Линейная функция, её свойства и график. Линейная функция y=kx, ее свойства и график Функция у kx и ее график

Линейная функция y = kx + m , когда m = 0 принимает вид y = kx . В таком случае можно заметить, что:

1. Если x = 0, то и y = 0. Следовательно, график линейной функции y = kx проходит через начало координат не зависимо от значения k .
2. Если x = 1, то y = k .

Рассмотрим различные значения k , и как от этого меняется y .

Если k положительно (k > 0), то прямая (график функции), проходя через начало координат, будет лежать в I и III координатных четвертях. Ведь при положительном k , когда x положителен, то y также будет положителен. А когда x отрицателен, y также будет отрицательным. Например, для функции y = 2x , если x = 0.5, то y = 1; если же x = –0.5, то y = –1.

Теперь при условии положительного k рассмотрим три разных линейных уравнения. Пусть это будут: y = 0.5x и y = 2x и y = 3x . Как меняется значение y при одном и том же x ? Очевидно оно возрастает вместе с k : чем больше k , тем больше y . А это значит, прямая (график функции) при большем значении k будет иметь больший угол между осью x (осью абсцисс) и графиком функции. Таким образом от k зависит, под каким углом пересекает прямая ось x , и отсюда о k говорят как об угловом коэффициенте линейной функции .

Теперь изучим ситуацию, когда k x положителен, то y будет отрицателен; и наоборот: если x y > 0. Таким образом график функции y = kx при при k

Допустим, имеются линейные уравнения y = –0.5x, y = –2x, y = –3x . При x = 1 получим y = –0.5, y = –2, y = –3. При x = 2 получим y = –1, y = –2, y = –6. Таким образом, чем больше k, тем больше y, если x положительно.

Однако если x = –1, то y = 0.5, y = 2, y = 3. При x = –2 получим y = 1, y = 4, y = 6. Тут с уменьшением значения k возрастает y при x

График функции при k

Графики функций типа y = kx + m отличаются от графиков y = km лишь параллельным смещением.

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) .

Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью.

b – длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b .

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) .

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) .

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k .

k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0 , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.

Урок 1 .

Функция у=кх и ее график.

Учитель математики школы № 92

Павловская Нина Михайловна

• систематизировать и развивать у учащихся знания

по теме функция, область определения функции,

график функции;

• ввести понятие прямой пропорциональности;
• сформировать умение строить и читать график

функции, заданной формулой у = кх;

• научиться определять:

- положение графика на координатной плоскости,

- принадлежность данной точки графику;

• научиться по графику задавать формулой прямую

пропорциональность;

• способствовать развитию познавательного интереса

учащихся

• побуждать учеников к само-, взаимоконтролю,

вызывать у них потребность в обосновании своих

высказываний.

Цели урока:

Разминка.

1. По графику изменения температуры воздуха в течение суток, найти значение температуры в 6ч,12ч,18ч .

2. Что называют областью допустимых значений переменной алгебраической дроби?

3. Найдите допустимые значения переменной для дроби:

0 k Функцию вида у = kх называют прямой пропорциональностью, где х – переменная, k – угловой коэффициент. Построить графики функций: у Свойства: 8 7 а) у = 2х; б) у = - 3х. 1. Область определения 6 5 2. Графиком является прямая, проходящая через начало координат. 4 II I 3 2 3. Если k 0, график проходит через I и III четверть и образует острый угол с положительным направлением оси х. 1 -3 -2 -1 3 2 1 х -4 О -1 -2 III IV -3 4 . Если k -4 -5 -6 -7 -8" width="640"

у = 2х

у = -3х

k0

k

Функцию вида у = kх называют прямой пропорциональностью, где х – переменная, k – угловой коэффициент.

Построить графики

функций :

у

Свойства :

8

7

а) у = 2х; б) у = - 3х.

1. Область определения

6

5

2. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.

4

II

I

3

2

3. Если k 0, график проходит через I и III четверть и образует острый угол с положительным направлением оси х.

1

-3

-2

-1

3

2

1

х

-4

О

-1

-2

III

IV

-3

4 . Если k

-4

-5

-6

-7

-8

1 график вытягивается вдоль оси у. 2. Если |k| вдоль оси х." width="640"

Построй графики функций в одной и той же системе координат. Найди особенность расположения графиков и сделай вывод.

а) у = 5х;

б) у = - 4х;

г) у = – 0,5х.

в) у = 0,2х;

Вывод:

• Если |k|1 график вытягивается

вдоль оси у.

2. Если |k|

вдоль оси х.

По графику определи вид функции и задай ее формулой, а также дай ей характеристику.

в

г

а) у = 0,5х

б

д

б) у = х

а

е

в) у = 2х

г) у = - 2х

д) у = - х

е) у = - 0,5х

Решить из учебника

• Устно: № 490, 491.

• Письменно: № 493, 494(а,в), 495(а,в)

Подведение итогов урока:

• Что является графиком функции у = kх ?
• Что называют угловым коэффициентом прямой у = kх ?
• В каких координатных четвертях расположен график функции у = kх при k 0, при k 0?

Запишите домашнее задание:

п.6.1, 6.2 учебника,

№ 494(б, г), 495(б, г), 496.

№ 644 – по желанию.

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.

1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:

2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0

Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

Урок алгебры в 7 классе по учебнику Мордковича Александра Григорьевича.

Линейная функция y=kx и ее график.

Цели:

Обобщить и углубить знания по теме «Линейная функция y = kx +m и ее график» Рассмотреть свойства графиков линейных функций y = kx с различными коэффициентами k .

Способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, обобщать.

Вызывать у обучающихся потребность в обосновании своих высказываний, воспитывать самоконтроль и взаимоконтроль.

Ход урока:

Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

Вы уже изучили линейную функцию y =kx +m и научились строить графики этой функции, а сейчас, рассмотрите, пожалуйста, графики следующих функций и ответьте на вопросы:

СЛАЙД 2

На координатной плоскости построены графики линейных функций:

y =x ,

y =0,5x ;

y =-x ;

y =-4x

Будут ли эти функции линейными? Почему? Что общего в этих четырех рассмотренных функциях? Чем они отличаются от ранее изученных линейных функций?

СЛАЙД 3

Графики данных линейных функций.

СЛАЙД 4 (вопросы к слайду 3)

Ответы:

Графики данных линейных функций находятся либо в 1 и 3 четвертях, либо во 2 и 4 четвертях.

Какая связь между коэффициентом k и расположением графика на координатной плоскости?

СЛАЙД 5(ответы на вопросы к слайду 4)

Все графики данных линейных функций проходят через начало координат О(0;0)

СЛАЙД 6

Если коэффициент k <0, то линейная функция убывает и расположена во 2 и 4 четвертях.

СЛАЙД 7

Если коэффициент k >0, то линейная функция возрастает и расположена в первой и третьей четвертях.

СЛАЙД 8

А сейчас выполните следующие задачи в учебнике № 348(а, б), 355:

Задача № 348(а; б).
Постройте график линейной функции:
а) y =2x ,
б) y =-3x .
На одной координатной плоскости.
Что вы можете сказать про графики данных линейных функций?

(Они проходят через начало координат, линейная функция y=2x – возрастающая и расположена в 1 и 3 четвертях, а линейная функция y=-3x –убывающая и расположена во 2 и 4 четвертях).

СЛАЙД 9

Решение (нахождение координат точек данных линейных функций). Какое количество координат точек необходимо для построения графика заданных линейных функций? Почему? (Одну, потому что графики данных линейных проходят через начало координат, то есть точку с координатой (0;0), а она нам уже известна.)

СЛАЙД10

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график.

СЛАЙД11

График линейной функции y = -3x строим аналогичным образом

Что вы можете сказать про данную функцию? В каких четвертях будет находиться график данной линейной функции?

Если берем значение абсциссы положительное, то ордината получается отрицательная, и, наоборот, если, значение абсциссы отрицательная, то ордината получается положительная.

СЛАЙД12

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график данной линейной функции y=-3x.

СЛАЙД13

(Формулирование задачи № 355)

СЛАЙД14

(Вопросы, активирующие решение поставленной задачи).

СЛАЙД15

Нахождение координат точек для построения графика данной линейной функции y=0,4x .

СЛАЙД16

По графику данной линейной функции находим значение ординаты, соответствующее значению абсциссы, равному 0; 5; 10; -5.

Если x =0,то y =0

Если x =5, то y =2

Если x =10, то y =4

Если x =-5,то y =-2

СЛАЙД17

По графику данной линейной функции находим значение x , соответствующее значению y , равному 0; 2; 4; -2.

Если y =0, то x =0

Если y =2, то x =5

Если y =4,то x =10

Если y =-2, то x =-5

СЛАЙД18

Решение неравенства: 0,4x >0 . Что нам необходимо знать, чтобы решить это неравенство? Найти при каких значениях абсциссы (x) график данной линейной функции будет находиться выше оси ox.

СЛАЙД19

Теперь, с помощью графика данной линейной функции решим неравенство: -2≤y ≤0 .

Давайте подумаем, как решить данное неравенство?

1.Отметим на оси oy точки y =-2 и y =0.

2. Получим отрезок прямой, который лежит в пределах значений -2≤y ≤0:

Из ординаты равной -2 и ординаты равной 0 опустим перпендикуляр к графику данной линейной функции.

3. Из концов отрезка графика прямой, опустим перпендикуляры на ось ox.

4. Получили значения абсциссы, в пределах которых лежит график данной прямой: -5≤x ≤0. Этот промежуток и будет являться решением данного задания.

СЛАЙД 20

Домашнее задание – самостоятельное выполнение № 356.