Cara mengalikan dua bilangan dengan pangkat berbeda. Rumus pangkat dan akar. Melanjutkan pemecahan masalah tipikal

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah dari 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah 2a2 dan 3a2 adalah 5a2 .

Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.

Jadi, jumlah dari a 2 dan a 3 adalah jumlah dari a 2 + a 3 .

Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Perkalian daya

Bilangan dengan kekuatan dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara mereka.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Itu sebabnya, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya - negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian derajat

Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lainnya dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi pangkat di $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/h.

Jika Anda perlu menaikkan angka tertentu ke pangkat, Anda dapat menggunakan . Sekarang kita akan melihat lebih dekat sifat-sifat kekuasaan.

Bilangan eksponensial membuka kemungkinan besar, mereka memungkinkan kita untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan, dan penjumlahan jauh lebih mudah daripada perkalian.

Misalnya, kita perlu mengalikan 16 dengan 64. Hasil perkalian kedua bilangan ini adalah 1024. Tapi 16 adalah 4x4, dan 64 adalah 4x4x4. Jadi 16 kali 64=4x4x4x4x4 yang juga 1024.

Angka 16 juga dapat direpresentasikan sebagai 2x2x2x2, dan 64 sebagai 2x2x2x2x2x2, dan jika kita mengalikan, kita kembali mendapatkan 1024.

Sekarang mari kita gunakan aturan. 16=4 2 , atau 2 4 , 64=4 3 , atau 2 6 , sedangkan 1024=6 4 =4 5 , atau 2 10 .

Oleh karena itu, masalah kita dapat ditulis dengan cara lain: 4 2 x4 3 =4 5 atau 2 4 x2 6 =2 10, dan setiap kali kita mendapatkan 1024.

Kita dapat memecahkan sejumlah contoh serupa dan melihat bahwa perkalian bilangan dengan pangkat berkurang menjadi penambahan eksponen, atau eksponen, tentu saja, asalkan basis faktornya sama.

Dengan demikian, kita dapat, tanpa mengalikan, segera mengatakan bahwa 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Aturan ini juga berlaku saat membagi angka dengan kekuatan, tetapi dalam kasus ini, e eksponen pembagi dikurangi dari eksponen dividen. Jadi, 2 5:2 3 =2 2 , yang dalam bilangan biasa sama dengan 32:8=4, yaitu 2 2 . Mari kita rangkum:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, di mana m dan n adalah bilangan bulat.

Pada pandangan pertama, mungkin terlihat seperti itu perkalian dan pembagian angka dengan kekuatan sangat tidak nyaman, karena pertama-tama Anda harus merepresentasikan angka dalam bentuk eksponensial. Tidak sulit untuk merepresentasikan angka 8 dan 16 dalam bentuk ini, yaitu 2 3 dan 2 4, tetapi bagaimana melakukannya dengan angka 7 dan 17? Atau apa yang harus dilakukan dalam kasus-kasus ketika angka dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial, tetapi basis ekspresi eksponensial angka sangat berbeda. Misalnya, 8×9 adalah 2 3 x 3 2 , dalam hal ini kita tidak dapat menjumlahkan eksponennya. Baik 2 5 maupun 3 5 bukanlah jawaban, juga bukan jawaban di antara keduanya.

Lalu apakah layak repot dengan metode ini sama sekali? Pasti layak. Ini memberikan keuntungan besar, terutama untuk perhitungan yang rumit dan memakan waktu.

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas tentang apa itu monomial. Dalam materi ini, kami akan menganalisis bagaimana memecahkan contoh dan masalah di mana mereka digunakan. Di sini kita akan mempertimbangkan operasi seperti pengurangan, penambahan, perkalian, pembagian monomial dan menaikkannya ke pangkat dengan indikator alami. Kami akan menunjukkan bagaimana operasi tersebut didefinisikan, menunjukkan aturan dasar untuk implementasinya dan apa yang seharusnya menjadi hasilnya. Semua ketentuan teoritis, seperti biasa, akan diilustrasikan dengan contoh masalah dengan deskripsi solusi.

Paling nyaman untuk bekerja dengan notasi standar monomial, oleh karena itu, kami menyajikan semua ekspresi yang akan digunakan dalam artikel dalam bentuk standar. Jika awalnya diatur berbeda, disarankan untuk terlebih dahulu membawanya ke formulir yang diterima secara umum.

Aturan untuk menambah dan mengurangi monomial

Operasi paling sederhana yang dapat dilakukan dengan monomial adalah pengurangan dan penambahan. Dalam kasus umum, hasil dari tindakan ini akan menjadi polinomial (monomial dimungkinkan dalam beberapa kasus khusus).

Ketika kita menambah atau mengurangi monomial, pertama-tama kita menuliskan jumlah dan perbedaan yang sesuai dalam bentuk yang diterima secara umum, setelah itu kita menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan. Jika ada istilah serupa, mereka harus diberikan, tanda kurung harus dibuka. Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh.

Contoh 1

Kondisi: tambahkan monomial 3 · x dan 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Larutan

Mari kita tuliskan jumlah dari ekspresi aslinya. Tambahkan tanda kurung dan beri tanda plus di antaranya. Kami akan mendapatkan yang berikut:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Ketika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Ini adalah polinomial, ditulis dalam bentuk standar, yang akan menjadi hasil dari penambahan monomial ini.

Menjawab:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Jika kita memiliki tiga, empat atau lebih istilah yang diberikan, kita melakukan tindakan ini dengan cara yang sama.

Contoh 2

Kondisi: geser ke dalam urutan yang benar operasi tertentu dengan polinomial

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Larutan

Mari kita mulai dengan membuka tanda kurung.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Kita melihat bahwa ekspresi yang dihasilkan dapat disederhanakan dengan mengurangi suku-suku serupa:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Kami memiliki polinomial, yang akan menjadi hasil dari tindakan ini.

Menjawab: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Pada prinsipnya, kita dapat melakukan penjumlahan dan pengurangan dua monomial, dengan beberapa batasan, sehingga kita mendapatkan monomial. Untuk melakukan ini, perlu untuk mengamati beberapa kondisi mengenai persyaratan dan pengurangan monomial. Kami akan menjelaskan bagaimana ini dilakukan dalam artikel terpisah.

Aturan untuk mengalikan monomial

Tindakan perkalian tidak memberlakukan batasan apa pun pada pengganda. Monomial yang akan dikalikan tidak boleh memenuhi persyaratan tambahan apa pun agar hasilnya menjadi monomial.

Untuk melakukan perkalian monomial, Anda perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Rekam potongan dengan benar.
2. Perluas tanda kurung dalam ekspresi yang dihasilkan.
3. Kelompokkan, jika mungkin, faktor-faktor dengan variabel yang sama dan faktor numerik secara terpisah.
4. Lakukan tindakan yang diperlukan dengan angka dan terapkan properti perkalian kekuatan dengan basis yang sama ke faktor yang tersisa.

Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dalam praktik.

Contoh 3

Kondisi: kalikan monomialnya 2 · x 4 · y · z dan - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Larutan

Mari kita mulai dengan komposisi pekerjaan.

Membuka tanda kurung di dalamnya dan kami mendapatkan yang berikut:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Yang harus kita lakukan adalah mengalikan angka dalam kurung pertama dan menerapkan properti daya ke kurung kedua. Hasilnya, kami mendapatkan yang berikut:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Menjawab: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Jika kita memiliki tiga atau lebih polinomial dalam kondisi, kita mengalikannya menggunakan algoritma yang sama persis. Kami akan mempertimbangkan masalah perkalian monomial secara lebih rinci dalam materi terpisah.

Aturan untuk menaikkan monomial menjadi kekuatan

Kita tahu bahwa produk dari sejumlah faktor identik disebut derajat dengan eksponen alami. Nomor mereka ditunjukkan oleh nomor dalam indikator. Menurut definisi ini, menaikkan monomial ke pangkat setara dengan mengalikan jumlah monomial identik yang ditunjukkan. Mari kita lihat bagaimana hal itu dilakukan.

Contoh 4

Kondisi: naikkan monomial 2 · a · b 4 ke pangkat 3 .

Larutan

Kita dapat mengganti eksponensial dengan perkalian 3 monomial 2 · a · b 4 . Mari kita tulis dan dapatkan jawaban yang diinginkan:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = 8 a 3 b 12

Menjawab:(− 2 a b 4) 3 = 8 a 3 b 12 .

Tapi bagaimana ketika derajat memiliki eksponen besar? Merekam sejumlah besar pengganda tidak nyaman. Kemudian, untuk memecahkan masalah seperti itu, kita perlu menerapkan sifat-sifat derajat, yaitu sifat-sifat derajat hasil kali dan sifat-sifat derajat dalam derajat.

Mari kita selesaikan masalah yang kami kutip di atas dengan cara yang ditunjukkan.

Contoh 5

Kondisi: naikkan 2 · a · b 4 ke pangkat ketiga.

Larutan

Mengetahui properti derajat dalam derajat, kita dapat melanjutkan ke ekspresi bentuk berikut:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Setelah itu, kita naikkan ke pangkat - 2 dan menerapkan properti eksponen:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = 8 a 3 b 4 3 = 8 a 3 b 12 .

Menjawab: 2 · a · b 4 = 8 · a 3 · b 12 .

Kami juga mencurahkan artikel terpisah untuk meningkatkan monomial menjadi kekuasaan.

Aturan untuk membagi monomial

Tindakan terakhir dengan monomial yang akan kita analisis dalam materi ini adalah pembagian monomial dengan monomial. Akibatnya, kita harus mendapatkan pecahan rasional (aljabar) (dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk mendapatkan monomial). Mari kita perjelas segera bahwa pembagian dengan nol monomial tidak terdefinisi, karena pembagian dengan 0 tidak terdefinisi.

Untuk melakukan pembagian, kita perlu menulis monomial yang ditunjukkan dalam bentuk pecahan dan menguranginya, jika memungkinkan.

Contoh 6

Kondisi: bagi monomial 9 x 4 y 3 z 7 dengan 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Larutan

Mari kita mulai dengan menulis monomial dalam bentuk pecahan.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Fraksi ini dapat dikurangi. Setelah melakukan ini, kita mendapatkan:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Menjawab:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Kondisi di mana, sebagai hasil dari pembagian monomial, kita mendapatkan monomial diberikan dalam artikel terpisah.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sebelumnya kita sudah berbicara tentang apa kekuatan angka. Dia memiliki sifat tertentu, berguna dalam memecahkan masalah: kami akan menganalisisnya dan semua kemungkinan eksponen dalam artikel ini. Kami juga akan mendemonstrasikan dengan contoh bagaimana mereka dapat dibuktikan dan diterapkan dengan benar dalam praktik.

Mari kita ingat kembali konsep derajat dengan eksponen alami, yang telah kita rumuskan sebelumnya: ini adalah produk dari jumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Kita juga perlu mengingat cara mengalikan bilangan real dengan benar. Semua ini akan membantu kami merumuskan properti berikut untuk gelar dengan indikator alami:

Definisi 1

1. Sifat utama derajat: a m a n = a m + n

Dapat digeneralisasikan menjadi: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Sifat bagi bagi pangkat yang memiliki basis yang sama: a m: a n = a m n

3. Properti derajat produk: (a b) n = a n b n

Persamaan dapat diperluas menjadi: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Sifat derajat alamiah: (a:b) n = a n: b n

5. Kami menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a m) n = a m n ,

Dapat digeneralisasikan menjadi: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Bandingkan derajat dengan nol:

• jika a > 0, maka untuk setiap n natural, a n akan lebih besar dari nol;
• dengan sama dengan 0, a n juga akan sama dengan nol;
• untuk sebuah< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• untuk sebuah< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Kesetaraan a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Pertidaksamaan a m > a n akan benar asalkan m dan n adalah bilangan asli, m lebih besar dari n dan a lebih besar dari nol dan tidak kurang dari satu.

Hasilnya, kami mendapatkan beberapa persamaan; jika Anda memenuhi semua kondisi yang ditunjukkan di atas, maka mereka akan identik. Untuk setiap persamaan, misalnya, untuk properti utama, Anda dapat menukar bagian kanan dan kiri: a m · a n = a m + n - sama dengan a m + n = a m · a n . Dalam bentuk ini, sering digunakan ketika menyederhanakan ekspresi.

1. Mari kita mulai dengan sifat utama derajat: persamaan a m · a n = a m + n akan benar untuk sembarang m dan n dan real a . Bagaimana membuktikan pernyataan ini?

Definisi dasar kekuatan dengan eksponen alami akan memungkinkan kita untuk mengubah kesetaraan menjadi produk faktor. Kami akan mendapatkan entri seperti ini:

Ini bisa disingkat menjadi (ingat sifat dasar perkalian). Hasilnya, kami mendapatkan derajat bilangan a dengan eksponen alami m + n. Jadi, a m + n , yang berarti bahwa sifat utama derajat terbukti.

Mari kita analisis contoh spesifik mengkonfirmasi ini.

Contoh 1

Jadi kami memiliki dua kekuatan dengan basis 2. Indikator alami mereka adalah 2 dan 3, masing-masing. Kami mendapatkan persamaan: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Mari kita hitung nilai untuk memeriksa kebenaran persamaan ini.

Kami akan melakukan yang diperlukan operasi matematika: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 dan 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Hasilnya, kami mendapatkan: 2 2 2 3 = 2 5 . Properti telah terbukti.

Karena sifat-sifat perkalian, kita dapat menggeneralisasikan sifat tersebut dengan memformulasikannya menjadi tiga dan lagi pangkat yang eksponennya adalah bilangan asli dan basisnya sama. Jika kita menyatakan jumlah bilangan asli n 1, n 2, dll dengan huruf k, kita mendapatkan persamaan yang benar:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Contoh 2

2. Selanjutnya, kita perlu membuktikan properti berikut, yang disebut properti hasil bagi dan melekat pada pangkat dengan basis yang sama: ini adalah persamaan a m: a n = a m n , yang berlaku untuk m dan n alami apa pun (dan m lebih besar dari n)) dan sembarang tak nol real a .

Untuk memulainya, mari kita jelaskan apa sebenarnya arti dari syarat-syarat yang disebutkan dalam rumusan tersebut. Jika kita mengambil sama dengan nol, maka pada akhirnya kita akan mendapatkan pembagian dengan nol, yang tidak dapat dilakukan (setelah semua, 0 n = 0). Syarat bahwa bilangan m harus lebih besar dari n diperlukan agar kita dapat tetap berada dalam eksponen alami: dengan mengurangkan n dari m, kita mendapatkan bilangan asli. Jika kondisi tidak terpenuhi, kita akan mendapatkan angka negatif atau nol, dan sekali lagi kita akan melampaui studi derajat dengan indikator alami.

Sekarang kita bisa beralih ke buktinya. Dari yang dipelajari sebelumnya, kita mengingat sifat-sifat dasar pecahan dan merumuskan persamaan sebagai berikut:

a m n a n = a (m n) + n = a m

Dari sini kita dapat menyimpulkan: a m n a n = a m

Ingat kembali hubungan antara pembagian dan perkalian. Dari sini dapat disimpulkan bahwa a m n adalah hasil bagi pangkat a m dan a n . Ini adalah bukti dari properti tingkat kedua.

Contoh 3

Substitusikan angka tertentu untuk kejelasan indikator, dan nyatakan basis derajat : 5: 2 = 5 3 = 3

3. Selanjutnya, kita akan menganalisis sifat-sifat derajat hasil kali: (a · b) n = a n · b n untuk sembarang a dan b dan n natural .

Menurut definisi dasar derajat dengan eksponen alami, persamaan dapat dirumuskan kembali sebagai berikut:

Mengingat sifat-sifat perkalian, kami menulis: . Artinya sama dengan a n · b n .

Contoh 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Jika kita memiliki tiga faktor atau lebih, maka sifat ini juga berlaku untuk kasus ini. Kami memperkenalkan notasi k untuk jumlah faktor dan menulis:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Contoh 5

Dengan angka tertentu, kami mendapatkan persamaan yang benar berikut: (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. Setelah itu, kita akan mencoba membuktikan sifat hasil bagi: (a: b) n = a n: b n untuk sembarang a dan b jika b tidak sama dengan 0 dan n adalah bilangan asli.

Untuk pembuktiannya, kita bisa menggunakan properti derajat sebelumnya. Jika (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , dan (a: b) n b n = a n , maka (a: b) n adalah hasil bagi dari pembagian a n dengan b n .

Contoh 6

Mari kita hitung contohnya: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

Contoh 7

Mari kita mulai langsung dengan sebuah contoh: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Dan sekarang kami merumuskan rantai persamaan yang akan membuktikan kebenaran persamaan:

Jika kita memiliki derajat derajat dalam contoh, maka sifat ini juga berlaku untuk mereka. Jika kita memiliki bilangan asli p, q, r, s, maka itu akan benar:

a p q y s = a p q y s

Contoh 8

Mari kita tambahkan secara spesifik: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Sifat lain dari derajat dengan eksponen natural yang perlu kita buktikan adalah sifat perbandingan.

Pertama, mari kita bandingkan eksponen dengan nol. Mengapa a n > 0 asalkan a lebih besar dari 0?

Jika kita mengalikan satu angka positif dengan yang lain, kita juga akan mendapatkan angka positif. Mengetahui fakta ini, kita dapat mengatakan bahwa ini tidak tergantung pada jumlah faktor - hasil mengalikan sejumlah angka positif adalah angka positif. Dan apa itu gelar, jika bukan hasil perkalian angka? Kemudian untuk setiap pangkat n dengan basis positif dan eksponen alami, ini akan benar.

Contoh 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 dan 34 9 13 51 > 0

Juga jelas bahwa pangkat dengan basis sama dengan nol adalah nol itu sendiri. Untuk kekuatan apa pun yang kita naikkan nol, itu akan tetap nol.

Contoh 10

0 3 = 0 dan 0 762 = 0

Jika basis derajat adalah bilangan negatif, maka pembuktiannya sedikit lebih rumit, karena konsep eksponen genap / ganjil menjadi penting. Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponen genap dan dilambangkan dengan 2 · m , di mana m adalah bilangan asli.

Mari kita ingat bagaimana mengalikan bilangan negatif dengan benar: hasil kali a · a sama dengan perkalian modul, dan, oleh karena itu, akan menjadi bilangan positif. Kemudian dan derajat a 2 · m juga positif.

Contoh 11

Misalnya, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 dan - 2 9 6 > 0

Bagaimana jika eksponen dengan basis negatif adalah bilangan ganjil? Mari kita nyatakan 2 · m 1 .

Kemudian

Semua produk a · a , menurut sifat-sifat perkalian, adalah positif, dan begitu juga produknya. Tetapi jika kita mengalikannya dengan satu-satunya angka yang tersisa a , maka hasil akhirnya akan negatif.

Maka diperoleh: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Bagaimana membuktikannya?

sebuah< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Contoh 12

Misalnya, pertidaksamaan itu benar: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Tetap bagi kita untuk membuktikan properti terakhir: jika kita memiliki dua derajat, yang basisnya sama dan positif, dan eksponennya adalah bilangan asli, maka salah satunya lebih besar, eksponennya lebih kecil; dan dua derajat dengan indikator alami dan basis yang sama lebih besar dari satu, derajat yang indikatornya lebih besar lebih besar.

Mari kita buktikan pernyataan ini.

Pertama kita perlu memastikan bahwa m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Kami mengambil n dari tanda kurung, setelah itu selisih kami akan berbentuk a n · (am n − 1) . Hasilnya akan negatif (karena hasil perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif adalah negatif). Memang, menurut kondisi awal, m n > 0, maka a m n − 1 adalah negatif, dan faktor pertama adalah positif, seperti kekuatan alami apa pun dengan basis positif.

Ternyata a m a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Tetap membuktikan bagian kedua dari pernyataan yang dirumuskan di atas: a m > a benar untuk m > n dan a > 1 . Kami menunjukkan perbedaan dan mengambil n dari tanda kurung: (a m - n - 1) Kekuatan n dengan lebih besar dari satu akan memberikan hasil yang positif; dan perbedaan itu sendiri juga akan menjadi positif karena kondisi awal, dan untuk a > 1 derajat a m n lebih besar dari satu. Ternyata a m a n > 0 dan a m > a n , itulah yang perlu kita buktikan.

Contoh 13

Contoh dengan angka tertentu: 3 7 > 3 2

Sifat dasar derajat dengan eksponen bilangan bulat

Untuk derajat dengan eksponen bilangan bulat positif, sifat-sifatnya akan serupa, karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, yang berarti bahwa semua persamaan yang dibuktikan di atas juga berlaku untuknya. Mereka juga cocok untuk kasus di mana eksponennya negatif atau sama dengan nol (asalkan basis derajat itu sendiri bukan nol).

Jadi, sifat-sifat pangkat adalah sama untuk setiap basis a dan b (asalkan bilangan-bilangan ini nyata dan tidak sama dengan 0) dan setiap eksponen m dan n (asalkan bilangan bulat). Kami menulisnya secara singkat dalam bentuk rumus:

Definisi 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. tidak< b n и a − n >b n dengan bilangan bulat positif n , positif a dan b , a< b

7. m< a n , при условии целых m и n , m >n dan 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Jika basis derajat sama dengan nol, maka entri a m dan a n hanya masuk akal dalam kasus m dan n alami dan positif. Akibatnya, kami menemukan bahwa formulasi di atas juga cocok untuk kasus dengan derajat dengan basis nol, jika semua kondisi lainnya terpenuhi.

Bukti dari sifat-sifat ini dalam kasus ini sederhana. Kita perlu mengingat apa derajat dengan eksponen alami dan bilangan bulat, serta sifat-sifat tindakan dengan bilangan real.

Mari kita menganalisis properti derajat dalam derajat dan membuktikan bahwa itu benar untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat non-positif. Kita mulai dengan membuktikan persamaan (a p) q = a p q , (a p) q = a (− p) q , (a p) q = a p (− q) dan (a p) q = a (− p) (q)

Kondisi: p = 0 atau bilangan asli; q - sama.

Jika nilai p dan q lebih besar dari 0, maka kita peroleh (a p) q = a p · q . Kami telah membuktikan kesetaraan serupa sebelumnya. Jika p = 0 maka:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Oleh karena itu, (a 0) q = a 0 q

Untuk q = 0 semuanya persis sama:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Hasil: (a p) 0 = a p 0 .

Jika kedua indikator adalah nol, maka (a 0) 0 = 1 0 = 1 dan a 0 0 = a 0 = 1, maka (a 0) 0 = a 0 0 .

Ingat properti hasil bagi dalam kekuatan terbukti di atas dan tulis:

1 a p q = 1 q a p q

Jika 1 p = 1 1 … 1 = 1 dan a p q = a p q , maka 1 q a p q = 1 a p q

Kita dapat mengubah notasi ini berdasarkan aturan perkalian dasar menjadi a (− p) · q .

Juga: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

DAN (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Sifat-sifat derajat yang tersisa dapat dibuktikan dengan cara yang sama dengan mentransformasikan pertidaksamaan yang ada. Kami tidak akan membahas ini secara rinci, kami hanya akan menunjukkan poin-poin yang sulit.

Bukti properti kedua dari belakang: ingat bahwa a n > b n benar untuk setiap nilai bilangan bulat negatif dari n dan setiap positif a dan b, asalkan a kurang dari b .

Maka pertidaksamaan tersebut dapat ditransformasikan sebagai berikut:

1 a n > 1 b n

Kami menulis bagian kanan dan kiri sebagai perbedaan dan melakukan transformasi yang diperlukan:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Ingat bahwa dalam kondisi a kurang dari b , maka, menurut definisi derajat dengan eksponen alami: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n akhirnya menjadi bilangan positif karena faktor-faktornya positif. Akibatnya, kami memiliki pecahan b n - a n a n · b n , yang pada akhirnya juga memberikan hasil positif. Oleh karena itu 1 a n > 1 b n dari mana a n > b n , yang harus kita buktikan.

Properti terakhir derajat dengan eksponen bilangan bulat terbukti mirip dengan properti derajat dengan eksponen alami.

Sifat dasar derajat dengan eksponen rasional

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas apa itu derajat dengan eksponen rasional (pecahan). Sifatnya sama dengan derajat dengan eksponen bilangan bulat. Mari menulis:

Definisi 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 untuk a > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk a 0 (properti perkalian pangkat dengan dasar yang sama).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 jika a > 0 (properti bagi).

3. a b m n = a m n b m n untuk a > 0 dan b > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk a 0 dan (atau) b 0 (properti hasil kali dalam derajat pecahan).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n untuk a > 0 dan b > 0, dan jika m n > 0, maka untuk a 0 dan b > 0 (properti hasil bagi ke tingkat pecahan).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 untuk a > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk 0 (properti derajat dalam derajat).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; jika p< 0 - a p >b p (properti membandingkan derajat dengan eksponen rasional yang sama).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q pada 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Untuk membuktikan ketentuan ini, kita perlu mengingat apa itu derajat dengan pangkat pecahan, apa sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-n, dan apa sifat derajat dengan pangkat bilangan bulat. Mari kita lihat masing-masing properti.

Menurut apa derajat dengan eksponen pecahan, kita mendapatkan:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 dan a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, oleh karena itu, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Sifat-sifat akar akan memungkinkan kita untuk memperoleh persamaan:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Dari sini kita mendapatkan: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Mari kita ubah:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Eksponen dapat ditulis sebagai:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Ini adalah buktinya. Properti kedua dibuktikan dengan cara yang persis sama. Mari kita tuliskan rantai persamaan:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Bukti persamaan yang tersisa:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Properti berikutnya: mari kita buktikan bahwa untuk setiap nilai a dan b lebih besar dari 0 , jika a lebih kecil dari b , a p akan dieksekusi< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Mari kita nyatakan bilangan rasional p sebagai m n . Dalam hal ini, m adalah bilangan bulat, n adalah bilangan asli. Maka syarat p< 0 и p >0 akan diperpanjang menjadi m< 0 и m >0 . Untuk m > 0 dan a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Kami menggunakan properti akar dan menurunkan: a m n< b m n

Dengan mempertimbangkan kepositifan nilai a dan b , kami menulis ulang pertidaksamaan sebagai a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Dengan cara yang sama, untuk m< 0 имеем a a m >b m , kita mendapatkan a m n > b m n jadi a m n > b m n dan a p > b p .

Tetap bagi kita untuk membuktikan properti terakhir. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q , p > q untuk 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 akan benar a p > a q .

Bilangan rasional p dan q dapat direduksi menjadi penyebut yang sama dan mendapatkan pecahan m 1 n dan m 2 n

Di sini m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Jika p > q, maka m 1 > m 2 (dengan memperhatikan aturan perbandingan pecahan). Kemudian pada 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – pertidaksamaan a 1 m > a 2 m .

Mereka dapat ditulis ulang dalam bentuk berikut:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Kemudian Anda dapat membuat transformasi dan mendapatkan hasilnya:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Untuk meringkas: untuk p > q dan 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Sifat dasar derajat dengan eksponen irasional

Semua sifat yang dijelaskan di atas yang dimiliki oleh suatu derajat dengan eksponen rasional dapat diperluas ke derajat tersebut. Ini mengikuti dari definisinya sendiri, yang kami berikan di salah satu artikel sebelumnya. Mari kita rumuskan secara singkat sifat-sifat ini (kondisi: a > 0 , b > 0 , indikator p dan q adalah bilangan irasional):

Definisi 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , maka a p > a q .

Jadi, semua pangkat yang eksponen p dan q adalah bilangan real, asalkan a > 0, memiliki sifat yang sama.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Bagaimana cara melipatgandakan kekuatan? Kekuatan mana yang bisa dikalikan dan mana yang tidak? Bagaimana cara mengalikan angka dengan kekuatan?

Dalam aljabar, Anda dapat menemukan hasil kali pangkat dalam dua kasus:

1) jika derajat memiliki dasar yang sama;

2) jika derajat memiliki indikator yang sama.

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis harus tetap sama, dan eksponen harus ditambahkan:

Saat mengalikan derajat dengan indikator yang sama, indikator total dapat diambil dari tanda kurung:

Pertimbangkan bagaimana mengalikan kekuatan, dengan contoh-contoh spesifik.

Satuan dalam eksponen tidak ditulis, tetapi ketika mengalikan derajat, mereka memperhitungkan:

Saat mengalikan, jumlah derajat bisa berapa saja. Harus diingat bahwa Anda tidak dapat menulis tanda perkalian sebelum huruf:

Dalam ekspresi, eksponensial dilakukan terlebih dahulu.

Jika Anda perlu mengalikan angka dengan kekuatan, Anda harus terlebih dahulu melakukan eksponensial, dan baru kemudian - perkalian:

www.algebraclass.ru

Penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian kekuatan

Penambahan dan pengurangan kekuatan

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah 2a2 dan 3a2 adalah 5a2 .

Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.

Jadi, jumlah dari a 2 dan a 3 adalah jumlah dari a 2 + a 3 .

Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 jam 2 b 6 - 4 jam 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Perkalian daya

Bilangan dengan kekuatan dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara mereka.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Itu sebabnya, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian derajat

Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lainnya dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac $. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi eksponen dalam $\frac $ Jawaban: $\frac $.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac$. Jawaban: $\frac $ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

sifat derajat

Kami mengingatkan Anda bahwa dalam pelajaran ini kami memahami sifat derajat dengan indikator alami dan nol. Derajat dengan indikator rasional dan sifat-sifatnya akan dibahas dalam pelajaran untuk kelas 8.

Eksponen dengan eksponen alami memiliki beberapa sifat penting yang memungkinkan Anda untuk menyederhanakan perhitungan dalam contoh eksponen.

Properti #1
Produk dari kekuatan

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen ditambahkan.

a m a n \u003d a m + n, di mana "a" adalah bilangan apa pun, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.

Properti kekuasaan ini juga mempengaruhi produk dari tiga atau lebih kekuasaan.

Harap dicatat bahwa di properti yang ditunjukkan itu hanya tentang mengalikan kekuatan dengan basis yang sama.. Itu tidak berlaku untuk penambahan mereka.

Anda tidak dapat mengganti jumlah (3 3 + 3 2) dengan 3 5 . Hal ini dapat dimengerti jika
hitung (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 dan 3 5 = 243

Properti #2
Gelar pribadi

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen pembagi dikurangi dari eksponen dividen.

Menghitung.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Contoh. Memecahkan persamaan. Kami menggunakan properti derajat parsial.
3 8: t = 3 4

Jawaban: t = 3 4 = 81

Menggunakan properti No. 1 dan No. 2, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan ekspresi dan melakukan perhitungan.

Contoh. Sederhanakan ekspresi.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 4m 3 = 4 2m + 5

Contoh. Temukan nilai ekspresi menggunakan properti derajat.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Harap dicatat bahwa properti 2 hanya berurusan dengan pembagian kekuasaan dengan basis yang sama.

Anda tidak dapat mengganti perbedaan (4 3 4 2) dengan 4 1 . Hal ini dapat dimengerti jika Anda menghitung (4 3 4 2) = (64 16) = 48, dan 4 1 = 4

Properti #3
Eksponen

Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basis daya tetap tidak berubah, dan eksponen dikalikan.

(a n) m \u003d a n m, di mana "a" adalah bilangan apa pun, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.

Harap dicatat bahwa properti No. 4, seperti properti derajat lainnya, juga diterapkan dalam urutan terbalik.

(a n b n)= (a b) n

Artinya, untuk mengalikan derajat dengan eksponen yang sama, Anda dapat mengalikan basis, dan membiarkan eksponen tidak berubah.

Dalam contoh yang lebih kompleks, mungkin ada kasus ketika perkalian dan pembagian harus dilakukan pada pangkat dengan basis yang berbeda dan eksponen yang berbeda. Dalam hal ini, kami menyarankan Anda untuk melakukan hal berikut.

Misalnya, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Contoh eksponensial pecahan desimal.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = empat

Properti 5
Kekuatan hasil bagi (pecahan)

Untuk menaikkan hasil bagi ke pangkat, Anda dapat menaikkan dividen dan pembagi secara terpisah ke pangkat ini, dan membagi hasil pertama dengan hasil kedua.

(a: b) n \u003d a n: b n, di mana "a", "b" adalah bilangan rasional apa pun, b 0, n adalah bilangan asli apa pun.

Kami mengingatkan Anda bahwa hasil bagi dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Oleh karena itu, kita akan membahas topik menaikkan pecahan ke pangkat secara lebih rinci di halaman berikutnya.

Derajat dan Akar

Operasi dengan kekuatan dan akar. Gelar dengan negatif ,

nol dan pecahan indikator. Tentang ekspresi yang tidak masuk akal.

Operasi dengan derajat.

1. Saat mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya ditambahkan:

saya · a n = a m + n .

2. Saat membagi derajat dengan dasar yang sama, indikatornya dikurangi .

3. Derajat perkalian dua faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor tersebut.

4. Derajat perbandingan (pecahan) sama dengan perbandingan derajat pembagian (pembilang) dan pembagi (penyebut):

(a/b) n = a n / b n .

5. Saat menaikkan derajat ke pangkat, indikatornya dikalikan:

Semua rumus di atas dibaca dan dieksekusi di kedua arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

CONTOH (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operasi dengan akar. Dalam semua rumus di bawah, simbol berarti akar aritmatika(ekspresi radikal adalah positif).

1. Akar produk dari beberapa faktor sama dengan produk akar dari faktor-faktor ini:

2. Akar rasio sama dengan rasio akar dividen dan pembagi:

3. Saat menaikkan akar ke kekuatan, itu sudah cukup untuk meningkatkan kekuatan ini nomor akar:

4. Jika Anda menaikkan derajat akar sebanyak m kali dan secara bersamaan menaikkan nomor akar ke derajat ke-m, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika Anda mengurangi derajat akar sebanyak m kali dan pada saat yang sama mengekstrak akar derajat ke-m dari bilangan radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

Perluasan konsep derajat. Sejauh ini, kami hanya mempertimbangkan derajat dengan indikator alami; tetapi operasi dengan kekuatan dan akar juga dapat menyebabkan negatif, nol dan pecahan indikator. Semua eksponen ini memerlukan definisi tambahan.

Gelar dengan eksponen negatif. Kekuatan beberapa angka dengan eksponen negatif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan kekuatan angka yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen negatif:

Sekarang rumusnya saya : sebuah = sebuah m-n dapat digunakan tidak hanya untuk m, lebih dari n, tetapi juga di m, kurang dari n .

CONTOH sebuah 4: sebuah 7 = 4 — 7 = — 3 .

Jika kita menginginkan rumus saya : sebuah = saya — n adil di m = n, kita membutuhkan definisi derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Derajat setiap bilangan bukan nol dengan eksponen nol adalah 1.

CONTOH. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Derajat dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real a ke pangkat m / n, Anda perlu mengekstrak akar pangkat ke-n dari pangkat ke-m dari bilangan ini a:

Tentang ekspresi yang tidak masuk akal. Ada beberapa ekspresi seperti itu.

di mana sebuah ≠ 0 , tidak ada.

Memang, jika kita berasumsi bahwa x adalah bilangan tertentu, maka, sesuai dengan definisi operasi pembagian, kita memiliki: sebuah = 0· x, yaitu sebuah= 0, yang bertentangan dengan kondisi: sebuah ≠ 0

— nomor apapun.

Memang, jika kita berasumsi bahwa ekspresi ini sama dengan beberapa angka x, maka menurut definisi operasi pembagian kita memiliki: 0 = 0 x. Tapi kesetaraan ini berlaku untuk bilangan apa saja x, yang harus dibuktikan.

0 0 — nomor apapun.

Solusi Pertimbangkan tiga kasus utama:

1) x = 0 – nilai ini tidak memenuhi persamaan ini

2) kapan x> 0 kita peroleh: x / x= 1, yaitu 1 = 1, dari mana berikut,

Apa x- nomor berapa pun; tetapi dengan mempertimbangkan itu

kasus kami x> 0, jawabannya adalah x > 0 ;

Aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang berbeda

GELAR DENGAN INDIKATOR RASIONAL,

FUNGSI DAYA IV

69. Perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama

Teorema 1. Untuk mengalikan pangkat dengan basis yang sama, cukup dengan menambahkan eksponen, dan biarkan basis yang sama, yaitu

Bukti. Menurut definisi derajat

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Kami telah mempertimbangkan produk dari dua kekuatan. Faktanya, properti terbukti benar untuk sejumlah kekuatan dengan basis yang sama.

Teorema 2. Untuk membagi kekuasaan dengan basis yang sama, ketika indikator dividen lebih besar dari indikator pembagi, cukup untuk mengurangi indikator pembagi dari indikator dividen, dan biarkan basis yang sama, yaitu pada t > n

(sebuah =/= 0)

Bukti. Ingat bahwa hasil bagi membagi satu nomor dengan yang lain adalah nomor yang, ketika dikalikan dengan pembagi, memberikan dividen. Oleh karena itu, buktikan rumus , dimana sebuah =/= 0, itu seperti membuktikan rumus

Jika sebuah t > n , maka bilangan t - p akan alami; oleh karena itu, dengan Teorema 1

Teorema 2 terbukti.

Perhatikan bahwa rumus

dibuktikan oleh kami hanya dengan asumsi bahwa t > n . Oleh karena itu, dari apa yang telah dibuktikan, belum dapat ditarik, misalnya, kesimpulan sebagai berikut:

Selain itu, kami belum mempertimbangkan derajat dengan eksponen negatif, dan kami belum tahu arti apa yang dapat diberikan pada ekspresi 3 - 2 .

Teorema 3. Untuk menaikkan pangkat menjadi pangkat, cukup dengan mengalikan eksponen, membiarkan basis eksponennya tetap sama, itu adalah

Bukti. Menggunakan definisi derajat dan Teorema 1 dari bagian ini, kita mendapatkan:

Q.E.D.

Misalnya, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Lisan.) Tentukan X dari persamaan:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Disesuaikan) Sederhanakan:

520. (Disesuaikan) Sederhanakan:

521. Sajikan ekspresi ini sebagai derajat dengan basis yang sama:

1) 32 dan 64; 3) 85 dan 163; 5) 4 100 dan 32 50;

2) -1000 dan 100; 4) -27 dan -243; 6) 81 75 8 200 dan 3 600 4 150.