Kako pomnožiti dva broja različitih snaga. Formule snaga i korijena. Nastavak rješavanja tipičnih problema

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable i raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje potencij e se sprovode na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje snage

Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo važi i za brojeve čiji su eksponenti - negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbiru ili razlika njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela vlasti

Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili postavljanjem u obliku razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .

Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac(yyy)(yy) = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente u $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Smanjite eksponente u $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Ako trebate podići određeni broj na stepen, možete koristiti . Sada ćemo detaljnije pogledati svojstva moći.

Eksponencijalni brojevi otvaraju velike mogućnosti, omogućavaju nam da množenje pretvorimo u sabiranje, a sabiranje je mnogo lakše od množenja.

Na primjer, trebamo pomnožiti 16 sa 64. Proizvod množenja ova dva broja je 1024. Ali 16 je 4x4, a 64 je 4x4x4. Dakle 16 puta 64=4x4x4x4x4 što je takođe 1024.

Broj 16 se takođe može predstaviti kao 2x2x2x2, a 64 kao 2x2x2x2x2x2, a ako pomnožimo, opet dobijamo 1024.

A sada upotrijebimo pravilo. 16=4 2 , ili 2 4 , 64=4 3 , ili 2 6 , dok je 1024=6 4 =4 5 , ili 2 10 .

Stoga se naš problem može napisati na drugi način: 4 2 x4 3 =4 5 ili 2 4 x2 6 =2 10, i svaki put dobijemo 1024.

Možemo riješiti niz sličnih primjera i vidjeti da se množenje brojeva s potencijama smanjuje na sabiranje eksponenata, ili eksponent, naravno, pod uslovom da su baze faktora jednake.

Dakle, možemo, bez množenja, odmah reći da je 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Ovo pravilo vrijedi i za dijeljenje brojeva sa potencijama, ali u ovom slučaju, npr eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende. Dakle, 2 5:2 3 =2 2 , što je u običnim brojevima jednako 32:8=4, odnosno 2 2 . Hajde da rezimiramo:

a m x a n = a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdje su m i n cijeli brojevi.

Na prvi pogled može izgledati da je tako množenje i dijeljenje brojeva sa potencijama nije baš zgodno, jer prvo morate predstaviti broj u eksponencijalnom obliku. Nije teško predstaviti brojeve 8 i 16 u ovom obliku, odnosno 2 3 i 2 4, ali kako to učiniti sa brojevima 7 i 17? Ili šta učiniti u onim slučajevima kada se broj može predstaviti u eksponencijalnom obliku, ali su osnove eksponencijalnih izraza brojeva vrlo različite. Na primjer, 8×9 je 2 3 x 3 2 , u kom slučaju ne možemo sabrati eksponente. Ni 2 5 ni 3 5 nije odgovor, niti je odgovor između to dvoje.

Da li se onda uopšte vredi baviti ovom metodom? Definitivno se isplati. Pruža ogromne prednosti, posebno za složene i dugotrajne proračune.

U prethodnom članku smo govorili o tome šta su monomi. U ovom materijalu ćemo analizirati kako riješiti primjere i probleme u kojima se koriste. Ovdje ćemo razmotriti operacije kao što su oduzimanje, sabiranje, množenje, dijeljenje monoma i njihovo podizanje na stepen sa prirodni pokazatelj. Pokazaćemo kako su takve operacije definisane, ukazati na osnovna pravila za njihovu implementaciju i šta bi trebalo da bude rezultat. Sve teorijske odredbe, kao i obično, biće ilustrovane primerima zadataka sa opisima rešenja.

Najprikladnije je raditi sa standardnim zapisom monoma, stoga sve izraze koji će se koristiti u članku predstavljamo u standardnom obliku. Ako su inicijalno postavljeni drugačije, preporučuje se da se prvo dovedu u opšteprihvaćeni oblik.

Pravila za sabiranje i oduzimanje monoma

Najjednostavnije operacije koje se mogu izvesti s monomima su oduzimanje i sabiranje. U opštem slučaju, rezultat ovih akcija će biti polinom (u nekim posebnim slučajevima moguć je monom).

Kada sabiramo ili oduzimamo monome, prvo zapisujemo odgovarajući zbir i razliku u opšteprihvaćenom obliku, nakon čega pojednostavljujemo rezultirajući izraz. Ako postoje slični pojmovi, moraju se dati, zagrade se moraju otvoriti. Objasnimo na primjeru.

Primjer 1

Stanje: dodaj monome − 3 · x i 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Rješenje

Zapišimo zbir originalnih izraza. Dodajte zagrade i stavite znak plus između njih. Dobićemo sledeće:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Kada proširimo zagrade, dobijamo - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Ovo je polinom, napisan u standardnom obliku, koji će biti rezultat sabiranja ovih monoma.

odgovor:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Ako imamo tri, četiri ili više termina, ovu radnju izvodimo na isti način.

Primjer 2

Stanje: prevucite prstom unutra pravi red specificirane operacije sa polinomima

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Rješenje

Počnimo otvaranjem zagrada.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vidimo da se rezultirajući izraz može pojednostaviti smanjenjem sličnih pojmova:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Imamo polinom, koji će biti rezultat ove akcije.

odgovor: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

U principu, možemo izvršiti sabiranje i oduzimanje dva monoma, uz neka ograničenja, tako da na kraju dobijemo monom. Da bi se to postiglo, potrebno je poštovati neke uslove u pogledu termina i oduzetih monoma. Opisat ćemo kako se to radi u posebnom članku.

Pravila za množenje monoma

Akcija množenja ne nameće nikakva ograničenja množiocima. Monomi koji se množe ne smiju ispunjavati nikakve dodatne uslove da bi rezultat bio monom.

Da biste izvršili množenje monoma, morate izvršiti sljedeće korake:

1. Snimite komad ispravno.
2. Proširite zagrade u rezultirajućem izrazu.
3. Grupirajte, ako je moguće, faktore sa istim varijablama i numeričke faktore odvojeno.
4. Izvršite potrebne radnje s brojevima i primijenite svojstvo množenja potencija s istim osnovama na preostale faktore.

Pogledajmo kako se to radi u praksi.

Primjer 3

Stanje: pomnožimo monome 2 · x 4 · y · z i - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Rješenje

Počnimo s kompozicijom djela.

Otvaranjem zagrada u njemu dobijamo sledeće:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Sve što treba da uradimo je da pomnožimo brojeve u prvim zagradama i primenimo svojstvo snage na drugu. Kao rezultat, dobijamo sljedeće:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

odgovor: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Ako imamo tri ili više polinoma u uslovu, množimo ih koristeći potpuno isti algoritam. Pitanje množenja monoma ćemo detaljnije razmotriti u posebnom materijalu.

Pravila za podizanje monoma na stepen

Znamo da se proizvod određenog broja identičnih faktora naziva stepen sa prirodnim eksponentom. Njihov broj je označen brojem u indeksu. Prema ovoj definiciji, podizanje monoma na stepen je ekvivalentno množenju naznačenog broja identičnih monoma. Da vidimo kako se to radi.

Primjer 4

Stanje: podići monom − 2 · a · b 4 na stepen 3 .

Rješenje

Eksponencijaciju možemo zamijeniti množenjem 3 monoma − 2 · a · b 4 . Hajde da zapišemo i dobijemo željeni odgovor:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

odgovor:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Ali šta je kada stepen ima veliki eksponent? Snimanje velikog broja množitelja je nezgodno. Zatim, da bismo riješili takav problem, moramo primijeniti svojstva stepena, odnosno svojstvo stepena proizvoda i svojstvo stepena u stepenu.

Rešimo problem koji smo gore citirali na naznačen način.

Primjer 5

Stanje: povisi − 2 · a · b 4 na treći stepen.

Rješenje

Poznavajući svojstvo stepena u stepenu, možemo preći na izraz sledećeg oblika:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Nakon toga dižemo na stepen - 2 i primjenjujemo svojstvo eksponenta:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

odgovor:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Takođe smo posvetili poseban članak podizanju monoma na stepen.

Pravila za dijeljenje monoma

Posljednja radnja s monomima koju ćemo analizirati u ovom materijalu je podjela monoma monomom. Kao rezultat, trebali bismo dobiti racionalni (algebarski) razlomak (u nekim slučajevima moguće je dobiti monom). Pojasnimo odmah da podjela nultim monomom nije definirana, jer podjela sa 0 nije definirana.

Da bismo izvršili dijeljenje, potrebno je navedene monome zapisati u obliku razlomka i smanjiti ih, ako je moguće.

Primjer 6

Stanje: podijelimo monom − 9 x 4 y 3 z 7 sa − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Rješenje

Počnimo s pisanjem monoma u obliku razlomka.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Ovaj dio se može smanjiti. Nakon što ovo uradimo, dobijamo:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

odgovor:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Uslovi pod kojima, kao rezultat dijeljenja monoma, dobijamo monom dati su u posebnom članku.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ranije smo već govorili o tome šta je snaga broja. Ona ima određena svojstva, korisno u rješavanju problema: analizirat ćemo ih i sve moguće eksponente u ovom članku. Također ćemo na primjerima pokazati kako se mogu dokazati i pravilno primijeniti u praksi.

Prisjetimo se koncepta stepena s prirodnim eksponentom, koji smo već ranije formulirali: ovo je proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak a. Također moramo zapamtiti kako pravilno množiti realne brojeve. Sve ovo će nam pomoći da formuliramo sljedeća svojstva za diplomu s prirodnim pokazateljem:

Definicija 1

1. Glavno svojstvo stepena: a m a n = a m + n

Može se generalizovati na: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Svojstvo količnika za stepene koji imaju istu bazu: a m: a n = a m − n

3. Svojstvo stepena proizvoda: (a b) n = a n b n

Jednakost se može proširiti na: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Svojstvo prirodnog stepena: (a: b) n = a n: b n

5. Dižemo stepen na stepen: (a m) n = a m n ,

Može se generalizovati na: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Uporedite stepen sa nulom:

• ako je a > 0, tada će za bilo koje prirodno n, a n biti veće od nule;
• sa a jednakim 0, a n će također biti jednako nuli;
• za< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• za< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Jednakost a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Nejednakost a m > a n bit će tačna pod uslovom da su m i n prirodni brojevi, m veće od n i a veće od nule, a ne manje od jedan.

Kao rezultat, dobili smo nekoliko jednakosti; ako ispunjavate sve gore navedene uslove, oni će biti identični. Za svaku od jednakosti, na primjer, za glavno svojstvo, možete zamijeniti desni i lijevi dio: a m · a n = a m + n - isto što i a m + n = a m · a n . U ovom obliku, često se koristi kada se pojednostavljuju izrazi.

1. Počnimo s glavnim svojstvom stepena: jednakost a m · a n = a m + n bit će tačna za bilo koje prirodne m i n i realno a . Kako dokazati ovu tvrdnju?

Osnovna definicija stepena sa prirodnim eksponentima omogućiće nam da pretvorimo jednakost u proizvod faktora. Dobićemo ovakav unos:

Ovo se može skratiti na (prisjetite se osnovnih svojstava množenja). Kao rezultat, dobili smo stepen broja a sa prirodnim eksponentom m + n. Dakle, a m + n , što znači da je glavno svojstvo stepena dokazano.

Hajde da analiziramo konkretan primjer potvrđujući ovo.

Primjer 1

Dakle, imamo dvije potencije sa bazom 2. Njihovi prirodni pokazatelji su 2, odnosno 3. Dobili smo jednakost: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Izračunajmo vrijednosti da provjerimo ispravnost ove jednakosti.

Izvršićemo potrebno matematičke operacije: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 i 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Kao rezultat, dobili smo: 2 2 2 3 = 2 5 . Imovina je dokazana.

Zbog svojstava množenja, svojstvo možemo generalizirati tako što ćemo ga formulirati kao tri i više stepena čiji su eksponenti prirodni brojevi i čije su baze iste. Ako broj prirodnih brojeva n 1, n 2 itd. označimo slovom k, dobijamo tačnu jednakost:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Primjer 2

2. Dalje, moramo dokazati sljedeće svojstvo, koje se zove svojstvo količnika i svojstveno je potencijama s istim osnovama: ovo je jednakost a m: a n = a m − n , koja vrijedi za bilo koje prirodne m i n (i m je veći od n)) i bilo koji realni a koji nije nula.

Za početak, objasnimo šta je tačno značenje uslova koji se spominju u formulaciji. Ako uzmemo a jednako nuli, onda ćemo na kraju dobiti podjelu sa nulom, što se ne može učiniti (na kraju krajeva, 0 n = 0). Uslov da broj m mora biti veći od n je neophodan da bismo mogli ostati unutar prirodnih eksponenata: oduzimanjem n od m dobijamo prirodan broj. Ako uslov nije ispunjen, dobićemo negativan broj ili nulu, i opet ćemo ići dalje od proučavanja stepena sa prirodnim pokazateljima.

Sada možemo prijeći na dokaz. Iz prethodno proučenog, prisjećamo se osnovnih svojstava razlomaka i formuliramo jednakost na sljedeći način:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

Iz toga možemo zaključiti: a m − n a n = a m

Prisjetite se veze između dijeljenja i množenja. Iz toga slijedi da je a m − n količnik potencija a m i a n . Ovo je dokaz svojstva drugog stepena.

Primjer 3

Zamijenite određene brojeve radi jasnoće u indikatorima i označite bazu stepena π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Zatim ćemo analizirati svojstvo stepena proizvoda: (a · b) n = a n · b n za bilo koje realne a i b i prirodno n .

Prema osnovnoj definiciji stepena sa prirodnim eksponentom, jednakost možemo preformulisati na sledeći način:

Prisjećajući se svojstava množenja, pišemo: . To znači isto što i a n · b n .

Primjer 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Ako imamo tri ili više faktora, onda ovo svojstvo vrijedi i za ovaj slučaj. Uvodimo oznaku k za broj faktora i pišemo:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Primjer 5

Sa određenim brojevima dobijamo sledeću tačnu jednakost: (2 (- 2 , 3) ​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. Nakon toga ćemo pokušati dokazati svojstvo količnika: (a: b) n = a n: b n za bilo koje realno a i b ako b nije jednako 0 i n je prirodan broj.

Za dokaz možemo koristiti svojstvo prethodnog stepena. Ako je (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n i (a: b) n b n = a n, onda slijedi da je (a: b) n količnik dijeljenja a n sa b n.

Primjer 6

Izbrojimo primjer: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Primjer 7

Počnimo odmah s primjerom: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

A sada formuliramo lanac jednakosti koji će nam dokazati ispravnost jednakosti:

Ako u primjeru imamo stupnjeve stupnjeva, onda ovo svojstvo vrijedi i za njih. Ako imamo bilo koje prirodne brojeve p, q, r, s, tada će biti tačno:

a p q y s = a p q y s

Primjer 8

Dodajmo pojedinosti: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Još jedno svojstvo stupnjeva s prirodnim eksponentom koje trebamo dokazati je svojstvo poređenja.

Prvo, uporedimo eksponent sa nulom. Zašto je a n > 0 pod uslovom da je a veće od 0?

Ako pomnožimo jedan pozitivan broj drugim, također ćemo dobiti pozitivan broj. Znajući ovu činjenicu, možemo reći da to ne ovisi o broju faktora - rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva je pozitivan broj. A šta je stepen, ako ne rezultat množenja brojeva? Tada će za bilo koji stepen a n sa pozitivnom bazom i prirodnim eksponentom ovo biti istina.

Primjer 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 i 34 9 13 51 > 0

Takođe je očigledno da je stepen sa bazom jednakom nuli i sam nula. Na koju god potenciju podignemo nulu, tako će i ostati.

Primjer 10

0 3 = 0 i 0 762 = 0

Ako je osnova stepena negativan broj, onda je dokaz malo komplikovaniji, jer koncept parnog/neparnog eksponenta postaje važan. Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran i označimo ga sa 2 · m , gdje je m prirodan broj.

Prisjetimo se kako pravilno množiti negativne brojeve: proizvod a · a jednak je proizvodu modula, pa će, prema tome, biti pozitivan broj. Onda i stepen a 2 · m su također pozitivni.

Primjer 11

Na primjer, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 i - 2 9 6 > 0

Što ako je eksponent s negativnom bazom neparan broj? Označimo ga 2 · m − 1 .

Onda

Svi proizvodi a · a , prema svojstvima množenja, su pozitivni, kao i njihov proizvod. Ali ako ga pomnožimo jedinim preostalim brojem a , tada će konačni rezultat biti negativan.

Tada dobijamo: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Kako to dokazati?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Primjer 12

Na primjer, tačne su nejednakosti: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Ostaje nam da dokažemo posljednju osobinu: ako imamo dva stepena, čije su baze iste i pozitivne, a eksponenti su prirodni brojevi, onda je onaj od njih veći, čiji je eksponent manji; a od dva stepena sa prirodnim pokazateljima i istim osnovama većim od jedan, veći je stepen čiji je pokazatelj veći.

Dokažimo ove tvrdnje.

Prvo moramo biti sigurni da je m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Uzimamo n iz zagrada, nakon čega će naša razlika dobiti oblik a n · (am − n − 1) . Njegov rezultat će biti negativan (pošto je rezultat množenja pozitivnog broja negativnim negativan). Zaista, prema početnim uslovima, m − n > 0, tada je a m − n − 1 negativan, a prvi faktor je pozitivan, kao i svaka prirodna snaga s pozitivnom bazom.

Ispostavilo se da je a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Ostaje dokazati drugi dio gore formulirane tvrdnje: a m > a je tačno za m > n i a > 1 . Naznačimo razliku i izvadimo n iz zagrada: (a m - n - 1) Potencija n sa većim od jedan će dati pozitivan rezultat; i sama razlika će takođe biti pozitivna zbog početnih uslova, a za a > 1 stepen a m − n je veći od jedan. Ispostavilo se da je a m − a n > 0 i a m > a n , što smo trebali dokazati.

Primjer 13

Primjer sa određenim brojevima: 3 7 > 3 2

Osnovna svojstva stupnjeva s cijelim eksponentima

Za stepene sa pozitivnim celobrojnim eksponentima, svojstva će biti slična, jer su pozitivni celi brojevi prirodni brojevi, što znači da sve gore dokazane jednakosti važe i za njih. Pogodni su i za slučajeve kada su eksponenti negativni ili jednaki nuli (pod uslovom da je baza samog stepena različita od nule).

Dakle, svojstva potencija su ista za sve baze a i b (pod uslovom da su ovi brojevi realni i nisu jednaki 0) i sve eksponente m i n (pod uslovom da su celi brojevi). Zapisujemo ih ukratko u obliku formula:

Definicija 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n sa pozitivnim cijelim brojem n, pozitivnim a i b, a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n i 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ako je osnova stepena jednaka nuli, onda unosi a m i a n imaju smisla samo u slučaju prirodnih i pozitivnih m i n. Kao rezultat toga, nalazimo da su gornje formulacije pogodne i za slučajeve sa stepenom sa nultom bazom, ako su ispunjeni svi ostali uslovi.

Dokazi ovih svojstava u ovom slučaju su jednostavni. Moraćemo da zapamtimo šta je stepen sa prirodnim i celobrojnim eksponentom, kao i svojstva radnji sa realnim brojevima.

Hajde da analiziramo svojstvo stepena u stepenu i dokažemo da je to tačno i za pozitivne i za nepozitivne brojeve. Počinjemo dokazivanjem jednakosti (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) i (a − p) − q = a (− p) (−q)

Uslovi: p = 0 ili prirodan broj; q - slično.

Ako su vrijednosti p i q veće od 0, onda dobijamo (a p) q = a p · q . Već smo ranije dokazali sličnu jednakost. Ako je p = 0 onda:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Prema tome, (a 0) q = a 0 q

Za q = 0 sve je potpuno isto:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Rezultat: (a p) 0 = a p 0 .

Ako su oba indikatora nula, tada (a 0) 0 = 1 0 = 1 i a 0 0 = a 0 = 1, tada (a 0) 0 = a 0 0 .

Prisjetite se svojstva količnika u gore dokazanom stepenu i napišite:

1 a p q = 1 q a p q

Ako je 1 p = 1 1 … 1 = 1 i a p q = a p q , tada je 1 q a p q = 1 a p q

Možemo transformisati ovu notaciju na osnovu osnovnih pravila množenja u (− p) · q .

Također: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

I (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Preostala svojstva stepena mogu se dokazati na sličan način transformacijom postojećih nejednakosti. Nećemo se zadržavati na tome detaljno, samo ćemo naznačiti teške tačke.

Dokaz pretposljednjeg svojstva: prisjetimo se da je a − n > b − n istinito za sve negativne cjelobrojne vrijednosti n i bilo koje pozitivne a i b, pod uvjetom da je a manje od b.

Tada se nejednakost može transformirati na sljedeći način:

1 a n > 1 b n

Zapisujemo desni i lijevi dio kao razliku i izvodimo potrebne transformacije:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Podsjetimo da je u uvjetu a manje od b , tada, prema definiciji stepena s prirodnim eksponentom: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n je na kraju pozitivan broj jer su njegovi faktori pozitivni. Kao rezultat, imamo razlomak b n - a n a n · b n , koji na kraju također daje pozitivan rezultat. Dakle, 1 a n > 1 b n odakle je a − n > b − n, što smo morali dokazati.

Posljednje svojstvo stupnjeva s cijelim eksponentima dokazuje se slično svojstvu stupnjeva s prirodnim eksponentima.

Osnovna svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentima

U prethodnim člancima raspravljali smo o tome šta je stepen sa racionalnim (razlomačnim) eksponentom. Njihova svojstva su ista kao i svojstva stupnjeva sa cjelobrojnim eksponentima. napišimo:

Definicija 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 za a > 0, a ako je m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, tada za a ≥ 0 (moći svojstava proizvoda sa istom bazom).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 ako je a > 0 (svojstvo količnika).

3. a b m n = a m n b m n za a > 0 i b > 0, a ako je m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, onda za a ≥ 0 i (ili) b ≥ 0 (svojstvo proizvoda u razlomnom stepenu).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n za a > 0 i b > 0, a ako je m n > 0, onda za a ≥ 0 i b > 0 (svojstvo količnika do razlomka).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 za a > 0, a ako je m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, tada za a ≥ 0 (svojstvo stepena u stepeni).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ako str< 0 - a p >b p (osobina poređenja stepeni sa jednakim racionalnim eksponentima).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q na 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Da bismo dokazali ove odredbe, moramo se sjetiti šta je stepen sa razlomanim eksponentom, koja su svojstva aritmetičkog korena n-tog stepena i koja su svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom. Pogledajmo svaku nekretninu.

Prema tome koliki je stepen sa razlomljenim eksponentom, dobijamo:

a m 1 n 1 = am 1 n 1 i a m 2 n 2 = am 2 n 2, dakle, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Svojstva korijena će nam omogućiti da izvedemo jednakosti:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Iz ovoga dobijamo: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

transformirajmo:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Eksponent se može napisati kao:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Ovo je dokaz. Drugo svojstvo se dokazuje na potpuno isti način. Zapišimo lanac jednakosti:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Dokazi preostalih jednakosti:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Sljedeće svojstvo: dokažimo da će se za bilo koje vrijednosti a i b veće od 0, ako je a manje od b, izvršiti a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Predstavimo racionalni broj p kao m n . U ovom slučaju, m je cijeli broj, n je prirodan broj. Tada su uslovi str< 0 и p >0 će biti proširen na m< 0 и m >0 . Za m > 0 i a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Koristimo svojstvo korijena i izvodimo: a m n< b m n

Uzimajući u obzir pozitivnost vrijednosti a i b, nejednakost prepisujemo kao a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Na isti način, za m< 0 имеем a a m >b m , dobijamo a m n > b m n pa a m n > b m n i a p > b p .

Ostaje nam da dokažemo posljednju osobinu. Dokažimo da je za racionalne brojeve p i q p > q na 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 bi bilo tačno a p > a q.

Racionalni brojevi p i q mogu se svesti na zajednički nazivnik i dobiti razlomke m 1 n i m 2 n

Ovdje su m 1 i m 2 cijeli brojevi, a n je prirodan broj. Ako je p > q, onda je m 1 > m 2 (uzimajući u obzir pravilo za poređenje razlomaka). Zatim na 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – nejednakost a 1 m > a 2 m .

Mogu se prepisati u sljedećem obliku:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Tada možete napraviti transformacije i dobiti kao rezultat:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Da rezimiramo: za p > q i 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Osnovna svojstva stepeni sa iracionalnim eksponentima

Sva gore opisana svojstva koja stepen sa racionalnim eksponentima poseduje mogu se proširiti do tog stepena. To proizilazi iz same njegove definicije, koju smo dali u jednom od prethodnih članaka. Hajde da ukratko formulišemo ova svojstva (uslovi: a > 0, b > 0, indikatori p i q su iracionalni brojevi):

Definicija 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, tada a p > a q.

Dakle, sve potencije čiji su eksponenti p i q realni brojevi, pod uslovom da je a > 0, imaju ista svojstva.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kako množiti moći? Koje snage se mogu množiti, a koje ne? Kako pomnožite broj sa stepenom?

U algebri možete pronaći proizvod potencija u dva slučaja:

1) ako stepeni imaju istu osnovu;

2) ako stepeni imaju iste pokazatelje.

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza mora ostati ista, a eksponenti se moraju dodati:

Kada se množe stepeni sa istim pokazateljima, ukupni indikator se može izvaditi iz zagrada:

Razmotrite kako množiti moći, na konkretnim primjerima.

Jedinica u eksponentu nije zapisana, ali pri množenju stepeni uzimaju u obzir:

Prilikom množenja, broj stupnjeva može biti bilo koji. Treba imati na umu da ne možete napisati znak množenja prije slova:

U izrazima se prvo izvodi eksponencijacija.

Ako trebate pomnožiti broj sa stepenom, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a tek onda - množenje:

www.algebraclass.ru

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija

Sabiranje i oduzimanje potencija

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable i raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje potencij e se sprovode na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje snage

Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti − negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela vlasti

Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili postavljanjem u obliku razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente u $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Smanjite eksponente u $\frac$. Odgovor: $\frac $ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

svojstva stepena

Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijemo svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima i nulom. Stepenima sa racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima će se govoriti u lekcijama za 8. razred.

Eksponent s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućavaju da pojednostavite proračune u primjerima eksponenta.

Nekretnina #1
Proizvod moći

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.

a m a n \u003d a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo snaga također utječe na proizvod tri ili više potencija.

Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju snaga sa istim osnovama.. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.

Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5 . Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nekretnina #2
Privatne diplome

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Izračunati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo parcijalnih stepeni.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.

Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stupnjeva.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Napominjemo da se imovina 2 bavila samo podjelom vlasti po istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1 . To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina #3
Eksponencijacija

Kada se stepen diže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m \u003d a n m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

(a n b n)= (a b) n

To jest, da biste pomnožili stepene sa istim eksponentima, možete pomnožiti baze, a eksponent ostaviti nepromenjenim.

U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvršiti na potencijama s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primjer stepenovanja decimalnog razlomka.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = četiri

Svojstva 5
Moć količnika (razlomaka)

Da biste podigli količnik na stepen, možete podići dividendu i djelitelj odvojeno na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti s drugim.

(a: b) n \u003d a n: b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n je bilo koji prirodan broj.

Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.

Stepeni i korijeni

Operacije sa moćima i korijenima. Stepen sa negativnim ,

nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju smisla.

Operacije sa stepenom.

1. Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi pokazatelji se zbrajaju:

a m · a n = a m + n .

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom osnovom, njihovi indikatori oduzeto .

3. Stepen proizvoda dva ili više faktora jednak je proizvodu stepena ovih faktora.

4. Stepen omjera (razlomak) jednak je omjeru stupnjeva dividende (brojnik) i djelitelja (imenilac):

(a/b) n = a n / b n .

5. Prilikom podizanja stepena na stepen, njihovi indikatori se množe:

Sve gore navedene formule se čitaju i izvršavaju u oba smjera s lijeva na desno i obrnuto.

PRIMJER (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s korijenima. U svim formulama ispod, simbol znači aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijeni ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru korijena dividende i djelitelja:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići na ovaj stepen korijenski broj:

4. Ako povećate stepen korijena za m puta i istovremeno podignite broj korijena na m -ti stepen, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stepen korijena za m puta i u isto vrijeme izdvojite korijen m-tog stepena iz radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Proširenje koncepta stepena. Do sada smo razmatrali stepene samo sa prirodnim indikatorom; ali operacije sa moćima i korijenima također mogu dovesti do negativan, nula i razlomak indikatori. Svi ovi eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stepen s negativnim eksponentom. Potencija nekog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:

Sada formula a m : a n = a m-n može se koristiti ne samo za m, više nego n, ali i na m, manje od n .

PRIMJER a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ako želimo formulu a m : a n = a m — n bio pošten prema m = n, potrebna nam je definicija nultog stepena.

Stepen sa nultim eksponentom. Stepen bilo kojeg broja različitog od nule sa nultim eksponentom je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da biste podignuli realni broj a na stepen m / n, morate izdvojiti korijen n-tog stepena iz m-tog stepena ovog broja a:

O izrazima koji nemaju smisla. Postoji nekoliko takvih izraza.

gdje a ≠ 0 , ne postoji.

Zaista, ako to pretpostavimo x je određeni broj, onda, u skladu sa definicijom operacije dijeljenja, imamo: a = 0· x, tj. a= 0, što je u suprotnosti sa uslovom: a ≠ 0

— bilo koji broj.

Zaista, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 x. Ali ova jednakost važi za bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.

0 0 — bilo koji broj.

Rješenje. Razmotrite tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednačinu

2) kada x> 0 dobijamo: x / x= 1, tj. 1 = 1, odakle slijedi,

šta x- bilo koji broj; ali uzimajući to u obzir

naš slučaj x> 0 , odgovor je x > 0 ;

Pravila za množenje stepena sa različitim osnovama

STEPEN SA RACIONALNIM INDIKATOROM,

FUNKCIJA NAPAJANJA IV

§ 69. Množenje i podjela potencija sa istim osnovama

Teorema 1. Za množenje stepena sa istim osnovama, dovoljno je sabrati eksponente, a bazu ostaviti istu, tj.

Dokaz. Po definiciji stepena

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Razmatrali smo proizvod dvije moći. U stvari, dokazano svojstvo je tačno za bilo koji broj potencija sa istim osnovama.

Teorema 2. Za podelu stepena sa istim osnovama, kada je indikator dividende veći od pokazatelja delioca, dovoljno je oduzeti pokazatelj delitelja od pokazatelja dividende, a osnovicu ostaviti istu, tj. at t > n

(a =/= 0)

Dokaz. Podsjetimo da je količnik dijeljenja jednog broja drugim broj koji, kada se pomnoži s djeliteljem, daje dividendu. Dakle, dokazati formulu , gdje a =/= 0, to je kao dokazivanje formule

Ako a t > n , zatim broj t - str biće prirodno; dakle, prema teoremi 1

Teorema 2 je dokazana.

Imajte na umu da je formula

dokazano od nas samo pod pretpostavkom da t > n . Dakle, iz dokazanog još nije moguće izvesti npr. sljedeće zaključke:

Osim toga, još nismo razmatrali stupnjeve sa negativnim eksponentima i još ne znamo kakvo značenje možemo dati izrazu 3 - 2 .

Teorema 3. Da biste stepen podigli na stepen, dovoljno je pomnožiti eksponente, ostavljajući bazu eksponenta istom, to je

Dokaz. Koristeći definiciju stepena i teoremu 1 ovog odjeljka, dobijamo:

Q.E.D.

Na primjer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Usmeno.) Odredi X iz jednačina:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (prilagođeno) Pojednostavite:

520. (prilagođeno) Pojednostavite:

521. Predstavite ove izraze kao stepene sa istim osnovama:

1) 32 i 64; 3) 85 i 163; 5) 4 100 i 32 50;

2) -1000 i 100; 4) -27 i -243; 6) 81 75 8 200 i 3 600 4 150.