Идеальный газ в потенциальном силовом поле. Распределение молекул идеального газа во внешнем потенциальном поле. Все силы направлены по одной прямой, поэтому

Заменив в Барометрической формуле p через nkT получим закон изменения концентрации газа с высотой:

Где n 0 – концентрация газа на высоте h=0

Преобразуем, заменив M/R равным ему отношению m 0 /k

Где m 0 - масса одной молекулы, k – постоянная Больцмана

С уменьшением температуры концентрации газа на высотах отличных от нуля, убывает, обращаясь в ноль при температуре T=0

При абсолютном нуле все молекулы воздуха расположились бы на земной поверхности.

При больших температурах наоборот концентрация слабо уменьшается с высотой.

Распределение молекул газа получается в результате действия двух «конкурирующих» тенденций: 1. притяжение к земле, 2. тепловое движение

На разной высоте молекула обладает разной потенциальной энергией => распределение молекул газа по высоте, является в тоже время распределением их по значениям потенциальной энергии.

Таким образом получаем:

Из этого => что молекулы располагаются с большей концентрацией (плотностью) тела, где их потенциальная энергия меньше, и наоборот, с меньшей плотностью в местах, где их потенциальная энергия больше.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул .

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул .

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 68). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости , и если - среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

Для определения представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра:

где n - концентрация молекул, V = pd2 - средняя скорость молекулы или путь, пройденным ею за 1 с). Таким образом, среднее число столкновений

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

1. 4. Барометрическая формула.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул, с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул газа и его давление с высотой убывают. Выведем закон изменения давления газа с высотой, предполагая при этом, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте hравнор, то на высотеh+dhоно равно р +dp(рис.1.2). Приdh> 0,dр < 0, т.к. давление с высотой убывает. Разность давлений р и (р +dр) равна гидростатическому давлению столба газа авсd, заключенного в объеме цилиндра высотойdhи площадью с основанием равным единице. Это з апишется в следующем виде:p- (p+dp) =gρdh, -dp=gρdhилиdp= ‑gρdh, гдеρ– плотность газа на высотеh. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа рV=mRT/Mи выразим плотностьρ=m/V=pM/RT. Подставим это выражение в формулу дляdр:

dp= -pMgdh/RTилиdp/p= -Mgdh/RT

Интегрирование данного уравнения дает следующий результат: Здесь С – константа и в данном случае удобно обозначить постоянную интегрирования черезlnC. Потенцируя полученное выражение, находим, что

При условии h=0 получим, что С=р 0 , где р 0 -давление на высотеh=0.

Д анное выражение называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты, или высоту, если известно давление.

Зависимость давления от высоты демонстрирует рисунок 1.3. Прибор для определения высоты над уровнем моря называется высотомером или альтиметром. Он представляет собой барометр, проградуированный в значениях высоты.

1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле. @

Если воспользоваться выражением р = nkT, то можно привести барометрическую формулу к виду:

з десьn– концентрация молекул на высотеh,n 0 – то же у поверхности Земли. Так как М =m 0 N A , гдеm 0 – масса одной молекулы, аR=kN A , то мы получим П =m 0 gh– это потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения. ПосколькуkT~‹ε пост ›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε пост ›

Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записать

П остоянство ‹υ кв › объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функциюf(u), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равныеdu, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекулdN(u), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.).

Функция f(v) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале отu до u+ du. Это число - dN(u)/N= f(u)du.Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид для функции f(u)

Д анное выражение - это закон о распределении молекул идеального газа по скоростям.Конкретный вид функции зависит от рода газа, массы его молекул и температуры (рис.1.5). Функция f(u)=0 при u=0 и достигает максимума при некотором значении u в, а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно максимума. Относительное число молекул dN(u)/N, скорости которых лежат в интервале du и равное f(u)du, находится как площадь заштрихованной полоски основанием dv и высотой f(u), показанной на рис.1.4. Вся площадь, ограниченная кривой f(u) и осью абсцисс равна единице, потому что, если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скорости, то получается единица. Как показано на рис.1.5, с ростом температуры кривая распределения смещается вправо, т.е. растет число быстрых молекул, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. N = const.

Скорость u в, при которой функция f(u) достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функцииf(v) ′ = 0 следует, что

Н а рисунке 1.4. отмечена еще одна характеристика – средняя арифметическая скорость молекулы. Она определяется по формуле:

Опыт, проведенный немецким физиком О.Штерном, экспериментально подтвердил справедливость распределения Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью проходит платиновая проволока, покрытая слоем серебра. Если пропустить по проволоке ток,она нагревается и серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если прибор будет вращаться, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние. Исследование количество осадка позволяет оценить распределение молекул по скоростям. Оказалось, что распределение соответствует максвелловскому.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул.

т 0 m o v - (- m o v ) = 2m o v .

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой v Dt. Число этих молекул равно п DS v Dt(n - число молекул в единице объема). Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент "времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6 п DS vDt.. m o v 1/6 п DS vDt = 1/3 п m o v 2 DSDt

р = F/DS=P/(DSDt)=1/3 п m o v 2 (1),

(так как F=dP/dt).

Если газ в объеме V содержит N

(2)

р = 1/3 п m o v кв 2 (3)

Учитывая, что п = N/V, получим рV = 1/3 N m o v кв 2

или рV = 2/3 N (m o v кв 2 /2)= 2/3 E (4),

гдеЕ - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Выражение (4) (т.е. рV = 2/3E ) или эквивалентное ему (3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов . Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

p = n kT, а с другой р = 1/3 п m o v

(5),

так как молярная масса m = m 0 N A , где т 0 - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро, к = R/N A

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа, используя, что p = n kT, и р = 1/3 п m o v кв 2 , равна

e = m o v кв 2 /2 =3/2kT

Т.е. она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа .

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р , то на высоте h + dh оно равно р + dp (при dh> Оdp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh

р - (р + dp) = ρgdh,

h . Следовательно,

dp =- ρgdh. (1)

pV = m/mRT ,где m -масса газа, m -

r= m/V = pm/(RT).

Подставив в (1), получим

или

h, а давление на h p o .

(2),

так как m = m 0 N A , и R = kN A , где т o - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро.

Выражение (2) называется барометрической формулой . Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты (или, измерив давление, найти высоту). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (2) можно преобразовать, если воспользоваться выражением р = пкТ:

(3)

Здесь n h , а n o - концентрация частиц на высоте h =0.

Из формулы (3) следует, что с понижением температуры число молекул на определенной высоте h убывает. При T =0 все молекулы оказались бы на поверхности земли. Сила тяжести стремиться опустить молекулу на землю, а тепловое движение разбрасывает их по высотам, поэтому распределение молекул в атмосфере с высотой определяется балансом этих тенденций.

Если учесть, что m o gh = П

(4)

Выражение (4) называется распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (4) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где - давление газа в слое, расположенном на высоте , - давление на нулевом уровне (), - молярная масса газа, - универсальная газовая постоянная, - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где - масса молекулы газа, - постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Статистика Максвелла - Больцмана). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной . Чем выше температура , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести может изменяться за счёт двух величин: ускорения и массы частиц .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования - метода определения разности высот между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению ( и ). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде: (в м), где - средняя температура слоя воздуха между точками измерения, - температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1-0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.

В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана:

n = n0exp(-mgh / kT)

где n - концентрация молекул на высоте h, n0 - концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m - масса частиц, g - ускорение свободного падения, k - постоянная Больцмана, T - температура.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Основное уравнение молекулярно-кинœетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объёмом газа и кинœетической энергией поступательного движения его молекул.

Для вывода уравнения рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически с одной и той же скоростью v, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 1) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула массой т 0 передает стенке сосуда импульс m o v - (- m o v ) = 2m o v .

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объёме цилиндра с основанием DS и высотой v Dt. Число этих молекул равно п DS v Dt(n - число молекул в единице объёма). Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент "времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6 п DS vDt.. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс P=2m o v 1/6 п DS vDt = 1/3 п m o v 2 DSDt

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

р = F/DS=P/(DSDt)=1/3 п m o v 2 (1),

(так как F=dP/dt).

В случае если газ в объёме V содержит N молекул, движущихся с разными скоростями, то можно рассматривать среднюю квадратичную скорость, характеризующую всю совокупность молекул газа.

(2)

Уравнение (1) с учетом (2) примет вид

р = 1/3 п m o v кв 2 (3)

Учитывая, что п = N/V, получим рV = 1/3 N m o v кв 2

или рV = 2/3 N (m o v кв 2 /2)= 2/3 E (4),

гдеЕ - суммарная кинœетическая энергия поступательного движения всœех молекул газа.

Выражение (4) (ᴛ.ᴇ. рV = 2/3E ) или эквивалентное ему (3) принято называть основным уравнением молекулярно-кинœетической теории идеальных газов . Точный расчет с учетом движения молекул по всœевозможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что с одной стороны p = n kT, а с другой р = 1/3 п m o v кв 2 , получим выражение для средней квадратичной скорости

(5),

так как молярная масса m = m 0 N A , где т 0 - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро, к = R/N A . Отсюда легко найти, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с.

Средняя кинœетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа, используя, что p = n kT, и р = 1/3 п m o v кв 2 , равна

e = m o v кв 2 /2 =3/2kT

Т.е. она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, термодинамическая температура является мерой средней кинœетической энергии поступательного движения молекул идеального газа .

При выводе основного уравнения молекулярно-кинœетической теории газов и максвелловскогораспределœения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, в связи с этим молекулы равномерно распределœены по объёму. При этом молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всœех молекул одинакова. В случае если атмосферное давление на высоте h равно р , то на высоте h + dh оно равно р + dp (при dh> Оdp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объёме цилиндра высотой dh с основанием площадью, равной единице площади:

р - (р + dp) = ρgdh,

где ρ - плотность газа на высоте h . Следовательно,

dp =- ρgdh. (1)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV = m/mRT ,где m -масса газа, m - молярная масса газа), находим, что плотность газа равна

r= m/V = pm/(RT).

Подставив в (1), получим

или

Проинтегрируем это уравнение с учетом того, что р - давление на высоте h, а давление на h =0 (на поверхности земли) равноp o .

(2),

так как m = m 0 N A , и R = kN A , где т o - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро.

Выражение (2) принято называть барометрической формулой . Она позволяет найти атмосферное давление исходя из высоты (или, измерив давление, найти высоту). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелœее газ.

Барометрическую формулу (2) можно преобразовать, в случае если воспользоваться выражением р = пкТ:

(3)

Здесь n - концентрация частиц на высоте h , а n o - концентрация частиц на высоте h =0.

Из формулы (3) следует, что с понижением температуры число молекул на определœенной высоте h убывает. При T =0 всœе молекулы оказались бы на поверхности земли. Сила тяжести стремиться опустить молекулу на землю, а тепловое движение разбрасывает их по высотам, в связи с этим распределœение молекул в атмосфере с высотой определяется балансом этих тенденций.

В случае если учесть, что m o gh = П - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения то формулу можно переписать.

(4)

Выражение (4) принято называть распределœением Больцмана во внешнем потенциальном поле . Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

В случае если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределœение Больцмана (4) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Средняя длина свободного пробега молекулы равна отношению пути, пройденного молекулой за 1 с, к числу происшедших за это время столкновений: = / =1/(42r 2 n 0).

24.Внутренняя энергия идеального газа.

Внутренняя энергия – это сумма энергий молекулярных взаимодействий и энергии теплового движения молекул.

Внутренняя энергия системы зависит только от её состояния и является однозначной функцией состояния.

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна массе газа и его термодинамической температуре.

Работа газа при расширении.

Пусть в цилиндре под поршнем находится газ, занимающий объём V под давлением p. Площадь поршня S. Сила, с которой газ давит на поршень, F=pS. При расширении газа поршень понимается на высоту dh, при этом газ совершает работу A=Fdh=pSdh. Но Sdh=dV – увеличение объёма газа. Следовательно элементарная работа A=pdV. Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объёма от V1 до V2 найдём интегрированием

Результат интегрирования зависит от процесса, протекающего в газах.

При изохорном процессе V=const, следовательно, dV=0 и A=0.

При изобарном процессе p=const, тогда

Работа при изобарном расширении газа равна произведению давления газа на увеличение объёма.

При изотермическом процессе T=const. p=(mRT)/(MV).

Количество теплоты.

Энергия, переданная газу путём теплообмена, называется количеством теплоты Q .

При сообщении системе бесконечно малого количества теплоты Q его температура изменится на dT.

26. Теплоёмкостью С системы называют величину, равную отношению сообщенного системе количества теплоты Q к изменению температуры dT системы: C=Q/dT.

Различают удельную теплоёмкость (теплоёмкость 1 кг вещества) c=Q/(mdT) и молярную теплоёмкость (теплоёмкость 1 моль вещества) c=Mc.

При различных процессах, протекающих в термодинамических системах, теплоёмкости будут различны.

Больцмана распределение

Больцмана распределение , статистически равновесная функция распределения по импульсам р и координатам r частиц идеального газа, молекулы которого движутся по законам классической механики, во внешнем потенциальном поле:

Здесь p 2 /2m - кинетическая энергия молекулы массой m, U(ν) - её потенциальная энергия во внешнем поле, Т - абсолютная температуpa газа. Постоянная А определяется из условия, что суммарное число частиц, находящихся в различных возможных состояниях, равно полному числу частиц в системе (условие нормировки).
Больцмана распределение представляет собой частный случай канонического распределения Гиббса для идеального газа во внешнем потенциальном поле, т. к. при отсутствии взаимодействия между частицами распределение Гиббса распадается на произведение Больцмана распределения для отдельных частиц. Больцмана распределение при U=0 даёт Максвелла распределение. Фкнкцию распределения (1) иногда называют распределением Максвелла - Больцмана, а распределением Больцмана называют функцию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц и представляющую собой плотность числа частиц в точке ν:

где n 0 - плотность числа частиц системы в отсутствии внешнего поля. Отношение плотностей числа частиц в различных точках зависит от разности значений потенциальной энергии в этих точках

где ΔU= U(ν 1)-U(ν 2). В частности, из (3) следует барометрическая формула, определяющая распределение по высоте газа в поле тяготения над земной поверхностью. В этом случае ΔU=mgh, где g - ускорение свободного падения, m - масса частицы, h - высота над земной поверхностью. Для смеси газов с различной массой частиц Больцмана распределение показывает, что распределение парциальных плотностей частиц для каждого из компонентов независимо от других компонентов. Для газа во вращающемся сосуде U (r) определяет потенциал поля центробежных сил U (r)=-mω 2 r 2 /2, где ω - угловая скорость вращения. На этом эффекте основано разделение изотопов и высокодисперсных систем при помощи ультрацентрифуги.
Для квантовых идеальных газов состояние отдельных частиц определяется не импульсами и координатами, а квантовыми уровнями энергии Ε i частицы в поле U(r). В этом случае среднее число частиц в i-том квантовом состоянии, или среднее число заполнения, равно:

где μ - химический потенциал, определяемый из условия, что суммарное число частиц на всех квантовых уровнях Ε i равно полному числу частиц N в системе: Σin i =N. Формула (4) справедлива при таких температурахpax и плотностях, когда среднее расстояние между частицами значительно больше длины волны де Бройля, соответствующей средней тепловой скорости, т. е. когда можно пренебречь не только силовым взаимодействием частиц, но и их взаимным квантовомеханическим влиянием (нет квантового вырождения газа. (см. Вырожденный газ ). Таким образом, Больцмана распределение есть предельный случай как Ферми - Дирака распределения, так и Бозе - Эйнштейна распределения для газов малой плотности.

www.all-fizika.com

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

БОЛЬЦМАН (Boltzmann) Людвиг (1844-1906), австрийский физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1899). Вывел функцию распределения, названную его именем, и основное кинетическое уравнение газов. Дал (1872) статистическое обоснование второго начала термодинамики. Вывел один из законов теплового излучения (закон Стефана - Больцмана).

Из-за хаотического движения изменения в положении каждой частицы (молекулы, атома и т.д.) физической системы (макроскопического тела) носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружить частицу в той или иной области пространства.

Из кинематики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее радиусом-вектором или координатами.

Рассмотрим вероятность dW() обнаружить частицу в области пространства определяемой малым интервалом значений радиуса-вектора , если физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Векторный интервал будем измерять объемом dV=dxdydz.

Плотность вероятности (функция вероятности распределения значений радиуса-вектора )

.

Частица в данный момент времени реально где-то находится в указанном пространстве, значит должно выполняться условие нормировки:

Найдем функцию вероятности распределения частиц f() классического идеального газа. Газ занимает весь объем V и находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т.

При отсутствии внешнего силового поля все положения каждой частицы равновероятны, т.е. газ занимает весь объем с одинаковой плотностью. Поэтому f() = c onst.

Используя условие нормировки найдем, что

,

Если число частиц газа N, то концентрация n = N/V .

Следовательно, f(r) =n/N .

Вывод : в отсутствие внешнего силового поля вероятность dW() обнаружить частицу идеального газа в объеме dV не зависит от положения этого объема в пространстве, т.е. .

Поместим идеальный газ во внешнее силовое поле.

В результате пространственного перераспределения частиц газа плотность вероятности f() ¹ c onst.

Концентрация частиц газа n и давление его Р будут различными, т.е. в пределе где D N — среднее число частиц в объеме D V и давление в пределе , где D F- абсолютное значение средней силы, действующей нормально на площадку D S.

Если силы внешнего поля являются потенциальными и действуют в одном направлении (например, сила тяжести Земли направлена вдоль оси z), то силы давления, действующие на верхнее dS 2 и нижнее dS 1 основания объема dV, не будут равны друг другу (рис. 2.2).

В этом случае разность сил давления dF на основания dS 1 и dS 2 должна быть скомпенсирована действием сил внешнего поля .

Суммарная разность сил давления dF = nGdV,

где G — сила, действующая на одну частицу со стороны внешнего поля.

Разность сил давления (по определению давления) dF = dPdxdy. Следовательно, dP = nGdz.

Из механики известно, что потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле связана с силой этого поля соотношением .

Тогда разность давлений на верхнее и нижнее основания выделенного объема dP = — n dW p .

В состоянии термодинамического равновесия физической системы ее температура Т в пределах объема dV везде одинакова. Поэтому используем уравнение состояния идеального газа для давления dP = kTdn.

Решив совместно последние два равенства получим, что

— ndW p = kTdn или .

После преобразований найдем, что

,

где ℓ n n o — постоянная интегрирования (n o — концентрации частиц в том месте пространства, где W p =0).

После потенцирования, получим

.

Вывод: в состоянии термодинамического равновесия концентрация (плотность) частиц идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле, изменяется по закону, определяемому формулой (2.11), которую называют распределением Больцмана .

С учетом (2.11) функция вероятности распределения молекул в поле силы тяжести принимает вид

.

Вероятность обнаружить частицу идеального газа в объеме dV, расположенного у точки, определяемой радиусом-вектором , представим в виде

.

Для идеального газа давление отличается от концентрации только постоянным множителем kT (P=nkT).

Следовательно, для таких газов давление

,

Применим распределение Больцмана к атмосферному воздуху, находящему в поле тяготения Земли.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот — 78,1 %; кислород — 21 %; аргон-0,9 %. Масса атмосферы -5,15 × 10 18 кг. На высоте 20-25 км — слой озона.

Вблизи земной поверхности потенциальная энергия частиц воздуха на высоте h W p = m o gh , где m o — масса частицы.

Потенциальная энергия на уровне Земли (h=0) равна нулю (W p =0).

Если в состоянии термодинамического равновесия частицы земной атмосферы имеют температуру Т, то изменение давления атмосферного воздуха с высотой происходит по закону

.

Формула (2.15) называется барометрической формулой ; применима для разреженных смесей газов.

Заключение : для земной атмосферы чем тяжелее газ, тем быстрее падает его давление в зависимости от высоты, т.е. по мере увеличения высоты атмосфера должна все более обогащаться легкими газами. Из-за изменения температуры атмосфера не находится в равновесном состоянии. Следовательно, барометрическую формулу можно применять к малым участкам, в пределах которых изменения температуры не происходит. Кроме того, на неравновесность земной атмосферы влияет гравитационное поле Земли, которое не может удержать ее вблизи поверхности планеты. Происходит рассеивание атмосферы и тем быстрее, чем слабее гравитационное поле. Например, земная атмосфера рассеивается достаточно медленно. За время существования Земли (

4-5 млрд. лет) она потеряла малую часть своей атмосферы (в основном легких газов: водорода, гелия и др.).

Гравитационное поле Луны слабее земного, поэтому она практически полностью потеряла свою атмосферу.

Неравновесность земной атмосферы можно доказать следующим образом. Допустим, что атмосфера Земли пришла в состояние термодинамического равновесия и в любой точке ее пространства она имеет постоянную температуру. Применим формулу Больцмана (2.11), в которой роль потенциальной энергии выполняет потенциальная энергия гравитационного поля Земли, т.е.

где g — гравитационная постоянная; М з — масса Земли; m o — масса частицы воздуха; r — расстояние частицы от центра Земли.

При r ® ¥ W p =0. Поэтому распределение Больцмана (2.11) принимает вид

,

files.lib.sfu-kras.ru

11.2 Закон распределения молекул идеального газа во внешнем силовом поле

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

минус — т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем

или

Интегрируя это выражение в пределах от до h (соответственно концентрация изменяется от до n):

получим

Потенцируя полученное выражение, находим

Показатель степени при exp имеет множитель , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровня до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.

physics-lectures.ru

Закон больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Алименты в Казахстане: порядок истребования и необходимые процедуры В зaвисимости от различных жизненных ситуаций может возникнуть необходимость в выплате или истребовании алиментов. В данной статье вы узнаете, что такое алименты, […]

Полученная в § 92 барометрическая формула

(см. (92.4)) дает зависимость давления от высоты над поверхностью Земли для воображаемой изотермической атмосферы. Заменим в показателе экспоненты отношение равным ему отношением ( - масса молекулы, k - постоянная Больцмана). Кроме того, подставим в соответствии с (86.7) вместо выражение а вместо - выражение Сократив затем обе части равенства на придем к формуле

(100.2)

Здесь - концентрация молекул (т. е. число их в единице объема) на высоте - концентрация молекул на высоте

Из формулы (100.2) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при (рис. 100.1). При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной поверхности.

При высоких температурах, напротив, слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно.

Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) притяжение молекул к Земле (характеризуемое силой ) стремится расположить их на поверхности Земли; 2) тепловое движение (характеризуемое величиной ) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам. Чем больше и меньше Т, тем сильнее преобладает первая тенденция, и молекулы сгущаются у поверхности Земли. В пределе при тепловое движение совсем прекращается, и под влиянием притяжения молекулы располагаются на земной поверхности. При высоких температурах превалирует тепловое движение, и плотность молекул медленно убывает с высотой.

На разной высоте молекула обладает различным запасом по тенциальной энергии:

Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением их по значениям потенциальной энергии. С учетом (100.3) формулу (100.2) можно записать следующим образом:

где - плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение - плотность молекул в том месте, где потенциальная энергия молекулы равна нулю.

Из (100.4) следует, что молекулы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, и, наоборот, с меньшей плотностью - в местах, где их потенциальная энергия больше.

В соответствии с (100.4) отношение в точках, где потенциальная энергия молекулы имеет значения равно

Больцман доказал, что распределение (100.4) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В соответствии с этим распределение (100.4) называют распределением Больцмана.

В то время как закон Максвелла дает распределение частиц по значениям кинетической энергии, закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Для обоих распределений характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе которого стоит отношение кинетической или соответственно потенциальной энергии одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию теплового движения молекулы.

Согласно формуле (100.4) количество молекул, попадающих в пределы объема расположенного в точке с координатами х, у, z, равно

Мы получили еще одно выражение закона распределения Больцмана.

Распределения Максвелла и Больцмана можно объединить в один закон Максвелла - Больцмана, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в пределах от до а координаты в пределах от х, у, z до равно

Пусть ИГ находится во внешнем гравитационном поле (в поле силы тяжести Земли). При нахождении концентрации молекул газа n (x, y, z ) в этом поле будем исходить из предположения, что любой бесконечно малый объем газа находится в состоянии механического равновесия, а температура газа T во всех точках одинакова. Только при выполнении этих условий состояние газа можно считать равновесным, так как иначе в газе возникли бы потоки вещества и теплоты, что сделало бы состояние газа неравновесным.

Поле силы тяжести Земли будем считать однородным. Ось OZ направлена вертикально вверх. Тогда концентрация молекул газа будет зависеть только от координаты z (высоты h ): n=n (z )или n =n (h ). На рис. (1) схематически изображен бесконечно малый выделенный объем газа dV=dSdz , находящийся в равновесии.

Снизу на этот выделенный объем газа воздействует давление p , а сверху – соответственно давление p+dp . Разность давлений на нижнее и верхнее основание выделенного объема газа dV=dSdz равна гидростатическому давлению:

где: r= (Mp )/(RT ) – плотность газа, g – ускорение свободного падения, M – молярная масса газа.

Подставим в полученное выражения плотность газа:

Из этого уравнения следует, что

Интегрирование последнего уравнения при условии позволяет определить зависимость давления от высоты:

где p 0 - давление газа на высоте, принятой за начало отсчета.

С учетом формулы для постоянной Больцмана:

и того, что М = m 0 N A и z = h

Барометрическая формула:

Барометрическая формула позволяет рассчитывать зависимость давления атмосферы от высоты в случае, если температура атмосферы постоянна, а гравитационное поле - однородно. Для реальной атмосферы Земли на высотах примерно до 10 км её температура уменьшается в среднем на 6 К на 1 км подъема. Далее до высот порядка 20 км температура остается практически постоянной, а выше - постепенно возрастает до ~ 270 К на высоте около 55 км. На этой высоте давление атмосферы становится уже меньше 0,001 от атмосферного давления на уровне моря.

Несмотря на указанную зависимость температуры атмосферы Земли от высоты, барометрическая формула позволяет достаточно точно определять высоту по результатам измерения давления, что нашло применение в приборах, предназначенных для определения высоты полета самолетов.

Распределение Больцмана было получено в 1866 году Л. Больцманом. Это распределение позволяет рассчитывать концентрацию газа, находящегося в равновесном состоянии во внешнем силовом поле. Причем это поле не должно быть обязательно гравитационным, а может иметь любое происхождение, в частности, быть электростатическим или полем сил инерции.

Анализ распределения Больцмана показывает, что концентрация молекул газа тем выше, чем меньше их потенциальная энергия. Кроме этого, с понижением температуры увеличивается отличие концентраций в точках с различными значениями потенциальной энергии молекул. А при стремлении температуры к абсолютному нулю, молекулы начинают скапливаться в месте, где их потенциальная энергия принимает наименьшее значение. Указанные особенности распределения Больцмана являются следствием теплового движения молекул, так как кинетическая энергия их поступательного движения в среднем равна W к = (3/2 )kT и уменьшается пропорционально уменьшению температуры. А уменьшение кинетической энергии приводит к уменьшению количества молекул, способных преодолеть потенциальный порог, высота которого характеризуется величиной потенциальной энергии высотой W p .

Опыт Перрена.

Распределение Больцмана было использовано французским физиком Жаном Батистом Перреном (1870–1942) при экспериментальном определения постоянной Больцмана k и постоянной Авогадро N A .

В работах, выполненных Перреном в 1908-1911 гг., измерялось распределение концентрации микроскопических частиц во внешнем гравитационном поле. Отметим, что совокупность микрочастиц, находящихся во взвешенном состоянии в жидкости, близка по своей молекулярно-кинетической структуре к идеальному газу и может описываться газовыми законами. Это дает возможность при определении распределения микрочастиц во внешнем силовом поле использовать формулу Больцмана.

Исследуя в микроскоп броуновское движение, Ж. Перрен убедился, что броуновские частицы распределяются по высоте подобно молекулам газа в поле тяготения. Применив к этим частицам больцмановское распределение, можно записать:

где m – масса частицы,

m 1 – масса вытесненной ею жидкости;

m=4/3πr 3 ρ, m 1 = 4/3πr 3 ρ 1

(r – радиус частицы, ρ – плотность частицы, ρ 1 – плотность жидкости).

Если n 1 и n 2 – концентрации частиц на уровнях h 1 и h 2 ,

Значение N A , получаемое из работ Ж. Перрена, соответствовало значениям, полученным в других опытах. Это подтверждает применимость к броуновским частицам распределения Больцмана.