Izvođenje opće formule za korijene jednadžbe tgx a. Lekcija "Lučna tangenta i arc tangenta. Rješenje jednadžbi tgx = a, ctgx = a". Rješenje jednadžbe tgx=a u opštem obliku

Ranije tokom programa učenici su dobili ideju o rješenju trigonometrijske jednačine, upoznali su se sa pojmovima arkkosinusa i arksinusa, primjerima rješenja jednadžbi cos t = a i sin t = a. U ovom video tutorijalu razmotrit ćemo rješenje jednadžbi tg x = a i ctg x = a.

Na početku proučavanja ove teme razmotrite jednadžbe tg x = 3 i tg x = - 3. Ako jednačinu tg x = 3 riješimo pomoću grafika, vidjet ćemo da je presjek grafova funkcija y = tg x i y = 3 ima beskonačan broj rješenja, gdje je x = x 1 + πk. Vrijednost x 1 je x koordinata točke presjeka grafova funkcija y = tg x i y = 3. Autor uvodi pojam arktangenta: arctg 3 je broj čiji je tg 3, a ovaj broj pripada interval od -π/2 do π/2. Koristeći koncept arktangensa, rješenje jednačine tan x = 3 može se zapisati kao x = arktangen 3 + πk.

Analogno se rješava jednadžba tg x \u003d - 3. Prema izgrađenim grafovima funkcija y = tg x i y = 3, može se vidjeti da su točke presjeka grafova, a samim tim i rješenja od jednadžbi, bit će x = x 2 + πk. Koristeći arc tangentu, rješenje se može zapisati kao x = arktan (- 3) + πk. Na sljedećoj slici ćemo vidjeti da je arctg (- 3) = - arctg 3.

Opšta definicija tangente luka je sljedeća: arc tangenta je broj iz intervala od -π / 2 do π / 2, čiji je tangent a. Tada je rješenje jednadžbe tg x = a x = arctg a + πk.

Autor daje primjer 1. Nađite rješenje izraza arctg. Uvedemo oznaku: arktangens broja je jednak x, tada će tg x biti jednak datom broju, gdje x pripada segmentu od -π /2 do π/2. Kao iu primjerima u prethodnim temama, koristit ćemo tablicu vrijednosti. Prema ovoj tabeli, tangent ovog broja odgovara vrijednosti x = π/3. Zapisujemo rješenje jednadžbe tangente luka datog broja jednakog π / 3, π / 3 također pripada intervalu od -π / 2 do π / 2.

Primjer 2 - Izračunajte tangens luka negativnog broja. Koristeći jednakost arctg (- a) = - arctg a, unesite vrijednost x. Slično kao u primjeru 2, pišemo vrijednost x koja pripada intervalu od -π/2 do π/2. Prema tabeli vrednosti nalazimo da je x = π/3, dakle, -- tg x = - π/3. Odgovor na jednačinu je - π/3.

Razmotrimo primjer 3. Riješimo jednačinu tan x = 1. Napišimo da je x = arctan 1 + πk. U tabeli, vrijednost tg 1 odgovara vrijednosti x = π / 4, dakle, arctg 1 = π / 4. Zamijenite ovu vrijednost u originalnu formulu x i zapišite odgovor x = π/4 + πk.

Primjer 4: izračunati tg x = - 4.1. U ovom slučaju, x = arctg (- 4.1) + πk. Jer u ovom slučaju nije moguće pronaći vrijednost arctg, odgovor će izgledati kao x = arctg (- 4.1) + πk.

Primjer 5 razmatra rješenje nejednakosti tg x > 1. Da bismo ga riješili, crtamo grafike funkcija y = tg x i y = 1. Kao što se može vidjeti na slici, ovi grafovi se sijeku u tačkama x = π /4 + πk. Jer u ovom slučaju, tg x > 1, na grafu biramo površinu tangentoida, koja se nalazi iznad grafa y = 1, gdje x pripada intervalu od π/4 do π/2. Odgovor zapisujemo kao π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Zatim razmotrite jednačinu ctg x = a. Na slici su prikazani grafovi funkcija y = ctg x, y = a, y = - a, koje imaju mnogo presječnih točaka. Rješenja se mogu napisati kao x = x 1 + πk, gdje je x 1 = arcctg a i x = x 2 + πk, gdje je x 2 = arcctg (- a). Primjećuje se da je x 2 \u003d π - x 1. To implicira jednakost arcctg (- a) = π - arcctg a. Dalje, data je definicija kotangensa luka: arc kotangens od a je takav broj iz intervala od 0 do π, čiji je kotangens jednak a. Rješenje jednačine stg x = a zapisuje se kao: x = arcctg a + πk.

Na kraju video lekcije dolazi se još jedan važan zaključak - izraz ctg x = a može se napisati kao tg x = 1/a, pod uslovom da a nije jednako nuli.

TUMAČENJE TEKSTA:

Razmotrimo rješenje jednadžbi tg x \u003d 3 i tg x \u003d - 3. Grafički rješavajući prvu jednačinu, vidimo da grafovi funkcija y = tg x i y = 3 imaju beskonačno mnogo presječnih točaka, apscise koje pišemo u obliku

x \u003d x 1 + πk, gdje je x 1 apscisa točke presjeka prave y = 3 s glavnom granom tangentoida (slika 1), za koju je izmišljena oznaka

arctan 3 (lučni tangent od tri).

Kako razumjeti arctg 3?

Ovo je broj čiji je tangent 3 i ovaj broj pripada intervalu (-;). Tada se svi korijeni jednadžbe tg x \u003d 3 mogu napisati formulom x \u003d arctan 3 + πk.

Slično, rješenje jednadžbe tg x \u003d - 3 može se napisati kao x = x 2 + πk, gdje je x 2 apscisa točke presjeka prave y = 3 s glavnom granom tangentoid (slika 1), za koji je oznaka arctg (- 3) (arkt tangenta minus tri). Tada se svi korijeni jednadžbe mogu napisati formulom: x \u003d arctg (-3) + πk. Slika pokazuje da je arctg(- 3)= - arctg 3.

Formulirajmo definiciju tangente luka. Arc tangent a je takav broj iz intervala (-;), čiji je tangent jednak a.

Često se koristi jednakost: arctg(-a) = -arctg a, koja vrijedi za bilo koje a.

Poznavajući definiciju tangente luka, donosimo opći zaključak o rješenju jednadžbe

tg x \u003d a: jednadžba tg x \u003d a ima rješenje x \u003d arctg a + πk.

Razmotrite primjere.

PRIMJER 1. Izračunajte arctg.

Rješenje. Neka je arctg = x, zatim tgx = i xϵ (-;). Prikaži tablicu vrijednosti Dakle, x =, budući da je tg = i ϵ (- ;).

Dakle, arctg =.

PRIMJER 2 Izračunajte arktan (-).

Rješenje. Koristeći jednakost arctg (- a) \u003d - arctg a, pišemo:

arctg(-) = - arctg . Neka je - arctg = x, zatim - tgx = i xϵ (-;). Dakle, x =, pošto je tg = i ϵ (- ;). Prikaži tabelu vrijednosti

Dakle - arctg=- tgh= - .

PRIMJER 3. Riješite jednačinu tgh = 1.

1. Zapišimo formulu rješenja: x = arctg 1 + πk.

2. Hajde da nađemo vrednost arc tangent

pošto je tg = . Prikaži tabelu vrijednosti

Dakle, arctg1= .

3. Stavite pronađenu vrijednost u formulu rješenja:

PRIMJER 4. Riješite jednačinu tgx \u003d - 4,1 (tangenta x je jednaka minus četiri tačke jedna desetina).

Rješenje. Zapišimo formulu rješenja: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

Ne možemo izračunati vrijednost tangente luka, pa ćemo ostaviti rješenje jednadžbe takvo kakvo jeste.

PRIMJER 5. Riješite nejednačinu tgh 1.

Rješenje. Uradimo to grafički.

1. Napravimo tangentoid

y = tgx i prava linija y = 1 (slika 2). Seku se u tačkama oblika x = + πk.

2. Odaberite interval x-ose, na kojem se glavna grana tangentoida nalazi iznad prave linije y = 1, jer prema uvjetu tgh 1. Ovo je interval (;).

3. Koristimo periodičnost funkcije.

Svojstvo 2. y \u003d tg x - periodična funkcija s osnovnim periodom π.

Uzimajući u obzir periodičnost funkcije y \u003d tgx, pišemo odgovor:

(;). Odgovor se može napisati kao dvostruka nejednakost:

Prijeđimo na jednadžbu ctg x \u003d a. Predstavimo grafičku ilustraciju rješenja jednadžbe za pozitivno i negativno a (slika 3).

Grafovi funkcija y = ctg x i y = a i

y=ctg x i y=-a

imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka, čije apscise imaju oblik:

x \u003d x 1 +, gdje je x 1 apscisa točke presjeka prave y = a s glavnom granom tangentoida i

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, gdje je x 2 apscisa točke presjeka prave

y \u003d - ali s glavnom granom tangentoida i x 2 = arcctg (- a).

Imajte na umu da je x 2 \u003d π - x 1. Dakle, zapisujemo važnu jednačinu:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Formulirajmo definiciju: arc kotangens od a je takav broj iz intervala (0; π) čiji je kotangens jednak a.

Rješenje jednadžbe ctg x \u003d a zapisuje se kao: x = arcctg a +.

Imajte na umu da se jednadžba ctg x = a može pretvoriti u oblik

tg x = , osim kada je a = 0.

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!

Jednakost koja sadrži nepoznatu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tg x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Napišimo formule korijena za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Sa `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Sa `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinuse:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješenje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• koristeći za pretvaranje u najjednostavniji;
• riješite rezultirajuću jednostavnu jednačinu koristeći gornje formule za korijene i tablice.

Razmotrimo glavne metode rješenja koristeći primjere.

algebarska metoda.

U ovoj metodi se vrši zamjena varijable i njena zamjena u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomaknite ulijevo sve pojmove jednakosti: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, morate ovu trigonometrijsku jednadžbu dovesti u jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` za prvi slučaj i sa `cos^2 x \ne 0` za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje se moraju riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, dijeleći njezinu lijevu i desnu stranu sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, kao rezultat `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Idite u Half Corner

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primjenom formula dvostrukog ugla, rezultat je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, oba dijela dijelimo sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime, zbir njihovih kvadrata je 1 i njihov modul je najviše 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , zatim:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednačine sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobijamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označite `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcijsko-racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima u čijim se brojiocima i nazivnicima nalaze trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednačine sa `(1+cos x)`. Kao rezultat, dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti nula, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačite brojnik razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \u Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednačine, koriste se u gotovo svim oblastima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek ima zadataka za ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam dobro doći!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći zaključiti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.

Za uspješno rješavanje trigonometrijske jednačine zgodan za upotrebu metoda redukcije na ranije riješene probleme. Da vidimo šta je suština ove metode?

U svakom predloženom problemu morate vidjeti prethodno riješen problem, a zatim, koristeći uzastopne ekvivalentne transformacije, pokušati svesti problem koji vam je dat na jednostavniji.

Dakle, kada se rješavaju trigonometrijske jednačine, one obično čine neki konačni niz ekvivalentnih jednačina, čija je posljednja karika jednačina s očiglednim rješenjem. Važno je samo zapamtiti da ako se ne formiraju vještine za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, tada će rješavanje složenijih jednadžbi biti teško i neučinkovito.

Osim toga, prilikom rješavanja trigonometrijskih jednadžbi nikada ne treba zaboraviti na mogućnost postojanja nekoliko rješenja.

Primjer 1. Odrediti broj korijena jednadžbe cos x = -1/2 na intervalu.

Rješenje:

I način. Nacrtajmo grafike funkcija y = cos x i y = -1/2 i pronađemo broj njihovih zajedničkih tačaka na intervalu (slika 1).

Budući da grafovi funkcija imaju dvije zajedničke točke na intervalu, jednadžba sadrži dva korijena na ovom intervalu.

II način. Pomoću trigonometrijskog kruga (slika 2) saznajemo broj tačaka koje pripadaju intervalu u kojem je cos x = -1/2. Slika pokazuje da jednačina ima dva korijena.

III način. Koristeći formulu korijena trigonometrijske jednadžbe rješavamo jednačinu cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k je cijeli broj (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k je cijeli broj (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k je cijeli broj (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k je cijeli broj (k ∈ Z).

Korijeni 2π/3 i -2π/3 + 2π pripadaju intervalu, k je cijeli broj. Dakle, jednadžba ima dva korijena na datom intervalu.

Odgovor: 2.

U budućnosti će se trigonometrijske jednadžbe rješavati jednom od predloženih metoda, što u velikom broju slučajeva ne isključuje korištenje drugih metoda.

Primjer 2. Odrediti broj rješenja jednačine tg (x + π/4) = 1 na intervalu [-2π; 2π].

Rješenje:

Koristeći formulu korijena trigonometrijske jednadžbe, dobijamo:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k je cijeli broj (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k je cijeli broj (k € Z);

x = πk, k je cijeli broj (k € Z);

Interval [-2π; 2π] pripadaju brojevima -2π; -π; 0; π; 2π. Dakle, jednadžba ima pet korijena na datom intervalu.

Odgovor: 5.

Primjer 3. Odrediti broj korijena jednadžbe cos 2 x + sin x cos x = 1 na intervalu [-π; π].

Rješenje:

Pošto je 1 = sin 2 x + cos 2 x (osnovni trigonometrijski identitet), originalna jednačina postaje:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Proizvod je jednak nuli, što znači da barem jedan faktor mora biti jednak nuli, dakle:

sin x = 0 ili sin x - cos x = 0.

Kako vrijednost varijable, pri kojoj je cos x = 0, nisu korijeni druge jednadžbe (sinus i kosinus istog broja ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme), tada dijelimo oba dijela sekunde jednadžba po cos x:

sin x = 0 ili sin x / cos x - 1 = 0.

U drugoj jednačini koristimo činjenicu da je tg x = sin x / cos x, tada:

sin x = 0 ili tg x = 1. Koristeći formule, imamo:

x = πk ili x = π/4 + πk, k je cijeli broj (k ∈ Z).

Od prve serije korijena do intervala [-π; π] pripadaju brojevima -π; 0; π. Iz druge serije: (π/4 – π) i π/4.

Dakle, pet korijena originalne jednadžbe pripada intervalu [-π; π].

Odgovor: 5.

Primjer 4. Naći zbir korijena jednačine tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3stgx + 4 = 0 na intervalu [-π; 1.1π].

Rješenje:

Prepišimo jednačinu u sljedećem obliku:

tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 i izvršite promjenu.

Neka je tg x + stgx = a. Kvadirajmo obje strane jednadžbe:

(tg x + stg x) 2 = a 2 . Proširimo zagrade:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Budući da je tg x stgx = 1, onda je tg 2 x + 2 + stg 2 x = a 2, što znači

tg 2 x + stg 2 x \u003d a 2 - 2.

Sada originalna jednadžba izgleda ovako:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Koristeći Vietin teorem, dobijamo da je a = -1 ili a = -2.

Obrnutom zamjenom imamo:

tg x + stgx = -1 ili tg x + stgx = -2. Rešimo dobijene jednačine.

tgx + 1/tgx = -1 ili tgx + 1/tgx = -2.

Svojstvom dva međusobno recipročna broja utvrđujemo da prva jednačina nema korijen, a iz druge jednačine imamo:

tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k je cijeli broj (k ∈ Z).

Interval [-π; 1,1π] korijeni pripadaju: -π/4; -π/4 + π. Njihov zbir:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Odgovor: π/2.

Primjer 5. Odrediti aritmetičku sredinu korijena jednačine sin 3x + sin x = sin 2x na intervalu [-π; 0,5π].

Rješenje:

Koristimo formulu sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), tada

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x i jednačina postaje

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Izvadimo zajednički faktor sin 2x iz zagrada

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Riješimo rezultirajuću jednačinu:

sin 2x = 0 ili 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 ili cos x = 1/2;

2x = πk ili x = ±π/3 + 2πk, k je cijeli broj (k ∈ Z).

Tako imamo korijene

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k je cijeli broj (k € Z).

Interval [-π; 0,5π] pripadaju korijenima -π; -π/2; 0; π/2 (iz prve serije korijena); π/3 (iz druge serije); -π/3 (iz treće serije). Njihova aritmetička sredina je:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Odgovor: -π/6.

Primjer 6. Odrediti broj korijena jednačine sin x + cos x = 0 na intervalu [-1,25π; 2π].

Rješenje:

Ova jednačina je homogena jednačina prvog stepena. Podijelite oba njegova dijela sa cosx (vrijednost varijable, pri kojoj je cos x = 0, nisu korijeni ove jednadžbe, jer sinus i kosinus istog broja ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme). Originalna jednadžba izgleda ovako:

x = -π/4 + πk, k je cijeli broj (k ∈ Z).

Gap [-1,25π; 2π] imaju korijene -π/4; (-π/4 + π); i (-π/4 + 2π).

Dakle, tri korijena jednadžbe pripadaju datom intervalu.

Odgovor: 3.

Naučite raditi ono najvažnije - jasno predstaviti plan za rješavanje problema, a onda će vam svaka trigonometrijska jednadžba biti na ramenu.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

U ovoj lekciji ćemo nastaviti proučavanje tangente luka i rješenja jednadžbi oblika tg x = a za bilo koje a. Na početku lekcije riješit ćemo jednačinu sa tabelarnom vrijednošću i ilustrovati rješenje na grafikonu, a zatim na krugu. Zatim rješavamo jednačinu tgx = a u opštem obliku i izvodimo opštu formulu za odgovor. Proračune ilustriramo na grafikonu i na krugu i razmatramo razne forme odgovor. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko zadataka ilustracijom rješenja na grafikonu i krugu.

Tema: Trigonometrijske jednadžbe

Lekcija: Arktangent i rješavanje jednadžbe tgx=a (nastavak)

1. Tema lekcije, uvod

U ovoj lekciji ćemo razmotriti rješenje jednadžbe za bilo koju realnost

2. Rješenje jednačine tgx=√3

Zadatak 1. Riješite jednačinu

Nađimo rješenje koristeći grafove funkcija (Sl. 1).

Razmotrite interval Na ovom intervalu funkcija je monotona, što znači da se postiže samo pri jednoj vrijednosti funkcije.

odgovor:

Rešimo istu jednačinu pomoću brojevnog kruga (slika 2).

odgovor:

3. Rješenje jednačine tgx=a u opštem obliku

Rešimo jednačinu u opštem obliku (slika 3).

Na intervalu, jednadžba ima jedinstveno rješenje

Najmanji pozitivni period

Ilustrujmo na numeričkom krugu (slika 4).

4. Rješavanje problema

Zadatak 2. Riješite jednačinu

Promijenimo varijablu

Zadatak 3. Riješite sistem:

Rješenje (slika 5):

U tački, vrijednost je stoga rješenje sistema samo tačka

odgovor:

Zadatak 4. Riješite jednačinu

Rešimo metodom promene varijable:

Zadatak 5. Odrediti broj rješenja jednadžbe na intervalu

Rešimo problem koristeći graf (slika 6).

Jednačina ima tri rješenja na datom intervalu.

Ilustrovaćemo na numeričkom krugu (slika 7), iako to nije tako jasno kao na grafikonu.

Odgovor: Tri rješenja.

5. Zaključak, zaključak

Jednačinu za bilo koju realnu smo riješili koristeći koncept tangente luka. U sledećoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom tangente luka.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Tutorial za obrazovne institucije (nivo profila) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Zadatak za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra i matematička analiza za 10. razred ( tutorial za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike).-M.: Prosvjeta, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Duboko proučavanje algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za studente tehničkih fakulteta (pod uredništvom M.I.Skanavi).-M.: Viša škola, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebarski simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. Saakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Zadaci iz algebre i počeci analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova). - M.: Obrazovanje, 2003.

8. A. P. Karp, Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: Proc. dodatak za 10-11 ćelija. sa dubokim studija matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i počeci analize, 10. razred (u dva dijela). Zadatak za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Dodatni web resursi

1. Matematika.

2. Problemi internet portala. ru.

3. Edukativni portal da se pripremi za ispite.