Открытый урок самостоятельное изучение темы логарифмы. Урок по математике на тему «Свойства логарифмов. Что мудрее всего
"Возьми столько, сколько ты можешь и хочешь,
но не меньше обязательного".
Цели урока:
- знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества;
- уметь применять определение логарифма и основное логарифмическое тождество при решении упражнений;
- познакомиться со свойствами логарифмов;
- научиться различать свойства логарифмов по их записи;
- научиться применять свойства логарифмов при решении заданий;
- закрепить вычислительные навыки;
- продолжить работу над математической речью.
- формировать навыки самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний;
- развивать умение выделять главное при работе с текстом;
- формировать самостоятельность мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия;
- показать учащимся роль систематической работы по углублению и повышению прочности знаний, по культуре выполнения заданий;
- развивать творческие способности учащихся.
Базовые знания:
- определение показательной функции;
- свойства показательной функции;
- определение показательного уравнения, основные методы и приёмы решения показательных уравнений;
Тип урока: сообщение новых знаний.
Методы работы:
- проблемный;
- частично-поисковый.
Виды работ:
- индивидуальная;
- коллективная;
- индивидуально-коллективная;
- фронтальная.
Мотивация познавательной деятельности: на занятии необходимо предоставить учащимся возможность проявить сообразительность, смекалку в формировании навыков самостоятельной работы, работы с учебником, навыков самостоятельного добывания знаний.
Время проведения: 1,5 часа
Оборудование:
- таблица свойств логарифмов;
- текст «Из истории логарифмов»;
- плакаты;
- карточки-задания;
- обучающие карточки;
- набор тестов;
- сигнальные часы;
- ПК учителя, мультимедийный проектор;
- Презентация , содержащая материал для повторения и закрепления теоретических знаний, для отработки навыков практического применения теории к решению упражнений, создания проблемной ситуации, для самоконтроля, содержащая сведения из истории логарифмов
План урока
- Организационный момент. 1 мин.
- Постановка цели. 1 мин.
- Проверка ранее изученного материала 5 мин
- Введение понятия логарифм.
- Определение логарифма. 5 мин
- Историческая справка 10 мин
- Логарифмическая линейка 10 мин
- Основное логарифмическое тождество. 10 мин
- Основные свойства логарифмов 10 мин
- Обобщение и систематизация знаний. 7 мин.
- Домашнее задание. 1 мин.
- Творческое применение знаний, умений и навыков. 25 мин.
- Подведение итогов. 5 мин.
Ход урока:
1. Организационный момент. Приветствие .
2. Постановка цели.
Ребята, сегодня на уроке вам предстоит проверить умения решать простейшие показательные уравнения, чтобы можно было ввести новое для вас понятие, затем познакомимся со свойствами нового понятия; вы должны научиться различать эти свойства по их записи; научиться применять эти свойства при решении заданий.
Будьте собраны, внимательны и наблюдательны. Успехов!
3. Проверка ранее изученного материала. (слайды 1–2)
Учащимся предлагается определить тему урока, решив уравнения
2 х =; 3 х =; 5 х = 1 / 125 ; 2 х = 1 / 4 ;
2 х = 4; 3 х = 81; 7 х = 1 / 7 ; 3 х = 1 / 81
– Назовите новое понятие, с которым мы познакомимся:
| З | М | Л | Г | Е | Р | Ф | О | И | А |
| 5 | – 4 | 2/3 | – 3 | – 2/7 | 2 | – 1 | 1/2 | 4 | – 2 |
4. Введение понятия логарифм. (слайды 3,4)
– Тема нашего урока “Логарифм, его свойства”. Попробуйте найти корень уравнения 2 х = 5. Ответ данного уравнения мы можем записать с помощью нового понятия. Прочитайте текст слайда и запишите корень уравнения.
4.1. Определение логарифма (слайды 5–7)
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.
1) log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100 (определение логарифма и свойства степени),
2) log 5 5 3 = 3, т.к. 5 3 = 5 3 (…),
3) log 4 = –1, т.к. 4 –1 = (…).
4.2. Историческая справка (слайды 8–11)
Из истории логарифмов.
4.3. Логарифмическая линейка
Линейка, бабушка компьютера.
Из истории возникновения логарифма
4.4. Основное логарифмическое тождество (слайды 12-14)
В записи b=a t
число a
является основанием степени, t
- показателем, b
- степенью. Число t
- это показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.
Следовательно, t
- это логарифм числа b
по основанию a
: t=log a b
.
Подставляя в равенстве t=log a b
выражение b
в виде степени, получим еще одно тождество:
log a a t =t .
Можно сказать, что формулы a t =b
и t=log a b
равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, b
и t
(при a>0, a 1, b>0
). Число t
- произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.
Подставляя в равенство a t =b
запись числа t
в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством
:
=b
.
1) (3 2) log 3 7 = (3 log 3 7) 2 = 7 2 = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
2) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3) 2 = 3 2 = 9 (…),
3) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5) 3 = 5 3 = 125 (…),
4) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10) 2 = 10 2 = 100 (…).
4.5 Основные свойства логарифмов (слайд 15)
Вы замечательно справились с примерами. А теперь вычислите следующие задания, записанные на доске:
а) log 15 3 + log 15 5 = …,
б) log 15 45 – log 15 3 = …,
в) log 4 8 =…,
г) 7 = … .
А как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
Если у учащихся возникают затруднения, то задать вопрос: “Чтобы выполнять действия со степенями, что надо знать?” (Ответ: “Свойства степени”). Ещё раз задать первоначальный вопрос. (Свойства логарифмов)
Перед вами таблица со свойствами логарифмов. Надо дать название каждому свойству и правильно сформулировать их”.
Слайд 16
| № | Название свойства логарифмов | Свойства логарифмов |
| 1. | Логарифм единицы. | log a 1 = 0, a > 0, a 1. |
| 2. | Логарифм основания. | log a a = 1, a > 0, a 1. |
| 3. | Логарифм произведения. | log a (xy) = log a x + log a y, a > 0, a 1, x > 0, y>0. |
| 4. | Логарифм частного. | log a = log a x - log a y, a > 0, a 1, x > 0, y > 0. |
| 5. | Логарифм степени. | log a x n = n log a x, x > 0, a > 0, a 1, nR. |
| 6. | Формула перехода к новому основанию | a > 0, a 1, b > 0, b 1, x > 0. |
5. Обобщение и систематизация знаний .
Слайды 17-20
6. Домашнее задание. (слайд 23)
7. Творческое применение знаний, умений и навыков. (слайды 21 – 22)
Работа по карточкам
8. Подведение итогов.
Дайте ответы на вопросы
– Сформулируйте определение логарифма и выполните соответствующую запись.
– Какие виды логарифмов существуют? Выполните их запись.
– Запишите основное логарифмическое тождество.
– Происхождение слова “логарифм”. Кто изобрел логарифмы, в каком году, краткие сведения о них?
– Кто ввел логарифм с основанием е, который называют натуральным логарифмом?
– Из чего возникла практика использования логарифмов?
– Кто и когда изобрел первую логарифмическую линейку, первые таблицы логарифмов?
Слайд 2
Цели урока:
Образовательные: Повторить определение логарифма; познакомиться со свойствами логарифмов; научиться применять свойства логарифмов при решении упражнений.
Слайд 3
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию а,где а >0 и а≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Основное логарифмическое тождество alogab=b (где a>0, a≠1, b>0)
Слайд 4
История возникновения логарифмов
Слово логарифм происходит из двух греческих слов и оно переводится, как отношение чисел. В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили.
Слайд 5
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632). В таблицы Непера вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 900 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамечеными. Непер Джон (1550-1617)
Слайд 6
Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлила ему жизнь. П. С. Лаплас Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.
Слайд 7
Свойства степени
ах · ау = ах +у = ax –y (x)y = ax·y
Слайд 8
Вычислите:
Слайд 9
Проверьте:
Слайд 10
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Слайд 11
Применениеизученного материала
а) log 153 + log 155 = log 15(3 · 5) = log 1515 =1,б) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 в) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6,г) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Стр. 93; № 290,291 - 294, 296* (нечётные примеры)
Слайд 12
Найдите вторую половину формулы
Слайд 13
Проверьте:
Слайд 14
Домашнее задание: 1. Выучить свойства логарифмов 2. Учебник: § 16 стр. 92-93; 3. Задачник: № 290 ,291 ,296 (чётные примеры)
Слайд 15
Продолжите фразу: “Сегодня на уроке я узнал…” “Сегодня на уроке я научился…” “Сегодня на уроке я познакомился…” “Сегодня на уроке я повторил…” “Сегодня на уроке я закрепил…” Урок закончен!
Слайд 16
Используемые учебники и учебные пособия: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник профильного уровня / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. – М.: Мнемозина, 2007. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: задачник профильного уровня / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. – М.: Мнемозина, 2007. Используемая методическая литература: Мордкович А.Г. Алгебра. 10-11: методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2000 (Калининград: Янтарный сказ, ГИПП). Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября».
Тема: «Свойства логарифмов»
Цели урока:
Создать условия для личностной самореализации каждого обучающегося в процессе повторения темы «Свойства логарифмов», способствовать развитию информационных, коммуникативных, образовательных, рефлексивных, здоровьесберегающих компетенций.
Задачи урока :
Расширить представления обучающихся о логарифмах,применении их для преобразования выражений, содержащих логарифмы; применении свойств логарифмов в нестандартных ситуациях;
Способствовать развитию мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций;
Способствовать развитию интереса к истории математики и ее практическим приложениям и математической грамотности речи обучающихся;
Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, диалога.
Оборудование и материалы к уроку: презентация к уроку, мультимедийный проектор, компьютер, экран, карточки с заданиями, раздаточный материал, тест «Преобразование логарифмических выражений»
Тип урока : комбинированный
Форма урока: классно-урочная
Форма работы: групповая, фронтальная, индивидуальная.
Технологии урока : личностно-ориентированная, ИКТ, игровые технологии, технология дифференцированного обучения.
Ход урока:
Организационный момент (приветствие, проверка готовности обучающихся к уроку).
Постановка цели.
Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание древнекитайского философа
Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий и
путь опыта – это путь самый горький.
Конфуций
Значит, на уроке мы будем размышлять, подражать
, т.е. делать по образцу и набираться опыта.
Наша цель обобщить и систематизировать полученные знания по теме «Свойства логарифмов»
3. Устная работа.
Я хочу вампредложить сыграть в морской бой. Я называю букву строки и номер столбца, а вы называете ответ и ищете соответствующую букву в таблице.
Разминка «Морской бой»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
B
C
D
E
F
G
E 6, A 4, F 5, B 9, G 8, F 1, C 4, E 1, D 5 ДЖОН НЕПЕР
Проверка результатов.
Джон Непер - шотландский математик. (Слайд 3)Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». После 25-летних вычислений он опубликовал свои таблицы только в 1614 году. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц». В Непера посетил профессор математики . Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (). Они уже включали десятичные, а не натуральные, логарифмы, и не только синусов, но и самих чисел (от 1 до 1000, с 14 знаками). Логарифм единицы теперь, как положено, был равен нулю.
Уильям Отред - английский математик. (Слайд 4) Известен как изобретатель () и один из создателей современной математической символики. Во всём мире логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала годов, когда они были вытеснены . Отред - автор нескольких стандартных в современной математике обозначений и : Слайд 5
Пьер Лаплас - французский математик. (Слайд 6) Почти четыреста лет прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы. Значение логарифмов трудно переоценить. Они нужны инженеру и астроному, штурману и артиллеристу, всем, кому приходится вести громоздкие вычисления. Совершенно прав великий французский математик и астроном Лаплас, который сказал: «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов» Слайд 7
В подтверждение покажем, как свойства логарифмов упрощают вычисления. Развиваем гибкость ума через решение задач.
4. Обобщение и систематизация знаний.
Сколько красивых формул в этой теме мы встречаем.
Задание: Закончить предложение.
На доске:
Какая в них гармония, красота! Но, в то же время, они не только знаки, в них сконцентрирован огромный смысл!
В Заданиях профильного и базового уровней ЕГЭ обязательно присутствие логарифмических уравнений, неравенств, упрощение логарифмических выражений.
Эти задания я взяла из демоварианта ЕГЭ-2015.
Задания на карточке.
№3.
№4.
№5.
=
Тест.
ТЕСТ 1 состоит из 10 примеров на знание свойств логарифмов. ТЕСТ 2 состоит из 5 примеров на знание свойств логарифмов. Обучающиеся выбирают уровень сложности теста.
Домашнее задание.
Софизм
Софизм (от греч. sophisma - уловка, выдумка, головоломка), рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. Обычно софизм обосновывает какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.
Предлагаю вам проанализировать логарифмический софизм Слайд 18
Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование , тоже не вызывающее сомнений.
Большему значению соответствует больший логарифм, значит,
, т.е.
.
После сокращения на
, имеем 2>3.
Обсуждение, поиск ошибки.
7. Подведение итогов.
Анализ хода урока и его основных моментов.
Оценивание деятельности каждого обучающегося на уроке.
Результаты теста.
8. Домашнее задание.
9. Заключительное слово учителя.
У великого геометра древности Фалеса спросили:
- Что есть больше всего?
- Пространство, - ответил Фалес
- Что мудрее всего?
- Время.
- Что приятнее всего?
- Достичь желаемого.
Через несколько месяцев желания многих из вас сбудутся. Я желаю вам удачи в достижении этих желаний, но не забывайте о том, что желания ваши исполнятся не по волшебству. Вам надо ещё немного потрудиться, бросить все свои силы на подготовку к экзаменам.
Спасибо за сотрудничество.
Найди букву строки и номер столбца, узнай ответ и ищи соответствующую букву в таблице.
E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2
Найди букву строки и номер столбца, узнай ответ и ищи соответствующую букву в таблице.
E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2
Найди букву строки и номер столбца, узнай ответ и ищи соответствующую букву в таблице.
E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2
Найди букву строки и номер столбца, узнай ответ и ищи соответствующую букву в таблице.
E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2
Log 2,5 0,4
а) 4 б) 5 в) 6 г) 4,5
4. Вычислить: log 2 7 – log 2
а) 3 б) 4 в) 1 г) 16
5. Вычислить: 4 2log43
а) 9 б) 1 в) 6 г) 8
6. Вычислить: log 0,3 9 – 2log 0,3 10
а) 2 б) 1 в) – 2 г) 90
7. Вычислить: log 12 – log 12 9
а) 1 б) 2 в) – 2 г) 12
8. Вычислить: 2 log23 + log 7 2 – log 7 14
а) 2 б) 7 в) (2 + 2log 7 2) г) 3
9. Вычислить: log 125 5 – log √2 + log 2,5 0,4
а) 4 б) – 3,5 в) 0 г) 4/3
10. Вычислить: 6 log50,2 +log615
а) 2,5 б) 15log 5 0,2 в) 5/6 г) 15
Тема урока: Логарифмы и их свойства.
Цель урока:
- Образовательная – сформировать понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.
- Развивающая – развивать логическое мышление; технику вычисления; умение рационально работать.
- Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.
Тип урока : Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа,10-11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др., Просвещение, 2014.
Ход урока:
1. Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку .
2. Повторение пройденного материала.
Вопросы учителя:
1) Дать определение степени. Что называется основанием и показателем? (Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а . 3 4 = 81.)
2) Сформулируйте свойства степени.
3. Изучение новой темы.
Тема сегодняшнего урока - Логарифмы и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).
На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов.
Зададим вопрос:
1) В какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 25, равен 2.
2) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 27? Очевидно, в третью. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 27, равен 3.
Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.
Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log 5 25=2
Эта запись читается так: «Логарифм числа 25 по основанию 5». Логарифм числа 25 по основанию 5- это показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. Этот показатель равен 2.
Аналогично разберём второй пример.
Дадим определение логарифма.
Определение . Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b .
Логарифмом числа b по основанию a обозначается log a b.
История возникновения логарифма:
Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).
Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».
С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением – нашей десятичной системой нумерации.
Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы созданы ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.
Рассмотрим примеры:
log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2;
Log 5 1/125 =-3; log -2 (-8)- не существует; log 5 1=0; log 4 4=1
Рассмотрим такие примеры:
1 0 . log a 1=0, а>0, a ≠ 1;
2 0 . log a а=1, а>0, a ≠ 1.
Эти две формулы являются свойствами логарифма. Ими можно пользоваться при решении задач.
Как перейти из логарифмического равенства к показательному? log а b=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b . Следовательно, а степени с равен b: а с = b.
Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b. (Доказательство приводит учитель на доске).
Рассмотрим пример.
5 log 5 13 =13
Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов.
Свойства логарифмов:
3°. log а ху = log а х + log а у.
4°. log а х/у = log а х - log а у.
5°. log а х p = p · log а х, для любого действительного p.
Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:
log 2 8 + log 2 16= log 2 8∙16= log 2 128=7
3 +4 = 7
Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:
3 ∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9
3∙3 = 9
4.Закрепление.
Задание 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):
- log 6 6
- log 0,5 1
- log 6 3+ log 6 2
- log 3 6- log 3 2
- log 4 4 8
Задание 2.
Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.
- log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
- log 5 5 3 = 2;
- log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
- 3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
- log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
- 2∙log 5 6 = log 5 12
- 3∙log 2 3 = log 2 27
- log 2 16 2 = 8.
Тема урока: «Логарифмы. Свойства логарифмов».
Цель урока: Повторить, закрепить знания теоретического материала по теме. Продолжить формирование практических умений при решении задач. Проверить знания учащихся по данной теме.
Тип урока: Урок – закрепление.
Оборудование: Карточки задания для устной работы, карточки на два варианта с тестовыми заданиями, плакаты со свойствами логарифмов, плакат «Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь»П.С. Лаплас.
Ход урока
1.Организационный момент.
2.Теоретический опрос:
Что называется логарифмом положительного числа b по основанию a?
Как называется действие нахождения логарифма числа?
- Запишите основное логарифмическое тождество.
Чему равен log a a?
Чему равен log a 1?
Сформулировать свойства: log a (b . c), .
3. Устная работа.
1) Вычислить, пользуясь определением логарифма:
log 2 8; log 4 16; 
;
2) Вычислить, используя основное логарифмическое тождество:
.
3) Найдите значение выражения, используя свойства логарифмов:
4) Решите уравнение:
5) Выясните, при каких значениях x имеет смысл выражение:
4. Работа по учебнику.
№284(3). Выяснить, при каких значениях x имеет смысл выражение:
.
Так как 
то логарифм существует при x 3 +x 2 -6x0.
Решим неравенство методом интервалов:
Ответ: Данный логарифм существует при -3xx0.
№ 286(1). Решить уравнение 
Обозначим 7 x =t, t0, получим
t 2 +t-12=0, t 1 =-4 не удовлетворяет условию задачи.
t 2 =3, 7 x =3 отсюда 
.
Ответ: .
№298(1). Вычислить: .
Дополнительное задание: №300(1).
Выразить через a и b: 
, если
отсюда 
.
Ответ: 2(a+b-1).
5. Историческая страничка о логарифмах.
Изобретение логарифмов, название их и первые таблицы логарифмов принадлежат шотландскому любителю математики Джону Неперу (1550-1617), хотя раньше первые таблицы логарифмов составил также любитель математики – часовщик и мастер астрономических приборов швейцарец И.Бюрги (1552-1632). Однако таблицы Бюрги опубликованы в 1620г., а таблицы Непера появились в 1614г. Эти талантливые люди занимались вычислением логарифмических таблиц параллельно, но независимо один от другого.
Из различных сиcтем логарифмов замечательны две: логарифмы с иррациональным основанием e≈2,7, которые носят название натуральных и логарифмы с основанием 10, называемые десятичными. Термин «натуральные логарифмы» ввел П.Менголли в 1659г. Принятое ныне определение логарифма дано в работах Л.Эйлера.
В 1620г. англичанин Джон Спейдель опубликовал «Новые логарифмы», которые содержали натуральные логарифмы чисел от 1 до 1000. В 1624г. профессор Генри Бриггс опубликовал в «Логарифмической арифметике» четырёхзначные десятичные логарифмы, которые содержали целые числа от 1 до 20000. В 1628г. голландский математик Андриан Влакк дополнил труды Непера и Бриггса – он издал десятичные таблицы целых чисел от 1 до 100000.
На основе этих таблиц в 1703г. были напечатаны в России «Таблицы логарифмов» Леонтия Магницкого.
Таблицы логарифмов и логарифмическая линейка, сконструированная на их основе Оутредом (1574-1660), свыше 350 лет оставались надежным аппаратом для приближённых, но быстрых вычислений многие годы.
6. Самостоятельная работа.
Тест «Логарифмы. Свойства логарифмов» на 2 варианта.
| Вариант 1. 1.Вычислите:
a)1 б)2 в)3 г)4 Вычислите:
а)-1 б) 1 в) 0 г) 2 3. Решите уравнение:
а) 1 б) в) 4. Вычислите: а)0,5 б)-0,5 в) 1,5 г)1,5 5. Найдите а)3a+2b б)2a+3b в)a-b г)a+b 6. Вычислите:
| Вариант 2. 1.Вычислите:
a)2 б)3 в)1 г)4 Вычислите:
а)2 б) 16 в) 14 г) 3 3. Решите уравнение:
а) б)3 в) 1г) 4. Вычислите: а)1,5 б)1 в) -1,5 г)-1 5. Найдите а)3a+2b б)2a+3b в)a-b г)a+b 6. Вычислите:
а) б) в) |
г)
, если
, если
г)| № задания | ||||||
| I вариант | ||||||
| II вариант |
7. Итог урока.
Домашнее задание: п.15-п.16, №284(4), 286(4), 298(4)
Литература.
Алгебра и начала анализа 10-11. Ш.А. Алимов.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. Б.М.Ивлев и другие 1991г.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10-11 класс. Л.О.Денищева и другие. 1996г.
История математики в школе. Г.И.Глейзер. 1983г.