투영 축은 점의 위치입니다. 기하학적 몸체의 표면에 속하는 점의 투영 구성

이 기사에서는 평면에 점 투영을 생성하는 방법과 이 투영의 좌표를 결정하는 방법에 대한 질문에 대한 답변을 찾을 수 있습니다. 이론적인 부분에서는 투영의 개념에 의존할 것입니다. 용어를 정의하고 그림과 함께 정보를 제공하겠습니다. 예제를 풀면서 습득한 지식을 통합해 봅시다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

투영, 투영 유형

공간적 그림을 보는 편의를 위해 이러한 그림을 묘사한 그림이 사용됩니다.

정의 1

평면에 인물 투영– 공간적 그림 그리기.

분명히 투영을 구성하는 데 사용되는 여러 규칙이 있습니다.

정의 2

투사– 구성 규칙을 사용하여 평면에 공간 도형의 그림을 구성하는 과정입니다.

투영면- 이미지가 구성되는 평면입니다.

특정 규칙의 사용에 따라 투영 유형이 결정됩니다. 본부또는 평행한.

평행 투영의 특별한 경우는 수직 투영 또는 직교 투영입니다. 기하학에서는 주로 사용됩니다. 이러한 이유로 "수직"이라는 형용사 자체는 종종 연설에서 생략됩니다. 기하학에서는 단순히 "그림의 투영"이라고 말하며 이는 수직 투영 방법을 사용하여 투영을 구성하는 것을 의미합니다. 물론 특별한 경우에는 다른 사항이 합의될 수도 있습니다.

평면에 그림을 투영하는 것은 본질적으로 이 그림의 모든 점을 투영한다는 사실에 주목합시다. 따라서 도면에서 공간도형을 연구하기 위해서는 점을 평면에 투영하는 기본적인 기술을 습득하는 것이 필요하다. 아래에서 이야기 할 내용.

기하학에서 평면 투영에 대해 말할 때 수직 투영을 사용하는 것을 의미하는 경우가 가장 많다는 것을 기억해 봅시다.

점을 평면에 투영하는 것에 대한 정의를 얻을 수 있는 기회를 제공하는 구성을 만들어 보겠습니다.

3차원 공간이 주어지고 그 안에 평면 α와 평면 α에 속하지 않는 점 M1이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 점 M을 지나는 직선을 그리세요 ㅏ주어진 평면 α에 수직. 우리는 직선 a와 평면 α의 교차점을 구성에 따라 H 1로 표시하며, 이는 점 M 1에서 평면 α로 떨어지는 수직선의 기초 역할을 합니다.

주어진 평면 α에 속하는 점 M 2가 주어지면 M 2는 평면 α에 대한 투영 역할을 합니다.

정의 3

- 이것은 점 자체(주어진 평면에 속하는 경우)이거나 수직선의 밑면입니다. 주어진 포인트주어진 비행기로.

평면에 점을 투영하는 좌표 찾기, 예

3차원 공간에 다음이 주어집니다: 직각 좌표계 O x y z, 평면 α, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1). 주어진 평면에 점 M 1을 투영하는 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

해법은 점을 평면에 투영하는 위에 주어진 정의에서 분명히 따릅니다.

점 M 1 을 평면 α에 투영하는 것을 H 1 로 표시하겠습니다. 정의에 따르면, H 1은 주어진 평면 α와 점 M 1을 통해 그려진 직선 a(평면에 수직)의 교차점입니다. 저것들. 우리에게 필요한 점 M1의 투영 좌표는 직선 a와 평면 α의 교차점 좌표입니다.

따라서 평면에 대한 점 투영 좌표를 찾으려면 다음이 필요합니다.

평면 α의 방정식을 구합니다(지정되지 않은 경우). 여기서는 평면 방정식의 유형에 관한 기사가 도움이 될 것입니다.

점 M 1을 통과하고 평면 α에 수직인 선 a의 방정식을 결정합니다(주어진 평면에 수직인 주어진 점을 통과하는 선의 방정식에 대한 주제를 연구합니다).

직선 a와 평면 α의 교차점 좌표를 찾습니다(기사-평면과 선의 교차점 좌표 찾기). 얻은 데이터는 점 M 1을 평면 α에 투영하는 데 필요한 좌표가 됩니다.

실제 사례를 통해 이론을 살펴보겠습니다.

실시예 1

점 M 1 (-2, 4, 4)을 평면 2 x – 3 y + z - 2 = 0에 투영하는 좌표를 결정합니다.

해결책

보시다시피, 평면의 방정식이 우리에게 주어집니다. 컴파일할 필요가 없습니다.

점 M 1을 통과하고 주어진 평면에 수직인 직선 a의 표준 방정식을 적어 보겠습니다. 이러한 목적을 위해 직선 a의 방향 벡터 좌표를 결정합니다. 선 a는 주어진 평면에 수직이므로 선 a의 방향 벡터는 평면 2 x - 3 y + z - 2 = 0의 법선 벡터입니다. 따라서, a → = (2, - 3, 1) – 직선 a의 방향 벡터.

이제 점 M 1 (-2, 4, 4)을 통과하고 방향 벡터를 갖는 공간의 선의 표준 방정식을 작성해 보겠습니다. a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

필요한 좌표를 찾으려면 다음 단계는 직선 x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1과 평면의 교차점 좌표를 결정하는 것입니다. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . 이러한 목적을 위해 우리는 표준 방정식두 개의 교차 평면의 방정식:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

방정식 시스템을 만들어 보겠습니다.

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

그리고 Cramer의 방법을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.

Δ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 Δ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = Δ x Δ = 0 - 28 = 0 Δ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = Δ y Δ = - 28 - 28 = 1 Δ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = Δ z Δ = - 140 - 28 = 5

따라서 주어진 평면 α에서 주어진 점 M 1의 필요한 좌표는 (0, 1, 5)입니다.

답변: (0 , 1 , 5) .

실시예 2

3차원 공간의 직각 좌표계 O x y z에서 점 A(0, 0, 2)가 주어집니다. B(2, - 1, 0); C(4, 1, 1) 및 M 1(-1, -2, 5). 평면 A B C에 대한 투영 M 1의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

해결책

우선, 주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성합니다.

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

평면 A B C에 수직인 점 M 1을 통과하는 선 a의 매개변수 방정식을 적어 보겠습니다. 평면 x – 2 y + 2 z – 4 = 0에는 좌표가 (1, -)인 법선 벡터가 있습니다. 2, 2), 즉 벡터 a → = (1, - 2, 2) – 직선 a의 방향 벡터.

이제 선 M 1의 점 좌표와 이 선의 방향 벡터 좌표를 사용하여 공간에서 선의 매개변수 방정식을 작성합니다.

그런 다음 평면 x – 2 y + 2 z – 4 = 0과 직선의 교차점 좌표를 결정합니다.

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

이를 위해 평면 방정식을 다음과 같이 대체합니다.

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

이제 파라메트릭 방정식에 따르면 x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ 가치를 찾아보자λ = - 1에 대한 변수 x, y 및 z: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 삼

따라서 점 M 1을 평면 A B C에 투영하면 좌표가 (-2, 0, 3)됩니다.

답변: (- 2 , 0 , 3) .

좌표 평면과 좌표 평면에 평행한 평면에 점을 투영하는 좌표를 찾는 문제에 대해 별도로 살펴보겠습니다.

점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 좌표 평면 O x y, O x z 및 O y z가 주어집니다. 이 평면에 대한 이 점의 투영 좌표는 각각 (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) 및 (0, y 1, z 1)입니다. 주어진 좌표 평면에 평행한 평면도 고려해 보겠습니다.

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

그리고 주어진 점 M 1을 이 평면에 투영하면 좌표가 x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 및 - DA, y 1, z 1인 점이 됩니다.

이 결과가 어떻게 얻어졌는지 보여드리겠습니다.

예를 들어, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 평면 A x + D = 0에 투영하는 것을 정의해 보겠습니다. 나머지 경우도 비슷하다.

주어진 평면은 좌표 평면 O y z와 평행하고 i → = (1, 0, 0)은 법선 벡터입니다. 동일한 벡터가 Oyz 평면에 수직인 선의 방향 벡터 역할을 합니다. 그런 다음 점 M 1을 통해 그려지고 주어진 평면에 수직인 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

이 선과 주어진 평면의 교차점의 좌표를 찾아봅시다. 먼저 등식을 A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 방정식에 대입하고 다음을 얻습니다. A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = -DA-x1

그런 다음 λ = - D A - x 1인 직선의 매개변수 방정식을 사용하여 필요한 좌표를 계산합니다.

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

즉, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 평면에 투영하면 좌표가 D A, y 1, z 1인 점이 됩니다.

실시예 2

점 M 1 (-6, 0, 1 2)을 좌표 평면 O x y와 평면 2 y - 3 = 0에 투영하는 좌표를 결정해야 합니다.

해결책

좌표평면 O x y는 불완전하게 일치합니다. 일반 방정식평면 z = 0. 평면 z = 0에 점 M 1을 투영하면 좌표가 (-6, 0, 0)됩니다.

평면 방정식 2 y - 3 = 0은 y = 3 2 2로 쓸 수 있습니다. 이제 점 M 1 (-6, 0, 1 2)을 y = 3 2 2 평면에 투영한 좌표를 적어보세요.

6 , 3 2 2 , 1 2

답변:(- 6 , 0 , 0) 및 - 6 , 3 2 2 , 1 2

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공간에서 점의 위치는 두 개의 직교 투영(예: 수평 및 정면, 정면 및 프로필)으로 지정될 수 있습니다. 두 가지의 조합 직교 투영점의 모든 좌표 값을 확인하고, 세 번째 투영을 구성하고, 해당 점의 팔분원을 결정할 수 있습니다. 몇 가지를 살펴보자 일반적인 작업기술 기하학 과정에서.

점 A와 B의 복잡한 그림을 그리려면 다음이 필요합니다.

먼저 A (x, y, z) 형식으로 쓸 수 있는 점 A의 좌표를 결정해 보겠습니다. x, y 좌표를 갖는 점 A - 점 A"의 수평 투영. 점 A"에서 x, y 축에 수직을 그리고 각각 A x, A y를 찾아보겠습니다. 점 A의 x 좌표는 A x가 영역에 있기 때문에 더하기 기호가 있는 세그먼트 A x O의 길이와 같습니다. 양수 값 x축 도면의 규모를 고려하면 x = 10입니다. t가 음수 값 영역에 있기 때문에 y 좌표는 마이너스 기호가 있는 A y O 세그먼트의 길이와 같습니다. y 축. 도면의 축척을 고려하면 y = –30입니다. 점 A - 점 A""의 정면 투영에는 x와 z 좌표가 있습니다. A""에서 z축까지의 수직선을 내려놓고 Az를 찾아보겠습니다. A z가 z 축의 음수 값 영역에 있기 때문에 점 A의 z 좌표는 빼기 기호가 있는 A z O 세그먼트의 길이와 같습니다. 도면 배율 z = –10을 고려합니다. 따라서 점 A의 좌표는 (10, -30, -10)입니다.

점 B의 좌표는 B(x, y, z)로 쓸 수 있습니다. 점 B - 점 B"의 수평 투영을 고려하십시오. x 축에 있으므로 B x = B"이고 좌표 B y = 0입니다. 점 B의 가로 좌표 x는 세그먼트 B x의 길이와 같습니다. O에는 더하기 기호가 있습니다. 도면 배율 x = 30을 고려하면 점 B의 정면 투영은 B˝ 좌표 x, z를 갖습니다. B""에서 z축까지 수직선을 그려서 Bz를 구해 보겠습니다. B z가 z 축의 음수 값 영역에 있기 때문에 점 B의 적용 z는 빼기 기호가 있는 세그먼트 B z O의 길이와 같습니다. 도면의 규모를 고려하여 z = –20 값을 결정합니다. 따라서 B의 좌표는 (30, 0, -20)입니다. 필요한 모든 구성은 아래 그림에 나와 있습니다.

점 투영 구성

평면 P 3의 점 A와 B는 다음과 같은 좌표를 갖습니다: A""" (y, z); B""" (y, z). 이 경우 A"" 및 A"""는 공통 z 좌표를 가지므로 z 축에 대해 동일한 수직 위치에 있습니다. 마찬가지로 B"" 및 B"""는 z 축에 대해 공통 수직 위치에 있습니다. 점 A의 프로필 투영을 찾기 위해 앞서 찾은 해당 좌표의 값을 y축을 따라 그립니다. 그림에서 이는 반경 A y O의 원호를 사용하여 수행됩니다. 그런 다음 점 A""에서 z축으로 복원된 수직과 교차할 때까지 A y에서 수직을 그립니다. 이 두 수직선의 교차점이 A"""의 위치를 ​​결정합니다.

점 B"""는 이 점의 y 세로 좌표가 0이므로 z축에 있습니다. 찾으려면 프로필 투영 t.B 이 문제에서는 B""에서 z축으로 수직선만 그리면 됩니다. 이 수직선과 z축의 교차점은 B"""입니다.

공간에서 점의 위치 결정

투영 평면 P 1, P 2 및 P 3으로 구성된 공간 레이아웃, 팔분원의 위치, 레이아웃을 다이어그램으로 변환하는 순서를 시각적으로 상상하면 지점 A가 III 팔분원에 위치하는지 직접 확인할 수 있습니다 , 그리고 점 B는 평면 P 2에 있습니다.

이 문제를 해결하기 위한 또 다른 옵션은 예외 방법입니다. 예를 들어 점 A의 좌표는 (10, -30, -10)입니다. 양의 가로좌표 x를 사용하면 해당 점이 처음 4개의 옥탄트에 있는지 판단할 수 있습니다. 음의 y 좌표는 해당 점이 두 번째 또는 세 번째 팔분원에 있음을 나타냅니다. 마지막으로, 음수 적용 z는 점 A가 세 번째 팔분원에 위치함을 나타냅니다. 다음 표는 위의 추론을 명확하게 보여줍니다.

점 B의 좌표(30, 0, -20). 점 B의 세로 좌표가 0이므로 이 점은 투영 평면 P2에 위치합니다. t의 양의 가로좌표와 음의 적용점은 B가 세 번째와 네 번째 팔분원의 경계에 위치함을 나타냅니다.

평면 P 1, P 2, P 3 시스템의 점 시각적 이미지 구성

정면 등각 투영을 사용하여 III 팔분원의 공간 레이아웃을 구축했습니다. 이것은 면이 P 1, P 2, P 3 평면이고 각도(-y0x)가 45°인 직사각형 삼면체입니다. 이 시스템에서는 x, y, z 축을 따른 세그먼트가 왜곡 없이 자연스러운 크기로 표시됩니다.

수평 투영 A를 사용하여 점 A (10, -30, -10)의 시각적 이미지 구성을 시작하겠습니다. 가로 좌표와 세로 축을 따라 해당 좌표를 플로팅한 후 점 A x와 A y를 찾습니다. A x 및 A y에서 각각 x 및 y 축으로 재구성되어 점 A"의 위치가 결정됩니다. A"에서 z축에 평행하게 음수 값인 세그먼트 AA"(길이가 10)를 향하여 지점 A의 위치를 ​​찾습니다.

점 B(30, 0, -20)의 시각적 이미지는 비슷한 방식으로 구성됩니다. 즉, x 및 z 축을 따라 P2 평면에서 해당 좌표를 플롯해야 합니다. B x와 B z로부터 재구성된 수직선의 교차점은 점 B의 위치를 ​​결정합니다.

어떤 경우에는 문제 해결의 편의를 위해 기존 투영 평면에 수직인 추가 투영 평면을 사용할 필요가 있습니다.

점의 수평 및 정면 투영이 제공되면 프로파일 투영은 다음 알고리즘을 사용하여 결정됩니다.

축에 수직으로 투영 연결선을 그립니다. 온스.

이 투영 연결선에 세그먼트를 배치합니다. ㅏ 1 ㅏ 엑스 =A 지 ㅏ 3 .

이 규칙을 사용하면 추가 투영 평면에 점 투영을 구성할 수 있습니다(평면 대체 방법).

포인트를 주자 에이(A 2 ,ㅏ 1 ) 새로운 추가 투영 평면 피 4 피 1 . 짓다 ㅏ 4 – 점 투영 ㅏ~에 피 4 .

해결책

a) 평면의 교차선을 만듭니다. 피 1 그리고 피 4 = 엑스 1,4 ;

b) 점을 통해 ㅏ투영 통신선을 그리다 엑스 1,4 .

c) 투영 구성 ㅏ 4 , 세그먼트 평등을 사용합니다. ㅏ 2 ㅏ 엑스 =A 4 ㅏ 엑스 .

두 점 투영 ㅏ 1 그리고 ㅏ 4 축에 수직인 투영 연결의 동일한 선에 놓임 엑스 1,4 .

점의 "새" 투영으로부터의 거리 ㅏ 4 "새" 축으로 엑스 1,4 점의 "오래된" 투영으로부터의 거리와 같습니다. ㅏ 2 "이전" 축으로 엑스 1,2 .

경쟁 포인트

경쟁 포인트 동일한 투영 광선 위에 있는 한 쌍의 점의 이름을 지정하십시오..

두 경쟁 지점 중 가시 지점은 투영 평면에서 더 멀리 있는 지점입니다.

포인트들 ㅏ그리고 안에수평경쟁이라고 합니다.

포인트들 와 함께그리고 디정면경쟁이라고 합니다.

추가 평면을 입력하여 점이 ㅏ그리고 안에경쟁력이 생겼습니다.

솔루션 계획:

1 축 구축 엑스 1,4 ㅏ 1 , 비 1 ;

2 프로젝션 통신선 구축 엑스 1,4 ;

3 투영 통신 라인에서 세그먼트를 배치합니다. ㅏ 엑스 ㅏ 2 = ㅏ / 엑스 ㅏ 4 , 비 엑스 비 2 = 비 / 엑스 비 4 .

자습용 자료 나침반 그래픽 시스템에서 2D 그래픽 개체 모델링 나침반 시스템 시작 및 종료

KOMPAS-3D-V8 시스템은 다른 프로그램과 유사하게 시작됩니다. 시스템을 시작하려면 메뉴 \를 선택해야 합니다. 시작\ 모든 P프로그램들\ 아스콘\KOMPAS-3디- V8 그리고 달리다 나침반. 바탕 화면 영역에서 마우스 포인터로 프로그램 바로 가기를 선택한 후 마우스 왼쪽 버튼을 더블 클릭하면 됩니다. 문서를 열려면 버튼을 클릭해야 합니다. 열려 있는 패널에 기준 . 새 문서를 시작하려면 버튼을 클릭하세요. 만들다패널에 기준또는 명령을 실행하십시오 파일 > 만들다열리는 대화 상자에서 생성할 문서 유형을 선택하고 좋아요.

작업을 완료하려면 메뉴를 선택하세요. 파일\출구, Alt-F4 키 조합을 누르거나 닫기 버튼을 클릭하세요.

나침반 그래픽 시스템의 주요 문서 유형

KOMPAS 시스템에서 생성된 문서의 유형은 이 문서에 저장된 정보의 유형에 따라 다릅니다. 각 문서 유형에는 파일 이름 확장자와 자체 아이콘이 있습니다.

1 도면- KOMPAS의 주요 그래픽 문서 유형입니다. 도면에는 하나 이상의 유형의 제품 그래픽 이미지, 주요 문구 및 프레임이 포함됩니다. KOMPAS 도면에는 항상 사용자가 지정한 형식의 시트가 하나 포함되어 있습니다. 도면 파일의 확장자는 다음과 같습니다. .cdw.

2 조각- KOMPAS의 보조 그래픽 문서 유형입니다. 조각은 디자인 문서의 프레임, 주요 비문 및 기타 디자인 개체가 없다는 점에서 그림과 다릅니다. 조각 저장소는 나중에 다른 문서에서 사용할 수 있도록 표준 솔루션을 만들었습니다. 조각 파일의 확장자는 다음과 같습니다. .frw.

3 텍스트 문서(파일 확장자 . kdw);

4 사양(파일 확장자 . spw);

5 집회(파일 확장자 . ㅏ3 디);

6 세부 사항- 3D 모델링(파일 확장자 . 중3 디);

공간의 한 점은 투영 중 두 개에 의해 결정됩니다. 주어진 두 개의 투영을 기반으로 세 번째 투영을 구성해야 하는 경우 한 점에서 투영 평면까지의 거리를 결정할 때 얻은 투영 통신선 세그먼트의 대응 관계를 사용해야 합니다(그림 2.27 및 그림 2.28 참조). .

첫 번째 옥탄트 문제 해결의 예

주어진 A 1; A 2	빌드 A 3
주어진 A 2; A 3	빌드 A 1
주어진 A 1; A 3	빌드 A 2

점 A를 구성하는 알고리즘을 고려해 보겠습니다(표 2.5).

표 2.5

점 A를 구성하는 알고리즘
주어진 좌표 A에서 ( 엑스 = 5, 와이 = 20, 지 = -9)

다음 장에서는 1분기에만 직선과 평면과 같은 이미지를 고려할 것입니다. 고려된 모든 방법은 어느 분기에나 적용될 수 있습니다.

결론

따라서 G. Monge의 이론을 바탕으로 이미지(점)의 공간적 이미지를 평면적 이미지로 변환하는 것이 가능하다.

이 이론은 다음 조항을 기반으로 합니다.

1. 전체 공간은 두 개의 서로 수직인 평면 p1과 p2를 사용하여 4등분으로 분할되거나, 세 번째 상호 수직인 평면 p3을 추가하여 8개의 팔분원으로 나뉩니다.

2. 이러한 평면의 공간 이미지 이미지는 직사각형(직교) 투영을 사용하여 얻습니다.

3. 공간 이미지를 평면 이미지로 변환하기 위해 평면 p 2는 고정되어 있고 평면 p 1은 축을 중심으로 회전한다고 가정합니다. 엑스그래서 양의 절반 평면 p 1은 음의 절반 평면 p 2와 결합되고 음의 부분 p 1은 양의 부분 p 2와 결합됩니다.

4. 평면 p 3이 축을 중심으로 회전합니다. 지(평면의 교차선) 평면 p 2와 정렬될 때까지(그림 2.31 참조).

이미지의 직사각형 투영을 통해 p 1, p 2 및 p 3 평면에서 얻은 이미지를 투영이라고 합니다.

평면 p 1, p 2 및 p 3은 그 위에 묘사된 투영과 함께 평면을 형성합니다. 복잡한 그림또는 다이어그램.

이미지의 투영을 축에 연결하는 선 엑스, 와이, 지, 프로젝션 통신 라인이라고합니다.

공간의 이미지를 보다 정확하게 결정하기 위해 서로 수직인 세 개의 평면 p 1, p 2, p 3 시스템을 사용할 수 있습니다.

문제의 조건에 따라 이미지에 대해 p 1, p 2 또는 p 1, p 2, p 3 시스템을 선택할 수 있습니다.

평면 p 1, p 2, p 3 시스템을 시스템에 연결할 수 있습니다. 데카르트 좌표를 사용하면 그래픽이나 (언어적으로) 개체를 정의할 수 있을 뿐만 아니라 (숫자를 사용하여) 분석적으로 개체를 정의할 수도 있습니다.

이미지, 특정 지점을 묘사하는 이 방법을 사용하면 다음과 같은 위치 문제를 해결할 수 있습니다.

• 투영 평면을 기준으로 한 점의 위치( 일반적인 입장, 평면, 축에 속함);
• 분기 내 지점의 위치(포인트가 위치한 분기)
• 서로에 대한 점의 위치(투영 평면과 관찰자에 대해 더 높음, 더 낮음, 더 가까움, 더 멀음)
• 투영 평면을 기준으로 한 점 투영의 위치(등거리, 더 가까움, 더 멀음).

측정항목 작업:

• 투영 평면으로부터 투영의 등거리;
• 투사면으로부터의 투사 거리 비율(2~3배, 많음, 적음)
• 투영 평면에서 점까지의 거리를 결정합니다(좌표계를 도입할 때).

자기 성찰 질문

1. 평면을 축으로 하는 교선 지?

2. 평면을 축으로 하는 교선 와이?

3. 점의 정면 투영과 프로필 투영 사이의 투영 연결선은 어떻게 위치합니까? 보여주다.

4. 수평, 정면, 프로필 등 점 투영 위치를 결정하는 좌표는 무엇입니까?

5. 점 F(10; –40; –20)는 어느 분기에 위치합니까? 어느 투영면에서 점 F가 가장 멀리 떨어져 있습니까?

6. 어떤 축으로의 투영 거리가 평면 p 1에서 점까지의 거리를 결정합니까? 이 거리는 점의 어떤 좌표입니까?

좌표 각도 투영의 세 평면에 점을 투영하는 것은 수평 투영 평면인 H 평면에서 이미지를 얻는 것으로 시작됩니다. 이를 위해 투영 빔은 평면 H에 수직인 점 A(그림 4.12, a)를 통과합니다.

그림에서 H 평면에 수직인 부분은 Oz 축과 평행합니다. H 평면(점 a)과 빔의 교차점은 임의로 선택됩니다. 세그먼트 Aa는 점 A가 평면 H로부터 어느 정도의 거리에 있는지 결정하여 투영 평면을 기준으로 그림에서 점 A의 위치를 ​​명확하게 나타냅니다. 점 a는 평면 H에 대한 점 A의 직사각형 투영이며 점 A의 수평 투영이라고합니다 (그림 4.12, a).

평면 V(그림 4.12,b)에서 점 A의 이미지를 얻기 위해 투영 빔은 투영 V의 정면 평면에 수직인 점 A를 통과합니다. 그림에서 평면 V에 수직인 점은 Oy 축과 평행합니다. . 평면 H에서 점 A에서 평면 V까지의 거리는 Oy 축에 평행하고 Ox 축에 수직인 선분 aa x로 표시됩니다. 투영된 광선과 그 이미지가 평면 V 방향으로 동시에 수행된다고 상상하면 광선의 이미지가 점 a x에서 Ox 축과 교차할 때 광선은 점 a에서 V 평면과 교차할 것입니다." 평면 V 위의 투영 광선 Aa의 이미지인 Ox 축 에 수직인 V 평면 a의 점 a x에서 투영 광선과의 교차점에서 점 a를 얻습니다." 점 a"는 점 A의 정면 투영, 즉 평면 V의 이미지입니다.

프로파일 투영 평면(그림 4.12, c)의 점 A 이미지는 투영 빔을 사용하여 구성됩니다. 평면에 수직 W. 그림에서 W 평면에 수직인 부분은 Ox 축과 평행합니다. 평면 H의 점 A에서 평면 W로 투영되는 광선은 Ox 축에 평행하고 Oy 축에 수직인 세그먼트 aa y로 표시됩니다. Oz 축에 평행하고 Oy 축에 수직인 점 Oy에서 투영 광선 aA의 이미지가 구성되고 투영 광선과의 교차점에서 점 a가 얻어집니다. "점 a"는 점 A의 프로필 투영입니다. 즉, 평면 W 위의 점 A의 이미지입니다.

점 a"는 Ox 축에 평행한 점 a"(평면 V의 투영 광선 Aa"의 이미지)에서 선분 a"a z를 그리고 점 a z에서 Oy에 평행한 선분 a"a z를 그려 구성할 수 있습니다. 투영 광선과 교차할 때까지 축을 회전시킵니다.

투영 평면에 점 A의 3개의 투영을 수신하면 그림 1과 같이 좌표 각도가 하나의 평면으로 확장됩니다. 4.11, b에서는 점 A의 투영과 투영 광선, 점 A와 투영 광선 Aa, Aa" 및 Aa"가 제거됩니다. 결합된 투영면의 모서리는 그려지지 않고 투영축 Oz, Oy 및 Ox, Oy 1만 그려집니다(그림 4.13).

점의 직교 도면을 분석하면 공간에서 점 A의 위치를 ​​특징으로 하는 세 가지 거리인 Aa", Aa 및 Aa"(그림 4.12, c)가 투영 객체 자체인 점 A를 폐기하여 결정될 수 있음을 알 수 있습니다. 좌표각이 하나의 평면으로 바뀌었습니다(그림 4.13). 세그먼트 a"a z, aa y 및 Oa x는 해당 직사각형의 반대편인 Aa"와 같습니다(그림 4.12c 및 4.13). 이는 프로파일 투영 평면에서 점 A가 위치하는 거리를 결정합니다. 세그먼트 a"a x, a"a y1 및 Oa y는 세그먼트 Aa와 동일하며 점 A에서 수평 투영 평면까지의 거리를 정의하고 세그먼트 aa x, a"a z 및 Oa y 1은 세그먼트 Aa와 같습니다. ", 지점 A에서 투영의 정면 평면까지의 거리를 정의합니다.

투영 축에 위치한 세그먼트 Oa x, Oa y 및 Oa z는 점 A의 X, Y 및 Z 좌표 치수를 그래픽으로 표현한 것입니다. 점의 좌표는 해당 문자의 색인으로 표시됩니다. . 이러한 세그먼트의 크기를 측정하면 공간에서 점의 위치를 ​​결정할 수 있습니다. 즉, 점의 좌표를 설정할 수 있습니다.

다이어그램에서 세그먼트 a"a x 및 aa x는 Ox 축에 수직인 하나의 선으로 위치하며 세그먼트 a"a z 및 a"a z - Oz 축에 위치합니다. 이 선을 투영 연결선이라고 합니다. 점 ax와 a z의 투영 축. 점 A의 수평 투영과 점 a y에서 "절단"된 프로파일을 연결하는 투영 연결선.

동일한 점의 두 투영은 항상 투영 축에 수직인 동일한 투영 연결선에 위치합니다.

공간에서 한 점의 위치를 ​​나타내려면 두 개의 투영과 주어진 원점(점 O)이면 충분합니다. 4.14, b 점의 두 투영은 공간에서의 위치를 ​​완전히 결정합니다. 이 두 투영을 사용하여 점 A의 프로필 투영을 구성하는 것이 가능합니다. 따라서 앞으로 프로필 투영이 필요하지 않은 경우 다이어그램은 V와 H라는 두 개의 투영 평면에 구성됩니다.

쌀. 4.14. 쌀. 4.15.

점의 그림을 구성하고 읽는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 1.두 개의 투영법으로 다이어그램에 지정된 점 J의 좌표를 결정합니다 (그림 4.14). 세그먼트 OB X(X 좌표), 세그먼트 b X b(Y 좌표) 및 세그먼트 b X b"(Z 좌표)의 세 세그먼트가 측정됩니다. 좌표는 문자 뒤에 X, Y 및 Z 순서로 기록됩니다. 포인트 지정(예: B20)

실시예 2. 주어진 좌표에 점을 구성합니다. 점 C는 좌표 C30으로 지정됩니다. 10; 40. Ox 축(그림 4.15)에서 투영 연결선이 투영 축과 교차하는 점 c x를 찾습니다. 이를 위해 X 좌표(크기 30)는 원점(점 O)에서 Ox 축을 따라 플롯되고 x가 있는 점을 얻습니다. 이 점을 통해 Ox 축에 수직인 투영 연결선이 그려지고 Y 좌표(크기 10)가 점에서 배치되고 점 c가 얻어집니다. 즉 점 C의 수평 투영입니다. Z 좌표(크기 40)는 다음과 같습니다. 투영 연결선을 따라 점 c x에서 배치하면 점을 얻습니다. c" - 점 C의 정면 투영.

실시예 3. 주어진 투영을 사용하여 점의 프로필 투영을 구성합니다. 점 D의 투영은 d와 d"로 제공됩니다. 점 O를 통해 투영 축 Oz, Oy 및 Оу 1이 그려집니다(그림 4.16, a). 점 D의 프로필 투영을 구성하려면 점 d", 투영 연결선은 Oz 축에 수직으로 그려지고 Oz 축 뒤 오른쪽으로 계속됩니다. 점 D의 윤곽 투영은 이 선에 위치하게 됩니다. 이는 점 d의 수평 투영이 위치한 것과 동일한 Oz 축으로부터의 거리, 즉 Ox 축으로부터의 거리, 즉 거리 dd x에 위치하게 됩니다. 세그먼트 d z d"와 dd x는 동일한 거리, 즉 점 D에서 투영 정면면까지의 거리를 정의하므로 동일합니다. 이 거리는 점 D의 Y 좌표입니다.

그래픽적으로 세그먼트 d z d"는 투영의 수평 평면에서 세그먼트 dd x를 프로파일 1로 전송하여 구성됩니다. 이렇게 하려면 Ox 축과 평행한 투영 연결 선을 그리고 Oy 축에서 점 d y를 얻습니다. 그림 4.16, b) 그런 다음 세그먼트 Ody y와 동일한 반경을 가진 점 O에서 Oy 1 축과의 교차점까지 호를 그려 세그먼트 Ody y의 크기를 Oy 축 1로 전송합니다. , b), 우리는 점 dy 1을 얻습니다. 이 점은 그림 4.16, c에 표시된 것처럼 점 d y에서 Oy 축으로 45° 각도로 직선을 그려서 구성할 수도 있습니다. y1, 투영 연결선이 Oz 축에 평행하게 그려지고 세그먼트 d"d x와 동일한 세그먼트가 그 위에 놓이고 점 d"가 얻어집니다.

세그먼트 d x d의 값을 투영의 프로파일 평면으로 전송하는 것은 도면의 일정한 직선을 사용하여 수행할 수 있습니다(그림 4.16, d). 이 경우, 투영 연결선 dd y는 Oy 1 축에 평행한 점의 수평 투영을 통해 일정한 직선과 교차할 때까지 그려지고, 그런 다음 투영의 연속과 교차할 때까지 Oy 축에 평행합니다. 연결선 d"d z.

투영면을 기준으로 한 점 위치의 특수한 경우

투영 평면을 기준으로 한 점의 위치는 해당 좌표, 즉 Ox 축에서 해당 투영까지의 투영 연결선 세그먼트의 크기에 의해 결정됩니다. 그림에서. 4.17 점 A의 Y 좌표는 선분 aa에 의해 결정됩니다. x - 점 A에서 평면 V까지의 거리입니다. 점 A의 Z 좌표는 선분 a "a x - 점 A에서 평면 H까지의 거리입니다. 좌표의 가 0이면 점이 투영 평면에 위치합니다. 그림 4.17은 투영 평면을 기준으로 점의 다양한 위치에 대한 예를 보여줍니다. 점 B의 Z 좌표는 0이고 점은 H 평면에 있습니다. 정면 투영은 Ox 축에 있고 점 b x와 일치합니다. 점 C의 Y 좌표는 0과 같고 점은 평면 V에 위치하며 수평 투영 c는 Ox 축에 있고 점 c와 일치합니다. 엑스.

따라서 점이 투영 평면에 있으면 이 점의 투영 중 하나가 투영 축에 놓이게 됩니다.

그림에서. 4.17에서 점 D의 Z 및 Y 좌표는 0과 같습니다. 따라서 점 D는 Ox 투영 축에 위치하고 두 투영이 일치합니다.