한 평면이 다른 평면과 수직인 경우. 입체 측정. 두 선의 직각성
두 평면 중 하나가 다른 평면에 수직인 선을 통과하면 주어진 평면은 수직()입니다(그림 28).
α – 평면, V– 수직인 직선, β – 직선을 통과하는 평면 V, 그리고 와 함께– 평면 α와 β가 교차하는 직선.
결과.평면이 주어진 두 평면의 교차선에 수직인 경우, 해당 평면은 각 평면에 수직입니다.
문제 1. 공간상의 선 위의 임의의 점을 통해 그 점에 수직인 두 개의 서로 다른 선을 그릴 수 있음을 증명하십시오.
증거:
공리에 따르면 나선상에 없는 점이 있다 ㅏ.정리 2.1에 따라 점을 통해 안에그리고 직접 ㅏ평면 α를 그릴 수 있습니다. (그림 29) 정리 2.3에 따라 점을 통해 ㅏα 평면에서 직선을 그릴 수 있습니다 ㅏ.공리 C 1에 따르면 다음과 같은 점이 있습니다. 와 함께, α에 속하지 않습니다. 정리 15.1에 따라 점을 통해 와 함께그리고 직접 ㅏ평면 β를 그릴 수 있습니다. β 평면에서 정리 2.3에 따르면 점 a를 통해 다음과 같은 직선을 그릴 수 있습니다. ㅏ.구조적으로 선 b와 c는 단 하나의 공통점을 가집니다. ㅏ그리고 둘 다 수직이다
작업 2. 3.4m 거리로 분리된 두 개의 수직 기둥의 상단은 크로스바로 연결됩니다. 한 기둥의 높이는 5.8m이고 다른 기둥의 높이는 3.9m입니다. 크로스바의 길이를 구하십시오.
교류= 5.8m, ВD= 3.9m, AB- ? (그림 30)
AE = AC – CE = AC – BD= 5.8 – 3.9 = 1.9(m)
Δ의 피타고라스 정리에 의해 AEV우리는 다음을 얻습니다:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1.9) 2 + (3.4) 2 = 15.17 (m2)
AB= = 3.9(m)
작업
표적. 가장 간단한 경우에 분석하는 방법을 배우십시오. 상호 합의공간에 있는 물체, 입체 문제를 해결할 때 평면적 사실과 방법을 사용하십시오..
1. 공간에 있는 선 위의 어떤 점을 통해서도 그 점에 수직인 선을 그릴 수 있음을 증명하십시오.
2. 선 AB, AC, AD는 쌍으로 수직입니다. 다음과 같은 경우 세그먼트 CD를 찾으세요.
1) AB = 3cm , 해= 7cm, 기원 후= 1.5cm;
2) VD= 9cm, 기원 후= 5cm, 해= 16cm;
3) AB = b, BC = a, AD = d;
4) ВD = с, ВС = а, АD = d
3. A 지점은 멀리 떨어져 있습니다. ㅏ변이 있는 정삼각형의 꼭지점에서 ㅏ.점 A에서 삼각형 평면까지의 거리를 구합니다.
4. 선이 평면과 평행하면 모든 점은 평면에서 같은 거리에 있음을 증명하십시오.
5. 길이 15m의 전화선을 지표면에서 8m 높이에 부착된 전신주에서 20m 높이에 부착된 집까지 늘어뜨립니다. 전선이 처지지 않는다고 가정하여 집과 기둥 사이.
6. 한 점에서 평면으로 10cm와 17cm의 경사면을 그립니다. 경사면의 투영 차이는 9cm입니다.
7. 두 개의 경사면이 한 점에서 평면으로 그려지며 그중 하나는 다른 하나보다 26cm 더 큽니다. 기울어진 돌기는 12cm와 40cm입니다.
8. 한 점에서 평면으로 두 개의 경사선이 그려집니다. 사선의 비율이 1:2이고 사선의 돌출부가 1cm와 7cm인 경우 사선의 길이를 구합니다.
9. 한 점에서 평면으로 23cm와 33cm의 경사면 두 개를 그립니다.
경사 투영의 비율이 2:3인 경우 이 지점에서 평면까지의 거리입니다.
10. 점 a와 B에서 평면까지의 거리가 다음과 같은 경우 세그먼트 AB의 중앙에서 이 세그먼트와 교차하지 않는 평면까지의 거리를 구합니다. 1) 3.2 cm와 5.3 cm 및 6.1 cm; 3) 가와 다.
11. 세그먼트 AB가 평면과 교차하는 경우 이전 문제를 해결합니다.
12. 길이 1m의 세그먼트가 평면과 교차하고 그 끝이 평면에서 0.5m와 0.3m 거리에 있습니다. 세그먼트가 평면에 투영된 길이를 구합니다.
13. 점 A와 B에서 수직선이 평면에 떨어집니다. 수직선이 3m와 2m이고 밑면 사이의 거리가 2.4m이며 선분 AB가 평면과 교차하지 않는 경우 점 A와 B 사이의 거리를 구합니다.
14. 두 개의 수직 평면에 있는 점 A와 B에서 수직 AC와 BD가 평면의 교차선에 떨어집니다. 다음의 경우 세그먼트 AB의 길이를 구하십시오. 1) AC = 6m, BD = 7m, CD = 6m; 2) AC = 3m, ВD = 4m, CD = 12m; 3) AD = 4m, BC = 7m, CD = 1m; 4) AD = BC = 5m, CD = 1m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. 정삼각형 ABC의 꼭지점 A와 B에서 삼각형 평면에 대한 수직선 AA 1과 BB 1이 복원됩니다. AB = 2m, CA 1 = 3m, CB 1 = 7m이고 세그먼트 A 1 B 1이 삼각형 평면과 교차하지 않는 경우 정점 C에서 세그먼트 A 1 B 1의 중간까지의 거리를 찾습니다.
16. 예각의 정점 A와 B에서 정삼각형 ABC, 삼각형 평면에 대한 수직선 AA 1 및 BB 1이 복원됩니다. A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m이고 세그먼트 A 1 B 1이 교차하지 않는 경우 정점 C에서 세그먼트 A 1 B 1의 중간까지의 거리를 찾습니다. 삼각형의 평면.
교차하는 두 평면을 평면이라고 합니다. 수직, 이 두 평면의 교차선에 수직인 세 번째 평면이 수직선을 따라 교차하는 경우(그림 참조).교차선에 수직인 모든 평면 수직면, 수직선을 따라 교차합니다.
평면의 직각도 표시
정리 1. 평면이 다른 평면에 수직인 선을 통과하면 이 평면은 수직입니다(그림 참조). 
정리 2. 두 개의 수직 평면 중 하나에 있는 선이 교차선에 수직인 경우 두 번째 평면에도 수직입니다(그림 참조).
정리 2의 적용 예
두 개의 수직 평면이 있고 직선으로 교차한다고 가정합니다. ㅏ(그림 참조). 한 지점으로부터의 거리 구하기 ㅏ, 평면에 놓여 있고 평면, 즉 평면에 놓여 있지 않습니다.
평면에서 우리는 수직선을 구성합니다. ㅏ포인트를 통해 ㅏ. 그가 건너게 해주세요 ㅏ그 시점에 비. AB- 필요한 거리.
이것에 주의하세요.
1. 평면 외부의 한 점을 통해 이 평면에 수직인 많은 평면을 그릴 수 있습니다(그림 참조). (그러나 그들은 모두 주어진 점을 통과하는 이 평면에 수직인 직선을 통과할 것입니다.)
2. 평면이 주어진 평면에 수직이라고 해서 이 평면에 평행한 임의의 직선에 수직이라는 의미는 아닙니다.
예를 들어 아래 그림에서는 직선으로 교차합니다. 비, 그리고 ㅏ비행기 중 하나에 들어가고 . 그러므로 직선 ㅏ동시에 두 개의 수직면에 평행합니다.
공간의 수직성은 다음을 가질 수 있습니다.
1. 두 개의 직선
3. 비행기 두 대
이 세 가지 경우, 즉 이와 관련된 정리의 모든 정의와 진술을 차례로 살펴보겠습니다. 그리고 나서 우리는 세 개의 수직선에 관한 매우 중요한 정리에 대해 논의할 것입니다.
두 선의 수직성.
정의:
당신은 말할 수 있습니다: 그들은 나에게도 미국을 발견했습니다! 그러나 우주에서는 모든 것이 비행기에서와 완전히 동일하지 않다는 것을 기억하십시오.
평면에서는 다음 선(교차)만 수직이 될 수 있습니다.
그러나 두 직선은 서로 교차하지 않더라도 공간에서는 수직일 수 있습니다. 바라보다:
직선은 직선과 수직이지만 직선과 교차하지는 않습니다. 어떻게요? 직선 사이의 각도 정의를 떠올려 보겠습니다. 교차하는 선 사이의 각도를 찾으려면 선 a의 임의의 점을 통과하는 직선을 그려야 합니다. 그러면 과 (정의에 따라!) 사이의 각도는 다음과 같습니다. 각도와 같음와 ~ 사이에있는.
기억 나니? 글쎄, 우리의 경우 직선이 수직인 것으로 밝혀지면 직선과 수직을 고려해야 합니다.
완전한 명확성을 위해 다음을 살펴 보겠습니다. 예.큐브가 있게 해주세요. 그리고 선과 선 사이의 각도를 찾으라는 요청을 받습니다. 이 선들은 교차하지 않고 교차합니다. 와 사이의 각도를 찾기 위해 그려 봅시다.
평행사변형(심지어 직사각형까지!)이라는 사실로 인해 그렇게 밝혀졌습니다. 그리고 그것이 정사각형이라는 사실 때문에 그것은 밝혀졌습니다. 글쎄요.
선과 평면의 수직성.
정의:
사진은 다음과 같습니다.
직선은 이 평면의 모든 직선에 수직인 경우 평면에 수직입니다. 그리고, 그리고, 그리고 심지어! 그리고 10억 개의 다른 직접적인 것들!
그렇습니다. 그러면 일반적으로 직선과 평면에서 수직성을 어떻게 확인할 수 있습니까? 그러니 인생은 충분하지 않습니다! 하지만 다행스럽게도 수학자들은 다음과 같은 발명을 통해 우리를 무한의 악몽에서 구해주었습니다. 선과 평면의 수직성의 표시.
우리는 다음을 공식화합니다:
얼마나 훌륭한지 평가해 주세요.
직선이 수직인 평면에 단 두 개의 직선(및)만 있는 경우 이 직선은 즉시 평면, 즉 이 평면의 모든 직선(일부 직선 포함)에 수직인 것으로 나타납니다. 옆에 줄 서 있음). 이는 매우 중요한 정리이므로 그 의미도 도표 형태로 그려보겠습니다.
그리고 다시 살펴보자 예.
정사면체를 생각해 봅시다.
과제: 증명해 보세요. 당신은 말할 것입니다 : 이것은 두 개의 직선입니다! 직선과 평면의 수직성이 무슨 상관이 있는 걸까요?
하지만 보세요:
가장자리의 중앙을 표시하고 그리자. 이들은 및의 중앙값입니다. 삼각형은 규칙적이고...
여기에 기적이 있습니다. 그 이후로 밝혀졌습니다. 또한 평면의 모든 직선은 and를 의미합니다. 그들은 그것을 증명했습니다. 그리고 가장 중요한 점은 바로 선과 면의 수직성 기호를 사용했다는 점이다.
평면이 수직일 때
정의:
즉, (자세한 내용은 "2면체 각도" 항목 참조) 두 평면의 교차선에 대한 두 수직선(and) 사이의 각도가 동일하다는 것이 밝혀지면 두 평면(and)이 수직입니다. 그리고 선과 면의 공간에서의 수직성 개념과 수직면의 개념을 연결하는 정리가 있습니다.
이 정리는
평면의 직각성에 대한 기준.
공식화하자:
언제나 그렇듯이, "then and only then"이라는 단어의 해독은 다음과 같습니다.
- 그렇다면 수직을 통과합니다.
- 수직선을 통과하면 다음과 같습니다.
(당연히 여기에는 비행기가 있습니다).
이 정리는 입체측정에서 가장 중요한 정리 중 하나이지만 불행하게도 적용하기 가장 어려운 정리 중 하나입니다.
그래서 매우 조심해야 합니다!
따라서 문구는 다음과 같습니다.
그리고 다시 "그때에만"이라는 단어를 해독합니다. 정리는 두 가지를 동시에 설명합니다(그림 참조).
문제를 해결하기 위해 이 정리를 적용해 봅시다.
일: 정육각형 피라미드가 주어진다. 선과 사이의 각도를 찾으십시오.
해결책:
일반 피라미드에서는 정점이 투영될 때 밑면의 중심에 떨어지기 때문에 직선이 직선의 투영인 것으로 나타났습니다.
그러나 우리는 그것을 알고 있습니다 정육각형. 우리는 세 수직의 정리를 적용합니다.
그리고 우리는 답을 씁니다: .
공간에서의 직선의 수직성. 주요 사항에 대해 간략하게
두 선의 수직성.
공간의 두 선은 그 사이에 각도가 있으면 수직입니다.
선과 평면의 수직성.
선이 평면의 모든 선에 수직인 경우 선은 평면에 수직입니다.
평면의 직각성.
평면 사이의 이면각이 동일하면 평면은 수직입니다.
평면의 직각성에 대한 기준.
두 평면 중 하나가 다른 평면에 대한 수직선을 통과하는 경우에만 두 평면이 수직입니다.
세 가지 수직 정리:
자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.
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수업 내용:
공간에 평면이 있다는 아이디어를 통해 예를 들어 테이블이나 벽의 표면을 얻을 수 있습니다. 그러나 테이블이나 벽은 유한한 크기를 가지며 평면은 경계를 넘어 무한대로 확장됩니다.
두 개의 교차 평면을 고려하십시오. 교차할 때 공통 모서리를 갖는 4개의 2면체 각도를 형성합니다.
2면각이 무엇인지 기억해 봅시다.
실제로 우리는 약간 열린 문이나 반쯤 열린 폴더와 같이 2면체 모양의 물체를 만납니다.
두 평면 알파와 베타가 교차하면 4개의 2면각을 얻습니다. 2면체 각도 중 하나를 (phi)와 같게 하고, 두 번째는 (1800-), 세 번째, 네 번째는 (1800-)과 같습니다.
2면각 중 하나가 900인 경우를 생각해 보세요.
그러면 이 경우 모든 2면각은 900과 같습니다.
수직 평면의 정의를 소개하겠습니다.
두 평면 사이의 이면각이 90°인 경우 두 평면을 수직이라고 합니다.
시그마 평면과 엡실론 평면 사이의 각도는 90도입니다. 이는 평면이 수직임을 의미합니다.
수직면의 예를 들어 보겠습니다.
벽과 천장.
측벽과 테이블 상판.
두 평면의 수직성 기호를 공식화해 보겠습니다.
정리: 두 평면 중 하나가 다른 평면에 수직인 선을 통과하면 두 평면은 수직입니다.
이 표시를 증명해 봅시다.
조건에 따라 직선 AM은 평면 α에 있고 직선 AM은 평면 β에 수직이라는 것이 알려져 있습니다.
증명: 평면 α와 β는 수직입니다.
증거:
1) 평면 α와 β는 직선 AR을 따라 교차하는 반면 AM은 조건에 따라 AM이 β이기 때문에 AM은 AR입니다. 즉, AM은 β 평면에 있는 모든 직선에 수직입니다.
2) β 평면에서 AP에 수직인 직선 AT를 그리자.
우리는 2면각의 선형 각도인 TAM 각도를 얻습니다. 그러나 MA는 β이므로 각도 TAM = 90°입니다. 그러니까 αβ.
Q.E.D.
두 평면의 수직성의 부호로부터 우리는 중요한 결과를 얻습니다:
결과: 두 평면이 교차하는 선에 수직인 평면은 이들 평면 각각에 수직입니다.
즉, α∩β=с이고 γ с이면 γ α 및 γ β입니다.
이 결과를 증명해 보겠습니다. 감마 평면이 선 c에 수직이면 두 평면의 평행성에 기초하여 감마는 알파에 수직입니다. 마찬가지로 감마는 베타와 수직이다.
2면각에 대한 이 결과를 다시 공식화해 보겠습니다.
2면각의 선형 각도를 통과하는 평면은 이 2면각의 모서리와 면에 수직입니다. 즉, 2면각의 선형 각도를 구성한 경우 이를 통과하는 평면은 이 2면각의 모서리 및 면에 수직입니다.
주어진 값: ΔABC, C = 90°, AC는 α 평면에 있고, α 평면과 ABC 평면 사이의 각도 = 60°, AC = 5cm, AB = 13cm.
찾기: 점 B에서 평면 α까지의 거리.
1) VCα를 구성해보자. 그러면 KS는 이 평면에 태양을 투영하는 것입니다.
2) BC AC(조건별), 이는 세 수직의 정리(TPP)에 따라 KS AC를 의미합니다. 따라서 VSK는 평면 α와 삼각형 ABC의 평면 사이의 2면각의 선형 각도입니다. 즉, VSK = 60°입니다.
3) 피타고라스 정리에 따른 ΔBCA로부터:
답 VK는 3cm의 6뿌리와 같습니다.
두 평면의 직각도의 실제 사용(응용 특성)입니다.
"두 평면의 직각도 테스트"라는 주제로 강의
공간에 평면이 있다는 아이디어를 통해 예를 들어 테이블이나 벽의 표면을 얻을 수 있습니다. 그러나 테이블이나 벽은 유한한 크기를 가지며 평면은 경계를 넘어 무한대로 확장됩니다.두 개의 교차 평면을 고려하십시오. 교차할 때 공통 모서리를 갖는 4개의 2면체 각도를 형성합니다.
2면각이 무엇인지 기억해 봅시다.
실제로 우리는 약간 열린 문이나 반쯤 열린 폴더와 같이 2면체 모양의 물체를 만납니다.
두 평면 알파와 베타가 교차하면 4개의 2면각을 얻습니다. 2면체 각도 중 하나를 (phi)와 같게 하고 두 번째 각도는 (180)과 같습니다. 0 –), 세 번째, 네 번째 (180 0 -).
α 그리고β, 0°< 90 °
2면각 중 하나가 90°인 경우를 생각해 보세요. 0 .
그러면 이 경우 모든 2면각은 90°가 됩니다. 0 .
평면 사이의 2면각α 그리고β,
90°
수직 평면의 정의를 소개하겠습니다.
두 평면 사이의 이면각이 90°인 경우 두 평면을 수직이라고 합니다.
시그마 평면과 엡실론 평면 사이의 각도는 90도입니다. 이는 평면이 수직임을 의미합니다.
왜냐하면 =90°
수직면의 예를 들어 보겠습니다.
벽과 천장.
측벽과 테이블 상판.
벽과 천장
두 평면의 수직성 기호를 공식화해 보겠습니다.
정리:두 평면 중 하나가 다른 평면에 수직인 선을 통과하면 이 평면은 수직입니다.
이 표시를 증명해 봅시다.
조건에 따르면 직선은 다음과 같습니다.AM은 α 평면에 있고 직선 AM은 β 평면에 수직입니다.
증명: 평면 α와 β는 수직입니다.
증거:
1) 평면 α 및β 조건에 따라 AM β, 즉 AM은 β 평면에 있는 임의의 직선에 수직이기 때문에 직선 AR 및 AM AR을 따라 교차합니다.
2) β 평면에 직선을 그리자ㅏT 수직ㅏ아르 자형.
우리는 각도 T를 얻습니다.ㅏM은 2면각의 선형 각도입니다. 그러나 각도 TㅏMA는 β이므로 M = 90°입니다. 그러니까 αβ.
Q.E.D.
정리:평면이 다른 평면에 수직인 선을 통과하면 이 평면은 수직입니다.
주어진:α, β, AM α, AMβ, AM∩=A
증명: αβ.
증거:
1) α∩β = AR, AM AR은 조건에 따라 AM β이므로, 즉 AM은 β 평면에 있는 모든 직선에 수직입니다.
2) ATβ,ㅏ티ㅏ아르 자형.
TAM은 2면각의 선형 각도입니다. TAM = 90°이기 때문입니다. MA β. 그러니까 αβ.
Q.E.D
두 평면의 수직성의 부호로부터 우리는 중요한 결과를 얻습니다:
영향:두 평면이 교차하는 선에 수직인 평면은 이들 평면 각각에 수직입니다.
이 결과를 증명해 보겠습니다. 감마 평면이 선 c에 수직이면 두 평면의 평행성에 기초하여 감마는 알파에 수직입니다. 마찬가지로 감마는 베타와 수직이다.
즉, α∩β=с 및 γс이면 γα 및 γβ입니다.
왜냐하면γс 및 сα는 직각 부호 γα에서 유래합니다.
γβ와 유사
2면각에 대한 이 결과를 다시 공식화해 보겠습니다.
2면각의 선형 각도를 통과하는 평면은 이 2면각의 모서리와 면에 수직입니다. 즉, 2면각의 선형 각도를 구성한 경우 이를 통과하는 평면은 이 2면각의 모서리 및 면에 수직입니다.
일.
주어진 값: ΔАВС, С = 90°, АС는 평면 α에 위치하며 평면 α와 평면 사이의 각도입니다.알파벳= 60°, AC = 5cm, AB = 13cm.
찾기: 점 B에서 평면 α까지의 거리.
해결책:
1) VCα를 구성해보자. 그러면 KS는 이 평면에 태양을 투영하는 것입니다.
2) BC AC(조건별), 이는 세 수직의 정리(TPP)에 따라 KS AC를 의미합니다. 따라서 VSK는 평면 α와 삼각형 ABC의 평면 사이의 2면각의 선형 각도입니다. 즉, VSK = 60°입니다.
3) 피타고라스 정리에 따른 ΔBCA로부터:
ΔVKS에서: 