tgx a განტოლების ფესვების ზოგადი ფორმულის გამოყვანა. გაკვეთილი "რკალის ტანგენსი და რკალის ტანგენსი. tgx = a, ctgx = a განტოლებების ამოხსნა". tgx=a განტოლების ამოხსნა ზოგადი ფორმით

ადრეულ პროგრამაში სტუდენტებს გაუჩნდათ იდეა გამოსავლის შესახებ ტრიგონომეტრიული განტოლებები, გაეცნო არკოზინის და არქსინის ცნებებს, cos t = a და sin t = a განტოლებების ამონახსნების მაგალითებს. ამ ვიდეო გაკვეთილში განვიხილავთ tg x = a და ctg x = a განტოლებების ამოხსნას.

ამ თემის შესწავლის დასაწყისში განვიხილოთ განტოლებები tg x = 3 და tg x = - 3. თუ გრაფიკის გამოყენებით გადავწყვეტთ tg x = 3 განტოლებას, დავინახავთ, რომ y ფუნქციების გრაფიკების კვეთა. = tg x და y = 3 აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, სადაც x = x 1 + πk. მნიშვნელობა x 1 არის y = tg x და y = 3 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის x კოორდინატი. ავტორი შემოაქვს არქტანგენტის ცნებას: arctg 3 არის რიცხვი, რომლის tg არის 3 და ეს რიცხვი ეკუთვნის. ინტერვალი -π/2-დან π/2-მდე. არქტანგენტის კონცეფციის გამოყენებით, განტოლების ამონახსნი tan x = 3 შეიძლება ჩაიწეროს x = arctan 3 + πk.

ანალოგიით, წყდება tg x \u003d - 3 განტოლება. y \u003d tg x და y \u003d - 3 ფუნქციების აგებული გრაფიკების მიხედვით ჩანს, რომ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები და, შესაბამისად, ამონახსნები. განტოლებიდან იქნება x \u003d x 2 + πk. რკალის ტანგენტის გამოყენებით ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს x = arctan (- 3) + πk. შემდეგ ფიგურაში დავინახავთ, რომ arctg (- 3) = - arctg 3.

რკალის ტანგენსის ზოგადი განმარტება ასეთია: a-ს რკალის ტანგენსი არის ისეთი რიცხვი -π/2-დან π/2-მდე ინტერვალიდან, რომლის ტანგენსი არის a. მაშინ tg x = a განტოლების ამონახსნი არის x = arctg a + πk.

ავტორი მოჰყავს მაგალითს 1. იპოვნეთ გამოსავალი arctg გამონათქვამში, შემოვიღოთ აღნიშვნა: რიცხვის არქტანგენსი x-ის ტოლია, მაშინ tg x იქნება მოცემული რიცხვის ტოლი, სადაც x ეკუთვნის -π-დან სეგმენტს. /2-დან π/2-მდე. როგორც წინა თემების მაგალითებში, ჩვენ გამოვიყენებთ მნიშვნელობების ცხრილს. ამ ცხრილის მიხედვით, ამ რიცხვის ტანგენსი შეესაბამება x = π/3 მნიშვნელობას. ჩვენ ვწერთ ამოხსნას მოცემული რიცხვის რკალის ტანგენტის განტოლების ტოლი π / 3, π / 3 ასევე ეკუთვნის ინტერვალს -π / 2-დან π / 2-მდე.

მაგალითი 2 - გამოთვალეთ უარყოფითი რიცხვის რკალი ტანგენსი. ტოლობის გამოყენებით arctg (- a) = - arctg a, შეიყვანეთ x მნიშვნელობა. მე-2 მაგალითის მსგავსად, ჩვენ ვწერთ x-ის მნიშვნელობას, რომელიც ეკუთვნის -π/2-დან π/2-მდე ინტერვალს. სიდიდეების ცხრილის მიხედვით ვხვდებით, რომ x = π/3, შესაბამისად, -- tg x = - π/3. განტოლების პასუხია - π/3.

განვიხილოთ მაგალითი 3. ამოვიხსნათ განტოლება tan x = 1. დავწეროთ, რომ x = arctan 1 + πk. ცხრილში tg 1-ის მნიშვნელობა შეესაბამება x \u003d π / 4 მნიშვნელობას, შესაბამისად, arctg 1 \u003d π / 4. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა თავდაპირველ x ფორმულაში და ჩაწერეთ პასუხი x = π/4 + πk.

მაგალითი 4: გამოთვალეთ tg x = - 4.1. ამ შემთხვევაში, x = arctg (- 4.1) + πk. იმიტომ რომ ამ შემთხვევაში arctg-ის მნიშვნელობის პოვნა შეუძლებელია, პასუხი იქნება x = arctg (- 4.1) + πk.

მაგალითი 5 განიხილავს tg x > 1 უტოლობის ამოხსნას. მის ამოსახსნელად გამოვსახავთ y = tg x და y = 1 ფუნქციების გრაფიკებს. როგორც ნახატზე ჩანს, ეს გრაფიკები იკვეთება x = π წერტილებზე. /4 + πk. იმიტომ რომ ამ შემთხვევაში, tg x > 1, გრაფიკზე ვირჩევთ ტანგენტოიდის ფართობს, რომელიც არის y = 1 გრაფიკის ზემოთ, სადაც x ეკუთვნის π/4-დან π/2-მდე ინტერვალს. პასუხს ვწერთ π/4 + πk< x < π/2 + πk.

შემდეგი, განიხილეთ განტოლება ctg x = a. ნახატზე ნაჩვენებია y = ctg x, y = a, y = - a ფუნქციების გრაფიკები, რომლებსაც აქვთ მრავალი გადაკვეთის წერტილი. ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს x = x 1 + πk, სადაც x 1 = arcctg a და x = x 2 + πk, სადაც x 2 = arcctg (- a). აღინიშნება, რომ x 2 \u003d π - x 1. ეს გულისხმობს ტოლობას arcctg (- a) = π - arcctg a. გარდა ამისა, მოცემულია რკალის კოტანგენსის განმარტება: a-ს რკალის კოტანგენსი არის ისეთი რიცხვი 0-დან π-მდე ინტერვალიდან, რომლის კოტანგენსი უდრის a-ს. сtg x = a განტოლების ამონახსნი იწერება: x = arcctg a + πk.

ვიდეოგაკვეთილის ბოლოს კეთდება კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნა - გამოთქმა ctg x = a შეიძლება დაიწეროს tg x = 1/a, იმ პირობით, რომ a არ იყოს ნულის ტოლი.

ტექსტის ინტერპრეტაცია:

განვიხილოთ tg x \u003d 3 და tg x \u003d - 3 განტოლებების ამოხსნა. პირველი განტოლების გრაფიკულად ამოხსნა, ჩვენ ვხედავთ, რომ y \u003d tg x და y \u003d 3 ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ უსასრულოდ ბევრი გადაკვეთის წერტილი, აბსციები, რომელთა სახითაც ვწერთ

x \u003d x 1 + πk, სადაც x 1 არის y \u003d 3 წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა ტანგენტოიდის მთავარ ტოტთან (ნახ. 1), რისთვისაც გამოიგონეს აღნიშვნა.

არქტანი 3 (რკალის ტანგენსი სამი).

როგორ გავიგოთ arctg 3?

ეს არის რიცხვი, რომლის ტანგენტია 3 და ეს რიცხვი ეკუთვნის ინტერვალს (-;). შემდეგ tg x \u003d 3 განტოლების ყველა ფესვი შეიძლება დაიწეროს x \u003d arctan 3 + πk ფორმულით.

ანალოგიურად, tg x \u003d - 3 განტოლების ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს x \u003d x 2 + πk, სადაც x 2 არის y \u003d - 3 წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა ხაზების მთავარ განშტოებასთან. ტანგენტოიდი (ნახ. 1), რომლის აღნიშვნა arctg (- 3) (arct tangent მინუს სამი). შემდეგ განტოლების ყველა ფესვი შეიძლება დაიწეროს ფორმულით: x \u003d arctg (-3) + πk. ნახაზი აჩვენებს, რომ arctg(- 3)= - arctg 3.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ რკალის ტანგენსის განმარტება. რკალის ტანგენტი a არის ისეთი რიცხვი (-;), რომლის ტანგენტი უდრის a-ს.

ხშირად გამოიყენება ტოლობა: arctg(-a) = -arctg a, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი a-სთვის.

რკალის ტანგენსის განმარტების ცოდნა, განტოლების ამოხსნის შესახებ გამოვიტანთ ზოგად დასკვნას

tg x \u003d a: განტოლებას tg x \u003d a აქვს ამონახსნი x \u003d arctg a + πk.

განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 1. გამოთვალეთ arctg.

გამოსავალი. მოდით arctg = x, შემდეგ tgx = და xϵ (-;). აჩვენეთ მნიშვნელობების ცხრილი, შესაბამისად, x =, ვინაიდან tg = და ϵ (- ;).

ასე რომ, arctg =.

მაგალითი 2 გამოთვალეთ არქტანი (-).

გამოსავალი. ტოლობის arctg (- a) \u003d - arctg a გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ:

arctg(-) = - arctg . მოდით - arctg = x, შემდეგ - tgx = და xϵ (-;). ამიტომ, x =, ვინაიდან tg = და ϵ (- ;). მნიშვნელობების ცხრილის ჩვენება

ასე რომ - arctg=- tgх= - .

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება tgх = 1.

1. ჩამოვწეროთ ამოხსნის ფორმულა: x = arctg 1 + πk.

2. მოდი ვიპოვოთ ღირებულებარკალის ტანგენსი

ვინაიდან tg =. მნიშვნელობების ცხრილის ჩვენება

ასე რომ, arctg1= .

3. ჩასვით ნაპოვნი მნიშვნელობა ამოხსნის ფორმულაში:

მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლება tgx \u003d - 4.1 (ტანგენსი x უდრის მინუს ოთხი წერტილის მეათედს).

გამოსავალი. მოდით ჩამოვწეროთ ამოხსნის ფორმულა: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვთვალოთ რკალის ტანგენსის მნიშვნელობა, ამიტომ განტოლების ამოხსნას დავტოვებთ ისე, როგორც არის.

მაგალითი 5. ამოხსენით უტოლობა tgх 1.

გამოსავალი. მოდით გავაკეთოთ ეს გრაფიკულად.

1. ავაშენოთ ტანგენტოიდი

y \u003d tgx და სწორი ხაზი y \u003d 1 (ნახ. 2). ისინი იკვეთებიან x = + πk ფორმის წერტილებში.

2. აირჩიეთ x ღერძის ინტერვალი, რომელზედაც ტანგენტოიდის მთავარი განშტოება მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ y \u003d 1, რადგან პირობის მიხედვით tgх 1. ეს არის ინტერვალი (;).

3. ვიყენებთ ფუნქციის პერიოდულობას.

თვისება 2. y \u003d tg x - პერიოდული ფუნქცია ძირითადი პერიოდით π.

y \u003d tgx ფუნქციის პერიოდულობის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ პასუხს:

(;). პასუხი შეიძლება დაიწეროს ორმაგი უტოლობის სახით:

მოდით გადავიდეთ განტოლებაზე ctg x \u003d a. წარმოვადგინოთ a დადებითი და უარყოფითი განტოლების ამოხსნის გრაფიკული ილუსტრაცია (ნახ. 3).

y \u003d ctg x და y \u003d a და ფუნქციების გრაფიკები

y=ctg x და y=-a

აქვთ უსასრულოდ ბევრი საერთო წერტილი, რომელთა აბსცისებს აქვთ ფორმა:

x \u003d x 1 +, სადაც x 1 არის y \u003d a წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა ტანგენტოიდის მთავარ განშტოებასთან და

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, სადაც x 2 არის წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა

y \u003d - მაგრამ ტანგენტოიდის მთავარი განშტოებით და x 2 \u003d arcсtg (- a).

გაითვალისწინეთ, რომ x 2 \u003d π - x 1. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ მნიშვნელოვან განტოლებას:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

ჩამოვაყალიბოთ განმარტება: a-ს რკალის კოტანგენსი არის ისეთი რიცხვი (0; π) ინტერვალიდან, რომლის კოტანგენსი უდრის a-ს.

ctg x \u003d a განტოლების ამონახსნი იწერება: x \u003d arcсtg a +.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება ctg x = a შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში

tg x = , გარდა a = 0.

თქვენ შეგიძლიათ შეუკვეთოთ თქვენი პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა !!!

ტოლობას, რომელიც შეიცავს უცნობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ (`sin x, cos x, tg x` ან `ctg x`) ტრიგონომეტრიული განტოლება ეწოდება და მათ ფორმულებს შემდგომ განვიხილავთ.

უმარტივესი განტოლებებია `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის მოსაძებნი კუთხე, `a` არის ნებისმიერი რიცხვი. მოდით დავწეროთ თითოეული მათგანის ძირეული ფორმულები.

1. განტოლება `sin x=a`.

`|a|>1`-ისთვის მას არ აქვს გამოსავალი.

`|ა|-ით \leq 1` აქვს უსასრულო რიცხვიგადაწყვეტილებები.

ძირეული ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. განტოლება `cos x=a`

`|a|>1`-ისთვის - როგორც სინუსის შემთხვევაში, ნამდვილ რიცხვებს შორის ამონახსნები არ არის.

`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

სინუსის და კოსინუსების სპეციალური შემთხვევები გრაფიკებში.

3. განტოლება `tg x=a`

აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა `a`-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. განტოლება `ctg x=a`

მას ასევე აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

ცხრილის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები

სინუსისთვის:
კოსინუსისთვის:
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის:
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან:

• გამოყენება უმარტივესად გადასაყვანად;
• ამოხსენით მიღებული მარტივი განტოლება ფესვებისა და ცხრილების ზემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით.

განვიხილოთ გადაწყვეტის ძირითადი მეთოდები მაგალითების გამოყენებით.

ალგებრული მეთოდი.

ამ მეთოდით ხდება ცვლადის ჩანაცვლება და მისი თანასწორობით ჩანაცვლება.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

გააკეთეთ ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,

ვპოულობთ ფესვებს: `y_1=1, y_2=1/2`, საიდანაც მოდის ორი შემთხვევა:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

პასუხი: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ფაქტორიზაცია.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `sin x+cos x=1`.

გამოსავალი. გადაიტანეთ მარცხნივ ტოლობის ყველა პირობა: `sin x+cos x-1=0`. გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით და ვანაწილებთ მარცხენა მხარეს:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

პასუხი: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე

პირველ რიგში, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება ორიდან ერთ-ერთ ფორმამდე:

`a sin x+b cos x=0` (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (მეორე ხარისხის ჰომოგენური განტოლება).

შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი `cos x \ne 0` პირველი შემთხვევისთვის და `cos^2 x \ne 0` მეორეზე. ვიღებთ `tg x`-ის განტოლებებს: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რომლებიც უნდა ამოხსნას ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ მარჯვენა მხარე, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება, რომელიც ყოფს მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს `cos^2 x \ne 0`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. შემოვიღოთ ჩანაცვლება `tg x=t`, შედეგად `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვებია `t_1=-2` და `t_2=1`. შემდეგ:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

გადადით ნახევარ კუთხეში

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

გამოსავალი. ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით, შედეგი არის: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

ზემოთ აღწერილი ალგებრული მეთოდის გამოყენებით ვიღებთ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

დამხმარე კუთხის დანერგვა

ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x =c`, სადაც a,b,c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, ორივე ნაწილს ვყოფთ `sqrt (a^2+b^2)`-ზე:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

მარცხენა მხარის კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ, მათი კვადრატების ჯამი არის 1, ხოლო მოდული მაქსიმუმ 1. ავღნიშნოთ ისინი შემდეგნაირად: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , შემდეგ:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.

გამოსავალი. განტოლების ორივე მხარის გაყოფით `sqrt (3^2+4^2)`-ზე მივიღებთ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

აღნიშნეთ `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. ვინაიდან `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ჩვენ ვიღებთ `\varphi=arcsin 4/5` როგორც დამხმარე კუთხე. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ჩვენს თანასწორობას ფორმაში:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

სინუსისთვის კუთხეების ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ტოლობას შემდეგი ფორმით:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

უპასუხე. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

წილად-რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები

ეს არის წილადების ტოლობები, რომელთა მრიცხველებსა და მნიშვნელებში არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

გამოსავალი. გაამრავლეთ და გაყავით განტოლების მარჯვენა მხარე `(1+cos x)`-ზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

იმის გათვალისწინებით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული, მივიღებთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

წილადის მრიცხველი გავაიგივოთ ნულთან: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. შემდეგ `sin x=0` ან `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

იმის გათვალისწინებით, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ამონახსნები არის `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ Z-ში`.

უპასუხე. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

ტრიგონომეტრია და კერძოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებები გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის თითქმის ყველა სფეროში. სწავლა მე-10 კლასში იწყება, გამოცდისთვის ყოველთვის არის დავალებები, ამიტომ ეცადეთ დაიმახსოვროთ ტრიგონომეტრიული განტოლების ყველა ფორმულა - ისინი აუცილებლად გამოგადგებათ!

თუმცა, თქვენ არც კი გჭირდებათ მათი დამახსოვრება, მთავარია გაიგოთ არსი და შეძლოთ დასკვნა. ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. თავად ნახეთ ვიდეოს ყურებით.

წარმატებით მოსაგვარებლად ტრიგონომეტრიული განტოლებებიმოსახერხებელი გამოსაყენებლად შემცირების მეთოდიადრე მოგვარებულ პრობლემებზე. ვნახოთ, რა არის ამ მეთოდის არსი?

ნებისმიერ შემოთავაზებულ პრობლემაში თქვენ უნდა ნახოთ ადრე გადაწყვეტილი პრობლემა, შემდეგ კი, თანმიმდევრული ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით, შეეცადეთ დაიყვანოთ თქვენთვის მოცემული პრობლემა უფრო მარტივზე.

ამრიგად, ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, ისინი ჩვეულებრივ ქმნიან ეკვივალენტური განტოლებების სასრულ მიმდევრობას, რომლის ბოლო რგოლი არის განტოლება აშკარა ამონახსნით. მხოლოდ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ თუ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარები არ არის ჩამოყალიბებული, მაშინ უფრო რთული განტოლებების ამოხსნა რთული და არაეფექტური იქნება.

გარდა ამისა, ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას არასოდეს უნდა დაივიწყოთ რამდენიმე ამოხსნის არსებობის შესაძლებლობა.

მაგალითი 1. იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა cos x = -1/2 ინტერვალზე.

გამოსავალი:

მე გზა.გამოვსახოთ y = cos x და y = -1/2 ფუნქციების გრაფიკები და ვიპოვოთ მათი საერთო წერტილების რაოდენობა ინტერვალზე (ნახ. 1).

ვინაიდან ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ ორი საერთო წერტილი ინტერვალზე, განტოლება შეიცავს ორ ფესვს ამ ინტერვალზე.

II გზა.ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით (ნახ. 2) ვიგებთ წერტილების რაოდენობას, რომლებიც მიეკუთვნება იმ ინტერვალს, რომელშიც cos x = -1/2. ნახაზი აჩვენებს, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

III გზა.ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით ვხსნით განტოლებას cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k ∈ Z).

ფესვები 2π/3 და -2π/3 + 2π ეკუთვნის ინტერვალს, k არის მთელი რიცხვი. ამრიგად, განტოლებას აქვს ორი ფესვი მოცემულ ინტერვალზე.

პასუხი: 2.

სამომავლოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებები გადაიჭრება ერთ-ერთი შემოთავაზებული მეთოდით, რაც ხშირ შემთხვევაში არ გამორიცხავს სხვა მეთოდების გამოყენებას.

მაგალითი 2. იპოვეთ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა tg (x + π/4) = 1 [-2π; 2π].

გამოსავალი:

ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

x + π/4 = არქტანი 1 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

x = πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z);

ინტერვალი [-2π; 2π] ეკუთვნის რიცხვებს -2π; -π; 0; π; 2π. ამრიგად, განტოლებას აქვს ხუთი ფესვი მოცემულ ინტერვალზე.

პასუხი: 5.

მაგალითი 3. იპოვეთ cos 2 x + sin x cos x = 1 განტოლების ფესვების რაოდენობა [-π; π].

გამოსავალი:

ვინაიდან 1 = sin 2 x + cos 2 x (ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა), საწყისი განტოლება ხდება:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. ნამრავლი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც უნდა იყოს ნულის ტოლი, შესაბამისად:

sin x \u003d 0 ან sin x - cos x \u003d 0.

ვინაიდან ცვლადის მნიშვნელობა, რომელზეც cos x = 0, არ არის მეორე განტოლების ფესვები (ერთი და იგივე რიცხვის სინუსი და კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი ერთდროულად), მაშინ ვყოფთ მეორეს ორივე ნაწილს. განტოლება cos x-ით:

sin x = 0 ან sin x / cos x - 1 = 0.

მეორე განტოლებაში ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ tg x = sin x / cos x, შემდეგ:

sin x = 0 ან tg x = 1. ფორმულების გამოყენებით გვაქვს:

x = πk ან x = π/4 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z).

ფესვების პირველი სერიიდან [-π; π] ეკუთვნის რიცხვებს -π; 0; პ. მეორე სერიიდან: (π/4 – π) და π/4.

ამრიგად, თავდაპირველი განტოლების ხუთი ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს [-π; π].

პასუხი: 5.

მაგალითი 4. იპოვეთ tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 განტოლების ფესვების ჯამი [-π; 1.1π].

გამოსავალი:

გადავიწეროთ განტოლება შემდეგი ფორმით:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 და შეიტანეთ ცვლილება.

მოდით tg x + сtgx = a. მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

ვინაიდან tg x сtgx \u003d 1, შემდეგ tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, რაც ნიშნავს

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

ახლა ორიგინალური განტოლება ასე გამოიყურება:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. ვიეტას თეორემის გამოყენებით მივიღებთ, რომ a = -1 ან a = -2.

საპირისპირო ჩანაცვლების გაკეთებისას გვაქვს:

tg x + сtgx = -1 ან tg x + сtgx = -2. ამოხსნათ მიღებული განტოლებები.

tgx + 1/tgx = -1 ან tgx + 1/tgx = -2.

ორი ურთიერთ საპასუხო რიცხვის თვისებით ვადგენთ, რომ პირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები, ხოლო მეორე განტოლებიდან გვაქვს:

tg x = -1, ე.ი. x = -π/4 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k ∈ Z).

ინტერვალი [-π; 1,1π] ფესვები ეკუთვნის: -π/4; -π/4 + π. მათი ჯამი:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

პასუხი: π/2.

მაგალითი 5. იპოვეთ განტოლების ფესვების საშუალო არითმეტიკული sin 3x + sin x = sin 2x ინტერვალზე [-π; 0.5π].

გამოსავალი:

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), შემდეგ

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x და განტოლება ხდება

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ საერთო ფაქტორს sin 2x

sin 2x(2cos x - 1) = 0. მოდით ამოხსნათ მიღებული განტოლება:

sin 2x \u003d 0 ან 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 ან cos x = 1/2;

2x = πk ან x = ±π/3 + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z).

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ფესვები

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z).

ინტერვალი [-π; 0,5π] ეკუთვნის ფესვებს -π; -π/2; 0; π/2 (ფესვების პირველი სერიიდან); π/3 (მეორე სერიიდან); -π/3 (მესამე სერიიდან). მათი არითმეტიკული საშუალოა:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

პასუხი: -π/6.

მაგალითი 6. იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა sin x + cos x = 0 [-1,25π; 2π].

გამოსავალი:

ეს განტოლება არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება. მისი ორივე ნაწილი გაყავით cosx-ზე (ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც cos x = 0, არ არის ამ განტოლების ფესვები, რადგან ერთი და იგივე რიცხვის სინუსი და კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი ერთდროულად). ორიგინალური განტოლება ასე გამოიყურება:

x = -π/4 + πk, k არის მთელი რიცხვი (k € Z).

უფსკრული [-1,25π; 2π] აქვს ფესვები -π/4; (-π/4 + π); და (-π/4 + 2π).

ამრიგად, განტოლების სამი ფესვი მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს.

პასუხი: 3.

ისწავლეთ აკეთოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი - მკაფიოდ წარმოადგინოთ პრობლემის გადაჭრის გეგმა, შემდეგ კი ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლება თქვენს მხარზე იქნება.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ამ გაკვეთილზე გავაგრძელებთ რკალის ტანგენსის შესწავლას და tg x = a ფორმის განტოლებების ამოხსნას ნებისმიერი a-სთვის. გაკვეთილის დასაწყისში განტოლებას ვხსნით ტაბულური მნიშვნელობით და ამონახსნის ილუსტრირებას გრაფიკზე, შემდეგ კი წრეზე. შემდეგი, ჩვენ ვხსნით tgx = a განტოლებას ზოგადი ფორმით და გამოვიყვანთ პასუხის ზოგად ფორმულას. გამოთვლებს ვხატავთ გრაფიკზე და წრეზე და განვიხილავთ სხვადასხვა ფორმებიპასუხი. გაკვეთილის ბოლოს გადავწყვეტთ რამდენიმე პრობლემას ამონახსნების ილუსტრაციით სქემაზე და წრეზე.

თემა: ტრიგონომეტრიული განტოლებები

გაკვეთილი: არქტანგენტი და tgx=a განტოლების ამოხსნა (გაგრძელება)

1. გაკვეთილის თემა, შესავალი

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ განტოლების ამოხსნას ნებისმიერი რეალურისთვის

2. tgx=√3 განტოლების ამოხსნა

ამოცანა 1. ამოხსენით განტოლება

მოდი ვიპოვოთ გამოსავალი ფუნქციის გრაფიკების გამოყენებით (ნახ. 1).

განვიხილოთ ინტერვალი ამ ინტერვალზე ფუნქცია მონოტონურია, რაც ნიშნავს, რომ მას მიიღწევა ფუნქციის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობით.

პასუხი:

ამოხსნათ იგივე განტოლება რიცხვითი წრის გამოყენებით (სურ. 2).

პასუხი:

3. tgx=a განტოლების ამოხსნა ზოგადი ფორმით

განტოლება ამოვხსნათ ზოგადი ფორმით (ნახ. 3).

ინტერვალზე განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი

ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი

ილუსტრირებით ციფრულ წრეზე (სურ. 4).

4. პრობლემის გადაჭრა

ამოცანა 2. ამოხსენით განტოლება

მოდით შევცვალოთ ცვლადი

ამოცანა 3. ამოხსენით სისტემა:

გამოსავალი (ნახ. 5):

ამ ეტაპზე, მნიშვნელობა არის, შესაბამისად, სისტემის ამოხსნა მხოლოდ წერტილია

პასუხი:

ამოცანა 4. ამოხსენით განტოლება

მოდით ამოვხსნათ ცვლადის ცვლილების მეთოდით:

ამოცანა 5. იპოვეთ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა ინტერვალზე

მოვაგვაროთ პრობლემა გრაფიკის გამოყენებით (სურ. 6).

განტოლებას აქვს სამი ამონახსნი მოცემულ ინტერვალზე.

ილუსტრირებას მოვახდენთ რიცხვით წრეზე (ნახ. 7), თუმცა ეს არ არის ისეთი ნათელი, როგორც გრაფიკზე.

პასუხი: სამი გამოსავალი.

5. დასკვნა, დასკვნა

ჩვენ გადავწყვიტეთ განტოლება ნებისმიერი რეალურისთვის რკალის ტანგენტის ცნების გამოყენებით. შემდეგ გაკვეთილზე გავეცნობით რკალის ტანგენტის ცნებას.

ბიბლიოგრაფია

1. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). ტუტორიალი ამისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები (პროფილის დონე) რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2009 წ.

2. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2007 წ.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზი 10 კლასისთვის ( სახელმძღვანელოსკოლებისა და კლასების სტუდენტებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით).-M .: განათლება, 1996 წ.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. ალგებრის ღრმა შესწავლა და მათემატიკური ანალიზი.-M.: განათლება, 1997 წ.

5. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აბიტურიენტებისათვის (მ.ი.სკანავის რედაქტორობით).-მ.: უმაღლესი სკოლა, 1992 წ.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. ალგებრული სიმულატორი.-K.: A. S. K., 1997 წ.

7. Saakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. ამოცანები ალგებრაში და ანალიზის დასაწყისი (სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასების მოსწავლეებისთვის). - M .: განათლება, 2003 წ.

8. A. P. Karp, ამოცანების კრებული ალგებრაში და ანალიზის პრინციპები: პროკ. შემწეობა 10-11 უჯრედისთვის. ღრმასთან ერთად სწავლა მათემატიკა.-მ.: განათლება, 2006 წ.

Საშინაო დავალება

ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2007 წ.

№№ 22.18, 22.21.

დამატებითი ვებ რესურსები

1. მათემატიკა.

2. ინტერნეტპორტალის პრობლემები. ru.

3. საგანმანათლებლო პორტალიგამოცდებისთვის მოსამზადებლად.