Сложение пар сил в пространстве. Сложение пар сил в пространстве Что следует из первой теоремы пары сил

Справедливость выводов, сделанных в конце § 9, можно доказать непосредственно.

Рассмотрим действующую на твердое тело пару сил F, F. Проведем в ллоскости действия этой пары через произвольные точки D и Е две параллельные прямые до пересечения их с линиями действия сил F, F в точках А и В (рис. 34) и приложим силы F, F в этих точках (первоначально F и F могли быть приложены в любых других точках на их линиях действия). Разложим теперь силу F по направлениям АВ и ЕВ на силы - по направлениям В А и AD на силы Q и Р. Очевидно при этом, что Силы Q и Q, как уравновешенные, можно отбрисить. В результате пара сил F, F будет заменена парой Р, Р с другим плечом и другими силами, которые можно, очевидно, приложить в точках D, Е на их линиях действия. При этом в силу произвольности в выборе точек D, Е и направлений прямых AD и BE пара Р, Р может оказаться расположенной в плоскости ее действия где угодно f? положение, при котором силы Р и Р параллельны F, пару можно привести, проделав указанное преобразование дважды).

Покажем в заключение, что пары имеют одинаковые моменты. Обозначим эти моменты соответственно через где согласно формуле Так как то но (см. подстрочное примечание на с. 32) и, следовательно,

Из доказанного вытекают следующие свойства пары сил:

1) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;

2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.

Можно доказать, что пара сил обладает еще одним достаточно очевидным свойством (доказательство опускаем):

3) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.

Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности пар). Это следует из того, что указанными операциями, т. е. путем изменения плеча и перемещения пары в плоскости действия или переноса в параллельную плоскость, пары с одинаковыми моментами могут быть преобразованы одна в другую.

Теперь докажем теорему о сложении пар: система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Рассмотрим сначала две пары с моментами лежащие в плоскостях (рис. 35). Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок и изобразим пару с моментом силами а пару с моментом - силами (при этом, конечно, ).

Сложив силы, приложенные в точках А и В, убеждаемся, что пары действительно эквивалентны одной паре найдем момент М этой пары. Так как то или согласно формуле

Для двух пар теорема доказана; при этом очевидно, что доказательство сохранится и в случае, когда плоскости и II сливаются (слагаемые пары лежат в одной плоскости).

Если на тело действует система пар с моментами то последовательно применяя результат, полученный для двух пар, найдем, что данная система пар будет действительно эквивалентна одной паре с моментом

Л Е К Ц И Я 4

ПАРА СИЛ. СЛОЖЕНИЕ ПАР СИЛ.

1.Пара сил и ее основные свойства.

Парой сил называется система двух параллельных, равных по модулю и противоположно направленных сил.

Плоскость, в которой расположены силы, образующие пару, называется плоскостью действия пары сил.

Кратчайшее расстояние между линиями действия пары сил называется плечом пары.

Свойства пары сил.

1. Пара сил не имеет равнодействующей.

2. Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю..

3. Сумма моментов сил, образующих пару, не зависит от выбора моментной точки.

Основная характеристика пары сил – это для плоской системы сил алгебраический момент и для пространственной системы векторный момент пары.

Алгебраическим моментом пары сил называется скалярная величина, равная взятому со знаком плюс или минус произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Знак плюс берем в том случае, если пара сил стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и минус – если по часовой стрелке.

Векторный момент пары сил – это свободный вектор, перпендикулярный плоскости действия пары сил, направленный так, чтобы, глядя ему навстречу, видеть стремление пары сил повернуть тело против хода часовой стрелки и равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.

2. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПАРАХ СИЛ.

Теорема 1. Две пары сил, расположенные в одной плоскости и имеющие геометрически равные векторные моменты, эквивалентны между собой.

Теорема 2. Две пары сил, расположенные в параллельных плоскостях и имеющие геометрически равные векторные моменты, эквивалентны между собой.

Следствие 1. Действие пары сил на тело не изменится, если пару перенести в плоскости действия, повернуть, сохраняя неизменным ее векторный момент.

Следствие 2. Не изменяя векторного момента пары сил на тело, можно изменять модули сил, образующих пару, ее плечо.

Следствие 3. Действие пары сил на тело не изменится, если пару перенести в параллельную плоскость, сохраняя неизменным ее векторный момент.

В связи с этим пару сил в плоскости изображаем дуговой стрелкой, а в пространстве – векторным моментом

3. СЛОЖЕНИЕ ПАР СИЛ

Теорема 1. Две пары сил, расположенные в одной плоскости, можно заменить одной эквивалентной парой, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов слагаемых пар сил.

Теорема 2. Две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов слагаемых пар сил.

Теорема 3. Действие системы « n » пар сил на тело можно заменить одной эквивалентной парой, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов слагаемых пар сил.

10. Свойства пар сил. Эквивалентность пар. Теоремы об эквивалентности пар.

Свойства пар сил:

Не изменяя действия на тело пару сил можно поворачивать в плоскости действия и переносить в любое место этой плоскости

Можно изменять модули сил, составляющих пару и плечо пары, но таким образом, чтобы момент пары оставался неизменным.

Пару сил можно переносить в параллельную ей плоскость действия.

Две пары сил называются эквивалентными , если они имеют геометрически равные моменты.

Поэтому пара сил характеризуется при решении задач лишь моментом пары и обозначается m=M0(F1;F2).

т-мы: (1)Две пары сил произвольно расположенных в пространстве эквивалентны одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар. (2) еси на тело действует произвольная система пар, то ветор момента результирующей пары равен векторной сумме моментов составляющих пар. (3)Если все пары сил расположены перпендикулярно одной плоскости, то вектора моментов пар направлены перпендикулярно этой плоскости в ту или иную сторону, поэтому моменты пар можно складывать алгебраически. (4) для равновесия тела, находящегося под действием системы произвольно расположенной в пространстве пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен 0.

10. Сложение пар сил. Условие равновесия системы пар сил.

Теорема о сложении пар сил:

Две пары сил, произвольно расположенные в пространстве, эквивалентны одной паре с моментом равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Если на тело действует произвольная система (М1,М2,…,Мn) пар, то вектор момента результирующей пары равен векторной сумме моментов, составляющих пары. M=M1+M2+…+Mn=ΣMk (сверху векторы)

Если две пары сил расположены в одной плоскости, то векторы моментов пар направлены перпендикулярно этой плоскости в ту или иную стороны. Поэтому моменты пар можно складывать алгебраически. M=M1+M2+…+Mn=ΣMk

Условие равновесия системы пар сил:

Для равновесия тела, находящегося под действием системы произвольно расположенных в пространстве пар, необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей (эквивалентной) пары был равен 0.

В случае, если все пары сил расположены в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), то для равновесия необходимо равенство 0 алгебраической суммы моментов составляющих пар.

15. Основная лемма статики о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Пусть в точке А твердого тела приложена сила F. Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F" и F²-, эквивалентную нулю, причем выбираем F"=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F", F"), так как (F",F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F", F") эквивалентна силе F" и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F" и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M B (F). Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда переносится сила.

Теорема: система пар сил, действующих на абсолютно твёрдое тело в одной плоскости, эквивалентно паре сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов пар системы.

Равнодействующая пара - это пара сил, заменяющая действие данных пар сил приложенных к твёрдому телу в одной плоскости.

Условие равновесия системы пар сил: для равновесия плоской системы пар сил необходимо и достаточно, чтобы сумма их моментов была равна 0.

Момент силы относительно точки.

Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком "плюс" или "минус" произведение модуля силы на ее плечо относительно данной точки. Плечом силы относительно точки называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на линию действия силы. Принято следующее правило знаков: момент силы относительно данной точки положителен, если сила стремится вращать тело вокруг этой точки против часовой стрелки, и отрицателен в противоположном случае. Если линия действия силы проходит через некоторую точку, то относительно этой точки плечо силы и ее момент равны нулю. Момент силы относительно точки определяется по формуле.

Св-ва момента силы относительно точки :

1.Момент силы относительно данной точки не меняется при переносе силы вдоль её линии действия, т.к. при этом не изменяется ни модуль силы, ни её плечо.

2.Момент силы относительно данной точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, т.к. в этом случае плечо силы равно нулю: а=0

Теорема Пуансо о приведении силы к точке.

Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Операция параллельного переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара - называется присоединённой парой.

Возможно и обратное действие: силу и пару сил, лежащие в одной плоскости, всегда можно заменить одной силой, равной данной силе, перенесённой параллельно своему начальному направлению в некоторую другую точку.

Дано: сила в точке А (рис. 5.1).

Добавим в точке В уравновешенную систему сил (F"; F"). Образуется пара сил (F; F"). Получим силу в точке В и момент пары m.

Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к одному центру. Главный вектор и главный момент системы сил.

Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку - точку приведения (т.О). Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил.

Появившиеся при переносе пары называют присоединенными парами.

Полученную в т.О ССС складывают по способу силового многоугольника и получаем одну силу в т.О – это главный вектор.

Полученную систему присоединённых пар сил также можно сложить и получить одну пару сил, момент которой называется главным моментом.

Главный вектор равен геометрической сумме сил. Главный момент равен алгебраической сумме моментов присоединённых пар сил или моментов исходных сил относительно точке приведения.

Определение и свойства главного вектора и главного момента плоской системы сил.

Свойства главного вектора и главного момента

1 Модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения, т.к. при центре приведения силовой многоугольник, построенный из данных сил, будет один и тот же)

2.Величина и знак главного момента зависят от выбора центра приведения, т.к. при перемене центра приведения меняются плечи сил, а модули их остаются неизменными.

3. Главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны, т.к. ещё имеется момент

4. Главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю, а это при случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей

Рассмотрим плоскую систему сил (F 1 ,F 2 , ...,F n),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy.

Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:

R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L O = M O (F 1) +M O (F 2) + ... +M O (F n) = M O (F i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом L O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов э тих сил относительно центра О.

Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Забайкальский государственный университет

Кафедра теоретической механики

Р Е Ф Е Р А Т

По теме: «Эквивалентность пар сил в пространстве и на плоскости, их сложение и условие равновесия»

Студент: Садилов И.А.

Группа: СУС-13-2

Преподаватель: Геллер Ю.А.

г.Чита, 2014 г.

Что такое пара сил…………………………………………………3

Теорема о сумме моментов пары сил…………………………….3

Теорема об эквивалентности пар сил……………………………4

Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость…….5

Теорема о сложении пар сил…………………………………….8

Условия равновесия пар сил……………………………………..8

Выводы…………………………………………………………….9

Список используемой литературы………………………………10

ПАРА СИЛ

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Плоскостью действия пары сил называется плоскость в которой расположены эти силы.

Плечом пары сил d называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Моментом пары сил называется вектор , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия сил пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки.

Теорема о сумме моментов пары сил. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.

Доказательство: Выберем произвольно точку О. Проведем из нее в точки А и В радиус-векторы (Смотри Рис. 4.2).

,

Ч то и требовалось доказать.

Две пары сил называются эквивалентными , если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.

Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.

.

Перенесем силу в точку , а силу в точку . Проведем через точки
две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары. Соединим точки
отрезком прямой и разложим силы в точке и в точке по правилу параллелограмма.

Так как
, то

и

Поэтому
эквивалентна системе
, а эта система эквивалентна системе
, так как
эквивалентна нулю.

Таким образом мы заданную пару сил
заменили другой парой сил
. Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы.

Момент исходной пары сил

, а момент пары сил
численно равен площади параллелограмма
. Но площади этих параллелограммов равны, так как площадь треугольника
равна площади треугольника
.

Что и требовалось доказать.

Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость . Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары в параллельную плоскость.

Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил
в плоскости . Из точек приложения сил А и В опустим перпендикуляры на плоскость
и в точках их пересечения с плоскостью
приложим две системы сил
и
, каждая из которых эквивалентна нулю.

Сложим две равные и параллельные силы и
. Их равнодействующая
в точке О.

Сложим две равные и параллельные силы и
. Их равнодействующая
параллель-на этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка
в точке О.

Так как
, то система сил
эквивалентна нулю и ее можно отбросить.

Таким образом пара сил
эквивалентна паре сил
, но лежит в другой, параллельной плоскости. Что и требовалось доказать.

Следствие: Момент пары сил, действующий на твердое тело, есть свободный вектор.

Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.

Теорема о сложении пар сил. Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил
в плоскости характеризуется моментом
, а пара сил
в плоскости
характеризуется моментом
.

Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В,

. Получаем пару сил
.

Что и требовалось доказать.

Условия равновесия пар сил

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

Условия равновесия системы сил

Векторная форма

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.

Алгебраическая форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

Условия равновесия пространственной системы

параллельных сил

На тело действует система параллельных сил. Расположим ось Oz параллельно силам.

Уравнения

Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.

- проекция силы на ось Oz.

Выводы:

Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.

У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.

3.момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело. Для деформируемых тел теория пар неприменима.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Кирсанов М.Н Теоретическая механика. Учебник для самоподготовки.

2.Тарг С.М Курс по Теоретической Механике.