평평한 단면의 기하학적 특성. 축의 평행 이동 중 에너지 모멘트의 변화 주 ​​모멘트 및 관성 주축

종속성으로 연결된 두 개의 평행 축(그림 6.7)을 기준으로 단면의 다양한 관성 모멘트 간의 관계를 결정해 보겠습니다.

1. 정적 관성 모멘트의 경우

마지막으로,

2. 축방향 관성모멘트의 경우

따라서,

축의 경우 지단면의 무게중심을 통과한 후

모든 관성 모멘트 중 평행축축 관성 모멘트는 가장 작은 값단면의 무게 중심을 통과하는 축을 기준으로 합니다.

축에도 동일

축일 때 와이단면의 무게중심을 통과

3. 원심 관성 모멘트에 대해 다음을 얻습니다.

마침내 우리는 쓸 수 있습니다

좌표계의 원점을 기준으로 하는 경우 yz단면의 무게 중심에 있습니다.

한쪽 또는 양쪽 축이 대칭축인 경우,

6.7. 축 회전 시 관성 모멘트 변경

좌표축에 대한 단면의 관성 모멘트를 지정하겠습니다. 지.

새 좌표계로 이동하기 위해 이전 좌표계를 시계 반대 방향으로 회전해야 하는 경우(오른손 직교 직각 좌표계의 경우) 각도는 양수로 간주됩니다. 새로운 것과 오래된 것 지좌표계는 그림 1에 따른 종속성으로 연결됩니다. 6.8:

1. 새 좌표계의 축을 기준으로 축 관성 모멘트에 대한 표현식을 정의해 보겠습니다.

축에 대해서도 마찬가지로

와 축에 대한 관성 모멘트 값을 합산하면

즉, 축이 회전할 때 축 관성 모멘트의 합은 일정한 값입니다.

2. 원심 관성 모멘트에 대한 공식을 유도해 보겠습니다.

.

6.8. 주요 관성 모멘트. 관성 주축

단면의 축방향 관성 모멘트의 극값을 주 관성 모멘트라고 합니다.

축방향 관성 모멘트가 극단적인 값을 갖는 두 개의 서로 수직인 축을 주 관성축이라고 합니다.

주요 관성 모멘트와 관성 주축의 위치를 ​​찾기 위해 공식 (6.27)에 의해 결정된 관성 모멘트 각도에 대한 1차 도함수를 결정합니다.

이 결과를 0으로 동일시해 보겠습니다.

좌표축을 회전해야 하는 각도는 어디입니까? 와이그리고 지주축과 일치하도록 합니다.

식 (6.30)과 (6.31)을 비교하면 다음을 확인할 수 있습니다.

,

결과적으로 주 관성축을 기준으로 원심 관성 모멘트는 0입니다.

단면의 대칭축과 일치하는 하나 또는 둘 다의 상호 수직 축은 항상 주 관성축입니다.

각도에 대한 방정식 (6.31)을 풀어 보겠습니다.

.

>0인 경우 오른쪽(왼쪽) 직교 직각 좌표계에 대한 관성 주축 중 하나의 위치를 ​​결정하려면 축이 필요합니다. 지회전 방향(회전 방향)에 반대되는 각도로 시계 방향으로 돌립니다. 만약에<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо ось지회전 방향(시계 반대 방향)으로 시계 방향으로 각도를 돌립니다.

최대 축은 항상 축의 각도와 더 작은 각도를 만듭니다( 와이또는 지)에 비해 축방향 관성 모멘트가 더 큰 값을 갖습니다(그림 6.9).

최대 축은 axis(), if()와 비스듬히 향하고 축의 짝수(홀수) 4분의 1인 if()에 위치합니다.

관성의 주요 순간을 결정합시다. 함수를 연결하는 삼각법의 공식을 사용하여 공식 (6.27)에서 우리는 다음을 얻습니다.

,

z하자 와 함께, 응- 단면의 중심축 - 이 축에 대한 단면의 관성 모멘트. 새 축을 기준으로 단면의 관성 모멘트를 결정해 보겠습니다. z 1, 1시에, 중심 축에 평행하고 중심 축에 대해 거리만큼 변위됨 에이그리고 디. 허락하다 다– 지점 근처의 기본 영역 중좌표와 함께 와이그리고 지중앙 좌표계에서. 그림에서. 4.3 점 C의 좌표는 다음과 같습니다. 새로운 시스템좌표는 동일합니다.

y축에 대한 단면의 관성 모멘트를 구해 보겠습니다. 1 :

따라서,

비슷하게

축 회전시 단면의 관성 모멘트 변경

축에 대한 관성 모멘트 사이의 관계를 찾아 보겠습니다. 와이, 지축에 대한 관성 모멘트 y 1, z 1, 각도로 회전 에이. 허락하다 Jy> Jz그리고 양의 각도 에이축에서 측정 와이시계 반대 방향으로. 점의 좌표를 보자 중차례가 되기 전에 - 와이, 지, 회전 후 – y 1, z 1(그림 4.4).

그림에서 보면 다음과 같습니다.

이제 축에 대한 관성 모멘트를 결정해 보겠습니다. y 1그리고 z 1:

비슷하게:

방정식 (4.13)과 (4.14)를 항별로 추가하면 다음을 얻습니다.

저것들. 서로 수직인 축에 대한 관성 모멘트의 합은 일정하게 유지되며 좌표계가 회전해도 변하지 않습니다.

주요 관성축 및 주요 관성 모멘트

축의 회전 각도를 변경하여 에이각 수량은 변경되지만 합계는 변경되지 않습니다. 그러므로 이런 의미가 있습니다.

a = a 0, 관성 모멘트가 극한 값에 도달하는 경우, 즉 그 중 하나는 최대값에 도달하고 다른 하나는 최소값에 도달합니다. 가치를 찾으려면 에이 0 (or)의 1차 미분을 취하여 0과 동일시합니다.

결과 축을 기준으로 원심 관성 모멘트가 0과 같다는 것을 보여 드리겠습니다. 이를 위해 방정식 (4.15)의 오른쪽을 0과 동일시합니다. 같은 공식을 얻었습니다 에이 0 .

원심 관성 모멘트가 0이고 축 관성 모멘트가 극한 값을 갖는 축을 주축이라고 합니다. 이 축이 중심이기도 하면 주 중심축이라고 합니다. 주축에 대한 축방향 관성 모멘트를 주 관성 모멘트라고 합니다.

주요 축을 다음과 같이 표시하겠습니다. 와이 0그리고 z 0. 그 다음에

단면에 대칭축이 있는 경우 이 축은 항상 단면의 주요 관성 중심축 중 하나입니다.

2. 축에 대한 단면적의 정적 모멘트 온스그리고 오(cm 3, m 3):

4. 축에 대한 단면의 원심 관성 모멘트 온스그리고 아야(cm 4, m 4):

그 이후로

축방향 Jz그리고 Jy그리고 극지 제이 p 관성 모멘트는 2승 좌표가 적분 기호 아래에 있으므로 항상 양수입니다. 정적 순간 Sz그리고 S y, 원심 관성 모멘트 J zy긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있습니다.

각도에 대한 압연 강철의 범위는 모듈로 원심 모멘트 값을 제공합니다. 해당 값은 부호를 고려하여 계산에 입력해야 합니다.

모서리의 원심 모멘트(그림 3.2)의 부호를 결정하기 위해 우리는 이를 좌표계의 4분의 1에 위치한 단면 부분에 대해 별도로 계산되는 세 가지 적분의 합으로 정신적으로 상상합니다. 분명히 1분기와 3분기에 위치한 부품에 대해서는 양수 값이 적분의 제품 이후 zydA양수이고 II 및 IV 분기에 위치한 부품에 대해 계산된 적분은 음수입니다(곱 zydA마이너스가 됩니다.) 따라서 그림의 모서리에 대해 3.2이고 원심 관성 모멘트의 값은 음수입니다.

적어도 하나의 대칭축(그림 3.2,b)을 갖는 단면에 대해 비슷한 방식으로 추론하면 다음과 같은 결론에 도달할 수 있습니다. 축 중 하나(Oz 또는 Oy)가 단면의 대칭 축인 경우 원심 관성 모멘트 J zy는 0과 같습니다.실제로 1/4과 2/4에 위치한 삼각형 부분의 경우 원심 관성 모멘트는 부호만 다릅니다. III 및 IV 분기에 있는 부품에 대해서도 마찬가지입니다.

정적 순간. 무게 중심 결정

축에 대한 정적 모멘트를 계산해 보겠습니다. 온스그리고 오그림에 표시된 직사각형 3.3.

그림 3.3. 정적 모멘트 계산을 향하여

여기: 에이– 단면적, yC그리고 z C– 무게 중심의 좌표. 직사각형의 무게 중심은 대각선의 교차점에 있습니다.

정적 모멘트가 계산되는 축이 그림의 무게 중심을 통과하면 좌표는 0과 같습니다( z C = 0, yC= 0), 공식 (3.6)에 따르면 정적 모멘트도 0과 같습니다. 따라서, 단면의 무게 중심은 다음과 같은 특성을 갖는 점입니다. 단면을 통과하는 축에 대한 정적 모멘트,0과 같음.

공식(3.6)을 사용하면 무게 중심의 좌표를 찾을 수 있습니다. z C그리고 yC복잡한 모양의 섹션. 섹션을 다음 형식으로 표현할 수 있는 경우 N무게 중심의 영역과 위치가 알려진 부품의 경우 전체 섹션의 무게 중심 좌표 계산은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

.

(3.7)

축 평행 이동 중 관성 모멘트 변경

관성 모멘트를 알자 Jz, Jy그리고 J zy축을 기준으로 오이즈. 관성 모멘트를 결정하는 것이 필요합니다 JZ, JY그리고 JZY축을 기준으로 영형 1 YZ, 축에 평행 오이즈(그림 3.4) 멀리서 분리되어 있습니다. 에이(수평으로) 그리고 비(수직의)

그림 3.4. 축 평행 이동 중 관성 모멘트 변경

기본 사이트의 좌표 다다음과 같은 평등으로 서로 관련되어 있습니다. 지 = 지 + 에이; 와이 = 와이 + 비.

관성 모멘트를 계산해 봅시다 JZ, JY그리고 JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

요점이라면 영형축 교차점 오이즈그 점과 일치한다 와 함께– 단면의 무게 중심(그림 3.5) 정적 모멘트 Sz그리고 S y 0이 되고 공식은 단순화됩니다.Y i 및 지 나는징후를 고려하여 고려해야합니다. 좌표 기호는 축 관성 모멘트(좌표가 2승됨)에 영향을 미치지 않지만 좌표 기호는 원심 관성 모멘트(곱)에 중요한 영향을 미칩니다. Z 나는 Y 나는 A 나는부정적인 결과가 나올 수도 있습니다.)

실제 문제를 해결할 때 평면에서 서로 다른 방향으로 향하는 축을 기준으로 단면의 관성 모멘트를 결정해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 기술 문헌, 특별 참고 서적 및 표에 나와 있는 다른 축에 대한 전체 섹션(또는 개별 구성 부품)의 관성 모멘트에 대한 이미 알려진 값을 사용하는 것이 편리합니다. 사용 가능한 수식을 사용합니다. 따라서 서로 다른 축을 기준으로 동일한 섹션의 관성 모멘트 간의 관계를 설정하는 것이 매우 중요합니다.

가장 일반적인 경우, 이전 좌표계에서 새 좌표계로의 전환은 이전 좌표계의 두 가지 연속 변환으로 간주될 수 있습니다.

1) 좌표축을 새로운 위치로 병렬 전송하고

2) 새로운 원점을 기준으로 회전합니다. 이러한 변환 중 첫 번째 변환, 즉 좌표축의 평행 이동을 고려해 보겠습니다.

이전 축(그림 18.5)에 대한 특정 섹션의 관성 모멘트가 알려져 있다고 가정해 보겠습니다.

축이 이전 좌표계와 평행한 새 좌표계를 사용해 보겠습니다. 기존 좌표계에서 점(즉, 새 원점)의 좌표를 a와 b로 표시하겠습니다.

이전 좌표계의 좌표는 y 및 와 같습니다. 새로운 시스템에서는 둘이 동등하다

이 좌표 값을 축에 대한 축 관성 모멘트 표현식으로 대체하겠습니다.

결과 식에서 관성 모멘트는 축에 대한 단면의 정적 모멘트입니다. 면적과 동일 F 섹션.

따라서,

z 축이 단면의 무게 중심을 통과하면 정적 모멘트와

공식 (25.5)에서 무게 중심을 통과하지 않는 축에 대한 관성 모멘트는 무게 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트보다 항상 양의 양만큼 크다는 것이 분명합니다. 결과적으로 평행축에 대한 모든 관성모멘트 중 축방향 관성모멘트는 단면의 무게중심을 통과하는 축에 대해 가장 작은 값을 갖습니다.

축에 대한 관성 모멘트 [공식 (24.5)와 유사]

y축이 단면의 무게중심을 통과하는 특별한 경우

공식 (25.5)와 (27.5)는 복잡한 (복합) 단면의 축방향 관성 모멘트를 계산하는 데 널리 사용됩니다.

이제 축에 대한 원심 관성 모멘트에 대한 표현식으로 값을 대체하겠습니다.

관성 모멘트의 정의를 고려해 봅시다 평평한 그림(그림) $X$ 및 $Y$ 축에 대한 관성 모멘트가 알려진 $(Z_1)$ 및 $(Y_1)$ 축에 대한 상대.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

여기서 $(S_x)$ - $X$ 축에 대한 그림의 정적 모멘트입니다.

$(Y_1)$ 축과 유사하게

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

$(X_1)$ 및 $(Y_1)$ 축에 대한 원심 관성 모멘트

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A (ydA) + ab\int\limits_A (dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

대부분의 경우 전환은 중심 축(평면 도형의 고유 축)에서 임의의 평행 축으로 사용됩니다. $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, $X$ 및 $Y$ 축이 중심이기 때문입니다. 마침내 우리는

어디 , - 자체 관성 모멘트, 즉 자체 중심 축에 대한 관성 모멘트;

$a$, $b$ - 중심 축에서 고려되는 축까지의 거리;

$A$는 그림의 면적입니다.

$a$ 및 $b$ 수량으로 원심 관성 모멘트를 결정할 때 부호를 고려해야 합니다. 즉, 본질적으로 아래 축에서 그림의 무게 중심 좌표입니다. 고려 사항. 축 관성 모멘트를 결정할 때 이러한 양은 여전히 ​​제곱으로 증가하므로 모듈로(거리)로 대체됩니다.

평행 이동 공식을 사용하면 중심 축에서 임의 축으로 또는 그 반대로 전환할 수 있습니다.- 임의의 중심 축에서. 첫 번째 전환은 "+" 기호로 수행됩니다. 두 번째 전환은 " 기호로 수행됩니다.- ".

평행축 간의 전환 수식 사용 예

직사각형 단면

$Z$ 및 $Y$ 축에 대해 알려진 관성 모멘트에 대해 직사각형의 중심 관성 모멘트를 결정해 보겠습니다.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

마찬가지로 $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

삼각형 단면

밑변 $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$에 대해 알려진 관성 모멘트를 사용하여 삼각형의 중심 관성 모멘트를 결정해 보겠습니다.

.

삼각형은 중심축 $(Y_c)$을 기준으로 다른 구성을 가지므로 다음을 고려하십시오. $(Y_c)$ 축에 대한 전체 그림의 관성 모멘트 합계와 동일$(Y_c)$ 축에 대한 삼각형 $ABD$의 관성 모멘트와 $(Y_c)$ 축에 대한 삼각형 $CBD$의 관성 모멘트, 즉

.

복합재 단면의 관성 모멘트 결정

우리는 단면이 기하학적 특성이 알려진 개별 요소로 구성되어 있다고 생각합니다. 복합 도형의 면적, 정적 모멘트 및 관성 모멘트는 해당 구성 요소의 해당 특성의 합과 같습니다. 하나의 도형을 다른 도형에서 잘라서 단면을 형성할 수 있는 경우 잘라낸 도형의 기하학적 특성을 뺍니다. 예를 들어, 그림 1에 표시된 복합 도형의 관성 모멘트입니다. 다음과 같이 결정됩니다

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12 )) = 72\,300$cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \right) = 1\,490\,000$cm 4