Διάταξη ευθειών στη διαστημική παρουσίαση. Η σχετική θέση των γραμμών στο χώρο
Διαφάνεια 1
Διαφάνεια 2
Στόχοι μαθήματος: Εισάγετε τον ορισμό των λοξών γραμμών. Εισάγετε διατυπώσεις και αποδείξτε το πρόσημο και την ιδιότητα των λοξών γραμμών.
Διαφάνεια 3
Θέση ευθειών στο διάστημα: α α a b a b a ∩ b a || β Ξαπλώνουν στο ίδιο επίπεδο!
Διαφάνεια 4
??? Δίνεται ένας κύβος ABCDA1B1C1D1 Είναι παράλληλες οι ευθείες AA1 και DD1; AA1 και CC1; Γιατί; AA1 || Το DD1, όπως και οι απέναντι πλευρές ενός τετραγώνου, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. AA1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1 από το θεώρημα τριών παράλληλων ευθειών. 2. Είναι τα AA1 και DC παράλληλα; Τέμνονται; Δύο γραμμές ονομάζονται λοξές αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Διαφάνεια 5
Σημάδι των γραμμών διέλευσης. Αν μία από τις δύο ευθείες βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο και η άλλη ευθεία τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τότε αυτές οι ευθείες τέμνονται. α β
Διαφάνεια 6
Σημάδι των γραμμών διέλευσης. Δίνονται: AB α, CD ∩ α = C, C AB. α β Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι το CD και το AB βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Έστω αυτό το επίπεδο β. Να αποδείξετε ότι το AB σταυρώνει το CD A B C D α συμπίπτει με το β Τα επίπεδα συμπίπτουν, κάτι που δεν μπορεί να ισχύει, επειδή γραμμή CD τέμνει α. Το επίπεδο στο οποίο ανήκουν τα AB και CD δεν υπάρχει και επομένως, με τον ορισμό των τεμνόμενων γραμμών, το AB τέμνει το CD. Και τα λοιπά.
Διαφάνεια 7
Ενοποίηση του θεωρήματος που μελετήθηκε: Προσδιορίστε τη σχετική θέση των ευθειών AB1 και DC. 2. Υποδείξτε τη σχετική θέση της ευθείας γραμμής DC και του επιπέδου AA1B1B 3. Είναι η ευθεία AB1 παράλληλη με το επίπεδο DD1С1С;
Διαφάνεια 8
Θεώρημα: Μέσα από κάθε μία από τις δύο λοξές γραμμές διέρχεται ένα επίπεδο παράλληλο με το άλλο επίπεδο και μόνο ένα. Δίνεται: Το ΑΒ διασταυρώνεται με το CD. Κατασκευή α: AB α, CD || α. Α Β Γ Δ Μέσω του σημείου Α χαράσσουμε ευθεία ΑΕ, ΑΕ || CD. Ε 2. Οι ευθείες ΑΒ και ΑΕ τέμνονται και σχηματίζουν επίπεδο α. AB α, CD || α. Το α είναι το μόνο επίπεδο. Να αποδείξετε ότι το α είναι μοναδικό. 3. Απόδειξη: το α είναι η μόνη απόρροια των αξιωμάτων. Οποιοδήποτε άλλο επίπεδο στο οποίο ανήκει το ΑΒ τέμνει την ΑΕ και, επομένως, τη γραμμή CD.
Διαφάνεια 9
Εργο. Κατασκευάστε ένα επίπεδο α που διέρχεται από το σημείο Κ και είναι παράλληλο με τις γραμμές διασταύρωσης a και b. Κατασκευή: Μέσα από το σημείο Κ σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή a1 || ΕΝΑ. 2. Μέσα από το σημείο Κ σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή b1 || σι. a b K a1 b1 3. Σχεδιάστε ένα επίπεδο α στις τεμνόμενες ευθείες. α είναι το επιθυμητό επίπεδο.
- 1.Παράλληλες γραμμές
- 2. Διασταυρούμενες γραμμές
- 3. Διέλευση γραμμών
- 1) Παράλληλες ευθείες είναι οι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είτε συμπίπτουν είτε δεν τέμνονται.
- 2) Σημάδια παραλληλισμού:
- I. Δύο ευθείες παράλληλες σε μια τρίτη είναι παράλληλες.
- II. Εάν οι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες
- III. Εάν το άθροισμα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 180°, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
- IV. Αν οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
- Δύο ευθείες λέγεται ότι τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο.
- Οι ευθείες ονομάζονται τεμνόμενες αν μια από τις ευθείες βρίσκεται σε ένα επίπεδο και η άλλη τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν ανήκει στην πρώτη γραμμή.
- 1) Παράλληλα επίπεδα
- 2) Τέμνοντα επίπεδα
- Τα επίπεδα που δεν έχουν κοινά σημεία ονομάζονται παράλληλα
- Τα επίπεδα λέγεται ότι τέμνονται αν έχουν κοινά σημεία
- Μια ευθεία και ένα επίπεδο λέγονται παράλληλα αν δεν τέμνονται και δεν έχουν κοινά σημεία
- Ένα επίπεδο και μια ευθεία λέγεται ότι τέμνονται αν έχουν κοινό σημείο τομής
- Μια ευθεία που τέμνει ένα επίπεδο ονομάζεται κάθετη σε αυτό το επίπεδο εάν είναι κάθετη σε κάθε ευθεία που βρίσκεται στο δεδομένο επίπεδο και διέρχεται από το σημείο τομής.
Απάντησε στις ερωτήσεις:
Ναί
- Μπορεί μια ευθεία και ένα επίπεδο να μην έχουν κοινά σημεία;
- Είναι αλήθεια ότι αν δύο ευθείες δεν τέμνονται, τότε είναι παράλληλες;
- Αεροπλάνα α Και β παράλληλη, ευθεία t βρίσκεται στο επίπεδο α . Είναι αλήθεια ότι η ευθεία t είναι παράλληλη στο επίπεδο β ?
- Είναι αλήθεια ότι αν η ευθεία α είναι παράλληλη σε ένα από δύο παράλληλα επίπεδα, η ευθεία α έχει ένα κοινό σημείο με το άλλο επίπεδο;
- Είναι αλήθεια ότι τα επίπεδα είναι παράλληλα αν μια ευθεία που βρίσκεται σε ένα επίπεδο είναι παράλληλη με ένα άλλο επίπεδο;
Οχι
Ναί
Οχι
Οχι
Επίλυση προβλήματος
Σημεία Ε, F,M,N - μέση των πλευρών.
1). Αποδεικνύω: Η Ε.Φ. ll MN ;
2). Προσδιορίστε τη σχετική θέση των γραμμών DC Και ΑΒ
Δεδομένος: α || β
AO = 5,
OB = 4,
ΟΑ 1 = 3,
ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 = 6.
Βρείτε: ΑΒ και ΟΒ 1
ΕΝΑ 1
σι 1
Παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
№ 6
σι 1
ντο 1
Το τμήμα διέρχεται από τα σημεία M, N και P που βρίσκονται στις άκρες BC, AD και AA 1, αντίστοιχα.
ΕΝΑ 1
ρε 1
Τετράεδρο DABC
№ 2
Το τμήμα διέρχεται από το σημείο Μ που βρίσκεται στην άκρη DA, παράλληλα με την όψη ABC.
Βρείτε: το εμβαδόν διατομής ενός τετραέδρου με ακμή ίση με 3 cm, εάν το σημείο M είναι το μέσο της ακμής DA.
Προσδιορίστε τη σχετική θέση των γραμμών.
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ΕΝΑ 1
ρε 1
ντο 1
σι 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
Προσδιορίστε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων.
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
Προσδιορίστε τη σχετική θέση των επιπέδων.
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
σι 1
ντο 1
ρε 1
ΕΝΑ 1
- Διασταυρώνονται.
- Διατέμνω.
- Παράλληλο.
- Διασταυρώνονται.
- Διατέμνω.
- Παράλληλο.
- Διατέμνω.
- Διατέμνω.
- Παράλληλο.
- Παράλληλο.
- Διατέμνω.
- Παράλληλο.
- Εργασία για το σπίτι:
- 1. προετοιμασία για το τεστ σελ. 35-36 «Δοκιμάστε τον εαυτό σας»
Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφάνειας:
Η σχετική θέση των γραμμών στο χώρο. Διασχίζοντας ευθείες γραμμές. Δημοτικό εκπαιδευτικό ίδρυμα δευτεροβάθμια εκπαίδευση Νο 63 Shipilova E.S.
Στόχοι μαθήματος: Εισάγετε τον ορισμό των λοξών γραμμών. Εισάγετε σκευάσματα και αποδείξτε το πρόσημο και την ιδιότητα των λοξών γραμμών.
Θέση ευθειών στο διάστημα: α α a b a b a ∩ b a || β Ξαπλώνουν στο ίδιο επίπεδο!
A 1 B 1 D 1 A B D C 1 Δίνεται ένας κύβος ABC DA 1 B 1 C 1 D 1 Οι ευθείες AA 1 και DD 1 είναι παράλληλες; AA 1 και CC 1; Γιατί; ΑΑ 1 || DD 1, όπως οι απέναντι πλευρές ενός τετραγώνου, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. ΑΑ 1 || DD 1; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 από το θεώρημα τριών παράλληλων ευθειών. 2. Είναι τα AA 1 και DC παράλληλα; Τέμνονται; Δύο γραμμές ονομάζονται λοξές αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Σημάδι των γραμμών διέλευσης. Αν μία από τις δύο ευθείες βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο και η άλλη ευθεία τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τότε αυτές οι ευθείες τέμνονται. α β
Σημάδι των γραμμών διέλευσης. Δίνονται: AB α, C D ∩ α = C, C AB. α β Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι τα C D και AB βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Έστω αυτό το επίπεδο β. Να αποδείξετε ότι το AB σταυρώνει με το C D A B C D α συμπίπτει με το β Τα επίπεδα συμπίπτουν, κάτι που δεν μπορεί να ισχύει, επειδή Η ευθεία Γ Δ τέμνει την α. Το επίπεδο στο οποίο ανήκουν τα AB και C D δεν υπάρχει και επομένως, με τον ορισμό των τεμνόμενων γραμμών, το AB τέμνει το C D. Κλπ.
Ενίσχυση του θεωρήματος που μελετήθηκε: C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Να προσδιορίσετε τη σχετική θέση των ευθειών AB 1 και DC. 2. Υποδείξτε τη σχετική θέση της ευθείας DC και του επιπέδου AA 1 B 1 B 3. Είναι η ευθεία AB 1 παράλληλη προς το επίπεδο DD 1 C 1 C;
Θεώρημα: Μέσα από κάθε μία από τις δύο λοξές γραμμές διέρχεται ένα επίπεδο παράλληλο με το άλλο επίπεδο και μόνο ένα. Δίνεται: Το AB διασταυρώνεται με το C D. Κατασκευή α: AB α , C D || α. Α Β Γ Δ Μέσω του σημείου Α χαράσσουμε ευθεία ΑΕ, ΑΕ || Με τον Δ. Ε 2. Οι ευθείες ΑΒ και ΑΕ τέμνονται και σχηματίζουν επίπεδο α. AB α , C D || α. Το α είναι το μόνο επίπεδο. Να αποδείξετε ότι το α είναι μοναδικό. 3. Απόδειξη: το α είναι η μόνη απόρροια των αξιωμάτων. Οποιοδήποτε άλλο επίπεδο στο οποίο ανήκει το ΑΒ τέμνει την ΑΕ και, επομένως, την ευθεία C D.
Εργο. Κατασκευάστε ένα επίπεδο α που διέρχεται από το σημείο Κ και είναι παράλληλο με τις γραμμές διασταύρωσης a και b. Κατασκευή: Μέσα από το σημείο Κ σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή a 1 || ΕΝΑ. 2. Μέσα από το σημείο Κ χαράξτε μια ευθεία γραμμή b 1 || σι. α β Κ α 1 β 1 3 . Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο α μέσα από τεμνόμενες ευθείες. α είναι το επιθυμητό επίπεδο.
Πρόβλημα Νο. 34. A B C D M N P P 1 K Δίνονται: D (ABC), AM = M D; B N = ND; CP = PD K V N . Προσδιορίστε τη σχετική θέση των ευθειών: α) ND και AB β) RK και BC γ) M N και AB
Πρόβλημα Νο. 34. A B C D M N P K Δίνονται: D (ABC), AM = M D; B N = ND; CP = PD K V N . Προσδιορίστε τις σχετικές θέσεις των ευθειών: α) ND και AB β) RK και BC γ) M N και AB δ) MR και A C ε) K N και A C στ) M D και B C
Πρόβλημα Νο 93 α a b M N Δίνεται: a || b MN ∩ a = M Να προσδιορίσετε τη σχετική θέση των ευθειών MN u b . Διασταύρωση.
Με θέμα: μεθοδολογικές εξελίξεις, παρουσιάσεις και σημειώσεις
Η σχετική θέση των γραμμών στο χώρο
Σκοπός του μαθήματος: 1. Επανάληψη και γενίκευση γνώσεων σχετικά με το θέμα της σχετικής διάταξης των γραμμών στο χώρο. συστηματοποιούν τις αποκτηθείσες γνώσεις.2. Αναπτύξτε τις νοητικές ικανότητες, τη λογική σκέψη και τα μαθηματικά...
Master class: "Αξιώματα της στερεομετρίας. Η σχετική θέση των γραμμών στο χώρο. Η σχετική θέση μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου"
Master class: "Axioms of stereometry. Η σχετική θέση των γραμμών στο χώρο. Η σχετική θέση μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου", σύμφωνα με τον E.V.
Παρουσίαση για μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης γνώσεων και δεξιοτήτων με θέμα "Σχετική διάταξη γραμμών στο χώρο. Παράλληλες γραμμές" με χρήση EOR Βολικό για χρήση όταν απομακρυσ...
Συνοδευτικό μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης γνώσεων και δεξιοτήτων με θέμα «Η σχετική θέση των γραμμών στο χώρο. Παράλληλες γραμμές» με βάση το ESM. Περιέχει χαρακτηριστικά και συνδέσμους προς...
Αμοιβαία διάταξη γραμμών στο χώρο Υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις αμοιβαίας διάταξης δύο γραμμών στο χώρο: - οι ευθείες τέμνονται, δηλ. έχουν μόνο ένα κοινό σημείο - οι ευθείες είναι παράλληλες, δηλ. βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται - οι ευθείες τέμνονται, δηλ. μην ξαπλώνετε στο ίδιο επίπεδο
A 2 Εάν δύο σημεία μιας ευθείας βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε όλα τα σημεία της ευθείας βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο. Η ιδιότητα που εκφράζεται στο Αξίωμα Α 2 χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της «επιπεδότητας» του χάρακα σχεδίασης. Για το σκοπό αυτό, η άκρη του χάρακα εφαρμόζεται στην επίπεδη επιφάνεια του τραπεζιού. Εάν η άκρη του χάρακα είναι λεία (ίσια), τότε όλα τα σημεία του βρίσκονται δίπλα στην επιφάνεια του τραπεζιού. Εάν η άκρη είναι ανομοιόμορφη, τότε σε ορισμένα σημεία θα σχηματιστεί ένα κενό μεταξύ αυτών και της επιφάνειας του τραπεζιού.
A3 Εάν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε έχουν μια κοινή ευθεία στην οποία βρίσκονται όλα τα κοινά σημεία αυτών των επιπέδων. Σε αυτή την περίπτωση, τα επίπεδα λέγεται ότι τέμνονται σε ευθεία γραμμή. Μια σαφής απεικόνιση του αξιώματος Α3 είναι η τομή δύο παρακείμενων τοίχων, του τοίχου και της οροφής μιας τάξης.
Παραλληλισμός ευθείας και επιπέδου Αν δύο σημεία μιας ευθείας βρίσκονται σε ένα δεδομένο επίπεδο, τότε σύμφωνα με το Α2 ολόκληρη η ευθεία βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο. Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις αμοιβαίας διάταξης ευθείας γραμμής και επιπέδου στο χώρο: α) η ευθεία βρίσκεται στο επίπεδο β) η ευθεία και το επίπεδο έχουν ένα κοινό σημείο, δηλαδή τέμνονται γ) η ευθεία η γραμμή και το επίπεδο δεν έχουν ένα κοινό σημείο
Παραλληλισμός επιπέδων Άρα, γνωρίζουμε ότι αν δύο επίπεδα έχουν κοινό σημείο, τότε τέμνονται σε ευθεία γραμμή (αξίωμα Α3). Από αυτό προκύπτει ότι δύο επίπεδα είτε τέμνονται σε ευθεία γραμμή είτε δεν τέμνονται, δηλαδή δεν έχουν ένα ενιαίο κοινό σημείο. Ορισμός Δύο επίπεδα λέγονται παράλληλα αν δεν τέμνονται. Μια ιδέα για παράλληλα επίπεδα δίνεται από το πάτωμα και την οροφή του δωματίου, δύο απέναντι τοίχους, την επιφάνεια του τραπεζιού και το επίπεδο του δαπέδου.
Θεώρημα Εάν δύο τεμνόμενες ευθείες ενός επιπέδου είναι αντίστοιχα παράλληλες με δύο ευθείες ενός άλλου επιπέδου, τότε αυτά τα επίπεδα είναι παράλληλα. Απόδειξη Θεωρούμε δύο επίπεδα και β. Στο επίπεδο υπάρχουν ευθείες a και b που τέμνονται στο σημείο M, και στο επίπεδο β υπάρχουν ευθείες a 1 και b 1, και a a 1 και b 1. Ας αποδείξουμε ότι β. Αρχικά σημειώνουμε ότι με βάση τον παραλληλισμό ευθείας και επιπέδου, τα α β και β β. Ας υποθέσουμε ότι τα επίπεδα και το β δεν είναι παράλληλα. Στη συνέχεια τέμνονται κατά μήκος κάποιας ευθείας γ. Βρήκαμε ότι το επίπεδο διέρχεται από την ευθεία α, παράλληλη στο επίπεδο β, και τέμνει το επίπεδο β σε ευθεία γραμμή. Συνεπάγεται (από την ιδιότητα 1 0) ότι οι ευθείες a και c είναι παράλληλες. Αλλά το επίπεδο διέρχεται επίσης από την ευθεία b παράλληλη προς το επίπεδο β. Επομένως β γ. Έτσι, δύο ευθείες a και b διέρχονται από το σημείο M, παράλληλες στην ευθεία c. Αυτό όμως είναι αδύνατο, αφού σύμφωνα με το θεώρημα των παράλληλων ευθειών, μόνο μία ευθεία διέρχεται από το σημείο Μ, παράλληλη προς την ευθεία c. Αυτό σημαίνει ότι η υπόθεσή μας είναι εσφαλμένη και, επομένως, β. Το θεώρημα αποδεικνύεται..
