اشتقاق الصيغة العامة لجذور المعادلة tgx a. الدرس "Arc tangent and arc tangent. حل المعادلات tgx = a، ctgx = a". حل المعادلة tgx = a بشكل عام

في وقت سابق من البرنامج ، حصل الطلاب على فكرة عن الحل المعادلات المثلثية، تعرفت على مفاهيم قوس جيب الزاوية و قوس القوس ، أمثلة على حلول المعادلتين cos t = a و sin t = a. في هذا الفيديو التعليمي ، سننظر في حل المعادلتين tg x = a و ctg x = a.

في بداية دراسة هذا الموضوع ، ضع في اعتبارك المعادلتين tg x = 3 و tg x = - 3. إذا حللنا المعادلة tg x = 3 باستخدام رسم بياني ، فسنرى أن تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = tg x و y = 3 لهما عدد لا نهائي من الحلول ، حيث x = x 1 + k. القيمة x 1 هي إحداثي x لنقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = tg x و y = 3. يقدم المؤلف مفهوم Arctangent: arctg 3 هو رقم tg هو 3 ، وهذا الرقم ينتمي إلى الفاصل الزمني من-/ 2 إلى / 2. باستخدام مفهوم قوس ظل الزاوية ، يمكن كتابة حل المعادلة tan x = 3 في صورة x = arctan 3 + πk.

عن طريق القياس ، تم حل المعادلة tg x \ u003d - 3. وفقًا للرسوم البيانية المركبة للوظائف y \ u003d tg x و y \ u003d - 3 ، يمكن ملاحظة أن نقاط تقاطع الرسوم البيانية ، وبالتالي الحلول من المعادلات ، ستكون x \ u003d x 2 + πk. باستخدام مماس القوس ، يمكن كتابة الحل بالصيغة x = arctan (- 3) + k. في الشكل التالي ، سنرى أن arctg (- 3) = - arctg 3.

التعريف العام لمماس القوس هو كما يلي: الظل القوسي لـ a هو رقم من الفاصل الزمني من-/ 2 إلى π / 2 ، الظل الذي هو a. ثم حل المعادلة tg x = a هو x = arctg a + πk.

يعطي المؤلف مثالاً 1. ابحث عن حل للتعبير arctg. دعنا نقدم الترميز: قوس ظل الرقم يساوي x ، ثم tg x سيكون مساويًا للرقم المحدد ، حيث ينتمي x إلى المقطع من- / 2 إلى / 2. كما في الأمثلة في الموضوعات السابقة ، سنستخدم جدول القيم. وفقًا لهذا الجدول ، يتوافق ظل هذا الرقم مع القيمة x = π / 3. نكتب حل معادلة الظل القوسي لعدد معين يساوي π / 3 ، π / 3 ينتمي أيضًا إلى الفترة من-/ 2 إلى π / 2.

مثال 2 - احسب ظل القوس لعدد سالب. باستخدام المساواة arctg (- a) = - arctg a ، أدخل قيمة x. على غرار المثال 2 ، نكتب قيمة x ، التي تنتمي إلى الفترة من-/ 2 إلى π / 2. وفقًا لجدول القيم ، نجد أن x = π / 3 ، لذلك - tg x = - π / 3. إجابة المعادلة - π / 3.

فكر في المثال 3. لنحل المعادلة tan x = 1. لنكتب أن x = arctan 1 + k. في الجدول ، تتوافق قيمة tg 1 مع القيمة x \ u003d π / 4 ، وبالتالي ، arctg 1 \ u003d π / 4. عوّض بهذه القيمة في الصيغة الأصلية x واكتب الإجابة x = π / 4 + k.

مثال 4: احسب tg x = - 4.1. في هذه الحالة ، x = arctg (- 4.1) + k. لان ليس من الممكن إيجاد قيمة arctg في هذه الحالة ، ستبدو الإجابة مثل x = arctg (- 4.1) + πk.

يأخذ المثال 5 في الاعتبار حل المتباينة tg x> 1. لحلها ، نرسم الرسوم البيانية للدالة y = tg x و y = 1. كما يتضح من الشكل ، تتقاطع هذه الرسوم البيانية عند النقاط x = π / 4 + πk. لان في هذه الحالة ، tg x> 1 ، على الرسم البياني نختار مساحة المماس ، أعلى الرسم البياني y = 1 ، حيث x ينتمي إلى الفترة من π / 4 إلى π / 2. نكتب الإجابة على النحو التالي π / 4 + πk< x < π/2 + πk.

بعد ذلك ، ضع في اعتبارك المعادلة ctg x = a. يوضح الشكل الرسوم البيانية للوظائف y = ctg x ، y = a ، y = - a ، والتي تحتوي على العديد من نقاط التقاطع. يمكن كتابة الحلول كـ x = x 1 + πk ، حيث x 1 = arcctg a و x = x 2 + k ، حيث x 2 = arcctg (- a). يلاحظ أن x 2 \ u003d π - x 1. هذا يعني أن المساواة arcctg (- a) = - arcctg a. علاوة على ذلك ، يتم تقديم تعريف ظل التمام القوسي: إن ظل التمام القوسي لـ a هو رقم من الفاصل الزمني من 0 إلى ، والذي يكون ظل التمام فيه مساويًا لـ a. تتم كتابة حل المعادلة сtg x = a على النحو التالي: x = arcctg a + πk.

في نهاية درس الفيديو ، تم التوصل إلى استنتاج آخر مهم - يمكن كتابة التعبير ctg x = a بالشكل tg x = 1 / a ، بشرط ألا يساوي a صفرًا.

تفسير النص:

ضع في اعتبارك حل المعادلتين tg x \ u003d 3 و tg x \ u003d - 3. حل المعادلة الأولى بيانياً ، نرى أن الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d tg x و y \ u003d 3 بها عدد لا نهائي من نقاط التقاطع ، الأحجار التي نكتبها في النموذج

x \ u003d x 1 + πk ، حيث x 1 هي حدود نقطة تقاطع الخط y \ u003d 3 مع الفرع الرئيسي من tangentoid (الشكل 1) ، الذي تم اختراع التعيين من أجله

أركتان 3 (قوس ظل من ثلاثة).

كيف نفهم arctg 3؟

هذا رقم يكون ظله 3 وهذا الرقم ينتمي إلى الفاصل الزمني (- ؛). ثم يمكن كتابة جميع جذور المعادلة tg x \ u003d 3 بالصيغة x \ u003d arctan 3 + πk.

وبالمثل ، يمكن كتابة حل المعادلة tg x \ u003d - 3 كـ x \ u003d x 2 + πk ، حيث x 2 هي حدود نقطة تقاطع الخط y \ u003d - 3 مع الفرع الرئيسي للخط tangentoid (الشكل 1) ، حيث يتم تعيين arctg (- 3) (arct tangent ناقص ثلاثة). ثم يمكن كتابة جميع جذور المعادلة بالصيغة: x \ u003d arctg (-3) + πk. يوضح الشكل أن arctg (- 3) = - arctg 3.

دعونا نصوغ تعريف قوس الظل. قوس الظل أ هو مثل هذا الرقم من الفاصل الزمني (- ؛) ، الذي يكون الظل الخاص به يساوي أ.

غالبًا ما تستخدم المساواة: arctg (-a) = -arctg a ، وهي صالحة لأي ملف.

بمعرفة تعريف قوس الظل ، نضع استنتاجًا عامًا حول حل المعادلة

tg x \ u003d a: المعادلة tg x \ u003d a لها حل x \ u003d arctg a + k.

ضع في اعتبارك الأمثلة.

مثال 1. احسب arctg.

المحلول. دع arctg = x ، ثم tgx = و xϵ (- ؛). أظهر جدول القيم ، لذلك ، x = ، حيث أن tg = و ϵ (- ؛).

لذلك arctg =.

مثال 2 احسب الدالة Arctan (-).

المحلول. باستخدام المساواة arctg (- a) \ u003d - arctg a ، نكتب:

arctg (-) = - arctg. دع - arctg = x ، ثم - tgx = و xϵ (- ؛). لذلك ، x = ، منذ tg = و ϵ (- ؛). عرض جدول القيم

إذن - arctg = - tgх = -.

مثال 3. حل المعادلة tgх = 1.

1. لنكتب صيغة الحل: x = arctg 1 + k.

2. لنجد القيمةظل القوس

منذ tg =. عرض جدول القيم

إذن arctg1 =.

3. ضع القيمة التي تم العثور عليها في صيغة الحل:

مثال 4. حل المعادلة tgx \ u003d - 4.1 (الظل x يساوي سالب أربع نقاط واحد على عشرة).

المحلول. دعنا نكتب صيغة الحل: x \ u003d arctg (- 4.1) + k.

لا يمكننا حساب قيمة المماس القوسي ، لذلك سنترك حل المعادلة كما هو.

مثال 5. حل المتباينة tgх 1.

المحلول. دعونا نفعل ذلك بيانيا.

1. دعونا نبني المماس

y \ u003d tgx وخط مستقيم y \ u003d 1 (الشكل 2). تتقاطع عند نقاط الصورة x = + k.

2. حدد الفاصل الزمني للمحور x ، حيث يقع الفرع الرئيسي للمماس أعلى الخط المستقيم y \ u003d 1 ، لأنه وفقًا للشرط tgх 1. هذا هو الفاصل الزمني (؛).

3. نستخدم دورية الدالة.

الخاصية 2. y \ u003d tg x - وظيفة دورية ذات فترة أساسية π.

مع الأخذ في الاعتبار دورية الدالة y \ u003d tgx ، نكتب الإجابة:

(؛). يمكن كتابة الإجابة على أنها عدم مساواة مزدوجة:

دعنا ننتقل إلى المعادلة ctg x \ u003d a. لنقدم توضيحًا رسوميًا لحل المعادلة من أجل الموجب والسالب أ (الشكل 3).

الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d ctg x و y \ u003d a و

y = ctg x و y = -a

لديها عدد لا نهائي من النقاط المشتركة ، والتي لها شكلها:

x \ u003d x 1 + ، حيث x 1 هي حدود نقطة تقاطع الخط y \ u003d a مع الفرع الرئيسي من tangentoid و

× 1 = أركتج أ ؛

x \ u003d x 2 + ، حيث x 2 هي حدود نقطة تقاطع الخط

ص \ u003d - ولكن مع الفرع الرئيسي من المماس و x 2 \ u003d arcсtg (- أ).

لاحظ أن x 2 \ u003d π - x 1. لذلك نكتب المعادلة المهمة:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

دعونا نصيغ التعريف: إن ظل التمام القوسي لـ a هو رقم من الفاصل الزمني (0 ؛ π) الذي يكون ظل التمام فيه يساوي a.

حل المعادلة ctg x \ u003d a مكتوب على النحو التالي: x \ u003d arcсtg a +.

لاحظ أن المعادلة ctg x = a يمكن تحويلها إلى النموذج

tg x = ، إلا عندما تكون a = 0.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك !!!

تسمى المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الدالة المثلثية (`sin x ، cos x ، tg x` أو` ctg x`) بالمعادلة المثلثية ، وسننظر في صيغها بشكل أكبر.

أبسط المعادلات هي `sin x = a ، cos x = a ، tg x = a ، ctg x = a` ، حيث` x` هي الزاوية المطلوب إيجادها ، و` a` هو أي رقم. دعنا نكتب صيغ الجذر لكل منهم.

1. المعادلة `sin x = a`.

بالنسبة لـ `| a |> 1` ليس لها حلول.

باستخدام `| a | \ leq 1` لديه عدد لا حصر لهحلول.

صيغة الجذر: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n، n \ in Z`

2. المعادلة `cos x = a`

بالنسبة لـ `| a |> 1` - كما في حالة الجيب ، لا توجد حلول بين الأعداد الحقيقية.

باستخدام `| a | \ leq 1` له عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n، n \ in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x = a`

لديه عدد لا حصر له من الحلول لأي قيم لـ `أ`.

صيغة الجذر: `x = arctg a + \ pi n، n \ in Z`

4. المعادلة `ctg x = a`

كما أن لديها عددًا لا نهائيًا من الحلول لأي قيم لـ `أ`.

صيغة الجذر: `x = arcctg a + \ pi n، n \ in Z`

صيغ لجذور المعادلات المثلثية في الجدول

للجيوب الأنفية:
لجيب التمام:
للظل والظل:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

يتكون حل أي معادلة مثلثية من مرحلتين:

• استخدامها لتحويلها إلى أبسط ؛
• حل المعادلة الأبسط الناتجة باستخدام معادلات الجذر والجداول المكتوبة أعلاه.

دعنا نفكر في الطرق الرئيسية للحل باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

في هذه الطريقة ، يتم استبدال المتغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

"2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0` ،

استبدل: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y` ، ثم` 2y ^ 2-3y + 1 = 0` ،

نجد الجذور: `y_1 = 1 ، y_2 = 1 / 2` ، ومنها حالتان:

1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`،` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`، `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`،` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`، `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ فارك \ بي 6 + 2 \ بي ن`.

الإجابة: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x + cos x = 1`.

المحلول. انقل إلى اليسار جميع شروط المساواة: `sin x + cos x-1 = 0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وعوامل الجانب الأيسر:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0` ،

1. `sin x / 2 = 0` ،` x / 2 = \ pi n` ، `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0` ،` tg x / 2 = 1` ، `x / 2 = arctg 1+ \ pi n` ،` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الإجابة: `x_1 = 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الاختزال إلى معادلة متجانسة

أولاً ، عليك إحضار هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`a sin x + b cos x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى) أو` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم قسّم كلا الجزأين على `cos x \ ne 0` للحالة الأولى ، وعلى` cos ^ 2 x \ ne 0` للحالة الثانية. نحصل على معادلات `tg x`:` a tg x + b = 0` و `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0` ، والتي يجب حلها باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

المحلول. لنكتب الجانب الأيمن كـ `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` sin ^ 2 x + cos ^ 2 x` ،

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية ، تقسم جزأها الأيمن والأيسر على `cos ^ 2 x \ ne 0` ، نحصل على:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. لنقدم البديل `tg x = t` كنتيجة لذلك` t ^ 2 + t - 2 = 0`. جذور هذه المعادلة هي "t_1 = -2" و "t_2 = 1". ثم:

1. `tg x = -2` ،` x_1 = arctg (-2) + \ pi n` ، `n \ in Z`
2. `tg x = 1` ،` x = arctg 1+ \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n` ،` n \ in Z`.

إجابه. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n` ،` n \ in Z` ، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n` ،` n \ in Z`.

اذهب إلى Half Corner

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

المحلول. بتطبيق صيغ الزاوية المزدوجة ، تكون النتيجة: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =" 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

"4 tg ^ 2 x / 2-11 tg x / 2 + 6 = 0`

بتطبيق الطريقة الجبرية الموصوفة أعلاه نحصل على:

1. `tg x / 2 = 2` ،` x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z` ،
2. `tg x / 2 = 3 / 4` ،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابه. `x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n، n \ in Z`،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n`، `n \ in Z`.

مقدمة من زاوية مساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x = c` ، حيث a و b و c معاملات و x متغير ، نقسم كلا الجزأين على` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

"\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +" \ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = "\ frac c (sqrt (a ^ 2) + ب ^ 2)) `.

المعاملات على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام ، أي أن مجموع مربعيها هو 1 ومعاملها هو 1 على الأكثر. دعنا نشير إليها على النحو التالي: `\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^) 2)) = cos \ varphi`، `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi` ،` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C` ، ومن بعد:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

المحلول. بقسمة طرفي المعادلة على `` الجذر التربيعي (3 ^ 2 + 4 ^ 2) '' نحصل على:

"\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +" \ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = "\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

"3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5".

تشير إلى `3/5 = cos \ varphi` ،` 4/5 = sin \ varphi`. نظرًا لأن `sin \ varphi> 0` ،` cos \ varphi> 0` ، فإننا نأخذ `\ varphi = arcsin 4 / 5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب مساواتنا بالشكل:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب ، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

"الخطيئة (x + \ varphi) = 2/5" ،

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n` ،` n \ in Z` ،

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابه. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

المعادلات المثلثية الكسرية المنطقية

هذه مساواة مع كسور ، في البسط والمقام التي توجد بها دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

المحلول. اضرب واقسم الجانب الأيمن من المعادلة على `(1 + cos x)`. نتيجة لذلك ، نحصل على:

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) "

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) `

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) "

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يكون صفراً ، نحصل على `1 + cos x \ ne 0` ،` cos x \ ne -1` ، `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

مساواة بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin ^ 2 x = 0` ،` sin x (1-sin x) = 0`. ثم `sin x = 0` أو` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0` ،` x = \ pi n` ، `n \ in Z`
2. `1-sin x = 0` ،` sin x = -1` ، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

بالنظر إلى أن `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z` ، فإن الحلول هي` x = 2 \ pi n ، n \ in Z` و `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` ، `n \ في Z`.

إجابه. `x = 2 \ pi n`،` n \ in Z`، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`،` n \ in Z`.

يتم استخدام علم المثلثات والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر ، وهناك دائمًا مهام للاختبار ، لذا حاول أن تتذكر جميع صيغ المعادلات المثلثية - فهي بالتأكيد ستكون في متناول يديك!

ومع ذلك ، لا تحتاج حتى إلى حفظها ، فالشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على الاستنتاج. الأمر ليس صعبًا كما يبدو. انظر بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.

لحلها بنجاح المعادلات المثلثيةمناسب للاستخدام طريقة التخفيضللمشاكل التي تم حلها مسبقًا. لنرى ما هو جوهر هذه الطريقة؟

في أي مشكلة مقترحة ، تحتاج إلى رؤية المشكلة التي تم حلها مسبقًا ، وبعد ذلك ، باستخدام التحويلات المكافئة المتتالية ، حاول تقليل المشكلة المعطاة لك إلى مشكلة أبسط.

لذلك ، عند حل المعادلات المثلثية ، فإنها عادة ما تشكل بعض التسلسلات المحدودة من المعادلات المكافئة ، والتي يكون الرابط الأخير منها معادلة ذات حل واضح. من المهم فقط أن نتذكر أنه إذا لم يتم تشكيل المهارات اللازمة لحل أبسط المعادلات المثلثية ، فإن حل المعادلات الأكثر تعقيدًا سيكون صعبًا وغير فعال.

بالإضافة إلى ذلك ، عند حل المعادلات المثلثية ، يجب ألا تنسى أبدًا إمكانية وجود العديد من الحلول.

مثال 1. أوجد عدد جذور المعادلة cos x = -1/2 على المجال.

المحلول:

ط الطريق.دعنا نرسم الرسوم البيانية للوظائف y = cos x و y = -1/2 ونجد عدد النقاط المشتركة بينهما في الفترة (الشكل 1).

نظرًا لأن الرسوم البيانية للوظائف لها نقطتان مشتركتان في الفترة ، فإن المعادلة تحتوي على جذران في هذه الفترة.

الطريقة الثانية.باستخدام الدائرة المثلثية (الشكل 2) ، نجد عدد النقاط التي تنتمي إلى الفترة التي يكون فيها cos x = -1/2. يوضح الشكل أن المعادلة لها جذران.

ثالثا الطريق.باستخدام صيغة جذور المعادلة المثلثية ، نحل المعادلة cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk ، k عدد صحيح (k € Z) ؛

x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk، k عدد صحيح (k € Z) ؛

x = ± (π - π / 3) + 2πk ، k عدد صحيح (k ∈ Z) ؛

x = ± 2π / 3 + 2πk ، k عدد صحيح (k ∈ Z).

الجذور 2π / 3 و -2π / 3 + 2π تنتمي إلى الفترة الزمنية ، k هو عدد صحيح. وبالتالي ، فإن المعادلة لها جذران في فترة زمنية معينة.

الجواب: 2.

في المستقبل ، سيتم حل المعادلات المثلثية بإحدى الطرق المقترحة ، والتي في كثير من الحالات لا تستبعد استخدام الطرق الأخرى.

مثال 2. أوجد عدد حلول المعادلة tg (x + π / 4) = 1 في الفترة [-2π؛ 2π].

المحلول:

باستخدام صيغة جذور المعادلة المثلثية ، نحصل على:

x + π / 4 = arctan 1 + πk، k عدد صحيح (k € Z) ؛

x + π / 4 = π / 4 + k ، k عدد صحيح (k € Z) ؛

x = πk، k عدد صحيح (k ∈ Z) ؛

الفاصل الزمني [-2π؛ 2π] تنتمي إلى الأرقام -2π ؛ -π ؛ 0 ؛ π ؛ 2π. إذن ، للمعادلة خمسة جذور في فترة زمنية معينة.

الجواب: 5.

مثال 3. أوجد عدد جذور المعادلة cos 2 x + sin x cos x = 1 على الفترة [-π؛ π].

المحلول:

بما أن 1 = sin 2 x + cos 2 x (متطابقة مثلثية أساسية) ، تصبح المعادلة الأصلية:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x ؛

الخطيئة 2 x - sin x cos x \ u003d 0 ؛

sin x (sin x - cos x) = 0. المنتج يساوي صفرًا ، مما يعني أن أحد العوامل على الأقل يجب أن يساوي صفرًا ، لذلك:

sin x \ u003d 0 أو sin x - cos x \ u003d 0.

نظرًا لأن قيمة المتغير ، حيث cos x = 0 ، ليست جذور المعادلة الثانية (لا يمكن أن يكون الجيب وجيب التمام لنفس العدد مساويًا للصفر في نفس الوقت) ، فإننا نقسم كلا الجزأين الثاني المعادلة بواسطة cos x:

sin x = 0 أو sin x / cos x - 1 = 0.

في المعادلة الثانية ، نستخدم حقيقة أن tg x = sin x / cos x ، ثم:

sin x = 0 أو tg x = 1. باستخدام الصيغ ، لدينا:

x = πk أو x = π / 4 + k ، k عدد صحيح (k ∈ Z).

من السلسلة الأولى للجذور إلى الفترة [-؛ π] تنتمي إلى الأرقام -π ؛ 0 ؛ π. من السلسلة الثانية: (π / 4 - π) و π / 4.

وبالتالي ، تنتمي الجذور الخمسة للمعادلة الأصلية إلى الفترة [-؛ π].

الجواب: 5.

مثال 4. أوجد مجموع جذور المعادلة tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 على الفترة [-؛ 1.1π].

المحلول:

دعنا نعيد كتابة المعادلة بالشكل التالي:

tg 2 x + сtg 2 x + 3 (tg x + сtgx) + 4 = 0 وقم بإجراء تغيير.

لنفترض أن tg x + сtgx = a. لنقم بتربيع طرفي المعادلة:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. دعنا نفدد الأقواس:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

منذ tg x сtgx \ u003d 1 ، ثم tg 2 x + 2 + сtg 2 x \ u003d a 2 ، مما يعني

tg 2 x + сtg 2 x \ u003d a 2 - 2.

الآن تبدو المعادلة الأصلية كما يلي:

أ 2 - 2 + 3 أ + 4 = 0 ؛

أ 2 + 3 أ + 2 = 0. باستخدام نظرية فييتا ، نحصل على أ = -1 أو أ = -2.

عند إجراء الاستبدال العكسي ، لدينا:

tg x + сtgx = -1 أو tg x + сtgx = -2. لنحل المعادلات التي تم الحصول عليها.

tgx + 1 / tgx = -1 أو tgx + 1 / tgx = -2.

بخاصية رقمين متبادلين ، نحدد أن المعادلة الأولى ليس لها جذور ، ومن المعادلة الثانية لدينا:

tg x = -1 ، أي x =-/ 4 + k، k عدد صحيح (k € Z).

الفاصل الزمني [-؛ 1،1π] الجذور تنتمي:-/ 4 ؛ -/ 4 + π. مجموعهم:

-π / 4 + (-/ 4 + π) =-/ 2 + π = / 2.

الجواب: π / 2.

مثال 5. أوجد الوسط الحسابي لجذور المعادلة sin 3x + sin x = sin 2x على الفترة [-π؛ 0.5π].

المحلول:

نستخدم الصيغة sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2) ، ثم

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x وتصبح المعادلة

2sin 2x cos x = sin 2x ؛

2sin 2x cos x - sin 2x \ u003d 0. نخرج العامل المشترك sin 2x من الأقواس

sin 2x (2cos x - 1) = 0. لنحل المعادلة الناتجة:

الخطيئة 2x \ u003d 0 أو 2cos x - 1 \ u003d 0 ؛

الخطيئة 2x = 0 أو cos x = 1/2 ؛

2x = πk أو x = ± π / 3 + 2πk ، k عدد صحيح (k € Z).

وهكذا لدينا جذور

x = πk / 2، x = π / 3 + 2πk، x =-/ 3 + 2πk، k عدد صحيح (k ∈ Z).

الفاصل الزمني [-؛ 0.5π] تنتمي إلى الجذور -π ؛ -π / 2 ؛ 0 ؛ π / 2 (من السلسلة الأولى للجذور) ؛ π / 3 (من السلسلة الثانية) ؛ -/ 3 (من السلسلة الثالثة). الوسط الحسابي لديهم هو:

(-π - π / 2 + 0 + / 2 + / 3 - / 3) / 6 =-/ 6.

الجواب:-/ 6.

مثال 6. أوجد عدد جذور المعادلة sin x + cos x = 0 على المجال [-1.25π؛ 2π].

المحلول:

هذه المعادلة هي معادلة متجانسة من الدرجة الأولى. اقسم كلا الجزأين على cosx (قيمة المتغير ، حيث cos x = 0 ، ليست جذور هذه المعادلة ، لأن الجيب وجيب التمام لنفس العدد لا يمكن أن يكونا مساويين للصفر في نفس الوقت). تبدو المعادلة الأصلية كما يلي:

x =-/ 4 + k، k عدد صحيح (k € Z).

فجوة [-1.25 درجة مئوية ؛ 2π] لها جذور-/ 4 ؛ (-π / 4 + π) ؛ و (-π / 4 + 2π).

وبالتالي ، تنتمي ثلاثة جذور للمعادلة إلى الفترة الزمنية المحددة.

الجواب: 3.

تعلم أن تفعل الشيء الأكثر أهمية - تقديم خطة واضحة لحل المشكلة ، وبعد ذلك ستكون أي معادلة مثلثية على كتفك.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل المعادلات المثلثية؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

في هذا الدرس ، سنواصل دراسة ظل القوس وحل المعادلات بالصيغة tg x = a لأي a. في بداية الدرس ، سنحل المعادلة بقيمة جدولية ونوضح الحل على الرسم البياني ، ثم على الدائرة. بعد ذلك ، نحل المعادلة tgx = a بشكل عام ونشتق الصيغة العامة للإجابة. نوضح الحسابات على الرسم البياني والدائرة وننظر فيها أشكال مختلفةاستجابة. في نهاية الدرس ، سنقوم بحل عدة مشاكل مع توضيح الحلول على الرسم البياني وعلى الدائرة.

الموضوع: المعادلات المثلثية

درس: قوس ظل الزاوية وحل المعادلة tgx = a (تابع)

1. موضوع الدرس ، مقدمة

في هذا الدرس ، سوف ننظر في حل أي معادلة حقيقية

2. حل المعادلة tgx = √3

المهمة 1. حل المعادلة

لنجد حلًا باستخدام الرسوم البيانية للوظائف (رسم بياني 1).

ضع في اعتبارك الفاصل الزمني في هذا الفاصل الزمني ، تكون الوظيفة رتيبة ، مما يعني أنه يتم الوصول إليها عند قيمة واحدة فقط من الوظيفة.

إجابه:

لنحل المعادلة نفسها باستخدام دائرة الأرقام (الشكل 2).

إجابه:

3. حل المعادلة tgx = a بشكل عام

دعونا نحل المعادلة بشكل عام (الشكل 3).

في الفترة الزمنية ، يكون للمعادلة حل فريد

أصغر فترة إيجابية

دعنا نوضح دائرة عددية (الشكل 4).

4. حل المشكلات

المهمة 2. حل المعادلة

دعونا نغير المتغير

المهمة 3. حل النظام:

الحل (الشكل 5):

عند هذه النقطة ، فإن القيمة هي إذن حل النظام هو النقطة فقط

إجابه:

المهمة 4. حل المعادلة

لنحل بطريقة التغيير المتغير:

المشكلة 5. أوجد عدد حلول المعادلة في الفترة

لنحل المسألة باستخدام التمثيل البياني (الشكل 6).

للمعادلة ثلاثة حلول في فترة زمنية معينة.

سنقوم بتوضيح دائرة عددية (الشكل 7) ، على الرغم من أن هذا ليس واضحًا كما في الرسم البياني.

الجواب: ثلاثة حلول.

5. خاتمة ، خاتمة

لقد حللنا معادلة أي حقيقي باستخدام مفهوم قوس الظل. في الدرس التالي ، سوف نتعرف على مفهوم قوس الظل.

فهرس

1. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمين). البرنامج التعليمي ل المؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) إد. أ.موردكوفيتش. -M: Mnemosyne ، 2009.

2. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمين). كتاب المهام للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) ، أد. أ.موردكوفيتش. -M: Mnemosyne ، 2007.

3. Vilenkin N. Ya. ، Ivashev-Musatov O. S. ، Shvartsburd S. I. الجبر والتحليل الرياضي للصف 10 ( الدورة التعليميةلطلاب المدارس والصفوف مع دراسة متعمقة للرياضيات) .- م: التربية ، 1996.

4. Galitsky M. L.، Moshkovich M. M.، Shvartsburd S. I. دراسة متعمقة للجبر والتحليل الرياضي. - M: التعليم ، 1997.

5. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية (تحت إشراف M.I.Skanavi) .- M: High School، 1992.

6. Merzlyak A. G. ، Polonsky V. B. ، Yakir M. S. Algebraic simulator.-K: A. S. K.، 1997.

7. Saakyan S. M.، Goldman A. M.، Denisov D. V. مهام في الجبر وبدايات التحليل (دليل للطلاب في الصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام). - م: التعليم ، 2003.

8. A. P. كارب ، مجموعة من المشاكل في الجبر ومبادئ التحليل: بروك. بدل 10-11 خلية. بعمق دراسة mathematics.-M: التعليم ، 2006.

الواجب المنزلي

الجبر وبدايات التحليل ، الصف العاشر (قسمين). كتاب المهام للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) ، أد. أ.موردكوفيتش. -M: Mnemosyne ، 2007.

№№ 22.18, 22.21.

موارد ويب إضافية

1. الرياضيات.

2. مشاكل بوابة الإنترنت. ru.

3. البوابة التعليميةللتحضير للامتحانات.