Непрерывность функции на отрезке.
Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.
Функция f (x) называется непрерывной на интервале (a , b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a , b ], если она непрерывна на интервале (a , b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .
Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .
Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)
Множество функций, непрерывных на отрезке [ a , b ] обозначается символом C [ a , b ].
Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
Теорема 1
( об ограниченности непрерывной функции ).
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что "
x О
[ a , b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C .
Теорема 2
(Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m , т.е. существуют точки α , β О
[ a , b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О
[ a , b ] (рис.2).
Наибольшее значение M обозначается символом max x О
[ a , b ]
f (x), а наименьшее значение m — символом min x О
[ a , b ]
f (x).
Теорема 3
(о существовании нуля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a , b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX
(рис.3).
f (x) = 0, | (1) |
Определение . Если функция f (x ) определена на отрезке [a, b ], непрерывна в каждой точке интервала (a, b ), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ].
Другими словами, функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], если выполнены три условия:
1) "x 0 Î(a, b ): f (x ) = f (x 0);
2) f (x ) = f (a );
3) f (x ) = f (b ).
Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств.
Теорема 1 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.
Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b ] найдется такая точка x 1 , что f (x 1) £ f (x ) для любых x из [a, b ] и что найдется точка x 2 (x 2 Î[a, b ]) такая, что "x Î[a, b ] (f (x 2) ³ f (x )).
Значение f (x 1) является наибольшим для данной функции на [a, b ], а f (x 2) – наименьшим. Обозначим: f (x 1) = M , f (x 2) = m . Так как для f (x ) выполняется неравенство: "x Î[a, b ] m £ f (x ) £ M , то получаем следующее следствие из теоремы 1.
Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b ] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], в которой функция обращается в 0, т.е. $x 0 Î (a, b ) (f (x 0) = 0).
Эта теорема утверждает, что график функции y = f (x ), непрерывной на отрезке [a, b ], пересекает ось Ox хотя бы один раз, если значения f (a ) и f (b ) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f (a ) > 0, f (b ) < 0 и функция f (x ) обращается в 0 в точках x 1 , x 2 , x 3 .
Теорема 3 . Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], f (a ) = A , f (b ) = B и A ¹ B . (рис. 1.17). Тогда для любого числа C , заключенного между числами A и B , найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], что f (x 0) = C .
Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], m – наименьшее значение f (x ), M – наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a, b ], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m , заключенное между m и M , а потому отрезок [m, M ] является множеством всех значений функции f (x ) на отрезке [a, b ].
Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b ) или имеет на отрезке [a, b ] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными.
В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции.
![]() |
Теорема 4 . Пусть f (x ) непрерывна на промежутке X , возрастает (или убывает) на X и имеет множеством значений промежуток Y . Тогда для функции y = f (x ) существует обратная функция x = j (y ), определенная на промежутке Y , непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y с множеством значений X .
Замечание . Пусть функция x = j (y ) является обратной для функции f (x ). Так как обычно аргумент обозначают через x , а функцию через y , то запишем обратную функцию в виде y = j (x ).
Пример 1 . Функция y = x 2 (рис. 1.8, а) на множестве X = .
Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.
На открытом интервале
На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .
На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.
На бесконечности
В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .
На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.
Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.
Находим производную функции по :
Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .
Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .
Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1
, x=2
и x=4
:
Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1
, а наименьшее значение
– при x=2
.
Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1]
(так как он не содержит ни одной стационарной точки):
Решение.
Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:
Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.
Продифференцируем функцию:
Очевидно, производная существует на всей области определения функции.
Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2) .
А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.
На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов.
Определение
3
.
3
Пусть --
некоторая функция, --
её область определения и --
некоторый (открытый) интервал (может
быть, с и/или ) 7
.
Назовём функцию непрерывной
на интервале
,
если непрерывна
в любой точке ,
то есть для любого существует (в
сокращённой записи:
Пусть
теперь --
(замкнутый) отрезок в .
Назовём функцию непрерывной
на отрезке
,
если непрерывна
на интервале ,
непрерывна справа в точке и
непрерывна слева в точке ,
то есть
Пример
3
.
13
Рассмотрим функцию (функция
Хевисайда
) на
отрезке , .
Тогда непрерывна
на отрезке (несмотря
на то, что в точке она
имеет разрыв первого рода).
Рис.3.15.График функции Хевисайда
Аналогичное
определение можно дать и для полуинтервалов
вида и ,
включая случаи и .
Однако можно обобщить данное определение
на случай произвольного подмножества следующим
образом. Введём сначала
понятие индуцированной
на базы:
пусть --
база, все окончания которой
имеют непустые пересечения с .
Обозначим через и
рассмотрим множество всех .
Нетрудно тогда проверить, что
множество будет
базой. Тем самым для определены
базы , и ,
где , и --
базы непроколотых двусторонних
(соответственно левых, правых) окрестностей
точки (их
определение см. в начале текущей главы).
Определение
3
.
4
Назовём функцию непрерывной
на множестве
,
если
Нетрудно видеть, что тогда при и при это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.
Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.
Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:
Теорема
3
.
5
Пусть
и
--
функции и
--
интервал или отрезок, лежащий в
.
Пусть
и
непрерывны
на
.
Тогда функции
,
,
непpеpывны
на
.
Если вдобавок
пpи
всех
,
то функция
также
непpеpывна на
.
Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:
Предложение 3 . 4 Множество всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке -- это линейное пpостpанство:
Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.
Теорема 3 . 6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).
Доказательство
.
Рассмотрим середину отрезка .
Тогда либо ,
либо ,
либо .
В первом случае корень найден: это .
В остальных двух случаях рассмотрим ту
часть отрезка, на концах которой
функция принимает
значения разных знаков: в
случае или в
случае .
Выбранную половину отрезка обозначим
через и
применим к ней ту же процедуру: разделим
на две половины и ,
где ,
и найдём .
В случае корень
найден; в случае рассматриваем
далее отрезок ,
в случае --
отрезок
и
т. д.
Рис.3.16.Последовательные деления отрезка пополам
Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков
в
которой каждый следующий отрезок вдвое
короче предыдущего. Последовательность --
неубывающая и ограниченная сверху
(например, числом );
следовательно (по теореме
2.13),
она имеет предел .
Последовательность --
невозрастающая и ограниченная снизу
(например, числом );
значит, существует предел .
Поскольку длины отрезков образуют
убывающую геометрическую прогрессию
(со знаменателем ),
то они стремятся к 0, и
,
то есть .
Положим теперь .
Тогда
и
поскольку
функция непрерывна.
Однако, по построению
последовательностей и , и ,
так что, по теореме о переходе к пределу
в неравенстве (теорема 2.7), и ,
то есть и .
Значит, ,
и --
корень уравнения .
Пример
3
.
14
Рассмотрим функцию на
отрезке .
Поскольку и --
числа разных знаков, то функция обращается
в 0 в некоторой точке интервала .
Это означает, что уравнение имеет
корень .
Рис.3.17.Графическое представление корня уравнения
Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это -- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.
Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень -- единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).
Рис.3.18.Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка
Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень -- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.
Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня
Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.
Теорема 3 . 7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке и (будем для определённости считать, что ). Пусть -- некоторое число, лежащее между и . Тогда существует такая точка , что .
Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение
Доказательство
.
Рассмотрим вспомогательную функцию ,
где
.
Тогда
и
.
Функция ,
очевидно, непрерывна, и по предыдущей
теореме существует такая точка ,
что .
Но это равенство означает, что .
Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда (см. пример 3.13) принимает значения , , но нигде, в том числе и на интервале , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке , лежащей как раз в интервале .
Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества (то есть такого, что при всех и некотором ; число называется нижней гранью множества ) имеется точная нижняя грань , то есть наибольшее из чисел , таких что при всех . Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань : это наименьшая из верхних граней (для которых при всех ).
Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества
Если , то существует невозрастающая последовательность точек , которая стремится к . Точно так же если , то существует неубывающая последовательность точек , которая стремится к .
Если
точка принадлежит
множеству ,
то является
наименьшим элементом этого множества: ;
аналогично, если ,
то .
Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма 3 . 1 Пусть -- непрерывная функция на отрезке , и множество тех точек , в которых (или , или ) не пусто. Тогда в множестве имеется наименьшее значение , такое что при всех .
Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение
Доказательство . Поскольку -- ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , , такая что при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,
а с другой стороны, вследствие непрерывности функции ,
Значит, , так что точка принадлежит множеству и .
В случае, когда множество задано неравенством , мы имеем при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем
откуда , что означает, что и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт
откуда , и .
Теорема 3 . 8 (об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех .
Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена
Доказательство . Предположим обратное: пусть не ограничена, например, сверху. Тогда все множества , , , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств имеется наименьшее значение , . Покажем, что
Действительно, .
Если какая-либо точка из ,
например ,
лежит между и ,
то
то
есть --
промежуточное значение между и .
Значит, по теореме о промежуточном
значении непрерывной функции, существует
точка ,
такая что ,
и .
Но ,
вопреки предположению о том, что --
наименьшее значение из множества .
Отсюда следует, что при
всех .
Точно
так же далее доказывается, что при
всех , при
всех ,
и т. д. Итак, --
возрастающая последовательность,
ограниченная сверху числом .
Поэтому существует .
Из непрерывности функции следует,
что существует ,
но
при ,
так что предела не существует. Полученное
противоречие доказывает, что
функция ограничена
сверху.
Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.
Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию
на
отрезке .
Эта функция не ограничена на отрезке,
так как при имеет
точку разрыва второго рода, такую
что при .
Также нельзя заменить в условии теоремы
отрезок интервалом или полуинтервалом:
в качестве примера рассмотрим ту же
функцию на
полуинтервале .
Функция непрерывна на этом полуинтервале,
но неограничена, вследствие того
что при .
Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.
Теорема
3
.
9
(о
достижении экстремума непрерывной
функцией) Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
.
Тогда существует точка
,
такая что
при
всех
(то
есть
--
точка минимума:
),
и существует точка
,
такая что
при
всех
(то
есть
--
точка максимума:
).
Иными словами, минимальное и
максимальное
8
значения
непрерывной функции на отрезке существуют
и достигаются в некоторых точках
и
этого
отрезка.
Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума
Доказательство
.
Так как по предыдущей теореме
функция ограничена
на сверху,
то существует точная верхняя грань
значений функции на --
число .
Тем самым, множества , ,..., ,...,
не пусты, и по предыдущей лемме в них
есть наименьшие значения :
, .
Эти не
убывают (доказывается это утверждение
точно так же, как в предыдущей теореме):
и
ограничены сверху числом .
Поэтому, по теореме о пределе монотонной
ограниченной последовательности,
существует предел Так
как ,
то и
по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех , и в том числе . Отсюда получается, что , то есть максимум функции достигается в точке .
Аналогично доказывается существование точки минимума.
В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
на
отрезке .
Эта функция ограничена на отрезке
(очевидно, что )
и ,
однако значение 1 она не принимает
ни в одной точке отрезка (заметим, что ,
а не 1). Дело в том, что эта функция имеет
разрыв первого рода в точке ,
так что при предел не
равен значению функции в точке 0.
Далее, непрерывная функция, заданная
на интервале или другом множестве, не
являющемся замкнутым отрезком (на
полуинтервале, полуоси) также может не
принимать экстремального значения. В
качестве примера рассмотрим функцию на
интервале .
Очевидно, что функция непрерывна и
что и ,
однако ни значения 0, ни значения 1
функция не принимает ни в какой точке
интервала .
Рассмотрим также функцию
на
полуоси .
Эта функция непрерывна на ,
возрастает, принимает своё минимальное
значение 0 в точке ,
но не принимает ни в какой точке
максимального значения (хотя ограничена
сверху числом и
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.
Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a , b ], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b , непрерывна соответственно справа и слева.
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a , b ], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.
Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ], то найдётся хотя бы одна точка x 1 Î [a , b ] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x 1) ≥ f(x) . Аналогично найдётся такая точка x 2 , в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x 1) ≤ f(x) .
Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x 2 и x 2 ".
Замечание . Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a , b ). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.
Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.
Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a , b ], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка x = C , в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x) , соответствующие концам отрезка [a , b ] лежат по разные стороны от оси Ox , то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox . Разрывные функции этим свойством могут не обладать.
Эта теорема допускает следующее обобщение.
Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ] и f(a) = A , f(b) = B . Тогда для любого числа C , заключённого между A и B , найдётся внутри этого отрезка такая точка C Î [a , b ], что f(c) = C .
Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x) . Пусть f(a) = A , f(b) = B . Тогда любая прямая y = C , где C – любое число, заключённое между A и B , пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C , при котором f(c) = C .
Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:
Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента x из этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.
Рассмотрим два значения аргумента: исходное x 0 и новое x .
Разность x– x 0 называется приращением аргумента x в точке x 0 и обозначается Δx . Таким образом, Δx = x – x 0 (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x 0 +Δx , т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x 0 значение функции было f(x 0 ), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x 0 +Δx) .
Разность y – y 0 = f(x) – f(x 0 ) называется приращением функции y = f(x) в точке x 0 и обозначается символом Δy . Таким образом,
Δy = f(x) – f(x 0 ) = f(x 0 +Δx) - f(x 0 ) . | (1) |
Обычно исходное значение аргумента x 0 считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y 0 = f(x 0 ) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δx также будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx .
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента
Найдем предел этого отношения при Δx →0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x 0 и обозначают f "(x 0). Итак,
Производной данной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx , когда последнее произвольным образом стремится к нулю.
Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках x может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x . Эта функция обозначается f "(x )
Производная обозначается символами f "(x),y ", . Конкретное значение производной при x = a обозначается f "(a ) или y "| x=a .
Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.
Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило :
Примеры.
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t , где s – путь, пройденный к моменту времени t , v – скорость равномерного движения.
Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t , т.е. будет функцией времени.
Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).
Отметим некоторый момент времени t 0 . К этому моменту точка прошла путь s=s(t 0 ). Определим скорость v материальной точки в момент времени t 0 .
Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t 0 + Δt . Ему соответствует пройденный путь s=s(t 0 + Δt ). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t 0 + Δt) –s(t).
Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt . Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t 0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt .
Итак, скоростью движения в данный момент времени t 0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t 0 до t 0 +Δt , когда Δt →0:
,
т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М 0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M 0 M . Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М 0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М 0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М 0 Т , то прямая М 0 Т называется касательной к кривой в данной точке М 0 .
Т.о., касательной к кривой в данной точке М 0 называется предельное положение секущей М 0 М , когда точка М стремится вдоль кривой к точке М 0 .
Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х 0 функция принимает значение y 0 =f(x 0). Этим значениям x 0 и y 0 на кривой соответствует точка М 0 (x 0 ; y 0). Дадим аргументу x 0 приращение Δх . Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y 0 +Δ y=f(x 0 –Δx) . Получаем точку М(x 0 +Δx ; y 0 +Δy). Проведем секущую М 0 М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox . Составим отношение и заметим, что .
Если теперь Δx →0, то в силу непрерывности функции Δу →0, и поэтому точка М , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М 0 . Тогда секущая М 0 М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М 0 , а угол φ→α при Δx →0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox . Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:
т.е. f "(x) = tg α .
Т.о., геометрически у "(x 0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x 0 , т.е. при данном значении аргумента x , производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М 0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.
Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х 2 в точке М (-1; 1).
Ранее мы уже видели, что (x 2)" = 2х . Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y "| x=-1 = – 2.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x 0 , если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а ; b ] или интервала (а ; b ), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а ; b ] или соответственно в интервале (а ; b ).
Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.
Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x 0 , то она в этой точке непрерывна.
Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.
Доказательство
. Если
, то
,
где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx →0. Но тогда
Δy =f "(x 0 ) Δx +αΔx => Δy →0 при Δx →0, т.е f(x) – f(x 0) →0 при x →x 0 , а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x 0 . Что и требовалось доказать.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).
Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.
В точке a при Δx →0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx →0–0 и Δx →0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к 1 и к 2 . Такой тип точек называют угловыми точками.
В точке b при Δx →0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.
В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.
mstone.ru - Творчество, стихи, подготовка к школе