Herleitung der allgemeinen Formel für die Wurzeln der Gleichung tgx a. Lektion "Arc Tangens und Arcus Tangens. Lösung der Gleichungen tgx = a, ctgx = a". Lösung der Gleichung tgx=a in allgemeiner Form

Zu Beginn des Programms haben sich die Studenten eine Vorstellung von der Lösung gemacht trigonometrische Gleichungen, haben die Begriffe Arkuskosinus und Arkussinus kennengelernt, Beispiele für Lösungen der Gleichungen cos t = a und sin t = a. In diesem Video-Tutorial betrachten wir die Lösung der Gleichungen tg x = a und ctg x = a.

Betrachten Sie zu Beginn des Studiums dieses Themas die Gleichungen tg x = 3 und tg x = - 3. Wenn wir die Gleichung tg x = 3 mithilfe eines Diagramms lösen, sehen wir, dass der Schnittpunkt der Diagramme der Funktionen y = tg x und y = 3 hat unendlich viele Lösungen, wobei x = x 1 + πk. Der Wert x 1 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen y = tg x und y = 3. Der Autor führt das Konzept des Arkustangens ein: arctg 3 ist eine Zahl, deren tg 3 ist, und zu dieser Zahl gehört das Intervall von -π/2 bis π/2. Unter Verwendung des Konzepts des Arkustangens kann die Lösung der Gleichung tan x = 3 geschrieben werden als x = arctan 3 + πk.

Analog wird die Gleichung tg x \u003d - 3 gelöst.Anhand der konstruierten Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d - 3 ist ersichtlich, dass die Schnittpunkte der Graphen und damit die Lösungen der Gleichungen wird x \u003d x 2 + πk sein. Unter Verwendung des Arkustangens kann die Lösung geschrieben werden als x = arctan (- 3) + πk. In der folgenden Abbildung sehen wir, dass arctg (- 3) = - arctg 3.

Die allgemeine Definition des Arkustangens lautet wie folgt: Der Arkustangens von a ist eine Zahl aus dem Intervall von -π / 2 bis π / 2, deren Tangens a ist. Dann ist die Lösung der Gleichung tg x = a x = arctg a + πk.

Der Autor gibt ein Beispiel 1. Finden Sie eine Lösung für den Ausdruck arctg. Führen wir die Notation ein: Der Arkustangens der Zahl ist gleich x, dann ist tg x gleich der gegebenen Zahl, wobei x zum Segment von -π gehört /2 bis π/2. Wie in den Beispielen in den vorherigen Themen verwenden wir eine Wertetabelle. Der Tangens dieser Zahl entspricht nach dieser Tabelle dem Wert x = π/3. Wir schreiben die Lösung der Gleichung des Arkustangens einer gegebenen Zahl gleich π / 3, π / 3 gehört auch zum Intervall von -π / 2 bis π / 2.

Beispiel 2 - Berechne den Arkustangens einer negativen Zahl. Geben Sie unter Verwendung der Gleichheit arctg (- a) = - arctg a den x-Wert ein. Ähnlich wie in Beispiel 2 schreiben wir den Wert von x, der zum Intervall von -π/2 bis π/2 gehört. Nach der Wertetabelle finden wir x = π/3, also -- tg x = - π/3. Die Antwort auf die Gleichung ist - π/3.

Betrachten Sie Beispiel 3. Lösen wir die Gleichung tan x = 1. Schreiben wir x = arctan 1 + πk. In der Tabelle entspricht der Wert von tg 1 dem Wert x \u003d π / 4, also arctg 1 \u003d π / 4. Setzen Sie diesen Wert in die ursprüngliche Formel x ein und schreiben Sie das Ergebnis x = π/4 + πk auf.

Beispiel 4: tg x = - 4,1 berechnen. In diesem Fall ist x = arctg (- 4,1) + πk. Da Es ist in diesem Fall nicht möglich, den Wert von arctg zu finden, die Antwort sieht so aus: x = arctg (- 4,1) + πk.

Beispiel 5 betrachtet die Lösung der Ungleichung tg x > 1. Um sie zu lösen, zeichnen wir die Graphen der Funktionen y = tg x und y = 1. Wie in der Abbildung zu sehen ist, schneiden sich diese Graphen an den Punkten x = π /4 + πk. Da in diesem Fall, tg x > 1, wählen wir im Diagramm den Bereich der Tangente aus, der über dem Diagramm y = 1 liegt, wobei x zum Intervall von π/4 bis π/2 gehört. Wir schreiben die Antwort als π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Betrachten Sie als Nächstes die Gleichung ctg x = a. Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, die viele Schnittpunkte haben. Lösungen können geschrieben werden als x = x 1 + πk, wobei x 1 = arcctg a und x = x 2 + πk, wobei x 2 = arcctg (- a). Es wird angemerkt, dass x 2 \u003d π - x 1. Daraus folgt die Gleichheit arcctg (- a) = π - arcctg a. Außerdem wird die Definition des Bogenkotangens gegeben: Der Bogenkotangens von a ist eine solche Zahl aus dem Intervall von 0 bis π, deren Kotangens gleich a ist. Die Lösung der Gleichung сtg x = a wird geschrieben als: x = arcctg a + πk.

Am Ende der Videolektion wird eine weitere wichtige Schlussfolgerung gezogen - der Ausdruck ctg x = a kann als tg x = 1/a geschrieben werden, vorausgesetzt, dass a ungleich Null ist.

TEXTEINTERPRETATION:

Betrachten Sie die Lösung der Gleichungen tg x \u003d 3 und tg x \u003d - 3. Wenn wir die erste Gleichung grafisch lösen, sehen wir, dass die Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 3 unendlich viele Schnittpunkte haben, die Abszissen, in deren Form wir schreiben

x \u003d x 1 + πk, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d 3 mit dem Hauptast der Tangente (Abb. 1) ist, für die die Bezeichnung erfunden wurde

arctan 3 (Arkustangens von drei).

Wie ist arctg 3 zu verstehen?

Dies ist eine Zahl, deren Tangens 3 ist, und diese Zahl gehört zum Intervall (-;). Dann können alle Wurzeln der Gleichung tg x \u003d 3 durch die Formel x \u003d arctan 3 + πk geschrieben werden.

In ähnlicher Weise kann die Lösung der Gleichung tg x \u003d - 3 geschrieben werden als x \u003d x 2 + πk, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d - 3 mit dem Hauptzweig der ist Tangente (Abb. 1), für die die Bezeichnung arctg (- 3) (arct tangens minus drei) steht. Dann können alle Wurzeln der Gleichung durch die Formel geschrieben werden: x \u003d arctg (-3) + πk. Die Abbildung zeigt, dass arctg(- 3)= - arctg 3.

Lassen Sie uns die Definition des Arkustangens formulieren. Arkustangens a ist eine solche Zahl aus dem Intervall (-;), deren Tangens gleich a ist.

Häufig wird die Gleichheit verwendet: arctg(-a) = -arctg a, die für jedes a gilt.

Wenn wir die Definition des Arkustangens kennen, ziehen wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung

tg x \u003d a: Die Gleichung tg x \u003d a hat eine Lösung x \u003d arctg a + πk.

Betrachten Sie Beispiele.

BEISPIEL 1. arctg berechnen.

Lösung. Sei arctg = x, dann tgx = und xϵ (-;). Wertetabelle anzeigen Daher x =, da tg = und ϵ (- ;).

Also arctg =.

BEISPIEL 2 Arctan (-) berechnen.

Lösung. Unter Verwendung der Gleichheit arctg (- a) \u003d - arctg a schreiben wir:

arctg(-) = - arctg . Sei - arctg = x, dann - tgx = und xϵ (-;). Also x =, da tg = und ϵ (- ;). Wertetabelle anzeigen

Also - arctg=- tgх= - .

BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung tgх = 1.

1. Schreiben wir die Lösungsformel auf: x = arctg 1 + πk.

2. Lassen Sie uns den Wert finden Bogentangente

da tg = . Wertetabelle anzeigen

Also arctg1= .

3. Setzen Sie den gefundenen Wert in die Lösungsformel ein:

BEISPIEL 4. Lösen Sie die Gleichung tgx \u003d - 4,1 (Tangente x ist gleich minus vier Komma ein Zehntel).

Lösung. Schreiben wir die Lösungsformel auf: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Wir können den Wert des Arkustangens nicht berechnen, also lassen wir die Lösung der Gleichung so wie sie ist.

BEISPIEL 5. Lösen Sie die Ungleichung tgх 1.

Lösung. Machen wir es grafisch.

1. Lassen Sie uns eine Tangente bauen

y \u003d tgx und eine gerade Linie y \u003d 1 (Abb. 2). Sie schneiden sich in Punkten der Form x = + πk.

2. Wählen Sie das Intervall der x-Achse aus, auf dem sich der Hauptast der Tangente über der geraden Linie y \u003d 1 befindet, da gemäß der Bedingung tgх 1. Dies ist das Intervall (;).

3. Wir verwenden die Periodizität der Funktion.

Eigenschaft 2. y \u003d tg x - eine periodische Funktion mit einer Grundperiode π.

Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y \u003d tgx schreiben wir die Antwort:

(;). Die Antwort kann als doppelte Ungleichung geschrieben werden:

Kommen wir zur Gleichung ctg x \u003d a. Lassen Sie uns eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung für positives und negatives a präsentieren (Abb. 3).

Funktionsgraphen y \u003d ctg x und y \u003d a und

y=ctgx und y=-a

haben unendlich viele gemeinsame Punkte, deren Abszissen die Form haben:

x \u003d x 1 +, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d a mit dem Hauptast der Tangente und ist

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie ist

y \u003d - aber mit dem Hauptast der Tangente und x 2 \u003d arcсtg (- a).

Beachten Sie, dass x 2 \u003d π - x 1. Also schreiben wir die wichtige Gleichung auf:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Formulieren wir die Definition: Der Arkuskotangens von a ist eine solche Zahl aus dem Intervall (0; π), deren Kotangens gleich a ist.

Die Lösung der Gleichung ctg x \u003d a wird geschrieben als: x \u003d arcсtg a +.

Beachten Sie, dass die Gleichung ctg x = a in die Form umgewandelt werden kann

tg x = , außer wenn a = 0.

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Eine Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion (`sin x, cos x, tg x` oder `ctg x`) enthält, wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und wir werden ihre Formeln weiter betrachten.

Die einfachsten Gleichungen sind `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, wobei `x` der zu findende Winkel ist, `a` eine beliebige Zahl. Lassen Sie uns die Wurzelformeln für jeden von ihnen schreiben.

1. Gleichung „sin x=a“.

Für `|a|>1` hat es keine Lösungen.

Mit `|a| \leq 1` hat Unendliche Nummer Lösungen.

Wurzelformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Gleichung `cos x=a`

Für `|a|>1` gibt es - wie beim Sinus - keine Lösungen unter reellen Zahlen.

Mit `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Graphen.

3. Gleichung „tg x=a“.

Hat unendlich viele Lösungen für beliebige Werte von `a`.

Wurzelformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Gleichung „ctg x=a“.

Es hat auch unendlich viele Lösungen für beliebige Werte von `a`.

Wurzelformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in der Tabelle

Für Nebenhöhlen:
Für Kosinus:
Für Tangens und Kotangens:
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:

Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen

Die Lösung einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten:

• Verwenden, um es in das einfachste umzuwandeln;
• Lösen Sie die resultierende einfache Gleichung unter Verwendung der obigen Formeln für die Wurzeln und Tabellen.

Betrachten wir die wichtigsten Lösungsmethoden anhand von Beispielen.

algebraische Methode.

Bei dieser Methode erfolgt die Ersetzung einer Variablen und ihre Substitution in Gleichheit.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

Ersetzen: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dann `2y^2-3y+1=0`,

wir finden die Wurzeln: `y_1=1, y_2=1/2`, woraus zwei Fälle folgen:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Antwort: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisierung.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `sin x+cos x=1`.

Lösung. Alle Gleichheitsterme nach links verschieben: `sin x+cos x-1=0`. Mit transformieren und faktorisieren wir die linke Seite:

`sünde x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Antwort: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduktion auf eine homogene Gleichung

Zuerst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung in eine von zwei Formen bringen:

`a sin x+b cos x=0` (homogene Gleichung ersten Grades) oder `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogene Gleichung zweiten Grades).

Teilen Sie dann beide Teile durch `cos x \ne 0` für den ersten Fall und durch `cos^2 x \ne 0` für den zweiten. Wir erhalten Gleichungen für `tg x`: `a tg x+b=0` und `a tg^2 x + b tg x +c =0`, die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Lösung. Schreiben wir die rechte Seite als `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades, deren linker und rechter Teil durch `cos^2 x \ne 0` geteilt wird, erhalten wir:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Führen wir die Ersetzung `tg x=t` ein, als Ergebnis `t^2 + t - 2=0`. Die Wurzeln dieser Gleichung sind `t_1=-2` und `t_2=1`. Dann:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Antworten. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Gehe zur halben Ecke

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Lösung. Bei Anwendung der Doppelwinkelformeln lautet das Ergebnis: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Mit der oben beschriebenen algebraischen Methode erhalten wir:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Antworten. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Einführung eines Hilfswinkels

In der trigonometrischen Gleichung `a sin x + b cos x =c`, wo a,b,c Koeffizienten und x eine Variable sind, dividieren wir beide Teile durch `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich die Summe ihrer Quadrate ist 1 und ihr Betrag ist höchstens 1. Bezeichnen wir sie wie folgt: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , dann:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `3 sin x+4 cos x=2`.

Lösung. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch `sqrt (3^2+4^2)`, erhalten wir:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))‘

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Bezeichne `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Da `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` ist, nehmen wir als Hilfswinkel `\varphi=arcsin 4/5`. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in der Form:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Mit der Winkelsummenformel für den Sinus schreiben wir unsere Gleichheit in folgender Form:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Antworten. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Bruchrationale trigonometrische Gleichungen

Dies sind Gleichheiten mit Brüchen, in deren Zählern und Nennern sich trigonometrische Funktionen befinden.

Beispiel. Löse die Gleichung. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Lösung. Multipliziere und dividiere die rechte Seite der Gleichung mit `(1+cos x)`. Als Ergebnis erhalten wir:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Da der Nenner nicht Null sein kann, erhalten wir `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Den Zähler des Bruchs mit Null gleichsetzen: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Dann `sin x=0` oder `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Da ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ist, sind die Lösungen `x=2\pi n, n \in Z` und `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Antworten. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Ingenieurwissenschaften verwendet. Das Studium beginnt in der 10. Klasse, es gibt immer Aufgaben für die Prüfung. Versuchen Sie also, sich alle Formeln trigonometrischer Gleichungen zu merken - sie werden Ihnen auf jeden Fall nützlich sein!

Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen, die Hauptsache ist, die Essenz zu verstehen und daraus schließen zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es scheint. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.

Um erfolgreich zu lösen trigonometrische Gleichungen bequem zu bedienen Reduktionsmethode zu bereits gelösten Problemen. Mal sehen, was die Essenz dieser Methode ist?

Bei jedem vorgeschlagenen Problem müssen Sie das zuvor gelöste Problem sehen und dann versuchen, das Ihnen gegebene Problem durch aufeinanderfolgende äquivalente Transformationen auf ein einfacheres zu reduzieren.

Wenn also trigonometrische Gleichungen gelöst werden, bilden sie normalerweise eine endliche Folge von äquivalenten Gleichungen, deren letztes Glied eine Gleichung mit einer offensichtlichen Lösung ist. Es ist nur wichtig, sich daran zu erinnern, dass das Lösen komplexerer Gleichungen schwierig und ineffektiv ist, wenn die Fähigkeiten zum Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen nicht ausgebildet sind.

Darüber hinaus sollten Sie beim Lösen trigonometrischer Gleichungen niemals die Möglichkeit der Existenz mehrerer Lösungen vergessen.

Beispiel 1. Finden Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung cos x = -1/2 auf dem Intervall.

Lösung:

ich weg. Lassen Sie uns die Graphen der Funktionen y = cos x und y = -1/2 zeichnen und die Anzahl ihrer gemeinsamen Punkte auf dem Intervall finden (Abb. 1).

Da die Funktionsgraphen zwei gemeinsame Punkte auf dem Intervall haben, enthält die Gleichung zwei Wurzeln auf diesem Intervall.

II Weg. Mit Hilfe des trigonometrischen Kreises (Abb. 2) ermitteln wir die Anzahl der Punkte, die zu dem Intervall gehören, in dem cos x = -1/2 ist. Die Abbildung zeigt, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat.

III-Weg. Mit der Formel der Wurzeln der trigonometrischen Gleichung lösen wir die Gleichung cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k ist eine ganze Zahl (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k ist eine ganze Zahl (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k ist eine ganze Zahl (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k ist eine ganze Zahl (k ∈ Z).

Die Wurzeln 2π/3 und -2π/3 + 2π gehören zum Intervall, k ist eine ganze Zahl. Somit hat die Gleichung zwei Wurzeln in einem gegebenen Intervall.

Antwort: 2.

In Zukunft sollen trigonometrische Gleichungen mit einem der vorgeschlagenen Verfahren gelöst werden, was in vielen Fällen den Einsatz anderer Verfahren nicht ausschließt.

Beispiel 2. Finden Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung tg (x + π/4) = 1 auf dem Intervall [-2π; 2π].

Lösung:

Mit der Formel der Wurzeln der trigonometrischen Gleichung erhalten wir:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k ist eine ganze Zahl (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k ist eine ganze Zahl (k € Z);

x = πk, k ist eine ganze Zahl (k € Z);

Das Intervall [-2π; 2π] gehören zu den Zahlen -2π; -π; 0; π; 2π. Die Gleichung hat also fünf Wurzeln in einem bestimmten Intervall.

Antwort: 5.

Beispiel 3. Finden Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung cos 2 x + sin x cos x = 1 auf dem Intervall [-π; π].

Lösung:

Da 1 = sin 2 x + cos 2 x (grundlegende trigonometrische Identität), lautet die ursprüngliche Gleichung:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

Sünde 2 x - Sünde x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Das Produkt ist gleich Null, was bedeutet, dass mindestens einer der Faktoren gleich Null sein muss, also:

sin x \u003d 0 oder sin x - cos x \u003d 0.

Da der Wert der Variablen, bei dem cos x = 0 ist, nicht die Wurzel der zweiten Gleichung ist (Sinus und Cosinus derselben Zahl können nicht gleichzeitig Null sein), teilen wir beide Teile der Sekunde Gleichung durch cos x:

sin x = 0 oder sin x / cos x - 1 = 0.

In der zweiten Gleichung verwenden wir die Tatsache, dass tg x = sin x / cos x, dann gilt:

sin x = 0 oder tg x = 1. Unter Verwendung von Formeln haben wir:

x = πk oder x = π/4 + πk, k ist eine ganze Zahl (k ∈ Z).

Von der ersten Wurzelreihe bis zum Intervall [-π; π] gehören zu den Zahlen -π; 0; π. Aus der zweiten Reihe: (π/4 – π) und π/4.

Somit gehören die fünf Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zum Intervall [-π; π].

Antwort: 5.

Beispiel 4. Finden Sie die Summe der Wurzeln der Gleichung tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 im Intervall [-π; 1,1π].

Lösung:

Lassen Sie uns die Gleichung in der folgenden Form umschreiben:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 und eine Änderung vornehmen.

Sei tg x + сtgx = a. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Erweitern wir die Klammern:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Da tg x сtgx \u003d 1, dann tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, was bedeutet

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Jetzt sieht die ursprüngliche Gleichung so aus:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Mit dem Satz von Vieta erhalten wir, dass a = -1 oder a = -2.

Durch die umgekehrte Substitution haben wir:

tg x + сtgx = -1 oder tg x + сtgx = -2. Lassen Sie uns die erhaltenen Gleichungen lösen.

tgx + 1/tgx = -1 oder tgx + 1/tgx = -2.

Durch die Eigenschaft zweier reziproker Zahlen bestimmen wir, dass die erste Gleichung keine Wurzeln hat, und aus der zweiten Gleichung haben wir:

tg x = -1, d.h. x = -π/4 + πk, k ist eine ganze Zahl (k ∈ Z).

Das Intervall [-π; 1,1π] die Wurzeln gehören: -π/4; -π/4 + π. Ihre Summe:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Antwort: π/2.

Beispiel 5. Finde das arithmetische Mittel der Wurzeln der Gleichung sin 3x + sin x = sin 2x im Intervall [-π; 0,5π].

Lösung:

Wir verwenden die Formel sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), dann

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x und die Gleichung wird

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Wir nehmen den gemeinsamen Faktor sin 2x aus Klammern heraus

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Lösen wir die resultierende Gleichung:

sin 2x \u003d 0 oder 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 oder cos x = 1/2;

2x = πk oder x = ±π/3 + 2πk, k ist eine ganze Zahl (k € Z).

So haben wir Wurzeln

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k ist eine ganze Zahl (k € Z).

Das Intervall [-π; 0,5π] gehören zu den Wurzeln -π; -π/2; 0; π/2 (aus der ersten Wurzelreihe); π/3 (aus der zweiten Reihe); -π/3 (aus der dritten Reihe). Ihr arithmetisches Mittel ist:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Antwort: -π/6.

Beispiel 6. Ermitteln Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung sin x + cos x = 0 im Intervall [-1,25π; 2π].

Lösung:

Diese Gleichung ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Teilen wir beide Teile durch cosx (der Wert der Variablen, bei dem cos x = 0 ist, sind nicht die Wurzeln dieser Gleichung, da Sinus und Cosinus derselben Zahl nicht gleichzeitig Null sein können). Die ursprüngliche Gleichung sieht so aus:

x = -π/4 + πk, k ist eine ganze Zahl (k ∈ Z).

Lücke [-1,25π; 2π] haben Wurzeln -π/4; (-π/4 + π); und (-π/4 + 2π).

Somit gehören drei Wurzeln der Gleichung zu dem gegebenen Intervall.

Antwort: 3.

Lernen Sie, das Wichtigste zu tun - einen Plan zur Lösung des Problems klar darzustellen, und dann wird jede trigonometrische Gleichung auf Ihrer Schulter liegen.

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In dieser Lektion werden wir das Studium des Arkustangens und die Lösung von Gleichungen der Form tg x = a für beliebige a fortsetzen. Zu Beginn der Lektion lösen wir die Gleichung mit einem Tabellenwert und veranschaulichen die Lösung in der Grafik und dann im Kreis. Als nächstes lösen wir die Gleichung tgx = a in allgemeiner Form und leiten die allgemeine Formel für die Antwort her. Wir veranschaulichen die Berechnungen am Graphen und am Kreis und betrachten verschiedene Formen Antwort. Am Ende der Lektion lösen wir mehrere Probleme mit einer Illustration der Lösungen auf dem Diagramm und auf dem Kreis.

Thema: Trigonometrische Gleichungen

Lektion: Arkustangens und Lösen der Gleichung tgx=a (Fortsetzung)

1. Unterrichtsthema, Einführung

In dieser Lektion betrachten wir die Lösung der Gleichung für jede beliebige Zahl

2. Lösung der Gleichung tgx=√3

Aufgabe 1. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns mithilfe von Funktionsgraphen eine Lösung finden (Abb. 1).

Betrachten Sie das Intervall Auf diesem Intervall ist die Funktion monoton, was bedeutet, dass sie nur bei einem Wert der Funktion erreicht wird.

Antworten:

Lösen wir dieselbe Gleichung mit einem Zahlenkreis (Abb. 2).

Antworten:

3. Lösung der Gleichung tgx=a in allgemeiner Form

Lösen wir die Gleichung in allgemeiner Form (Abb. 3).

Auf dem Intervall hat die Gleichung eine eindeutige Lösung

Die kleinste positive Periode

Lassen Sie uns dies anhand eines Zahlenkreises veranschaulichen (Abb. 4).

4. Problemlösung

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns die Variable ändern

Aufgabe 3. Lösen Sie das System:

Lösung (Abb. 5):

An dem Punkt ist der Wert also die Lösung des Systems ist nur der Punkt

Antworten:

Aufgabe 4. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns mit der Variablenänderungsmethode lösen:

Aufgabe 5. Finden Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung auf dem Intervall

Lösen wir das Problem anhand des Diagramms (Abb. 6).

Die Gleichung hat drei Lösungen in einem gegebenen Intervall.

Wir veranschaulichen dies anhand eines numerischen Kreises (Abb. 7), obwohl dies nicht so klar ist wie in der Grafik.

Antwort: Drei Lösungen.

5. Fazit, Fazit

Wir haben die Gleichung für jede reelle Zahl gelöst, indem wir das Konzept des Arcus Tangens verwendet haben. In der nächsten Lektion werden wir uns mit dem Konzept des Arcustangens vertraut machen.

Referenzliste

1. Algebra und der Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Anleitung für Bildungsinstitutionen (Profilebene) Hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra und der Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Aufgabenbuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse ( Lernprogramm für Schülerinnen und Schüler von Schulen und Klassen mit Vertiefung in Mathematik).-M.: Pädagogik, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Eingehendes Studium der Algebra und mathematischen Analyse.-M.: Education, 1997.

5. Eine Sammlung mathematischer Aufgaben für Bewerber an technischen Universitäten (unter der Herausgeberschaft von M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. Saakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Aufgaben in der Algebra und die Anfänge der Analyse (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen) - M .: Education, 2003.

8. A. P. Karp, Sammlung von Problemen in Algebra und Prinzipien der Analyse: Proc. Zulage für 10-11 Zellen. mit einem tiefen lernen Mathematik.-M.: Pädagogik, 2006.

Hausaufgaben

Algebra und die Anfänge der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Aufgabenbuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Zusätzliche Webressourcen

1. Mathematik.

2. Probleme mit dem Internetportal. Ru.

3. Bildungsportal sich auf Prüfungen vorzubereiten.