법의 목적은 시스템을 역된 사다리꼴 형태로 줄이는 것입니다. 대수적 변환과 치환을 통해 한 변수의 값은 시스템의 방정식 중 하나에서 발견됩니다. 두 번째 방정식은 2개의 미지수가 있는 표현식이고, 3과 4는 각각 3개와 4개의 변수가 있습니다.

시스템을 설명된 형태로 만든 후 추가 솔루션은 알려진 변수를 시스템 방정식으로 순차적으로 대체하는 것으로 축소됩니다.

7학년 학교 교과서에는 가우스 방법을 사용한 솔루션의 예가 다음과 같이 설명되어 있습니다.

예에서 볼 수 있듯이 단계 (3)에서 두 개의 방정식이 얻어졌습니다: 3x 3 -2x 4 =11 및 3x 3 +2x 4 =7. 방정식 중 하나를 풀면 변수 xn 중 하나를 찾을 수 있습니다.

본문에 언급된 정리 5는 시스템의 방정식 중 하나를 동등한 방정식으로 대체하면 결과 시스템도 원래 시스템과 동등하다는 것을 나타냅니다.

가우스 방법은 중학생이 이해하기 어렵지만 수학과 물리 수업에서 고급 학습 프로그램에 등록한 어린이의 독창성을 개발하는 가장 흥미로운 방법 중 하나입니다.

기록의 용이성을 위해 일반적으로 다음과 같이 계산이 수행됩니다.

방정식과 자유 항의 계수는 행렬 형태로 작성되며, 행렬의 각 행은 시스템의 방정식 중 하나에 해당합니다. 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 분리합니다. 로마 숫자는 시스템의 방정식 수를 나타냅니다.

먼저 작업할 행렬을 기록한 다음 행 중 하나에서 수행되는 모든 작업을 기록합니다. 결과 행렬은 "화살표" 기호 뒤에 작성되며 결과가 나올 때까지 필요한 대수 연산이 계속됩니다.

결과는 대각선 중 하나가 1이고 다른 모든 계수가 0인 행렬이어야 합니다. 즉, 행렬이 단위 형태로 축소됩니다. 방정식의 양쪽에 숫자를 사용하여 계산을 수행하는 것을 잊지 마십시오.

이 기록 방법은 덜 번거롭고 알려지지 않은 수많은 항목을 나열하여 주의가 산만해지는 것을 방지합니다.

솔루션 방법을 자유롭게 사용하려면 주의와 약간의 경험이 필요합니다. 모든 방법이 적용되는 것은 아닙니다. 해결책을 찾는 일부 방법은 인간 활동의 특정 영역에서 더 선호되는 반면 다른 방법은 교육 목적으로 존재합니다.

실시예 1. 시스템의 일반적인 솔루션과 특정 솔루션 찾기

해결책우리는 계산기를 사용하여 계산합니다. 확장 행렬과 주 행렬을 작성해 보겠습니다.

주 행렬 A는 시스템 방정식에서 항의 재배열 가능성을 염두에 두고 상단에 알려지지 않은 시스템을 씁니다. 확장 행렬의 순위를 결정함으로써 동시에 기본 행렬의 순위를 찾습니다. 행렬 B에서 첫 번째 열과 두 번째 열은 비례합니다. 두 개의 비례 열 중 하나만 기본 마이너에 속할 수 있으므로 예를 들어 반대 기호가 있는 점선 너머 첫 번째 열을 이동해 보겠습니다. 시스템의 경우 이는 x 1의 항을 방정식의 오른쪽으로 옮기는 것을 의미합니다.

행렬을 삼각형 형태로 줄여보겠습니다. 행렬 행에 0이 아닌 숫자를 곱하고 이를 시스템의 다른 행에 추가하는 것은 방정식에 동일한 숫자를 곱하고 이를 다른 방정식과 추가하는 것을 의미하므로 행에 대해서만 작업할 것입니다. 이는 다음의 해를 변경하지 않습니다. 체계. 첫 번째 행에 대해 작업합니다. 행렬의 첫 번째 행에 (-3)을 곱하고 두 번째 및 세 번째 행에 차례로 추가합니다. 그런 다음 첫 번째 줄에 (-2)를 곱하고 네 번째 줄에 추가합니다.

두 번째와 세 번째 줄은 비례하므로 그 중 하나(예: 두 번째 줄)에 줄을 그어 지울 수 있습니다. 이는 세 번째 방정식의 결과이므로 시스템의 두 번째 방정식을 지우는 것과 같습니다.

이제 두 번째 줄에 대해 작업합니다. 여기에 (-1)을 곱하고 세 번째 줄에 추가합니다.

점으로 표시된 마이너는 (가능한 마이너 중) 가장 높은 차수를 가지며 0이 아니며(주 대각선에 있는 요소의 곱과 동일) 이 마이너는 주 행렬과 확장 행렬 모두에 속하므로 rangA = 울림B = 3.
미성년자 기본이다. 여기에는 미지수 x 2 , x 3 , x 4 에 대한 계수가 포함되어 있습니다. 즉, 미지수 x 2 , x 3 , x 4 는 종속적이고 x 1 , x 5 는 자유입니다.
왼쪽에 작은 기저(위의 솔루션 알고리즘의 4번 지점에 해당)만 남겨두고 행렬을 변환해 보겠습니다.

이 행렬의 계수를 갖는 시스템은 원래 시스템과 동일하며 다음과 같은 형식을 갖습니다.

알려지지 않은 요소를 제거하는 방법을 사용하여 다음을 찾습니다.
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
우리는 자유 변수 x 1 및 x 5를 통해 종속 변수 x 2, x 3, x 4를 표현하는 관계를 얻었습니다. 즉, 일반적인 솔루션을 찾았습니다.

자유 미지수에 임의의 값을 할당함으로써 우리는 특정 솔루션을 원하는 만큼 얻을 수 있습니다. 두 가지 특정 솔루션을 찾아보겠습니다.
1) x 1 = x 5 = 0, x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3이라고 가정합니다.
2) x 1 = 1, x 5 = -1, x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7을 넣습니다.
따라서 두 가지 솔루션이 발견되었습니다. (0,1,-3,3,0) – 하나의 솔루션, (1,4,-7,7,-1) – 다른 솔루션.

실시예 2. 호환성을 탐색하고 시스템에 대한 일반적인 솔루션과 특정 솔루션을 찾으세요.

해결책. 첫 번째 방정식에 1이 있도록 첫 번째와 두 번째 방정식을 재배열하고 행렬 B를 작성해 보겠습니다.

첫 번째 행을 사용하여 네 번째 열에서 0을 얻습니다.

이제 두 번째 줄을 사용하여 세 번째 열에서 0을 얻습니다.

세 번째와 네 번째 줄은 비례하므로 순위를 변경하지 않고도 그 중 하나를 지울 수 있습니다.
세 번째 줄에 (-2)를 곱하고 네 번째 줄에 추가합니다.

기본 행렬과 확장 행렬의 순위는 4이고 순위는 미지수의 수와 일치하므로 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

실시예 3. 시스템의 호환성을 검사하고 솔루션이 있는 경우 해결책을 찾으십시오.

해결책. 우리는 시스템의 확장된 매트릭스를 구성합니다.

처음 두 방정식을 재배열하여 왼쪽 상단에 1이 있도록 합니다.
첫 번째 줄에 (-1)을 곱하고 세 번째 줄에 추가합니다.

두 번째 줄에 (-2)를 곱하고 세 번째 줄에 추가합니다.

기본 행렬에서는 0으로 구성된 행을 받았고 순위가 발견되면 지워지지만 확장 행렬에서는 마지막 행, 즉 r B > r A 가 남아 있기 때문에 시스템은 일관성이 없습니다.

운동. 이 방정식 시스템의 호환성을 조사하고 행렬 미적분을 사용하여 이를 해결합니다.
해결책

예. 선형 방정식 시스템의 호환성을 증명하고 이를 두 가지 방법으로 해결합니다. 1) 가우스 방법; 2) 크라머의 방법. (답은 x1,x2,x3 형식으로 입력하세요)
해결책 :문서 :문서 :xls
답변: 2,-1,3.

예. 선형 방정식 시스템이 제공됩니다. 호환성을 증명하세요. 시스템의 일반적인 솔루션과 하나의 특정 솔루션을 찾으십시오.
해결책
답변: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; 엑스 2 = 1 - 엑스 4; 엑스 1 = 2 + 엑스 4 - 3x 5

운동. 각 시스템의 일반 솔루션과 특정 솔루션을 찾아보세요.
해결책.우리는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 이 시스템을 연구합니다.
확장 행렬과 주 행렬을 작성해 보겠습니다.

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	4개	x 5

여기서 행렬 A는 굵게 강조 표시되어 있습니다.
행렬을 삼각형 형태로 줄여보겠습니다. 행렬 행에 0이 아닌 숫자를 곱하고 이를 시스템의 다른 행에 추가하는 것은 방정식에 동일한 숫자를 곱하고 이를 다른 방정식과 추가하는 것을 의미하므로 행에 대해서만 작업할 것입니다. 이는 다음의 해를 변경하지 않습니다. 체계.
첫 번째 줄에 (3)을 곱해 보겠습니다. 두 번째 줄에 (-1)을 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

두 번째 줄에 (2)를 곱해 봅시다. 세 번째 줄에 (-3)을 곱합니다. 두 번째 줄에 세 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

두 번째 줄에 (-1)을 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

선택된 마이너는 (가능한 마이너 중) 가장 높은 차수를 가지며 0이 아니며(역대각선에 있는 요소의 곱과 동일) 이 마이너는 주 행렬과 확장 행렬 모두에 속하므로 rang( A) = rang(B) = 3 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 동일하므로 시스템은 협력적이다.
이 마이너는 기본입니다. 여기에는 미지수 x 1 , x 2 , x 3 에 대한 계수가 포함되어 있습니다. 이는 미지수 x 1 , x 2 , x 3 이 종속적(기본)이고 x 4 , x 5 가 자유라는 것을 의미합니다.
왼쪽에 작은 기저만 남겨두고 행렬을 변환해 보겠습니다.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		4개	x 5

이 행렬의 계수를 갖는 시스템은 원래 시스템과 동일하며 다음과 같은 형식을 갖습니다.
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x1 + 3x2 - 3x3 = 1 - 3x4 + 2x5
알려지지 않은 요소를 제거하는 방법을 사용하여 다음을 찾습니다.
우리는 자유 변수 x 4 , x 5 를 통해 종속 변수 x 1 , x 2 , x 3 을 표현하는 관계를 얻었습니다. 일반 솔루션:
x 3 = 0
엑스 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
불확실한, 왜냐하면 하나 이상의 솔루션이 있습니다.

운동. 연립방정식을 푼다.
답변:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
자유 미지수에 임의의 값을 할당함으로써 우리는 특정 솔루션을 원하는 만큼 얻을 수 있습니다. 시스템은 불확실한

선형 대수 방정식 시스템을 해결하기 위한 행렬 방법 - 공식 유도.

매트릭스를 보자 에이주문하다 N~에 N역행렬이 있습니다. 왼쪽 행렬 방정식의 양변에 (행렬 차수)를 곱해 보겠습니다. A⋅X그리고 안에이러한 작업을 수행할 수 있도록 허용하려면 행렬 작업, 작업 속성 문서를 참조하세요. 우리는 . 적절한 차수의 행렬을 곱하는 연산은 결합성 속성을 특징으로 하기 때문에 마지막 동일성은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. , 그리고 역행렬의 정의에 따라( 이자형– 단위 주문 매트릭스 N~에 N) 그렇기 때문에

따라서, 행렬 방법을 사용하는 선형 대수 방정식 시스템의 해는 다음 공식에 의해 결정됩니다.. 즉, 역행렬을 이용하여 SLAE의 해를 구하는 것이다.

우리는 정사각형 행렬이 에이주문하다 N~에 N행렬식이 0이 아닌 경우에만 역행렬을 가집니다. 따라서 시스템 N선형 대수 방정식 N알 수 없는 문제는 시스템의 기본 행렬의 행렬식이 0과 다른 경우에만 행렬 방법으로 풀 수 있습니다.

페이지 상단

행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템을 푸는 예.

예제를 사용하여 행렬 방법을 살펴보겠습니다. 일부 예에서는 행렬의 행렬식을 계산하는 과정을 자세히 설명하지 않습니다. 필요한 경우 행렬의 행렬식 계산 문서를 참조하세요.

예.

역행렬을 사용하여 선형 연립방정식의 해를 구합니다. .

해결책.

행렬 형식에서 원래 시스템은 다음과 같이 작성됩니다. . 주행렬의 행렬식을 계산하고 그것이 0과 다른지 확인합시다. 그렇지 않으면 행렬 방법을 사용하여 시스템을 풀 수 없습니다. 우리는 따라서 행렬의 경우 에이역행렬을 찾을 수 있습니다. 따라서 역행렬을 찾으면 SLAE의 원하는 솔루션을 다음과 같이 정의합니다. 따라서 작업은 역행렬을 구성하는 것으로 축소되었습니다. 그녀를 찾아보자.

우리는 행렬에 대해 그것을 알고 있습니다 역행렬은 다음과 같이 찾을 수 있습니다. , 요소의 대수적 보완은 어디에 있습니까?

우리의 경우

그 다음에

결과 솔루션을 확인해 보겠습니다. , 이를 원래 방정식 시스템의 행렬 형태로 대체합니다. 이 평등은 정체성으로 바뀌어야 합니다. 그렇지 않으면 어딘가에서 실수가 발생한 것입니다.

따라서 솔루션이 올바르게 발견되었습니다.

답변:

아니면 다른 포스팅에서 .

예.

행렬 방법을 사용하여 SLAE를 해결합니다.

해결책.

시스템의 첫 번째 방정식에는 알 수 없는 변수가 포함되어 있지 않습니다. x 2, 두번째 - x 1, 세 번째 - x 3. 즉, 이러한 알려지지 않은 변수의 계수는 0과 같습니다. 방정식 시스템을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다. . 이 유형에서는 SLAE 기록의 매트릭스 형태로 이동하는 것이 더 쉽습니다. . 이 연립방정식을 역행렬을 사용하여 풀 수 있는지 확인해 보겠습니다. 즉, 우리는 다음을 보여줄 것입니다:

대수적 덧셈 행렬을 사용하여 역행렬을 구성해 보겠습니다.

그 다음에,

SLAE에 대한 해결책을 찾는 것이 남아 있습니다.

답변:

.

선형 대수 방정식 시스템의 일반적인 형태에서 행렬 형태로 이동할 때 시스템 방정식에서 알 수 없는 변수의 순서에 주의해야 합니다. 예를 들어 SLAU 다음과 같이 쓸 수 없습니다. . 먼저 시스템의 모든 방정식에서 모든 알려지지 않은 변수를 정렬한 다음 행렬 표기법으로 이동해야 합니다.

또는

또한 알 수 없는 변수를 지정할 때는 주의하세요. x 1 , x 2 , …, xn다른 문자가 될 수 있습니다. 예를 들어 SLAU 행렬 형식으로 다음과 같이 작성됩니다. .

예를 살펴보겠습니다.

예.

역행렬을 사용합니다.

해결책.

시스템 방정식에서 알려지지 않은 변수를 주문한 후 이를 수학적 형식으로 작성합니다.
. 주 행렬의 행렬식을 계산해 보겠습니다.

0이 아니므로 연립방정식의 해는 다음과 같이 역행렬을 사용하여 찾을 수 있습니다. . 공식을 사용하여 역행렬을 구해 봅시다 :

우리는 원하는 솔루션을 얻습니다.

답변:

x = 0, y = -2, z = 3.

예.

선형 대수 방정식 시스템에 대한 해 찾기 매트릭스 방법.

해결책.

시스템의 주요 행렬의 행렬식은 0입니다.

따라서 행렬 방법을 적용할 수 없습니다.

이러한 시스템에 대한 솔루션을 찾는 방법은 선형 대수 방정식 시스템 해결 섹션에 설명되어 있습니다.

예.

SLAE 해결 행렬 방법 - 일부 실수.

해결책.

행렬 형식의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 시스템의 주 행렬의 행렬식을 계산하고 그것이 0과 다른지 확인합시다.

제곱 삼항식은 판별식이 음수이므로 실수 값에 대해 사라지지 않습니다. 따라서 시스템의 주 행렬의 행렬식은 실수 값에 대해 0과 같지 않습니다. 매트릭스 방법으로 우리는 . 다음 공식을 사용하여 역행렬을 구성해 보겠습니다. :

그 다음에

답변:

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요약해보자.

행렬 방법은 방정식의 수가 미지 변수의 수와 일치하고 시스템의 주 행렬의 행렬식이 0과 다른 SLAE를 푸는 데 적합합니다. 시스템에 3개 이상의 방정식이 포함된 경우 역행렬을 찾는 데 상당한 계산 노력이 필요하므로 이 경우 해결을 위해 가우스 방법을 사용하는 것이 좋습니다.

선형 대수 방정식 시스템. 기본 용어. 매트릭스 기록 형태.

선형 대수 방정식 시스템의 정의. 시스템 솔루션. 시스템 분류.

아래에 선형 대수 방정식 시스템(SLAE)는 시스템을 의미합니다.

매개변수 aij는 다음과 같습니다. 계수, 그리고 바이 - 무료 회원 SLAU. 때로는 방정식과 미지수의 수를 강조하기 위해 "m×n 선형 방정식 시스템"이라고 하여 SLAE에 m 방정식과 n 미지수가 포함되어 있음을 나타냅니다.

모든 자유 용어 bi=0이면 SLAE가 호출됩니다. 질의. 무료 멤버 중에 0이 아닌 멤버가 하나 이상 있는 경우 SLAE가 호출됩니다. 이질적인.

SLAU의 솔루션으로(1) 이 집합의 요소가 미지수 x1,x2,...,xn에 대해 주어진 순서로 대체되고 각 SLAE 방정식을 정체성.

모든 동종 SLAE에는 하나 이상의 솔루션이 있습니다. 영(다른 용어로 – 사소한), 즉 x1=x2=…=xn=0.

SLAE(1)에 하나 이상의 솔루션이 있는 경우 이를 호출합니다. 관절, 해결책이 없는 경우 - 비관절. 조인트 SLAE에 정확히 하나의 솔루션이 있는 경우 이를 SLAE라고 합니다. 확실한, 무한한 솔루션 세트가 있는 경우 – 불확실한.

선형 대수 방정식의 쓰기 시스템의 행렬 형식입니다.

각 SLAE에는 여러 행렬이 연결될 수 있습니다. 또한 SLAE 자체는 행렬 방정식의 형태로 작성될 수 있습니다. SLAE (1)의 경우 다음 행렬을 고려하십시오.

행렬 A가 호출됩니다. 시스템의 매트릭스. 이 행렬의 요소는 지정된 SLAE의 계수를 나타냅니다.

행렬 A~는 다음과 같습니다. 확장 매트릭스 시스템. 이는 자유항 b1,b2,...,bm을 포함하는 열을 시스템 행렬에 추가하여 얻습니다. 일반적으로 이 열은 명확성을 위해 수직선으로 구분됩니다.

열 행렬 B는 다음과 같습니다. 무료 회원 매트릭스이고, 열 행렬 X는 다음과 같습니다. 미지의 행렬.

위에 소개된 표기법을 사용하여 SLAE (1)은 행렬 방정식 A⋅X=B의 형태로 작성될 수 있습니다.

메모

시스템과 관련된 행렬은 다양한 방식으로 작성될 수 있습니다. 모든 것은 고려 중인 SLAE의 변수 및 방정식의 순서에 따라 달라집니다. 그러나 어떤 경우에도 주어진 SLAE의 각 방정식에서 미지수의 순서는 동일해야 합니다.

크로네커-카펠리 정리. 일관성을 위한 선형 방정식 시스템 연구.

크로네커-카펠리 정리

선형 대수 방정식 시스템은 시스템 행렬의 순위가 시스템의 확장 행렬의 순위와 동일한 경우에만 일관성이 있습니다. 즉, rangA=rangA~.

시스템에 적어도 하나의 솔루션이 있으면 일관성이 있다고 합니다. Kronecker-Capelli 정리는 다음과 같이 말합니다. rangA=rangA~이면 해가 있습니다. rangA≠rangA~인 경우 이 SLAE에는 솔루션이 없습니다(일관되지 않음). 이러한 해의 수에 대한 질문에 대한 답은 Kronecker-Capelli 정리의 결과로 제공됩니다. 결과의 공식화에는 주어진 SLAE의 변수 수와 동일한 문자 n이 사용됩니다.

크로네커-카펠리 정리의 결과

rangA≠rangA~인 경우 SLAE는 일관성이 없습니다(해가 없음).

rangA=rangA~인 경우

rangA=rangA~=n인 경우 SLAE는 명확합니다(정확히 하나의 솔루션을 가짐).

공식화된 정리와 그 결과는 SLAE에 대한 해를 찾는 방법을 나타내지 않는다는 점에 유의하십시오. 도움을 받으면 이러한 솔루션이 존재하는지 여부와 존재한다면 그 수는 몇 개인지 알 수 있습니다.

SLAE 해결 방법

크레이머 방식

Cramer의 방법은 시스템 행렬의 행렬식이 0과 다른 선형 대수 방정식(SLAE) 시스템을 해결하기 위한 것입니다. 당연히 이는 시스템의 행렬이 정사각형이라고 가정합니다(행렬의 개념은 정사각형 행렬에만 존재함). Cramer 방법의 본질은 세 가지로 표현될 수 있다.

시스템 행렬의 행렬식(시스템의 행렬식이라고도 함)을 구성하고 0이 아닌지 확인합니다. 즉, Δ≠0.

각 변수 xi에 대해 i번째 열을 주어진 SLAE의 자유 항 열로 대체하여 행렬식 Δ로부터 얻은 행렬식 Δ X i를 구성해야 합니다.

공식 xi= Δ X i /Δ를 사용하여 미지수의 값을 구합니다.

역행렬을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

역행렬(때때로 이 방법을 행렬법 또는 역행렬법이라고도 함)을 사용하여 선형 대수 방정식(SLAE) 시스템을 풀려면 SLAE 표기법의 행렬 형식 개념에 대한 사전 지식이 필요합니다. 역행렬 방법은 시스템 행렬의 행렬식이 0과 다른 선형 대수 방정식 시스템을 해결하기 위한 것입니다. 당연히 이는 시스템의 행렬이 정사각형이라고 가정합니다(행렬의 개념은 정사각형 행렬에만 존재함). 역행렬법의 본질은 세 가지로 표현될 수 있다.

3개의 행렬, 즉 시스템 행렬 A, 미지수 행렬 X, 자유항 행렬 B를 적어보세요.

역행렬 A -1 을 구합니다.

X=A -1 ⋅B 등식을 사용하여 주어진 SLAE에 대한 솔루션을 구합니다.

가우스 방법. 가우스 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템을 푸는 예.

가우스 방법은 가장 시각적이고 간단한 해결 방법 중 하나입니다. 선형 대수 방정식 시스템(SLAU): 동종 및 이종 모두. 즉, 이 방법의 핵심은 미지수를 순차적으로 제거하는 것입니다.

Gauss 방법에서 허용되는 변환:

두 줄의 장소 변경;

문자열의 모든 요소에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.

한 행의 요소에 다른 행의 해당 요소를 추가하고 인수를 곱합니다.

요소가 모두 0인 행을 지웁니다.

중복된 줄을 지웁니다.

마지막 두 점과 관련하여 가우스 방법을 사용하여 솔루션의 모든 단계에서 반복 선을 지울 수 있습니다. 당연히 그 중 하나는 남습니다. 예를 들어 2번, 5번, 6번 줄이 반복되는 경우 그 중 하나(예: 5번 줄)를 그대로 둘 수 있습니다. 이 경우 2행과 6행은 삭제됩니다.

0개의 행은 확장 시스템 매트릭스에 나타나는 대로 제거됩니다.

학교로 돌아가서 우리 각자는 방정식과 아마도 방정식 시스템을 공부했습니다. 하지만 이를 해결할 수 있는 방법이 여러 가지 있다는 사실을 아는 사람은 많지 않습니다. 오늘 우리는 두 개 이상의 등식으로 구성된 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 모든 방법을 자세히 분석할 것입니다.

이야기

오늘날 방정식과 그 시스템을 푸는 기술은 고대 바빌론과 이집트에서 시작된 것으로 알려져 있습니다. 그러나 친숙한 형태의 등호는 1556년 영국 수학자 레코드가 소개한 등호 "="가 나타난 이후에 나타났습니다. 그건 그렇고, 이 기호는 이유 때문에 선택되었습니다. 이는 두 개의 평행한 동일한 세그먼트를 의미합니다. 실제로 평등에 대한 이보다 더 좋은 예는 없습니다.

미지수와 각도 기호에 대한 현대 문자 지정의 창시자는 프랑스 수학자입니다. 그러나 그의 지정은 오늘날의 지정과 크게 달랐습니다. 예를 들어, 그는 문자 Q(lat. "quadratus")로 알 수 없는 숫자의 사각형을 표시하고 문자 C(lat. "cubus")로 큐브를 표시했습니다. 이 표기법은 지금은 어색해 보이지만 당시에는 선형 대수 방정식 시스템을 작성하는 가장 이해하기 쉬운 방법이었습니다.

그러나 당시 풀이 방법의 단점은 수학자들이 양의 근만 고려했다는 점이었습니다. 이는 음수 값이 실제로 사용되지 않았기 때문일 수 있습니다. 어떤 식으로든 16세기에 최초로 음근을 계산한 사람은 이탈리아 수학자 Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano, Raphael Bombelli였습니다. 그리고 판별식을 통한 주요 해결 방법인 현대 형식은 데카르트와 뉴턴의 작업 덕분에 17세기에야 만들어졌습니다.

18세기 중반, 스위스 수학자 가브리엘 크라머(Gabriel Cramer)는 선형 방정식 시스템을 더 쉽게 풀 수 있는 새로운 방법을 발견했습니다. 이 방법은 나중에 그의 이름을 따서 명명되었으며 오늘날까지도 여전히 사용됩니다. 하지만 Cramer의 방법에 대해서는 잠시 후에 이야기하겠지만 지금은 선형 방정식과 이를 시스템과 별도로 해결하는 방법에 대해 논의하겠습니다.

선형 방정식

선형 방정식은 변수(변수)가 있는 가장 간단한 방정식입니다. 그들은 대수적으로 분류됩니다. 일반적인 형식은 다음과 같습니다: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...an *x n =b. 나중에 시스템과 행렬을 컴파일할 때 이 형식으로 표현해야 합니다.

선형 대수 방정식 시스템

이 용어의 정의는 다음과 같습니다. 공통의 미지 수량과 공통 솔루션을 갖는 방정식 세트입니다. 일반적으로 학교에서는 모든 사람이 두 개 또는 세 개의 방정식을 사용하여 시스템을 풀었습니다. 그러나 4개 이상의 구성 요소로 구성된 시스템이 있습니다. 앞으로 해결하는데 편리하도록 먼저 어떻게 적어야 할지 알아보겠습니다. 첫째, 모든 변수가 적절한 아래 첨자(1,2,3 등)와 함께 x로 작성되면 선형 대수 방정식 시스템이 더 좋아 보입니다. 둘째, 모든 방정식은 정식 형식(a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b)으로 이루어져야 합니다.

이 모든 단계가 끝나면 선형 방정식 시스템의 해를 찾는 방법에 대해 이야기할 수 있습니다. 이를 위해 행렬이 매우 유용할 것입니다.

행렬

행렬은 행과 열로 구성된 테이블이며, 그 교차점에는 해당 요소가 있습니다. 이는 특정 값 또는 변수일 수 있습니다. 대부분의 경우 요소를 나타내기 위해 요소 아래에 아래 첨자가 배치됩니다(예: 11 또는 23). 첫 번째 인덱스는 행 번호를 의미하고 두 번째 인덱스는 열 번호를 의미합니다. 다른 수학적 요소와 마찬가지로 행렬에 대해 다양한 연산을 수행할 수 있습니다. 따라서 다음을 수행할 수 있습니다.

2) 행렬에 임의의 숫자나 벡터를 곱합니다.

3) 전치: 행렬 행을 열로, 열을 행으로 바꿉니다.

4) 행렬 중 하나의 행 수가 다른 행렬의 열 수와 같으면 행렬을 곱합니다.

이러한 모든 기술은 앞으로 우리에게 유용할 것이므로 더 자세히 논의해 보겠습니다. 행렬을 빼고 더하는 것은 매우 간단합니다. 동일한 크기의 행렬을 사용하므로 한 테이블의 각 요소는 다른 테이블의 각 요소와 상관 관계가 있습니다. 따라서 우리는 이 두 요소를 더하거나 뺍니다(행렬에서 동일한 위치에 있는 것이 중요합니다). 행렬에 숫자나 벡터를 곱할 때 간단히 행렬의 각 요소에 해당 숫자(또는 벡터)를 곱하면 됩니다. 조옮김은 매우 흥미로운 과정입니다. 예를 들어 태블릿이나 휴대폰의 방향을 변경할 때와 같이 실생활에서 가끔 보는 것은 매우 흥미롭습니다. 바탕 화면의 아이콘은 행렬을 나타내며, 위치가 변경되면 전치되어 넓어지지만 높이는 감소합니다.

다음과 같은 또 다른 프로세스를 살펴보겠습니다. 비록 필요하지는 않지만 알아두면 여전히 유용할 것입니다. 한 테이블의 열 수가 다른 테이블의 행 수와 동일한 경우에만 두 행렬을 곱할 수 있습니다. 이제 한 행렬의 행 요소와 다른 행렬의 해당 열 요소를 살펴보겠습니다. 서로 곱한 다음 추가해 보겠습니다. 예를 들어 요소 a 11과 a 12를 b 12와 b 22로 곱하면 a 11 * b 12 + a 12 * b 22와 같습니다. . 따라서 테이블의 한 요소가 얻어지고 유사한 방법을 사용하여 추가로 채워집니다.

이제 우리는 선형 방정식 시스템이 어떻게 해결되는지 고려할 수 있습니다.

가우스 방법

이 주제는 학교에서 다루기 시작합니다. 우리는 "두 선형 방정식 시스템"의 개념을 잘 알고 있으며 이를 해결하는 방법도 알고 있습니다. 하지만 방정식의 개수가 2개 이상이면 어떻게 될까요? 이것은 우리에게 도움이 될 것입니다

물론 이 방법은 시스템에서 행렬을 만드는 경우 사용하기 편리합니다. 하지만 이를 변형하여 순수한 형태로 해결할 필요는 없습니다.

그렇다면 이 방법은 선형 가우스 방정식 시스템을 어떻게 해결합니까? 그건 그렇고, 이 방법은 그의 이름을 따서 명명되었지만 고대에 발견되었습니다. Gauss는 다음을 제안합니다. 궁극적으로 전체 세트를 단계적 형태로 줄이기 위해 방정식으로 작업을 수행합니다. 즉, 첫 번째 방정식에서 마지막 방정식까지 위에서 아래로(올바르게 배열된 경우) 감소하는 것이 필요합니다. 즉, 예를 들어 세 개의 방정식을 얻어야 합니다. 첫 번째에는 세 개의 미지수가 있고, 두 번째에는 두 개가 있고, 세 번째에는 한 개가 있습니다. 그런 다음 마지막 방정식에서 첫 번째 미지수를 찾고 그 값을 두 번째 또는 첫 번째 방정식에 대입한 다음 나머지 두 변수를 찾습니다.

크레이머 방식

이 방법을 익히려면 행렬의 덧셈과 뺄셈 능력이 중요하며, 행렬식도 찾을 수 있어야 합니다. 그러므로 이 모든 것을 제대로 하지 못하거나 방법을 전혀 모른다면 배우고 연습해야 합니다.

이 방법의 본질은 무엇이며 선형 Cramer 방정식 시스템이 얻어지도록 만드는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 우리는 선형 대수 방정식 시스템의 수치적(거의 항상) 계수의 행렬을 구성해야 합니다. 이를 위해 우리는 미지수 앞에 있는 숫자를 시스템에 기록된 순서대로 표에 배열하기만 하면 됩니다. 숫자 앞에 "-" 기호가 있으면 음수 계수를 기록합니다. 따라서 우리는 등호 뒤의 숫자를 포함하지 않고 미지수에 대한 첫 번째 계수 행렬을 컴파일했습니다(당연히 숫자만 오른쪽에 있고 계수가 있는 모든 미지수가 켜져 있는 경우 방정식은 정식 형식으로 축소되어야 합니다). 왼쪽). 그런 다음 각 변수마다 하나씩 여러 개의 행렬을 더 만들어야 합니다. 이를 위해 각 열을 첫 번째 행렬의 계수로 바꾼 다음 등호 뒤의 숫자 열로 바꿉니다. 따라서 우리는 여러 행렬을 얻은 다음 행렬식을 찾습니다.

행렬식을 찾은 후에는 작은 문제입니다. 초기 행렬이 있고 다양한 변수에 해당하는 여러 결과 행렬이 있습니다. 시스템에 대한 해를 얻기 위해 결과 테이블의 행렬식을 초기 테이블의 행렬식으로 나눕니다. 결과 숫자는 변수 중 하나의 값입니다. 마찬가지로, 우리는 모든 알려지지 않은 것을 찾습니다.

다른 방법

선형 방정식 시스템의 해를 구하는 방법에는 여러 가지가 더 있습니다. 예를 들어, 2차 방정식 시스템에 대한 해를 찾는 데 사용되며 행렬 사용과도 관련된 소위 Gauss-Jordan 방법이 있습니다. 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 Jacobi 방법도 있습니다. 컴퓨터에 적응하는 것이 가장 쉬우며 컴퓨팅에 사용됩니다.

복잡한 사례

복잡성은 일반적으로 방정식의 수가 변수의 수보다 적을 때 발생합니다. 그러면 시스템이 일관성이 없거나(즉, 뿌리가 없음) 솔루션 수가 무한대인 경향이 있다고 확실히 말할 수 있습니다. 두 번째 경우가 있다면 선형 방정식 시스템의 일반 해를 적어야 합니다. 여기에는 하나 이상의 변수가 포함됩니다.

결론

여기서 우리는 끝까지 왔습니다. 요약하자면, 우리는 시스템과 행렬이 무엇인지 파악하고 선형 방정식 시스템에 대한 일반적인 솔루션을 찾는 방법을 배웠습니다. 또한 다른 옵션도 고려했습니다. 우리는 선형 방정식 시스템인 가우스 방법을 해결하는 방법을 알아냈고 복잡한 경우와 솔루션을 찾는 다른 방법에 대해 이야기했습니다.

실제로 이 주제는 훨씬 더 광범위하므로 더 잘 이해하고 싶다면 더 전문적인 문헌을 읽는 것이 좋습니다.