Как найти площадь треугольника по трем высотам. Как вычисляют площадь треугольника

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже

На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c] – высоты, проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma – углы возле вершин.

Основные формулы площади треугольника

1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так

Таким образом, если известна сторона и высота - то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами

2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью

То с первой формулы площади следуют однотипные вторые

Внимательно посмотрите на формулы - их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).

3. Для углов треугольника справедливо соотношение

Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника

Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.

4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле

5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая

Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.

6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.

7. Формула Герона применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника

А затем определяют площадь по формуле

или

Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.

8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле

Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».

9. Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.

В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле

10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле

11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.

Ну и напоследок - частные случаи:
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна половине их произведения

Формула площади равностороннего (правильного) треугольника =

= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика фигуры, показывающая размер этой фигуры в квадратных единицах. Стандартное обозначение площади — буква S.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте .
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

2. Формула площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона.

Площадь треугольника равна корню квадратному изпроизведения, где одним из множителей является полупериметр, а тремя другими — разность полупериметра с каждой из сторон треугольника.

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними .
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.

S = 1/2 · a · b · sin γ

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.

Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, поделенному на четыре радиуса описанной вокруг него окуружности.

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности .
Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности.

Обозначения:

S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны .
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

2. Формула площади квадрата по длине диагонали .
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

Обозначения:

S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

Обозначения:

S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины, опущенной на эту сторону высоты.

S = ah

2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними .
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон, умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α

3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними .
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей, умноженному на синус угла между ними.

S = 1/2 · d 1 · d 2 · sin γ

Обозначения:

S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d 1 , d 2 — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,

γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте .
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины, опущенной на эту сторону высоты.

S = ah

2. Формула площади ромба по длине стороны и углу .
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a 2 · sin α

3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей .
Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

S = 1/2 · d 1 · d 2

Обозначения:

S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d 1 , d 2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула площади трапеции по длине оснований и высоте.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.

S = 1/2 · (a + b) · h

2. Формула Герона для трапеции .

S = (a + b)/4|a — b| · √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)

Обозначения:

S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними .
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженной на синус угла между ними.

S = 1/2 · d 1 · d 2 · sin α

Обозначения:

S — площадь четырехугольника,
d 1 , d 2 — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.

2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности).
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности.

3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов.

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos 2 θ

4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность .

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Обозначения:

S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = (a + b + c + d)/2 — полупериметр четырехугольника,
θ = (α + β)/2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус .
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса и числа пи.

2. Формула площади круга через диаметр .
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра и числа пи.

S = 1/4 · π · d 2

Обозначения:

S — площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга;

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи.

Обозначения:

S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса;

Источники:

• ru.onlinemschool.com — формулы площади геометрических фигур;

Рассматривается треугольник АВС , в котором угол С — прямой.

Стороны этого треугольника, прилегающие к прямому углу (т.е. стороны АС и ВС ) называются катетами , а сторона, противолежащая прямому углу (т.е. сторона АВ ) — гипотенузой .

Площадь прямоугольного треугольника, если известны катеты

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Примеры.

В треугольнике АВС (угол С = 90º) катет АС равен 5 см, а катет ВС равен 3 см. Площадь треугольника АВС равна:

SАВС = 0,5 · 5 · 3 = 7,5 см2.

В треугольнике MNP (угол N = 90º) катет PN равен 102 мм, а катет MN равен 76 мм. Площадь треугольника MNP равна:

SАВС = 0,5 · 102 · 76 = 3876 мм2.

Площадь прямоугольного треугольника, если известны две стороны

Нужно разобраться, длины каких именно сторон прямоугольного треугольника известны: двух катетов или же гипотенузы и одного из катетов, т.к. подход к решению будет совершенно разный. Случай, когда известны длины двух катетов, рассмотрен выше. Ниже рассмотрен случай, когда известна длина гипотенузы и одного из катетов.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Последовательность решения следующая:

Пример.

В треугольнике АВС (угол С = 90º) катет АС равен 6 см, а гипотенуза АВ равна 9,22 см. Длина второго катета равна

ВС = КОРЕНЬ из (9,222 − 62) = 7 см.

Теперь по двум известным катетам (АС = 6 см, ВС = 7 см) можно определить площадь треугольника:

SАВС = 0,5 · 6 · 7 = 21 см2.

Площадь прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза

Невозможно найти площадь треугольника, зная одну лишь длину его гипотенузы, потому что гипотенуза не определяет однозначно прямоугольный треугольник. Ведь несколько треугольников могут иметь одинаковую длину гипотенузы, но совершенно разные длины катетов и, соответственно, разную площадь.

Например:

• гипотенуза АС = 10 см, катеты АС = 6 см, ВС = 8 см, площадь S = 0,5 · 6 · 8 = 24 см2;
• гипотенуза АС = 10 см, катеты АС = 5 см, ВС = 8,66 см, площадь S = 0,5 · 5 · 8,66 = 21,65 см2;
• гипотенуза АС = 10 см, катеты АС = 4 см, ВС = 9,165 см, площадь S = 0,5 · 4 · 9,165 = 18,33 см2.

Помимо длины гипотенузы, для однозначного определения треугольника необходимо знать либо длину одного из катетов, либо величину одного из острых углов.

Определение площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и одному из катетов рассмотрено выше.

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Зная длину гипотенузы и величину одного из его острых углов, можно найти длины обоих катетов — прилежащего к этому острому углу и противолежащего от этого угла. Далее, зная длины обоих катетов, без труда можно определить площадь треугольника.