축의 평행 이동에 관한 정리. 좌표축을 평행 이동하는 동안 관성 모멘트의 변화. 축 회전시 단면의 관성 모멘트 변경

z하자 와 함께, 응- 단면의 중심축 - 이 축에 대한 단면의 관성 모멘트. 새 축을 기준으로 단면의 관성 모멘트를 결정해 보겠습니다. z 1, 1시에, 중심 축에 평행하고 중심 축에 대해 거리만큼 변위됨 에이그리고 디. 허락하다 다– 지점 근처의 기본 영역 중좌표와 함께 와이그리고 지다섯 중앙 시스템좌표 그림에서. 4.3 점 C의 좌표는 다음과 같습니다. 새로운 시스템좌표는 동일합니다.

y축에 대한 단면의 관성 모멘트를 구해 보겠습니다. 1 :

따라서,

비슷하게

축 회전시 단면의 관성 모멘트 변경

축에 대한 관성 모멘트 사이의 관계를 찾아 보겠습니다. 와이, 지축에 대한 관성 모멘트 y 1, z 1, 각도로 회전 에이. 허락하다 Jy> Jz그리고 양의 각도 에이축에서 측정 와이시계 반대 방향으로. 점의 좌표를 보자 중차례가 되기 전에 - 와이, 지, 회전 후 - y 1, z 1(그림 4.4).

그림에서 보면 다음과 같습니다.

이제 축에 대한 관성 모멘트를 결정해 보겠습니다. y 1그리고 z 1:

비슷하게:

방정식 (4.13)과 (4.14)을 항별로 추가하면 다음을 얻습니다.

저것들. 서로 수직인 축에 대한 관성 모멘트의 합은 일정하게 유지되며 좌표계가 회전해도 변하지 않습니다.

주요 관성축 및 주요 관성 모멘트

축의 회전 각도를 변경하여 에이각 수량은 변경되지만 합계는 변경되지 않습니다. 그러므로 이런 의미가 있습니다.

a = a 0, 관성 모멘트가 극한 값에 도달하는 경우, 즉 그 중 하나는 최대값에 도달하고 다른 하나는 최소값에 도달합니다. 가치를 찾으려면 에이 0 (or)의 1차 미분을 취하여 0과 동일시합니다.

획득된 축에 대해 원심 관성 모멘트가 0과 같다는 것을 보여드리겠습니다. 이를 위해 방정식 (4.15)의 오른쪽을 0과 동일시합니다. 같은 공식을 얻었습니다 에이 0 .

원심 관성 모멘트가 0이고 축 관성 모멘트가 극한 값을 갖는 축을 주축이라고 합니다. 이 축이 중심이기도 하면 주 중심축이라고 합니다. 주축에 대한 축방향 관성 모멘트를 주 관성 모멘트라고 합니다.

주요 축을 다음과 같이 표시하겠습니다. 와이 0그리고 z 0. 그 다음에

단면에 대칭축이 있는 경우 이 축은 항상 단면의 주요 관성 중심축 중 하나입니다.

축이 중심이면 모멘트 축은 다음과 같습니다.

15.간의 종속성 축을 돌릴 때의 관성 모멘트:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

각도 a>0, 이전 좌표계에서 새 좌표계로의 전환이 시계 반대 방향으로 발생하는 경우. J y 1 + J x 1 = J y + J x

관성 모멘트의 극한(최대 및 최소) 값을 호출합니다. 주요 관성 모멘트. 축 관성 모멘트가 극한 값을 갖는 축을 호출합니다. 관성 주축. 관성의 주축은 서로 수직입니다. 주축에 대한 원심 관성 모멘트 = 0, 즉 관성 주축 - 원심 관성 모멘트 = 0인 축. 축 중 하나가 대칭축과 일치하거나 둘 다 일치하면 해당 축이 주요 축입니다. 주축의 위치를 ​​정의하는 각도: , a 0 >0 Þ이면 축이 시계 반대 방향으로 회전합니다. 최대 축은 관성 모멘트가 더 큰 값을 갖는 축의 각도와 항상 작은 각도를 만듭니다. 무게 중심을 통과하는 주축을 다음과 같이 부릅니다. 관성의 주요 중심축. 이 축에 대한 관성 모멘트:

J 최대 + J 최소 = J x + J y . 주요 관성 중심 축에 대한 원심 관성 모멘트는 0과 같습니다. 주요 관성 모멘트가 알려진 경우 회전 축으로의 전환에 대한 공식은 다음과 같습니다.

J x 1 =J 최대 cos 2 a + J 최소 sin 2 a; J y 1 = J 최대 cos 2 a + J 최소 sin 2 a; J x 1 y1 = (J 최대 - J 최소)sin2a;

단면의 기하학적 특성을 계산하는 최종 목표는 주요 중심 관성 모멘트와 주요 관성 중심축의 위치를 ​​결정하는 것입니다. 관성 반경 - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

J x 및 J y가 주요 관성 모멘트이면 i x 및 i y - 주요 회전 반경. 반축과 마찬가지로 주요 관성 반경에 구성된 타원을 다음과 같이 부릅니다. 관성의 타원. 관성 타원을 사용하면 모든 축 x 1에 대한 관성 반경 i x 1을 그래픽으로 찾을 수 있습니다. 이렇게 하려면 타원에 대한 접선을 그려야 합니다. 축에 평행 x 1, 이 축에서 접선까지의 거리를 측정합니다. 관성 반경을 알면 x축 1에 대한 단면의 관성 모멘트를 찾을 수 있습니다. 2개 이상의 대칭축이 있는 단면(예: 원, 사각형, 링 등)의 경우 모든 중심 축에 대한 축 관성 모멘트는 동일합니다(J xy =0). 관성 타원은 관성원으로 변합니다. .

주어진: z, y 축에 대한 그림의 관성 모멘트; 이들 축과 평행 축 사이의 거리 z 1, y 1 – a, b.

결정: z 1, y 1 축에 대한 관성 모멘트(그림 4.7).

새 시스템 z 1 Oy 1의 모든 점 좌표는 다음과 같이 이전 시스템의 좌표를 통해 표현될 수 있습니다.

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

이 값을 공식 (4.6)과 (4.8)로 대체하고 용어를 용어별로 통합합니다.

공식 (4.1)과 (4.6)에 따라 우리는 다음을 얻습니다.

,

, (4.13)

zCy 축의 초기 데이터가 중심이면 정적 모멘트 S z 및

S y는 0과 같고 공식(4.13)은 단순화됩니다.

,

, (4.14)

.

예: 베이스를 통과하는 z 1 축을 기준으로 직사각형의 축 ​​관성 모멘트를 결정합니다(그림 4.6, a). 공식(4.14)에 따르면

4.4. 축 회전 시 관성 모멘트 간의 의존성

주어진: 좌표축 z, y에 대한 임의 그림의 관성 모멘트; 이 축의 회전 각도 α (그림 4.8). 시계 반대 방향 회전 각도를 양수로 간주합니다.

결정: z 1, y 1에 대한 그림의 관성 모멘트.

새 축의 임의 기본 영역 dF의 좌표는 다음과 같이 이전 축 시스템의 좌표를 통해 표현됩니다.

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

이 값을 (4.6)과 (4.8)에 대입하고 용어별로 통합해 보겠습니다.

,

,

공식 (4.6)과 (4.8)을 고려하면 마침내 다음을 찾을 수 있습니다.

. (4.16)

공식(4.15)을 추가하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.(4.17)

따라서, 축이 회전할 때 축방향 관성 모멘트의 합은 일정하게 유지됩니다.. 이 경우 각각은 공식 (4.15)에 따라 변경됩니다. 축의 특정 위치에서 관성 모멘트는 극한의 값을 갖게 됩니다. 그 중 하나는 가장 크고 다른 하나는 가장 작습니다.

4.5. 주축과 주관성 모멘트

원심 관성 모멘트가 0인 주 중심 축은 실제적으로 가장 중요합니다. 이러한 축을 문자 u, υ로 표시하겠습니다. 결과적으로 Juυ = 0입니다. 초기 임의 좌표계 z, y는 원심 관성 모멘트가 0이 되는 각도 α 0만큼 회전해야 합니다. (4.16)을 0과 동일시하면,

. (4.18)

관성 모멘트 이론과 평면 응력 상태 이론은 동일한 수학적 장치로 설명되는 것으로 나타났습니다. 왜냐하면 공식 (4.15) – (4.18)이 공식 (3.10), (3.11) 및 (3.18)과 동일하기 때문입니다. 수직 응력 σ 축 관성 모멘트 J z 및 J y 대신에 접선 응력 τ zy - 원심 관성 모멘트 J zy가 기록됩니다. 따라서 우리는 공식 (3.18)과 유사하게 유도 없이 주요 축 관성 모멘트에 대한 공식을 제시합니다.

.(4.19)

(4.18)에서 얻은 각도 α0의 두 값은 서로 900만큼 다르며, 이 각도 중 더 작은 각도는 절대값이 450을 초과하지 않습니다.

관성반경과 저항모멘트

임의의 축에 대한 도형의 관성 모멘트는 도형의 면적과 특정 수량의 제곱의 곱으로 표현될 수 있습니다. 회전 반경:

, (4.20)

여기서 i z는 z축에 대한 회전 반경입니다.

식(4.20)으로부터 다음과 같다.

,
. (4.21)

주 관성 중심축은 주 관성 반경에 해당합니다.

,
. (4.22)

주요 관성 반경을 알면 임의의 축을 기준으로 관성 반경(결과적으로 관성 모멘트)을 그래픽으로 찾을 수 있습니다.

비틀림 및 굽힘 중 막대의 강도를 특징 짓는 또 다른 기하학적 특성을 고려해 보겠습니다. 저항의 순간. 저항 모멘트는 관성 모멘트를 축(또는 극점)에서 단면의 가장 먼 지점까지의 거리로 나눈 값과 같습니다. 저항 모멘트의 크기는 길이의 세제곱(cm 3) 단위입니다.

직사각형의 경우 (그림 4.6, a)
,
, 따라서 저항의 축 모멘트

,
. (4.23)

서클의 경우
(그림 4.6, b),
, 따라서 극지 저항 모멘트

. (4.24)

서클의 경우
,
, 따라서 저항의 축 모멘트

. (4.25)

직교직교좌표계 O xy 를 소개하겠습니다. 좌표평면의 임의의 단면을 고려해 보겠습니다. 폐쇄된 공간) 영역 A가 있습니다 (그림 1).

정적 순간

좌표가 있는 점 C(x C , y C)

~라고 불리는 단면의 무게중심.

좌표축이 단면의 무게 중심을 통과하는 경우 단면의 정적 모멘트는 0과 같습니다.

축방향 관성 모멘트 x 및 y 축에 상대적인 섹션을 다음 형식의 적분이라고 합니다.

극관성 모멘트좌표 원점에 대한 섹션을 다음 형식의 적분이라고 합니다.

원심 관성 모멘트섹션은 다음 형식의 적분이라고 합니다.

단면의 주요 관성축 I xy = 0에 상대적인 두 개의 서로 수직인 축이 호출됩니다. 상호 수직 축 중 하나가 단면의 대칭 축인 경우 I xy =0이므로 이러한 축이 주요 축입니다. 단면의 무게 중심을 통과하는 주축을 호출합니다. 단면의 주요 관성 중심축

2. 축의 평행 이동에 관한 Steiner-Huygens 정리

슈타이너-호이겐스 정리(슈타이너 정리).
임의의 단면에 대한 단면 I의 축방향 관성 모멘트 고정축엑스 합계와 동일단면의 질량 중심을 통과하는 상대 축 x *가 평행한 이 단면 I의 축방향 관성 모멘트와 두 축 사이의 거리 d의 제곱에 의한 단면적 A의 곱 .

x 및 y 축에 대한 관성 모멘트 I x 및 I y가 알려진 경우 각도 α만큼 회전된 ν 및 u 축에 대해 축 및 원심 관성 모멘트는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

위의 공식으로부터 다음이 분명해진다.

저것들. 서로 수직인 축을 회전할 때 축 방향 관성 모멘트의 합은 변하지 않습니다. 즉, 단면의 원심 관성 모멘트가 0이고 축 방향 관성 모멘트 I u 및 I v가 극단적인 축 u 및 v입니다. 최대 또는 최소 값을 섹션의 주축이라고 합니다. 단면의 무게 중심을 통과하는 주축을 호출합니다. 단면의 주요 중심축. 대칭 단면의 경우 대칭축은 항상 주 중심축입니다. 다른 축을 기준으로 단면의 주축 위치는 다음 관계를 사용하여 결정됩니다.

여기서 α 0은 x 및 y 축이 기본 축이 되도록 회전해야 하는 각도입니다(양의 각도는 일반적으로 시계 반대 방향으로 설정되고 음의 각도는 시계 방향으로 설정됨). 주축에 대한 축 관성 모멘트를 호출합니다. 주요 관성 모멘트:

두 번째 항 앞의 플러스 기호는 최대 관성 모멘트를 나타내고 마이너스 기호는 최소 관성 모멘트를 나타냅니다.