Найти наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области? Экстремумы функций нескольких переменных

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 ) - внутренняя точка областиD .

Если в D присутствует такая окрестностьUM 0 точкиM 0 , что для всех точек

то точка M 0 называется точкой локального максимума. А само значениеz(M 0 ) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M 0 называется точкой локального минимума функцииz(x,y) . А само значениеz(M 0 ) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y) . На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума:M 0 - точка максимума, так как на поверхностиz =z (x,y) соответствующая ей точкаC 0 находится выше любой соседней точкиC (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В ), которые находятся вышеC 0 , но эти точки (например,В ) не являются "соседними" с точкойC 0 .

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z" x иz" y , то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C 0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом0° к осиОх и к осиОу .

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение 1.12.

Если в точке M 0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функцииz (x,y) .

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D , которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точкиM 0 (x 0 ,y 0 ) D . ПричемM 0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

Пример 1.13.

Исследовать на экстремум:

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 2.

по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём

по теореме 1.4 в точке

Максимум. Причём

§10 Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y) , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. ГраницаГ областиD является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в областиD функцияz(x,y) достигает своего наибольшегоM и наименьшегоm значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахожденияM иm . 1. Строим чертёж, выделяем все части границы областиD и находим все "угловые" точки границы. 2. Находим стационарные точки внутриD . 3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшееM и наименьшееm значения.

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшееm значения функцииz = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой областиD , ограниченной:x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскостиОху .

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .

Граница Г областиD состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D :

3. Стационарные точки на границах l 1 , l 2 , l 3 :

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке . Как известно, такая функция достигает своих наибол. и наим. значений. Это значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т.е. при =a или =b. Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на :

1) найти критические точки функции на интервале (a,b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x=a и x=b;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция y=f(x) на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее(наименьшее) значение.

2. Если функция y=f(x) на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) – на другом.

60. Комплексные числа. Формулы Муавра.
Комплексным числом назыв. выражение вида z = x + iy, где x и y - действительные числа, а i – так назыв. мнимая единица, . Если x=0, то число 0+iy=iy назыв. числом мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действит. чисел явл. подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. . Число х назыв. действительной частью z, . Два комплексных числа и называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число Z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа z=x+iy и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M(x,y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, т.к. на ней лежат действительные числа z = x + 0i = x. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z = 0 + iy. Комплексное число Z=x+iy можно задать с помощью радиус-вектора r=OM=(x,y). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положит. Направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа Z=0 не определен. Аргумент комплексного числа - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (), т.е. - (иногда в кач-ве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку (0; )).

Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами

Сложение. Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Сложение комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Вычитание. Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1. Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Умножение. Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Отсюда, в частности, и следует: . Если числа заданы в тригонометрической форме: .

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Формула Муавра (если есть n множителей и все они одинаковые): .

Лекция 28. Исследование на экстремум функций нескольких переменных. Условный экстремум функций нескольких переменных.

Исследование функций многих переменных на экстремум – процедура гораздо более сложная, чем аналогичная процедура для функций одной переменной. Поэтому ограничимся рассмотрением этого вопроса на наиболее простом и наглядном примере функции двух переменных (см рис.1). Здесь M 1 (x 1 ; y 1 ), M 2 (x 2 ; y 2 ), M 3 (x 3 ; y 3 )– точки экстремума этой функции. А именно, точки М 1 и М 3 – точки минимума функции, а точка М 2 – точка ее максимума. На рис.1 представлена функция с тремя точками экстремума, но этих точек, естественно, может быть и больше, и меньше.

Определим более точно, что такое точки экстремума для функции двух переменных.

Определение . Функция имеет максимум (минимум ) в точке , если для любой точки , находящейся в некоторой окрестности - окрестности точки , выполняется (). - окрестность можно представить множеством точек , координаты которых удовлетворяют условию , где - положительное достаточно малое число.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами , а - экстремальной точкой .

Пусть M 0 (x 0 ; y 0 )– точка какого-либо экстремума (точка максимума или точка минимума) функции . Тогда справедлива

Теорема 1.

Если в точке экстремума M 0 (x 0 ; y 0 ) существуют частные производные и , то обе они равны нулю:

2) Рассмотрим теперь функцию . Так как – экстремальное значение этой функции, то производная этой функции при y = y 0 , если она существует, равна нулю:

Теорема доказана.

Заметим, что условия (1) являются лишь необходимыми условиями экстремума в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) дифференцируемой в этой точке функции . То есть, эти условия не являются достаточными условиями того, что в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) функция будет иметь экстремум (максимум или минимум). Иначе говоря, точка M 0 (x 0 ; y 0 ), в которой выполняются оба равенства (1), является лишь подозрительной на экстремум точкой для функции . Окончательный вывод о характере такой подозрительной на экстремум точки можно сделать с помощью следующей теоремы (приведем ее без вывода):

Теорема 2. (Достаточные условия экстремума )

Пусть M 0 (x 0 ; y 0 ) – такая точка из области D определения функции , что для нее выполняются необходимые условия (1) экстремума этой функции. То есть M 0 (x 0 ; y 0 ) – подозрительная на экстремум точка. Найдем в этой точке числа

1) Если > 0 и > 0 (или С>0 при А=0 ), то M 0 (x 0 ; y 0 ) – точка минимума функции .

2) Если > 0 и < 0 (или С<0 при А=0 ), то M 0 (x 0 ; y 0 ) – точка максимума функции .

3) Если < 0, то точка M 0 (x 0 ; y 0 ) – не точка экстремума функции .

4) Если = 0, то вопрос остается открытым – нужно дополнительное исследование.

Пример 1. Пусть х и у – количества двух произведенных товаров; p 1 = 8 руб. и p 2 = 10 руб. – цена единицы каждого из этих товаров соответственно; C = 0,01(x 2 + xy+ y 2 ) – функция затрат (в рублях) на производство этих товаров. Тогда доход R от продажи товаров составит R = 8x+10y (руб.), а прибыль П составит (в рублях)

П = R – C = 8x + 10y – 0,01(x 2 +xy+y 2 ).

Найдем объемы х и у товаров, при которых прибыль П будет максимальной.

1) Сначала найдем значения (х;у ), подозрительные на экстремум для функции П:

2) Теперь исследуем найденную подозрительную на экстремум для функции П точку М 0 (200; 400). Для этого найдем в этой точке значения , определяемые выражениями (4). Так как

и это верно для любых (х; у ), а значит, и в точке М 0 (200; 400), то

Так как а то точка М 0 (200; 400) – точка максимума функции П . То есть прибыль П от продаж будет максимальной при х = 200 (ед) и у = 400 (ед) и равна 2800 руб.

Пример 2. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение. Данная функция – функция двух переменных, определенная для любых х и у , то есть на всей плоскости хоу , и имеющая в каждой ее точке частные производные первого порядка:

Сначала найдем точки плоскости хоу , подозрительные на экстремум для данной функции :

Затем, найдя частные производные второго порядка от функции , запишем выражения для :

Вычисляя теперь числовые значения этих величин для каждой из четырех подозрительных на экстремум точек, получим следующие выводы об этих точках:

Точка min .

Точка max .

Не точка экстремума.

Не точка экстремума.

Теперь найдем два экстремальных (максимальных) значения функции , определяющие высоту двух вершин графика этой функции:

Определение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть – некоторая непрерывная функция двух переменных, рассматриваемая в замкнутой области , где – внутренняя часть области , а Г – ее граница (рис. 8.6).

То, что функция непрерывна в области , означает, что график этой функции (поверхность в пространстве) является сплошной (без разрывов) поверхностью для всех . То есть понятие непрерывности функции двух переменных аналогично понятию непрерывности функции одной переменной. Как и функции одной переменной, функции двух переменных, образованные из элементарных функций, непрерывны для всех значений своих аргументов, для которых они определены. Это касается и функций трех, четырех и более переменных.

Вернемся к рис. 2. Поставим следующий вопрос: в каких точках области функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений z наиб и z наим ? И каковы эти значения? Заметим, что эта задача аналогична той, что была рассмотрена для функции одной переменной , рассматриваемой на замкнутом отрезке [a; b ] оси ох .

Очевидно, что искомые точки области , в которых функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений, содержатся либо среди точек экстремума этой функции, находящихся внутри области (в области ), либо находятся где-то на границе Г этой области. В замкнутой области такие точки заведомо найдутся (теорема Вейерштрасса). А в открытой области (без границы Г ) таких точек может и не быть.

Из сказанного выше вытекает следующая схема нахождения этих точек , аналогичная той, что была изложена для функций одной переменной.

1. Находим все подозрительные на экстремум точки функции , находящиеся в области D . Это – те точки, в которых обе частные производные и равны нулю (или одна равна нулю, а другая не существует; или обе не существуют).

2. Находим все подозрительные на экстремум точки функции , находящиеся на границе Г области . При этом используем уравнение границы Г .

3. Не исследуя найденные в пунктах 1 и 2 подозрительные точки (это излишне), находим значения функции во всех найденных подозрительных точках и выбираем те из них, где z будет наибольшим и наименьшим.

Пример 3. Найти z наиб и z наим функции , рассматриваемой в замкнутой области , представляющей собой треугольную пластинку с вершинами O (0; 0), A (1; 0), B (0; 1)(рис. 3).

Решение. Выполним изложенную выше схему.

1. Найдем внутри треугольника (в области D ) точки, подозрительные на экстремум для нашей функции z . Для этого сначала найдем частные производные первого порядка и :

Эти производные существуют (их можно вычислить) для любых (х; у) . Следовательно, точками, подозрительными на экстремум, будут лишь те, для которых обе эти частные производные равны нулю:

Точка , очевидно, принадлежит области D (рассматриваемому треугольнику). То есть она – подозрительная на экстремум точка для заданной функции z внутри треугольника, причем она там единственная.

2. Найдем теперь точки, подозрительные на экстремум, на границе треугольника.

а) Исследуем сначала участок ОА границы (у = 0; 0 £ х £ 1). На этом участке – функция одной переменной х . Ее производная существует для всех x Î . Поэтому свои экстремальные значения функция z может иметь или в точке, где , то есть в точке , или на концах отрезка ОА , то есть в точках О (0; 0) и А (1; 0).

б) Исследуем теперь участок ОВ границы треугольника (там х = 0; 0 £ у £ 1). На этом участке функция (0 £ у £ 1) – функция одной переменной у . Повторяя рассуждения пункта (а), приходим к выводу, что свои экстремальные значения функция z может иметь или в точке , или на концах отрезка ОВ , то есть в точках О (0; 0) и B (0; 1).

в) Наконец, исследуем участок АВ границы. Так как на AB (убедитесь в этом) у = - х + 1 (0 £ х £ 1), то там функция z принимает вид: (0 £ х £ 1). Ее производная , поэтому своих экстремальных значений функция z может достигать лишь в точке, где , то есть в точке , либо на концах отрезка АВ , то есть в точках А и В .

Итак, полный набор подозрительных на экстремум точек функции
в треугольнике ОАВ таков:

; ; ; ; ; ; .

3. А теперь найдем значения функции z во всех найденных подозрительных точках и выберем из этих значений наибольшее значение z наиб и наименьшее значение z наим :

Таким образом, z наиб = 3 и достигается функцией z в треугольнике ОАВ сразу в двух точках – в его вершинах А и В . А и достигается функцией z в треугольнике ОАВ в его внутренней точке .

Пример 4. Городской бюджет имеет возможность потратить на социальное жилье не более 600 млн. рублей, располагая при этом проектами и участками земли под 10 пятиэтажных домов на 90 квартир каждый и под 8 девятиэтажных домов на 120 квартир каждый. Средняя сметная стоимость одной квартиры в пятиэтажном доме составляет 400 тысяч рублей, а в девятиэтажном 500 тысяч рублей. Сколько пятиэтажных и сколько девятиэтажных домов должен построить город, чтобы получить максимальное число квартир?

Решение. Пусть х – искомое количество пятиэтажных домов, у – девятиэтажных, а z – общее количество квартир в этих домах:

z = 90x + 120y

Стоимость всех квартир в пятиэтажных домах составит 90 × 0,4·х = 36х млн. рублей, а в девятиэтажных 120 × 0,5·у = 60у млн. рублей. Согласно условиям задачи имеем:

0 £ х £10; 0 £ у £ 8; 36х + 60у £ 600

Данные ограничительные неравенства выполняются, очевидно, в пятиугольнике (рис.4). В этой замкнутой области нужно найти точку М(х; у) , для которой функция z = 90x + 120y примет наибольшее значение z наиб .

Реализуем изложенную выше схему решения такого рода задач.

1. Найдем внутри пятиугольника точки, подозрительные на экстремум для функции z . Так как , и эти частные производные заведомо не равны нулю, то подозрительных на экстремум точек внутри пятиугольника нет.

2. Найдем точки, подозрительные на экстремум, на границах пятиугольника. На каждом из пяти отрезков, составляющих границу пятиугольника, функция z – линейная функция вида z = ax + by , а следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений она достигает на границах отрезков. То есть искомое наибольшее значение z наиб функция z достигает в одной из угловых точек (О; А; М 1 ; М 2 ; В) . Вычисляя значение z в этих точках, получим:

z (О ) = 0; z(A ) = 960; z(M 1 ) = 1260; z(M 2 ) = 1380; z(B ) = 900.

Таким образом z наимб = 1380 и достигается оно в точке M 2 (10; 4). То есть наибольшее число квартир (1380) получится, если будут построены 10 пятиэтажных домов и 4 девятиэтажных.

Пример 5 . Доказать, что из всех треугольников, имеющих данный периметр 2р, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.М(2p/3, 2p/3), т.к. остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи: не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра.

Исследуем на экстремум точку М(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B 2 = ;

D>0 , а т.к. А<0 , то в исследуемой точке функция достигает максимума. Итак, в единственной стационарной точке функция достигает максимума, а потому и наибольшего значения; таким образом, при х=2p/3, y=2p/3 функция достигает и наибольшего значения. Но тогда z=2p-x-y=2p/3 . А т.к. х=у=z , то треугольник – равносторонний.

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функцияz=z(x,y) , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z (x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахождения M и m .
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D .
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D , ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху .

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .

Граница Г области D состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D :

3. Стационарные точки на границах l 1 , l 2 , l 3 :

4. Вычисляем шесть значений:

Примеры

Пример 1.

Данная функция определена при всех значениях переменных x и y , кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху , исключая начало координат.

Пример 2.

Исследовать на непрерывность функцию z=tg (x,y) . Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π /2 , т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

Пример 3.

Найти частные производные функции u=z -xy , z > 0 .

Пример 4.

Показать, что функция

удовлетворяет тождеству:

– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z) , кроме точки М 0 (a;b;c) .

Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z" x =f" x (х,у) и z" y =f" y (х,у) .

В этом случае уравнение z=f (х,у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскость y = const . В сечении этой плоскостью поверхности z=f (х,у) получится некоторая линия l 1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z .

Частная производная z" x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох , касательной L 1 к кривой l 1 , получающейся в сечении поверхности z=f (х,у) плоскостью y = const в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgα .

В сечении же поверхности z=f (х,у) плоскостью х = const получится линия пересечения l 2 , вдоль которой изменяются лишь величины у и z . Тогда частная производная z" y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу , касательной L 2 к указанной линии l 2 пересечения в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgβ .

Пример 5.

Какой угол образует с осью Ох касательная к линии:

в точке М(2,4,5) ?

Используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у ):

Пример 6.

Согласно (1.31):

Пример 7.

Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z" x , z" y .

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

Пример 8.

Исследовать на экстремум:

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки.
2.

по теореме 1.4 в точке – минимум.

Причём

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Список литературы:

ü Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.

ü Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

ü Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

ü Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

ü Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.