Арифметическая прогрессия. Урок по алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии" (9 класс) Арифметическая прогрессия примеры с решением 9

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d .

Так, числовая последовательность а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; а 5 ; … а n будет являться арифметической прогрессией, если а 2 = а 1 + d;

а 3 = а 2 + d;

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом а n . Записывают: дана арифметическая прогрессия {a n } .

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a 1 и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1. 1; 3; 5; 7; 9;… Здесь а 1 = 1; d = 2.

Пример 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;… Здесь а 1 = 8; d =-3.

Пример 3. -16; -12; -8; -4;… Здесь а 1 = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5): 2 ; т.е. а 2 = (а 1 +а 3): 2; третий член 5 =(3+7): 2;

т. е. а 3 = (а 2 +а 4): 2.

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся примеру 2 . Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и седьмого членов (а 1 = 8, а 7 = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d ; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d ; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а 2 = а 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Полученную формулу a n = a 1 + (n -1) d (***)

называют формулой n -го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через S n .

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n и

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Сложим почленно эти два равенства:

2S n = (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2S n = n· (a 1 + a n).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Если заменим а n значением а 1 + (n-1) d по формуле (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

Русский ученый, механик Н.Е. Жуковский

Весьма распространенными задачами на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием арифметической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства арифметической прогрессии и иметь определенные навыки их применения.

Предварительно напомним основные свойства арифметической прогрессии и приведем наиболее важные формулы , связанные с этим понятием.

Определение. Числовая последовательность , в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число , называется арифметической прогрессией. При этом число называется разностью прогрессии.

Для арифметической прогрессии справедливы формулы

, (1)

где . Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и .

Отметим, что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «арифметической».

Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:

(3)

Для вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии обычно применяется формула

(5) где и .

Если принять во внимание формулу (1 ), то из формулы (5) вытекает

Если обозначить , то

где . Так как , то формулы (7) и (8) являются обобщением соответствующих формул (5) и (6).

В частности , из формулы (5) следует , что

К числу малоизвестных большинству учащихся относится свойство арифметической прогрессии, сформулированное посредством следующей теоремы.

Теорема. Если , то

Доказательство. Если , то

Теорема доказана.

Например , используя теорему , можно показать , что

Перейдем к рассмотрению типовых примеров решения задач на тему «Арифметическая прогрессия».

Пример 1. Пусть и . Найти .

Решение. Применяя формулу (6), получаем . Так как и , то или .

Пример 2. Пусть в три раза больше , а при делении на в частном получается 2 и в остатке 8. Определить и .

Решение. Из условия примера вытекает система уравнений

Так как , , и , то из системы уравнений (10) получаем

Решением данной системы уравнений являются и .

Пример 3. Найти , если и .

Решение. Согласно формуле (5) имеем или . Однако, используя свойство (9), получаем .

Так как и , то из равенства вытекает уравнение или .

Пример 4. Найти , если .

Решение. По формуле (5) имеем

Однако, используя теорему, можно записать

Отсюда и из формулы (11) получаем .

Пример 5 . Дано: . Найти .

Решение. Так как , то . Однако , поэтому .

Пример 6. Пусть , и . Найти .

Решение. Используя формулу (9), получаем . Поэтому, если , то или .

Так как и , то здесь имеем систему уравнений

Решая которую, получаем и .

Натуральным корнем уравнения является .

Пример 7. Найти , если и .

Решение. Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений

Если подставить выражение во второе уравнение системы , то получим или .

Корнями квадратного уравнения являются и .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть , тогда . Поскольку и , то .

В таком случае, согласно формуле (6), имеем

2. Если , то , и

Ответ: и .

Пример 8. Известно, что и . Найти .

Решение. Принимая во внимание формулу (5) и условие примера, запишем и .

Отсюда следует система уравнений

Если первое уравнение системы умножим на 2, а затем сложим его со вторым уравнением, то получим

Согласно формуле (9) имеем . В этой связи из (12) вытекает или .

Поскольку и , то .

Ответ: .

Пример 9. Найти , если и .

Решение. Поскольку , и по условию , то или .

Из формулы (5) известно , что . Так как , то .

Следовательно , здесь имеем систему линейных уравнений

Отсюда получаем и . Принимая во внимание формулу (8), запишем .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Из заданного уравнения следует, что . Положим, что , , и . В таком случае .

Согласно формуле (1), можно записать или .

Так как , то уравнение (13) имеет единственный подходящий корень .

Пример 11. Найти максимальное значение при условии, что и .

Решение. Так как , то рассматриваемая арифметическая прогрессия является убывающей. В этой связи выражение принимает максимальное значение в том случае, когда является номером минимального положительного члена прогрессии.

Воспользуемся формулой (1) и тем фактом , что и . Тогда получим , что или .

Поскольку , то или . Однако в этом неравенстве наибольшее натуральное число , поэтому .

Если значения , и подставить в формулу (6), то получим .

Ответ: .

Пример 12. Определить сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на число 6 дают в остатке 5.

Решение. Обозначим через множество всех двузначных натуральных чисел, т.е. . Далее, построим подмножество , состоящее из тех элементов (чисел) множества , которые при делении на число 6 дают в остатке 5.

Нетрудно установить , что . Очевидно , что элементы множества образуют арифметическую прогрессию , в которой и .

Для установления мощности (числа элементов) множества положим, что . Так как и , то из формулы (1) следует или . Принимая во внимание формулу (5), получим .

Приведенные выше примеры решения задач ни в коем случае не могут претендовать на исчерпывающую полноту. Настоящая статья написана на основе анализа современных методов решения типовых задач на заданную тему. Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с арифметической прогрессией, целесообразно обратиться к списку рекомендуемой литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.

3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Тема

Арифметическая прогрессия

ЦЕЛЬ :

• научить узнавать арифметическую прогрессию, используя её определение и признак;
• научить решать задачи, используя определение, признак, формулу общего члена прогрессии.

ЗАДАЧИ УРОКА:

дать определение арифметической прогрессии, доказать признак арифметической прогрессии и научить применять их в решении задач.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

актуализация знаний учащихся, самостоятельная работа, индивидуальная работа, создание проблемной ситуации.

СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ:

ИКТ, проблемное обучение, дифференцированное обучение, здоровьесберегающие технологии.

ПЛАН УРОКА

ХОД УРОКА:

1. На прошлом уроке мы познакомились с понятием «Последовательность».

Сегодня продолжим изучать числовые последовательности, дадим определение некоторым из них, познакомимся с их свойствами и признаками.

1. Ответьте на вопросы: Что такое последовательность?

Какие последовательности бывают?

Какими способами можно задать последовательность?

Что такое числовая последовательность?

Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? Какая формула называется рекуррентной?

1. Даны числовые последовательности:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Найдите закономерность каждой последовательности и назовите следующие три члена каждой из них.

1. a n = a n -1 +1
2. a n = a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n = a n -1 + 0,5

Назовите рекуррентную формулу для каждой последовательности.

Слайд 1

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия это числовая последовательность, поэтому может быть возрастающей, убывающей, постоянной. Приведите примеры таких последовательностей, назовите разность каждой прогрессии, сделайте вывод.

Выведем формулу общего члена арифметической прогрессии.

На доске: пусть а 1 -первый член прогрессии, d-её разность, тогда

а 2 =а 1 +d

а 3 =(а 1 +d)+d=a 1 +2d

а 4 =(а 1 +2d)+d=a 1 +3d

a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d

a n =a 1 +d (n-1) - формула п-ого члена арифметической прогрессии.

Решите задачу: В арифметической прогрессии первый член равен 5, а разность равна 4.

Найдите 22 член этой прогрессии.

Ученик решает на доске: а n =a 1 +d(n-1)

A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89

Физкультминутка.

Встали.

Руки на поясе. Наклоны влево, вправо, (2 раза);

Наклоны вперёд, назад (2 раза);

Подняли руки вверх, глубокий вдох, опустили руки вниз, выдох. (2 раза)

Встряхнули кисти рук. Спасибо.

Сели. Продолжаем урок.

Решаем задачи на применение формулы общего члена арифметической прогрессии.

Учащимся предлагаются следующие задачи:

1. В арифметической прогрессии первый член равен -2, d=3, a n =118.

Найти n.

1. В арифметической прогрессии первый член равен 7, пятнадцатый член равен –35. Найти разность.
2. Известно, что в арифметической прогрессии d=-2, a39=83. Найти первый член прогрессии.

Учащиеся разделены на группы. Задание даётся на 5 минут. Далее первые 3 ученика, решившие задачи, решают их на доске. Решение дублируется на слайдах.

Рассмотрим характеристические свойства арифметической прогрессии.

В арифметической прогрессии

a n -d=a (n-1)

a n +d=a (n+1)

Cложим почленно эти два равенства, получим: 2а n =a (n+1) +a (n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2

Это значит, что каждый член арифметической прогрессии, кроме первого и последнего равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

ТЕОРЕМА:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего- в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).