Turunan dari rumus umum untuk akar-akar persamaan tgx a. Pelajaran "Singgung busur dan tangen busur. Solusi persamaan tgx = a, ctgx = a". Solusi persamaan tgx=a dalam bentuk umum

Sebelumnya dalam program ini, siswa mendapat ide tentang solusi persamaan trigonometri, berkenalan dengan konsep arccosine dan arcsine, contoh solusi untuk persamaan cos t = a dan sin t = a. Dalam tutorial video ini, kita akan mempertimbangkan solusi dari persamaan tg x = a dan ctg x = a.

Pada awal studi topik ini, perhatikan persamaan tg x = 3 dan tg x = - 3. Jika kita menyelesaikan persamaan tg x = 3 menggunakan grafik, kita akan melihat bahwa perpotongan grafik fungsi y = tg x dan y = 3 memiliki banyak solusi, di mana x = x 1 + k. Nilai x 1 adalah koordinat x dari titik potong grafik fungsi y = tg x dan y = 3. Penulis memperkenalkan konsep arctangent: arctg 3 adalah bilangan yang tgnya adalah 3, dan bilangan ini milik interval dari -π/2 hingga /2. Dengan menggunakan konsep arctangen, solusi persamaan tan x = 3 dapat ditulis sebagai x = arctan 3 + k.

Dengan analogi, persamaan tg x \u003d - 3. Menurut grafik yang dibangun dari fungsi y \u003d tg x dan y \u003d - 3, dapat dilihat bahwa titik-titik persimpangan grafik, dan oleh karena itu solusinya dari persamaan, akan menjadi x \u003d x 2 + k. Dengan menggunakan tangen busur, solusinya dapat ditulis sebagai x = arctan (- 3) + k. Pada gambar berikut, kita akan melihat bahwa arctg (- 3) = - arctg 3.

Definisi umum dari garis singgung busur adalah sebagai berikut: garis singgung busur dari a adalah suatu bilangan dari interval dari -π / 2 sampai / 2, yang garis singgungnya adalah a. Maka solusi persamaan tg x = a adalah x = arctg a + k.

Penulis memberikan contoh 1. Temukan solusi untuk ekspresi arctg Mari kita perkenalkan notasi: tangen busur dari angka tersebut adalah x, maka tg x akan sama dengan angka yang diberikan, di mana x termasuk segmen dari -π/ 2 sampai /2. Seperti pada contoh di topik sebelumnya, kita akan menggunakan tabel nilai. Menurut tabel ini, garis singgung angka ini sesuai dengan nilai x = /3. Kami menulis solusi untuk persamaan garis singgung busur dari angka yang diberikan sama dengan / 3, / 3 juga termasuk dalam interval dari -π / 2 ke / 2.

Contoh 2 - Hitung tangen busur dari angka negatif. Menggunakan persamaan arctg (- a) = - arctg a, masukkan nilai x. Sama halnya dengan contoh 2, kita menulis nilai x, yang termasuk dalam interval dari -π/2 hingga /2. Berdasarkan tabel nilai, kita menemukan bahwa x = /3, oleh karena itu, -- tg x = - /3. Jawaban persamaannya adalah - /3.

Perhatikan Contoh 3. Selesaikan persamaan tan x = 1. Tulis x = arctan 1 + k. Dalam tabel, nilai tg 1 sesuai dengan nilai x \u003d / 4, oleh karena itu, arctg 1 \u003d / 4. Substitusikan nilai ini ke dalam rumus asli x dan tuliskan jawabannya x = /4 + k.

Contoh 4: hitung tg x = - 4.1. Dalam hal ini, x = arctg (- 4.1) + k. Karena tidak mungkin menemukan nilai arctg dalam kasus ini, jawabannya akan terlihat seperti x = arctg (- 4.1) + k.

Contoh 5 mempertimbangkan solusi dari pertidaksamaan tg x > 1. Untuk menyelesaikannya, kita plot grafik fungsi y = tg x dan y = 1. Seperti terlihat pada gambar, grafik ini berpotongan di titik x = /4 + k. Karena dalam hal ini, tg x > 1, pada grafik kita pilih luas tangentoid, yang berada di atas grafik y = 1, di mana x termasuk dalam interval dari /4 hingga /2. Kami menulis jawabannya sebagai /4 + k< x < π/2 + πk.

Selanjutnya, perhatikan persamaan ctg x = a. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = ctg x, y = a, y = - a, yang memiliki banyak titik potong. Solusi dapat ditulis sebagai x = x 1 + k, dimana x 1 = arcctg a dan x = x 2 + k, dimana x 2 = arcctg (- a). Tercatat bahwa x 2 \u003d - x 1. Ini menyiratkan persamaan arcctg (- a) = - arcctg a. Selanjutnya, definisi dari kotangen busur diberikan: kotangen busur dari a adalah suatu bilangan dari interval 0 sampai , yang kotangennya sama dengan a. Solusi dari persamaan tg x = a ditulis sebagai: x = arcctg a + k.

Di akhir pelajaran video, kesimpulan penting lainnya dibuat - ekspresi ctg x = a dapat ditulis sebagai tg x = 1/a, asalkan a tidak sama dengan nol.

INTERPRETASI TEKS:

Pertimbangkan solusi persamaan tg x \u003d 3 dan tg x \u003d - 3. Memecahkan persamaan pertama secara grafis, kita melihat bahwa grafik fungsi y \u003d tg x dan y \u003d 3 memiliki banyak titik persimpangan, absis yang kami tulis dalam bentuk

x \u003d x 1 + k, di mana x 1 adalah absis dari titik perpotongan garis y \u003d 3 dengan cabang utama tangentoid (Gbr. 1), yang penunjukannya ditemukan

arctan 3 (singgung busur tiga).

Bagaimana memahami arctg 3?

Ini adalah angka yang tangennya adalah 3 dan angka ini termasuk dalam interval (-;). Kemudian semua akar persamaan tg x \u003d 3 dapat ditulis dengan rumus x \u003d arctan 3 + k.

Demikian pula, solusi persamaan tg x \u003d - 3 dapat ditulis sebagai x \u003d x 2 + k, di mana x 2 adalah absis dari titik perpotongan garis y \u003d - 3 dengan cabang utama dari tangentoid (Gbr. 1), yang penunjukannya arctg (- 3) (singgung busur dikurangi tiga). Kemudian semua akar persamaan dapat ditulis dengan rumus: x \u003d arctg (-3) + k. Gambar tersebut menunjukkan bahwa arctg(- 3)= - arctg 3.

Mari kita merumuskan definisi dari garis singgung busur. Garis singgung busur a adalah suatu bilangan dari selang (-;), yang garis singgungnya sama dengan a.

Persamaan yang sering digunakan: arctg(-a) = -artg a, yang berlaku untuk semua a.

Mengetahui definisi tangen busur, kami menarik kesimpulan umum tentang solusi persamaan

tg x \u003d a: persamaan tg x \u003d a memiliki solusi x \u003d arctg a + k.

Pertimbangkan contoh.

CONTOH 1. Hitung arctg.

Larutan. Misalkan arctg = x, maka tgx = dan xϵ (-;). Tampilkan tabel nilai Oleh karena itu, x =, karena tg = dan (- ;).

Jadi arctg =.

CONTOH 2 Hitung arctan (-).

Larutan. Menggunakan persamaan arctg (- a) \u003d - arctg a, kami menulis:

arctg(-) = - arctg . Misalkan - arctg = x, maka - tgx = dan xϵ (-;). Oleh karena itu, x =, karena tg = dan (- ;). Tampilkan tabel nilai

Jadi - arctg=- tgх= - .

CONTOH 3. Selesaikan persamaan tgх = 1.

1. Mari kita tuliskan rumus penyelesaiannya: x = arctg 1 + k.

2. Mari kita cari nilainya tangen busur

karena tg = . Tampilkan tabel nilai

Jadi arctg1= .

3. Masukkan nilai yang ditemukan dalam rumus solusi:

CONTOH 4. Selesaikan persamaan tgx \u003d - 4.1 (tangen x sama dengan minus empat koma sepersepuluh).

Larutan. Mari kita tuliskan rumus solusinya: x \u003d arctg (- 4.1) + k.

Kami tidak dapat menghitung nilai tangen busur, jadi kami akan membiarkan solusi persamaan apa adanya.

CONTOH 5. Selesaikan pertidaksamaan tgх 1.

Larutan. Mari kita lakukan secara grafis.

1. Mari kita bangun tangentoid

y \u003d tgx dan garis lurus y \u003d 1 (Gbr. 2). Mereka berpotongan di titik-titik berbentuk x = + k.

2. Pilih interval sumbu x, di mana cabang utama tangentoid terletak di atas garis lurus y \u003d 1, karena sesuai dengan kondisi tgх 1. Ini adalah interval (;).

3. Kami menggunakan periodisitas fungsi.

Properti 2. y \u003d tg x - fungsi periodik dengan periode dasar .

Dengan mempertimbangkan periodisitas fungsi y \u003d tgx, kami menulis jawabannya:

(;). Jawabannya dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda:

Mari kita beralih ke persamaan ctg x \u003d a. Mari kita sajikan ilustrasi grafis dari solusi persamaan untuk positif dan negatif a (Gbr. 3).

Grafik fungsi y \u003d ctg x dan y \u003d a dan

y=ctg x dan y=-a

memiliki banyak titik umum yang tak terhingga, absisnya memiliki bentuk:

x \u003d x 1 +, di mana x 1 adalah absis titik potong garis y \u003d a dengan cabang utama tangentoid dan

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, di mana x 2 adalah absis titik perpotongan garis

y \u003d - tetapi dengan cabang utama tangentoid dan x 2 \u003d arcсtg (- a).

Perhatikan bahwa x 2 \u003d - x 1. Jadi kami menuliskan persamaan penting:

arcctg (-a) = - arcctg a.

Mari kita rumuskan definisinya: kotangen busur dari a adalah bilangan seperti itu dari interval (0; ) yang kotangennya sama dengan a.

Solusi dari persamaan ctg x \u003d a ditulis sebagai: x \u003d arcсtg a +.

Perhatikan bahwa persamaan ctg x = a dapat diubah ke bentuk

tg x = , kecuali jika a = 0.

Anda dapat memesan solusi terperinci untuk masalah Anda !!!

Persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tg x` atau `ctg x`) disebut persamaan trigonometri, dan kami akan mempertimbangkan rumusnya lebih lanjut.

Persamaan paling sederhana adalah `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, di mana `x` adalah sudut yang akan dicari, `a` adalah bilangan apa pun. Mari kita tulis rumus akar untuk masing-masingnya.

1. Persamaan `sin x=a`.

Untuk `|a|>1` tidak memiliki solusi.

Dengan `|a| \leq 1` memiliki jumlah tak terbatas solusi.

Rumus akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Persamaan `cos x=a`

Untuk `|a|>1` - seperti dalam kasus sinus, tidak ada solusi di antara bilangan real.

Dengan `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Rumus akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Kasus khusus untuk sinus dan kosinus dalam grafik.

3. Persamaan `tg x=a`

Memiliki jumlah solusi tak terbatas untuk setiap nilai `a`.

Rumus akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Persamaan `ctg x=a`

Ini juga memiliki jumlah solusi yang tak terbatas untuk setiap nilai `a`.

Rumus akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Rumus untuk akar persamaan trigonometri dalam tabel

Untuk sinus:
Untuk kosinus:
Untuk tangen dan kotangen:
Rumus untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik:

Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri

Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap:

• gunakan untuk mengubahnya menjadi yang paling sederhana;
• selesaikan persamaan sederhana yang dihasilkan menggunakan rumus di atas untuk akar dan tabel.

Mari kita pertimbangkan metode utama solusi menggunakan contoh.

metode aljabar.

Dalam metode ini, penggantian variabel dan substitusinya menjadi kesetaraan dilakukan.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

buat pengganti: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, lalu `2y^2-3y+1=0`,

kami menemukan akarnya: `y_1=1, y_2=1/2`, dari mana dua kasus mengikuti:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jawaban: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisasi.

Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.

Larutan. Pindah ke kiri semua suku persamaan: `sin x+cos x-1=0`. Menggunakan , kami mengubah dan memfaktorkan sisi kiri:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jawaban: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduksi menjadi persamaan homogen

Pertama, Anda perlu membawa persamaan trigonometri ini ke salah satu dari dua bentuk:

`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen derajat pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen derajat kedua).

Kemudian bagi kedua bagian dengan `cos x \ne 0` untuk kasus pertama, dan dengan `cos^2 x \ne 0` untuk yang kedua. Kami mendapatkan persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang harus diselesaikan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Larutan. Mari kita tulis ruas kanan sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` `sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ini adalah persamaan trigonometri homogen derajat kedua, membagi bagian kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita mendapatkan:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Mari kita perkenalkan penggantian `tg x=t`, sebagai hasilnya `t^2 + t - 2=0`. Akar persamaan ini adalah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \di Z`.

Menjawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Pergi ke Setengah Sudut

Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Larutan. Menerapkan rumus sudut ganda, hasilnya adalah: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Menerapkan metode aljabar yang dijelaskan di atas, kami memperoleh:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \di Z`.

Menjawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Pengenalan sudut bantu

Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, di mana a,b,c adalah koefisien dan x adalah variabel, kita membagi kedua bagian dengan `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(kuadrat (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(kuadrat (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(a^2 +b^2))`.

Koefisien di ruas kiri memiliki sifat sinus dan cosinus, yaitu jumlah kuadratnya sama dengan 1 dan modulusnya tidak lebih besar dari 1. Nyatakan sebagai berikut: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, maka:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:

Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.

Larutan. Membagi kedua ruas persamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita memperoleh:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Tunjukkan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Karena `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, kami mengambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut bantu. Kemudian kita tulis persamaan kita dalam bentuk:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Menerapkan rumus untuk jumlah sudut untuk sinus, kami menulis kesetaraan kami dalam bentuk berikut:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Menjawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Persamaan trigonometri pecahan-rasional

Ini adalah persamaan dengan pecahan, di pembilang dan penyebutnya ada fungsi trigonometri.

Contoh. Memecahkan persamaan. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Larutan. Kalikan dan bagi ruas kanan persamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya, kita mendapatkan:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Mengingat bahwa penyebut tidak boleh nol, kita mendapatkan `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Samakan pembilang pecahan dengan nol: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \di Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Mengingat ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, solusinya adalah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \di Z`.

Menjawab. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan di hampir semua bidang geometri, fisika, dan teknik. Pelajaran dimulai di kelas 10, selalu ada tugas untuk ujian, jadi cobalah untuk mengingat semua rumus persamaan trigonometri - mereka pasti akan berguna untuk Anda!

Namun, Anda bahkan tidak perlu menghafalnya, yang utama adalah memahami esensinya, dan dapat menyimpulkan. Ini tidak sesulit kelihatannya. Buktikan sendiri dengan menonton videonya.

Untuk berhasil memecahkan persamaan trigonometri nyaman digunakan metode reduksi terhadap masalah yang telah dipecahkan sebelumnya. Mari kita lihat apa inti dari metode ini?

Dalam setiap masalah yang diusulkan, Anda perlu melihat masalah yang diselesaikan sebelumnya, dan kemudian, dengan bantuan transformasi ekuivalen yang berurutan, cobalah untuk mengurangi masalah yang diberikan kepada Anda menjadi lebih sederhana.

Jadi, ketika memecahkan persamaan trigonometri, mereka biasanya membuat beberapa urutan hingga persamaan setara, tautan terakhir yang merupakan persamaan dengan solusi yang jelas. Penting untuk diingat bahwa jika keterampilan untuk memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana tidak terbentuk, maka penyelesaian persamaan yang lebih kompleks akan sulit dan tidak efektif.

Selain itu, saat menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda tidak boleh melupakan kemungkinan adanya beberapa solusi.

Contoh 1. Tentukan jumlah akar persamaan cos x = -1/2 pada interval tersebut.

Larutan:

saya jalan. Mari kita plot grafik fungsi y = cos x dan y = -1/2 dan temukan jumlah titik persekutuannya pada interval (Gbr. 1).

Karena grafik fungsi memiliki dua titik yang sama pada interval, persamaan mengandung dua akar pada interval ini.

II cara. Dengan menggunakan lingkaran trigonometri (Gbr. 2), kita menemukan jumlah titik yang termasuk dalam interval di mana cos x = -1/2. Gambar tersebut menunjukkan bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar.

III cara. Dengan menggunakan rumus akar persamaan trigonometri, kita selesaikan persamaan cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k adalah bilangan bulat (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k adalah bilangan bulat (k € Z);

x = ± (π – /3) + 2πk, k adalah bilangan bulat (k Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k adalah bilangan bulat (k € Z).

Akar 2π/3 dan -2π/3 + 2π termasuk dalam interval, k adalah bilangan bulat. Dengan demikian, persamaan memiliki dua akar pada interval tertentu.

Jawaban: 2.

Di masa depan, persamaan trigonometri akan diselesaikan dengan salah satu metode yang diusulkan, yang dalam banyak kasus tidak mengecualikan penggunaan metode lain.

Contoh 2. Tentukan banyaknya solusi dari persamaan tg (x + /4) = 1 pada interval [-2π; 2].

Larutan:

Dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan trigonometri, kita peroleh:

x + /4 = arctan 1 + k, k adalah bilangan bulat (k € Z);

x + /4 = /4 + k, k adalah bilangan bulat (k € Z);

x = k, k adalah bilangan bulat (k € Z);

Interval [-2π; 2π] milik angka -2π; -π; 0; ; 2. Jadi, persamaan memiliki lima akar pada interval tertentu.

Jawaban: 5.

Contoh 3. Tentukan jumlah akar persamaan cos 2 x + sin x cos x = 1 pada selang [-π; ].

Larutan:

Karena 1 = sin 2 x + cos 2 x (identitas trigonometri dasar), persamaan awalnya menjadi:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Hasil kali sama dengan nol, yang berarti bahwa setidaknya salah satu faktor harus sama dengan nol, oleh karena itu:

sin x \u003d 0 atau sin x - cos x \u003d 0.

Karena nilai variabel, di mana cos x = 0, bukan akar dari persamaan kedua (sinus dan cosinus dari angka yang sama tidak dapat sama dengan nol pada saat yang sama), maka kita membagi kedua bagian dari kedua persamaan dengan cos x:

sin x = 0 atau sin x / cos x - 1 = 0.

Dalam persamaan kedua, kita menggunakan fakta bahwa tg x = sin x / cos x, maka:

sin x = 0 atau tg x = 1. Dengan menggunakan rumus, kita mendapatkan:

x = k atau x = /4 + k, k adalah bilangan bulat (k Z).

Dari deret akar pertama hingga interval [-π; ] milik angka -π; 0; . Dari seri kedua: (π/4 – ) dan /4.

Dengan demikian, lima akar persamaan asli termasuk dalam interval [-π; ].

Jawaban: 5.

Contoh 4. Tentukan jumlah akar persamaan tg 2 x + tg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 pada interval [-π; 1.1π].

Larutan:

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk berikut:

tg 2 x + tg 2 x + 3(tg x + tgx) + 4 = 0 dan buatlah perubahan.

Misalkan tg x + tgx = a. Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan:

(tg x + tg x) 2 = a 2 . Mari kita perluas tanda kurung:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Karena tg x tgx \u003d 1, maka tg 2 x + 2 + tg 2 x \u003d a 2, yang artinya

tg 2 x + tg 2 x \u003d a 2 - 2.

Sekarang persamaan aslinya terlihat seperti:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Dengan menggunakan teorema Vieta, diperoleh a = -1 atau a = -2.

Membuat substitusi terbalik, kami memiliki:

tg x + tgx = -1 atau tg x + tgx = -2. Mari selesaikan persamaan yang diperoleh.

tgx + 1/tgx = -1 atau tgx + 1/tgx = -2.

Dengan sifat dua bilangan yang saling timbal balik, kita menentukan bahwa persamaan pertama tidak memiliki akar, dan dari persamaan kedua kita memiliki:

tg x = -1, mis. x = -π/4 + k, k adalah bilangan bulat (k € Z).

Interval [-π; 1,1π] akarnya milik: -π/4; -π/4 + . Jumlah mereka:

-π/4 + (-π/4 + ) = -π/2 + = /2.

Jawaban: /2.

Contoh 5. Temukan mean aritmatika dari akar persamaan sin 3x + sin x = sin 2x pada interval [-π; 0,5π].

Larutan:

Kita menggunakan rumus sin + sin = 2sin ((α + )/2) cos ((α - )/2), maka

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x dan persamaannya menjadi

2sin 2x cos x = dosa 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Kami mengeluarkan faktor persekutuan sin 2x dari tanda kurung

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Selesaikan persamaan yang dihasilkan:

dosa 2x \u003d 0 atau 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 atau cos x = 1/2;

2x = k atau x = ±π/3 + 2πk, k adalah bilangan bulat (k € Z).

Jadi kita memiliki akar

x = k/2, x = /3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k adalah bilangan bulat (k € Z).

Interval [-π; 0,5π] milik akar -π; -π/2; 0; /2 (dari rangkaian akar pertama); /3 (dari seri kedua); -π/3 (dari seri ketiga). Rata-rata aritmatika mereka adalah:

(-π - /2 + 0 + /2 + /3 - /3)/6 = -π/6.

Jawaban: -π/6.

Contoh 6. Tentukan jumlah akar persamaan sin x + cos x = 0 pada interval [-1,25π; 2].

Larutan:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen derajat pertama. Bagilah kedua bagiannya dengan cosx (nilai variabel, di mana cos x = 0, bukan akar dari persamaan ini, karena sinus dan cosinus dari bilangan yang sama tidak dapat sama dengan nol pada waktu yang sama). Persamaan aslinya terlihat seperti:

x = -π/4 + k, k adalah bilangan bulat (k € Z).

Celah [-1,25π; 2π] memiliki akar -π/4; (-π/4 + ); dan (-π/4 + 2π).

Dengan demikian, tiga akar persamaan termasuk dalam interval yang diberikan.

Jawaban: 3.

Belajarlah untuk melakukan hal yang paling penting - untuk menyajikan dengan jelas rencana untuk memecahkan masalah, dan kemudian persamaan trigonometri apa pun akan ada di pundak Anda.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Dalam pelajaran ini, kita akan melanjutkan studi tentang garis singgung busur dan penyelesaian persamaan bentuk tg x = a untuk sembarang a. Di awal pelajaran, kita akan menyelesaikan persamaan dengan nilai tabel dan mengilustrasikan solusinya pada grafik, dan kemudian pada lingkaran. Selanjutnya, kita selesaikan persamaan tgx = a dalam bentuk umum dan turunkan rumus umum untuk jawabannya. Kami mengilustrasikan perhitungan pada grafik dan pada lingkaran dan mempertimbangkan berbagai bentuk tanggapan. Di akhir pelajaran, kita akan memecahkan beberapa masalah dengan ilustrasi solusi pada grafik dan lingkaran.

Topik: Persamaan trigonometri

Pelajaran: Arctangent dan penyelesaian persamaan tgx=a (lanjutan)

1. Topik pelajaran, pengantar

Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan solusi persamaan untuk setiap real

2. Solusi persamaan tgx=√3

Tugas 1. Memecahkan persamaan

Mari kita cari solusi menggunakan grafik fungsi (Gbr. 1).

Pertimbangkan interval Pada interval ini, fungsinya monoton, yang berarti hanya tercapai pada satu nilai fungsi.

Menjawab:

Mari selesaikan persamaan yang sama menggunakan lingkaran bilangan (Gbr. 2).

Menjawab:

3. Penyelesaian persamaan tgx=a dalam bentuk umum

Mari selesaikan persamaan dalam bentuk umum (Gbr. 3).

Pada interval, persamaan memiliki solusi unik

Periode positif terkecil

Mari kita ilustrasikan pada lingkaran numerik (Gbr. 4).

4. Pemecahan masalah

Tugas 2. Memecahkan persamaan

Mari kita ubah variabelnya

Tugas 3. Memecahkan sistem:

Solusi (Gbr. 5):

Pada titik, nilainya adalah solusi dari sistem hanya titik

Menjawab:

Tugas 4. Memecahkan persamaan

Mari kita selesaikan dengan metode perubahan variabel:

Soal 5. Temukan jumlah solusi persamaan pada interval

Mari kita selesaikan masalah menggunakan grafik (Gbr. 6).

Persamaan memiliki tiga solusi pada interval tertentu.

Kami akan mengilustrasikannya pada lingkaran numerik (Gbr. 7), meskipun ini tidak sejelas pada grafik.

Jawaban: Tiga solusi.

5. Kesimpulan, kesimpulan

Kami memecahkan persamaan untuk setiap real menggunakan konsep tangen busur. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan berkenalan dengan konsep garis singgung busur.

Bibliografi

1. Aljabar dan analisis awal, kelas 10 (dalam dua bagian). Tutorial untuk lembaga pendidikan (tingkat profil) ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Aljabar dan analisis awal, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku tugas untuk lembaga pendidikan (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Aljabar dan analisis matematika untuk kelas 10 ( tutorial untuk siswa sekolah dan kelas yang mempelajari matematika secara mendalam).-M.: Education, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Studi mendalam tentang aljabar dan analisis matematika.-M.: Pendidikan, 1997.

5. Kumpulan tugas matematika untuk pelamar ke universitas teknik (di bawah editor M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Simulator Aljabar.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Tugas dalam aljabar dan awal analisis (manual untuk siswa di kelas 10-11 lembaga pendidikan umum) - M .: Pendidikan, 2003.

8. A.P. Karp, Kumpulan Soal Aljabar dan Prinsip Analisis: Proc. penyisihan untuk 10-11 sel. dengan mendalam belajar matematika.-M.: Pendidikan, 2006.

Pekerjaan rumah

Aljabar dan Analisis Awal, Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku tugas untuk lembaga pendidikan (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Sumber daya web tambahan

1. Matematika.

2. Masalah portal internet. ru.

3. Portal pendidikan untuk mempersiapkan ujian.