Wie man zwei Zahlen mit unterschiedlichen Potenzen multipliziert. Formeln der Potenzen und Wurzeln. Fortgesetzte Lösung typischer Probleme

Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen durchgeführt, nur müssen die Vorzeichen des Subtrahenten entsprechend geändert werden.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder die Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gewaltenteilung

Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem sie vom Divisor subtrahiert oder in Bruchform gebracht werden.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.

Wenn Sie eine bestimmte Zahl potenzieren müssen, können Sie . Wir schauen uns das jetzt genauer an Eigenschaften von Graden.

Exponentialzahlen eröffnen große Möglichkeiten, sie erlauben uns, Multiplikation in Addition umzuwandeln, und Addition ist viel einfacher als Multiplikation.

Zum Beispiel müssen wir 16 mit 64 multiplizieren. Das Produkt der Multiplikation dieser beiden Zahlen ist 1024. Aber 16 ist 4x4 und 64 ist 4x4x4. Also 16 mal 64=4x4x4x4x4 was auch 1024 ist.

Die Zahl 16 lässt sich auch als 2x2x2x2 darstellen, und 64 als 2x2x2x2x2x2, und wenn wir multiplizieren, erhalten wir wieder 1024.

Nun wenden wir die Regel an. 16 = 4 2 oder 2 4 , 64 = 4 3 oder 2 6 , während 1024 = 6 4 = 4 5 oder 2 10 .

Daher kann unser Problem auch anders geschrieben werden: 4 2 x4 3 =4 5 oder 2 4 x2 6 =2 10, und jedes Mal erhalten wir 1024.

Wir können eine Reihe ähnlicher Beispiele lösen und sehen, dass sich die Multiplikation von Zahlen mit Potenzen auf reduziert Addition von Exponenten, oder natürlich ein Exponent, vorausgesetzt, dass die Basen der Faktoren gleich sind.

Daher können wir ohne Multiplikation sofort sagen, dass 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Diese Regel gilt auch beim Teilen von Zahlen mit Potenzen, aber in diesem Fall, z der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert. Somit ist 2 5:2 3 =2 2 , was in gewöhnlichen Zahlen gleich 32:8=4 ist, also 2 2 . Fassen wir zusammen:

ein m x ein n \u003d ein m + n, ein m: ein n \u003d ein m-n, wobei m und n ganze Zahlen sind.

Auf den ersten Blick mag es so aussehen Multiplikation und Division von Zahlen mit Potenzen nicht sehr praktisch, da Sie die Zahl zunächst in Exponentialform darstellen müssen. Es ist nicht schwierig, die Zahlen 8 und 16 in dieser Form darzustellen, also 2 3 und 2 4, aber wie macht man das mit den Zahlen 7 und 17? Oder was in den Fällen zu tun ist, wenn die Zahl in Exponentialform dargestellt werden kann, aber die Grundlagen der Exponentialausdrücke von Zahlen sehr unterschiedlich sind. Zum Beispiel ist 8×9 2 3 x 3 2 , in diesem Fall können wir die Exponenten nicht summieren. Weder 2 5 noch 3 5 ist die Antwort, noch ist die Antwort zwischen den beiden.

Lohnt es sich dann überhaupt, sich mit dieser Methode zu beschäftigen? Es lohnt sich auf jeden Fall. Gerade bei komplexen und zeitaufwändigen Berechnungen bietet es enorme Vorteile.

Im vorherigen Artikel haben wir darüber gesprochen, was Monome sind. In diesem Material werden wir analysieren, wie man Beispiele und Probleme löst, in denen sie verwendet werden. Hier betrachten wir solche Operationen wie Subtraktion, Addition, Multiplikation, Division von Monomen und deren Potenzierung mit natürlicher Indikator. Wir zeigen, wie solche Operationen definiert sind, geben die Grundregeln für ihre Implementierung an und was das Ergebnis sein sollte. Alle theoretischen Grundlagen werden wie gewohnt durch Problembeispiele mit Lösungsbeschreibungen illustriert.

Es ist am bequemsten, mit der Standardnotation von Monomen zu arbeiten, daher präsentieren wir alle Ausdrücke, die im Artikel verwendet werden, in einer Standardform. Wenn sie zunächst anders eingestellt sind, empfiehlt es sich, sie zunächst auf eine allgemein akzeptierte Form zu bringen.

Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Monomen

Die einfachsten Operationen, die mit Monomen durchgeführt werden können, sind Subtraktion und Addition. Im allgemeinen Fall ist das Ergebnis dieser Aktionen ein Polynom (in einigen Sonderfällen ist ein Monom möglich).

Wenn wir Monome addieren oder subtrahieren, schreiben wir zuerst die entsprechende Summe und Differenz in der allgemein akzeptierten Form auf, danach vereinfachen wir den resultierenden Ausdruck. Wenn es ähnliche Begriffe gibt, müssen diese angegeben werden, die Klammern müssen geöffnet werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.

Beispiel 1

Bedingung: addiere die Monome − 3 · x und 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Lösung

Schreiben wir die Summe der ursprünglichen Ausdrücke auf. Fügen Sie Klammern hinzu und setzen Sie ein Pluszeichen dazwischen. Wir erhalten Folgendes:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Wenn wir die Klammern erweitern, erhalten wir - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Dies ist ein in Standardform geschriebenes Polynom, das das Ergebnis der Addition dieser Monome ist.

Antworten:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Wenn wir drei, vier oder mehr Begriffe haben, führen wir diese Aktion auf die gleiche Weise durch.

Beispiel 2

Bedingung: reinrutschen richtige Reihenfolge bestimmte Operationen mit Polynomen

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Lösung

Beginnen wir mit dem Öffnen von Klammern.

3 ein 2 + 4 ein c + ein 2 - 7 ein 2 + 4 9 - 2 2 3 ein c

Wir sehen, dass der resultierende Ausdruck vereinfacht werden kann, indem ähnliche Terme reduziert werden:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 ein 2 + 1 1 3 ein c + 4 9

Wir haben ein Polynom, das das Ergebnis dieser Aktion sein wird.

Antworten: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Im Prinzip können wir mit einigen Einschränkungen die Addition und Subtraktion zweier Monome durchführen, sodass wir am Ende ein Monom erhalten. Dazu müssen einige Bedingungen bezüglich der Terme und subtrahierten Monome beachtet werden. Wie das geht, beschreiben wir in einem separaten Artikel.

Regeln zum Multiplizieren von Monomen

Die Multiplikationsaktion erlegt Multiplikatoren keinerlei Beschränkungen auf. Die zu multiplizierenden Monome dürfen keine weiteren Bedingungen erfüllen, damit das Ergebnis ein Monom ist.

Um eine Multiplikation von Monomen durchzuführen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Nehmen Sie das Stück richtig auf.
2. Erweitern Sie die Klammern im resultierenden Ausdruck.
3. Gruppieren Sie, wenn möglich, Faktoren mit denselben Variablen und numerischen Faktoren getrennt.
4. Führen Sie die erforderlichen Aktionen mit Zahlen durch und wenden Sie die Eigenschaft der Multiplikation von Potenzen mit denselben Basen auf die verbleibenden Faktoren an.

Mal sehen, wie das in der Praxis gemacht wird.

Beispiel 3

Bedingung: Multipliziere die Monome 2 · x 4 · y · z und - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Lösung

Beginnen wir mit der Komposition der Arbeit.

Öffnen Sie die Klammern darin und wir erhalten Folgendes:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Alles, was wir tun müssen, ist, die Zahlen in der ersten Klammer zu multiplizieren und die Potenz-Eigenschaft auf die zweite anzuwenden. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Antworten: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Wenn wir drei oder mehr Polynome in der Bedingung haben, multiplizieren wir sie mit genau demselben Algorithmus. Wir werden das Problem der Multiplikation von Monomen in einem separaten Material genauer betrachten.

Regeln für die Potenzierung eines Monoms

Wir wissen, dass das Produkt einer bestimmten Anzahl identischer Faktoren Grad mit natürlichem Exponenten genannt wird. Ihre Anzahl wird durch die Zahl im Indikator angezeigt. Nach dieser Definition ist das Potenzieren eines Monoms gleichbedeutend mit der Multiplikation der angegebenen Anzahl identischer Monome. Mal sehen, wie es gemacht wird.

Beispiel 4

Bedingung: Erhöhen Sie das Monom − 2 · a · b 4 mit 3 .

Lösung

Wir können die Potenzierung durch die Multiplikation von 3 Monomen − 2 · a · b 4 ersetzen. Lassen Sie uns aufschreiben und die gewünschte Antwort erhalten:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 ein 3 b 12

Antworten:(− 2 ein b 4) 3 = − 8 ein 3 b 12 .

Aber was ist, wenn der Grad einen großen Exponenten hat? Das Aufzeichnen einer großen Anzahl von Multiplikatoren ist unbequem. Um ein solches Problem zu lösen, müssen wir dann die Eigenschaften des Grades anwenden, nämlich die Eigenschaft des Grades des Produkts und die Eigenschaft des Grades im Grad.

Lösen wir das oben genannte Problem auf die angegebene Weise.

Beispiel 5

Bedingung: erhebe − 2 · a · b 4 in die dritte Potenz.

Lösung

Wenn wir die Eigenschaft des Grades im Grad kennen, können wir zu einem Ausdruck der folgenden Form übergehen:

(− 2 ein b 4) 3 = (− 2) 3 ein 3 (b 4) 3 .

Danach potenzieren wir -2 und wenden die Exponenteneigenschaft an:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 ein 3 b 4 3 = − 8 ein 3 b 12 .

Antworten:- 2 · ein · b 4 = - 8 · ein 3 · b 12 .

Wir haben auch einen separaten Artikel der Potenzierung eines Monoms gewidmet.

Regeln zum Dividieren von Monomen

Die letzte Aktion mit Monomen, die wir in diesem Material analysieren werden, ist die Division eines Monoms durch ein Monom. Als Ergebnis sollten wir einen rationalen (algebraischen) Bruch erhalten (in einigen Fällen ist es möglich, ein Monom zu erhalten). Lassen Sie uns gleich klarstellen, dass die Division durch Nullmonom nicht definiert ist, da die Division durch 0 nicht definiert ist.

Um eine Division durchzuführen, müssen wir die angegebenen Monome in Form eines Bruchs schreiben und nach Möglichkeit kürzen.

Beispiel 6

Bedingung: dividiere das Monom − 9 x 4 y 3 z 7 durch − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Lösung

Beginnen wir damit, die Monome in Form eines Bruchs zu schreiben.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Dieser Anteil kann reduziert werden. Nachdem wir dies getan haben, erhalten wir:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Antworten:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Die Bedingungen, unter denen wir durch Dividieren von Monomen ein Monom erhalten, werden in einem separaten Artikel angegeben.

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Wir haben bereits darüber gesprochen, was eine Potenz einer Zahl ist. Sie hat bestimmte Eigenschaften, nützlich bei der Lösung von Problemen: Wir werden sie und alle möglichen Exponenten in diesem Artikel analysieren. Außerdem zeigen wir anhand von Beispielen, wie sie sich in der Praxis erweisen und richtig anwenden lassen.

Erinnern wir uns an den bereits früher formulierten Begriff des Grads mit natürlichem Exponenten: Dieser ist das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Wir müssen uns auch daran erinnern, wie man reelle Zahlen richtig multipliziert. All dies wird uns helfen, die folgenden Eigenschaften für einen Abschluss mit einem natürlichen Indikator zu formulieren:

Bestimmung 1

1. Die Haupteigenschaft des Grades: a m a n = a m + n

Kann verallgemeinert werden zu: ein n 1 · ein n 2 · … · ein n k = ein n 1 + n 2 + … + n k .

2. Die Quotienteneigenschaft für Potenzen mit gleicher Basis: a m: a n = a m − n

3. Produkt Grad Eigenschaft: (a b) n = a n b n

Die Gleichheit kann erweitert werden zu: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Eigenschaft eines natürlichen Grades: (a: b) n = a n: b n

5. Wir potenzieren die Potenz: (a m) n = a m n ,

Kann verallgemeinert werden zu: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Vergleiche den Grad mit Null:

• wenn a > 0, dann ist für jedes natürliche n a n größer als Null;
• wenn a gleich 0 ist, wird a n auch gleich null sein;
• Für ein< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• Für ein< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Gleichberechtigung< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Die Ungleichung a m > a n gilt unter der Voraussetzung, dass m und n natürliche Zahlen sind, m größer als n und a größer als null und nicht kleiner als eins ist.

Als Ergebnis haben wir mehrere Gleichberechtigungen erhalten; Wenn Sie alle oben genannten Bedingungen erfüllen, sind sie identisch. Für jede der Gleichheiten, zum Beispiel für die Haupteigenschaft, können Sie den rechten und den linken Teil vertauschen: a m · a n = a m + n - dasselbe wie a m + n = am · a n . In dieser Form wird es häufig zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet.

1. Beginnen wir mit der Haupteigenschaft des Grades: Die Gleichheit am · a n = am + n gilt für alle natürlichen m und n und reellen a . Wie beweist man diese Aussage?

Die grundlegende Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten wird es uns ermöglichen, die Gleichheit in ein Produkt von Faktoren umzuwandeln. Wir erhalten einen Eintrag wie diesen:

Dies kann verkürzt werden (Erinnern Sie sich an die grundlegenden Eigenschaften der Multiplikation). Als Ergebnis erhalten wir den Grad der Zahl a mit dem natürlichen Exponenten m + n. Also a m + n , was bedeutet, dass die Haupteigenschaft des Grades bewiesen ist.

Lassen Sie uns analysieren konkretes Beispiel dies bestätigen.

Beispiel 1

Wir haben also zwei Potenzen zur Basis 2. Ihre natürlichen Indikatoren sind 2 bzw. 3. Wir haben die Gleichheit: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Lassen Sie uns die Werte berechnen, um die Richtigkeit dieser Gleichheit zu überprüfen.

Wir werden das Notwendige durchführen mathematische Operationen: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 und 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Als Ergebnis erhalten wir: 2 2 2 3 = 2 5 . Die Eigenschaft wurde nachgewiesen.

Aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation können wir die Eigenschaft verallgemeinern, indem wir sie als drei und formulieren mehr Potenzen, deren Exponenten natürliche Zahlen sind und deren Basen gleich sind. Wenn wir die Anzahl der natürlichen Zahlen n 1, n 2 usw. mit dem Buchstaben k bezeichnen, erhalten wir die richtige Gleichheit:

ein n 1 ein n 2 … ein n k = ein n 1 + n 2 + … + n k .

Beispiel 2

2. Als nächstes müssen wir die folgende Eigenschaft beweisen, die Quotienteneigenschaft genannt wird und Potenzen mit gleichen Basen innewohnt: Dies ist die Gleichheit a m: a n = a m − n , die für jedes natürliche m und n (und m ist größer als n)) und alle realen a ungleich Null.

Lassen Sie uns zunächst erklären, was genau die Bedingungen bedeuten, die in der Formulierung genannt werden. Wenn wir a gleich Null nehmen, erhalten wir am Ende eine Division durch Null, was nicht geht (immerhin ist 0 n = 0). Die Bedingung, dass die Zahl m größer als n sein muss, ist notwendig, damit wir innerhalb der natürlichen Exponenten bleiben können: Subtrahiert man n von m, erhält man eine natürliche Zahl. Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, erhalten wir eine negative Zahl oder Null, und wir gehen wieder über das Studium von Abschlüssen mit natürlichen Indikatoren hinaus.

Jetzt können wir zum Beweis übergehen. Aus dem zuvor Untersuchten erinnern wir uns an die grundlegenden Eigenschaften von Brüchen und formulieren die Gleichheit wie folgt:

ein m - n ein n = ein (m - n) + n = ein m

Daraus können wir ableiten: a m − n a n = a m

Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation. Daraus folgt, dass a m − n ein Quotient der Potenzen a m und a n ist. Dies ist der Beweis für die Eigenschaft zweiten Grades.

Beispiel 3

Ersetzen Sie bestimmte Zahlen zur Klarheit in Indikatoren und bezeichnen Sie die Basis des Grades π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Als nächstes werden wir die Eigenschaft des Grades des Produkts analysieren: (a · b) n = a n · b n für alle reellen a und b und natürlichen n .

Nach der Grunddefinition eines Grades mit natürlichem Exponenten können wir die Gleichheit wie folgt umformulieren:

Wir erinnern uns an die Eigenschaften der Multiplikation und schreiben: . Es bedeutet dasselbe wie a n · b n .

Beispiel 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Wenn wir drei oder mehr Faktoren haben, gilt diese Eigenschaft auch für diesen Fall. Wir führen die Notation k für die Anzahl der Faktoren ein und schreiben:

(ein 1 ein 2 … ein k) n = ein 1 n ein 2 n … ein k n

Beispiel 5

Mit bestimmten Zahlen erhalten wir die folgende richtige Gleichheit: (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. Danach versuchen wir, die Quotienteneigenschaft zu beweisen: (a: b) n = a n: b n für jedes reelle a und b, wenn b ungleich 0 und n eine natürliche Zahl ist.

Für den Beweis können wir die Vorgängergrad-Eigenschaft verwenden. Wenn (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n und (a: b) n b n = a n , dann folgt daraus, dass (a: b) n ein Quotient der Division von a n durch b n ist.

Beispiel 6

Lassen Sie uns das Beispiel zählen: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Beispiel 7

Fangen wir gleich mit einem Beispiel an: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Und jetzt formulieren wir eine Gleichheitskette, die uns die Richtigkeit der Gleichheit beweisen wird:

Wenn wir im Beispiel Grade von Graden haben, dann gilt diese Eigenschaft auch für sie. Wenn wir irgendwelche natürlichen Zahlen p, q, r, s haben, dann wird es wahr sein:

ein p q y s = ein p q y s

Beispiel 8

Fügen wir Einzelheiten hinzu: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Eine weitere Eigenschaft von Graden mit natürlichem Exponenten, die wir beweisen müssen, ist die Vergleichseigenschaft.

Vergleichen wir zuerst den Exponenten mit Null. Warum a n > 0, wenn a größer als 0 ist?

Wenn wir eine positive Zahl mit einer anderen multiplizieren, erhalten wir ebenfalls eine positive Zahl. Wenn wir diese Tatsache kennen, können wir sagen, dass dies nicht von der Anzahl der Faktoren abhängt - das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl positiver Zahlen ist eine positive Zahl. Und was ist ein Grad, wenn nicht das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen? Dann gilt dies für jede Potenz a n mit einer positiven Basis und einem natürlichen Exponenten.

Beispiel 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 und 34 9 13 51 > 0

Es ist auch offensichtlich, dass eine Potenz mit einer Basis gleich Null selbst Null ist. Zu welcher Potenz wir Null erheben, es wird Null bleiben.

Beispiel 10

0 3 = 0 und 0 762 = 0

Wenn die Basis des Grads eine negative Zahl ist, ist der Beweis etwas komplizierter, da das Konzept des geraden / ungeraden Exponenten wichtig wird. Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent gerade ist, und bezeichnen ihn mit 2 · m , wobei m eine natürliche Zahl ist.

Erinnern wir uns, wie man negative Zahlen korrekt multipliziert: Das Produkt a · a ist gleich dem Produkt der Module und daher eine positive Zahl. Dann und der Grad a 2 · m sind ebenfalls positiv.

Beispiel 11

Zum Beispiel (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 und - 2 9 6 > 0

Was ist, wenn der Exponent mit negativer Basis eine ungerade Zahl ist? Nennen wir es 2 · m − 1 .

Dann

Alle Produkte a · a sind gemäß den Eigenschaften der Multiplikation positiv, ebenso ihr Produkt. Aber wenn wir es mit der einzigen verbleibenden Zahl a multiplizieren, wird das Endergebnis negativ sein.

Dann erhalten wir: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Wie kann man es beweisen?

ein< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Beispiel 12

Zum Beispiel sind die Ungleichungen wahr: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Es bleibt uns, die letzte Eigenschaft zu beweisen: Wenn wir zwei Grade haben, deren Basen gleich und positiv sind, und die Exponenten natürliche Zahlen sind, dann ist der eine größer, dessen Exponent kleiner; und von zwei Graden mit natürlichen Indikatoren und denselben Basen größer als eins, der Grad ist größer, dessen Indikator größer ist.

Beweisen wir diese Behauptungen.

Zuerst müssen wir sicherstellen, dass ein m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Wir nehmen ein n aus Klammern, danach nimmt unsere Differenz die Form a n · (am − n − 1) an. Sein Ergebnis wird negativ sein (da das Ergebnis der Multiplikation einer positiven Zahl mit einer negativen Zahl negativ ist). In der Tat ist gemäß den Anfangsbedingungen m − n > 0 a m − n − 1 negativ und der erste Faktor positiv, wie jede natürliche Potenz mit positiver Basis.

Es stellte sich heraus, dass a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Es bleibt noch der zweite Teil der oben formulierten Aussage zu beweisen: a m > a gilt für m > n und a > 1 . Wir geben die Differenz an und nehmen ein n aus Klammern: (a m - n - 1) Die Potenz von a n mit größer als eins ergibt ein positives Ergebnis; und die Differenz selbst wird aufgrund der Anfangsbedingungen ebenfalls positiv ausfallen, und für a > 1 ist der Grad von a m − n größer als eins. Es stellt sich heraus, dass a m − a n > 0 und a m > a n , was wir beweisen mussten.

Beispiel 13

Beispiel mit bestimmten Zahlen: 3 7 > 3 2

Grundlegende Eigenschaften von Graden mit ganzzahligen Exponenten

Für Grade mit positiven ganzzahligen Exponenten werden die Eigenschaften ähnlich sein, weil positive ganze Zahlen natürlich sind, was bedeutet, dass alle oben bewiesenen Gleichheiten auch für sie gelten. Sie eignen sich auch für Fälle, in denen die Exponenten negativ oder gleich Null sind (vorausgesetzt, dass die Basis des Grads selbst nicht Null ist).

Daher sind die Eigenschaften von Potenzen für alle Basen a und b (vorausgesetzt, diese Zahlen sind reell und ungleich 0) und alle Exponenten m und n (vorausgesetzt, sie sind ganze Zahlen). Wir schreiben sie kurz in Form von Formeln:

Bestimmung 2

1. ein m ein n = ein m + n

2. ein m: ein n = ein m − n

3. (a b) n = ein n b n

4. (a: b) n = ein n: b n

5. (am) n = am n

6. ein n< b n и a − n >b − n mit positiver Ganzzahl n , positivem a und b , a< b

7 Uhr morgens< a n , при условии целых m и n , m >n und 0< a < 1 , при a >1 Uhr > ein n .

Ist die Basis des Grades gleich Null, dann sind die Einträge a m und a n nur bei natürlichem und positivem m und n sinnvoll. Im Ergebnis stellen wir fest, dass die obigen Formulierungen auch für Fälle mit einem Abschluss mit Nullbasis geeignet sind, wenn alle anderen Bedingungen erfüllt sind.

Die Beweise dieser Eigenschaften sind in diesem Fall einfach. Wir müssen uns daran erinnern, was ein Grad mit einem natürlichen und einem ganzzahligen Exponenten ist, sowie die Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen.

Lassen Sie uns die Eigenschaft des Grads im Grad analysieren und beweisen, dass sie sowohl für positive ganze Zahlen als auch für nicht positive ganze Zahlen gilt. Wir beginnen mit dem Beweis der Gleichungen (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) und (a − p) − q = a (− p) (−q)

Bedingungen: p = 0 oder natürliche Zahl; q - ähnlich.

Wenn die Werte von p und q größer als 0 sind, dann erhalten wir (a p) q = a p · q . Eine ähnliche Gleichheit haben wir schon früher bewiesen. Wenn p = 0 dann:

(ein 0) q = 1 q = 1 ein 0 q = ein 0 = 1

Daher ist (a 0) q = a 0 q

Für q = 0 ist alles genau gleich:

(ein p) 0 = 1 ein p 0 = ein 0 = 1

Ergebnis: (a p) 0 = a p 0 .

Wenn beide Indikatoren Null sind, dann (a 0) 0 = 1 0 = 1 und a 0 0 = a 0 = 1, dann (a 0) 0 = a 0 0 .

Erinnere dich an die Eigenschaft des Quotienten in der oben bewiesenen Potenz und schreibe:

1 ein p q = 1 q ein p q

Wenn 1 p = 1 1 … 1 = 1 und a p q = a p q , dann ist 1 q a p q = 1 a p q

Wir können diese Notation aufgrund der grundlegenden Multiplikationsregeln in a (− p) · q umwandeln.

Auch: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

UND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Die übrigen Eigenschaften des Grades lassen sich in ähnlicher Weise durch Umformung der bestehenden Ungleichungen beweisen. Wir werden darauf nicht im Detail eingehen, wir werden nur auf die schwierigen Punkte hinweisen.

Beweis der vorletzten Eigenschaft: Denken Sie daran, dass a − n > b − n für alle negativen ganzzahligen Werte von n und alle positiven Werte von a und b gilt, vorausgesetzt, dass a kleiner als b ist.

Dann lässt sich die Ungleichung wie folgt umformen:

1 ein n > 1 b n

Wir schreiben den rechten und den linken Teil als Differenz und führen die notwendigen Transformationen durch:

1 ein n - 1 b n = b n - ein n ein n b n

Denken Sie daran, dass in der Bedingung a kleiner als b ist, dann gemäß der Definition eines Grads mit einem natürlichen Exponenten: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ist am Ende eine positive Zahl, weil ihre Faktoren positiv sind. Als Ergebnis haben wir einen Bruch b n - a n a n · b n , was am Ende auch ein positives Ergebnis ergibt. Also 1 a n > 1 b n womit a − n > b − n , was wir beweisen mussten.

Die letzte Eigenschaft von Graden mit ganzzahligen Exponenten wird ähnlich bewiesen wie die Eigenschaft von Graden mit natürlichen Exponenten.

Grundlegende Eigenschaften von Graden mit rationalen Exponenten

In früheren Artikeln haben wir diskutiert, was ein Grad mit einem rationalen (gebrochenen) Exponenten ist. Ihre Eigenschaften sind die gleichen wie die von Graden mit ganzzahligen Exponenten. Lass uns schreiben:

Bestimmung 3

1. am 1 n 1 am 2 n 2 = am 1 n 1 + m 2 n 2 für a > 0, und wenn m 1 n 1 > 0 und m 2 n 2 > 0, dann für a ≥ 0 (Produkteigenschaft Potenzen mit gleicher Basis).

2. am 1 n 1: b m 2 n 2 = am 1 n 1 - m 2 n 2 wenn a > 0 (Quotientensatz).

3. a b m n = a m n b m n für a > 0 und b > 0, und wenn m 1 n 1 > 0 und m 2 n 2 > 0, dann für a ≥ 0 und (oder) b ≥ 0 (Produkteigenschaft in gebrochenem Grad).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n für a > 0 und b > 0, und wenn m n > 0, dann für a ≥ 0 und b > 0 (Eigenschaft eines Quotienten in Bruchgrad).

5. am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 für a > 0, und wenn m 1 n 1 > 0 und m 2 n 2 > 0, dann für a ≥ 0 (Grad Eigenschaft in Grad).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; wenn P< 0 - a p >b p (die Eigenschaft, Grade mit gleichen rationalen Exponenten zu vergleichen).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >Q auf 0< a < 1 ; если a >0 – ein p > ein q

Um diese Bestimmungen zu beweisen, müssen wir uns daran erinnern, was ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten ist, welche Eigenschaften die arithmetische Wurzel des n-ten Grades hat und welche Eigenschaften ein Grad mit einem ganzzahligen Exponenten hat. Werfen wir einen Blick auf jede Immobilie.

Je nachdem, was ein Grad mit gebrochenem Exponenten ist, erhalten wir:

am 1 n 1 \u003d am 1 n 1 und am 2 n 2 \u003d am 2 n 2, also am 1 n 1 am 2 n 2 \u003d am 1 n 1 am 2 n 2

Die Eigenschaften der Wurzel ermöglichen es uns, Gleichheiten abzuleiten:

am 1 m 2 n 1 n 2 am 2 m 1 n 2 n 1 = am 1 n 2 am 2 n 1 n 1 n 2

Daraus erhalten wir: am 1 n 2 am 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Lassen Sie uns transformieren:

am 1 n 2 am 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Der Exponent kann geschrieben werden als:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Dies ist der Beweis. Die zweite Eigenschaft wird auf genau die gleiche Weise bewiesen. Schreiben wir die Gleichheitskette auf:

am 1 n 1: am 2 n 2 = am 1 n 1: am 2 n 2 = am 1 n 2: am 2 n 1 n 1 n 2 = = am 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = am 1 n 1 - m 2 n 2

Beweise der verbleibenden Gleichheiten:

ein b m n = (ein b) m n = ein m b m n = ein m n b m n = ein m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = ein m: b m n = = ein m n: b m n = ein m n: b m n ; am 1 n 1 m 2 n 2 = am 1 n 1 m 2 n 2 = am 1 n 1 m 2 n 2 = = am 1 m 2 n 1 n 2 = am 1 m 2 n 1 n 2 = = am 1 m 2 n 2 n 1 = am 1 m 2 n 2 n 1 = am 1 n 1 m 2 n 2

Nächste Eigenschaft: Lassen Sie uns beweisen, dass für alle Werte von a und b größer als 0, wenn a kleiner als b ist, a p ausgeführt wird< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Stellen wir eine rationale Zahl p als m n dar. Dabei ist m eine ganze Zahl, n eine natürliche Zahl. Dann die Bedingungen p< 0 и p >0 wird zu m erweitert< 0 и m >0 . Für m > 0 und a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Wir nutzen die Eigenschaft von Wurzeln und leiten ab: a m n< b m n

Unter Berücksichtigung der Positivität der Werte a und b schreiben wir die Ungleichung als a m n um< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Ebenso für m< 0 имеем a a m >b m , erhalten wir a m n > b m n also a m n > b m n und a p > b p .

Es bleibt uns, die letzte Eigenschaft zu beweisen. Beweisen wir, dass für rationale Zahlen p und q p > q für 0 gilt< a < 1 a p < a q , а при a >0 wäre wahr a p > a q .

Rationale Zahlen p und q lassen sich auf einen gemeinsamen Nenner bringen und erhalten Brüche m 1 n und m 2 n

Hier sind m 1 und m 2 ganze Zahlen und n ist eine natürliche Zahl. Wenn p > q, dann m 1 > m 2 (unter Berücksichtigung der Regel zum Vergleichen von Brüchen). Dann bei 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – Ungleichung a 1 m > a 2 m .

Sie können in folgender Form umgeschrieben werden:

ein m 1 n< a m 2 n a m 1 n >ein m 2 n

Dann können Sie Transformationen vornehmen und erhalten als Ergebnis:

ein m 1 n< a m 2 n a m 1 n >ein m 2 n

Zusammenfassend: für p > q und 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – ein p > ein q .

Grundlegende Eigenschaften von Graden mit irrationalen Exponenten

Alle oben beschriebenen Eigenschaften, die ein Grad mit rationalen Exponenten besitzt, können auf einen solchen Grad erweitert werden. Dies ergibt sich aus seiner eigentlichen Definition, die wir in einem der vorherigen Artikel gegeben haben. Formulieren wir diese Eigenschaften kurz (Bedingungen: a > 0 , b > 0 , Indikatoren p und q sind irrationale Zahlen):

Bestimmung 4

1. ein p ein q = ein p + q

2. ein p: ein q = ein p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , dann a p > a q .

Somit haben alle Potenzen, deren Exponenten p und q reelle Zahlen sind, sofern a > 0, die gleichen Eigenschaften.

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Wie multipliziert man Kräfte? Welche Kräfte können multipliziert werden und welche nicht? Wie multipliziert man eine Zahl mit einer Potenz?

In der Algebra kannst du das Potenzprodukt in zwei Fällen finden:

1) wenn die Abschlüsse die gleiche Grundlage haben;

2) wenn die Abschlüsse die gleichen Indikatoren haben.

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis muss die Basis gleich bleiben und die Exponenten addiert werden:

Bei der Multiplikation von Graden mit denselben Indikatoren kann der Gesamtindikator aus Klammern herausgenommen werden:

Überlegen Sie anhand konkreter Beispiele, wie Sie Potenzen multiplizieren können.

Die Einheit im Exponenten wird nicht geschrieben, aber beim Multiplizieren der Grade berücksichtigen sie:

Beim Multiplizieren kann die Gradzahl beliebig sein. Es ist zu beachten, dass Sie das Multiplikationszeichen nicht vor den Buchstaben schreiben können:

In Ausdrücken wird zuerst potenziert.

Wenn Sie eine Zahl mit einer Potenz multiplizieren müssen, müssen Sie zuerst eine Potenzierung durchführen und erst dann - Multiplikation:

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Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Potenzen

Addition und Subtraktion von Potenzen

Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 - b n und h 5 - d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen durchgeführt, nur müssen die Vorzeichen des Subtrahenten entsprechend geändert werden.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten − sind Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gewaltenteilung

Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem sie vom Divisor subtrahiert oder in Bruchform gebracht werden.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac $. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Exponenten in $\frac $ reduzieren Antwort: $\frac $.

2. Reduzieren Sie die Exponenten in $\frac$. Antwort: $\frac $ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

Grad Eigenschaften

Wir erinnern Sie daran, dass wir in dieser Lektion verstehen Grad Eigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Abschlüsse mit rationalen Indikatoren und deren Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse besprochen.

Ein Exponent mit einem natürlichen Exponenten hat mehrere wichtige Eigenschaften, mit denen Sie Berechnungen in Exponentenbeispielen vereinfachen können.

Eigentum Nr. 1
Produkt der Kräfte

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.

a m a n \u003d a m + n, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.

Diese Eigenschaft von Potenzen wirkt sich auch auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen aus.

Bitte beachten Sie, dass es bei der angegebenen Eigenschaft nur darum ging, Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren.. Sie gilt nicht für deren Hinzufügung.

Du kannst die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243

Eigentum Nr. 2
Private Abschlüsse

Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

Berechnung.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft von partiellen Graden.
3 8: t = 3 4

Antwort: t = 3 4 = 81

Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.

Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Beispiel. Ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe von Gradeigenschaften.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft 2 sich nur mit der Gewaltenteilung mit gleichen Grundlagen befasste.

Du kannst die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn Sie (4 3 − 4 2) = (64 − 16) = 48 und 4 1 = 4 berechnen

Eigenschaft Nr. 3
Potenzierung

Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis der Potenz unverändert und die Exponenten werden multipliziert.

(a n) m \u003d a n m, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden, auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.

(a n b n) = (a b) n

Das heißt, um Grad mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren und den Exponenten unverändert lassen.

In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikation und Division mit Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.

Beispiel: 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Beispiel für die Potenzierung eines Dezimalbruchs.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = vier

Eigenschaften 5
Potenz des Quotienten (Brüche)

Um einen Quotienten zu potenzieren, kannst du den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

(a: b) n \u003d a n: b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n eine beliebige natürliche Zahl ist.

Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs gehen wir daher auf der nächsten Seite näher ein.

Grade und Wurzeln

Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,

Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

Operationen mit Grad.

1. Beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

bin · ein n = ein m + n .

2. Bei der Teilung von Graden mit der gleichen Basis, ihre Indikatoren abgezogen .

3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.

4. Der Grad des Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden (Zähler) und des Divisors (Nenner):

(a/b) n = ein n / b n .

5. Wenn Sie einen Grad zu einer Potenz erheben, werden ihre Indikatoren multipliziert:

Alle obigen Formeln werden in beiden Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.

BEISPIEL (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Betriebe mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel(radikaler Ausdruck ist positiv).

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis der Wurzeln des Dividenden und des Divisors:

3. Wenn eine Wurzel zu einer Potenz erhoben wird, reicht es aus, diese Potenz zu erheben Stammnummer:

4. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache erhöhen und gleichzeitig die Zahl der Wurzel auf den m-ten Grad erhöhen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Grad der Wurzel um m-mal reduzieren und gleichzeitig die Wurzel des m-ten Grades aus der Wurzelzahl ziehen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Erweiterung des Gradbegriffs. Bisher haben wir Abschlüsse nur mit einem natürlichen Indikator betrachtet; aber Operationen mit Kräften und Wurzeln können auch dazu führen Negativ, Null und Bruchteil Indikatoren. Alle diese Exponenten bedürfen einer zusätzlichen Definition.

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem negativen (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten gleich dem Absolutwert des negativen Exponenten:

Jetzt die Formel bin : ein = ein m-n kann nicht nur für verwendet werden m, mehr als n, sondern auch bei m, weniger als n .

BEISPIEL a 4: a 7 = ein 4 — 7 = ein — 3 .

Wenn wir die Formel wollen bin : ein = bin — n war fair bei m = n, brauchen wir eine Definition des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Der Grad jeder Zahl ungleich Null mit Exponent Null ist 1.

BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl a mit m / n zu potenzieren, müssen Sie die Wurzel des n-ten Grades aus der m-ten Potenz dieser Zahl a ziehen:

Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke.

wo a ≠ 0 , existiert nicht.

In der Tat, wenn wir davon ausgehen x eine bestimmte Zahl ist, dann gilt gemäß der Definition der Divisionsoperation: a = 0· x, d.h. a= 0, was der Bedingung widerspricht: a ≠ 0

— irgendeine Nummer.

In der Tat, wenn wir annehmen, dass dieser Ausdruck gleich einer Zahl ist x, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 x. Aber diese Gleichheit gilt für irgendeine Zahl x, was zu beweisen war.

0 0 — irgendeine Nummer.

Lösung: Betrachten Sie drei Hauptfälle:

1) x = 0 – dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht

2) wann x> 0 erhalten wir: x / x= 1, d.h. 1 = 1, woraus folgt,

was x- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen

unser Fall x> 0 ist die Antwort x > 0 ;

Regeln zum Multiplizieren von Potenzen mit unterschiedlichen Basen

GRAD MIT EINEM RATIONALEN INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 69. Multiplikation und Division von Potenzen mit denselben Grundlagen

Satz 1. Um Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren, reicht es aus, die Exponenten zu addieren und die Basis gleich zu lassen

Nachweisen. Per Definition von Grad

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Wir haben das Produkt zweier Potenzen betrachtet. Tatsächlich gilt die bewiesene Eigenschaft für eine beliebige Anzahl von Potenzen mit denselben Basen.

Satz 2. Um Potenzen mit denselben Basen zu teilen, reicht es aus, wenn der Indikator des Dividenden größer als der Indikator des Divisors ist, den Indikator des Divisors vom Indikator des Dividenden zu subtrahieren und die Basis gleich zu lassen, das heißt bei t > n

(a =/= 0)

Nachweisen. Erinnere dich daran, dass der Quotient der Division einer Zahl durch eine andere die Zahl ist, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, den Dividenden ergibt. Beweisen Sie daher die Formel , wo a =/= 0, das ist wie der Beweis der Formel

Wenn ein t > n , dann die Nummer t-p wird natürlich sein; daher nach Satz 1

Satz 2 ist bewiesen.

Beachten Sie, dass die Formel

von uns nur unter der Annahme bewiesen, dass t > n . Aus dem bisher Bewiesenen lassen sich daher z. B. folgende Schlüsse noch nicht ziehen:

Außerdem haben wir Grade mit negativen Exponenten noch nicht betrachtet, und wir wissen noch nicht, welche Bedeutung dem Ausdruck 3 gegeben werden kann - 2 .

Satz 3. Um eine Potenz zu potenzieren, genügt es, die Exponenten zu multiplizieren, wobei die Basis des Exponenten gleich bleibt, also

Nachweisen. Unter Verwendung der Definition von Grad und Satz 1 dieses Abschnitts erhalten wir:

Q.E.D.

Beispiel: (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (mündlich.) Bestimmen X aus den Gleichungen:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Angepasst) Vereinfachen:

520. (Angepasst) Vereinfachen:

521. Stellen Sie diese Ausdrücke als Grade mit denselben Basen dar:

1) 32 und 64; 3) 85 und 163; 5) 4 100 und 32 50;

2) -1000 und 100; 4) -27 und -243; 6) 81 75 8 200 und 3 600 4 150.