Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
Точки разрыва. (Если они имеются).
Интервалы возрастания и убывания.
Точки максимума и минимума.
Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
Области выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба.(Если они имеются).
Асимптоты.(Если они имеются).
Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки .
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < -,y < 0, кривая выпуклая
- 1 < x
< 0, y
> 0, кривая вогнутая 0 < x
< 1, y
< 0, кривая выпуклая 1 < x
<
,y
> 0, кривая вогнутая < x
< ,
y
> 0, кривая вогнутая Находим
промежутки возрастания
и убывания
функции. Для этого определяем знаки
производной функции на промежутках. -
< x
< -,y
> 0, функция возрастает - 1 < x
< 0, y
< 0, функция убывает 0 < x
< 1, y
< 0, функция убывает 1 < x
<
,y
< 0, функция убывает < x
< ,
y
> 0, функция возрастает Видно,
что точка х = -является точкоймаксимума
,
а точка х =
является точкойминимума
.
Значения функции в этих точках равны
соответственно 3/2
и -3/2. Про
вертикальные асимптоты
было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные
асимптоты
. Итого,
уравнение наклонной асимптоты – y
= x. Построим
график
функции: Ниже
рассмотрим несколько примеров исследования
методами дифференциального исчисления
различных типов функций. Пример:
Методами дифференциального исчисления 1. Областью
определения данной функции являются
все действительные числа (-;
). 3. Точки
пересечения с координатными осями: c
осью Оу: x
= 0; y
= 1; с осью Ох: y
= 0; x
= 1; 4. Точки
разрыва и асимптоты: Вертикальных
асимптот нет. Наклонные
асимптоты: общее уравнение y
= kx
+ b; Итого:
у = -х – наклонная асимптота. 5.
Возрастание и убывание функции, точки
экстремума. Видно, что у
0 при любом х
0, следовательно, функция убывает на
всей области определения и не имеет
экстремумов. В точке х = 0 первая производная
функции равна нулю, однако в этой точке
убывание не сменяется на возрастание,
следовательно, в точке х = 0 функция
скорее всего имеет перегиб. Для нахождения
точек перегиба, находим вторую производную
функции. y
= 0 при х =0 и y
=
при х = 1. Точки
(0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к.
y(1-h)
< 0; y(1+h)
>0; y(-h)
> 0; y(h)
< 0 для любого h
> 0. 6. Построим
график функции. Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график. 1. Областью
определения функции являются все
значения х, кроме х = 0. 2. Функция
является функцией общего вида в смысле
четности и нечетности. 3. Точки
пересечения с координатными осями: c
осью Ох: y
= 0; x
=
с осью Оу: x
= 0; y
– не существует. 4. Точка
х = 0 является точкой разрыва
,
следовательно, прямая х = 0 является
вертикальной асимптотой. Наклонные
асимптоты ищем в виде: y
= kx
+ b. Наклонная
асимптота у = х. 5. Находим
точки экстремума функции. ;
y
= 0 при х = 2, у
=
при х = 0. y
> 0 при х
(-,
0) – функция возрастает, y
< 0 при х
(0, 2) – функция убывает, у
> 0 при х
(2, )
– функция возрастает. Таким
образом, точка (2, 3) является точкой
минимума. Для
определения характера выпуклости/вогнутости
функции находим вторую производную. > 0 при любом х
0, следовательно, функция вогнутая на
всей области определения. 6. Построим
график функции. Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график. Областью
определения данной функции является
промежуток х
(-,
). В
смысле четности и нечетности функция
является функцией общего вида. Точки
пересечения с осями координат: с осью
Оу:
x = 0, y = 0; с
осью Ох: y
= 0, x
= 0, x
= 1. Асимптоты
кривой. Вертикальных
асимптот нет. Попробуем
найти наклонные асимптоты в виде y
= kx
+ b. - наклонных
асимптот не существует. Находим
точки экстремума. Для
нахождения критических точек следует
решить уравнение 4х 3
– 9х 2
+6х –1 = 0. Для
этого разложим данный многочлен третьей
степени на множители. Подбором
можно определить, что одним из корней
этого уравнения является число х = 1.
Тогда: 4x 3
– 9x 2
+ 6x
– 1 x
- 1
4x 3
– 4x 2
4x 2
– 5x
+ 1 Тогда
можно записать (х – 1)(4х 2
– 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две
критические точки: x
= 1 и x
= ¼. Примечание.
Операции деления многочленов можно
было избежать, если при нахождении
производной воспользоваться формулой
производной произведения: Найдем
вторую производную функции: 12x 2
– 18x
+ 6. Приравнивая к нулю, находим: Систематизируем
полученную информацию в таблице: вып. вниз возрастает вып. вниз возрастает вып.вверх возрастает вып. вниз Построим
график функции. Одной из важнейших задач дифференциального исчисления является разработка общих примеров исследования поведения функций. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , а ее производная положительна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) возрастает на (f"(x)0). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) убывает на (f"(x)0) Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функции. Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которой меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими. Теорема 1 (1-ое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция y=f(x) определена в точке х 0 и пусть существует окрестность δ>0 такое, что функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (x 0 -δ,x 0)u(x 0 , x 0 +δ), причем ее производная сохраняет постоянный знак на каждом из этих интервалов. Тогда если на x 0 -δ,x 0) и (x 0 , x 0 +δ) знаки производной различны, то х 0 - точка экстремума, а если совпадают, то х 0 - не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку х0, производная меняет знак с плюса на минус (слева от х 0 выполняется f"(x)>0, то х 0 - точка максимума; если же производная меняет знак с минуса на плюс (справа от х 0 выполняется f"(x)<0, то х 0 - точка минимума. Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями. Теорема 2 (необходимый признак локального экстремума). Если функция y=f(x) имеет в токе x=x 0 экстремум, то либо f’(x 0)=0, либо f’(x 0) не существует. Алгоритм исследования функции на экстремум:
1)Найти производную функции. Пример 18. Исследовать на экстремум функцию у=х 3 -9х 2 +24х Решение. Теорема 3. (2-ое достаточное условие существование экстремума). Пусть f"(x 0) и в точке х 0 существует f""(x 0). Тогда если f""(x 0)>0, то х 0 – точка минимума, а если f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x). На отрезке функция y=f(x) может достигать наименьшего (у наим) или наибольшего (у наиб) значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале (а;b), либо на концах отрезка . Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке :
1) Найти f"(x). Пример 19. Найти наибольшее значение непрерывной функции y=x 3 -3x 2 -45+225 на отрезке . 1) Имеем y"=3x 2 -6x-45 на отрезке Исследование функции на выпуклости
На рисунке изображены графики двух функций. Первый из них обращен выпуклостью вверх, второй – выпуклостью вниз. Функция y=f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале (а;b), называется выпуклой вверх (вниз) на этом отрезке, если при axb ее график лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в любой точке M 0 (x 0 ;f(x 0)), где axb. Теорема 4. Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в любой внутренней точке х отрезка и непрерывна на концах этого отрезка. Тогда если на интервале (а;b) выполняется неравенство f""(x)0, то функция выпукла вниз на отрезке ; если на интервале (а;b) выполняется неравенство f""(x)0, то функция выпукла вверх на . Теорема 5. Если функция y=f(x) имеет вторую производную на интервале (а;b) и если она меняет знак при переходе через точку x 0 , тогда M(x 0 ;f(x 0)) есть точка перегиба. Правило нахождения точек перегиба:
1) Найти точки, в которых f""(x) не существует или обращается в нуль. Пример 20. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12. Имеем f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 . Очевидно, что f"(x)=0 при x 1 =0, x 2 =1. Производная при переходе через точку x=0 меняет знак с минуса на плюс, а при переходе через точку x=1 не меняет знака. Значит, x=0 - точка минимума (у min =12), а в точке x=1 экстремума нет. Далее, находим . Вторая производная обращается в нуль в точках x 1 =1, x 2 =1/3. Знаки второй производной изменяются следующим образом: На луче (-∞;) имеем f""(x)>0, на интервале (;1) имеем f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следовательно, x= - точка перегиба графика функции (переход с выпуклости вниз на выпуклость вверх) и x=1 - так же точка перегиба (переход с выпуклости вверх на выпуклость вниз). Если x=, то y= ; если, то x=1, y=13. Алгоритм отыскания асимптоты графика
I. Если y=f(x) при x → a , то x=a - есть вертикальная асимптота. Пример 21: Найти асимптоту для функции 1) Схема исследования функции и построение ее графика
I. Найти область определения функции. Пример 22: Построить по изложенной выше схеме график функции Решение. Решая уравнение x 2 -2x-1=0 получаем две точки возможного экстремума: V. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную: Так как f""(x) в нуль не обращается, то критических точек нет. В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в первом – плюс, во втором – минус, в третьем – плюс. Последовательность знаков первой производной запишется так: +,-,+. VIII По полученным данным строим эскиз графика функции Для начала попробуй найти область определения функции: Все верно? Молодец! Теперь попробуем найти область значений функции:
Сошлось? Молодец! Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее - найти и область определения функции, и область значений функции. Вот что получилось:
С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ): Справился? Сверим ответы
: Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент: Заметил? Слово «единственный» - это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах. Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. . При, мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что. Одному значению соответствует одно значение. Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом. «Смотри! - скажешь ты, -« » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является! То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности! Дело в том, что, при расчёте для, мы получили один игрек. И при расчёте с мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график: Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики! Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет: Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» - нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.
Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы: Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу
множества ставится в соответствие несколько элементов
множества. Соответственно, это не функция.
Проверим твои знания на практике. Разобрался? А вот и ответы
: Ты спросишь почему? Да вот почему: На всех рисунках кроме В)
и Е)
на один приходится несколько! Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу - как задать функцию? Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию»
? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы. Как это можно сделать? Как задать функцию?
Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье - с помощью формулы.
Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение, высчитываем значение. А как ты помнишь, формула - это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек. Обычно, именно так и делают - в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа. Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все - ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе. Рассмотрим функцию. Чему равно? «Что это значит?» - спросишь ты. Сейчас объясню. Напомню, что в записи выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто. Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении. В нашем примере получится так: Найдите значение выражения, при. Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного! Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении. Например, для функции. Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо надо написать, а вместо - : сократить получившееся выражение: Вот и все! Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений: Справился? Сравним наши ответы: Мы привыкли, что функция имеет вид Даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например. Попробуй построить эту функцию самостоятельно. Справился? Вот как строила ее я. Какое уравнение мы в итоге вывели? Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой: Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному соответствует несколько. Попробуем нарисовать то, что получилось: Является ли то, что у нас получилось функцией? Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло? «Потому что одному значению соответствует несколько значений!» Какой вывод мы можем из этого сделать? Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!
Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например: Здесь ты сразу подметил закономерность - игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции? Не будем долго рассуждать, а будем рисовать! Итак. Рисуем функцию, заданную обоями способами: Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее: Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай! Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных. Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале - не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является: Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали - аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто! Как же описать функцию словесно? Возьмем наш недавний пример - . Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного. Ты, конечно, возразишь - «есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой. Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа». Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике: Наибольшая цифра в данном числе - , соответственно, - уменьшаемое, тогда: Теперь перейдем к самому интересному - рассмотрим основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе. Функция вида, где, - действительные числа. Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек. Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента. Область определения функции (aka область допустимых значений аргумента) - . Область значений - . Функция вида, где Графиком функции является парабола, при ветви параболы направлены вниз, при — вверх. Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле Положение параболы на координатной плоскости относительно значения и коэффициента показаны на рисунке: Область определения Область значений зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента (направления ветвей параболы) Функция, задаваемая формулой, где Число называется коэффициентом обратной пропорциональности. В зависимости от того, какое значение, ветви гиперболы находятся в разных квадратах: Область определения - . Область значений - . 1. Функцией
называется правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества. 2. Допустимые значения аргумента
, или область определения функции - это то, что связано с возможными, при которых функция имеет смысл. 3. Область значений функции
- это то, какие значения принимает, при допустимых значениях. 4. Существует 4 способа задания функции:
5. Основные виды функций:
Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат.
С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций:
возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот. Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума,
а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования. Обычно используют следующую схему исследования функции.
1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции
.
2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.
3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).
4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.
5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба .
6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.
7. Составляют сводную таблицу исследования.
8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.
Пример.
Исследовать функцию и построить её график. 7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу: Особенности графика
[-1, 0[
Возрастает
Выпуклый
(0; 1) – точка максимума
]0, 1[
Убывает
Выпуклый
Точка перегиба, образует с осью Ox
тупой угол
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ox.
2)Найти критические точки, т.е. точки, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует.
3)Рассмотреть окрестность каждой из точек, и исследовать знак производной слева и справа от этой точки.
4)Определить координаты экстремальных точек, для этого значения критических точек подставить в данную функцию. Используя достаточные условия экстремума, сделать соответствующие выводы.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Приравняв производную нулю, находим x 1 =2, x 2 =4. В данном случае производная определена всюду; значит, кроме двух найденных точек, других критических точек нет.
3) Знак производной y"=3(x-2)(x-4) изменяется в зависимости от промежутка так, как показано на рисунке 1. При переходе через точку x=2, производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x=4 - с минуса на плюс.
4) В точке x=2 функция имеет максимум y max =20, а в точке x=4 - минимум y min =16.
2) Найти точки, в которых f"(x)=0 или f"(x) - не существует, и отобрать из них те, которые лежат внутри отрезка .
3) Вычислите значение функции y=f(x) в точках, полученных в п.2), а так же на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее: они и являются соответственно наибольшим (у наиб) и наименьшим (у наим) значениями функции на отрезке .
2) Производная y" существует при всех х. Найдем точки, в которых y"=0; получим:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Вычислим значение функции в точках x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Отрезку принадлежит лишь точка x=5. Наибольшим из найденных значений функции является 225, а наименьшим – число 50. Итак, у наиб =225, у наим =50.
2) Исследовать знак f""(x) слева и справа от каждой найденной на первом шаге точки.
3) На основании теоремы 4 сделать вывод.
II. Если y=f(x) при x → ∞ или x → -∞ , тогда у=А - горизонтальная асимптота.
III. Для нахождения наклонной асимптоты используем следующий алгоритм:
1) Вычислить . Если предел существует и равен b, то y=b - горизонтальная асимптота; если , то перейти ко второму шагу.
2) Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен k, то перейти к третьему шагу.
3) Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен b, то перейти к четвертому шагу.
4) Записать уравнение наклонной асимптоты y=kx+b.
2)
3)
4) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
II. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
III. Найти асимптоты.
IV. Найти точки возможного экстремума.
V. Найти критические точки.
VI. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов и точек перегиба.
VII. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п.1-6.
I. Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме x=1.
II. Так уравнение x 2 +1=0 не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1).
III. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва x=1. Так как y → ∞ при х → -∞, у → +∞ при х → 1+, то прямая x=1 является вертикальной асимптотой графика функции.
Если х → +∞(x → -∞), то у → +∞(y → -∞); следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существования пределов
x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2
VI. Исследуем знак первой и второй производных. Точки возможного экстремума, подлежащие рассмотрению: x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2, разделяют область существования функции на интервалы (-∞;1-√2),(1-√2;1+√2) и (1+√2;+∞).
Получаем, что функция на (-∞;1-√2) возрастает, на (1-√2;1+√2) убывает, а на (1+√2;+∞) снова возрастает. Точки экстремума: максимум при x=1-√2, причем f(1-√2)=2-2√2 минимум при x=1+√2, причем f(1+√2)=2+2√2. На (-∞;1) график направлен выпуклостью вверх, а на (1;+∞) - вниз.
VII Составим таблицу полученных значенийСправился? Сравним ответы:
Нашел? Сравниваем:
Как найти и область определения и область значений функции (продвинутый вариант)
Однако, у нас остался еще один не разобранный момент…
Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:
Способы задания функции
Аналитический способ задания функции
Рассмотрим еще задание, связанное с аналитическим способом задания функции, которое будет у тебя на экзамене.
Самостоятельная работа
Табличный способ задания функции
Графический способ построения функции
Словесное описание функции
Основные виды функций
Линейная функция
Квадратичная функция
Обратная пропорциональность
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
mstone.ru - Творчество, стихи, подготовка к школе