미분 방정식 시스템. 미분 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까? 해결책

밖은 무더운 시간이고, 포플러 솜털이 날아다니고, 이 날씨는 휴식에 도움이 됩니다. 학년도 동안 모든 사람은 피로를 쌓았지만 여름 방학/휴가에 대한 기대는 시험과 시험에 성공적으로 합격할 수 있도록 영감을 주어야 합니다. 그런데, 시즌 중에는 선생님들도 너무 지루해서, 나도 곧 머리를 푸는 시간을 가질 예정이다. 그리고 이제 커피 소리, 시스템 장치의 리드미컬한 윙윙거리는 소리, 창턱에 죽은 모기 몇 마리, 그리고 완전히 작동하는 상태... ...오, 젠장... 빌어먹을 시인.

요점까지. 누가 신경쓰나요? 하지만 오늘은 6월 1일입니다. 우리는 복잡한 분석의 또 다른 전형적인 문제를 살펴보겠습니다. 연산 미적분학 방법을 사용하여 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해 찾기. 문제를 해결하는 방법을 배우려면 무엇을 알아야 하고 무엇을 할 수 있어야 합니까? 가장 먼저, 적극 추천합니다강의를 참조하세요. 소개 부분을 읽고, 주제의 일반적인 설명, 용어, 표기법 및 최소한 두세 가지 예를 이해하십시오. 사실 디퓨저 시스템을 사용하면 모든 것이 거의 동일하고 더 단순해질 것입니다!

물론 그것이 무엇인지 이해해야합니다. 미분 방정식 시스템, 이는 시스템에 대한 일반적인 솔루션과 시스템에 대한 특정 솔루션을 찾는 것을 의미합니다.

미분 방정식 시스템은 "전통적인" 방식으로 풀 수 있다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 제거로또는 특성 방정식을 사용하여. 논의될 연산 계산 방법은 작업이 다음과 같이 공식화될 때 원격 제어 시스템에 적용 가능합니다.

동차 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해 찾기 , 초기 조건에 해당 .

또는 시스템이 이질적일 수 있습니다. 함수 형태의 "추가 가중치"가 오른쪽에 있습니다.

그러나 두 경우 모두 상태의 두 가지 기본 사항에 주의를 기울여야 합니다.

1) 대략 개인 솔루션에 대해서만.
2) 초기조건의 괄호 ~이다 엄격하게 0, 그리고 다른 것은 없습니다.

일반적인 과정과 알고리즘은 다음과 매우 유사합니다. 연산 방법을 사용하여 미분 방정식 풀기. 참고 자료에서 동일한 내용이 필요합니다. 원본과 이미지 표.

실시예 1

, ,

해결책:시작은 간단합니다. 라플라스 변환 테이블원본에서 해당 이미지로 넘어 갑시다. 원격 제어 시스템 문제에서 이러한 전환은 일반적으로 간단합니다.

초기 조건을 고려하여 표 형식 1, 2번 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

"게임"으로 무엇을 해야 할까요? 표의 "X"를 마음속으로 "I"로 변경합니다. 초기 조건을 고려하여 동일한 변환 1, 2를 사용하여 다음을 찾습니다.

찾은 이미지를 원래 방정식에 대입해 보겠습니다. :

지금 왼쪽 부분에는방정식을 수집해야합니다 모두또는 존재하는 용어. 올바른 부분으로방정식은 "공식화"되어야 합니다 다른 사람들자귀:

다음으로, 각 방정식의 왼쪽에서 브라케팅을 수행합니다.

이 경우 첫 번째 위치에 다음을 배치하고 두 번째 위치에 배치해야 합니다.

두 개의 미지수를 갖는 방정식의 결과 시스템은 일반적으로 해결됩니다. Cramer의 공식에 따르면. 시스템의 주요 결정 요인을 계산해 보겠습니다.

행렬식을 계산한 결과 다항식이 얻어졌다.

중요한 기술!이 다항식은 더 좋습니다 즉시그것을 고려해보세요. 이러한 목적을 위해서는 이차 방정식을 풀어야 합니다. 그러나 2년차 훈련을 받은 많은 독자들은 다음과 같은 사실을 알아차릴 것입니다. .

따라서 시스템의 주요 결정 요인은 다음과 같습니다.

시스템의 추가 분해는 Kramer에게 감사드립니다. 표준입니다.

결과적으로 우리는 시스템의 운영자 솔루션:

문제의 작업의 장점은 일반적으로 분수가 단순하고 분수를 다루는 것이 문제의 분수보다 훨씬 쉽다는 것입니다. 운영 방법을 사용하여 DE에 대한 특정 솔루션 찾기. 당신의 예감은 당신을 속이지 않았습니다 - 좋은 옛날 불확실한 계수 방법, 이를 통해 각 분수를 기본 분수로 분해합니다.

1) 첫 번째 분수를 다루겠습니다.

따라서:

2) 유사한 방식에 따라 두 번째 부분을 분류하지만 다른 상수(정의되지 않은 계수)를 사용하는 것이 더 정확합니다.

따라서:

나는 인형에게 분해된 연산자 솔루션을 다음 형식으로 적어 두라고 조언합니다.
- 이렇게 하면 마지막 단계인 역 라플라스 변환이 더 명확해집니다.

표의 오른쪽 열을 사용하여 이미지에서 해당 원본으로 이동해 보겠습니다.

좋은 수학적 매너의 규칙에 따라 결과를 약간 정리하겠습니다.

답변:

답은 수업에서 자세히 논의되는 표준 체계에 따라 확인됩니다. 미분 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?작업에 큰 도움이 되도록 항상 완료하려고 노력하십시오.

실시예 2

연산 미적분학을 사용하여 주어진 초기 조건에 해당하는 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해를 찾습니다.
, ,

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제의 최종 형태에 대한 대략적인 샘플과 수업이 끝나면 답변이 제공됩니다.

비동질적인 미분 방정식 시스템을 푸는 것은 기술적으로 좀 더 복잡하다는 점을 제외하면 알고리즘적으로 다르지 않습니다.

실시예 3

연산 미적분학을 사용하여 주어진 초기 조건에 해당하는 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해를 찾습니다.
, ,

해결책:초기 조건을 고려하여 라플라스 변환 테이블 사용 , 원본에서 해당 이미지로 이동해 보겠습니다.

하지만 그게 전부는 아닙니다. 방정식의 우변에는 외로운 상수가 있습니다. 상수가 그 자체로 완전히 단독인 경우 어떻게 해야 합니까? 이것은 수업 시간에 이미 논의되었습니다. 연산 방법을 사용하여 DE를 해결하는 방법. 반복하겠습니다. 단일 상수에 정신적으로 1을 곱해야 하며 다음 라플라스 변환이 단위에 적용되어야 합니다.

발견된 이미지를 원래 시스템으로 대체해 보겠습니다.

, 를 포함하는 항을 왼쪽으로 이동하고 나머지 항을 오른쪽에 배치하겠습니다.

왼쪽에서 우리는 브라케팅을 수행할 것이고, 또한 두 번째 방정식의 오른쪽을 공통 분모로 가져올 것입니다:

결과를 즉시 인수분해하는 것이 바람직하다는 점을 잊지 말고 시스템의 주요 결정 요인을 계산해 보겠습니다.
이는 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 의미합니다.

계속 진행해 봅시다:



따라서 시스템의 운영자 솔루션은 다음과 같습니다.

때로는 분수 중 하나 또는 둘 다를 줄일 수도 있고, 때로는 너무 성공적이어서 아무것도 확장할 필요조차 없습니다! 그리고 어떤 경우에는 즉시 공짜를 얻을 수 있습니다. 그런데 다음 수업 예가 예시가 될 것입니다.

무한 계수 방법을 사용하여 기본 분수의 합을 구합니다.

첫 번째 부분을 분석해 보겠습니다.

그리고 우리는 두 번째 목표를 달성합니다.

결과적으로 운영자 솔루션은 우리에게 필요한 형식을 취합니다.

올바른 열 사용 원본 및 이미지 표역 라플라스 변환을 수행합니다.

결과 이미지를 시스템의 운영자 솔루션으로 대체하겠습니다.

답변:개인 솔루션:

보시다시피, 이종 시스템에서는 동종 시스템에 비해 더 많은 노동 집약적 계산을 수행해야 합니다. 사인과 코사인을 사용하는 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 이것으로 충분합니다. 거의 모든 유형의 문제와 대부분의 솔루션의 뉘앙스가 고려되기 때문입니다.

실시예 4

연산 미적분학 방법을 사용하여 주어진 초기 조건을 사용하여 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해를 찾습니다.

해결책:이 예도 직접 분석하겠지만 의견은 특별한 순간에만 적용됩니다. 나는 당신이 이미 솔루션 알고리즘에 정통하다고 가정합니다.

원본에서 해당 이미지로 이동해 보겠습니다.

발견된 이미지를 원래의 원격 제어 시스템으로 대체해 보겠습니다.

Cramer의 공식을 사용하여 시스템을 풀어 보겠습니다.
이는 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 의미합니다.

결과 다항식은 인수분해할 수 없습니다. 그러한 경우에는 어떻게 해야 합니까? 절대 아무것도 아닙니다. 이것도 그럴 것이다.

결과적으로 시스템의 운영자 솔루션은 다음과 같습니다.

여기 행운의 티켓이 있습니다! 부정계수법을 사용할 필요가 전혀 없습니다! 유일한 것은 테이블 변환을 적용하기 위해 다음 형식으로 솔루션을 다시 작성한다는 것입니다.

이미지에서 해당 원본으로 이동해 보겠습니다.

결과 이미지를 시스템의 운영자 솔루션으로 대체하겠습니다.

이러한 유형의 시스템을 호출합니다. 정규 미분 방정식 시스템 (SNDU). 일반적인 미분 방정식 시스템의 경우 미분 방정식과 마찬가지로 존재와 고유성에 대한 정리를 공식화할 수 있습니다.

정리. 함수가 열린 집합에서 정의되고 연속이고 해당 부분 도함수도 연속인 경우 시스템 (1)은 해 (2)를 갖게 됩니다.

초기 조건이 있는 경우 (3)

이 솔루션이 유일한 솔루션이 될 것입니다.

이 시스템은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

선형 미분 방정식 시스템

정의. 미분 방정식 시스템이 호출됩니다. 선의 , 모든 알려지지 않은 함수와 그 파생물에 대해 선형인 경우.

(5)

미분 방정식 시스템에 대한 일반적인 견해

초기조건이 주어지면 : , (7)

그러면 벡터 함수가 연속이고 행렬 계수도 연속 함수인 경우 솔루션은 고유합니다.

선형 연산자를 도입하면 (6)은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

그렇다면 연산자 방정식 (8)이 호출됩니다. 질의 다음과 같은 형식을 갖습니다.

연산자가 선형이므로 다음 속성이 충족됩니다.

방정식 (9)를 푸는 것입니다.

결과.선형 조합, 해(9).

해 (9)가 주어지고 선형 독립인 경우 다음 형식의 모든 선형 조합은 다음과 같은 조건에서만 가능합니다. (10).

이는 행렬식이 해(10)로 구성됨을 의미합니다. . 이 행렬식은 다음과 같이 불립니다.

브론스키의 행렬식

벡터 시스템의 경우. 정리 1. 구간에서 연속적인 계수를 갖는 선형 동차 시스템(9)에 대한 Wronski 행렬식은 적어도 한 지점에서 0과 같으면 해는 이 구간에 선형적으로 종속되므로 Wronski 행렬식은 다음과 같습니다. 전체 간격에서 0입니다. 증거:따라서 초기 조건은 시스템 (9)의 고유한 해를 결정합니다. 한 점에서 Wronski 행렬식은 0이므로 다음이 성립하는 중요한 시스템이 있습니다.

정의. 다른 점에 대한 해당 선형 조합은 형식을 가지며 동질적인 초기 조건을 충족하므로 자명한 해, 즉 선형 종속적이고 Wronski 행렬식이 0과 일치합니다. 시스템 (9)의 솔루션 세트는 다음과 같습니다. 솔루션의 기본 시스템

정의. Wronski 행렬식이 어느 시점에서도 사라지지 않는 경우. 동종 시스템(9)의 경우 초기 조건이 다음과 같이 정의되면 솔루션 시스템이 호출됩니다. 정상적인 기본 .

의사결정 시스템논평.

가 기본 시스템이거나 일반 기본 시스템인 경우 선형 조합은 (9)에 대한 일반적인 해입니다.

벡터 시스템의 경우. 정리 2. 동차 시스템(9)의 선형 독립 해와 구간에서 연속적인 계수의 선형 결합은 동일한 구간에서 일반 해(9)가 됩니다.

계수가 연속이므로 시스템은 존재 및 고유성 정리의 조건을 만족합니다.

벡터 시스템의 경우. 그러므로 정리를 증명하려면 상수를 선택함으로써 임의로 선택한 초기 조건(7)을 만족시키는 것이 가능하다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다. 저것들. 벡터 방정식으로 만족할 수 있습니다.

는 (9)에 대한 일반적인 해법이고, 와 는 모두 선형독립이기 때문에 시스템은 상대적으로 풀 수 있습니다.

벡터 시스템의 경우. 우리는 그것을 고유하게 정의하고, 선형독립이기 때문에. . (11)

정리 3. 이것이 시스템 (8)에 대한 해, 시스템 (9)에 대한 해라면 + (8)에도 해가 있을 것입니다.

선형 연산자의 속성에 따라: 

정리 4. 이 구간에서 연속적인 계수와 우변을 갖는 구간의 일반 해(8)는 해당 동차 시스템의 일반 해(9)와 비동차 시스템의 특정 해(8)의 합과 같습니다. ).따라서 존재와 유일성에 관한 정리의 조건을 만족하므로, 임의로 주어진 초기값(7), 즉

시스템 (11)의 경우 항상 의 값을 결정하는 것이 가능합니다.

는 미분 함수 y(t)라고 불리며, 방정식 (5.1)에 대입하면 항등식으로 변합니다. 미분 방정식의 해를 구하는 그래프를 적분 곡선이라고 합니다. 미분 방정식의 해를 찾는 과정을 일반적으로 이 방정식의 적분이라고 합니다.

도함수 y"의 기하학적 의미에 기초하여, 방정식 (5.1)은 변수 t, y 평면의 각 점 (t, y)에서 각도의 탄젠트 값 f(t, y)를 지정한다는 점에 유의하세요. 이 점을 통과하는 해의 그래프에 대한 접선의 기울기(0t 축에 대한) k=tga=f(t,y)는 이제 각 점에서 호출됩니다(그림 5.1). (t,y) 특정 벡터를 사용하여 값 f(t,y)에 의해 결정된 접선의 방향을 지정합니다. ) 그런 다음 소위 방향 필드를 얻습니다(그림 5.2, a). 기하학적으로 미분 방정식을 통합하는 작업은 각 점에서 주어진 접선 방향(그림 5.2, b)을 갖는 적분 곡선을 찾아 미분 방정식(5.1)의 솔루션 계열에서 하나의 특정 솔루션을 선택하고 다음을 설정하는 것입니다. 초기 조건

y(t 0)=y 0 (5.2)

초기 조건을 사용하는 기하학적 해석은 적분 곡선군에서 고정점(t 0, y 0)을 통과하는 곡선을 선택하는 것입니다.

t>t 0에 대해 초기 조건(5.2)을 만족하는 미분 방정식(5.1)에 대한 해 y(t)를 찾는 문제를 코시 문제라고 합니다. 어떤 경우에는 모든 t>t 0에 대한 해의 동작이 흥미롭습니다. 그러나 유한 세그먼트에 대한 솔루션을 결정하는 것으로 제한되는 경우가 더 많습니다.

일반 시스템의 통합

일반적인 DE 시스템을 통합하는 주요 방법 중 하나는 시스템을 하나의 고차 DE로 축소하는 방법입니다. (역 문제, 즉 리모콘에서 시스템으로의 전환은 위에서 예를 사용하여 고려되었습니다.) 이 방법의 기술은 다음 고려사항을 기반으로 합니다.

정상적인 시스템(6.1)을 제시해보자. x에 관해 모든 방정식(예: 첫 번째 방정식)을 미분해 보겠습니다.

이 평등에 파생 상품의 값을 대입하면

시스템 (6.1)에서 우리는 아니면 간략하게,

결과 동등성을 다시 미분하고 파생 상품의 값을 대체합니다.

시스템 (6.1)에서 우리는

시스템(6.3)의 첫 번째(n-1) 방정식에서 함수 y 2, y 3, ..., yn을 x로 표현하고, 함수 y 1 및 그 파생어 y" 1, y" 1,을 표현합니다. .., y 1 (n -1) .

우리는 다음을 얻습니다:

발견된 y 2, y 3,..., y n 값을 시스템의 마지막 방정식(6.3)에 대입합니다. 원하는 함수에 대해 1차 DE를 구해 보겠습니다.

이를 (n-1)번 미분하고 도함수 값을 대입한다

시스템 (6.4)의 방정식에서 함수 y 2, y 3,..., y n을 찾습니다.

예제 6.1. 연립방정식 풀기

해결 방법: 첫 번째 방정식을 미분해 봅시다: y"=4y"-3z". z"=2y-3z를 결과 등식으로 대체합니다: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y= 9z.

방정식 시스템을 만들어 보겠습니다.

시스템의 첫 번째 방정식에서 z를 통해 y 및 y"를 표현합니다.

z 값을 마지막 시스템의 두 번째 방정식으로 대체합니다.

즉, y""-y"-6y=0. 우리는 2차 LOD 하나를 받았습니다. 이를 해결합니다: k 2 -k-6=0, k 1 =-2, k 2 =3 및 - 일반 솔루션

방정식

함수 z를 찾으세요. 우리는 y의 값을 y와 y를 통해 z라는 표현식으로 대체합니다(공식(6.5)). 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 이 방정식 시스템의 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

논평. 방정식 시스템 (6.1)은 적분 가능한 조합 방법으로 풀 수 있습니다. 이 방법의 본질은 산술 연산을 통해 주어진 시스템의 방정식, 즉 알려지지 않은 새로운 함수에 대해 쉽게 적분 가능한 방정식으로부터 소위 적분 가능한 조합이 형성된다는 것입니다. 다음 예를 통해 이 방법의 기술을 설명하겠습니다. 예제 6.2. 방정식 시스템을 푼다: 해결 방법: 주어진 방정식 항을 항별로 추가해 봅시다: x"+y"=x+y+2, 또는 (x+y)"=(x+y)+2. x+y=z를 표시해 보겠습니다. 그런 다음 z"=z+2 . 결과 방정식을 해결합니다.

우리는 소위를 얻었습니다

의사결정 시스템시스템의 첫 번째 통합. 여기에서 원하는 기능 중 하나를 다른 기능으로 표현하여 원하는 기능의 수를 하나씩 줄일 수 있습니다. 예를 들어, 그러면 시스템의 첫 번째 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

여기에서 x를 찾았으면(예: x=uv 대체 사용) y도 찾을 수 있습니다.

이 시스템은 또 다른 적분 가능한 조합을 형성하는 것을 "허용"합니다. x - y = p를 놓으면 다음과 같은 결과가 나옵니다.시스템의 두 가지 첫 번째 적분을 갖는 것, 즉 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 선형 연산자, 속성. 벡터의 선형 의존성과 독립성. LDE 시스템의 Wronski 행렬식입니다. 선형 미분 연산자와 그 속성. 간격( 에이 선형 미분 연산자와 그 속성. (비 ) 그 이하도 아니고 비 (N ), 파생 상품을 갖는 함수로 케이 - 선형 미분 연산자와 그 속성. 파생상품:

연산자 사용 에이 선형 미분 연산자와 그 속성. (비 ) 불균일 방정식 (20)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

균질 방정식 (21)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

정리 14.5.2. 에이 선형 미분 연산자와 그 속성. (비 미분 연산자 )은 선형 연산자입니다.문서 파생 상품의 속성에서 직접적으로 따릅니다. 1. 만약 기음 = const, 그러면

2. 추가 조치: 먼저 선형 동차 방정식(25)의 일반 해법이 어떻게 작동하는지 연구한 다음, 불균일 방정식(24)을 연구하고, 그런 다음 이러한 방정식을 푸는 방법을 배웁니다. 구간에 대한 함수의 선형 의존성과 독립성의 개념부터 시작하여 선형 방정식 및 시스템 이론에서 가장 중요한 대상인 Wronsky 행렬식을 정의해 보겠습니다.브론스키의 행렬식. 기능 시스템의 선형 의존성과 독립성.데프. 비 1 (N ), 비 2 (N ), …, 비 선형 미분 연산자와 그 속성. (N 14.5.3.1. 기능 시스템) 라고 한다 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 선형 종속 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 간격으로 ( 비 1 (N ), 비 2 (N ), …, 비 선형 미분 연산자와 그 속성. (N 14.5.3.1. ), 동시에 0이 아닌 상수 계수 세트가 있는 경우 이러한 함수의 선형 조합은 (): for. 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 선형독립 비 1 (N ), 비 2 (N ), …, 비 선형 미분 연산자와 그 속성. (N ) 간격으로 () 라고 한다 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. ). 즉, 기능 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 선형 종속 비 1 (N ),비 2 (N ), …, 비 선형 미분 연산자와 그 속성. (N ) ), 0과 같은 값이 있는 경우 () 라고 한다 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. ) 그들의 사소하지 않은 선형 조합. 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 기능 N , N 2 , N 선형독립 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. ), 사소한 선형 조합만이 (에서 0과 동일하게 동일한 경우) ). 예: 1. 기능 1, 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 3은 임의의 구간에서 선형독립입니다( ). N , N 2 , N 3 , …, N 선형 미분 연산자와 그 속성. 그들의 선형 조합 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. - 차수 다항식 - 위에 있을 수 없음( 선형 미분 연산자와 그 속성. )뿌리가 3개 이상이므로 평등 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. = 0 for는 경우에만 가능합니다. 예제 1은 함수 시스템 1로 쉽게 일반화됩니다. . 이들의 선형 조합(차수의 다항식)은 ( ) 더 케이 뿌리. 3. 함수는 모든 구간에서 선형 독립입니다( (뿌리. 3. 함수는 모든 구간에서 선형 독립입니다( = 1, 2, …, 선형 미분 연산자와 그 속성. ), 만약에 . 실제로, 예를 들어 평등이 한 지점에서 일어난다.

.4. 기능 시스템숫자가 다음과 같은 경우에도 선형 독립입니다. 선형 미분 연산자와 그 속성. 나 비 1 (N ), 비 2 (N ), …, 비 선형 미분 연산자와 그 속성. (N )은 쌍별로 다르지만 이 사실을 직접 증명하는 것은 상당히 번거롭습니다. 위의 예에서 볼 수 있듯이 어떤 경우에는 함수의 선형 종속성 또는 독립성이 간단하게 입증되지만 다른 경우에는 이 증명이 더 복잡합니다. 따라서 함수의 선형 의존성에 대한 질문에 답할 수 있는 간단한 범용 도구가 필요합니다. 그런 도구 -

14.5.3.3 선형 종속 함수 시스템의 Wronskian 정리. 비 1 (N ), 비 2 (N ), …, 비 선형 미분 연산자와 그 속성. (N ) 기능 체계라면) 라고 한다 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 선형 종속 ), 이 시스템의 Wronskian은 이 구간에서 0과 동일합니다.문서 비 1 (N ), 비 2 (N ), …, 비 선형 미분 연산자와 그 속성. (N . 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. 기능의 경우

)은 구간( N ), 그 중 적어도 하나는 0이 아닌 숫자가 있습니다. 선형 미분 연산자와 그 속성. 로 구별해보자 평등 (27) - 1회 및 방정식 시스템 만들기 (N 우리는 이 시스템을 대수 방정식의 균질 선형 시스템으로 간주할 것입니다. 그리고 , (첫 번째 적분을 더하고 빼서) 다음을 쉽게 찾을 수 있습니다. ).

이 시스템의 행렬식은 Wronski 행렬식입니다(26). 이 시스템은 중요하지 않은 솔루션을 가지므로 각 지점에서 행렬식은 0과 같습니다. 그래서,

여

) = 0 at , 즉 (

우리는 이 섹션을 가장 단순한 형태의 미분방정식 시스템을 푸는 데 전념하기로 결정했습니다. d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2(여기서 a 1, b 1, c) 1, a 2, b 2 , c 2 - 일부 실수. 이러한 연립방정식을 푸는 가장 효과적인 방법은 적분법입니다. 또한 주제에 대한 예에 대한 솔루션을 고려할 것입니다.

미분 방정식 시스템에 대한 해는 시스템의 두 방정식을 항등식으로 바꿀 수 있는 함수 x(t)와 y(t)의 쌍입니다. DE 시스템 d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2를 통합하는 방법을 고려해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 미지의 함수 x(t)를 제거하기 위해 시스템의 두 번째 방정식에서 x를 표현해 보겠습니다. d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

2차 방정식을 다음과 같이 미분해보자.

티

그리고 d x d t에 대한 방정식을 풀어보세요:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t 이제 이전 계산 결과를 시스템의 첫 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다. d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

실시예 1

그래서 우리는 미지의 함수 x(t)를 제거하고 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분방정식을 얻었습니다. 이 방정식 y(t)의 해를 구하고 이를 시스템의 두 번째 방정식에 대입해 보겠습니다. 우리는 찾을 것이다

x(티)

. 이것이 방정식 시스템의 해를 완성한다고 가정하겠습니다.

미분방정식 d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3의 해를 구하세요.

이제 시스템의 두 번째 방정식을 미분한 후 d x d t에 대해 이를 풀어보겠습니다. d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

계산 중에 얻은 결과를 원격 제어 시스템의 첫 번째 방정식으로 대체할 수 있습니다.

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

변환의 결과로 우리는 일정한 계수 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식을 얻었습니다. 일반적인 해를 찾으면 다음 함수를 얻습니다. y(티).

특성 방정식 k 2 - 3 k + 2 = 0의 근을 계산하여 해당 LOD y 0의 일반 해를 찾을 수 있습니다.

D = 3 2 - 4 2 = 1k 1 = 3 - 1 2 = 1k 2 = 3 + 1 2 = 2

우리가 얻은 뿌리는 실제적이고 뚜렷합니다. 이와 관련하여 LODE의 일반 해는 y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t 형식을 갖습니다.

이제 선형 불균일 미분 방정식 y ~에 대한 특정 해를 찾아보겠습니다.

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

방정식의 우변은 0차 다항식입니다. 이는 우리가 y ~ = A 형식의 특정 솔루션을 찾는다는 것을 의미합니다. 여기서 A는 결정되지 않은 계수입니다.

등식 d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2로부터 부정 계수를 결정할 수 있습니다.
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

따라서 y ~ = 1 및 y(t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 입니다. 알 수 없는 함수를 하나 발견했습니다.

이제 찾은 함수를 DE 시스템의 두 번째 방정식에 대입하고 다음 방정식을 풀어보겠습니다. 이제 이전 계산 결과를 시스템의 첫 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다.:
d (C1et + C2e2t + 1) dt = x + 2 (C1et + C2e 2t + 1) - 3C1et + 2C2e2t = x + 2C1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

그래서 우리는 두 번째 미지 함수 x(t) = - C 1 · e t + 1을 계산했습니다.

답: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

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방정식.

소개.

수학, 물리학, 기술의 많은 문제에서는 여러 미분방정식을 사용하여 서로 관련된 여러 함수를 결정해야 합니다.

이를 위해서는 일반적으로 동일한 수의 방정식이 필요합니다. 이들 방정식 각각이 미분 방정식, 즉 미지의 함수와 그 도함수를 연결하는 관계의 형태를 갖는다면 그들은 이렇게 말합니다. 미분 방정식 시스템에 대해.

1. 1차 미분 방정식의 정규 시스템. 코시 문제.

정의.연립미분방정식은 미지의 여러 함수와 그 도함수를 포함하는 방정식의 집합이며, 각 방정식은 최소한 하나의 도함수를 포함합니다.

미지의 함수와 그 도함수가 각 방정식에 1차까지만 나타나는 경우 미분 방정식 시스템을 선형이라고 합니다.

선형 시스템이 호출됩니다. 정상, 모든 파생상품에 대해 허용되는 경우

일반 시스템에서 방정식의 우변에는 구하는 함수의 도함수가 포함되지 않습니다.

결정으로미분방정식 시스템은 함수 집합이라고 합니다 https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> 라고 합니다 미분 방정식 시스템의 초기 조건.

초기 조건은 종종 다음 형식으로 작성됩니다.

일반 솔루션(적분 ) 미분 방정식 시스템을 집합이라고 합니다. « 선형 미분 연산자와 그 속성.» 독립변수의 기능 N그리고 « 선형 미분 연산자와 그 속성.» 임의의 상수 파생 상품의 속성에서 직접적으로 따릅니다. 1. 만약1 , 파생 상품의 속성에서 직접적으로 따릅니다. 1. 만약2 , …, Cn:

..……………………..

이는 이 시스템의 모든 방정식을 만족시킵니다.

주어진 초기 조건을 만족하는 시스템의 특정 솔루션을 얻으려면 https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> 주어진 값을 사용합니다. .

정규 미분 방정식 시스템에 대한 코시 문제는 다음과 같이 작성됩니다.

코시 문제에 대한 해결책의 존재 정리와 독창성.

일반 미분 방정식 시스템(1)의 경우 해의 존재 및 고유성에 대한 Cauchy의 정리는 다음과 같이 공식화됩니다.

정리.시스템 (1)의 방정식의 우변, 즉 함수 , (뿌리. 3. 함수는 모든 구간에서 선형 독립입니다(=1,2,…, 선형 미분 연산자와 그 속성.) 일부 도메인의 모든 변수에서 연속 디그리고 그 안에 지역에 속하는 연속 부분 파생물 https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24">이 있습니다. 디, 시스템에 대한 고유한 솔루션이 있습니다(1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. 제거를 통해 정상적인 시스템을 해결합니다.

일반적인 미분방정식을 풀기 위해서는 미지수를 제거하는 방법이나 코시(Cauchy) 방법이 사용됩니다.

정상적인 시스템을 제공하자

차별화 기준 엑스시스템의 첫 번째 방정식

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> 방정식 (1) 시스템의 표현은 다음과 같습니다.

우리는 결과 방정식을 미분하고 이전 방정식과 유사하게 진행하여 다음을 찾습니다.

그래서 우리는 시스템을 얻었습니다.

(2)

처음부터 n-1우리는 방정식을 정의합니다 비2 , 비3 , … , 인 , 를 통해 표현한다

그리고

(3)

이 표현식을 마지막 방정식 (2)에 대체하면 방정식을 얻습니다. n번째결정하는 순서 비1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

마지막 표현 구별하기 n-1일단 파생상품을 찾아보자

의 기능으로 . 이러한 함수를 방정식 (4)로 대체하면 다음과 같이 결정됩니다. 비2 , 비3 , … , 인 .

따라서 우리는 시스템 (1)에 대한 일반적인 솔루션을 얻었습니다.

(6)

초기 조건을 만족하는 시스템 (1)의 특정 해를 찾으려면

방정식 (6)에서 임의 상수의 해당 값을 찾는 것이 필요합니다 C1, C2, …, C선형 미분 연산자와 그 속성. .

예.

연립방정식의 일반해를 구합니다.

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

새로운 알려지지 않은 기능을 위해.

결론.

하나의 함수로는 설명하기에 충분하지 않은 프로세스를 연구할 때 미분 방정식 시스템을 접하게 됩니다. 예를 들어, 벡터 필드 라인을 찾으려면 미분 방정식 시스템을 풀어야 합니다. 곡선 운동의 동역학 문제를 해결하면 알 수 없는 함수가 좌표축의 이동 점 투영이고 독립 변수가 시간인 세 가지 미분 방정식 시스템이 생성됩니다. 나중에 전자기 결합의 두 전기 회로에 대한 전기 공학 문제를 해결하려면 두 개의 미분 방정식 시스템을 풀어야 한다는 것을 배우게 됩니다. 그러한 예의 수는 쉽게 늘어날 수 있습니다.

기본 개념 및 정의 점의 역학에 대한 가장 간단한 문제는 미분 방정식 시스템으로 이어집니다. 재료 점에 작용하는 힘이 제공됩니다. 운동 법칙을 찾습니다. 즉, 시간에 따른 이동점 좌표의 의존성을 표현하는 함수 x = x(t), y = y(t), z = z(t)를 찾습니다. 이 경우에 얻어지는 시스템은 일반적으로 다음과 같은 형식을 갖습니다. 여기서 x, y, z는 이동점의 좌표이고, t는 시간이며, f, g, h는 인수의 알려진 함수입니다. 유형 (1)의 시스템을 표준이라고 합니다. 인수 t의 미지 함수 m개를 갖는 m개 미분 방정식 시스템의 일반적인 경우를 살펴보면, 우리는 고차 도함수에 대해 해결된 형식의 시스템을 정식이라고 부릅니다. 원하는 함수의 도함수에 대해 해결된 1차 방정식 시스템을 정규라고 합니다. 새로운 보조 함수를 사용하면 일반 정준 시스템(2)은 방정식으로 구성된 등가 정규 시스템으로 대체될 수 있습니다. 그러므로 일반적인 시스템만을 고려하는 것으로 충분하다. 예를 들어, 한 방정식은 표준 시스템의 특별한 경우입니다. ^ = y를 넣으면 원래 방정식을 통해 우리는 결과적으로 정규 방정식 시스템을 얻습니다. 미분 방정식 시스템 적분 방법 제거 방법 적분 조합 방법 선형 미분 방정식 시스템 기본 행렬 변형 방법 상수 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 시스템 원래 방정식과 동등한 행렬 방법. 정의 1. 인수 t를 변경하는 구간 (a, b)에서 정규 시스템 (3)에 대한 해는 시스템 (3)의 방정식을 t에 대한 항등식으로 바꾸는 구간에서 미분 가능한 n 함수 시스템입니다. 구간 (a, b)에서 시스템 (3)에 대한 코시 문제는 다음과 같이 공식화됩니다. t =에서 정리 1의 초기 조건(해의 존재 및 고유성)을 충족하는 시스템의 해(4)를 찾습니다. 의 작업에 따라) 일반적인 미분 방정식 시스템을 갖고 함수를 일부 (n + 1) - 변수 t, X\, x2, ...의 변화에 ​​대한 차원 영역 D에서 정의하겠습니다. xn 함수 ft가 인수 집합에서 연속이고 변수 X\, x2, ..., xn에 대해 제한된 부분 도함수를 갖는 이웃 ft가 있는 경우 - A0의 간격이 있습니다. 초기 조건을 만족하는 정규 시스템(3)의 고유한 해가 있는 t를 변경합니다. 정의 2. 임의 상수의 tun에 의존하는 n 함수 시스템을 일부에서는 정규 시스템(3)의 일반 해라고 합니다. 해 코시 문제의 존재 및 고유성 영역 Π 1) 허용 가능한 값에 대해 함수 시스템(6)이 방정식 (3)을 항등식으로 바꾸고, 2) 도메인 Π에서 함수 (6)가 코시 문제를 해결하는 경우 . 상수의 특정 값에서 일반으로부터 얻은 해를 특정 해라고 합니다. 명확성을 위해 두 방정식의 일반 시스템으로 돌아가서 값 t> X\, x2를 좌표계 Otx\x2를 참조하는 3차원 공간의 한 점의 직사각형 직교 좌표로 간주하겠습니다. t에서 값을 취하는 시스템(7)의 해는 점을 통과하는 특정 선을 공간에서 정의합니다.) - 이 선을 정규 시스템(7)의 적분 곡선이라고 합니다. 시스템 (7)에 대한 Koshi 문제는 다음과 같은 기하학적 공식을 받습니다: 변수 t> X\, x2의 공간에서 주어진 점 Mo(to, x1, x2)를 통과하는 적분 곡선을 찾습니다(그림 1). 정리 1은 그러한 곡선의 존재와 고유성을 확립합니다. 정규 시스템(7)과 그 해는 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 독립 변수 t를 매개변수로 간주하고 시스템의 해를 x\Ox2 평면에 있는 곡선의 매개변수 방정식으로 간주합니다. 이 변수 X\X2 평면을 위상 평면이라고 합니다. 위상 평면에서, t = t0에서 초기 값 x°(, x2를 취하는 시스템 (7)의 0은 점을 통과하는 곡선 AB로 표시됩니다.) 이 곡선을 궤적이라고 합니다. 시스템의 궤적(7)은 위상 평면에 대한 투영 적분 곡선입니다. 적분 곡선에서 위상 궤적은 고유하게 결정되지만 그 반대는 아닙니다. § 2. 시스템 통합 방법 미분 방정식 2.1 제거 방법 적분 방법 중 하나는 최고 도함수에 대해 해결하는 방법입니다. 다음과 같은 n 방정식의 정규 시스템을 사용하여 새로운 함수 방정식을 도입합니다. 이 n차 방정식을 대체합니다. 는 일반 시스템(1)과 동일합니다. 이는 미분 방정식 시스템을 적분하는 제거 방법의 기초입니다. 이렇게 끝났습니다. t에 관해 방정식 (2)의 첫 번째 방정식을 미분해보자. 우리는 오른쪽에 제품을 교체합니다. 즉, 방정식 (3)은 다시 t에 대해 미분됩니다. 시스템 (2)를 고려하여 이 프로세스를 얻거나 계속하면 행렬식(함수 시스템의 야코비안은 고려 중인 값에 대해 0이 아니라고 가정합니다. 그런 다음 시스템의 첫 번째 방정식으로 구성된 방정식 시스템( 2) 방정식은 미지수에 대해 풀 수 있습니다. 방정식에 발견된 표현식을 도입하면 n차 방정식 하나를 얻을 수 있습니다. 구성 방법 자체에서 시스템에 대한 해법이 있습니다. (2), 그러면 함수 X\(t)는 방정식 (5)의 해가 될 것입니다. 반대로 방정식 (5)의 해를 구해보자. 이 해를 t에 대해 미분하여, 발견된 값을 알려진 함수로 계산하고 대체합니다. 가정에 따라 이 시스템은 t의 함수로 xn에 대해 해석될 수 있습니다. 이러한 방식으로 구성된 함수 시스템은 미분 방정식 시스템(2)에 대한 해를 구성한다는 것을 알 수 있습니다. 예. 시스템을 적분하는 것이 필요합니다. 시스템의 첫 번째 방정식을 미분하면 두 번째 방정식을 사용하여 하나의 미지 함수를 갖는 상수 계수를 갖는 2차 선형 미분 방정식을 얻을 수 있습니다. 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 시스템의 첫 번째 방정식을 통해 우리는 함수를 찾습니다. 발견된 함수 x(t), y(t)는 쉽게 확인할 수 있듯이 C| C2는 주어진 시스템을 만족합니다. 함수는 시스템(6)의 적분 곡선이 공통 축 x = y = 0을 갖는 단계를 갖는 나선형 선이며 적분 곡선이기도 함을 알 수 있는 형태로 표현될 수 있습니다(그림 3). ). 공식 (7)에서 매개 변수를 제거하면 주어진 시스템의 위상 궤적이 좌표 원점에 중심이 있는 원이 되도록 방정식을 얻습니다. A = 0일 때 위상 궤적은 평면에 투영됩니다. 시스템의 휴지점(rest point)이라고 불리는 한 지점. " 그러면 우리는 원래 시스템과 동등한 n차 방정식을 얻지 못할 것입니다. 다음은 간단한 예입니다. 연립방정식은 x\ 또는 x2에 대한 동등한 2차 방정식으로 대체될 수 없습니다. 이 시스템은 한 쌍의 1차 방정식으로 구성되며, 각각은 독립적으로 적분되어 적분 조합 방법을 제공합니다. 일반 미분 방정식 시스템 dXi의 적분은 때때로 적분 조합 방법으로 수행됩니다. 적분 가능한 조합은 방정식 (8)의 결과이지만 이미 쉽게 적분 가능한 미분 방정식입니다. 예. 시스템 통합 미분 방정식 시스템 적분 방법 제거 방법 적분 결합 방법 선형 미분 방정식 시스템 기본 행렬 상수 변이 방법 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 시스템 행렬 방법 4 주어진 방정식을 항별로 추가함으로써 우리는 하나의 적분 가능한 조합 찾기: 시스템의 첫 번째 방정식에서 항별로 항을 빼면 두 번째 적분 가능한 조합을 얻습니다. 여기에서 시스템의 일반 해를 쉽게 결정할 수 있는 두 개의 유한 방정식을 찾았습니다. 하나의 적분 가능한 조합으로 가능합니다. 독립변수 t와 미지의 함수를 연결하는 하나의 방정식을 구합니다. 이러한 유한 방정식을 시스템의 첫 번째 적분(8)이라고 합니다. 그렇지 않은 경우: 미분 방정식 시스템(8)의 첫 번째 적분은 동일하게 일정하지 않지만 이 시스템의 모든 적분 곡선에서 일정한 값을 유지하는 미분 가능한 함수입니다. 시스템 (8)의 n번째 적분을 구하고 모두 독립인 경우, 즉 함수 시스템의 야코비안은 0이 아닌 경우: 미지의 함수 및 해당 도함수에 대해 선형인 경우 미분 방정식 시스템을 선형이라고 합니다. 방정식에 포함됩니다. 정규 형식으로 작성된 n개의 1차 선형 방정식 시스템은 행렬 형식으로 정리 2의 형식을 갖습니다. 모든 함수가 구간에서 연속인 경우 각 점의 충분히 작은 이웃에 있습니다. xn) , 여기서) 존재 정리의 조건이 충족되고 Causchia 문제에 대한 해법의 고유성이 있으므로 각 지점을 통해 시스템 (1)의 고유한 적분 곡선이 전달됩니다. 정의. 요소가 있는 행렬인 선형 동차 시스템을 생각해 보겠습니다. 구간에 대해 선형 독립인 선형 동차 시스템(6)에 대한 n 해의 시스템을 기본이라고 합니다. 정리 6. 구간 ab에서 연속적인 계수 a-ij(t)를 갖는 선형 동차 시스템(6)에 대한 구간 기반 해 시스템의 Wronski 행렬식 W(t)는 구간(a)의 모든 지점에서 0이 아닙니다. , 6). 정리 7 (선형 균질 시스템의 일반 해 구조에 관한) 구간에 연속적인 계수를 갖는 선형 동차 시스템 분야의 일반적인 해는 구간 a에 대해 선형 독립인 시스템(6)의 n 해(임의의 상수)의 선형 조합입니다. 마지막 관계를 통합하여 우리는 이러한 값을 대체하여 시스템 (2)에 대한 특정 솔루션을 찾습니다. (여기서 기호는 함수 §4에 대한 역도함수 중 하나로 이해됩니다. 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 시스템 선형을 고려하십시오. 모든 계수가 일정한 미분 방정식 시스템 일반적으로 이러한 시스템은 더 높은 차수의 하나의 방정식으로 축소되어 통합되며 이 방정식은 시스템을 상수 계수와 통합하는 또 다른 효과적인 방법입니다. 상수 계수는 미분 방정식의 선형 동차 시스템을 통합하는 오일러 방법도 고려합니다. 오일러 방법 상수 시스템이 있는 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다. (3) n개의 미지수를 갖는 선형 균질 대수 방정식의 행렬식은 0과 같아야 하는 것이 필요하고 충분합니다. 방정식 (4)를 특성이라고 합니다. 왼쪽에는 n차의 A에 대한 다항식이 있습니다. 이 방정식에서 우리는 시스템 (3)이 특성 방정식 (4)의 모든 근을 갖는 A의 값을 결정합니다. 그런 다음 이를 차례로 시스템( 3)에 대체하여 이 시스템의 해당 중요하지 않은 솔루션을 찾고 따라서 원래 미분 방정식 시스템(1)에 대한 n 솔루션을 두 번째 인덱스가 다음과 같은 형식으로 찾습니다. 는 해의 번호를 나타내고 첫 번째는 미지의 함수의 번호를 나타냅니다. 이러한 방식으로 구성된 선형 동차 시스템(1)의 n개 부분 해는 검증할 수 있듯이 이 시스템에 대한 해의 기본 시스템을 형성합니다. 결과적으로 균질 미분 방정식 시스템 (1)의 일반 해법은 임의 상수의 형식을 갖습니다. 특성방정식의 근이 여러 개인 경우는 고려하지 않습니다. M 우리는 특성 방정식 형태의 해를 찾고 있습니다. 01.02를 결정하기 위한 시스템(3)은 다음과 같습니다. 우리가 얻는 위치를 대입하면 결과적으로 이 시스템의 일반 해를 찾는다고 가정합니다. 미분 방정식 시스템 적분 방법 제거 방법 적분 결합 방법 선형 미분 방정식 시스템 기본 행렬 변동 상수 방법 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 시스템 행렬 방법 동차 시스템을 적분하기 위한 행렬 방법도 제시하겠습니다(1). 시스템 (1)을 상수 실수 요소 a, j를 갖는 행렬로 작성해 보겠습니다. 선형대수학의 몇 가지 개념을 떠올려 보겠습니다. 숫자 A가 고유벡터 g에 대응하는 행렬 A의 고유값이고 I가 단위 행렬인 특성 방정식의 근이 되는 경우 벡터 g ФО는 행렬 A의 고유벡터라고 합니다. 행렬 A의 모든 고유값 A가 서로 다르다고 가정하겠습니다. 이 경우 고유벡터는 선형 독립이며 행렬 A를 대각선 형태로 줄이는 n x n 행렬 T가 있습니다. 즉, 행렬 T의 열이 고유벡터의 좌표가 되도록 하겠습니다. 다음 개념을 소개하겠습니다. B(ξ)를 요소 6,(0)이 집합에 정의된 인수 t의 함수인 n × n-행렬이라고 가정합니다. 행렬 B(f)는 모든 요소가 6,j(인 경우 Π에 대해 연속이라고 합니다. f)는 Q에서 연속입니다. 행렬 B(*)는 이 행렬의 모든 요소가 Q에서 미분 가능하면 행렬 B(*)는 Π에서 미분 가능하다고 합니다. 이 경우 ^p-행렬 B(*)의 도함수는 행렬입니다. 그 요소는 행렬 B(*)의 해당 요소의 파생물입니다. 행렬 대수학의 규칙을 고려하면 특히 B가 상수 행렬인 경우 공식의 유효성을 직접 확인할 수 있습니다. ^는 널 행렬이므로 정리 9. 행렬 A의 고유값이 다른 경우 시스템 (7)의 일반 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 행렬의 고유 벡터 열은 임의의 상수입니다. T는 행렬 A를 대각선 형태로 축소하는 행렬인 공식에 따라 새로운 미지의 벡터 열을 도입합니다. 이를 대체하면 왼쪽의 마지막 관계의 양변에 T 1을 곱하고 T를 고려하여 시스템을 얻습니다. 1 AT = А, 우리는 시스템에 도달합니다. 우리는 쉽게 통합할 수 있는 n개의 독립 방정식 시스템을 얻었습니다. (12) 여기에 임의의 상수가 있습니다. 단위 n차원 열 벡터를 도입함으로써 해는 행렬 T의 열이 행렬의 고유벡터이므로 행렬 A의 고유벡터라는 형식으로 표현될 수 있습니다. 따라서 (13)을 (11)에 대입하면 다음과 같습니다. 공식 (10)을 얻습니다. 따라서 행렬 미분 방정식 시스템 (7)이 다른 고유값을 갖는 경우 이 시스템의 일반 솔루션을 얻으려면 다음을 수행하십시오. 1) 행렬의 고유값을 대수 방정식의 근으로 찾습니다. 2) 모든 고유벡터를 찾습니다. 3) 식 (10 )을 사용하여 연립미분방정식 (7)의 일반해를 작성합니다. 예제 2. 시스템 풀기 매트릭스 방법 4 시스템의 매트릭스 A는 다음과 같은 형태를 갖습니다. 1) 특성 방정식을 구성합니다. 특성 방정식의 근입니다. 2) 고유벡터 찾기 A = 4에 대해 = 0|2인 시스템을 얻습니다. 따라서 A = 1에 대해서도 유사하게 I를 찾습니다. 3) 공식 (10)을 사용하여 미분방정식 시스템에 대한 일반 해를 구합니다. 특성 방정식의 근은 실수일 수도 있고 복소수일 수도 있습니다. 가정에 따라 시스템 (7)의 계수 y는 실수이므로 특성 방정식은 실수 계수를 갖게 됩니다. 따라서 복소수 근 A와 함께 A에 대한 복소수 켤레인 근 \*도 갖게 됩니다. g가 A의 고유값에 해당하는 고유벡터이면 A*도 다음과 같은 고유값이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 고유벡터 g*는 g와 복소공액에 해당합니다.