집

선형 스트레스 상태. 평면 응력 및 평면 평면 및 체적 응력

몸체의 특정 지점 K를 중심으로 극소 길이의 모서리를 가진 평행육면체를 선택해 보겠습니다. 일반적인 경우 수직 및 접선 응력이 이 기본 평행육면체의 면에 작용할 수 있습니다. 한 점을 통과하는 모든 가능한 영역에 대한 응력 집합을 한 지점에서 재료의 응력 상태. 면에 법선 응력만 남도록 공간에 평행육면체를 배열하는 것이 가능하다는 것이 입증되었습니다. 이러한 모서리를 호출합니다. 주요 장소, 그리고 그 전압은 다음과 같습니다. 주응력. 따라서 가장 큰 주 응력은 σ 1, 최소 - σ 3, 중간 응력 - σ 2로 표시됩니다.

응력 상태에는 선형, 평면, 체적의 세 가지 유형이 있습니다(그림 3.1).

그림 1. 한 지점의 응력 상태 유형: ㅏ– 선형; 비- 평평한; V– 체적

2. 평면 응력 상태

평면 응력 상태를 더 자세히 살펴보겠습니다. 두께가 얇은 얇은 판에서 선택하자 티수직 및 전단 응력이 작용하는 측면을 따라 극소 요소(그림 2, ㅏ). 우리는 응력이 판의 두께 전체에 고르게 분포되어 있다고 가정합니다. 티추가 분석에는 영향을 미치지 않습니다. 축의 끝부분부터 요소를 살펴보겠습니다. 지, 요소 측면의 응력은 양의 것으로 간주됩니다 (그림 2, 비).

쌀. 2. 평면 응력 상태

에 따르면 접선 응력 쌍의 법칙즉, 서로 수직인 영역의 전단 응력은 크기가 동일하고 요소를 반대 방향으로 회전시키는 방향으로 향합니다.

주요 영역(그림 3)은 원래 영역과 각도 a 0을 만들고 그 값은 다음 식으로 결정됩니다.

쌀. 3. 주요 영역 및 주요 스트레스

및로 표시된 주요 응력은 공식을 사용하여 계산됩니다.

극한 접선 응력은 주 응력의 절반 차이와 동일하며 45° 각도로 주 영역에 대해 기울어진 영역에 작용합니다.

평면 응력 상태에서 미소 요소의 변형은 요소의 선형 치수 변화와 요소 모양의 변화로 구성됩니다. 일반적인 경우 수직 및 접선 응력이 요소의 모서리에 작용하면 본체의 한 지점에서 상대 선형 변형이 발생합니다.

및 각도 변형( 상대 이동) 전단 각도 형태로 (그림 4, 비).

그림 4. 평면 응력 상태: ㅏ- 전압; 비– 변형

Hooke의 법칙 형태로 탄성체의 한 지점에서 상대 선형 변형률과 응력 사이에는 관계가 있습니다.

여기에 세로 탄성 계수(제1종 탄성 계수)가 있고, 포아송 비는 다음과 같습니다.

평면 응력 상태의 특별한 경우는 접선 응력만이 상호 수직 영역에 작용하는 경우입니다(그림 5).

이 사건은 순수 전단, 원래 사이트를 순수 전단 사이트라고 합니다. 주요 영역은 순수 전단 영역에 대해 45° 각도로 기울어진 것으로 나타났으며, 주 응력은 수치적으로 접선 응력과 동일하며 주 응력 중 하나는 인장 응력이고 다른 하나는 압축 응력입니다. 주요 응력 지정에 대해 허용되는 규칙에 따라;

순수 전단 동안 미소 요소의 변형은 다음과 같은 양만큼 직각이 왜곡되는 것으로 구성됩니다. 전단 각도(그림 4 및 5).

전단 각도와 전단 응력 사이에는 비례 관계가 있습니다. 순수 전단에 대한 Hooke의 법칙

비례계수는 어디에 있나요? G – 전단 계수(두 번째 종류의 탄성 계수), 응력과 동일한 단위, MPa, kN/cm 2로 측정됩니다.

등방성 재료의 탄성 특성의 세 가지 특성은 다음과 같은 형식으로 가장 자주 작성되는 관계로 상호 연결됩니다.

탄력성 이론의 기초

4강

탄성 이론의 평면 문제

슬라이드 2

탄력성 이론에는 실제 적용 측면에서 중요하고 동시에 해법의 수학적 측면을 크게 단순화할 수 있는 다양한 종류의 문제가 있습니다. 단순화는 이러한 문제에서 물체의 좌표축 중 하나(예: z축)를 무시할 수 있고 모든 현상이 하중을 받은 물체의 하나의 좌표 평면 x0y에서 발생하는 것으로 간주할 수 있다는 사실에 있습니다. 이 경우 응력, 변형률 및 변위는 x와 y라는 두 좌표의 함수입니다.

두 좌표에서 고려되는 문제를 탄성 이론의 평면 문제.

"라는 용어로 탄성 이론의 평면 문제“물리적으로 다른 두 가지 문제를 결합하여 매우 유사한 수학적 종속성을 초래합니다.

1) 평면 변형 상태(평면 변형)의 문제;

2) 평면 응력 상태의 문제.

이러한 문제는 하나의 기하학적 크기와 고려 중인 몸체의 다른 두 크기 사이의 상당한 차이(첫 번째 경우에는 길이가 길고 두 번째 경우에는 두께가 얇음) 사이에 상당한 차이가 있다는 특징이 가장 자주 나타납니다.

평면 변형

신체의 모든 점의 움직임이 한 평면에서 두 방향으로만 발생할 수 있고 이 평면에 수직인 좌표에 의존하지 않는 경우 변형을 플랫이라고 합니다.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0(4.1)

평면 변형은 z축에 평행한 축이 있는 긴 프리즘형 또는 원통형 몸체에서 발생하며, 이를 따라 하중은 이 축에 수직이고 크기가 변하지 않는 측면을 따라 작용합니다.

평면 변형의 예로는 긴 직선형 댐과 지하 터널의 긴 아치에서 발생하는 응력-변형 상태가 있습니다(그림 4.1).

그림 – 4.1. 댐 몸체와 지하터널 지붕에서 평면 변형이 발생

슬라이드 3

변위 벡터(4.1)의 구성요소를 Cauchy 공식(2.14), (2.15)에 대체하면 다음을 얻습니다.

(4.2)

z축 방향으로 선형 변형이 없으면 수직 응력 σz가 나타납니다. 변형 ε z에 대한 Hooke의 법칙(3.2) 공식으로부터 다음과 같습니다.

여기에서 응력 σ z에 대한 표현식을 얻습니다.

(4.3)

이 관계를 Hooke의 법칙의 처음 두 공식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

(4.4)

슬라이드 4

식 (4.2) - (4.4) 및 (3.2)의 분석으로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다.

따라서 평면 변형의 경우 3차원 탄성 이론의 기본 방정식이 상당히 단순화되었습니다.

Navier 평형(2.2)의 세 가지 미분 방정식 중 두 가지 방정식만 남습니다.

(4.5)

세 번째는 정체성으로 변합니다.

코사인 방향은 측면 n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0의 모든 곳에 있으므로 표면(2.4)의 세 가지 조건 중 두 가지 방정식만 남습니다.

(4.6)

여기서 l, m은 외부 법선의 방향 코사인입니다. V윤곽 표면에;

엑스,와이,엑스 V,와이 V– 각각 x 및 y 축의 체적 힘 및 외부 표면 하중 강도의 구성 요소.

슬라이드 5

6개의 Cauchy 방정식(2.14), (2.15)은 3개로 축소됩니다.

(4.7)

Saint-Venant 변형(2.17), (2.18)에 대한 6개의 연속 방정식 중 하나의 방정식이 남아 있습니다.

(4.8)

나머지는 정체성으로 변합니다.

Hooke의 법칙(3.2)의 6가지 공식 중에서 (4.2), (4.4)를 고려하면 3가지 공식이 남습니다.

이러한 관계식에서는 전통적인 형태의 탄성 이론에 대해 새로운 탄성 상수가 도입되었습니다.

슬라이드 6

평면 응력 상태

평면 응력 상태는 동일한 각기둥 몸체의 길이가 다른 두 치수에 비해 작을 때 발생합니다. 이 경우 두께라고 합니다. 신체의 응력은 xOy 좌표 평면에서 두 방향으로만 작용하고 z 좌표에 의존하지 않습니다. 이러한 몸체의 예는 두께 h의 얇은 판으로, 판 평면에 평행한 힘으로 측면(리브)을 따라 하중을 받고 두께 전체에 균일하게 분포됩니다(그림 4.2).

그림 4.2 - 얇은 판과 이에 가해지는 하중

이 경우 평면 변형 문제와 유사한 단순화도 가능합니다. 플레이트의 양쪽 평면에 있는 응력 텐서 구성요소 σ z, τ xz, τ yz는 0과 같습니다. 판이 얇기 때문에 판 내부에서는 0과 같다고 가정할 수 있습니다. 그런 다음 응력 상태는 z 좌표에 의존하지 않는 구성요소 σ x, σ y, τ xy에 의해서만 결정됩니다. 즉, 플레이트의 두께에 따라 변경되지 않고 x 및 y만의 함수입니다. .

따라서 얇은 판에서는 다음과 같은 응력 상태가 발생합니다.

슬라이드 7

응력과 관련하여 평면 응력 상태는 다음 조건에 따라 평면 변형률과 다릅니다.

또한 (4.10)을 고려하여 Hooke의 법칙 (3.2) 공식에서 선형 변형 ε z에 대해 0이 아니라는 것을 얻습니다.

결과적으로, 변위가 나타나기 때문에 판의 베이스가 구부러지게 됩니다. z 축을 따라.

이러한 가정하에 평면 변형의 기본 방정식인 미분 평형 방정식(4.5), 표면 조건(4.6), Cauchy 방정식(4.7) 및 변형 연속 방정식(4.8)은 평면 응력 상태 문제에서 동일한 형태를 유지합니다. .

Hooke의 법칙의 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

공식 (4.11)은 탄성 상수 값인 E 및 E 1에서만 평면 변형에 대한 Hooke의 법칙 공식 (4.9)과 다릅니다. V그리고 V 1 .

슬라이드 8

이를 역으로 표현하면 Hooke의 법칙은 다음과 같습니다.

(4.12)

따라서 이 두 가지 문제(평면 변형과 평면 응력 상태)를 풀 때 동일한 방정식을 사용하고 문제를 탄성 이론의 하나의 평면 문제로 결합할 수 있습니다.

탄력성 이론의 평면 문제에는 8가지 미지수가 있습니다.

- 변위 벡터 u와 v의 두 가지 구성 요소;

– 응력 텐서 σ x, σ y, τ xy의 세 가지 구성 요소;

– 변형 텐서 ε x, ε y, γ xy의 세 가지 구성 요소.

문제를 해결하기 위해 8개의 방정식이 사용됩니다.

– 두 개의 미분 평형 방정식(4.5)

– 세 가지 Cauchy 방정식(4.7);

– Hooke의 법칙의 세 가지 공식(4.9) 또는 (4.11).

또한, 결과적인 변형은 변형의 연속 방정식(4.8)을 준수해야 하며, 몸체 표면에서는 내부 응력과 외부 표면 하중 X의 강도 사이의 평형 조건(4.6)이 충족되어야 합니다. V,와이 V.

모든 응력 벡터가 동일한 평면에 평행한 경우 응력 상태를 평면이라고 합니다(그림 1). 그렇지 않은 경우: 세 가지 주요 응력 중 하나가 0이면 응력 상태는 평평합니다.

그림 1.

평면 응력 상태는 윤곽선을 따라 힘이 작용하는 플레이트에서 구현되며, 그 결과는 중간 평면에 위치합니다(중간 평면은 플레이트의 두께를 절반으로 나누는 평면입니다).

그림의 응력 방향 1은 긍정적으로 간주됩니다. 각도 α는 x축에서 y축으로 플롯되는 경우 양수입니다. 일반 n이 있는 사이트에서:

인장 응력인 경우 수직 응력 σn은 양수입니다. 양의 전압은 그림 1에 나와 있습니다. 1. 식 (1)의 부호 규칙은 식 (1)에 따른 응력의 경우와 동일합니다.

여기에 제시된 표시 규칙은 경사 플랫폼에 적용됩니다. 기사에서 "볼륨 스트레스 상태" 한 지점의 응력 성분, 즉 좌표축에 수직인 영역의 응력에 대한 부호 규칙이 공식화되었습니다. 이 기호 규칙은 탄력성 이론에서 허용됩니다.

응력 평면에 수직인 영역의 주요 응력:

(여기에서는 두 가지 주요 응력만 고려되므로 σ 1 및 σ 2로 표시됩니다.<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

이러한 응력은 첫 번째 및 두 번째 주요 영역에 대해 45° 각도로 위치한 영역에 작용합니다.

주 응력 σ 1 과 σ 2 가 동일한 부호를 갖는 경우 가장 큰 접선 응력은 응력 평면(xy 평면)에 대해 45° 각도에 위치한 영역에 작용합니다. 이 경우:

빔의 벽(여기서는 빔-벽이 아닌 일반 빔을 의미함)에서 힘에 의해 구부러지면 평면 응력 상태의 특별한 경우가 실현됩니다. 빔 벽에서 수직 응력 σy 중 하나는 0과 같습니다. 이 경우 응력은 공식 (1), (2) 및 (4)에 따라 얻어집니다. 이 공식에 σ y =0을 넣으면 됩니다. 첫 번째 메인 플랫폼의 위치는 식 (3)에 의해 결정됩니다.

양방향 스트레치(그림 2).

평면 응력 상태

평면 응력 상태의 경우 세 가지 응력 중 하나가 0입니다.

재료 강도의 체적 응력 상태

스트레스와 긴장의 관계

안에 재료의 저항, 체적 응력 상태의 경우 변형을 연구할 때 재료가

Hooke의 법칙을 따르며 변형이 작습니다. 가장자리 크기가 동일한 요소를 고려하십시오.

a x b x c, 그리고

추론의 단순화를 위해 우리는 모든 스트레스를 긍정적인 것으로 간주합니다. 리브 변형으로 인해

요소는 길이를 변경하고 a+^a와 같아집니다. in+^in; s+^s.

요소 가장자리 길이의 증가분과 원래 길이의 비율은 다음과 같습니다.

주요 방향의 주요 상대 신장:

모서리 a 방향으로 xc에서 요소 ax의 총 상대 변형은 다음과 같이 표현됩니다.

마찬가지로 모서리 b와 c 방향의 전체 상대 변형을 찾을 수 있습니다.

이 세 가지 공식을 일반화된 Hookey 법칙이라고 합니다. 체적 변형은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

부피 변화는 주응력의 합에만 의존하고 그 비율에는 의존하지 않습니다. 그러므로 같은

부피의 변화로 인해 동일한 응력이 작용하는 면에 기본 큐브가 생성됩니다.

탄성 변형 에너지

탄성 변형의 위치 에너지 증거로신체에 축적된 에너지이다.

외부 힘에 의한 탄성 변형.

비에너지(단위 부피당 탄성 변형 에너지)는 다음과 같습니다.

이 에너지는 1) 부피를 변화시키기 위해 소비되는 에너지, 2) 에너지, 두 부분으로 구성됩니다.

모양을 바꾸는 데 소비됩니다.

부피 변화 에너지:

근력의 이론

힘의 이론, 재료의 힘으로, 복잡한 응력 상태(부피 또는 평면)의 재료에 대한 강도 기준을 설정하려고 합니다. 이 경우 계산된 부품의 연구된 응력 상태는 선형 응력 상태(인장 또는 압축)와 비교됩니다.

플라스틱 재료의 한계 상태는 눈에 띄는 잔류(소성) 변형이 나타나기 시작하는 상태로 간주됩니다.

취성재료 또는 취성상태에 있는 재료의 경우, 재료가 첫 번째 균열이 나타나는 경계에 있는 상태, 즉 자료의 무결성을 위반하는 경계에 있습니다.

체적 응력 상태에 대한 강도 조건은 다음과 같습니다.

주어진 응력 상태에 대한 안전계수(n)는 응력 상태의 모든 구성 요소가 동시에 증가하여 제한 상태가 되어야 하는 횟수를 나타내는 숫자입니다.

등가 응력 Oeq는 주어진 체적 또는 평면 응력 상태에서 똑같이 위험한 선형(단축) 응력 상태에서의 인장 응력입니다.

주요 응력을 통해 표현되는 등가 응력에 대한 공식은 각 이론에서 채택한 강도 가설에 따라 강도 이론에 의해 확립됩니다.

스트레스 상태 제한에 대한 몇 가지 강도 이론이나 가설이 있습니다.

첫 번째 이론 또는 최대 수직 응력 이론과 두 번째 이론 또는 최대 선형 변형 이론은 현재 실제 계산에 사용되지 않습니다. 세 번째 이론, 즉 최대 접선 응력 이론. 이 이론은 가장 높은 전단 응력이 동일할 경우 두 가지 응력 상태(복합 및 선형)가 강도가 동일하다는 가설을 기반으로 합니다.

체적 응력 상태에 대한 등가 응력:

세 번째 강도 이론은 주 응력의 부호가 서로 다른 경우 인장과 압축에 동일하게 저항하는 플라스틱 재료에 대해 만족스러운 결과를 제공합니다.

이 이론의 가장 큰 단점은 실험에서 알 수 있듯이 재료의 강도에 어느 정도 영향을 미치는 o"를 고려하지 않는다는 것입니다.

힘의 네 번째 이론은 에너지입니다. 이는 위험상태(물질유동성) 발생시 축적되는 형상변화의 위치에너지량이 복합응력상태와 단순인장상태 모두 동일하다는 전제에 기초하고 있다. 체적 응력 상태에서의 등가 응력

네 번째 강도 이론은 인장과 압축에서 동일한 항복강도를 갖는 플라스틱 재료를 사용한 실험을 통해 잘 확인되었습니다.

한계 상태 이론(Mohr의 이론)은 응력 상태의 일반적인 경우 강도가 주로 주 응력의 가장 큰 O1 및 가장 작은 Oz의 부호 값에 따라 달라진다는 가정에서 시작됩니다. 평균 주응력 O2는 강도에 약간의 영향을 미칩니다. 실험에 따르면 최악의 경우 O2를 무시함으로써 발생하는 오류는 12~15%를 초과하지 않으며 일반적으로 이보다 적습니다.

체적 응력 상태의 경우: