كيفية ضرب عددين بقوى مختلفة. صيغ القوى والجذور. استمر في حل المشكلات النموذجية

من الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى ، بإضافتهم واحدة تلو الأخرى بعلاماتهم.

إذن ، مجموع a 3 و b 2 هو a 3 + b 2.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 هو a 3 - b n + h 5 - d 4.

احتمال نفس القوى من نفس المتغيراتيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن ، مجموع 2a 2 و 3a 2 هو 5a 2.

من الواضح أيضًا أننا إذا أخذنا مربعين a ، أو ثلاثة مربعات a ، أو خمسة مربعات a.

لكن درجات متغيرات مختلفةو بدرجات مختلفة متغيرات متطابقة، يجب إضافتها عن طريق إضافتها إلى علاماتها.

إذن ، مجموع a 2 و a 3 هو مجموع a 2 + a 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يمثلان ضعف مربع a بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحيتم تنفيذ الصلاحيات بنفس طريقة الإضافة ، باستثناء أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2 أ 4 - (-6 أ 4) = 8 أ 4
3 س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 =-س 2 ب 6
5 (أ - ح) 6-2 (أ - ح) 6 = 3 (أ - ح) 6

مضاعفة القوة

يمكن ضرب الأعداد التي لها قوى مثل الكميات الأخرى بكتابتها واحدة تلو الأخرى ، مع أو بدون علامة الضرب بينهما.

إذن ، نتيجة ضرب a 3 في b 2 هي a 3 b 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير بإضافة نفس المتغيرات.
سيأخذ التعبير الصورة: أ 5 ب 5 ص 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) مع قوى ، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي رقمين ، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي مجموعدرجات الشروط.

إذن ، a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

هنا 5 هي قوة ناتج الضرب ، يساوي 2 + 3 ، مجموع قوى الحدود.

إذن ، أ ن. أ م = أ م + ن.

بالنسبة إلى n ، يتم أخذ a كعامل يساوي عدد مرات قوة n ؛

و م ، تؤخذ كعامل بقدر ما تساوي الدرجة م ؛

لهذا، يمكن ضرب الأسس التي لها نفس الأسس بجمع الأسس.

إذن ، أ 2. أ 6 = أ 2 + 6 = أ 8. و x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

أو:
4 أ ن ⋅ 2 أ ن = 8 أ 2 ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن + 1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: × 4 - ص 4.
اضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

هذه القاعدة صحيحة أيضًا بالنسبة للأرقام التي يكون أسسها - نفي.

1. إذن ، أ -2. أ -3 = أ -5. يمكن كتابة هذا كـ (1 / aa]. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

إذا تم ضرب a + b في a - b ، فستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع عددين أو فرقهما يساوي المجموعأو اختلاف المربعات الخاصة بهم.

إذا كان مجموع وفرق رقمين مرفوعين إلى ميدان، ستكون النتيجة مساوية لمجموع أو فرق هذه الأرقام في الرابعالدرجة العلمية.

إذن (أ - ص) (أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2) ⋅ (أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4) ⋅ (أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأعداد ذات القوى مثل الأعداد الأخرى عن طريق طرحها من المقسوم عليه أو وضعها في صورة كسر.

إذن ، a 3 b 2 على b 2 يساوي a 3.

أو:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

تبدو كتابة 5 على 3 مثل $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. لكن هذا يساوي 2. في سلسلة من الأرقام
أ +4 ، أ +3 ، أ +2 ، أ +1 ، أ 0 ، أ -1 ، أ -2 ، أ -3 ، أ -4.
يمكن قسمة أي رقم على آخر ، ويساوي الأس فرقمؤشرات الأرقام القابلة للقسمة.

عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس ، يتم طرح الأسس..

إذن ، y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. أي ، $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

و أ ن + 1: أ = أ ن + 1-1 = أ ن. بمعنى ، $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

أو:
y2m: ym = ym
8 أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12 (ب + ص) ن: 3 (ب + ص) 3 = 4 (ب + ص) ن -3

القاعدة صالحة أيضًا للأرقام ذات نفيقيم الدرجة.
نتيجة قسمة a -5 على -3 هي a -2.
أيضًا ، $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (أأ) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 أو $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

من الضروري إتقان عملية الضرب والقسمة بشكل جيد للغاية ، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة لحل أمثلة مع كسور تحتوي على أرقام ذات قوى

1. قلل الأسس في $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Answer: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. قلل الأسس في $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. الإجابة: $ \ frac (2x) (1) $ أو 2x.

3. أنقص الأسس a 2 / a 3 و a -3 / a -4 ويوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 أول بسط.
a 3 .a -3 هو 0 = 1 ، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: أ -2 / أ -1 و 1 / أ -1.

4. اختصر الأس 2 أ 4/5 أ 3 و 2 / أ 4 وأدخل المقام المشترك.
الجواب: 2 أ 3/5 أ 7 و 5 أ 5/5 أ 7 أو 2 أ 3/5 أ 2 و 5/5 أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب) / ب 4 ب (أ - ب) / 3.

6. اضرب (أ 5 + 1) / س 2 ب (ب 2-1) / (س + أ).

7. اضرب b 4 / a -2 ب h -3 / x و a n / y -3.

8. قسّم 4 / y 3 على 3 / y 2. الجواب: أ / ص.

9. قسّم (h 3 - 1) / d 4 على (d n + 1) / h.

إذا كنت بحاجة إلى رفع رقم معين إلى قوة ، فيمكنك استخدامه. سنلقي نظرة فاحصة الآن على خصائص القوى.

الأعداد الأسيةتفتح إمكانيات كبيرة ، فهي تسمح لنا بتحويل الضرب إلى جمع ، والجمع أسهل بكثير من الضرب.

على سبيل المثال ، علينا ضرب 16 في 64. حاصل ضرب هذين العددين هو 1024. لكن 16 هو 4x4 ، و 64 هو 4x4x4. 16 في 64 = 4x4x4x4x4 وهو أيضًا 1024.

يمكن أيضًا تمثيل الرقم 16 كـ 2x2x2x2 ، و 64 كـ 2x2x2x2x2x2 ، وإذا ضربنا ، نحصل مرة أخرى على 1024.

الآن دعنا نستخدم القاعدة. 16 = 4 2 أو 2 4 أو 64 = 4 3 أو 2 6 بينما 1024 = 6 4 = 4 5 أو 2 10.

لذلك ، يمكن كتابة المسألة بطريقة أخرى: 4 2 × 4 3 = 4 5 أو 2 4 × 2 6 = 2 10 ، وفي كل مرة نحصل على 1024.

يمكننا حل عدد من الأمثلة المتشابهة ونلاحظ أن ضرب الأعداد بالقوى يقل إلى إضافة الأس، أو الأس ، بالطبع ، بشرط أن تكون أسس العوامل متساوية.

وبالتالي ، يمكننا ، دون الضرب ، أن نقول على الفور أن 2 4 × 2 2 × 2 14 \ u003d 2 20.

هذه القاعدة صحيحة أيضًا عند قسمة الأعداد على قوى ، ولكن في هذه الحالة ، e يتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم. وبالتالي ، 2 5: 2 3 = 2 2 ، والتي في الأعداد العادية تساوي 32: 8 = 4 ، أي 2 2. دعونا نلخص:

a m x a n \ u003d a m + n، a m: a n \ u003d a m-n ، حيث m و n عدد صحيح.

للوهلة الأولى ، قد يبدو ذلك ضرب وقسمة الأعداد مع القوىليس مناسبًا جدًا ، لأنك تحتاج أولاً إلى تمثيل الرقم في شكل أسي. ليس من الصعب تمثيل الرقمين 8 و 16 في هذا الشكل ، أي 2 3 و 2 4 ، لكن كيف نفعل ذلك بالأرقام 7 و 17؟ أو ما يجب فعله في تلك الحالات التي يمكن فيها تمثيل الرقم في شكل أسي ، لكن قواعد التعبيرات الأسية للأرقام مختلفة تمامًا. على سبيل المثال ، 8 × 9 هي 2 3 × 3 2 ، وفي هذه الحالة لا يمكننا جمع الأسس. لا 2 5 ولا 3 5 هما الجواب ، ولا الجواب بينهما.

إذن ، هل يستحق العناء بهذه الطريقة على الإطلاق؟ بالتأكيد يستحق ذلك. إنه يوفر مزايا ضخمة ، خاصة للحسابات المعقدة والمستهلكة للوقت.

في المقالة السابقة ، تحدثنا عن ماهية المونوميل. في هذه المادة ، سنحلل كيفية حل الأمثلة والمشكلات التي يتم استخدامها فيها. هنا سننظر في عمليات مثل الطرح والجمع والضرب وتقسيم المونوميرات ورفعها إلى قوة مع مؤشر طبيعي. سنوضح كيف يتم تعريف هذه العمليات ، ونوضح القواعد الأساسية لتنفيذها وماذا يجب أن تكون النتيجة. سيتم توضيح جميع الأحكام النظرية ، كالعادة ، بأمثلة لمشكلات أوصاف الحلول.

من الأنسب العمل مع الترميز القياسي للأحادية ، لذلك نقدم جميع التعبيرات التي سيتم استخدامها في المقالة في شكل قياسي. إذا تم تعيينهم في البداية بشكل مختلف ، فمن المستحسن إحضارهم أولاً إلى نموذج مقبول بشكل عام.

قواعد إضافة وطرح المونوميرات

أبسط العمليات التي يمكن إجراؤها باستخدام المونوميل هي الطرح والجمع. في الحالة العامة ، ستكون نتيجة هذه الإجراءات متعددة الحدود (تكون أحادية الحدود ممكنة في بعض الحالات الخاصة).

عندما نضيف أو نطرح مونومال ، نكتب أولاً المجموع والفرق المقابل في الصيغة المقبولة عمومًا ، وبعد ذلك نبسط التعبير الناتج. إذا كانت هناك مصطلحات متشابهة ، فيجب تقديمها ، ويجب فتح الأقواس. دعنا نوضح بمثال.

مثال 1

حالة:أضف الأحاديات - 3 · x و 2 ، 72 · x 3 · y 5 · z.

المحلول

لنكتب مجموع المقادير الأصلية. أضف الأقواس وضع علامة الجمع بينهما. سوف نحصل على ما يلي:

(- 3 س) + (2 ، 72 × 3 ص 5 ض)

عندما نفك الأقواس نحصل على - 3 × + 2 ، 72 × 3 ص 5 ع. هذه كثيرة الحدود ، مكتوبة في شكل قياسي ، والتي ستكون نتيجة لإضافة هذه المونوميرات.

إجابه:(- 3 س) + (2 ، 72 × 3 ص 5 ع) = - 3 س + 2 ، 72 × 3 ص 5 ض.

إذا كان لدينا ثلاثة أو أربعة حدود أو أكثر ، فإننا ننفذ هذا الإجراء بنفس الطريقة.

مثال 2

حالة:اسحب للداخل النظام الصحيحعمليات محددة مع كثيرات الحدود

3 أ 2 - (- 4 أ ج) + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج

المحلول

لنبدأ بفتح الأقواس.

3 أ 2 + 4 أ ج + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج

نرى أنه يمكن تبسيط التعبير الناتج عن طريق اختزال المصطلحات المتشابهة:

3 أ 2 + 4 أ ج + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج = = (3 أ 2 + أ 2 - 7 أ 2) + 4 أ ج - 2 2 3 أ ج + 4 9 = = - 3 أ 2 + 1 1 3 أ ج + 4 9

لدينا كثير الحدود ، والتي ستكون نتيجة هذا الإجراء.

إجابه: 3 أ 2 - (- 4 أ ج) + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج = - 3 أ 2 + 1 1 3 أ ج + 4 9

من حيث المبدأ ، يمكننا إجراء عملية جمع وطرح اثنين من المونوميرات ، مع بعض القيود ، حتى ننتهي مع monomial. للقيام بذلك ، من الضروري مراعاة بعض الشروط المتعلقة بالشروط وطرح monomials. سنشرح كيف يتم ذلك في مقال منفصل.

قواعد ضرب المونومرات

لا يفرض إجراء الضرب أي قيود على المضاعفات. يجب ألا تستوفي المونوميرات المراد ضربها أي شروط إضافية حتى تكون النتيجة أحادية.

لإجراء مضاعفة المونوميل ، تحتاج إلى تنفيذ الخطوات التالية:

1. سجل القطعة بشكل صحيح.
2. قم بتوسيع الأقواس في التعبير الناتج.
3. جمِّع ، إن أمكن ، العوامل التي لها نفس المتغيرات والعوامل العددية بشكل منفصل.
4. نفذ الإجراءات اللازمة بالأرقام وطبق خاصية ضرب الأسس بنفس الأسس على العوامل المتبقية.

دعونا نرى كيف يتم ذلك عمليا.

مثال 3

حالة:اضرب المونوميرات 2 · x 4 · y · z و - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11.

المحلول

لنبدأ بتكوين العمل.

نفتح الأقواس فيه ونحصل على الآتي:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2-7 16 ط 2 × 4 × 2 ص 3 ع 11

كل ما علينا فعله هو ضرب الأعداد بين الأقواس الأولى وتطبيق خاصية الأس على الثانية. نتيجة لذلك ، نحصل على ما يلي:

2-7 16 طن 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

إجابه: 2 × 4 ص ع - 7 16 ر 2 × 2 ع 11 = - 7 8 ر 2 × 6 ص ع 14.

إذا كان لدينا ثلاثة أو أكثر من كثيرات الحدود في الشرط ، فإننا نضربهم باستخدام نفس الخوارزمية بالضبط. سننظر في مسألة تكاثر المونوميل بمزيد من التفصيل في مادة منفصلة.

قواعد رفع monomial إلى قوة

نعلم أن حاصل ضرب عدد معين من العوامل المتطابقة يسمى درجة ذات أس طبيعي. يشار إلى عددهم بالرقم الموجود في المؤشر. وفقًا لهذا التعريف ، فإن رفع المونومال إلى قوة يعادل ضرب العدد المشار إليه من المونوميرات المتطابقة. دعونا نرى كيف يتم ذلك.

مثال 4

حالة:ارفع المونومال - 2 · أ · ب 4 أس 3.

المحلول

يمكننا استبدال الأس بضرب 3 مونومال - 2 · أ · ب 4. دعنا نكتب ونحصل على الإجابة المطلوبة:

(- 2 أ ب 4) 3 = (- 2 أ ب 4) (- 2 أ ب 4) (- 2 أ ب 4) = ((- 2) (- 2) (- 2)) (أ أ أ) (ب 4 ب 4) ب 4) = - 8 أ 3 ب 12

إجابه:(- 2 أ ب 4) 3 = - 8 أ 3 ب 12.

ولكن ماذا عن عندما يكون للدرجة أس كبير؟ تسجيل عدد كبير من المضاعفات غير مريح. بعد ذلك ، لحل مثل هذه المشكلة ، نحتاج إلى تطبيق خصائص الدرجة ، أي خاصية درجة المنتج وخاصية الدرجة في الدرجة.

لنحل المشكلة التي ذكرناها أعلاه بالطريقة الموضحة.

مثال 5

حالة:ارفع - 2 · أ · ب 4 إلى القوة الثالثة.

المحلول

بمعرفة خاصية الدرجة في الدرجة ، يمكننا المضي قدمًا في التعبير عن النموذج التالي:

(- 2 أ ب 4) 3 = (- 2) 3 أ 3 (ب 4) 3.

بعد ذلك نرفع إلى القوة - 2 ونطبق خاصية الأس:

(- 2) 3 (أ) 3 (ب 4) 3 = - 8 أ 3 ب 4 3 = - 8 أ 3 ب 12.

إجابه:- 2 · أ · ب 4 = - 8 · أ 3 · ب 12.

لقد كرسنا أيضًا مقالة منفصلة لرفع أحادية إلى قوة.

قواعد قسمة المونوميل

الإجراء الأخير مع monomials الذي سنحلله في هذه المادة هو قسمة monomial على monomial. نتيجة لذلك ، يجب أن نحصل على كسر عقلاني (جبري) (في بعض الحالات ، من الممكن الحصول على مونوميل). دعونا نوضح على الفور أن القسمة على صفر أحادية لم يتم تعريفها ، لأن القسمة على 0 لم يتم تعريفها.

لإجراء القسمة ، نحتاج إلى كتابة المونوميرات المشار إليها في شكل كسر وتقليلها ، إن أمكن.

مثال 6

حالة:قسّم الضلع - 9 x 4 y 3 z 7 على - 6 p 3 t 5 x 2 y 2.

المحلول

لنبدأ بكتابة المونومال في صورة كسر.

9 × 4 ص 3 ض 7-6 ص 3 ر 5 × 2 ص 2

يمكن اختزال هذا الكسر. بعد القيام بذلك ، نحصل على:

3 × 2 ص ض 7 2 ص 3 ر 5

إجابه:- 9 × 4 ص 3 ض 7 - 6 ف 3 ن 5 × 2 ص 2 = 3 × 2 ص ز 7 2 ص 3 ر 5.

الشروط التي بموجبها ، نتيجة لتقسيم المونومال ، نحصل على مونومال في مقال منفصل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

تحدثنا سابقًا عن ماهية قوة الرقم. انها لديها خصائص معينة، مفيد في حل المشكلات: سنقوم بتحليلها وجميع الأسس المحتملة في هذه المقالة. سنشرح أيضًا بأمثلة كيف يمكن إثباتها وتطبيقها بشكل صحيح في الممارسة العملية.

دعونا نتذكر مفهوم الدرجة ذات الأس الطبيعي ، والذي صاغناه مسبقًا: هذا هو ناتج العدد التاسع من العوامل ، كل منها يساوي a. نحتاج أيضًا إلى تذكر كيفية ضرب الأعداد الحقيقية بشكل صحيح. كل هذا سيساعدنا على صياغة الخصائص التالية للحصول على درجة بمؤشر طبيعي:

التعريف 1

1. الخاصية الرئيسية للدرجة: أ م أ ن = أ م + ن

يمكن تعميمها على: a n 1 · a n 2 · ... · a n k = a n 1 + n 2 +… + n k.

2. خاصية خارج القسمة للقوى التي لها نفس الأساس: a m: a n = a m - n

3. خاصية درجة المنتج: (أ ب) ن = أ ن ب ن

يمكن أن تمتد المساواة إلى: (أ 1 أ 2 ... أ ك) ن = أ 1 ن أ 2 ن ... أ ك ن

4. خاصية الدرجة الطبيعية: (أ: ب) ن = أ ن: ب ن

5. نرفع الأس للقوة: (أ م) ن = أ م ن ،

يمكن تعميمها على: (((a n 1) n 2)…) n k = a n 1 n 2 ... n k

6. قارن الدرجة مع الصفر:

• إذا كانت a> 0 ، فعندئذٍ لأي n طبيعي ، سيكون n أكبر من صفر ؛
• عندما يساوي أ ن يساوي صفرًا ؛
• ل< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• ل< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. المساواة أ ن< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. المتباينة a m> a n ستكون صحيحة بشرط أن m و n عددان طبيعيان ، m أكبر من n و a أكبر من صفر وليس أقل من واحد.

نتيجة لذلك ، حصلنا على عدة مساواة. إذا استوفيت جميع الشروط المذكورة أعلاه ، فستكون متطابقة. لكل من المساواة ، على سبيل المثال ، بالنسبة للخاصية الرئيسية ، يمكنك تبديل الجزأين الأيمن والأيسر: a m · a n = a m + n - مثل a m + n = a m · a n. في هذا الشكل ، يتم استخدامه غالبًا عند تبسيط التعبيرات.

1. لنبدأ بالخاصية الرئيسية للدرجة: المساواة a m · a n = a m + n ستكون صحيحة لأي m و n طبيعي و a حقيقي. كيف تثبت هذا البيان؟

سيسمح لنا التعريف الأساسي للقوى ذات الأسس الطبيعية بتحويل المساواة إلى منتج من العوامل. سنحصل على إدخال مثل هذا:

يمكن تقصير هذا إلى (أذكر الخصائص الأساسية للضرب). نتيجة لذلك ، حصلنا على درجة الرقم أ مع الأس الطبيعي m + n. وبالتالي ، m + n ، مما يعني أنه قد تم إثبات الخاصية الرئيسية للدرجة.

دعنا نحلل مثال محددمؤكدا هذا.

مثال 1

إذن لدينا قوتان للأساس 2. مؤشراتهم الطبيعية هي 2 و 3 على التوالي. حصلنا على المساواة: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 دعونا نحسب القيم للتحقق من صحة هذه المساواة.

سنقوم بتنفيذ ما هو ضروري عمليات رياضية: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 و 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

نتيجة لذلك ، حصلنا على: 2 2 2 3 = 2 5. تم إثبات الملكية.

نظرًا لخصائص الضرب ، يمكننا تعميم الخاصية من خلال صياغتها على شكل ثلاثة و أكثرالقوى التي يكون أداؤها أعدادًا طبيعية وقواعدها واحدة. إذا أشرنا إلى عدد الأعداد الطبيعية n 1 و n 2 وما إلى ذلك بالحرف k ، نحصل على المساواة الصحيحة:

أ ن 1 أ ن 2 ... أ ن ك = أ ن 1 + ن 2 + ... + ن ك.

مثال 2

2. بعد ذلك ، نحتاج إلى إثبات الخاصية التالية ، والتي تسمى خاصية خارج القسمة وهي متأصلة في القوى التي لها نفس الأسس: هذه هي المساواة a m: a n = a m - n ، وهي صالحة لأي m و n طبيعيين (و m أكبر من n)) وأي غير صفري حقيقي أ.

بادئ ذي بدء ، دعونا نشرح ما هو بالضبط معنى الشروط المذكورة في الصياغة. إذا أخذنا صفرًا ، فسنحصل في النهاية على قسمة على صفر ، وهو ما لا يمكن القيام به (بعد كل شيء ، 0 ن = 0). شرط أن يكون العدد m أكبر من n ضروري حتى نتمكن من البقاء ضمن الأس الطبيعي: بطرح n من m ، نحصل على عدد طبيعي. إذا لم يتم استيفاء الشرط ، فسنحصل على رقم سالب أو صفر ، ومرة ​​أخرى سنتجاوز دراسة الدرجات ذات المؤشرات الطبيعية.

الآن يمكننا الانتقال إلى البرهان. مما سبق دراسته ، نتذكر الخصائص الأساسية للكسور ونصوغ المساواة على النحو التالي:

أ م - ن أ ن = أ (م - ن) + ن = أ م

يمكننا أن نستنتج منه: أ م - ن أ ن = أ م

تذكر العلاقة بين القسمة والضرب. ويترتب على ذلك أن m - n هو خارج قسمة القوى a m و a n. هذا هو إثبات ملكية الدرجة الثانية.

مثال 3

استبدل الأرقام المحددة من أجل الوضوح في المؤشرات ، وقم بالإشارة إلى قاعدة الدرجة π: π 5: π 2 = π 5 - 3 = π 3

3. بعد ذلك ، سنقوم بتحليل خاصية درجة المنتج: (أ · ب) ن = أ ن · ب ن لأي حقيقي أ وب ون طبيعي.

وفقًا للتعريف الأساسي للدرجة ذات الأس الطبيعي ، يمكننا إعادة صياغة المساواة على النحو التالي:

تذكر خصائص الضرب ، نكتب: . وهذا يعني نفس معنى a n · b n.

مثال 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

إذا كان لدينا ثلاثة عوامل أو أكثر ، فإن هذه الخاصية تنطبق أيضًا على هذه الحالة. نقدم الترميز k لعدد العوامل ونكتب:

(أ 1 أ 2 ... أ ك) ن = أ 1 ن أ 2 ن ... أ ك ن

مثال 5

بأرقام محددة ، نحصل على المساواة الصحيحة التالية: (2 (- 2 ، 3) أ) 7 = 2 7 (- 2 ، 3) 7 أ

4. بعد ذلك ، سنحاول إثبات خاصية خارج القسمة: (a: b) n = a n: b n لأي حقيقي a و b إذا كانت b لا تساوي 0 و n عدد طبيعي.

للإثبات ، يمكننا استخدام خاصية الدرجة السابقة. إذا (أ: ب) ن ب ن = ((أ: ب) ب) ن = أ ن و (أ: ب) ن ب ن = أ ن ، فإن (أ: ب) ن هو حاصل قسمة أ ن على ب ن.

مثال 6

لنعد المثال: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 ، 5) 3

مثال 7

لنبدأ على الفور بمثال: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

والآن نقوم بصياغة سلسلة من المساواة التي ستثبت لنا صحة المساواة:

إذا كان لدينا درجات من الدرجات في المثال ، فهذه الخاصية تنطبق عليهم أيضًا. إذا كان لدينا أي أعداد طبيعية p ، q ، r ، s ، فسيكون ذلك صحيحًا:

أ ف ف ص ص = أ ف ف ص ص

المثال 8

دعنا نضيف التفاصيل: (((5، 2) 3) 2) 5 = (5، 2) 3 2 5 = (5، 2) 30

6. خاصية أخرى للدرجات ذات الأس الطبيعي التي نحتاج إلى إثباتها وهي خاصية المقارنة.

أولًا ، لنقارن الأس بصفر. لماذا ن> 0 بشرط أن يكون a أكبر من 0؟

إذا ضربنا رقمًا موجبًا في آخر ، فسنحصل أيضًا على رقم موجب. بمعرفة هذه الحقيقة ، يمكننا القول أن هذا لا يعتمد على عدد العوامل - نتيجة ضرب أي عدد من الأرقام الموجبة هي رقم موجب. وما هي الدرجة إن لم تكن نتيجة ضرب الأعداد؟ إذن ، بالنسبة لأي قوة a n ذات أساس موجب وأس طبيعي ، سيكون هذا صحيحًا.

المثال 9

3 5> 0 ، (0 ، 00201) 2> 0 و 34 9 13 51> 0

من الواضح أيضًا أن القوة التي لها أساس يساوي صفرًا هي نفسها صفر. مهما كانت القوة التي نرفعها صفرًا ، فإنها ستبقى صفراً.

المثال 10

0 3 = 0 و 0762 = 0

إذا كانت قاعدة الدرجة عبارة عن رقم سالب ، فإن الإثبات يكون أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، حيث يصبح مفهوم الأس الزوجي / الفردي مهمًا. لنبدأ بالحالة عندما يكون الأس زوجيًا ونشير إليه بمقدار 2 م ، حيث م هو عدد طبيعي.

لنتذكر كيفية ضرب الأرقام السالبة بشكل صحيح: المنتج a · a يساوي حاصل ضرب الوحدات ، وبالتالي ، سيكون رقمًا موجبًا. ثم كما أن الدرجة a 2 · m موجبة.

المثال 11

على سبيل المثال ، (- 6) 4> 0 ، (- 2 ، 2) 12> 0 و - 2 9 6> 0

ماذا لو كان الأس ذو الأساس السالب عددًا فرديًا؟ دعنا نشير إليها 2 م - 1.

ثم

جميع حاصل الضرب ، وفقًا لخصائص الضرب ، موجب ، وكذلك حاصل ضربهم. ولكن إذا ضربناها في العدد المتبقي الوحيد أ ، فإن النتيجة النهائية ستكون سالبة.

ثم نحصل على: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

كيف تثبت ذلك؟

أ< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

المثال 12

على سبيل المثال ، المتباينات صحيحة: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. يبقى لنا إثبات الخاصية الأخيرة: إذا كانت لدينا درجتان ، قواعدهما متساوية وموجبة ، والأسس أعداد طبيعية ، فإن إحداها أكبر ، وأسسها أقل ؛ ومن درجتين بمؤشرات طبيعية ونفس القواعد أكبر من واحدة ، تكون الدرجة التي يكون مؤشرها أكبر.

دعنا نثبت هذه التأكيدات.

نحتاج أولاً إلى التأكد من أن a m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

نأخذ n من الأقواس ، وبعد ذلك سيأخذ الاختلاف بيننا الشكل a n · (am - n - 1). ستكون نتيجتها سالبة (لأن نتيجة ضرب رقم موجب في سالب واحد تكون سالبة). في الواقع ، وفقًا للشروط الأولية ، m - n> 0 ، ثم m - n - 1 سالب ، والعامل الأول موجب ، مثل أي قوة طبيعية ذات قاعدة موجبة.

اتضح أن م - أ ن< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

يبقى إثبات الجزء الثاني من العبارة التي تمت صياغتها أعلاه: a m> a صحيح لـ m> n و a> 1. نشير إلى الاختلاف ونأخذ n من الأقواس: (a m - n - 1) ، وتعطي قوة n مع أكبر من واحد نتيجة إيجابية ؛ وسيظهر الاختلاف نفسه أيضًا ليكون موجبًا بسبب الظروف الأولية ، وبالنسبة إلى> 1 تكون درجة m - n أكبر من واحد. اتضح أن a m - a n> 0 و a m> a n ، وهو ما نحتاج إلى إثباته.

المثال 13

مثال بأرقام محددة: 3 7> 3 2

الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأس الصحيح

بالنسبة للدرجات ذات الأس الصحيح الموجب ، ستكون الخصائص متشابهة ، لأن الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد طبيعية ، مما يعني أن جميع المساواة التي تم إثباتها أعلاه صالحة أيضًا لها. كما أنها مناسبة للحالات التي تكون فيها الأسس سالبة أو تساوي الصفر (بشرط أن تكون قاعدة الدرجة نفسها غير صفرية).

وبالتالي ، فإن خصائص القوى هي نفسها بالنسبة إلى أي قاعدة a و b (بشرط أن تكون هذه الأرقام حقيقية ولا تساوي 0) وأي أسس m و n (بشرط أن تكون أعدادًا صحيحة). نكتبها بإيجاز في شكل صيغ:

التعريف 2

1. أ م أ ن = أ م + ن

2. أ م: أ ن = أ م - ن

3. (أ ب) ن = أ ن ب ن

4. (أ: ب) ن = أ ن: ب ن

5. (ص) ن = أ م ن

6. أ ن< b n и a − n >ب - ن مع عدد صحيح موجب ن ، موجب أ وب ، أ< b

7. أ م< a n , при условии целых m и n , m >ن و 0< a < 1 , при a >1 أ م> أ ن.

إذا كانت قاعدة الدرجة تساوي صفرًا ، فإن المدخلات a m و a n تكون منطقية فقط في حالة m و n الطبيعية والإيجابية. نتيجة لذلك ، نجد أن الصيغ أعلاه مناسبة أيضًا للحالات ذات الدرجة ذات القاعدة الصفرية ، إذا تم استيفاء جميع الشروط الأخرى.

البراهين على هذه الخصائص في هذه الحالة بسيطة. سنحتاج إلى تذكر الدرجة ذات الأس الطبيعي والصحيح ، بالإضافة إلى خصائص الأفعال ذات الأعداد الحقيقية.

دعونا نحلل خاصية الدرجة في الدرجة ونثبت أنها صحيحة لكل من الأعداد الصحيحة الموجبة والأعداد الصحيحة غير الموجبة. نبدأ بإثبات المساواة (a p) q = a p q، (a - p) q = a (- p) q، (a p) - q = a p (- q) و (a - p) - q = a (- ع) (−q)

الشروط: p = 0 أو العدد الطبيعي ؛ ف - بالمثل.

إذا كانت قيم p و q أكبر من 0 ، فسنحصل على (a p) q = a p · q. لقد أثبتنا بالفعل مساواة مماثلة من قبل. إذا كانت p = 0 ثم:

(أ 0) س = 1 س = 1 أ 0 س = أ 0 = 1

لذلك ، (أ 0) س = أ 0 س

بالنسبة إلى q = 0 ، كل شيء متماثل تمامًا:

(أ ع) 0 = 1 أ ص 0 = أ 0 = 1

النتيجة: (أ ع) 0 = أ ف 0.

إذا كان كلا المؤشرين صفرًا ، فإن (أ 0) 0 = 1 0 = 1 و 0 0 = أ 0 = 1 ، إذن (أ 0) 0 = أ 0 0.

استرجع خاصية حاصل القسمة في القوة المثبتة أعلاه واكتب:

1 أ ف س = 1 س أ ف ف س

إذا كان 1 p = 1 1… 1 = 1 و a p q = a p q ، إذن 1 q a p q = 1 a p q

يمكننا تحويل هذا الترميز بحكم قواعد الضرب الأساسية إلى a (- p) · q.

أيضًا: أ ف - ف = 1 (أ ع) س = 1 أ ف ف = أ - (ف ف) = أ ف (- ف).

AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

يمكن إثبات الخصائص المتبقية للدرجة بطريقة مماثلة عن طريق تحويل التفاوتات الموجودة. لن نتطرق إلى هذا بالتفصيل ، بل سنشير فقط إلى النقاط الصعبة.

إثبات الخاصية قبل الأخيرة: تذكر أن a - n> b - n صحيحة لأي قيم صحيحة سالبة لـ n وأي موجب a و b ، بشرط أن يكون a أقل من b.

ثم يمكن تحويل عدم المساواة على النحو التالي:

1 أ ن> 1 ب ن

نكتب الجزأين الأيمن والأيسر كفرق ونجري التحولات اللازمة:

1 أ ن - 1 ب ن = ب ن - أ ن أ ن ب ن

تذكر أنه في الشرط أ أقل من ب ، إذن ، وفقًا لتعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي: - أ ن< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ينتهي برقم موجب لأن عوامله موجبة. نتيجة لذلك ، لدينا كسر b n - a n a n · b n والذي يعطي في النهاية أيضًا نتيجة موجبة. ومن ثم 1 أ ن> 1 ب ن من أين أ - ن> ب - ن ، وهو ما كان علينا إثباته.

تم إثبات الخاصية الأخيرة للدرجات ذات الأس الصحيح بشكل مشابه لخاصية الدرجات ذات الأس الطبيعي.

الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأسس المنطقية

ناقشنا في المقالات السابقة ما هي الدرجة ذات الأس المنطقي (الكسري). خصائصها هي نفس خصائص الدرجات مع الأس الصحيح. دعنا نكتب:

التعريف 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 لـ a> 0 ، وإذا كان m 1 n 1> 0 و m 2 n 2> 0 ، إذن لـ a 0 (قوى خاصية المنتج بنفس القاعدة).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 إذا كانت a> 0 (خاصية خارج القسمة).

3. a b m n = a m n b m n لـ a> 0 و b> 0 ، وإذا كان m 1 n 1> 0 و m 2 n 2> 0 ، إذن لـ a 0 و (أو) b ≥ 0 (خاصية المنتج في درجة كسرية).

4. a: b m n \ u003d a m n: b m n لـ a> 0 و b> 0 ، وإذا كان m n> 0 ، ثم لـ ≥ 0 و b> 0 (خاصية حاصل القسمة لدرجة كسرية).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \ u003d am 1 n 1 m 2 n 2 for a> 0 ، وإذا m 1 n 1> 0 و m 2 n 2> 0 ، ثم لـ ≥ 0 (خاصية الدرجة في درجات).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ؛ إذا ص< 0 - a p >ب p (خاصية مقارنة الدرجات مع الأسس المنطقية المتساوية).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >ف في 0< a < 1 ; если a >0 - أ ف> أ ف

لإثبات هذه الأحكام ، علينا أن نتذكر الدرجة ذات الأس الكسري ، وما هي خصائص الجذر الحسابي للدرجة n ، وما هي خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح. دعونا نلقي نظرة على كل خاصية.

وفقًا لما هي الدرجة ذات الأس الكسري ، نحصل على:

a m 1 n 1 \ u003d am 1 n 1 and a m 2 n 2 \ u003d am 2 n 2 ، لذلك ، a m 1 n 1 a m 2 n 2 \ u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

ستسمح لنا خصائص الجذر باشتقاق المساواة:

أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 أ م 2 م 1 ن 2 ن 1 = أ م 1 ن 2 أ م 2 ن 1 ن 1 ن 2

من هذا نحصل على: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

دعنا نتحول:

أ م 1 ن 2 أ م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 ن 2 + م 2 ن 1 ن 1 ن 2

يمكن كتابة الأس على النحو التالي:

م 1 ن 2 + م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = م 1 ن 2 ن 1 ن 2 + م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = م 1 ن 1 + م 2 ن 2

هذا هو الدليل. تم إثبات الخاصية الثانية بنفس الطريقة تمامًا. دعنا نكتب سلسلة المساواة:

أ م 1 ن 1: أ م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1: أ م 2 ن 2 = أ م 1 ن 2: أ م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = = أ م 1 ن 2 - م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

براهين التكافؤ المتبقي:

أ ب م ن = (أ ب) م ن = أ م ب م ن = أ م ن ب م ن = أ م ن ب م ن ؛ (أ: ب) م ن = (أ: ب) م ن = أ م: ب م ن = = أ م ن: ب م ن = أ م ن: ب م ن ؛ أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = = أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 = أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 = = أ م 1 م 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

الخاصية التالية: دعنا نثبت أنه لأي قيم من a و b أكبر من 0 ، إذا كانت a أقل من b ، فسيتم تنفيذ a p< b p , а для p больше 0 - a p >بي بي

لنمثل العدد الكسري p بالصيغة m n. في هذه الحالة ، م عدد صحيح ، ن عدد طبيعي. ثم الشروط ص< 0 и p >0 سوف يمتد إلى م< 0 и m >0. بالنسبة إلى m> 0 و a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

نستخدم خاصية الجذور ونشتق: أ م ن< b m n

مع الأخذ في الاعتبار إيجابية القيمتين أ وب ، نعيد كتابة المتباينة في صورة أ م ن< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

بنفس الطريقة ، بالنسبة لـ m< 0 имеем a a m >b m ، نحصل على a m n> b m n لذا a m n> b m n و a p> b p.

يبقى لنا إثبات الملكية الأخيرة. دعنا نثبت أنه بالنسبة للأعداد المنطقية p و q ، p> q لـ 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 سيكون صحيحًا a p> a q.

يمكن اختزال الأعداد النسبية p و q إلى مقام مشترك والحصول على الكسور m 1 n و m 2 n

هنا m 1 و m 2 عددان صحيحان ، و n عدد طبيعي. إذا كان p> q ، إذن m 1> m 2 (مع مراعاة قاعدة مقارنة الكسور). ثم عند 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 - عدم المساواة أ 1 م> أ 2 م.

يمكن إعادة كتابتها بالشكل التالي:

أ م 1 ن< a m 2 n a m 1 n >أ م 2 ن

ثم يمكنك إجراء التحولات والحصول على نتيجة لذلك:

أ م 1 ن< a m 2 n a m 1 n >أ م 2 ن

للتلخيص: من أجل p> q و 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 - أ ف> أ ف.

الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأس غير المنطقية

يمكن تمديد جميع الخصائص الموصوفة أعلاه والتي تمتلكها درجة مع الأسس المنطقية إلى هذه الدرجة. يأتي هذا من تعريفه ذاته ، الذي قدمناه في إحدى المقالات السابقة. دعونا نصيغ هذه الخصائص بإيجاز (الشروط: أ> 0 ، ب> 0 ، المؤشرات p و q هي أرقام غير منطقية):

التعريف 4

1. أ ف أ س = أ ف + ف

2. أ ف: أ ف = أ ف - ف

3. (أ ب) ص = أ ف ب ص

4. (أ: ب) ع = أ ف: ب ص

5. (أ ع) س = أ ف ف ف

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >بي بي

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 ، ثم p> a q.

وبالتالي ، فإن جميع القوى التي يكون الأسس p و q أعدادًا حقيقية ، بشرط أن يكون a> 0 ، لها نفس الخصائص.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

كيف نضاعف القوى؟ أي القوى يمكن أن تتضاعف وأيها لا يمكن؟ كيف تضرب رقمًا في قوة؟

في الجبر ، يمكنك إيجاد ناتج القوى في حالتين:

1) إذا كانت الدرجات لها نفس الأساس ؛

2) إذا كانت الدرجات لها نفس المؤشرات.

عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يجب أن تظل القاعدة كما هي ، ويجب إضافة الأس:

عند ضرب الدرجات بنفس المؤشرات ، يمكن إخراج المؤشر الإجمالي من الأقواس:

فكر في كيفية مضاعفة القوى ، مع أمثلة محددة.

لا تتم كتابة الوحدة في الأس ، ولكن عند ضرب الدرجات ، فإنها تأخذ في الاعتبار:

عند الضرب ، يمكن أن يكون عدد الدرجات أيًا. يجب أن نتذكر أنه لا يمكنك كتابة علامة الضرب قبل الحرف:

في التعبيرات ، يتم تنفيذ الأس أولاً.

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في قوة ، فيجب عليك أولاً إجراء الأس ، وبعد ذلك فقط - الضرب:

www.algebraclass.ru

الجمع والطرح والضرب وتقسيم القوى

الجمع والطرح للقوى

من الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى ، بإضافتهم واحدة تلو الأخرى بعلاماتهم.

إذن ، مجموع a 3 و b 2 هو a 3 + b 2.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 هو a 3 - b n + h 5 - d 4.

احتمال نفس القوى من نفس المتغيراتيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن ، مجموع 2a 2 و 3a 2 هو 5a 2.

من الواضح أيضًا أننا إذا أخذنا مربعين a ، أو ثلاثة مربعات a ، أو خمسة مربعات a.

لكن درجات متغيرات مختلفةو بدرجات مختلفة متغيرات متطابقة، يجب إضافتها عن طريق إضافتها إلى علاماتها.

إذن ، مجموع a 2 و a 3 هو مجموع a 2 + a 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يمثلان ضعف مربع a بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحيتم تنفيذ الصلاحيات بنفس طريقة الإضافة ، باستثناء أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2 أ 4 - (-6 أ 4) = 8 أ 4
3 س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 \ u003d -h 2 ب 6
5 (أ - ح) 6-2 (أ - ح) 6 = 3 (أ - ح) 6

مضاعفة القوة

يمكن ضرب الأعداد التي لها قوى مثل الكميات الأخرى بكتابتها واحدة تلو الأخرى ، مع أو بدون علامة الضرب بينهما.

إذن ، نتيجة ضرب a 3 في b 2 هي a 3 b 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير بإضافة نفس المتغيرات.
سيأخذ التعبير الصورة: أ 5 ب 5 ص 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) مع قوى ، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي رقمين ، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي مجموعدرجات الشروط.

إذن ، a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

هنا 5 هي قوة ناتج الضرب ، يساوي 2 + 3 ، مجموع قوى الحدود.

إذن ، أ ن. أ م = أ م + ن.

بالنسبة إلى n ، يتم أخذ a كعامل يساوي عدد مرات قوة n ؛

و م ، تؤخذ كعامل بقدر ما تساوي الدرجة م ؛

لهذا، يمكن ضرب الأسس التي لها نفس الأسس بجمع الأسس.

إذن ، أ 2. أ 6 = أ 2 + 6 = أ 8. و x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

أو:
4 أ ن ⋅ 2 أ ن = 8 أ 2 ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن + 1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: × 4 - ص 4.
اضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

هذه القاعدة صحيحة أيضًا بالنسبة للأرقام التي يكون أسسها - نفي.

1. إذن ، أ -2. أ -3 = أ -5. يمكن كتابة هذا كـ (1 / aa]. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

إذا تم ضرب a + b في a - b ، فستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع أو فرق رقمين تساوي مجموع أو فرق مربعاتهما.

إذا كان مجموع وفرق رقمين مرفوعين إلى ميدان، ستكون النتيجة مساوية لمجموع أو فرق هذه الأرقام في الرابعالدرجة العلمية.

إذن (أ - ص) (أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2) ⋅ (أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4) ⋅ (أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأعداد ذات القوى مثل الأعداد الأخرى عن طريق طرحها من المقسوم عليه أو وضعها في صورة كسر.

إذن ، a 3 b 2 على b 2 يساوي a 3.

تبدو كتابة 5 على 3 مثل $ \ frac $. لكن هذا يساوي 2. في سلسلة من الأرقام
أ +4 ، أ +3 ، أ +2 ، أ +1 ، أ 0 ، أ -1 ، أ -2 ، أ -3 ، أ -4.
يمكن قسمة أي رقم على آخر ، ويساوي الأس فرقمؤشرات الأرقام القابلة للقسمة.

عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس ، يتم طرح الأسس..

إذن ، y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. وهذا يعني ، $ \ frac = y $.

و أ ن + 1: أ = أ ن + 1-1 = أ ن. وهذا يعني ، $ \ frac = a ^ n $.

أو:
y2m: ym = ym
8 أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12 (ب + ص) ن: 3 (ب + ص) 3 = 4 (ب + ص) ن -3

القاعدة صالحة أيضًا للأرقام ذات نفيقيم الدرجة.
نتيجة قسمة a -5 على -3 هي a -2.
أيضًا ، $ \ frac: \ frac = \ frac. \ frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 أو $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

من الضروري إتقان عملية الضرب والقسمة بشكل جيد للغاية ، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة لحل أمثلة مع كسور تحتوي على أرقام ذات قوى

1. تقليل الأسس في $ \ frac $ Answer: $ \ frac $.

2. أنقص الأسس في $ \ frac $. الإجابة: $ \ frac $ أو 2x.

3. أنقص الأسس a 2 / a 3 و a -3 / a -4 ويوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 أول بسط.
a 3 .a -3 هو 0 = 1 ، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: أ -2 / أ -1 و 1 / أ -1.

4. اختصر الأس 2 أ 4/5 أ 3 و 2 / أ 4 وأدخل المقام المشترك.
الجواب: 2 أ 3/5 أ 7 و 5 أ 5/5 أ 7 أو 2 أ 3/5 أ 2 و 5/5 أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب) / ب 4 ب (أ - ب) / 3.

6. اضرب (أ 5 + 1) / س 2 ب (ب 2-1) / (س + أ).

7. اضرب b 4 / a -2 ب h -3 / x و a n / y -3.

8. قسّم 4 / y 3 على 3 / y 2. الجواب: أ / ص.

خصائص الدرجة

نذكرك أننا نفهم في هذا الدرس خصائص الدرجةمع المؤشرات الطبيعية والصفر. ستتم مناقشة الدرجات ذات المؤشرات المنطقية وخصائصها في دروس الصف الثامن.

الأس ذو الأس الطبيعي له العديد من الخصائص المهمة التي تسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية في أمثلة الأس.

خاصية # 1
نتاج القوى

عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يبقى الأساس بدون تغيير ويتم إضافة الأس.

a m a n \ u003d a m + n ، حيث "a" هو أي رقم ، و "m" ، "n" هي أي أرقام طبيعية.

تؤثر خاصية الصلاحيات هذه أيضًا على نتاج ثلاث قوى أو أكثر.

يرجى ملاحظة أنه في الخاصية المشار إليها كان الأمر يتعلق فقط بمضاعفة القوى بنفس الأسس.. لا ينطبق على إضافتهم.

لا يمكنك استبدال المجموع (3 3 + 3 2) بـ 3 5. هذا أمر مفهوم إذا
احسب (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 و 3 5 = 243

الخاصية # 2
الدرجات الخاصة

عند قسمة القوى على نفس الأساس ، تظل القاعدة دون تغيير ، ويتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

احسب.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 4 11 = 44
مثال. حل المعادلة. نستخدم خاصية الدرجات الجزئية.
3 8: ر = 3 4

الجواب: ر = ٣ ٤ = ٨١

باستخدام الخاصيتين رقم 1 ورقم 2 ، يمكنك بسهولة تبسيط التعبيرات وإجراء العمليات الحسابية.

مثال. تبسيط التعبير.
4 5 م + 6 4 م + 2: 4 4 م + 3 = 4 5 م + 6 + م + 2: 4 4 م + 3 = 4 6 م + 8 - 4 م - 3 = 4 2 م + 5

مثال. أوجد قيمة تعبير باستخدام خصائص الدرجة.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

يرجى ملاحظة أن مكان الإقامة 2 تعامل فقط مع تقسيم السلطات بنفس القواعد.

لا يمكنك استبدال الفرق (4 3 −4 2) بـ 4 1. هذا أمر مفهوم إذا قمت بحساب (4 3 −4 2) = (64-16) = 48 ، و 4 1 = 4

الخاصية # 3
الأس

عند رفع قوة إلى أس ، تظل قاعدة الأس كما هي ، ويتم مضاعفة الأسس.

(أ ن) م \ u003d أ ن م ، حيث "أ" هو أي رقم ، و "م" ، "ن" أي أرقام طبيعية.

يرجى ملاحظة أن الخاصية رقم 4 ، مثل الخصائص الأخرى للدرجات ، يتم تطبيقها أيضًا بترتيب عكسي.

(أ ن ب ن) = (أ ب) ن

أي لضرب الدرجات بنفس الأسس ، يمكنك ضرب الأسس وترك الأس دون تغيير.

في الأمثلة الأكثر تعقيدًا ، قد تكون هناك حالات يجب فيها إجراء الضرب والقسمة على قوى ذات قواعد مختلفة وأسس مختلفة. في هذه الحالة ، ننصحك بالقيام بما يلي.

على سبيل المثال ، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64144 = 9216

مثال على أس كسر عشري.

4 21 (0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (0.25)) 20 = 4 (1) 20 = 4 1 = أربعة

الخصائص 5
قوة حاصل القسمة (الكسور)

لرفع ناتج القسمة إلى أس ، يمكنك رفع المقسوم والمقسوم عليه بشكل منفصل إلى هذه القوة ، وقسمة النتيجة الأولى على الثانية.

(a: b) n \ u003d a n: b n ، حيث "a" ، "b" هي أي أرقام منطقية ، b ≠ 0 ، n أي رقم طبيعي.

نذكرك أنه يمكن تمثيل حاصل القسمة في صورة كسر. لذلك ، سوف نتناول موضوع رفع الكسر إلى قوة بمزيد من التفاصيل في الصفحة التالية.

الدرجات والجذور

عمليات ذات قوى وجذور. درجة مع سلبي ,

صفر وجزئي مؤشر. حول التعبيرات التي لا معنى لها.

عمليات بالدرجات.

1. عند ضرب الأسس بنفس القاعدة ، تُضاف مؤشراتها:

صباحا · أ ن = أ م + ن.

2. عند قسمة الدرجات مع نفس القاعدة ، مؤشراتها مطروح .

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذين العاملين.

4. درجة النسبة (الكسر) تساوي نسبة درجات المقسوم (البسط) والمقسوم عليه (المقام):

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن.

5. عند رفع درجة إلى قوة ، تتضاعف مؤشراتها:

تتم قراءة جميع الصيغ أعلاه وتنفيذها في كلا الاتجاهين من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

مثال (2 3 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .

عمليات مع الجذور. في جميع الصيغ أدناه ، يعني الرمز جذر حسابي(التعبير الجذري إيجابي).

1. جذر ناتج عدة عوامل يساوي المنتججذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة جذور المقسوم والمقسوم عليه:

3. عند رفع جذر إلى قوة ، يكفي أن نرتقي إلى هذه القوة رقم الجذر:

4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر بمقدار m مرات ورفعت رقم الجذر في نفس الوقت إلى الدرجة m -th ، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر بمقدار m مرات وفي نفس الوقت استخرجت جذر الدرجة m من الرقم الجذري ، فلن تتغير قيمة الجذر:

توسيع مفهوم الدرجة. حتى الآن ، نظرنا في الدرجات فقط بمؤشر طبيعي ؛ لكن العمليات ذات القوى والجذور يمكن أن تؤدي أيضًا إلى نفي, صفرو كسريالمؤشرات. كل هذه الأسس تتطلب تعريفًا إضافيًا.

الدرجة مع الأس السالب. تُعرَّف قوة بعض الأرقام بأسس سالب (عدد صحيح) على أنها واحدة مقسومة على قوة نفس العدد مع أس يساوي القيمة المطلقة للأس سالب:

الآن الصيغة صباحا : أ = م نيمكن استخدامها ليس فقط من أجل م، أكثر من ن، ولكن أيضًا في م، أقل من ن .

مثال أ 4: أ 7 = أ 4 — 7 = أ — 3 .

إذا كنا نريد الصيغة صباحا : أ = صباحا — نكان عادلا في م = ن، نحن بحاجة لتعريف درجة الصفر.

الدرجة مع الأس صفر. درجة أي عدد غير صفري بأس صفر هي 1.

أمثلة. 2 0 = 1 ، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

الدرجة مع الأس الكسري. من أجل رفع رقم حقيقي a إلى القوة m / n ، تحتاج إلى استخراج جذر الدرجة n من القوة mth لهذا الرقم a:

حول التعبيرات التي لا معنى لها. هناك العديد من هذه التعبيرات.

أين أ ≠ 0 , غير موجود.

في الواقع ، إذا افترضنا ذلك xهو رقم معين ، إذن ، وفقًا لتعريف عملية التقسيم ، لدينا: أ = 0· x، بمعنى آخر. أ= 0 وهو ما يتعارض مع الشرط: أ ≠ 0

— أي رقم.

في الواقع ، إذا افترضنا أن هذا التعبير يساوي عددًا ما x، ثم وفقًا لتعريف عملية القسمة لدينا: 0 = 0 x. لكن هذه المساواة تحمل أي رقم xالتي كان من المقرر إثباتها.

0 0 — أي رقم.

الحل: النظر في ثلاث حالات رئيسية:

1) x = 0 – هذه القيمة لا تفي بهذه المعادلة

2) متى x> 0 نحصل على: س / س= 1 ، أي 1 = 1 ، ومن أين يتبع ،

ماذا او ما x- أي رقم ولكن مع مراعاة ذلك

قضيتنا x> 0 ، الجواب x > 0 ;

قواعد ضرب الأسس ذات الأسس المختلفة

درجة بمؤشر منطقي ،

وظيفة الطاقة IV

69. تكاثر السلطات وتقسيمها بنفس الأسس

نظرية 1.لضرب الأسس بنفس الأسس ، يكفي جمع الأسس ، وترك القاعدة كما هي ، أي

دليل - إثبات.حسب تعريف الدرجة

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

لقد اعتبرنا ناتج قوتين. في الواقع ، الخاصية المُثبتة صحيحة لأي عدد من الصلاحيات التي لها نفس الأسس.

نظرية 2.لتقسيم القوى بنفس الأسس ، عندما يكون مؤشر المقسوم أكبر من مؤشر المقسوم عليه ، يكفي طرح مؤشر المقسوم عليه من مؤشر المقسوم ، وترك القاعدة كما هي ، أي في ر> ن

(أ =/= 0)

دليل - إثبات.تذكر أن حاصل قسمة رقم على آخر هو الرقم الذي يعطي المقسوم عند ضربه في القاسم. لذلك ، إثبات الصيغة ، أين أ = / = 0 ، إنه مثل إثبات الصيغة

اذا كان ر> ن ثم الرقم ر - ص سيكون طبيعيا لذلك ، من خلال نظرية 1

تم إثبات النظرية 2.

لاحظ أن الصيغة

أثبت من قبلنا فقط في ظل افتراض ذلك ر> ن . لذلك ، مما تم إثباته ، لا يمكن حتى الآن استخلاص الاستنتاجات التالية ، على سبيل المثال:

بالإضافة إلى ذلك ، لم نفكر بعد في الدرجات ذات الأسس السالب ، ولا نعرف حتى الآن المعنى الذي يمكن أن يُعطى للتعبير 3 - 2 .

نظرية 3. لرفع أس إلى أس ، يكفي ضرب الأسس ، مع ترك قاعدة الأس كما هي، هذا هو

دليل - إثبات.باستخدام تعريف الدرجة والنظرية 1 في هذا القسم ، نحصل على:

Q.E.D.

على سبيل المثال ، (2 3) 2 = 2 6 = 64 ؛

518 (عن طريق الفم) تحديد X من المعادلات:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (معدلة) بسّط:

520. (معدل) بسّط:

521- قدم هذه التعبيرات كدرجات لها نفس الأسس:

1) 32 و 64 ؛ 3) 85 و 163 ؛ 5) 4100 و 32 50 ؛

2) -1000 و 100 ؛ 4) -27 و -243 ؛ 6) 81 75 8200 و 3600 4150.