지수함수와 로그함수 추상의 미분. 지수 및 로그 함수의 차별화 - Knowledge Hypermarket. 대수 도함수의 성질

구분할 때 표시됩니다. 전력 함수또는 번거로운 분수식을 사용하는 경우 로그 미분을 사용하는 것이 편리합니다. 이 기사에서는 자세한 솔루션을 적용한 사례를 살펴보겠습니다.

추가 프레젠테이션에서는 도함수 표, 미분 규칙 및 복잡한 함수의 도함수 공식에 대한 지식을 사용할 수 있는 능력이 있다고 가정합니다.

대수 도함수에 대한 공식 유도.

먼저 밑수 e에 대한 로그를 취하고 로그의 속성을 사용하여 함수의 형태를 단순화한 다음 암시적으로 지정된 함수의 도함수를 찾습니다.

예를 들어, 지수 거듭제곱 함수 x의 거듭제곱 x의 미분을 찾아보겠습니다.

로그를 취하면 . 로그의 속성에 따라. 평등의 양쪽을 차별화하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

답변: .

로그 미분을 사용하지 않고도 동일한 예를 풀 수 있습니다. 몇 가지 변환을 수행하고 지수 거듭제곱 함수를 미분하는 것에서 복잡한 함수의 도함수를 찾는 것으로 이동할 수 있습니다.

예.

함수의 도함수 찾기 .

해결책.

이 예에서는 함수 는 분수이고 그 파생어는 미분 규칙을 사용하여 찾을 수 있습니다. 하지만 표현이 번거로워서 많은 변형이 필요할 것입니다. 이러한 경우 로그 미분 공식을 사용하는 것이 더 합리적입니다. . 왜? 이제 이해하게 될 것입니다.

먼저 찾아보자. 변환에서는 로그의 속성을 사용합니다(분수의 로그는 로그의 차이와 같고 곱의 로그는 같습니다). 합계와 동일로그 및 로그 기호 아래 표현의 정도는 로그 앞의 계수로 꺼낼 수 있습니다.

이러한 변환을 통해 우리는 상당히 간단한 표현을 얻을 수 있었고 그 파생어는 쉽게 찾을 수 있습니다.

얻은 결과를 로그 파생 공식에 대입하고 답을 얻습니다.

자료를 통합하기 위해 자세한 설명 없이 몇 가지 예를 더 제시하겠습니다.

예.

지수 거듭제곱 함수의 도함수 찾기

대수학과 수학적 분석의 원리

지수 함수와 로그 함수 미분

편집자:

제203호 시립교육기관 중등학교 수학교사 KhEC

노보시비르스크

Vidutova T.V.

숫자 이자형.기능 y = 전자 엑스, 그 특성, 그래프, 차별화

지수함수를 고려해보세요 와이=아 엑스, 여기서 a는 1입니다.

다양한 기반을 구축하겠습니다 에이 제도법:

1. y=2 엑스

3. y=10 엑스

2. y=3 엑스

(옵션 2)

(옵션 1개)

1) 모든 그래프는 점 (0; 1)을 통과합니다.

2) 모든 그래프에는 수평 점근선이 있습니다. 와이 = 0

~에 엑스  ∞;

3) 모두 볼록하게 아래를 향하고 있습니다.

4) 모든 점에는 접선이 있습니다.

함수 그래프에 접선을 그리자 y=2 엑스 그 시점에 엑스= 0이고 축과 접선이 이루는 각도를 측정합니다. 엑스

그래프에 대한 접선의 정확한 구성을 사용하면 기본이 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다. 에이지수함수 와이=아 엑스밑은 2에서 10까지 점진적으로 증가한 다음 해당 지점에서 함수 그래프에 대한 접선 사이의 각도 엑스= 0이고 x축은 35'에서 66.5'까지 점차 증가합니다.

그러므로 이유가 있다 에이, 해당 각도는 45'입니다. 그리고 이것이 의미입니다 에이 2번과 3번 사이에 결론이 나기 때문에 ~에 에이= 2 각도는 35'입니다. 에이= 3은 48'과 같습니다.

수학적 분석 과정에서 이 기초가 존재한다는 것이 입증되었습니다. 이는 일반적으로 문자로 표시됩니다. 이자형.

다음과 같은 사실이 확인되었습니다. 이자형 – 무리수, 즉 무한한 비주기 소수점 이하 자릿수를 나타냅니다.

e = 2.7182818284590… ;

실제로는 일반적으로 다음과 같이 가정됩니다. 이자형 ≈ 2,7.

함수 그래프 및 속성 y = 전자 엑스 :

1) 디(에프) = (- ∞; + ∞);

3) 증가;

4) 위에서 제한되지 않고 아래에서 제한됨

5) 가장 큰 것도 가장 작은 것도 없다

가치;

6) 연속;

7) E(에프) = (0; + ∞);

8) 볼록한 아래쪽;

9) 미분 가능.

기능 y = 전자 엑스 ~라고 불리는 멱지수 .

수학적 분석 과정에서 함수가 다음과 같이 입증되었습니다. y = 전자 엑스 어느 지점에서나 파생 상품이 있습니다. 엑스 :

(이자형 엑스 ) = 전자 엑스

(이자형 5배 )" = 5e 5배

(이자형 x-3 )" = 전자 x-3

(이자형 -4x+1 )" = -4е -4x-1

실시예 1 . x=1 지점에서 함수 그래프에 접선을 그립니다.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = 전

답변:

실시예 2 .

엑스 = 3.

실시예 3 .

극값 함수 조사

x=0 및 x=-2

엑스= -2 – 최대점

엑스= 0 - 최소점

로그의 밑이 숫자인 경우 이자형, 그런 다음 그들은 그것이 주어 졌다고 말합니다 자연로그 . 자연로그에 대한 특별한 표기법이 도입되었습니다. 에 (l – 로그, n – 자연).

함수 y = ln x의 그래프와 속성

함수 y =의 속성 lnx:

1) 디(에프) = (0; + ∞);

2) 짝수도 홀수도 아닙니다.

3) (0; + )만큼 증가합니다.

4) 제한되지 않음;

5) 가장 큰 값도 가장 작은 값도 없습니다.

6) 연속;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) 볼록한 상단;

9) 미분 가능.

수학적 분석 과정에서 모든 값에 대해 다음이 입증되었습니다. x0미분 공식이 유효하다

예시 4:

한 점에서 함수의 도함수를 계산합니다. 엑스 = -1.

예를 들어:

인터넷 자원:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

허락하다
(1)
는 변수 x의 미분 가능한 함수입니다. 먼저 y가 취하는 x 값 세트를 살펴보겠습니다.양수 값

: .
,
다음에서는 얻은 모든 결과가 의 음수 값에도 적용 가능함을 보여줍니다.
.
어떤 경우에는 함수 (1)의 도함수를 구하기 위해 사전 로그를 취하는 것이 편리합니다.
(2) .

그런 다음 미분을 계산합니다. 그러면 복소함수 미분의 법칙에 따라,
.

여기에서 함수의 로그의 도함수를 로그 도함수라고 합니다. 함수 y =의 로그 도함수 에프엑스(f(x))파생상품이다 자연로그.

이 기능:

(ln f(x))′
.
어떤 경우에는 함수 (1)의 도함수를 구하기 위해 사전 로그를 취하는 것이 편리합니다.
(3) .
음수 y 값의 경우

이제 변수가 양수 값과 음수 값을 모두 가질 수 있는 경우를 고려해 보겠습니다. 이 경우 모듈러스의 로그를 취하고 그 파생물을 찾으십시오.
.
즉, 일반적인 경우 함수 계수의 로그 미분을 찾아야 합니다.

(2)와 (3)을 비교하면 다음과 같습니다. 즉, 로그 미분 계산의 공식적인 결과는 모듈로를 취하는지 여부에 의존하지 않습니다. 따라서 로그 미분을 계산할 때 함수의 부호가 무엇인지 걱정할 필요가 없습니다.이 상황은 복소수를 사용하여 명확히 할 수 있습니다. x의 일부 값에 대해 음수라고 가정합니다.
.
실수만 고려하면 함수는 정의되지 않습니다. 하지만 고려해보자면
.
복소수
.

, 그러면 다음을 얻습니다.

즉, 기능과 복잡한 상수가 다릅니다. 상수의 미분은 0이므로, :
.
대수 도함수의 성질 그러한 고려로부터 다음과 같은 결론이 나온다.함수에 임의의 상수를 곱해도 로그 미분은 변경되지 않습니다. 실제로,로그의 속성 , 수식미분합

.

그리고

상수의 미분 , 우리는 다음을 가지고 있습니다 :대수 미분의 적용

원래 함수가 거듭제곱 또는 제곱의 곱으로 구성된 경우 로그 미분을 사용하는 것이 편리합니다.

지수함수
.

. 이 경우 로그 연산은 함수의 곱을 합으로 바꿉니다. 이는 미분 계산을 단순화합니다.

실시예 1
.

함수의 도함수를 구합니다:
해결책
.
우리는 복잡한 기능의 차별화 규칙을 적용합니다.
;
;
;
;
(A1.1) .
다음을 곱합니다:

.

그래서 우리는 로그 미분을 찾았습니다.
.
여기에서 원래 함수의 미분을 찾습니다.
.

메모

실수만 사용하려면 원래 함수의 모듈러스에 대한 로그를 취해야 합니다.
.
그 다음에
;
.
그리고 우리는 공식 (A1.1)을 얻었습니다. 따라서 결과는 변경되지 않았습니다.

답변

실시예 2

로그 도함수를 사용하여 함수의 도함수를 찾습니다.
.

. 이 경우 로그 연산은 함수의 곱을 합으로 바꿉니다. 이는 미분 계산을 단순화합니다.

로그를 취해보자:
(A2.1) .
변수 x에 대해 미분합니다.
;
;

;
;
;
.

다음을 곱합니다:
.
여기에서 우리는 로그 미분을 얻습니다:
.

원래 함수의 파생:
.

메모

여기서 원래 함수는 음수가 아닙니다: .
.
에 정의되어 있습니다.

인수의 음수 값에 대해 로그를 정의할 수 있다고 가정하지 않으면 공식 (A2.1)을 다음과 같이 작성해야 합니다.
,
왜냐하면

답변

그리고

이는 최종 결과에 영향을 미치지 않습니다.
.

. 이 경우 로그 연산은 함수의 곱을 합으로 바꿉니다. 이는 미분 계산을 단순화합니다.

실시예 3
파생 상품 찾기 .

로그 미분을 사용하여 미분을 수행합니다. 다음을 고려하여 로그를 취해보자:
;
;
;
(A3.1) .

미분함으로써 우리는 로그 도함수를 얻습니다.

.

메모

(A3.2)
.
그 이후로
;

.
인수의 음수 값에 대해 로그를 정의할 수 있다는 가정 없이 계산을 수행해 보겠습니다. 이렇게 하려면 원래 함수의 모듈러스에 대한 로그를 취합니다.

그런 다음 (A3.1) 대신 다음이 있습니다.

(A3.2)와 비교하면 결과가 변경되지 않았음을 알 수 있습니다.

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