Линейное напряженное состояние. Плоское напряженное и плоское Плоское и объемное напряженное состояние

Выделим вокруг некоторой точки К тела параллелепипед с рёбрами бесконечно малой длины. На гранях этого элементарного параллелепипеда в общем случае могут действовать нормальные и касательные напряжения. Совокупность напряжений на всевозможных площадках, проходящих через точку, называется напряженным состоянием материала в точке . Доказано, что можно так расположить в пространстве параллелепипед, что на его гранях останутся только нормальные напряжения. Такие грани называются главными площадками , а напряжения на них – главными напряжениями . Наибольшее главное напряжение обозначается σ 1 , наименьшее – σ 3 , а промежуточное – σ 2 , поэтому .

Различают три вида напряженного состояния: линейное, плоское и объёмное (рис. 3.1).

Рис.1. Виды напряженного состояния в точке: а – линейное; б – плоское; в – объемное

2. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим более подробно плоское напряженное состояние. Выделим из тонкой пластинки толщиной t бесконечно малый элемент, по боковым граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 2, а ). Принимаем, что напряжения по толщине пластинки распределены равномерно, поэтому конкретный размер t не влияет на дальнейший анализ. Будем смотреть на элемент с острия оси z , а напряжения на боковых гранях элемента считать положительными (рис. 2, б ).

Рис. 2. Плоское напряженное состояние

Согласно закону парности касательных напряжений , т. е. касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках рав­ны по величине и направлены так, что стремятся вращать элемент в противоположных направлениях.

Главные площадки (рис. 3) составляют угол a 0 с исходными площадками, величину которого определяют из выражения

Рис. 3. Главные площадки и главные напряжения

Главные напряжения, обозначаемые как и, вычисляют по формуле

Экстремальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под углом 45°

Деформации бесконечно малого элемента при плоском напряженном состоянии заключаются в изменении линейных размеров элемента и в изменении формы элемента. Если в общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, то в точке тела возникают относительные линейные деформации

и угловая деформация (относительный сдвиг ) в виде угла сдвига (рис. 4,б ).

Рис.4. Плоское напряженное состояние: а – напряжения; б – деформации

Между относительными линейными деформациями и напряжениями в точке упругого тела существуют зависимости в виде закона Гука:

Здесь – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода);– коэффициент Пуассона.

Частным случаем плоского напряженного состояния является такой, при котором на взаимно-перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения (рис. 5).

Такой случай называется чистым сдвигом , а исходные площадки называются площадками чистого сдвига. Главные площадки оказываются наклоненными к площадкам чистого сдвига под углом 45°, а главные напряжения численно равны касательным напряжениям, причем одно из главных напряжений – растягивающее, а другое – сжимающее. Согласно принятому правилу обозначения главных напряжений ;

Деформации бесконечно малого элемента при чистом сдвиге заключаются в искажении прямых углов на величину , которая называетсяуглом сдвига (рис. 4 и 5).

Между углом сдвига и касательными напряжениями существует пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при чистом сдвиге

где коэффициент пропорциональности G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода), измеряемый в тех же единицах, что и напряжения, МПа, кН/см 2 .

Три характеристики упругих свойств изотропного материала оказываются связанными между собой зависимостью, которую наиболее часто записывают в следующей форме:

Основы теории упругости

Лекция 4

Плоская задача теории упругости

Слайд 2

В теории упругости имеется большой класс задач, важных в смысле практических приложений и вместе с тем допускающих значительные упрощения математической стороны решения. Упрощение заключается в том, что в этих задачах одну из координатных осей тела, например ось z, можно отбросить и все явления рассматривать происходящими в одной координатной плоскости х0у нагруженного тела. В этом случае напряжения, деформации и перемещения будут являться функциями двух координат – х и у.

Задача, рассматриваемая в двух координатах, называется плоской задачи теории упругости .

Под термином «плоская задача теории упругости » объединяют две физически разные задачи, приводящие к весьма сходным математическим зависимостям:

1) задачу о плоском деформированном состоянии (плоская деформация);

2) задачу о плоском напряжённом состоянии.

Для этих задач чаще всего характерно значительное отличие одного геометрического размера от двух других размеров рассматриваемых тел: большая длина в первом случае и малая толщина во втором случае.

Плоская деформация

Деформация называется плоской, если перемещения всех точек тела могут происходить только в двух направлениях в одной плоскости и не зависят от координаты, нормальной к этой плоскости, т. е.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)

Плоская деформация возникает в длинных призматических или цилиндрических телах с осью, параллельной оси z, вдоль которой по боковой поверхности действует нагрузка, перпендикулярная этой оси и не меняющаяся по величине вдоль неё.

Примером плоской деформации может служить напряжённо-деформированное состояние, возникающее в длинной прямой плотине и длинном своде подземного тоннеля (рис. 4.1).

Рисунок – 4.1. Плоская деформация возникает в теле плотины и своде подземного тоннеля

Слайд 3

Подставляя компоненты вектора перемещения (4.1) в формулы Коши (2.14), (2.15), получим:

(4.2)

Отсутствие линейных деформаций в направлении оси z ведёт к появлению нормальных напряжений σ z . Из формулы закона Гука (3.2) для деформации ε z следует, что

откуда получается выражение для напряжения σ z:

(4.3)

Подставляя это соотношение в две первые формулы закона Гука, находим:

(4.4)

Слайд 4

Из анализа формул (4.2) − (4.4) и (3.2) также следует, что

Таким образом, основные уравнения трёхмерной теории упругости в случае плоской деформации значительно упрощаются.

Из трёх дифференциальных уравнений равновесия Навье (2.2) остаются только два уравнения:

(4.5)

а третье обращается в тождество.

Так как на боковой поверхности везде направляющий косинус n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, то из трёх условий на поверхности (2.4) остаются только два уравнения:

(4.6)

где l, m – направляющие косинусы внешней нормали v к поверхности контура;

X, Y, X v , Y v – компоненты объёмных сил и интенсивности внешних поверхностных нагрузок на оси x и у, соответственно.

Слайд 5

Шесть уравнений Коши (2.14), (2.15) сводятся к трём:

(4.7)

Из шести уравнений неразрывности деформаций Сен-Венана (2.17), (2.18) остаётся одно уравнение:

(4.8)

а остальные обращаются в тождества.

Из шести формул закона Гука (3.2), с учётом (4.2), (4.4), остаются три формулы:

В этих соотношениях для традиционного в теории упругости вида записи введены новые упругие постоянные:

Слайд 6

Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние возникает в том случае, когда длина того же призматического тела мала, по сравнению с двумя другими, размерами. В этом случае она называется толщиной. Напряжения в теле действуют только в двух направлениях в координатной плоскости хОу и не зависят от координаты z . Примером такого тела может служить тонкая пластина толщиной h , нагруженная по боковой поверхности (ребру) силами, параллельными плоскости пластины и равномерно распределёнными по её толщине (рис. 4.2).

Рисунок 4.2 – Тонкая пластинка и приложенные к ней нагрузки

В этом случае также возможны упрощения, аналогичные упрощениям в задаче о плоской деформации. Компоненты тензора напряжений σ z , τ xz , τ yz на обеих плоскостях пластины равны нулю. Так как пластина тонкая, то можно считать, что они равны нулю и внутри пластины. Тогда напряжённое состояние будет определяться только компонентами σ x , σ y , τ xy которые не зависят от координаты z, т. е. не меняются по толщине пластины, а являются функциями только x и y.

Таким образом, в тонкой пластине возникает следующее напряжённое состояние:

Слайд 7

В отношении напряжений плоское напряжённое состояние отличается от плоской деформации условием

Кроме того, из формулы закона Гука (3.2), с учётом (4.10), для линейной деформации ε z получаем, что она не равна нулю:

Следовательно, основания пластины будут искривляться, так как появятся перемещения по оси z.

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации: дифференциальные уравнения равновесия (4.5), условия на поверхности (4.6), уравнения Коши (4.7) и уравнения неразрывности деформаций (4.8) сохраняют такой же вид в задаче о плоском напряжённом состоянии.

Формулы закона Гука примут следующий вид:

Формулы (4.11) отличаются от формул (4.9) закона Гука для плоской деформации только значениями упругих постоянных: E и E 1 , v и v 1 .

Слайд 8

В обратной форме закон Гука запишется так:

(4.12)

Таким образом, при решении этих двух задач (плоская деформация и плоское напряжённое состояние) можно пользоваться одними и теми же уравнениями и объединять задачи в одну плоскую задачу теории упругости.

В плоской задаче теории упругости восемь неизвестных:

– две компоненты вектора перемещений u и v;

– три компоненты тензора напряжений σ x , σ y , τ xy ;

– три компоненты тензора деформаций ε x , ε y , γ xy .

Для решения задачи используют восемь уравнений:

– два дифференциальных уравнения равновесия (4.5);

– три уравнения Коши (4.7);

– три формулы закона Гука (4.9), или (4.11).

Кроме того, полученные деформации должны подчиняться уравнению неразрывности деформаций (4.8), а на поверхности тела должны выполняться условия равновесия (4.6) между внутренними напряжениями и интенсивностями внешней поверхностной нагрузки X v , Y v .

Если все векторы напряжений параллельны одной и той же плоскости, напряженное состояние называется плоским (рис. 1). Иначе: напряженное состояние является плоским, если одно из трех главных напряжений равно нулю.

Рисунок 1.

Плоское напряженное состояние реализуется в пластине, нагруженной по ее контуру силами, равнодействующие которых расположены в ее срединной плоскости (срединная плоскость - плоскость, делящая пополам толщину пластины).

Направления напряжений на рис. 1 приняты за положительные. Угол α положителен, если он откладывается от оси х к оси у. На площадке с нормалью n:

Нормальное напряжение σ n положительно, если оно растягивающее. Положительное напряжение показано на рис. 1. Правило знаков для по формуле (1) то же самое, что для напряжений по формуле (1).

Данное здесь правило знаков относится к наклонным площадкам. В статье «Объёмное напряженное состояние» сформулировано правило знаков для компонентов напряжений в точке, т. е. для напряжений на площадках, перпендикулярных осям координат. Это правило знаков принято в теории упругости.

Главные напряжения на площадках, перпендикулярных плоскости напряжений:

(Поскольку здесь рассматриваются только два главных напряжения, они обозначены через σ 1 и σ 2 , хотя может оказаться, что σ 2 <0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к первой и второй главным площадкам.

Если главные напряжения σ 1 и σ 2 имеют одинаковый знак, то наибольшее касательное напряжение действует на площадке, расположенной под углом 45° к плоскости напряжений (плоскости ху). В этом случае:

В стенке балки (здесь имеется в виду обычная балка, а не балка-стенка) при ее изгибе силами реализуется частный случай плоского напряженного состояния. В стенках балки одно из нормальных напряжений σ y равно нулю. В этом случае напряжения получатся по формулам (1), (2) и (4), если в этих формулах положить σ y =0. Положение первой главной площадки определяется формулой (3).

РАСТЯЖЕНИЕ ПО ДВУМ НАПРАВЛЕНИЯМ (рис 2).

Плоское напряженное состояние

В случае плоского напряженного состояния одно из трех напряжений равно нулю.

Объемное напряженное состояние сопромат

Зависимость между напряжениями и деформациями

В сопротивлении материалов , при исследовании деформаций в случае объемного напряженного состояния предполагаем, что материал

подчиняется закону Гука и что деформации малы. Рассмотрим элемент, размеры граней которого равны

а х в х с, и

Все напряжения для простоты рассуждений считаем положительными. Вследствие деформации рёбра

элемента изменяют свою длину и становяться равными а+^а; в+^в; с+^с.

Отношение приращений длин рёбер элементов к первоначальной их длине дадут

главные относительные удлинения в главных направлениях:

Полная относительная деформация элемента ах в хс в направлении ребра а выразится как сумма

Аналогично можно найти полные относительные деформации в направлении рёбер в и с.

Эти три формулы носят название обобщенного закона Гукй. Объемная деформация может быть выражена так:

Изменение объема зависит лишь от суммы главных напряжений, а не от их соотношения. Поэтому такое же

изменение объема получит элементарный кубик, на гранях которот будут действовать одинаковые напряжения

Энергия упругой деформации

Потенциальной энергией упругой деформации в сопромате называется энергия, накапливаемая в теле при

его упругой деформации, вызванной действием внешних сил.

Удельная энергия (энергия упругой деформации, отнесенная к единице объема) равна:

Эта энергия состоит из 2-х частей: 1) энергии, затрачиваемой на изменение объема, и 2) энергии,

затрачиваемой на изменение формы.

Энергия изменения объема:

Теории прочности сопромат

Теории прочности, в сопротивлении материалов , стремятся установить критерий прочности для материала, находящегося в сложном напряженном состоянии (объемном или плоском). При этом исследуемое напряженное состояние рассчитываемой детали сравнивается с линейным напряженным состоянием - растяжением или сжатием.

За предельное состояние пластичных материалов принимается такое состояние, при котором начинают появляться заметные остаточные (пластические) деформации.

Для материалов хрупких, или находящихся в хрупком состоянии, предельным состоянием считается такое, при котором материал находится на границе появления первых трещин, т.е. на границе нарушения целостности материала.

Условие прочности при объемном напряженном состоянии следующее:

Коэффициентом запаса (n) при данном напряженном состоянии называется число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния, чтобы оно стало предельным.

Эквивалентное напряжение Oэкв представляет собою растягивающее напряжение при линейном (одноосном) напряженном состоянии, равноопасном с заданным объемным или плоским напряженным состоянием.

Формулы для эквивалентного напряжения, выражающие его через главные напряжения устанавливаются теориями прочности в зависимости от принятой каждой теорией гипотезы прочности.

Теорий прочности или гипотез предельных напряженных состояний существует несколько:

Первая теория, или теория наибольших нормальных напряжений и вторая теория, или теория наибольших линейных деформаций, в настоящее время не применяются в практических расчетах. Третья теория, или теория наибольших касательных напряжений. В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния - сложное и линейное - эквивалентны по прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы.

Эквивалентные напряжения при объемном напряженном состоянии:

Третья теория прочности дает удовлетворительные результаты для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.

Основным недостатком этой теории является то, что она не учитывает о"з, которая как показывают опыты, оказывает некоторое влияние на прочность материала.

Четвертая теория прочности - энергетическая. Она исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом- растяжении. Эквивалентное напряжение при объемном напряженном состоянии

Четвертая теория прочности хорошо подтверждается опытами с пластичными материалами, имеющими одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.

Теория предельных состояний (теория Мора) исходит из предположения, что прочность в общем случае напряженного состояния зависит главным-образом от величины ж знака наибольшего О1 и наименьшего Оз главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение О2 лишь незначительно влияет на прочность. Опыты показали, что погрешность, вызванная пренебрежением О2 в худшем случае не превышает 12-15 %, а обычно бывает меньше.

Для объемного напряженного состояния:

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При этом площадки х= const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

Нумерация корней произведена для случая

Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.

Рис.2. Позиция главных напряжений

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 1, при этом вектор п имеет компоненты: , , n х =0 . Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

Наименьший положительный корень уравнения (4) обозначим через . Так как tg(х )—периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 2).

Если продифференцировать соотношение (2) по и приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4), что доказывает экстремальность главных напряжений.

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

откуда получим

Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 3).

Рис.3. Экстремальность касательных напряжений

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с

Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.

Рис.4. Плоская деформация.

По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна

Из рис. 4 следует

Учитывая, что MN=dx, получим

В случае малых деформаций, когда , , можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом приближенного соотношения

справедливого при x <<1, окончательно для малой деформации получим

Угловая деформация определяется как сумма углов и (4). В случае малых деформаций

Для угловой деформации имеем

Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений

Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений.

Инварианты тензора деформаций определяются аналогичными формулами, причем первый инвариант тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл. До деформации его объем равен dV 0 =dxdydz. Если пренебречь деформациями сдвига, которые изменяют форму, а не объем, то после деформации ребра будут иметь размеры

(рис. 4), а его объем будет равен

Относительное изменение объема

в пределах малых деформаций составит

что совпадает с определением первого инварианта. Очевидно, что изменение объема есть физическая величина, не зависящая от выбора системы координат.

Так же, как и тензор напряжений, тензор деформаций можно разложить на шаровой тензор и девиатор. При этом первый инвариант девиатора равен нулю, т. е. девиатор характеризует деформацию тела без изменения его объема.