როგორ გავამრავლოთ ორი სხვადასხვა სიმძლავრის მქონე რიცხვი. ძალების და ფესვების ფორმულები. განაგრძო ტიპიური პრობლემების გადაჭრა

ცხადია, სიმძლავრის მქონე რიცხვები შეიძლება დაემატოს სხვა რაოდენობებს , სათითაოდ მათი ნიშნების მიყოლებით.

ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4 .

შანსები იგივე ცვლადების იგივე ძალაშეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს.

ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.

ასევე აშკარაა, რომ თუ ავიღებთ ორ კვადრატს a, ან სამ კვადრატს a, ან ხუთ კვადრატს a.

მაგრამ გრადუსები სხვადასხვა ცვლადებიდა სხვადასხვა ხარისხით იდენტური ცვლადები, უნდა დაემატოს მათი ნიშნების დამატებით.

ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.

აშკარაა, რომ a-ს კვადრატი და a-ს კუბი არის არა ორჯერ a-ის კვადრატი, არამედ ორჯერ მეტი a-ის კუბი.

a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .

გამოკლებაუფლებამოსილებები ხორციელდება ისევე, როგორც დამატება, გარდა იმისა, რომ ქვეტრაჰენდის ნიშნები შესაბამისად უნდა შეიცვალოს.

ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6

სიმძლავრის გამრავლება

სიმძლავრეების მქონე რიცხვები შეიძლება გამრავლდეს, როგორც სხვა სიდიდეები, ჩაწერით ერთმანეთის მიყოლებით, მათ შორის გამრავლების ნიშნით ან მის გარეშე.

ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.

ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ბოლო მაგალითში შედეგი შეიძლება დალაგდეს იგივე ცვლადების დამატებით.
გამოთქმა მიიღებს ფორმას: a 5 b 5 y 3 .

რამდენიმე რიცხვის (ცვლადის) ძალებთან შედარებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ რომელიმე მათგანი მრავლდება, მაშინ შედეგი არის რიცხვი (ცვლადი), რომლის სიმძლავრე ტოლია. ჯამიტერმინების ხარისხი.

ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.

ასე რომ, a n .a m = a m+n.

a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის ხარისხი;

და a m , მიიღება კოეფიციენტად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;

Ამიტომაც, იგივე ფუძეების მქონე სიმძლავრეები შეიძლება გამრავლდეს მაჩვენებლების დამატებით.

ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გავამრავლოთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია - უარყოფითი.

1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ

ორი რიცხვის ჯამის ან სხვაობის გამრავლების შედეგი ჯამის ტოლიაან მათი კვადრატების განსხვავება.

თუ ორი რიცხვის ჯამი და სხვაობა გაიზარდა კვადრატი, შედეგი იქნება ამ რიცხვების ჯამის ან სხვაობის ტოლი მეოთხეხარისხი.

ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

უფლებამოსილებების დაყოფა

სიმძლავრის რიცხვები შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვების მსგავსად გამყოფის გამოკლებით ან წილადის სახით.

ასე რომ, 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.

ან:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ის დაწერა 3-ზე გაყოფილი $\frac(a^5)(a^3)$-ს ჰგავს. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მათი მაჩვენებლები გამოკლებულია..

ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. ანუ $\frac(yyyy)(yy) = y$.

და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

ძალთა გამრავლებისა და გაყოფის კარგად დაუფლება აუცილებელია, ვინაიდან ასეთი ოპერაციები ძალიან ფართოდ გამოიყენება ალგებრაში.

მაგალითების ამოხსნის მაგალითები წილადებით, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac(5a^4)(3a^2)$-ში პასუხი: $\frac(5a^2)(3)$.

2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac(6x^6)(3x^5)$-ში. პასუხი: $\frac(2x)(1)$ ან 2x.

3. შეამცირეთ a 2 / a 3 და a -3 / a -4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
a 2 .a -4 არის -2 პირველი მრიცხველი.
a 3 .a -3 არის 0 = 1, მეორე მრიცხველი.
a 3 .a -4 არის -1, საერთო მრიცხველი.
გამარტივების შემდეგ: a -2 /a -1 და 1/a -1 .

4. შეამცირეთ 2a 4 /5a 3 და 2 /a 4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
პასუხი: 2a 3 / 5a 7 და 5a 5 / 5a 7 ან 2a 3 / 5a 2 და 5/5a 2.

5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.

6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.

8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.

9. გაყავით (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.

თუ თქვენ გჭირდებათ კონკრეტული რიცხვის ძაბვაზე აწევა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ . ახლა უფრო დეტალურად განვიხილავთ გრადუსების თვისებები.

ექსპონენციალური რიცხვებიხსნის დიდ შესაძლებლობებს, ისინი საშუალებას გვაძლევს გადავიყვანოთ გამრავლება შეკრებად და შეკრება ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე გამრავლება.

მაგალითად, ჩვენ უნდა გავამრავლოთ 16 64-ზე. ამ ორი რიცხვის გამრავლების ნამრავლი არის 1024. მაგრამ 16 არის 4x4, ხოლო 64 არის 4x4x4. ანუ 16-ჯერ 64=4x4x4x4x4 რაც ასევე არის 1024.

რიცხვი 16 ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2x2x2x2, ხოლო 64 როგორც 2x2x2x2x2x2 და თუ გავამრავლებთ, ისევ მივიღებთ 1024-ს.

ახლა გამოვიყენოთ წესი. 16=4 2 , ან 2 4 , 64=4 3 , ან 2 6 , ხოლო 1024=6 4 =4 5 , ან 2 10 .

მაშასადამე, ჩვენი პრობლემა შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს: 4 2 x4 3 =4 5 ან 2 4 x2 6 =2 10 და ყოველ ჯერზე მივიღებთ 1024-ს.

ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ მრავალი მსგავსი მაგალითი და დავინახოთ, რომ რიცხვების გამრავლება ხარისხებით მცირდება ექსპონენტების დამატება, ან ექსპონენტი, რა თქმა უნდა, იმ პირობით, რომ ფაქტორების საფუძვლები თანაბარია.

ამრიგად, შეგვიძლია, გამრავლების გარეშე, დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

ეს წესი ასევე მართალია რიცხვების ხარისხებით გაყოფისას, მაგრამ ამ შემთხვევაში ე გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს. ამრიგად, 2 5:2 3 =2 2, რომელიც ჩვეულებრივ რიცხვებში უდრის 32:8=4, ანუ 2 2. მოდით შევაჯამოთ:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, სადაც m და n მთელი რიცხვებია.

ერთი შეხედვით, შეიძლება ასე ჩანდეს რიცხვების გამრავლება და გაყოფა ხარისხებითარ არის ძალიან მოსახერხებელი, რადგან ჯერ უნდა წარმოადგინოთ რიცხვი ექსპონენციალური ფორმით. 8 და 16 რიცხვების ამ ფორმით წარმოდგენა არ არის რთული, ანუ 2 3 და 2 4, მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს 7 და 17 ნომრებით? ან რა უნდა გავაკეთოთ იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ექსპონენციალური ფორმით, მაგრამ რიცხვების ექსპონენციური გამოხატვის საფუძვლები ძალიან განსხვავებულია. მაგალითად, 8×9 არის 2 3 x 3 2, ამ შემთხვევაში ჩვენ ვერ შევაჯამებთ მაჩვენებლებს. არც 2 5 და არც 3 5 არის პასუხი და არც პასუხი ორს შორისაა.

მაშინ საერთოდ ღირს ამ მეთოდით შეწუხება? ნამდვილად ღირს. ის იძლევა უზარმაზარ უპირატესობებს, განსაკუთრებით რთული და შრომატევადი გამოთვლებისთვის.

წინა სტატიაში ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა არის მონომები. ამ მასალაში გავაანალიზებთ, თუ როგორ უნდა გადავჭრათ მაგალითები და პრობლემები, რომლებშიც ისინი გამოიყენება. აქ განვიხილავთ ისეთ მოქმედებებს, როგორიცაა გამოკლება, შეკრება, გამრავლება, მონომების გაყოფა და მათი ხარისხზე აყვანა. ბუნებრივი მაჩვენებელი. ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ არის განსაზღვრული ასეთი ოპერაციები, მივუთითებთ მათი განხორციელების ძირითად წესებს და რა უნდა იყოს შედეგი. ყველა თეორიული დებულება, ჩვეულებისამებრ, ილუსტრირებული იქნება ამოცანების მაგალითებით გადაწყვეტილებების აღწერილობით.

ყველაზე მოსახერხებელია მონომების სტანდარტული აღნიშვნით მუშაობა, ამიტომ წარმოგიდგენთ ყველა გამონათქვამს, რომელიც გამოყენებული იქნება სტატიაში სტანდარტული ფორმით. თუ ისინი თავდაპირველად განსხვავებულად არის დაყენებული, რეკომენდირებულია პირველ რიგში მიიყვანოთ ისინი ზოგადად მიღებულ ფორმაში.

მონომების შეკრებისა და გამოკლების წესები

უმარტივესი მოქმედებები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მონომებით, არის გამოკლება და შეკრება. ზოგად შემთხვევაში, ამ მოქმედებების შედეგი იქნება პოლინომი (მონომილი შესაძლებელია ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევაში).

როდესაც ვამატებთ ან ვაკლებთ მონომებს, ჯერ ვწერთ შესაბამის ჯამს და განსხვავებას ზოგადად მიღებული ფორმით, რის შემდეგაც ვამარტივებთ მიღებულ გამოსახულებას. თუ არის მსგავსი ტერმინები, უნდა იყოს მითითებული, ფრჩხილები უნდა გაიხსნას. ავხსნათ მაგალითით.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:დაამატეთ მონომები − 3 · x და 2, 72 · x 3 · y 5 · z.

გამოსავალი

ჩამოვწეროთ ორიგინალური გამონათქვამების ჯამი. დაამატე ფრჩხილები და მათ შორის დადეთ პლუს ნიშანი. ჩვენ მივიღებთ შემდეგს:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

როდესაც ფრჩხილებს გავაფართოვებთ, მივიღებთ - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. ეს არის მრავალწევრი, დაწერილი სტანდარტული ფორმით, რომელიც იქნება ამ მონომების დამატების შედეგი.

პასუხი:(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z.

თუ გვაქვს სამი, ოთხი ან მეტი ტერმინი მოცემული, ამ მოქმედებას ანალოგიურად ვასრულებთ.

მაგალითი 2

მდგომარეობა:გადაფურცლეთ სწორი შეკვეთამითითებული მოქმედებები მრავალწევრებით

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

გამოსავალი

დავიწყოთ ფრჩხილების გახსნით.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

ჩვენ ვხედავთ, რომ მიღებული გამოხატულება შეიძლება გამარტივდეს მსგავსი ტერმინების შემცირებით:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

გვაქვს მრავალწევრი, რომელიც იქნება ამ მოქმედების შედეგი.

პასუხი: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

პრინციპში შეგვიძლია ორი მონომის შეკრება და გამოკლება, გარკვეული შეზღუდვებით, ისე, რომ მივიღოთ მონომი. ამისათვის საჭიროა დაიცვან გარკვეული პირობები ტერმინებთან და გამოკლებულ მონომებთან დაკავშირებით. ჩვენ აღვწერთ, თუ როგორ კეთდება ეს ცალკე სტატიაში.

მონომების გამრავლების წესები

გამრავლების მოქმედება არ აწესებს რაიმე შეზღუდვას მულტიპლიკატორებზე. გასამრავლებელი მონომები არ უნდა აკმაყოფილებდეს რაიმე დამატებით პირობებს, რათა შედეგი იყოს მონომი.

მონომების გამრავლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები:

1. ჩაწერეთ ნაჭერი სწორად.
2. გააფართოვეთ ფრჩხილები შედეგად გამოსახულებაში.
3. დაჯგუფება, თუ შესაძლებელია, ფაქტორები იგივე ცვლადებით და რიცხვითი ფაქტორები ცალკე.
4. შეასრულეთ საჭირო მოქმედებები რიცხვებით და გამოიყენეთ იგივე საფუძვლებით ძალაუფლების გამრავლების თვისება დარჩენილ ფაქტორებზე.

ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში.

მაგალითი 3

მდგომარეობა:გავამრავლოთ მონომები 2 · x 4 · y · z და - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

გამოსავალი

დავიწყოთ ნაწარმოების შემადგენლობით.

ვხსნით მასში ფრჩხილებს და ვიღებთ შემდეგს:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

ჩვენ მხოლოდ უნდა გავამრავლოთ რიცხვები პირველ ფრჩხილებში და გამოვიყენოთ ძალაუფლების თვისება მეორეზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

პასუხი: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

თუ ჩვენ გვაქვს სამი ან მეტი პოლინომი პირობით, ვამრავლებთ მათ ზუსტად იგივე ალგორითმის გამოყენებით. ცალკე მასალაში უფრო დეტალურად განვიხილავთ მონომების გამრავლების საკითხს.

მონომის ძალაუფლებაზე აყვანის წესები

ჩვენ ვიცით, რომ გარკვეული რაოდენობის იდენტური ფაქტორების ნამრავლს ეწოდება ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით. მათი რიცხვი მითითებულია ინდიკატორის ნომრით. ამ განსაზღვრების მიხედვით, მონომის ხარისხზე აყვანა უდრის იდენტური მონომების მითითებული რაოდენობის გამრავლებას. ვნახოთ, როგორ კეთდება.

მაგალითი 4

მდგომარეობა:აწიეთ მონომი − 2 · a · b 4 3-ის ხარისხზე.

გამოსავალი

ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ სიმძლავრე 3 მონომის გამრავლებით − 2 · a · b 4 . ჩავწეროთ და მივიღოთ სასურველი პასუხი:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

პასუხი:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

მაგრამ რა შეიძლება ითქვას, როდესაც ხარისხს აქვს დიდი მაჩვენებელი? მულტიპლიკატორების დიდი რაოდენობის ჩაწერა მოუხერხებელია. შემდეგ, ასეთი პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ხარისხის თვისებები, კერძოდ, პროდუქტის ხარისხის თვისება და ხარისხის თვისება ხარისხში.

მოდით გადავჭრათ ზემოთ მოყვანილი პრობლემა მითითებული გზით.

მაგალითი 5

მდგომარეობა:აწიეთ − 2 · a · b 4 მესამე ხარისხზე.

გამოსავალი

ხარისხში ხარისხის საკუთრების ცოდნით, შეგვიძლია გადავიდეთ შემდეგი ფორმის გამოხატვაზე:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

ამის შემდეგ ჩვენ ავწევთ სიმძლავრეზე - 2 და ვიყენებთ მაჩვენებლის თვისებას:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

პასუხი:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

ჩვენ ასევე მივუძღვენით ცალკე სტატიას მონომის ძალაუფლებაზე ამაღლებას.

მონომების გაყოფის წესები

ბოლო მოქმედება მონომებთან, რომელსაც ამ მასალაში გავაანალიზებთ, არის მონომის დაყოფა მონომებზე. შედეგად უნდა მივიღოთ რაციონალური (ალგებრული) წილადი (ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მონომის მიღება). მოდით, დაუყოვნებლივ განვმარტოთ, რომ გაყოფა ნულოვანი მონომით არ არის განსაზღვრული, რადგან გაყოფა 0-ზე არ არის განსაზღვრული.

გაყოფის შესასრულებლად უნდა ჩავწეროთ მითითებული მონომები წილადის სახით და შევამციროთ, თუ შესაძლებელია.

მაგალითი 6

მდგომარეობა:გაყავით მონომი − 9 x 4 y 3 z 7 − 6 p 3 t 5 x 2 y 2-ზე.

გამოსავალი

დავიწყოთ მონომების წილადის სახით ჩაწერით.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

ეს ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. ამის შემდეგ მივიღებთ:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

პასუხი:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

ცალკეულ სტატიაში მოცემულია პირობები, რომლებშიც მონომების გაყოფის შედეგად ვიღებთ მონომს.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ადრე უკვე ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა არის რიცხვის ძალა. Მას აქვს გარკვეული თვისებები, გამოსადეგია პრობლემების გადაჭრაში: ჩვენ გავაანალიზებთ მათ და ყველა შესაძლო მაჩვენებელს ამ სტატიაში. ჩვენ ასევე მაგალითებით ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება მათი დამტკიცება და პრაქტიკაში სწორად გამოყენება.

გავიხსენოთ ხარისხის ცნება ბუნებრივი მაჩვენებლით, რომელიც უკვე ჩამოვაყალიბეთ ადრე: ეს არის ნამრავლი n-ე რაოდენობის ფაქტორებისა, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ასევე უნდა გვახსოვდეს, თუ როგორ სწორად გავამრავლოთ რეალური რიცხვები. ეს ყველაფერი დაგვეხმარება ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი თვისებები ხარისხისთვის ბუნებრივი მაჩვენებლით:

განმარტება 1

1. ხარისხის ძირითადი თვისება: a m a n = a m + n

შეიძლება განზოგადდეს: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. კოეფიციენტის თვისება ძლიერებათათვის, რომლებსაც აქვთ იგივე ფუძე: a m: a n = a m − n

3. პროდუქტის ხარისხის თვისება: (a b) n = a n b n

ტოლობა შეიძლება გაფართოვდეს: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

4. ნატურალური ხარისხის თვისება: (a: b) n = a n: b n

5. ჩვენ ვამატებთ სიმძლავრეს სიმძლავრემდე: (a m) n = a m n ,

შეიძლება განზოგადდეს: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k

6. შეადარეთ ხარისხი ნულთან:

• თუ a > 0, მაშინ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის, a n იქნება ნულზე მეტი;
• 0-ის ტოლით, a n ასევე ნულის ტოლი იქნება;
• თვის< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• თვის< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. თანასწორობა a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. უტოლობა a m > a n იქნება ჭეშმარიტი იმ პირობით, რომ m და n ნატურალური რიცხვებია, m მეტია n-ზე და a არის ნულზე მეტი და არანაკლებ ერთი.

შედეგად მივიღეთ რამდენიმე თანასწორობა; თუ აკმაყოფილებთ ზემოთ მითითებულ ყველა პირობას, მაშინ ისინი იდენტური იქნება. თითოეული ტოლობისთვის, მაგალითად, ძირითადი თვისებისთვის, შეგიძლიათ შეცვალოთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილები: a m · a n = a m + n - იგივეა, რაც m + n = a m · a n. ამ ფორმით, ის ხშირად გამოიყენება გამონათქვამების გამარტივებისას.

1. დავიწყოთ ხარისხის ძირითადი თვისებით: ტოლობა a m · a n = a m + n იქნება ჭეშმარიტი ნებისმიერი ბუნებრივი m და n და რეალური a . როგორ დავამტკიცოთ ეს განცხადება?

ძალების ძირითადი განმარტება ბუნებრივი მაჩვენებლებით საშუალებას მოგვცემს გადავიტანოთ თანასწორობა ფაქტორების პროდუქტად. ჩვენ მივიღებთ ასეთ ჩანაწერს:

ეს შეიძლება შემცირდეს (გავიხსენოთ გამრავლების ძირითადი თვისებები). შედეგად მივიღეთ a რიცხვის ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით m + n. ამრიგად, a m + n, რაც ნიშნავს, რომ ხარისხის ძირითადი თვისება დადასტურებულია.

გავაანალიზოთ კონკრეტული მაგალითიამის დამადასტურებელი.

მაგალითი 1

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი სიმძლავრე 2 ფუძით. მათი ბუნებრივი მაჩვენებლები არის 2 და 3, შესაბამისად. მივიღეთ ტოლობა: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 მოდით გამოვთვალოთ მნიშვნელობები ამ ტოლობის სისწორის შესამოწმებლად.

ჩვენ განვახორციელებთ საჭიროებს მათემატიკური ოპერაციები: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 და 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

შედეგად მივიღეთ: 2 2 2 3 = 2 5 . ქონება დადასტურებულია.

გამრავლების თვისებების გამო, თვისების განზოგადება შეგვიძლია სამი და მეტიხარისხები, რომელთა მაჩვენებლები ნატურალური რიცხვებია და რომელთა ფუძეები ერთი და იგივეა. თუ ნატურალური რიცხვების რაოდენობას n 1, n 2 და ა.შ აღვნიშნავთ k ასოთი, მივიღებთ სწორ ტოლობას:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k.

მაგალითი 2

2. შემდეგი, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ შემდეგი თვისება, რომელსაც ეწოდება კოეფიციენტური თვისება და თანდაყოლილია იმავე საფუძვლების ხარისხებში: ეს არის ტოლობა a m: a n = a m − n, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი ბუნებრივი m და n (და m) მეტია n)) და ნებისმიერი არანულოვანი რეალური a .

დასაწყისისთვის, მოდით განვმარტოთ, თუ რას ნიშნავს ფორმულირებაში ნახსენები პირობები. თუ ავიღებთ ნულის ტოლს, მაშინ საბოლოოდ მივიღებთ გაყოფას ნულზე, რაც არ შეიძლება გაკეთდეს (ბოლოს და ბოლოს, 0 n = 0). პირობა, რომ რიცხვი m უნდა იყოს n-ზე მეტი, აუცილებელია იმისათვის, რომ შევინარჩუნოთ ბუნებრივი მაჩვენებლების ფარგლებში: m-ს გამოკლებით n მივიღებთ ნატურალურ რიცხვს. თუ პირობა არ დაკმაყოფილდა, მივიღებთ უარყოფით რიცხვს ან ნულს და ისევ გასცდებით ხარისხების შესწავლას ბუნებრივი მაჩვენებლებით.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ მტკიცებულებაზე. ადრე შესწავლილიდან გავიხსენებთ წილადების ძირითად თვისებებს და ვაყალიბებთ ტოლობას შემდეგნაირად:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

მისგან შეგვიძლია დავასკვნათ: a m − n a n = a m

გაიხსენეთ კავშირი გაყოფასა და გამრავლებას შორის. მისგან გამომდინარეობს, რომ a m − n არის a m და a n ხარისხების კოეფიციენტი. ეს არის მეორე ხარისხის ქონების დამადასტურებელი საბუთი.

მაგალითი 3

ჩაანაცვლეთ კონკრეტული რიცხვები ინდიკატორებში სიცხადისთვის და აღნიშნეთ π ხარისხის საფუძველი: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. შემდეგი, ჩვენ გავაანალიზებთ პროდუქტის ხარისხის თვისებებს: (a · b) n = a n · b n ნებისმიერი რეალური a და b და ბუნებრივი n.

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ძირითადი განმარტების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ტოლობა შემდეგნაირად:

გამრავლების თვისებების გახსენებით ვწერთ: . ეს ნიშნავს იგივეს, რაც a n · b n.

მაგალითი 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

თუ გვაქვს სამი ან მეტი ფაქტორი, მაშინ ეს თვისება ამ შემთხვევაშიც ვრცელდება. შემოგვაქვს აღნიშვნა k ფაქტორების რაოდენობისთვის და ვწერთ:

(a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n

მაგალითი 5

კონკრეტული რიცხვებით ვიღებთ შემდეგ სწორ ტოლობას: (2 (- 2 , 3) ​​ა) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 ა.

4. ამის შემდეგ შევეცდებით დავამტკიცოთ კოეფიციენტის თვისება: (a: b) n = a n: b n ნებისმიერი რეალური a და b თუ b არ არის 0-ის ტოლი და n არის ნატურალური რიცხვი.

დასამტკიცებლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ წინა ხარისხის თვისება. თუ (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , და (a: b) n b n = a n, მაშინ გამოდის, რომ (a: b) n არის n-ის b n-ზე გაყოფის კოეფიციენტი.

მაგალითი 6

დავთვალოთ მაგალითი: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

მაგალითი 7

დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

ახლა კი ჩვენ ვაყალიბებთ თანასწორობის ჯაჭვს, რომელიც დაგვამტკიცებს თანასწორობის სისწორეს:

თუ მაგალითში გვაქვს გრადუსების ხარისხი, მაშინ ეს თვისება მათთვისაც მართალია. თუ გვაქვს რაიმე ნატურალური რიცხვი p, q, r, s, მაშინ ეს იქნება ჭეშმარიტი:

a p q y s = a p q y s

მაგალითი 8

მოდით დავამატოთ სპეციფიკა: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. გრადუსების კიდევ ერთი თვისება ბუნებრივი მაჩვენებლით, რომელიც უნდა დავამტკიცოთ, არის შედარების თვისება.

ჯერ შევადაროთ მაჩვენებელი ნულს. რატომ a n > 0 იმ პირობით, რომ a მეტია 0-ზე?

თუ ერთ დადებით რიცხვს მეორეზე გავამრავლებთ, ასევე მივიღებთ დადებით რიცხვს. ამ ფაქტის ცოდნა შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არ არის დამოკიდებული ფაქტორების რაოდენობაზე - დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგი არის დადებითი რიცხვი. და რა არის ხარისხი, თუ არა რიცხვების გამრავლების შედეგი? მაშინ ნებისმიერი სიმძლავრის n-სთვის დადებითი ფუძისა და ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე, ეს იქნება მართალი.

მაგალითი 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 და 34 9 13 51 > 0

ასევე აშკარაა, რომ სიმძლავრე, რომლის ფუძე ტოლია ნულის ტოლია, თავისთავად ნულის ტოლია. რა სიმძლავრეზეც არ უნდა ავწიოთ ნულს, ის ნული დარჩება.

მაგალითი 10

0 3 = 0 და 0 762 = 0

თუ ხარისხის საფუძველი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ მტკიცებულება ცოტა უფრო რთულია, რადგან ლუწი/კენტი მაჩვენებლის კონცეფცია ხდება მნიშვნელოვანი. დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწია და აღვნიშნოთ 2 · m-ით, სადაც m არის ნატურალური რიცხვი.

გავიხსენოთ, როგორ გავამრავლოთ უარყოფითი რიცხვები: ნამრავლი a · a უდრის მოდულების ნამრავლს და, შესაბამისად, ეს იქნება დადებითი რიცხვი. მერე და ხარისხი a 2 · m ასევე დადებითია.

მაგალითი 11

მაგალითად, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 და - 2 9 6 > 0

რა მოხდება, თუ უარყოფითი ფუძის მქონე მაჩვენებელი კენტი რიცხვია? ავღნიშნოთ 2 · m − 1 .

მერე

ყველა ნამრავლი a · a , გამრავლების თვისებების მიხედვით, დადებითია და ასევე მათი ნამრავლი. მაგრამ თუ მას გავამრავლებთ ერთადერთ დარჩენილ რიცხვზე a, მაშინ საბოლოო შედეგი უარყოფითი იქნება.

შემდეგ მივიღებთ: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

როგორ დავამტკიცოთ?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

მაგალითი 12

მაგალითად, უტოლობები მართალია: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. დაგვრჩენია დავამტკიცოთ უკანასკნელი თვისება: თუ გვაქვს ორი გრადუსი, რომელთა ფუძეები ერთნაირი და დადებითია, მაჩვენებლები კი ნატურალური რიცხვები, მაშინ ერთი მათგანი დიდია, რომლის მაჩვენებელი ნაკლებია; ხოლო ორი ხარისხის ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთზე მეტი ერთი და იგივე ფუძით, ხარისხი უფრო დიდია, რომლის მაჩვენებელიც მეტია.

დავამტკიცოთ ეს მტკიცებები.

ჯერ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ მ< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

ფრჩხილებიდან ვიღებთ n-ს, რის შემდეგაც ჩვენი სხვაობა მიიღებს a n · (am − n − 1) ფორმას. მისი შედეგი იქნება უარყოფითი (რადგან დადებითი რიცხვის უარყოფითზე გამრავლების შედეგი უარყოფითია). მართლაც, საწყისი პირობების მიხედვით, m − n > 0, შემდეგ a m − n − 1 უარყოფითია და პირველი ფაქტორი დადებითია, როგორც ნებისმიერი ბუნებრივი სიმძლავრე დადებითი ფუძით.

აღმოჩნდა, რომ a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

რჩება ზემოთ ჩამოყალიბებული დებულების მეორე ნაწილის დასამტკიცებლად: a m > a არის m > n და a > 1 . მივუთითებთ განსხვავებას და ფრჩხილებიდან ვიღებთ n-ს: (a m - n - 1) ერთზე მეტი n-ის სიძლიერე დადებით შედეგს იძლევა; და თავად განსხვავებაც დადებითი აღმოჩნდება საწყისი პირობების გამო და a > 1-ისთვის a m − n-ის ხარისხი ერთზე მეტია. გამოდის, რომ a m − a n > 0 და a m > a n, რის დასამტკიცებლადაც გვჭირდებოდა.

მაგალითი 13

მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: 3 7 > 3 2

გრადუსების ძირითადი თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით

დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხებისთვის, თვისებები მსგავსი იქნება, რადგან დადებითი მთელი რიცხვები ბუნებრივია, რაც ნიშნავს, რომ ყველა ზემოთ დადასტურებული თანასწორობა მათთვისაც მოქმედებს. ისინი ასევე შესაფერისია იმ შემთხვევებისთვის, როდესაც მაჩვენებლები უარყოფითია ან ნულის ტოლია (იმ პირობით, რომ თავად ხარისხის საფუძველი არ არის ნულოვანი).

ამრიგად, ხარისხების თვისებები ერთნაირია ნებისმიერი a და b ფუძეებისთვის (იმ პირობით, რომ ეს რიცხვები რეალურია და არ არის 0-ის ტოლი) და ნებისმიერი მ და n მაჩვენებლების (იმ პირობით, რომ ისინი მთელი რიცხვებია). ჩვენ მათ მოკლედ ვწერთ ფორმულების სახით:

განმარტება 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (ა ბ) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n დადებითი მთელი რიცხვით n , დადებითი a და b , a< b

7. მ< a n , при условии целых m и n , m >n და 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

თუ ხარისხის საფუძველი ნულის ტოლია, მაშინ a m და a n ჩანაწერებს აზრი აქვს მხოლოდ ბუნებრივი და დადებითი m და n-ის შემთხვევაში. შედეგად, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულირებები ასევე შესაფერისია ნულოვანი ფუძის ხარისხის მქონე შემთხვევებისთვის, თუ ყველა სხვა პირობა დაკმაყოფილებულია.

ამ თვისებების მტკიცებულება ამ შემთხვევაში მარტივია. ჩვენ უნდა გვახსოვდეს, რა არის ხარისხი ბუნებრივი და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ისევე როგორც მოქმედებების თვისებები რეალურ რიცხვებთან.

მოდით გავაანალიზოთ ხარისხის თვისება ხარისხში და დავამტკიცოთ, რომ ის მართალია როგორც დადებითი, ასევე არადადებითი რიცხვებისთვის. ვიწყებთ ტოლობების დამტკიცებით (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) და (a − p) − q = a (−). p) (−q)

პირობები: p = 0 ან ნატურალური რიცხვი; q - ანალოგიურად.

თუ p და q მნიშვნელობები მეტია 0-ზე, მაშინ მივიღებთ (a p) q = a p · q . მსგავსი თანასწორობა ადრე უკვე დავამტკიცეთ. თუ p = 0 მაშინ:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

ამიტომ, (a 0) q = a 0 q

q = 0-სთვის ყველაფერი ზუსტად იგივეა:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

შედეგი: (a p) 0 = a p 0 .

თუ ორივე მაჩვენებელი ნულია, მაშინ (a 0) 0 = 1 0 = 1 და 0 0 = a 0 = 1, მაშინ (a 0) 0 = a 0 0 .

გაიხსენეთ კოეფიციენტის თვისება ზემოთ დადასტურებულ ხარისხში და დაწერეთ:

1 a p q = 1 q a p q

თუ 1 p = 1 1 … 1 = 1 და a p q = a p q, მაშინ 1 q a p q = 1 a p q

ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ეს აღნიშვნა გამრავლების ძირითადი წესების საფუძველზე a (− p) · q .

ასევე: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

და (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

ხარისხის დარჩენილი თვისებები შეიძლება დადასტურდეს ანალოგიურად არსებული უტოლობების გარდაქმნით. ამაზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, მხოლოდ რთულ პუნქტებს მივუთითებთ.

ბოლო თვისების დადასტურება: გავიხსენოთ, რომ a − n > b − n ჭეშმარიტია n-ის ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის და ნებისმიერი დადებითი a და b, იმ პირობით, რომ a ნაკლებია b-ზე.

მაშინ უტოლობა შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგნაირად:

1 a n > 1 b n

ჩვენ ვწერთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებს განსხვავებად და ვასრულებთ საჭირო გარდაქმნებს:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

შეგახსენებთ, რომ პირობით a არის b-ზე ნაკლები, მაშინ, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრის მიხედვით: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n მთავრდება დადებით რიცხვად, რადგან მისი ფაქტორები დადებითია. შედეგად გვაქვს წილადი b n - a n a n · b n , რომელიც საბოლოოდ ასევე იძლევა დადებით შედეგს. აქედან გამომდინარეობს 1 a n > 1 b n საიდანაც a − n > b − n , რომელიც უნდა დაგვემტკიცებინა.

გრადუსების ბოლო თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დადასტურებულია ისევე, როგორც ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე გრადუსების თვისება.

რაციონალური მაჩვენებლებით გრადუსების ძირითადი თვისებები

წინა სტატიებში განვიხილეთ, თუ რა არის ხარისხი რაციონალური (ფრაქციული) მაჩვენებლით. მათი თვისებები იგივეა, რაც გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვით. Მოდი დავწეროთ:

განმარტება 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ ≥ 0-ისთვის (პროდუქტის თვისებების სიმძლავრეები იგივე ბაზით).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 თუ a > 0 (რაოდენობრივი თვისება).

3. a b m n = a m n b m n a > 0 და b > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ a ≥ 0 და (ან) b ≥ 0 (პროდუქტის თვისება წილადის ხარისხით).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n a > 0 და b > 0, და თუ m n > 0, მაშინ a ≥ 0 და b > 0 (ნაწილის თვისება წილადის ხარისხით).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 a > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ ≥ 0 (ხარისხის თვისება გრადუსი).

6.აპ< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; თუ გვ< 0 - a p >b p (ხარისხების შედარების თვისება თანაბარ რაციონალურ მაჩვენებლებთან).

7.აპ< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0-ზე< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

ამ დებულებების დასამტკიცებლად უნდა გვახსოვდეს, რა არის ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, რა თვისებები აქვს n-ე ხარისხის არითმეტიკულ ფესვს და რა თვისებები აქვს ხარისხს მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. მოდით შევხედოთ თითოეულ ქონებას.

იმის მიხედვით, თუ რა არის ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, მივიღებთ:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 და a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, შესაბამისად, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

ფესვის თვისებები საშუალებას მოგვცემს გამოვიტანოთ ტოლობები:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

აქედან ვიღებთ: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

მოდით გარდავქმნათ:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

ეს არის მტკიცებულება. მეორე თვისება ზუსტად ასეა დადასტურებული. მოდით ჩამოვწეროთ თანასწორობის ჯაჭვი:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

დარჩენილი თანასწორობის მტკიცებულებები:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n; (ა: ბ) მ ნ = (ა: ბ) მ ნ = ა მ: ბ მ ნ = = ა მ ნ: ბ მ ნ = მ ნ: ბ მ ნ ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

შემდეგი თვისება: დავამტკიცოთ, რომ a და b 0-ზე მეტი მნიშვნელობისთვის, თუ a ნაკლებია b-ზე, შესრულდება a p.< b p , а для p больше 0 - a p >ბპ

რაციონალური რიცხვი p წარმოვადგენთ m n-ს სახით. ამ შემთხვევაში, m არის მთელი რიცხვი, n არის ნატურალური რიცხვი. შემდეგ პირობები გვ< 0 и p >0 გაგრძელდება მ< 0 и m >0 . m > 0-სთვის და a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

ვიყენებთ ფესვების თვისებას და გამოვიყვანთ: a m n< b m n

a და b მნიშვნელობების პოზიტიურობის გათვალისწინებით, ჩვენ გადავწერთ უტოლობას m n-ის სახით.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

ანალოგიურად, მ< 0 имеем a a m >b m , ვიღებთ m n > b m n ასე a m n > b m n და a p > b p .

ჩვენთვის რჩება ბოლო ქონების დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p > q 0-სთვის< a < 1 a p < a q , а при a >0 იქნება ჭეშმარიტი a p > a q.

რაციონალური რიცხვები p და q შეიძლება შევიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე და მივიღოთ წილადები m 1 n და m 2 n

აქ m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. თუ p > q, მაშინ m 1 > m 2 (წილადების შედარების წესის გათვალისწინებით). შემდეგ 0-ზე< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – უტოლობა a 1 m > a 2 m .

მათი გადაწერა შესაძლებელია შემდეგი ფორმით:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

შემდეგ შეგიძლიათ გააკეთოთ ტრანსფორმაციები და მიიღოთ შედეგი:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

შეჯამება: p > q და 0-სთვის< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

გრადუსების ძირითადი თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით

ყველა ზემოთ აღწერილი თვისება, რომელსაც აქვს ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლებით, შეიძლება გაფართოვდეს ასეთ ხარისხით. ეს გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან, რომელიც ჩვენ მივეცით ერთ-ერთ წინა სტატიაში. მოკლედ ჩამოვაყალიბოთ ეს თვისებები (პირობები: a > 0 , b > 0 , ინდიკატორები p და q არის ირაციონალური რიცხვები):

განმარტება 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.აპ< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >ბპ

7.აპ< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , შემდეგ a p > a q .

ამრიგად, ყველა ძალა, რომლის მაჩვენებლები p და q არის რეალური რიცხვები, იმ პირობით, რომ a > 0, აქვს იგივე თვისებები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

როგორ გავამრავლოთ ძალები? რომელი ძალა შეიძლება გამრავლდეს და რომელი არა? როგორ გავამრავლოთ რიცხვი ხარისხზე?

ალგებრაში შეგიძლიათ იპოვოთ ძალაუფლების ნამრავლი ორ შემთხვევაში:

1) თუ ხარისხებს აქვთ იგივე საფუძველი;

2) თუ ხარისხებს აქვთ იგივე მაჩვენებლები.

ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას, ფუძე იგივე უნდა დარჩეს, ხოლო მაჩვენებლები უნდა დაემატოს:

იმავე ინდიკატორებთან ხარისხების გამრავლებისას, მთლიანი მაჩვენებელი შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან:

განვიხილოთ, როგორ გავამრავლოთ ძალაუფლება, კონკრეტული მაგალითებით.

ერთეული მაჩვენებელში არ იწერება, მაგრამ გრადუსების გამრავლებისას ისინი ითვალისწინებენ:

გამრავლებისას, გრადუსების რაოდენობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. უნდა გვახსოვდეს, რომ არ შეიძლება გამრავლების ნიშანი ასოზე ადრე დაწეროთ:

გამონათქვამებში პირველ რიგში სრულდება ექსპონენტაცია.

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხარისხზე გამრავლება, ჯერ უნდა შეასრულოთ სიმძლავრე და მხოლოდ ამის შემდეგ - გამრავლება:

www.algebraclass.ru

ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა

ძალაუფლების შეკრება და გამოკლება

ცხადია, სიმძლავრის მქონე რიცხვები შეიძლება დაემატოს სხვა რაოდენობებს , სათითაოდ მათი ნიშნების მიყოლებით.

ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4.

შანსები იგივე ცვლადების იგივე ძალაშეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს.

ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.

ასევე აშკარაა, რომ თუ ავიღებთ ორ კვადრატს a, ან სამ კვადრატს a, ან ხუთ კვადრატს a.

მაგრამ გრადუსები სხვადასხვა ცვლადებიდა სხვადასხვა ხარისხით იდენტური ცვლადები, უნდა დაემატოს მათი ნიშნების დამატებით.

ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.

აშკარაა, რომ a-ს კვადრატი და a-ს კუბი არის არა ორჯერ a-ის კვადრატი, არამედ ორჯერ მეტი a-ის კუბი.

a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .

გამოკლებაუფლებამოსილებები ხორციელდება ისევე, როგორც დამატება, გარდა იმისა, რომ ქვეტრაჰენდის ნიშნები შესაბამისად უნდა შეიცვალოს.

ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3სთ 2 ბ 6 - 4 სთ 2 ბ 6 \u003d -h 2 b 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6

სიმძლავრის გამრავლება

სიმძლავრეების მქონე რიცხვები შეიძლება გამრავლდეს, როგორც სხვა სიდიდეები, ჩაწერით ერთმანეთის მიყოლებით, მათ შორის გამრავლების ნიშნით ან მის გარეშე.

ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.

ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ბოლო მაგალითში შედეგი შეიძლება დალაგდეს იგივე ცვლადების დამატებით.
გამოთქმა მიიღებს ფორმას: a 5 b 5 y 3 .

რამდენიმე რიცხვის (ცვლადის) ძალებთან შედარებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ რომელიმე მათგანი მრავლდება, მაშინ შედეგი არის რიცხვი (ცვლადი), რომლის სიმძლავრე ტოლია. ჯამიტერმინების ხარისხი.

ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.

ასე რომ, a n .a m = a m+n.

a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის ხარისხი;

და a m , მიიღება კოეფიციენტად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;

Ამიტომაც, იგივე ფუძეების მქონე სიმძლავრეები შეიძლება გამრავლდეს მაჩვენებლების დამატებით.

ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გავამრავლოთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია − უარყოფითი.

1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ

ორი რიცხვის ჯამის ან სხვაობის გამრავლების შედეგი უდრის მათი კვადრატების ჯამს ან განსხვავებას.

თუ ორი რიცხვის ჯამი და სხვაობა გაიზარდა კვადრატი, შედეგი იქნება ამ რიცხვების ჯამის ან სხვაობის ტოლი მეოთხეხარისხი.

ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

უფლებამოსილებების დაყოფა

სიმძლავრის რიცხვები შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვების მსგავსად გამყოფის გამოკლებით ან წილადის სახით.

ასე რომ, 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.

5-ის დაწერა სამზე გაყოფილი ჰგავს $\frac-ს $. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მათი მაჩვენებლები გამოკლებულია..

ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. ანუ $\frac = y$.

და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac = a^n$.

ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

ძალთა გამრავლებისა და გაყოფის კარგად დაუფლება აუცილებელია, ვინაიდან ასეთი ოპერაციები ძალიან ფართოდ გამოიყენება ალგებრაში.

მაგალითების ამოხსნის მაგალითები წილადებით, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac $-ში პასუხი: $\frac $.

2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac$-ში. პასუხი: $\frac $ ან 2x.

3. შეამცირეთ a 2 / a 3 და a -3 / a -4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
a 2 .a -4 არის -2 პირველი მრიცხველი.
a 3 .a -3 არის 0 = 1, მეორე მრიცხველი.
a 3 .a -4 არის -1, საერთო მრიცხველი.
გამარტივების შემდეგ: a -2 /a -1 და 1/a -1 .

4. შეამცირეთ 2a 4 /5a 3 და 2 /a 4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
პასუხი: 2a 3 / 5a 7 და 5a 5 / 5a 7 ან 2a 3 / 5a 2 და 5/5a 2.

5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.

6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.

8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.

ხარისხის თვისებები

შეგახსენებთ, რომ ამ გაკვეთილში ჩვენ გვესმის ხარისხის თვისებებიბუნებრივი მაჩვენებლებით და ნულით. რაციონალური ინდიკატორების ხარისხები და მათი თვისებები განხილული იქნება მე-8 კლასის გაკვეთილებზე.

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებელს აქვს რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება, რაც საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ გამოთვლები მაჩვენებლის მაგალითებში.

ქონება #1
ძალაუფლების პროდუქტი

ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას ფუძე უცვლელი რჩება და ემატება მაჩვენებლები.

a m a n \u003d a m + n, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო "m", "n" არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

ძალაუფლების ეს თვისება ასევე მოქმედებს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მითითებულ თვისებაში საუბარი იყო მხოლოდ ძალაუფლების გამრავლებაზე იმავე ფუძეებით.. ეს არ ეხება მათ დამატებას.

თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ ჯამი (3 3 + 3 2) 3 5-ით. ეს გასაგებია თუ
გამოთვალეთ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 და 3 5 = 243

ქონება #2
კერძო დიპლომები

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას ფუძე უცვლელი რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.

გამოთვალეთ.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. ჩვენ ვიყენებთ ნაწილობრივი ხარისხის თვისებებს.
3 8: t = 3 4

პასუხი: t = 3 4 = 81

No1 და No2 თვისებების გამოყენებით შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ გამონათქვამები და შეასრულოთ გამოთვლები.

მაგალითი. გამოხატვის გამარტივება.
4 5 მ + 6 4 მ + 2: 4 4 მ + 3 = 4 5 მ + 6 + მ + 2: 4 4 მ + 3 = 4 6 მ + 8 − 4 მ − 3 = 4 2 მ + 5

მაგალითი. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ საკუთრება 2 ეხებოდა მხოლოდ უფლებამოსილებების განაწილებას იმავე საფუძვლებით.

სხვაობას (4 3 −4 2) ვერ შეცვლით 4 1-ით. ეს გასაგებია, თუ გამოთვლით (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 და 4 1 = 4

ქონება #3
ექსპონენტაცია

სიმძლავრის ხარისხზე აყვანისას, სიმძლავრის საფუძველი უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება.

(a n) m \u003d a n m, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი და "m", "n" არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თვისება No4, ისევე როგორც ხარისხების სხვა თვისებები, ასევე გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით.

(a n b n)= (a b) n

ანუ, იმავე მაჩვენებლებით გრადუსების გასამრავლებლად, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ფუძეები და დატოვოთ მაჩვენებლები უცვლელი.

უფრო რთულ მაგალითებში შეიძლება იყოს შემთხვევები, როდესაც გამრავლება და გაყოფა უნდა განხორციელდეს სხვადასხვა ფუძეებითა და განსხვავებული მაჩვენებლების მქონე ხარისხებზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გირჩევთ გააკეთოთ შემდეგი.

მაგალითად, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ათობითი წილადის გაძლიერების მაგალითი.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = ოთხი

თვისებები 5
კოეფიციენტის სიმძლავრე (წილადები)

კოეფიციენტის ხარისხზე ასამაღლებლად, შეგიძლიათ დივიდენდი და გამყოფი ცალ-ცალკე გაზარდოთ ამ ხარისხზე და გაყოთ პირველი შედეგი მეორეზე.

(a: b) n \u003d a n: b n, სადაც "a", "b" არის ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი, b ≠ 0, n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

შეგახსენებთ, რომ კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ამიტომ, წილადის სიმძლავრემდე აწევის თემაზე უფრო დეტალურად შევჩერდებით შემდეგ გვერდზე.

ხარისხები და ფესვები

ოპერაციები ძალებითა და ფესვებით. ხარისხი უარყოფითით ,

ნულოვანი და წილადი მაჩვენებელი. გამოთქმების შესახებ, რომლებსაც აზრი არ აქვს.

ოპერაციები ხარისხით.

1. ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ემატება:

ვარ · a n = a m + n.

2. იმავე ფუძით გრადუსების დაყოფისას მათი მაჩვენებლები გამოკლებული .

3. ორი ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი ტოლია ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლის.

4. თანაფარდობის (წილადის) ხარისხი უდრის დივიდენდის (მრიცხველის) და გამყოფის (მნიშვნელის) ხარისხების შეფარდებას:

(ა/ბ) n = a n / b n.

5. ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას მათი მაჩვენებლები მრავლდება:

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა იკითხება და სრულდება ორივე მიმართულებით მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

მაგალითი (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

ოპერაციები ფესვებით. ქვემოთ მოცემულ ყველა ფორმულაში სიმბოლო ნიშნავს არითმეტიკული ფესვი(რადიკალური გამოხატულება დადებითია).

1. რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტის ფესვი პროდუქტის ტოლიაამ ფაქტორების ფესვები:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და გამყოფის ფესვების შეფარდებას:

3. ფესვის ძლიერებამდე აწევისას საკმარისია ამ ძალამდე აწევა ფესვის ნომერი:

4. თუ ფესვის ხარისხს გაზრდით m-ჯერ და ერთდროულად აწევთ ფესვის რიცხვს m-ე ხარისხამდე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ ფესვის ხარისხს m-ჯერ შეამცირებთ და ამავდროულად ამოიღებთ m-ე ხარისხის ფესვს რადიკალური რიცხვიდან, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხის ცნების გაფართოება. ჯერჯერობით ხარისხები მხოლოდ ბუნებრივი მაჩვენებლით განვიხილეთ; მაგრამ ძალებითა და ფესვებით ოპერაციებმა ასევე შეიძლება გამოიწვიოს უარყოფითი, ნულიდა წილადიინდიკატორები. ყველა ეს მაჩვენებელი მოითხოვს დამატებით განმარტებას.

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით. უარყოფითი (მთლიანი) მაჩვენებლის მქონე გარკვეული რიცხვის ხარისხი განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომელსაც ტოლია უარყოფითი მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ახლა ფორმულა ვარ : a n = მ-ნშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ, მეტი ვიდრე ნ, არამედ ზე მ, ნაკლები ვიდრე ნ .

მაგალითი ა 4: ა 7 = ა 4 — 7 = ა — 3 .

თუ ფორმულა გვინდა ვარ : a n = ვარ — ნსამართლიანი იყო m = n, ჩვენ გვჭირდება ნულოვანი ხარისხის განმარტება.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით. ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით არის 1.

მაგალითები. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ რეალური რიცხვი a ავიყვანოთ m/n-მდე, თქვენ უნდა ამოიღოთ n-ე ხარისხის ფესვი ამ რიცხვის m-დან a:

გამოთქმების შესახებ, რომლებსაც აზრი არ აქვს. რამდენიმე ასეთი გამოთქმა არსებობს.

სადაც ა ≠ 0 , არ არსებობს.

მართლაც, თუ ვივარაუდებთ, რომ xარის გარკვეული რიცხვი, მაშინ, გაყოფის ოპერაციის განმარტების შესაბამისად, გვაქვს: ა = 0· x, ე.ი. ა= 0, რომელიც ეწინააღმდეგება პირობას: ა ≠ 0

— ნებისმიერი ნომერი.

მართლაც, თუ ჩავთვლით, რომ ეს გამონათქვამი რაღაც რიცხვის ტოლია x, მაშინ გაყოფის ოპერაციის განსაზღვრის მიხედვით გვაქვს: 0 = 0 x. მაგრამ ეს თანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერი რიცხვი x, რაც დასამტკიცებელი იყო.

0 0 — ნებისმიერი ნომერი.

გამოსავალი. განვიხილოთ სამი ძირითადი შემთხვევა:

1) x = 0 – ეს მნიშვნელობა არ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას

2) როდის x> 0 ვიღებთ: x / x= 1, ე.ი. 1 = 1, საიდანაც შემდეგია,

რა x- ნებისმიერი ნომერი; მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ

ჩვენი საქმე x> 0, პასუხი არის x > 0 ;

სხვადასხვა ფუძით ძალების გამრავლების წესები

ხარისხი რაციონალური ინდიკატორით,

დენის ფუნქცია IV

§ 69. ხარისხების გამრავლება და გაყოფა იმავე ფუძეებით

თეორემა 1.ერთიდაიგივე ფუძეებზე ძალების გასამრავლებლად საკმარისია მაჩვენებლების დამატება და ფუძე იგივე დატოვება, ანუ

მტკიცებულება.ხარისხის განსაზღვრით

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

ჩვენ განვიხილეთ ორი ძალაუფლების პროდუქტი. ფაქტობრივად, დადასტურებული თვისება მართალია ნებისმიერი რაოდენობის უფლებამოსილებისთვის იგივე საფუძვლებით.

თეორემა 2.ძალაუფლების ერთნაირი საფუძვლებით გასაყოფად, როცა დივიდენდის მაჩვენებელი გამყოფის ინდიკატორზე მეტია, საკმარისია გამყოფის მაჩვენებელი გამოვაკლოთ დივიდენდის ინდიკატორს და ფუძე იგივე დარჩეს, ე.ი. ზე t > n

(ა =/= 0)

მტკიცებულება.შეგახსენებთ, რომ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფის კოეფიციენტი არის რიცხვი, რომელიც გამყოფზე გამრავლებისას იძლევა დივიდენდს. ამიტომ დაამტკიცეთ ფორმულა სად ა =/= 0, ეს ფორმულის დამტკიცებას ჰგავს

Თუ t > n , შემდეგ ნომერი t - გვ ბუნებრივი იქნება; ამიტომ, თეორემა 1-ით

თეორემა 2 დადასტურებულია.

გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულა

ჩვენ მიერ დამტკიცებული მხოლოდ იმ ვარაუდით, რომ t > n . აქედან გამომდინარე, რაც დადასტურდა, ჯერ არ არის შესაძლებელი, მაგალითად, შემდეგი დასკვნების გამოტანა:

გარდა ამისა, ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ხარისხებს უარყოფითი მაჩვენებლებით და ჯერ არ ვიცით რა მნიშვნელობა შეიძლება მივცეთ გამოთქმას 3. - 2 .

თეორემა 3. სიმძლავრის ხარისხზე ასამაღლებლად საკმარისია მაჩვენებლების გამრავლება და მაჩვენებლის ფუძე იგივე დარჩეს, ანუ

მტკიცებულება.ამ ნაწილის ხარისხის და თეორემა 1-ის განმარტების გამოყენებით, მივიღებთ:

ქ.ე.დ.

მაგალითად, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (ზეპირ.) განსაზღვრა X განტოლებიდან:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (მორგებული) გამარტივება:

520. (მორგებული) გამარტივება:

521. წარმოადგინე ეს გამონათქვამები ხარისხებად იმავე ფუძეებით:

1) 32 და 64; 3) 85 და 163; 5) 4 100 და 32 50;

2) -1000 და 100; 4) -27 და -243; 6) 81 75 8 200 და 3 600 4 150.